Diskussion:Fundamentalsystem (Mathematik)

Zum Archiv

Wie wird ein Archiv angelegt?

Automatische Archivierung

Auf dieser Seite werden Abschnitte halbmonatlich automatisch archiviert, wenn sie mit {{Erledigt|1=--~~~~}} markiert sind. Um die Diskussionsseite nicht komplett zu leeren, verbleibt mindestens ein Abschnitt.

Lineare Algebra

Auch fehlt der Bezug, beziheungsweise die Rückbesinnung auf LA, wo der Begriff ja eigentlich herkommt. --Cycyc 01:00, 26. Sep 2006 (CEST)

Das halte ich fuer ein Geruecht. --P. Birken 14:30, 27. Sep 2006 (CEST)

tippfehler?

Im Satz "Ist a priori die Kenntnis einer Lösung einer homogenen Differentialgleichung höherer Ordnung bekannt, so kann man das Reduktionsverfahren von d'Alembert verwenden, um die Gleichung auf eine Differentialgleichung niedrigerer Ordnung zurückzuführen."

muss es nicht am Anfang heissen "... Lösung einer homogenen DGL __niedriger__ Odnung bekannt, so ..."?

Denn durch das Reduktionsverfahren erniedrige ich doch den Grad der DGL. Also von n-ten Grades auf den (n-t)en Grad. In der Hoffnung diese dann lösen zu können, bzw. wie der fragliche Satz wahrscheinlich meint, daß ich zufällig, a priori, solche eine kenne. (nicht signierter Beitrag von Andreas.fitzner (Diskussion | Beiträge) -21:43, 10. Jun. 2008)

Nein, nicht wirklich. Ist eine Dgl. der Ordnung n gegeben und eine Lösung bekannt, so kann man diese "abspalten" und behält eine Dgl. der Ordnung n-1 für die restlichen Lösungen. Könnte man natürlich auch so klar hinschreiben.--LutzL 09:53, 11. Jun. 2008 (CEST)

auch anwendbar für differenzengleichung

In der verlinkten engl. Sprachversion ([1]) steht, dass man diese Variante auch für Differenzengleichungen anwenden kann. Wenn dass ohne weitere Einschränkungen stimmt, kann man dass ja hier auch erwähnen.

Als Quelle könnte eventuell

Kenneth H. Rosen: Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press 2000. (3.3.3 Nonhomogeneous Recurrence Relations)

dienen.--78.92.85.50 17:52, 10. Nov. 2009 (CET)

Wronski Matrix

Hab da mal ein Fehler rausgefischt. Und zwar muss die Wronski Matrix keine Fundamentalmatrix sein. Nur wenn sie auch eine Basies ist, wird sie so bezeichnet. Also Quelle geb ich hier nur mal mein Matheskript, da ich die passenden Bücher nicht parad habe. Ich denke das sollte genügen. Also Tu-Darmstadt Ana III für Mathematiker, bei Dr. Haller-Dintelmann, DGL, III S.27 Def. 1.4--84.58.177.158 14:55, 22. Feb. 2010 (CET)

Also Skripte gelten eigentlich nicht als richtige Quellen, besonders ohne Link darauf, so dass man keinerlei Möglichkeit hat selber nachzulesen. Abgesehen davon stand in der alten Version nicht, dass jede Wronski-Matrix eine Fundamentalmatrix ist. Es steht da nur dass eine Fundamental-Matrix AUCH Wronski-Matrix genannt wird. Da es in diesem Artikel darum geht den Begriff Fundamentalsystem zu erklären und nicht den Begriff Wronski-Matrix, erschweren deine Änderungen eher das Verständnis. Deshalb habe ich deine Änderungen zurückgenommen.--Schönen Gruß "Wohingenau" 15:48, 22. Feb. 2010 (CET)

Allerdings frag ich mich jetzt gerade wie man von der Form $det\ \Phi (x):=det\ (y_{1}(x)\ |\ \cdots \ |\ y_{n}(x))\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ im Artikel zu der Form $W(f_{1},\dots ,f_{n})(t)={\begin{vmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)&\dots &f_{n}(t)\\f_{1}^{(1)}(t)&f_{2}^{(1)}(t)&\dots &f_{n}^{(1)}(t)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(t)&f_{2}^{(n-1)}(t)&\dots &f_{n}^{(n-1)}(t)\end{vmatrix}}$ aus Wronski-Determinante kommt?

Vieleicht kann man darauf noch im Artikel eingehen. (Erste Variante kenn ich so auch aus der Vorlesung, aber ich habe keine Quelle dafür. Zweite Variante steht so im Heuser)--Schönen Gruß "Wohingenau" 16:19, 22. Feb. 2010 (CET)

Ach so erstmal der link https://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/fb/mathe/lehre-und-studium/elektronisches-veranstaltungssystem.html?evsid=23&&evsver=800&evsdir=635. Und was def. falsch ist, ist die Aussage, 'als Fundamentalmatrix (manchmal auch als Wronski-Matrix)', da sie implizirt, das die Wronski Matrix eine Fundamentalmatrix ist. Anders ausgedrückt, wenn ich von Wronski Matrix rede, rede ich von einem allgemeinen Lösungssystem, wenn ich von Fundamentalmatrix rede, rede ich von einer Basis des Lösungssystem. Also der Ausdrück Fundamentalmatrix enthält mehr information als der Ausdruck Wronski Matrix. Und nicht alles was für Fundamentalmatrizen gilt, gilt auch für Wronski Matrizen. Daher ist es einfach falsch wenn ich sage, das man für Fundamentalmatrizen auch Wronski Matrizen sagen kann. Das darf man eben nicht. Was hingegen richtig wäre, wäre folgene Aussage. 'Die Fundamentalmatrix ist eine spezialform der Wronski Matrizen und eine Wronski Matrizen kann unter gewissen umständen auch eine Fundamentalmatrix sein. Jede Fundamentalmatrix ist auch eine Wronski Matrizen' Aber letzt endes macht doch was ihr wollt. Ich habe besser Nachschlagewerke für Mathe als Wiki. Und wenn ihr eure Fundamentalmatrix als Wronski Matrizen bezeichnen wollt stört es mich nicht, es ist nur einfach falsch.--84.58.177.158 16:33, 22. Feb. 2010 (CET)

Ähh, die 2te Form ist irgentwie falsch. Die erste Form kenn ich auch so. Hier eine Übungsaufgabe, welche ich gerade rechne mit Musterlösung. Also f(x) = (x3, x2, x)T , g(x) = (sin3 x, sin x, 0)T , h(x) = ex(1, 1, 1)T , Die Wronski Determinante an der Stelle x=0 sieht so aus:

det 0 0 1 0 0 1 0 0 1 = 0.

Und jetzt erkläre mir bitte wie man mit der 2ten def. Auf die Lösung kommt.--84.58.177.158 16:44, 22. Feb. 2010 (CET)

Tut mir leid, um dass zu rechnen habe ich keine Zeit, Lust und steck auch nicht genügend im Stoff. Was die Unterschiede angeht, versteh ich was du meinst, und kann auch gut sein dass du Recht hast, aber so wie du es formuliert hast, war es schwerer verständlich als vorher. Während man bei der aktuellen Version nur die Bemerkung 'diese wird auch als Wronski-Matrix bezeichnet' löschen muss und man einen Artikel hat, mit dem wir beide einverstanden sind. Ich denke, dass dies ohne vernünftige Quellen sogar das Beste ist, weil wir momentan sogar zwei verschiedene Definition der Wronski-Determinante haben. Wobei ich nicht glaube dass die zweite falsch ist, vor allem da sie so auch im Heuser steht... --Schönen Gruß "Wohingenau" 17:10, 22. Feb. 2010 (CET)

Benamungsregeln kenne ich nicht, kann dafür aber sagen, dass beide Formen richtig sind. Die erste Form enthält in ihren Spalten die Lösungen eines linearen DGl.-Systems erster Ordnung. Die zweite Form bezieht sich auf eine skalare DGl. höherer, n-ter Ordnung. Der Übergang von der zweiten zur ersten Form geschieht, indem man die skalare DGl. in der üblichen Weise in ein System erster Ordnung umschreibt. Der Spaltenvektor y hat dann die Komponenten $y_{1}(x)=f(x),\;y_{k}(x)=f^{k-1}(x)$, $y_{1}'=y_{2},\;y_{2}'=y_{3}$, die Ableitung der n-ten Komponente ergibt sich dann aus der skalaren DGl., etc.--LutzL 18:43, 22. Feb. 2010 (CET)

Ah, okay, das scheint Sinn zu machen. Und es stimmt, das es wahrscheinlich das beste wäre 'diese wird auch als Wronski-Matrix bezeichnet' einfach zu löschen. Und man sollte eigentlich auch einen extra Artikel über die Wronski-Matrix anlegen. Aber ich habe dafür keine Zeit. Also mit löschen der Aussage ist der Artikel völlig in Ordnung.--84.58.177.158 18:50, 22. Feb. 2010 (CET)

Das '(manchmal auch als Wronski-Matrix)' im Artikel meint, dass die Sprachregelung in der Literatur uneinheitlich ist. Manche Autoren setzen zusätzlich voraus, dass ein Fundamentalsystem vorliegt, andere nicht (wie in dem von dir angegebenen Skript). Von mir aus kann man den Passus löschen, jedoch möchte ich wegen der Uneinheitlichkeit darauf hinweisen, dass die umgekehrte Aussage 'Nicht jede Wronski-Matrix ist ein Fundamentalsystem' ebenfalls nicht von jedem Autor geteilt wird. In diesem Bereich kommen halt divergierende Definitionen vor.

Die kritischen Stellen habe ich erst einmal entfernt; wenn man die W-Matrix erwähnen möchte, sollte man wohl wirklich explizit auf die Uneinheitlichkeit eingehen. --Tolentino 19:21, 22. Feb. 2010 (CET)

Warum ist Superposition erlaubt? Interval auf [a, b] eingeschränkt?

• Warum sind alle Superpositionen der Basis eines homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems Lösungen dieses Systems? Gibt es dazu einen Beweis?
• Warum wird für homogene lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung der Definitionsbereich von A(x) und y(x) auf [a, b] beschränkt anstatt alle reellen Zahlen zu erlauben? (... Auszug aus dem Artikel [...] außerdem ist die Koeffizientenmatrix $A:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n\times n}$ eine matrixwertige Funktion. Die Lösungen dieses Differentialgleichungssystems werden im Raum $C^{1}([a,b];\mathbb {R} ^{n})$ der stetig differenzierbaren Funktionen $y:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ gesucht. [...])

Danke, --Abdull 01:11, 16. Feb. 2011 (CET)

• Natürlich gibt es dazu einen Beweis, sonst wäre die Aussage falsch. Wenn $y$ eine Lösung ist, also $y'(x)=A(x)y(x)$ gilt, so muss für jede Konstante $c$ gelten: $(c\cdot y)'(x)=c\cdot y'(x)$ (Faktorregel) $=c\cdot A(x)y(x)=A(x)(c\cdot y)(x)$. Also ist $c\cdot y$ eine Lösung. Ebenso zeigt man, dass die Summe zweier Lösungen wieder eine Lösung ist.
• Wenn die DGL auf $\mathbb {R}$ betrachtet wird, kann man halt alle $a,b\in \mathbb {R}$ verwenden und erhält daraus sofort die analoge Aussage für $\mathbb {R}$ (ebenso für Intervalle $[a,\infty )$ oder $(-\infty ,b]$). Hätte man umgekehrt jedoch alles für $\mathbb {R}$ formuliert, könnte man daraus nicht mehr die $[a,b]$-Version zurückgewinnen. Insofern ist die hier vorgestellte Variante allgemeiner. --Tolentino 08:55, 16. Feb. 2011 (CET)