Diskussion:Diskrete lineare L1-Approximation

Definitionsbereiche von f und Phi_j

Die Funktionen $f$ und $\Phi _{j}$ müssen zumindest auf der Menge $X_{m}$ definiert sein, ein Definitionsbereich ist leider nicht angegeben. Ich würde daher die deutlichere Schreibweise $f:X_{m}\rightarrow \mathbb {R}$ vorziehen. Oder sollen $f$ und $\Phi _{j}$ auf einer größeren Menge definiert sein und die Approximation nur an gewissen Stellen (Stützstellen?) durchgeführt werden? Im Artikel werden diese Funktionen jedenfalls nur auf $x_{i}\in X_{m}$ angewendet.--FerdiBf 09:45, 30. Dez. 2011 (CET)

Ich habe es mal angepasst gemäß der Quelle http://comjnl.oxfordjournals.org/content/16/2/180.full.pdf ("Introduction"), die unter "Weblinks" genannt ist. Wenn Du bessere Formulierungen findest, dann sei mutig;-)) Gruß --tsor 09:59, 30. Dez. 2011 (CET)

Ok, nun sind die Definitionsbereiche wie in der Quelle angegeben, danke! Dennoch bleibt ein gewisses Unbehagen, da erstens die $\Phi _{i}$ nur auf den Punkten aus X ausgewertet werden (also gar nicht auf dem umgebenden Intervall definiert sein müssten) und zweitens die $\Phi _{i}$ als stetig vorausgesetzt sind aber die Stetigkeit nirgends genutzt wird. Wahrscheinlich steckt noch weitere Motivation hinter diesem Vorgehen, wie z.B. Interpolation zwischen den Punkten aus X (warum sollten sonst die $\Phi _{i}$ auf ganz I definiert und stetig sein?). Ist es möglich, dazu noch etwas zu sagen?--FerdiBf 10:56, 30. Dez. 2011 (CET)

Hmmm, die Definiertheit und Stetigkeit von $\Phi _{i}$ ergibt sich doch aus der Aufgabenstellung: Man will f(x) durch stetige Funktionen approximieren. --tsor 16:10, 30. Dez. 2011 (CET)

Nirgends im Artikel findet sich ein Hinweis, dass f durch stetige Funktionen approximiert werden sollte. Kann man dasselbe Verfahren nicht auch nutzen, um etwa durch Treppenfunktionen zu approximieren? Ich sehe keine Stelle, an der die Stetigkeit wirklich benutzt würde.--FerdiBf 16:14, 30. Dez. 2011 (CET)

Im Abschnitt "Problemstellung" werden die $\Phi _{i}$-Funktionen als stetig vorausgesetzt - in Übereinstimmung mit http://comjnl.oxfordjournals.org/content/16/2/180.full.pdf (Introduction). Ich wüsste im Moment nicht genau, wo und wie ich auf die Stetigkeit näher eingehen sollte oder wie wir diese einfach weglassen könnten (ohne Theoriefindung zu betreiben). Hast Du eine Idee? --tsor 16:29, 30. Dez. 2011 (CET)

Da habe ich keine Idee, und eine Theorie will hier auch nicht erfinden. Mir geht es einfach nur um das Verständnis des Artikels. Wer diesen aufmerksam und mit Interesse liest, und ich habe das getan, der wird wahrscheinlich genauso über die Stetigkeit der Phi_i stolpern und sich nach dem Zweck fragen. Wenn der Zweck eine Approximation durch stetige Funktionen sein soll, dann sollten wir das auch irgendwo schreiben. --FerdiBf 23:30, 30. Dez. 2011 (CET)

Da hast Du recht. Ich habe die Stetigkeit mal als Forderung in der Aufgabenstellung eingetragen. --tsor 11:03, 31. Dez. 2011 (CET)

Ohne mich näher eingelesen zu haben, könnte ich mir gut vorstellen, dass man die Stetigkeit voraussetzt, um einen Haar-Raum zu bekommen. Das ist in der Approximationstheorie immer nützlich, wenn man irgendwas in Richtung Eindeutigkeit beweisen will. Zum Beispiel ist soweit ich weiß die kontinuierliche beste L1-Approximation mit Haar-Räumen immer eindeutig bestimmt. Man könnte im Artikel vielleicht noch erwähnen, dass es sich um ein Problem der linearen Ausgleichsrechnung handelt. -- HilberTraum 12:09, 31. Dez. 2011 (CET)

Normen

In dem Artikel geht es mit den Normen etwas durcheinander. Die normalen Bezeichnungen sind (siehe Norm (Mathematik)):

• die $L_{p}$-Normen auf Funktionenräumen,
• die $l_{p}$-Normen oder $\ell _{p}$-Normen auf Folgenräumen,
• die $p$-Normen auf endlichdimensionalen Vektorräumen,

wobei es auch die hochgestellten Varianten gibt. Im Artikel findet sich die $L_{1}$-Norm im Lemma und die $l_{1}$-Norm im Text, de facto ist das Problem aber ein diskretes und der Fehler wird in der Summennorm, also der 1-Norm gemessen. Ich würde im Text an sich immer von der 1-Norm und vom diskreten $L_{1}$-Approximationsproblem als feststehenden Begriff sprechen. In der Literatur sollte auch durchgehend ein großes $L$ stehen, damit richtig zitiert wird.

Außerdem stimmt was in dem Existenzbeweis nicht, denn ein Raum kontinuierlicher Funktionen kann kein Unterraum eines diskreten Raums sein, auch wenn die Dimensionen passen. Entweder man schränkt den Funktionenraum ein, z.B. durch Diskretisierung, oder man erweitert den diskreten Raum, z.B. durch Interpolation. Viele Grüße, --Quartl 21:19, 14. Jan. 2012 (CET)