Wronski-Determinante

Mit Hilfe der Wronski-Determinante, die nach dem polnischen Mathematiker Josef Hoëné-Wroński (1776–1853) benannt wurde, kann man skalare Funktionen auf lineare Unabhängigkeit testen, wenn diese hinreichend oft differenzierbar sind. Dies kann insbesondere beim Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung ein nützliches Hilfsmittel sein.

Definition

Für $n$ reell- oder komplexwertige Funktionen $f_{1},\dots ,f_{n}$ auf einem Intervall $I$ ist die Wronski-Determinante definiert durch

W(f_{1},\dots ,f_{n})(t)={\begin{vmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)&\dots &f_{n}(t)\\f_{1}^{(1)}(t)&f_{2}^{(1)}(t)&\dots &f_{n}^{(1)}(t)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(t)&f_{2}^{(n-1)}(t)&\dots &f_{n}^{(n-1)}(t)\end{vmatrix}},\qquad t\in I,

wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis $(n-1)$ -te Ableitung bezeichnen.

Eigenschaften

Die Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der Abelschen Identität vereinfacht werden, wenn im Fundamentalsystem in der Darstellung $y''(t)-a_{1}y'(t)-a_{0}y(t)=0$ der Koeffizient $a_{1}\neq 0$ ist.

Kriterium für lineare Unabhängigkeit

Gilt $W(f_{1},\ldots ,f_{n})(t_{0})\neq 0$ für ein $t_{0}\in I$ , so sind die Funktionen $f_{1},\ldots ,f_{n}$ auf dem Intervall $I$ linear unabhängig. Andererseits folgt aus $W(f_{1},\ldots ,f_{n})(t)=0$ für alle $t\in I$ nicht die lineare Abhängigkeit der Funktionen $f_{1},\ldots ,f_{n}$ . Das heißt, die Gleichheit bedingt nicht eine lineare Abhängigkeit auf dem Intervall $I$ . Denn es gilt, dass die Funktionen lokal linear unabhängig sein können (siehe Gegenbeispiel).

Beispiel

Ausgehend vom Sturm-Liouville-Problem wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung

-\psi ''=\lambda \psi

mit den Randbedingungen $\psi (0)=\psi (\pi )=0$ betrachtet. Als Lösungsansatz wird $\psi (t)=\alpha \sin({\sqrt {\lambda }}t)+\beta \cos({\sqrt {\lambda }}t)$ für $\lambda >0$ und beliebige $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ gewählt. Aufgrund der Randbedingungen $\psi (0)=\psi (\pi )=0$ ist $\alpha \neq 0,\beta =0$ und $\sin({\sqrt {\lambda }}\pi )=0,$ also ${\sqrt {\lambda }}\pi =n\pi$ und somit $\lambda =n^{2}$ für $n\in \mathbb {N}$ . Als Lösung wird daher

\psi (t)=\alpha \sin(nt)

gewählt. Da eine weitere Lösung dieser Differentialgleichung durch $\phi =p\psi '=\psi '$ mit $p=1$ gegeben ist (siehe Sturm-Liuoville-Problem), wird als zweite Lösung

\phi (t)=\alpha n\cos(nt)

angenommen und mittels der Wronski-Determinante auf lineare Unabhängigkeit geprüft. Es folgt

W(\phi ,\psi )(t)={\begin{vmatrix}\phi (t)&\psi (t)\\\phi '(t)&\psi '(t)\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\alpha n\cos(nt)&\alpha \sin(nt)\\-\alpha n^{2}\sin(nt)&\alpha n\cos(nt)\end{vmatrix}}=(\alpha n)^{2}\cos ^{2}(nt)+(\alpha n)^{2}\sin ^{2}(nt)=(\alpha n)^{2}>0

.

Also ist $W(\phi ,\psi )(t)=\left|{\begin{smallmatrix}\phi (t)&\psi (t)\\\phi '(t)&\psi '(t)\end{smallmatrix}}\right|>0$ für $t\geq 0$ (genauer für alle $t\in \mathbb {R}$ ) und die lineare Unabhängigkeit der Funktionen $\phi (t),\psi (t)$ ist gegeben.

Gegenbeispiel

Als Gegenbeispiel dienen die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen

f_{1}(t)={\begin{cases}0\ ,&{\mbox{falls }}t\leq 0,\\t^{2}\ ,&{\mbox{falls }}t>0,\end{cases}}\qquad {\mbox{und}}\qquad f_{2}(t)={\begin{cases}t^{2}\ ,&{\mbox{falls }}t\leq 0,\\0\ ,&{\mbox{falls }}t>0.\end{cases}}

Für alle $t\in \mathbb {R}$ gilt

W(f_{1},f_{2})(t)={\begin{vmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)\\f'_{1}(t)&f'_{2}(t)\end{vmatrix}}=0.

Aber $\lambda \ f_{1}(t)+\mu \ f_{2}(t)=0$ führt für $t=1$ zu $\lambda =0$ und für $t=-1$ zu $\mu =0$ , was die lineare Unabhängigkeit auf $t=1$ beziehungsweise für $t=-1$ der beiden Funktionen impliziert. Für $t=0$ gilt $f_{1}(0)=0$ und $f_{2}(0)=0$ , was lineare Abhängigkeit in $t=0$ bedeutet.