Diskussion:Epimorphismus

Ich versteh' kein Wort - und meine Oma erst recht nicht. Um was geht es hier? Wäre es möglich, das in deutsche Umgangssprache zu übersetzen? --Katharina 00:29, 14. Dez 2003 (CET)

Stimmt schon, der Artikel ist noch "etwas dürftig". Vllt. genügt es schon, einige Beispiele analog zum Monomorphismus einzufügen. (Verstehen du und deine Oma *g*, um was es in dem Artikel geht?) Wenn es nur darum gehen sollte, was ein surjektiver Homomorphismus ist: Dazu sind die Links da, oder? --SirJective 14:32, 14. Dez 2003 (CET)

Wer definiert Epimorphismus als surjektiven Homomorphismus. Ich haette gerne mal ein Literatur-Verweis.

Matthy

Soweit ich das sehe, tut das fast jeder Dozent einer Lineare-Algebra- oder Algebra-I-Vorlesung, im Zusammenhang mit Gruppen, Ringen und Vektorräumen (z.B. im "Kurzskript" auf [1]).

In der Diplomarbeit [2] werden Homo- und andere Morphismen einer universellen Algebra definiert, und folgendes Buch als Quelle der Notation zitiert:

Th. Ihringer, Allgemeine Algebra, Teubner, 1993. ( S.20)

Es wäre interessant zu wissen, wann die Morphismenbegriffe der universellen Algebra erstmals definiert wurden, und warum sie sich von den Begriffen der Kategorientheorie unterscheiden. --SirJective 21:25, 22. Jul 2004 (CEST)

Definition von extremal

Ist f = m o g, wobei m ein Epimorphismus ist, dann muss m ein Isomorphismus sein.

Hier kann etwas nicht stimmen! Was ist, wenn g die Identität ist, dann ist m ein Epimorphismus, da auch f einer ist. Also müßte m und somit f ein Isomorphismus sein. Obiger Satz müßte meiner Meinung nach lauten:

Ist f = m o g, wobei m ein Epimorphismus ist, dann muss g ein Isomorphismus sein.

Da ich mir aber nicht sicher bin, ob ich nicht m und g vertauscht habe, habe ich keine Änderung im Artikel gemacht. Im Monomorphismusartikel gilt selbstverständlich entsprechendes.

Und deshalb verlinke ich auch auf die dortige Diskussion:Monomorphismus. ;) Benutzer:Matthy wird dir sicher weiterhelfen koennen. --SirJective 15:05, 15. Dez 2004 (CET)

nicht-surjektiver Epimorphismus

Den Nachweis, dass die Inklusion IZ -> IQ ein nicht-surjektiver Epimorphismus in der Kategorie der kommutativen unitären Ringe ist, findet man ja an allen Ecken, wenn es darum geht, die Umkehrung der Implikation "surjektiv => epi", die ja in jeder konkreten Kategorie gilt, zu widerlegen.

ABER wieso ist anscheinend noch niemandem aufgefallen, dass da geteilt wird? Man kann die Rechnung so gestalten, dass es in der Kategorie der unitären Integritätsbereiche gilt:

Seien i : IZ -> IQ die Inklusion und a,b : IQ -> R parallele Morphismen in der genannten Kategorie mit ai=bi. Das heißt, dass a,b auf den ganzen Zahlen übereinstimmen. Wenn man nun eine beliebige rationale Zahl p/q hat, so kann man q a(p/q) = q b(p/q) nachrechnen, so folgt aufgrund der Nullteilerfreiheit erst a(p/q)=b(p/q), also die gewünschte Gleichheit a = b.

Darf ich das in dem Artikel korrigieren? (bin neu hier) ---oo- 20:45, 28. Mai 2005 (CEST)

Soweit ich dich verstehe, würde der im Artikel gegebene Beweis auf jeden Fall funktionieren, wenn man sich auf die Kategorie der Integritätsringe beschränkt. Wie könnte man den Beweis ändern, so dass er für die anvisierte Kategorie der komm. Ringe mit 1 gilt? --SirJective 21:06, 28. Mai 2005 (CEST)

Genau, auf die Nullteilerfreiheit kommt es bei dem bisherigen Beweis an. Man kommt aber ohne aus. Also sind a,b Morphismen in der Kategorie der Ringe (man braucht weder eine 1, noch Kommutativität!), die von den rationalen Zahlen ausgehen, und auf den ganzen Zahlen übereinstimmen, so stimmen sie bereits auf den rationalen Zahlen überein:

$a\left({\frac {p}{q}}\right)=a(p)\cdot a\left({\frac {1}{q}}\right)\cdot a(1)=b(p)\cdot a\left({\frac {1}{q}}\right)\cdot b(1)=b(p)\cdot a\left({\frac {1}{q}}\right)\cdot b(q)\cdot b\left({\frac {1}{q}}\right)$

$=b(p)\cdot a\left({\frac {1}{q}}\right)\cdot a(q)\cdot b\left({\frac {1}{q}}\right)=b(p)\cdot a(1)\cdot b\left({\frac {1}{q}}\right)=b(p)\cdot b(1)\cdot b\left({\frac {1}{q}}\right)=b\left({\frac {p}{q}}\right)$

Man hat also ein Gegenbeispiel für epi -> surjektiv sowohl in der Kategorie der Ringe, als auch in der Kategorie der unitären Ringe und in der Kategorie der kommutativen unitären Ringe gefunden.

---oo- 21:25, 28. Mai 2005 (CEST)

Die Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement dürfte vergleichsweise vielen Lesern schon begegnet sein (z.B. Tensorprodukt). Die anderen Kategorien sind mir ziemlich unbekannt. Gibt es da z.B. Koprodukte?--Gunther 15:45, 29. Mai 2005 (CEST)

Ich denke schon. Aber wir können uns ja ruhig im Artikel auf die Kategorie der kommutativen unitären Ringe beschränken. ---oo- 20:10, 29. Mai 2005 (CEST)

Mir ist übrigens nicht ganz klar, was Du oben mit "korrigieren" meinst. Ist irgendetwas falsch?--Gunther 16:17, 29. Mai 2005 (CEST)

Ich möchte mich eigentlich nicht wiederholen, oben steht ja alles. In Ringen kann man i.A. nicht teilen, und das wird bei dem bisherigen Beweis gemacht. ---oo- 19:53, 29. Mai 2005 (CEST)

Du hast auf das Teilen hingewiesen, aber es war für mich nicht klar, dass Du darin einen Fehler siehst. Alle Elemente $\neq 0$ von $\mathbb {Q}$ sind Einheiten, also auch ihre Bilder unter jedem Homomorphismus.--Gunther 20:05, 29. Mai 2005 (CEST)

Kannst du das beweisen? :-) ---oo- 20:10, 29. Mai 2005 (CEST)

Was? Den ersten oder den zweiten Punkt? ;-) --Gunther 20:12, 29. Mai 2005 (CEST)

Sorry, ich sollte nicht so schnell antworten. Also: Das mit den Einheiten stimmt, aber genau davon macht "mein" Beweis (s.o.) Gebrauch. Der bisherige Beweis im Artikel darf so nicht stehen bleiben. ---oo- 20:14, 29. Mai 2005 (CEST)

So besser?--Gunther 20:20, 29. Mai 2005 (CEST)

Ja, es ist besser, aber noch nicht richtig. Wie gesagt, man darf in Ringen i.A. nicht teilen. Das Ergebnis der Division ist aufgrund der nicht immer gegebenen Nullteilerfreiheit uneindeutig. Man kann natürlich ein Ergebnis auswählen, und das machst du da in Wirklichkeit auch, bloß dann ist das keine wirkliche Division mehr. Ich würde es so aufschreiben wie oben, und nicht anders.

Durch Einheiten darf man teilen, das hat nichts mit Nullteilern zu tun. (Teilen ist Multiplizieren mit Inversen, und die Elemente, die Inverse haben, sind gerade die Einheiten. Was Du beschreibst, ist Kürzen, und das geht mit jedem Nichtnullteiler.)--Gunther 20:39, 29. Mai 2005 (CEST)

Gedanken zum Beispiel: nicht surjektiver Monoid-Epimorphismus

Das Beispiel geistert in der einen oder anderen Form in den Versionen dieses Artikels herum.

1. In keiner Version habe ich (oberflächlich gesucht) einen Beleg gefunden. Es wäre schon wünschenswert, dass da einer nachgeliefert wird.
2. Es sieht so aus, als ob die gezeigte Implikation nicht ein so erlesenes Ereignis ist. – Nomen4Omen (Diskussion) 20:29, 13. Aug. 2020 (CEST)