Diskussion:Ergodenzerlegung

Messbarkeit von beta

Im Artikel wird $E^{G}(X)$ mit der Potenzmenge als σ-Algebra versehen und damit die Messbarkeit von $\beta$ gefordert. Ich hab jetzt nicht genauer nachgesehen, aber ich zweifle ein bisschen, ob das so klappen kann, oder ob man nicht eine kleinere σ-Algebra verwendet. Reicht es evtl. aus, zu fordern, dass $\beta$ ein Markow-Kern ist? Grüße -- HilberTraum (d, m) 13:17, 12. Okt. 2015 (CEST)

Die Messbarkeit bedeutet einfach nur, dass alle $X_{\eta }=\beta ^{-1}(\eta )$ messbar sein sollen. Das ist eigentlich im zweiten Punkt explizit gefordert, so dass man es vorher auch weglassen könnte. Aber doppelt hält vielleicht besser. :-) --Pugo (Diskussion) 14:20, 12. Okt. 2015 (CEST)

Na ja, die Messbarkeit von $\beta$ bedeutet ja per Definition, dass sogar $\beta ^{-1}(M)$ für alle Teilmengen $M\subset E^{G}(X)$ messbar ist, was erst mal (je nach Mächtigkeit von $E^{G}(X)$) viel „mehr“ ist als die Messbarkeit aller $X_{\eta }=\beta ^{-1}(\eta )$. Wenn man allerdings nur Letzteres voraussetzt, ist mMn noch nicht klar, dass für alle messbaren $A\subset X$ die Abbildung $X\ni x\mapsto \beta _{x}(A)\in [0,1]$ messbar ist. Das braucht man aber für die Integralformel, hm. -- HilberTraum (d, m) 15:11, 12. Okt. 2015 (CEST)

Ich habe noch mal in einer anderen Quelle http://www.cimat.mx/~albarran/documentos/ergodicdesc.pdf nachgeschaut: man nimmt tatsächlich die schwach-*-Topologie auf dem Raum der Maße. Ich baue das gleich in den Artikel ein.--Pugo (Diskussion) 15:21, 12. Okt. 2015 (CEST)

Danke! Also doch relativ kompliziert ;-) -- HilberTraum (d, m) 16:53, 12. Okt. 2015 (CEST)

Jetzt muss ich leider nochmal nörgeln ;-) aber $M^{G}(X)$ ist ja kein Vektorraum. Man müsste also $E^{G}(X)$ und $M^{G}(X)$ als Teilmengen eines geeigneten Vektorraums signierter Maße auffassen. Danke -- HilberTraum (d, m) 17:06, 12. Okt. 2015 (CEST)

Jetzt steht's drin. Ich nehme an, dass man das Resultat auch mit Maßen statt signierten Maßen formulieren kann, aber dafür muß ich erst noch eine Quelle suchen.--Pugo (Diskussion) 18:05, 12. Okt. 2015 (CEST)

So passte das aber gar nicht. Ich hab’s mal grob repariert und schaue mir die genauen Voraussetzungen morgen nochmal genauer an. Grüße -- HilberTraum (d, m) 19:23, 12. Okt. 2015 (CES

Die beiden Formulierungen dürften schon äquivalent sein, denn die Ergodenzerlegung eines signierten Maßes gibt als positiven/negativen Anteil die Ergodenzerlegungen der beiden Maße,,deren Differenz das signierte Mas ist. Das folgt zum Beispiel aus der Eindeutigkeit der Ergodenzerlegung. Aber so wie es jetzt im Artikel steht kann es schon stehenbleiben.

Abschnitt zur Eindeutigkeit jetzt ergänzt.--Pugo (Diskussion) 08:30, 13. Okt. 2015 (CEST)

Ok, dann fehlt aber entweder etwas im Artikel oder ich habe etwas Grundlegendes nicht verstanden. Die Ergodenzerlegung wird ja in der Definition nur für Wahrscheinlichkeitsmaße angegeben, aber nicht für beliebige Maße oder gar signierte Maße. Wenn ich nichts übersehen habe, werden auch in den drei angegebenen Quellen im Zusammenhang mit der Ergodenzerlegung nur Wahrscheinlichkeitsmaße betrachtet. -- HilberTraum (d, m) 13:23, 13. Okt. 2015 (CEST)

So wie ich es verstehe funktioniert der Beweis für signierte Wahrscheinlichkeitsmaße. Wegen der Eindeutigkeit und $\mu ^{\pm }=max(0,\pm \mu )$ ergibt sich die Ergodenzerlegung von $\mu ^{\pm }$ gerade als (punktweise) positiver/negativer Anteil der Ergodenzerlegung von $\mu$, insbesondere kommen in der Ergodenzerlegung eines (nicht-signierten) Wahrscheinlichkeitsmaßes nur Wahrscheinlichkeitsmaße vor.--Pugo (Diskussion) 14:42, 13. Okt. 2015 (CEST)

Ok, dann müssten wir erstmal einen Schritt zurückgehen und klären, was denn ein signiertes Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Es gibt zwar ein paar Google-Fundstellen zu signed probability measure, aber ich hatte vorher noch nie davon gehört. Außerdem sehe ich nicht mal ansatzweise, wie sich solche Aussagen in den angegebenen Quellen finden lassen. -- HilberTraum (d, m) 15:10, 13. Okt. 2015 (CEST)

Einfach nur ein signiertes Maß, das auf dem Gesamtraum den Wert 1 annimmt. Die Zerlegung signierter Maße als Differenz zweier Maße wurde von den Autoren wahrscheinlich als selbstverständlich angesehen. (letztendlich muss wie gesagt aus der Eindeutigkeit der Ergodenzerlegung folgen, dass in der Ergodenzerlegung eines Maßes nur Maße vorkommen. Oder vielleicht ergibt sich das auch schon direkt aus dem Beweis, aber das ist mir jetzt nicht klar.) Wir verwenden es ja in unserer Formulierung des Satzes gar nicht, insofern sehe ich jetzt nicht das Problem. Die jetzt im Artikel stehende Formulierung des Satzes ist doch durchaus die aus den Quellen.--Pugo (Diskussion) 15:28, 13. Okt. 2015 (CEST)

Jupp, mit vereinten Kräften nähert sich’s den Quellen an ;) Das Problem mit den signierten Maßen dürfte vor allem sein, dass ein signiertes Wahrscheinlichkeitsmaß in diesem Sinne, ja gerade nicht die Differenz zweier (nichtsignierter) Wahrscheinlichkeitsmaße ist. -- HilberTraum (d, m) 16:04, 13. Okt. 2015 (CEST)

Ja, das stimmt natürlich. Aber der Begriff kommt ja jetzt im Artikel auch gar nicht vor.

Abgesehen davon kann man schon eine Ergodenzerlegung für signierte Maße definieren, nämlich auf die offensichtliche Weise als Differenz der Ergodenzerlegungen von $\mu ^{\pm }$. Man braucht halt, dass beide sich zu W-Maßen skalieren lassen (oder Null sind). Aber das muss wohl nicht in den Artikel.

Ich hatte nur gemeint, dass man die signierten Masse vielleicht braucht, um den Satz von Choquet anwenden zu können. Aber das ist eine Frage der Beweistechnik und spielt für die Formulierung des Satzes keine Rolle.--Pugo (Diskussion) 16:16, 13. Okt. 2015 (CEST)