In der Theorie dynamischer Systeme , spezieller der Theorie maßerhaltender Abbildungen , ist die Ergodenzerlegung ein wichtiges Hilfsmittel, um die Untersuchung allgemeiner dynamischer Systeme auf die Untersuchung ergodischer Systeme zurückführen zu können.
Im Allgemeinen lassen sich invariante Maße nicht einfach als Summe oder Linearkombination ergodischer Maße zerlegen, sondern man braucht kompliziertere Zerlegungsabbildungen, bei denen über den Raum der ergodischen Maße integriert werden muss.
Es sei
(
X
,
ω
)
{\displaystyle (X,\omega )}
Standard-Borel-Raum mit einer messbaren Wirkung einer Gruppe
G
{\displaystyle G}
Wir bezeichnen mit
M
G
(
X
)
{\displaystyle M^{G}(X)}
G
{\displaystyle G}
lokal-konvexen ) topologischen Vektorraums der signierten Radon-Maße mit der schwach-*-Topologie und der Borelschen σ-Algebra . Weiter sei
E
G
(
X
)
⊂
M
G
(
X
)
{\displaystyle E^{G}(X)\subset M^{G}(X)}
kompakte und konvexe ) Unterraum der ergodischen Wahrscheinlichkeitsmaße.
Eine Zerlegungsabbildung ist eine messbare Abbildung
β
:
X
→
E
G
(
X
)
{\displaystyle \beta \colon X\to E^{G}(X)}
x
↦
β
x
{\displaystyle x\mapsto \beta _{x}}
mit folgenden Eigenschaften:
für alle
g
∈
G
,
x
∈
X
{\displaystyle g\in G,x\in X}
β
g
x
=
β
x
{\displaystyle \beta _{gx}=\beta _{x}}
für alle
η
∈
E
G
(
X
)
{\displaystyle \eta \in E^{G}(X)}
X
η
:=
β
−
1
(
η
)
{\displaystyle X_{\eta }:=\beta ^{-1}(\eta )}
messbar und
η
(
X
η
)
=
1
{\displaystyle \eta (X_{\eta })=1}
für alle
μ
∈
M
G
(
X
)
{\displaystyle \mu \in M^{G}(X)}
A
⊂
X
{\displaystyle A\subset X}
μ
(
A
)
=
∫
X
β
x
(
A
)
d
μ
(
x
)
{\displaystyle \mu (A)=\int _{X}\beta _{x}(A)d\mu (x)}
Es sei
G
{\displaystyle G}
abzählbare Gruppe und
(
X
,
ω
)
{\displaystyle (X,\omega )}
Standard-Borel-Raum mit einer messbaren Wirkung der Gruppe
G
{\displaystyle G}
M
G
(
X
)
≠
∅
{\displaystyle M^{G}(X)\not =\emptyset }
E
G
(
X
)
≠
∅
{\displaystyle E^{G}(X)\not =\emptyset }
β
:
X
→
E
G
(
X
)
{\displaystyle \beta \colon X\to E^{G}(X)}
Die Ergodenzerlegung ist eindeutig in folgendem Sinne:
Wenn
β
,
β
′
:
X
→
E
G
(
X
)
{\displaystyle \beta ,\beta ^{\prime }\colon X\to E^{G}(X)}
β
x
=
β
x
′
{\displaystyle \beta _{x}=\beta _{x}^{\prime }}
x
∈
X
∖
N
{\displaystyle x\in X\setminus N}
N
{\displaystyle N}
μ
(
N
)
=
0
{\displaystyle \mu (N)=0}
μ
∈
M
G
(
X
)
{\displaystyle \mu \in M^{G}(X)}
Für
α
=
e
2
π
i
/
n
,
n
∈
N
{\displaystyle \alpha =e^{2\pi i/n},n\in \mathbb {N} }
G
=
Z
{\displaystyle G=\mathbb {Z} }
X
=
S
1
⊂
C
{\displaystyle X=S^{1}\subset \mathbb {C} }
(
m
,
z
)
→
α
m
z
{\displaystyle (m,z)\to \alpha ^{m}z}
m
∈
Z
,
z
∈
S
1
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,z\in S^{1}}
z
∈
S
1
{\displaystyle z\in S^{1}}
X
β
z
=
{
z
,
α
z
,
α
2
z
,
…
,
α
n
−
1
z
}
{\displaystyle X_{\beta _{z}}=\left\{z,\alpha z,\alpha ^{2}z,\ldots ,\alpha ^{n-1}z\right\}}
und
β
z
{\displaystyle \beta _{z}}
Gleichverteilung auf der endlichen Menge
X
β
z
{\displaystyle X_{\beta _{z}}}
Sei
α
∈
S
1
⊂
C
{\displaystyle \alpha \in S^{1}\subset \mathbb {C} }
keine Einheitswurzel und die Wirkung von
G
=
Z
{\displaystyle G=\mathbb {Z} }
X
=
S
1
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle X=S^{1}\times \left[0,1\right]}
(
m
,
(
z
,
t
)
)
→
(
α
m
z
,
t
)
{\displaystyle (m,(z,t))\to (\alpha ^{m}z,t)}
m
∈
Z
,
(
z
,
t
)
∈
S
1
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,(z,t)\in S^{1}\times \left[0,1\right]}
(
z
,
t
)
∈
S
1
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle (z,t)\in S^{1}\times \left[0,1\right]}
X
β
(
z
,
t
)
=
S
1
×
{
t
}
{\displaystyle X_{\beta _{(z,t)}}=S^{1}\times \left\{t\right\}}
und
β
(
z
,
t
)
{\displaystyle \beta _{(z,t)}}
Lebesgue-Maß ) auf
S
1
{\displaystyle S^{1}}
V. S. Varadarajan : Groups of automorphisms of Borel spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 109 (1963), 191–220. pdf 
![{\displaystyle X=S^{1}\times \left[0,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468bef13b24ff7c9b4c9e711e070c091677f0c89)
![{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,(z,t)\in S^{1}\times \left[0,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93b8f0abaa253439dda33398750292ea424ff96)
![{\displaystyle (z,t)\in S^{1}\times \left[0,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed21ef65803d52aeab274e8bb417fec24994630)
