Diskussion:Einschrittverfahren

Dieser Artikel war am 31. März 2018 der Artikel des Tages.

Auszeichnungskandidatur vom 21. November 2017 bis zum 11. Dezember 2017

Einschrittverfahren sind in der numerischen Mathematik neben den Mehrschrittverfahren eine große Gruppe von Rechenverfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen. Diese Aufgabenstellung, bei der eine gewöhnliche Differentialgleichung zusammen mit einer Startbedingung gegeben ist, spielt in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften eine zentrale Rolle. Die namensgebende Grundidee der Einschrittverfahren ist, dass sie ausgehend von dem gegebenen Anfangspunkt Schritt für Schritt entlang der gesuchten Lösung Näherungspunkte berechnen.

Mein Beitrag für den vergangenen Schreibwettbewerb. Er wurde auf den fünften Platz der Gesamtwertung gewählt, wofür ich mich hier bei der Jury nochmal herzlich bedanken möchte. Man könnte im Artikel evtl. einen eigenen Abschnitt zur Geschichte dieser Verfahren vermissen, aber ich habe versucht, die wichtigsten geschichtlichen Informationen an den jeweiligen Stellen im Text einzubauen. Das erschien mir in diesem Fall irgendwie flüssiger und weniger redundant. Viele Grüße -- HilberTraum (d, m) 20:02, 21. Nov. 2017 (CET)

Ich habe mich während des Schreibwettbewerbs ausführlich mit dem Artikel befasst, weil hier einmal ein mathematisches Thema so aufbereitet wurde, das es nicht nur Insider anspricht. Hier meine Notizen:

Lemma: relevant. Problematisch an diesem Artikel ist, dass eine Reihe der verlinkten Lemmata inhaltlich zumindest teilweise Überschneidungen aufweisen. Ich halte jedoch die Ausführlichkeit auch in diesen Bereichen für ein Plus des Artikels, weil man sich das Thema so ganzheitlich erschließen kann.

Einleitung: Die Einleitung ist nicht so ganz Oma-tauglich. Bereits nach dem ersten Satz schaltet der Nicht-Mathematiker ab, wenn er den Links der darin verwendeten Begriffe (numerische Mathematik, Mehrschrittverfahren, Anfangswertproblem, gewöhnliche Differentialgleichung) folgt. Erst wenn man bereit ist, den ersten Satz als solchen stehen zu lassen (sich also nicht um die Mathematik kümmert) und sich in das weiterhin Gesagte einzulesen, begreift man allmählich den Sinn des an sich sehr guten (s.u.) Artikels. Wie bei Naturwissenschaftlern üblich wird auch hier übersehen, dass auch die Wirtschafts- und Sozialwissenschaften die gleiche Mathematik verwenden (Preismodelle, Kapitalmarktmodelle, Wachstumsmodelle etc.) Vorschlag: statt „spielt in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften eine zentrale Rolle“ schreibe man „spielt in den Natur-, Ingenieur- und Wirtschafts- und Sozialwissenschaften eine zentrale Rolle, um dynamische Vorgänge zu analysieren, zu simulieren oder vorherzusagen“. Lässt man die Eingangskritik beiseite, gibt die Einleitung einen guten Überblick auf das, was den Leser erwartet.

Sprache: sehr flüssig und angenehm zu lesen. Man stolpert aber immer wieder bei den Fachbegriffen, die z.T. sehr voraussetzungsreich sind.

Gliederung: klar und einleuchtend, nicht zu kleinschrittig

Inhalt: Der ganze Artikel ist für einen Mathe-Artikel auf diesem thematischen Niveau außerordentlich gut nachvollziehbar. Das ist dem sichtbaren Bemühen geschuldet, den Fachfremden mitzunehmen. Insbesondere die Einführung (Kapitel 1) macht es möglich, die dann folgenden eher theoretischen und abstrakten Überlegungen nachzuvollziehen. Einige Anmerkungen:

• Es sollte möglichst früh im Artikel gesagt werden dass die Anfangsbedingung bzw. der Anfangswert (also das y0) von außen willkürlich (beliebig, aber sinnvoll bezogen auf den Untersuchungsgegenstand) festgelegt wird, z.B. durch Wahl eines Zeitpunktes, durch Messung oder Schätzung eines empirischen Zustandes.
• Nach der FN 1 sollte ein Absatz eingefügt werden, weil es ab da ja erst richtig losgeht.
• Mir ist nicht so ganz klar warum im 2. Abschnitt der Einführung zunächst von x(t) und dann von y(t) die Rede ist. Man sollte einen solchen willkürlichen Begriffswechsel ohne Grund vermeiden. Wenn man den Anfang des Abschnitts als Spezialfall betrachtet und deshalb „x“ verwendet, dann sollte man dies auch ausdrücken und zum allgemeinen y-Fall hin einen Absatz einfügen. Es wäre hier auch schon der Hinweis hilfreich, dass im allgemeinen Fall nicht zu jeder Funktion (der hier bekannten Ableitung x‘(t) = v(t) bzw. y‘(t)) auch eine Stammfunktion, also eine analytische Lösung des Anfangswertproblems, zu ermitteln ist. Das ist ja der Grund, warum numerische Verfahren zur Lösung eingesetzt werden müssen.
• Man könnte im einfachen Wachstumsbeispiel ein Beispiel einfügen, nämlich etwa die konkrete Exponentialfunktion f(t) = 2^t und f‘(t) = ln (2) * 2^t wobei ln (2) = λ der Proportionalitätsfaktor (nicht wie im Artikel: Wachstumsfaktor; Anm.: der Fehler im Text ist nur aufgrund des Beispiels aufgefallen) ist. Wachstumsfaktor ist die Basis und die Wachstumsrate ist die Basis minus 1. Das Beispiel könnte man mit einer kleinen Wertetabelle noch plausibler machen. Auf diesem Wege wird auch dem, der seine Schulmathematik schon etwas verdrängt hat, der Bezug zur Exponentialfunktion deutlicher. Dies würde dann noch einmal verbessert, wenn man den Satz „Es gilt y(t) = y₀ * e^λt“ mit einer Anmerkung versehen würde: „Man kann jede beliebige Exponentialfunktion als e-Funktion schreiben, z.B. f(t) = 2t <=> f(t) = e^ln(2)t. Diese hat den Vorteil, dass man sie besser ableiten kann als eine Exponentialfunktion ohne Basis e.“
• leider verwendet auch dieser Artikel die mathematische Floskel „wie man leicht sieht“. Das ist relativ und manchmal arrogant.
• Mir wird nicht klar, wie das Zweikörperproblem, das als Illustration in der bewegten Graphik genannt wird, und das Einschrittverfahren in Beziehung zu setzen sind. Die Laufbahnen der Körper sind doch Relationen?
• Der Abschnitt Definition sollte mit einem Einleitungssatz motiviert werden. Z.B.: „Mit den vorstehenden Überlegungen und dem Verständnis, was ein Anfangswertproblem ist, kann man den Begriff des Einschrittverfahrens wie folgt definieren:“ (der Leser soll verstehen, dass die Definition eine formale Festlegung des Begriffs ist)
• Es wäre sehr schön, wenn der Artikel mit praktischen Beispielen, z.B. Pendel mit Dämpfung, Schwingung einer Feder mit Rückstellkraft und Reibungskraft oder Populationen, z.B. das Räuber-Beute-Modell (Lotka-Volterra-Gleichungen), illustriert würde. Diese Beispiele könnten nach der Definition oder als Punkt 1.3 eingefügt werden. Ohne ein Beispiel bleiben die Approximation durch Sekantensteigung und die weiteren Verfahrensschritte nur schwer verständlich. Besonders interessant und umsetzbar finde ich die beiden Beispiele Modellierung der gedämpften Pendelschwingung und des Falls aus großer Höhe, wo einem allerdings weisgemacht werden soll, dass das in Klasse 8 in Österreich unterrichtet wird.
• Leider enthält der Artikel (entgegen dem Hinweis in der Einleitung) keine Ausführungen bzgl. der in der Praxis vorhandenen Computerprogramme, mit denen man Lösungen nach dem Einschrittverfahren ermitteln kann. Siehe Weblink unten´(=online) sowie als gegoogelte Beispiele „MATLAB“, „Maplesoft“ oder „SciLab Bibliothek "Numerics"“

Literatur: reichlich, für exzellent könnte man noch auf die Qualität (Schwerpunkte, Ausführlichkeit etc.) der verschiedenen Werke hinweisen, weil diese ja wohl eher als Alternative anzusehen sind. Bei der Suche nach entsprechendem Material ist mir noch das folgende Buch positiv aufgefallen, weil die textliche Kommentierung vergleichsweise ausführlich erscheint und weil sich ein großer Anteil des Buches insbesondere auf das Thema des Artikels konzentriert: Martin Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen: Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenburg, München 2004 (Vorlesungen Numerik II in etwa für das 4. – 6. Semester Mathematik; allerdings ist der Inhalt deutlich komplexer als der des Artikels) Eine konkrete Anwendung im Bereich der Wirtschaftswissenschaften unter dem Einsatz von MATLAB findet man in: Michael Günther, Ansgar Jüngel: Finanzderivate mit MATLAB®: Mathematische Modellierung und numerische Simulation, Vieweg, Wiesbaden 2003 /Springer 2013 (insbesondere 5.3: Numerische Integration stochastischer Differentialgleichungen, 120ff)

Weblinks: die vorhandenen Links sind für mathematische Laien nicht lesbar (zu voraussetzungsreich). Die Qualität müsste ein Fachmann beurteilen. Man könnte noch ergänzen: Mathe Tutorial: Rechner für lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung. Für den Laien auch recht gut lesbar ist der Artikel Differentialgleichung im Lexikon der Physik unter spektrum.de (abgerufen 15.10.17), von dem aus sowohl das Euler-Verfahren als auch die Runge-Kutta-Methode verlinkt sind. Als praktische Anwendung für das Euler-Cauchy-Verfahren nennt das Lexikon der Physik die Messung von Meeresströmungen.

Bebilderung: Toll, die Graphiken sind zur Erläuterung sehr gut gewählt.

Interne Links: Konsistenz- und Konvergenzordnung sollten verlinkt werden. Man kann im Abschnitt 1.1 im letzten Satz hinter Bahn noch in Klammern Trajektorie (Mathematik) einfügen.

Gesamteindruck: Ein toller Artikel, der eigentlich das Potential zum Sieger des Schreibwettbewerbs hat, weil er ein sehr schwieriges Thema, das sich an Studenten wendet, die angewandte Mathematik benötigen, so aufbereitet, dass auch ein Laie, wenn er sich erst einmal in das Thema eindenkt, mitlesen kann. Eine Abwertung sehe ich darin, dass auf konkrete Beispiele für Anwendungen verzichtet wird und auch die Praxis mit Computer-Lösungen nicht beschrieben wird. Deshalb nur knapp, aber in jedem Fall exzellent.  Exzellent Lutz Hartmann (Diskussion) 10:21, 22. Nov. 2017 (CET)

Ganz herzlichen Dank für dein Lob und dein Votum, vor allem aber für die sehr ausführlichen Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge. Die einfach umsetzenden Punkte habe ich zum größten Teil schon eingebaut. Wegen eines Beispiels und wegen eines Überblicks über die Software schaue ich die nächsten Tage mal, was noch geht. Die Links und das Buch von M. Hermann schaue ich mir morgen mal durch. Viele Grüße und nochmal danke! -- HilberTraum (d, m) 19:47, 22. Nov. 2017 (CET)

Update: Ich habe jetzt am Ende des Artikels noch ein Praxisbeispiel mit Matlab eingebaut. Danke für die Anregung! -- HilberTraum (d, m) 14:48, 23. Nov. 2017 (CET)

 Exzellent Ich verstehe leider nicht ganz so viel von der Thematik, aber ich finde der Artikel ist sehr solide geschrieben und sehr anschaulich enzyklopädisch aufbereitet. Jetzt mit dem zusätzlichen Praxisbeispiel meiner Meinung nach auf jeden Fall exzellent. Beste Grüße- --JonskiC (Diskussion) 20:47, 24. Nov. 2017 (CET)

Und was ist mit stochastischen Differentialgleichungen? Viele Grüße, Schnurrikowski (Diskussion) 11:50, 25. Nov. 2017 (CET)

Da hatte ich erst schon dran gedacht, aber dann müsste wohl noch mehr rein, z. B. Einschrittverfahren für implizite Differentialgleichungen und für Algebro-Differentialgleichungen. Ich weiß nicht, ob das diesen doch recht elementaren Artikel nicht unübersichtlich machen würde. Im Moment ist gemäß Einleitung und Definition das Thema des Artikels nur „Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme expliziter gewöhnlicher Differentialgleichungen“ und das dürfte wohl auch fast immer mit dem Begriff „Einschrittverfahren“ gemeint sein (wie auch eine Google-(Book)-Suche bestätigt.) -- HilberTraum (d, m) 17:48, 25. Nov. 2017 (CET)

Ok, hast Recht - auch im Lexikon der Mathematik von Springer bezieht sich das Wort ausschließlich auf gewöhnliche Differentialgleichungen. Was mir noch aufgefallen ist (Kleinkram):

1) "Die dargestellte Lösung der Differentialgleichung des Lorenz-Attraktors" Der Attraktor IST die Lösung(smenge). Das zugrundeliegende System heißt Lorenz-System.

2) Die Notation ist nicht einheitlich. Im ersten Teil des Artikels steht ein Multiplikationspunkt zwischen Koeffizient und Variable, ab dem Abschnitt Definiton dann nicht mehr.

3) Nach welchen Kriterien wurden die Weblinks ausgewählt?

Alles in allem jedoch ein vorbildhafter Artikel. Weiter so, Schnurrikowski (Diskussion) 11:49, 26. Nov. 2017 (CET)

1) Verstehe ich nicht ganz: Der Attraktor ist eine Teilmenge des Raums und die Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ist eine Abbildung von einen Zeitintervall in den Raum. Letztere zeigt das Bild (veranschaulicht durch den sich bewegenden Punkt). -- HilberTraum (d, m) 17:37, 26. Nov. 2017 (CET)

Mir ging es um die merkwürdig anmutende Formulierung. Besser wäre wohl "Die dargestellte Lösung des Lorenz-Systems in Form des Lorenz-Attraktors."

„in Form“? Was soll das denn bedeuten? Ich kann nicht erkennen, was an dem Satz merkwürdig formuliert sein soll. Darum lasse ich den erstmal so. Wer eine bessere Formulierung hat, kann sie gerne einbauen. -- HilberTraum (d, m) 14:45, 27. Nov. 2017 (CET)

Irgendwie reden wir aneinander vorbei. Es kommt bei deiner Formulierung nicht rüber, dass es um das Lorenz-System geht. Stattdessen schreibst du umständlich "Differentialgleichung des Lorenzattraktors".

Das ist so umständlich, weil der Leser vielleicht nicht weiß, dass das Lorenz-System ein Differentialgleichungssystem ist. -- HilberTraum (d, m) 15:21, 27. Nov. 2017 (CET)

2) Hm, das war eigentlich Absicht so. Im der Einführung, die sich hauptsächlich an Laien richten soll, zur Verdeutlichung mit Punkt, danach dann ohne, weil es übersichtlicher und kürzer ist. Nicht gut?

Es ist nicht konsistent. Entweder überall oder gar nicht.

Dann überall mit oder überall ohne? -- HilberTraum (d, m) 14:45, 27. Nov. 2017 (CET)

Besser überall ohne.

Punkte sind raus. -- HilberTraum (d, m) 15:21, 27. Nov. 2017 (CET)

3) Ich habe mit Google nach einigermaßen vollständig ausformulierten Vorlesungsskripten gesucht.

Grüße -- HilberTraum (d, m) 17:37, 26. Nov. 2017 (CET)

Also rein didaktischer Kram?

Äh … ja? Alternativvorschläge? Lutz hat ja oben eine Website vorgeschlagen, auf der man Differentialgleichungen lösen kann. Die habe ich jetzt mal noch hinzugefügt. -- HilberTraum (d, m) 14:45, 27. Nov. 2017 (CET)

Ja, etwas interaktives hatte ich mir auch gewünscht. Damit man mal probieren kann.

 Exzellent, wünschenswert wäre es jedoch, dass die Grafik im Abschnitt Runge-Kutta-Verfahren die gleiche Nomenklatur erhält, wie sie in der Beschreibung verwendet wird. Es wären dazu lediglich $x_{0}$ durch $y_{0}$ und die Steigungen $d_{1}\cdots d_{4}$ durch $k_{1}\cdots k_{4}$ zu ersetzen. LoRo (Diskussion) 13:09, 26. Nov. 2017 (CET)

Danke für dein Votum. Ich habe das Bild jetzt selber als SVG neu erstellt. Grüße -- HilberTraum (d, m) 17:28, 26. Nov. 2017 (CET)

 Exzellent Ein außergewöhnlich verständlicher Mathematik-Artikel, dem ich (fast) volltändig folgen konnte. Er liest sich schlüssig, didaktisch aufbereitet und anwenderorientiert. Die Qualität des Artikels zeigt sich vor allem, wenn man zum Vergleich verlinkte Artikel heranzieht: Wo diese meistens völlig abstrakt bleiben, bemüht sich der Autor um Anschaulichkeit, allerdings nach meinem Eindruck nicht auf Kosten von präzisen Aussagen. Sprachlich einwandfrei, fällt manchmal in einen Lehrbuchstil, was für mich aber dem Thema angemessen ist. Darf gerne als Vorbild für künftige Mathematikartikel dienen. --Magiers (Diskussion) 22:49, 27. Nov. 2017 (CET)

 Exzellent. Wirklich sehr angenehm zu lesen und so manches verschüttetes Wissen aus Studienzeiten wurde bei mir gehoben. Ich kann nicht behaupten, inhaltlich alles umfassend beurteilen zu können, könnte aber nichts finden was zu beanstanden wäre. Sehr gute Arbeit! MfG--Krib (Diskussion) 14:03, 2. Dez. 2017 (CET)

Ich kenne mich mit dem Thema leider zu wenig aus, freue mich aber sehr, dass du im Bereich DGL/AWP einen so schönen Artikel platziert hast. --WissensDürster (Diskussion) 11:25, 10. Dez. 2017 (CET)

Mit fünf Stimmen  Exzellent wird der Artikel in dieser Version als  Exzellent ausgezeichnet. Tönjes 12:11, 11. Dez. 2017 (CET)