Diskussion:Freie abelsche Gruppe

frei abelsch !=> frei?

Einleitender Text: "Man beachte, dass eine freie abelsche Gruppe nicht dasselbe ist wie eine freie Gruppe, die abelsch ist." Abschnitt Definition : "Die abelsche Gruppe $F$ heißt frei über $B\subset F$, wenn …" Könnte bitte jemand ein Beispiel für eine Gruppe, die frei abelsch aber nicht abelsch und frei ist anführen? Mich verwirrt das gerade sehr. --Ergor.en (Diskussion) 15:19, 1. Feb. 2014 (CET)

Zum Beispiel $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ ist frei abelsch, aber nicht frei. Bis auf Spezialfälle (nur die triviale Gruppe und $\mathbb {Z}$) sind ja freie Gruppen nicht abelsch. -- HilberTraum (Diskussion) 19:14, 1. Feb. 2014 (CET)

Zur Definition

• Meiner Ansicht nach stimmt die Definition so nicht. Zumindestens ist sie verwirrend. Beispiel: Sei $A=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$. Dann lässt sich jedes Element aus eindeutig als Linearkombination der Basiselemente ${\vec {e_{1}}}=(1,0),{\vec {e_{2}}}=(0,1)$ schreiben. Aber $A$ ist keineswegs eine freie abelsche Gruppe.
• Begriffe wie Bloch Gruppe oder singuläre Homologie haben in der Definition eines fundamentalen Begriffes nichts zu suchen. Sie können später unter einem Abschnitt Weiterführendes erwähnt werden aber bei der Definition haben sie nichts verloren
• Mein Vorschlag zur Definition. $F$ ist frei zur Basis $B$, wenn $F=\oplus _{b\in B}{\vec {b}}\mathbb {Z}$ und für alle ${\vec {b}}\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z}$ gilt.

--Hesmucet (Diskussion) 10:13, 6. Apr. 2017 (CEST)

In der Definition steht „$\mathbb {Z}$-Linearkombination“. Damit sind in deinem Beispiel die Linearkombinationen nicht eindeutig, z. B. $3{\vec {e_{1}}}=0{\vec {e_{1}}}$. -- HilberTraum (d, m) 13:52, 6. Apr. 2017 (CEST)

Deswegend habe ich auch vorsichtig geschrieben " Zumindestens halte ich ich für verwirrend". Natürlich kann man sie richtig interpretieren. Dann muss man sich aber auf einen nirgends erklärten Begriff "Z- Linearkombination " beziehen. In der mir zugänglichen Literatur steht es deswegen auch vernünftig. Etwa in Fuchs steht im wesentlichen mein Vorschlag oder in Bourbaki steht, $\mathbb {Z} ^{(I)}\rightarrow \oplus _{i\in I}b_{i}\mathbb {Z}$ injektiv ist. Ich meine weiterhin, dass die "Definition" so wie sie da steht verwirrend ist. Zumindestens sollte geklärt sein was $\mathbb {Z}$-Linearkombination ist und welche Eindeutigkeit man verlangt. Dann kommt man auf die Definition von Fuchs oder Bourbaki. Auch haben fremde Begriff "singuläre .. " nichts in einer Definition zu suchen. Sie klären nicht. Grüße --Hesmucet (Diskussion) 14:56, 6. Apr. 2017 (CEST)

Im zweiten Absatz der Definition wird genau erklärt, was eine $\mathbb {Z}$-Linearkombination ist. Ich halte das für gut verständlich, fast „allgemeinverständlich“. Dagegen braucht man schon ein Mathestudium, um „$\mathbb {Z} ^{(I)}\rightarrow \oplus _{i\in I}b_{i}\mathbb {Z}$ injektiv“ zu verstehen. Was die Beispiele in der Definition sollen, weiß ich allerdings auch nicht. -- HilberTraum (d, m) 11:08, 7. Apr. 2017 (CEST)

Nun gut. Ich will nicht penetrant sein. Mir würde es aber besser schmecken, wenn das ach so beliebte Wort "trivial" weggelassen würde. Zum Beispel so : Ist $0=\sum _{i\in I}b_{i}z_{i}$, so ist $z_{i}=0$ für alle $i\in I$.Hesmucet (Diskussion) 11:52, 7. Apr. 2017 (CEST)