Diskussion:Euler-Maclaurin-Formel

Noch nicht alles klar

mir fehlt momentan leider das große mathematische Hintergrundwissen um die Euler-Maclaurin-Formel in ihrer Gänze zu begreifen und hier zu beschreiben, sobald ich mehr weiß werde ich diesen Artikel verbessern, im Moment habe ich sie nur aus einem Buch abgeschrieben. Hoffe das genügt für einen Stub... --DocBorn 13:33, 2. Jul 2006 (CEST)

Ich wäre dankbar wenn ich auch erfahren könnte wüfür man die Formel braucht ;) --Roterraecher 13:34, 2. Jul 2006 (CEST)

ALLES ist (fast) nie klar, aber ich hoffe ich habe einiges korrekter, klarer und brauchbarer gemacht. Zumindest bilde ich mir ein den Durchblick haben zu sollen. *LOL Achim1999 (Diskussion) 18:57, 28. Sep. 2012 (CEST)

Anwendung

habe herausgefunden, dass die Formel einen Fehler für die Trapezregel liefert, aber mir ist noch nicht klar wie sie sich auf höhere Fälle verallgemeinern lässt.--DocBorn 22:11, 2. Jul 2006 (CEST)

Man kann Euler-Maclaurin auf die summierte Trapezregel anwenden und erhält dann eine Entwicklung des Quadraturfehlers nach der Schrittweite $h$, da sich in der Summe die Ableitungen zu aneinander angrenzenden Intervallen jeweils aufheben. Mit dieser Entwicklung kann man dann beispielsweise zeigen, dass die Extrapolation funktioniert, die der Romberg-Quadratur zugrunde liegt.

Umgekehrt kann man Euler-Maclaurin auch einsetzen, um die Gaußsche Summenformel auf höhere Potenzen zu verallgemeinern: Man setzt $g(x)=x^{m}$ und stellt fest, dass für $2k+2>m$ der Restterm wegfällt, also Integral und Summe übereinstimmen. Das Integral über $g$ lässt sich per Potenzregel einfach berechnen, die paar hinzukommenden Korrekturterme auch. Sboerm (Diskussion) 17:20, 18. Jan. 2015 (CET)

Fehler in Formel ?

Ich frage mich ob es ein Fehler ist in der Formel :

$\int _{0}^{1}g(t)\,\mathrm {d} t={\frac {g(0)}{2}}+{\frac {g(1)}{2}}+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(g\,^{(2k-1)}(0)-g\,^{(2k-1)}(1)\right)-{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)!}}g\,^{(2m+2)}(\xi )$ ?

Es söllte sein :

$\int _{0}^{1}g(t)\,\mathrm {d} t={\frac {g(0)}{2}}+{\frac {g(1)}{2}}+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(g\,^{(2k-1)}(1)-g\,^{(2k-1)}(0)\right)-{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)!}}g\,^{(2m+2)}(\xi )$.

--Cbigorgne 20:52, 19. Dez. 2011 (CET)

Yep. Kann man in jeder besseren Formelsammlung (ohne Druckfehler) nachschlagen, oder (noch besser!) sich eben selbst ueberlegen in dem man nur bis zur Ordnung 1+1=2 approximiert. Achim1999 (Diskussion) 17:00, 28. Sep. 2012 (CEST)

Defekter Weblink (erl.)

– GiftBot (Diskussion) 02:55, 5. Sep. 2012 (CEST)

Integral-Restglied

Ich bastele gerade an einer Übungsaufgabe zum Thema Euler-Maclaurin und erhalte als Restglied

${\frac {1}{(2m+2)!}}\int _{0}^{1}f^{(2m+2)}(x)B_{2m+2}(x)\,dx$

mit dem Bernoulli-Polynom $B_{2m+2}$.

Gibt es einen einfachen Weg von diesem Integral-Restglied zu dem schöneren, das im Artikel genannt ist? Wäre es unter Umständen sinnvoll, auch das Integral-Restglied im Artikel zu erwähnen? Sboerm (Diskussion) 19:03, 4. Jan. 2015 (CET)

Restglied

Achso ok, du meinst mit "effektiv" das Restglied in Integraldarstellung im Gegensatz zur Darstellung mit einer nicht näher bekannten Zwischenstelle. Aber so herum wie momentan beschrieben kann doch eigentlich die Herleitung sowieso nicht funktionieren. Man müsste doch wohl erst die Integraldarstellung herleiten/beweisen und daraus mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung die Zwischenstellendarstellung folgern, oder habe ich da was übersehen? -- HilberTraum (Diskussion) 13:33, 16. Okt. 2012 (CEST)

Ich meinte den Bezug zum Restglied im Abschnitt davor ${\frac {B_{2k+2}}{(2k+2)!}}g\,^{(2k+2)}(\xi )$ und effektiv in Bezug zum ineffektiven Wert $g\,^{(2k+2)}(\xi )$. Zur Herleitung: dies ist eine woertlich 1:1 Uebernahme (meines Vorgaengers) aus dem Stoer, S.114. Dort stehen auch "deine" Beweise. Achim1999 (Diskussion) 14:33, 16. Okt. 2012 (CEST)

Aber der Abschnitt "Die übliche Fassung obiger Summenformel mit effektiver Restgliedangabe erhält man, indem man sie umformt zu ...", in dem man angeblich aus der Formel mit $\xi$-Restglied die Version mit Integralrestglied bekommen soll, kann doch nicht stimmen (und findet sich auch nicht bei Stoer oder in der Vorgängerfassung). Dieser Schluss kann doch nur in der umgekehrten Richtung funktionieren. -- HilberTraum (Diskussion) 16:46, 16. Okt. 2012 (CEST)

Natuerlich, wenn es eine Aequivalenzumformung NUR aus ihr waere, waere es ja doch eine Methode $g\,^{(2k+2)}(\xi )$ effektiv zu bestimmen. Kurz: die Umformung ist das Aufloesen nach der Summe statt des Integrals und der Restgliedterm mit dem $g\,^{(2k+2)}(\xi )$ wird "weggeschmissen" und dann voellig neu bestimmt - so wird umgeformt. Der neue Restterm $R_{2k}(m,n)$ ist dann aber effektiv. Nun darfst du das gerne sprachlich weniger missverstaendlich formulieren unter der Betonung der "Effektivitaet" des neu gewonnen Restglieds, IMHO. Achim1999 (Diskussion) 17:01, 16. Okt. 2012 (CEST)

PS: ich persoenlich sehe da eigentlich keine Missverstaendlichkeit, da ja der erste Umform schritt, mit Erhaltung von $g\,^{(2k+2)}(\xi )$ voellig korrekt ist. Das ersetzen des Restglieds geschiecht ja auch erst danach wenn $g$ durch $f$ ersetzt wird - also syntaktisch und semantisch alles formal in Ordnung, IMHO. Achim1999 (Diskussion) 17:07, 16. Okt. 2012 (CEST)

Also ich find's extrem verwirrend. Der ganze Abschnitt liest sich so, als wolle er darstellen, wie man von der angegebenen Formel zur Integralapproximation zur Formel für die Summenapproximation mit Integralrestglied kommen könnte. Das kann aber nicht funktionieren. Die verständliche Reihenfolge kann doch nur so sein: Für das Integral über [0,1] gibt es eine Summenformel mit Restglied R. Für R gibt es zwei Darstellungen: als Integral (Formel A) und mit Zwischenstelle $\xi$ (Formel B). Wenn man nun Formel A (und nicht Formel B) verschiebt und aufsummiert, erhält man eine Approximation für das Integral über [m,n] mit Integralrestglied und dann durch einfaches Umstellen die Formel für die Summenapproximation (Formel C). -- HilberTraum (Diskussion) 19:20, 16. Okt. 2012 (CEST)

"kann doch nur " .... sehr bestimmt. Aber ich sagte ja: Du kannst ihn gerne besser, sprich verständlicher formulieren/umschreiben - ich hatte mich ja nur über dem Wegfall des "effektiv" mockiert. :) Achim1999 (Diskussion) 19:34, 16. Okt. 2012 (CEST)

Ich war so bestimmt, weil ich momentan echt nicht viel Lust habe, mich durch die ganzen Indizes zu kämpfen und deshalb dich motivieren wollte nochmal Hand anzulegen :) -- HilberTraum (Diskussion) 19:41, 16. Okt. 2012 (CEST)

Aber Du scheinst ja eine genaue Vorstellung zu haben wie man es denn besser darstellen kann - und die Indizes sind ja nun nicht wirklich schwierig zu transformieren. Ich musste mich auch in die Notation vom Stoer reindenken, als ich das dort prüfte - hätte ich auch alles löschen können und meine eigene Präsentation wählen. ;) Achim1999 (Diskussion) 19:58, 16. Okt. 2012 (CEST)

Formel mit zeta-Funktion unklar

Ich kann die erste Formel im Abschnitt 'Anwendungen' nicht nachvollziehen. Genauer gesagt, das zweite Gleichheitszeichen in dieser Formel. Das Auftreten der zeta-Funktion an dieser Stelle ist aus dem Vorangehenden nicht ersichtlich. Auch die nächste hervorgehobene Formel ist wenig sinnvoll, stellt sie doch einfach die Definition von zeta dar (zu sagen 'man erhält den Grenzwert' und 'den Euler erstmals ... bestimmte' suggeriert etwas anderes). Vielleicht kann das jemand mal richtigstellen. Auch der erste Teil der Formel (der ersten Formel in 'Anwendungen') ist seltsam, da die Reihe nicht konvergiert und auch als asymptotische Reihe für n gegen unendlich keinen Sinn macht (ohne den Term -1 in der Klammer wäre es ok, aber mit diesem Term nicht). Nur im Fall natürlicher Zahlen a gibt es kein Problem. --DG-on-WP (Diskussion) 19:55, 9. Aug. 2013 (CEST)