Diskussion:Monomorphismus

Surjektiv, injektiv, Epi-, Monomorphismus

Surjektiv, injektiv, Epi-, Mono-, alles durcheinander. Genau wie beim Artikel Epimorphismus stimmt der Absatz über extremale Morphismen nicht. (Setzte g = Identität, dann muss m offensichtlich kein Iso sein, sondern kann z.B. f selbst sein). Ist hier jemand aktiv, der das verbessern kann? Ich versuche das sonst selbst, auch wenn ich kein Spezialist bin. --CWitte 13:58, 15. Dez 2004 (CET)

Zum kategoriellen Teil sprich bitte mit Benutzer:Matthy, der "sich mit sowas auskennt" (mit ein wenig Aufwand kannst du in der Versionsgeschichte fast immer herausfinden, wer welchen Textteil geschrieben hat). --SirJective 15:04, 15. Dez 2004 (CET)

Schon klar. Ich habe das jetzt korrigiert. Es waren einfach die Definitionen von extremalem Mono- und Epi-morphismus vertauscht.--CWitte 09:23, 17. Dez 2004 (CET)

Ehrlich gesagt habe ich noch nie etwas von extremalen Mono- oder Epimorphismen gehoert. Wer braucht die? Wird das nicht etwas uferlos, wenn man dann auch noch universelle, universell effektive und whatever Mono-/Epimorphismen usw. definiert? --Gunther 14:37, 24. Feb 2005 (CET)

Ich möchte anregen, dass der Unterschied in der Verwendung der Begriffe zwischen universeller Algebra und Kategorientheorie in den beiden Artikeln Epimorphismus und Monomorphismus deutlicher kontrastiert wird. Vielleicht so:?

Gegenüberstellung

(universelle) Algebra	Kategorientheorie
Jeder Monomorphismus ist ein injektiver Homomorphismus und umgekehrt.	Jeder injektive Morphismus ist ein Monomorphismus, aber nicht umgekehrt.
Jeder Epimorphismus ist ein surjektiver Homomorphismus und umgekehrt.	Jeder surjektive Morphismus ist ein Epimorphismus, aber nicht umgekehrt.

Natürlich mag's auch Kategorien geben, die sich „algebraisch“ verhalten, die Begriffe also synonym verwendet werden können, wie z.B. Grp. Gehört da auch die Homologische Algebra zu? Ich habe leider kein Buch dazu und weiß nicht, ob's wirklich so stimmt. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:14, 20. Sep. 2013 (CEST)

Zu begrüßen wäre etwas derartiges wahrscheinlich. Aber: die rechte Spalte der Tabelle ist insofern komisch, dass Morphismen nicht zwangsläufig Funktionen sind oder etwas, das ähnlich genug ist, um "surjektiv" und "injektiv" genannt werden zu können. Die Begriffe Epimorphismus und Monomorphismus sind aber in allen Kategorien sinnvoll.

Kurz etwas anderes, aber dennoch halbwegs zum Thema gehörendes, angeschnitten: Ich überlege schon 'ne Weile, wo eine Tabelle dieser Art hingebaut werden könnte,

	Postkomposition von f ist...	Präkomposition von f ist...
...injektiv	f ist mono	f ist epi
...surjektiv	f ist split epi	f ist split mono

um die KT-Begriffe klar zu kriegen und möglichst schnell Vorurteile auszuräumen.

(die Tabelle geht allerdings davon aus, dass über eine konkrete Kategorie angereichert ist -- nicht sooo schlimm, denke ich)

Die deutsche Vokabel für "split epi", die ich kenne, ist "Retraktion". Ebenso "Koretraktion" für "split mono".

Schön wäre es, wenn es für das Adjektiv "split" allein etwas gebräuchliches gibt, denn split monos sind monos und split epis sind epis.

Sachdienliche Hinweise willkommen. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:49, 16. Nov. 2013 (CET)

Abstrakte Algebra

Ist es wirklich ueblich, die Begriffe Mono-/Epimorphismus im Sinne von In-/Surjektion zu verwenden, wenn das fuer die kategoriellen Begriffe nicht zutrifft? Ansonsten koennte man die beiden Artikel etwas straffen und den Eindruck vermeiden, die Mathematiker koennten sich nicht einigen... --Gunther 14:37, 24. Feb 2005 (CET)

Ich habe diese Bezeichnungen in meiner Algebra-Vorlesung gelernt, und sie werden anscheinend auch in einigen anderen Vorlesungen verwendet. Ich kann aber derzeit kein Buch nennen, das diese Bezeichnungen verwendet (meine schreiben stattdessen von injektiven und surjektiven Homomorphismen). Daher kann ich nicht sagen, ob und wo es üblich ist. Eine Netzsuche liefert bei mathworld:

"In the categories of sets, groups, modules, etc., a monomorphism is the same as an injection, and is used synonymously with "injection" outside of category theory."

In welcher Weise könnte der Artikel gestrafft werden? Es ist ja außer Beispielen kaum etwas da. :-(

Mit dem "nicht einigen" hast du schon recht. Der englische Artikel stellt den Zusammenhang zwischen den Begriffen stärker heraus.

--SirJective 18:41, 24. Feb 2005 (CET)

Inzwischen habe ich mal in Algebraische Struktur hineingeschaut, und fuer algebraische Strukturen (die nur mithilfe von Limites definiert sind) ist Monomorphismus und Injektion synonym, denke ich. Mich stoert deshalb vor allem Epimorphismus. Ok, das gehoert eigentlich auf Diskussion:Epimorphismus, aber kategoriell ist da ja eh kein Unterschied ;-) Straffen: nicht injektive Homomorphismen klaeren IMNSHO nichts, Cauchy-Folgen gehören nicht hierher, zu extremalen Monos/Epis siehe anderer Abschnitt. Stattdessen neu: Kern = 0.--Gunther 01:12, 26. Feb 2005 (CET)

Neben den Beispielen hätt ich schon gern auch ein Gegenbeispiel, einfach um klarer zu machen, worum es geht. Vielleicht finden wir ja ein Beispiel/Gegenbeispiel-Paar, das sich etwas ähnlicher ist.

Die Einbettung der rationalen in die reellen Zahlen durch die Abbildung auf die konstante Folge könnte man kürzen. Willst du sie ganz weglassen?

Die Aussage "f injektiv <=> ker f = 0" steht versteckt bereits in Homomorphismus und Gruppenhomomorphismus, sie sollte aber auch hier erklärt werden, da hast du recht. --SirJective 13:07, 26. Feb 2005 (CET) Edit 17:58, 28. Feb 2005 (CET)

Ja, ich würde die Cauchy-Folgen ganz weglassen, das Beispiel ist so kompliziert, dass man am Ende schon vergessen hat, welchen Artikel man gerade liest ;-) Abgesehen davon sind Körperhomomorphismen immer injektiv. Das könnte man erwähnen, aber der Durchschnittsleser kennt vermutlich nicht so viele Körper...--Gunther 19:38, 28. Feb 2005 (CET)

Guter Punkt. :) --SirJective 23:18, 28. Feb 2005 (CET)

Ich war heute in der Bibliothek und hab in ein paar LinAlg- und Algebra-Bücher geschaut. Ein einzige hab ich gefunden (von etwa 10), das Monomorphismus und Epimorphismus als spezielle Vektorraum-Homomorphismen definiert: Fischer, Lineare Algebra, irgendeine Auflage aus den 1970ern. Darin werden diese Begriffe als "üblich, aber eigentlich überflüssig" bezeichnet. Ich hab auch beim Überfliegen nicht gesehen, dass sie dort verwendet werden. Die 12. Auflage von 2000 definiert diese beiden Begriffe nicht mehr. Ein LinAlg-Buch von 1984 bezeichnete den Begriff "Homomorphismus" als veraltet ("in der älteren Literatur auch Homomorphismus genannt") und schrieb von "Gruppenmorphismen". *g*

In der Lehre werden diese beiden Begriffe aber anscheinend weiterhin verwendet. Da stört auch der Bezeichnungskonflikt mit der kategoriellen Sichtweise nicht, weil die da noch ganz weit weg ist. --SirJective 17:58, 28. Feb 2005 (CET)

"Veraltet" ist nett :-)

Mein ursprünglicher Punkt war ein anderer: Gibt es wirklich Fälle, in denen kategorieller und abstrakt-algebraischer Begriff voneinander verschieden sind, und in denen dann "Mono-/Epimorphismus" in der Bedeutung der abstrakten Algebra verwendet wird? Das einzige Beispiel für unterschiedliche Bedeutungen, das ich kenne, sind Ringepimorphismen. Frage also: Hat schon mal jemand gesehen, wie ein Ringepimorphismus als surjektiver Ringhomomorphismus definiert wird? Oder kennt jemand noch weitere Beispiele von Strukturen/Kategorien, für die die beiden Begriffe verschieden sind?--Gunther 19:20, 28. Feb 2005 (CET)

Ich verstehe (jetzt) was du meinst. Ein Algebra-II-Skript hab ich bisher gefunden, das "Ringepimorphismus" für einen surjektiven Ringhomomorphismus verwendet:

www.mathe2.uni-bayreuth.de/lina02/ Kapitel 2.5, Seite 72, und Kapitel 7.1, Seite 292.

Für Monoide sind die Begriffe doch auch verschieden, oder? (Die Einbettung N_0 -> Z ist lt. en:Epimorphism ein kategorieller Monoid-Epimorphismus.) Der Begriff wird dort ebenfalls algebraisch definiert (ob er verwendet wird, hab ich nicht geschaut).

Mit weiteren Strukturen kann ich nicht dienen. --SirJective 23:18, 28. Feb 2005 (CET)

Ok, dann muss die Struktur wohl im wesentlichen so bleiben. Danke für die Mühe.--Gunther 15:38, 13. Mär 2005 (CET)

Allerdings zeugt das Skript nicht gerade davon, dass sich da jemand mit anderen Mathematikern unterhalten können möchte ("Charakteristik unendlich").--Gunther 16:57, 13. Mär 2005 (CET)

Ich hab Matthy schon angesprochen, mal sehen, ob er was beitragen kann :) --SirJective 18:48, 13. Mär 2005 (CET)

Immerhin ist mir inzwischen klar, dass die beiden Monomorphiebegriffe zusammenfallen, falls es für die algebraische Struktur freie Objekte gibt. Leider sagt die englische Seite zur Existenz nicht gerade viel. Ich mache mich mal kundig.--Gunther 15:13, 21. Mär 2005 (CET)

Ok, laut Cohn (Universal Algebra) besitzt jede variety (= equationally definable class im Sinne von Tarski = primitive class im Sinne von Malcev) freie Objekte $F(X)$ über einer Menge $X$. Damit folgt

$Hom(F(*),A)=Hom(*,A)=A$

für jede Algebra $A$ und eine einelementige Menge *. Ist also ein Homomorphismus ein Monomorphismus, so ist er injektiv. Die umgekehrte Richtung ist trivial.

Leider gibt algebraische Struktur keine Definition, aber ich bin mir sehr sicher, dass dort variety gemeint ist. variety bei Cohn ist die Klasse aller Algebren, die eine gewissen Menge von "Gleichungen" erfüllen.--Gunther 19:02, 23. Mär 2005 (CET)

Bei dem Kategorien bin ich ein wenig ins Schleudern geraten, weil die Bild und Definitionsbereiche nicht stimmen, falls man die Komposition von Rechts nach Links ließt. Ich weiß nicht wie es richtig richtig heißen sollte. Kann jemand helfen? 13. Feb 2006

Danke für den Hinweis, das mussten natürlich zwei Morphismen mit Ziel X und nicht zwei mit Quelle Y sein.--Gunther 14:46, 14. Feb 2006 (CET)

Beispiel eines nicht injektiven Monomorphismus

IMHO muss die Argumentation für das Beispiel eine Lücke haben. Angenommen, man erwischt die triviale Gruppe 0, die sicherlich teilbar ist, als teilbare Gruppe X. Dann sind alle Morphismen $a,b:X\to \mathbb {Q}$ gleich dem trivialen Morphismus 0 und es kann niemals $a\neq b$ sein. Trotzdem ist nichts bewiesen, weil, um $a=b$ zu beweisen, besondere Eigenschaften von $\pi :\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ überhaupt nicht zum Zuge gekommen sind. Am Ende müssten alle (und nicht nur nicht-injektive und auch nicht nur surjektive) Morphismen π monomorph sein.
Wahrscheinlich braucht's ein Beispiel für ein nicht-triviales teilbares X. --Nomen4Omen (Diskussion) 10:11, 17. Sep. 2013 (CEST)

Übrigens das gleiche Problem in en:Monomorphism und in fr:Monomorphisme, denn es kann nicht genügen, dass "G is some divisible group" oder "G est un groupe abélien divisible", siehe G=0. (Beide haben G, wo die Deutschen X haben.) --Nomen4Omen (Diskussion) 14:58, 17. Sep. 2013 (CEST)

$\pi$ ist festgelegt. In dem Kontext wird gezeigt, dass $\pi$ mono ist, also:

$\forall X\in \mathbf {Div} .\ \forall a,b\colon X\to \mathbb {Q} .\ \pi \circ a=\pi \circ b\Rightarrow a=b$.

Im Artikel geschieht dies, indem gezeigt wird, dass für beliebige $X\in \mathbf {Div}$ und $a,b\colon X\to \mathbb {Q}$ mit $\pi \circ a=\pi \circ b$ gilt

$a\neq b\Rightarrow \bot$.

In klassischer Logik ist das äquivalent. Die $X$, wo $a\neq b$ unmöglich ist (klassisch a.k.a.: $a=b$ gilt immer), machen keine Probleme, denn erstens wird im Beweis von dieser Eigenschaft kein Gebrauch gemacht, und zweitens könnte man für sie als Sonderfall trivialerweise ebenfalls $a\neq b\Rightarrow \bot$ zeigen.

(Es wird auch nicht erst irgendein X fixiert, und dann nur mit seiner Hilfe gezeigt, dass pi mono ist. Kommt das etwa so rüber?) --Daniel5Ko (Diskussion) 19:37, 17. Sep. 2013 (CEST)

@Daniel5Ko: Vielen Dank für die Erläuterung! Es hat geholfen. Mein Hangup war, dass ich das "Sei dazu X irgendeine teilbare Gruppe und $a,b:X\to \mathbb {Q}$ zwei Morphismen mit der Eigenschaft $\pi \circ a=\pi \circ b$." als Existenz-Quantor missverstanden habe. Mehr Chance, das als Universal-Quantor aufzufassen, hätte ich mit der Formuierung "Denn ist X eine teilbare Gruppe und sind $a,b:X\to \mathbb {Q}$ zwei Morphismen mit der Eigenschaft $\pi \circ a=\pi \circ b$, dann ..." gehabt.
Der Sachverhalt ist ja letztlich elementar:

$\forall a\in \mathbb {Q} \left((\forall x\in \mathbb {Q} :a\cdot x\in \mathbb {Z} )\Rightarrow a=0\right)$,

was (wie ja auch überall) am einfachsten durch Kontraposition eingesehen wird:

$\forall a\in \mathbb {Q} \left(a\neq 0\Rightarrow (\exists x\in \mathbb {Q} :a\cdot x\notin \mathbb {Z} )\right)$.

Man nehme nur $x=(a\cdot n)^{-1}$ mit $n\in \mathbb {N} \wedge n>1$. --Nomen4Omen (Diskussion) 09:56, 18. Sep. 2013 (CEST)

Nun ja, wenn klar ist, was bewiesen werden muss (was man ja ein Stück weiter oben im Artikel nachlesen kann; aber vielleicht ist die Formulierung dort auch schon suboptimal weil zu wenig formal?), gibt es eigentlich kaum die Chance eines Missverständnisses. Trotzdem kann man natürlich optimieren. Mach doch mal! :D --Daniel5Ko (Diskussion) 19:53, 18. Sep. 2013 (CEST)

Unterobjekte

Auf jeden Fall sollte man sagen, was ${\mathcal {C}}$ ist oder sein soll. --Nomen4Omen (Diskussion) 10:30, 29. Jun. 2014 (CEST)

Okay... --Daniel5Ko (Diskussion) 12:18, 29. Jun. 2014 (CEST)