Diskussion:Ganzrationale Funktion

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Wie auf der Diskussionseite des Artikel "Polynom" schon dargelegt, fand ich die Weiterleitung des Artikels "Ganzrationale Funktion" zum Artikel "Polynom" eher unpassend, weil in letzterem Artikel vor allem abstrakte Mathematik dargelegt wird statt der Schulmathematik, die man wohl eher sucht, wenn man hier den Begriff "ganzrationale Funktion" nachschaut. Also habe ich mal einen eigenen Artikel geschrieben und die Weiterleitung entfernt. Für Verbesserungsvorschläge bin ich natürlich jederzeit offen... Wenn der Artikel so, wie er jetzt ist, Anklang findet, werde ich dann auch noch in diversen anderen Artikeln, die derzeit auf "Polynom" verweisen (z. B. "rationale Funktion") die Verweise ändern.--BFeuerbacher 21:14, 21. Feb. 2010 (CET)

Bei Beispiele heisst es unter Punkt 3: "Bei einer ganzrationalen Funktion..." (nicht signierter Beitrag von 83.77.121.202 (Diskussion) 13:14, 6. Jul 2010 (CEST))

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 20:28, 12. Jul. 2019 (CEST)

Quellen

1) Gibt es Quellen, die den Begriff "ganzrational" (in seinem Schulgebrauch) in einen weiteren algebraischen Kontext einordnen? (Gebrochen-)Rationale Funktionen sind Brüche von ganzrationalen Funktionen, ganzrationale Funktionen sind Elemente des Ganzheitsrings der rationalen Funktionen. Jedoch ist der Ganzheitsring von $\mathbb {Q} (X)$ der Polynomring $\mathbb {Z} [X]$. Wird sowas (Körpereigenschaft der rationalen Funktionen und aufwärts) vor dem Abitur behandelt?

2) Kann angegeben werden, wann der Begriff "ganzrational" in den schulischen Sprachgebrauch eingeführt wurde? Löste er den Gebrauch von "Polynom" ab oder war ein "statt dessen"?

3) Gibt es Texte, die die pädagogischen Vor- und Nachteile von "ganzrationale Funktion" und "Polynom" diskutieren? Fremdsprachliche Wortstämme sind in beiden enthalten. --LutzL (Diskussion) 09:50, 30. Okt. 2013 (CET)

zu 1) Evtl. werden gebrochen rationale Funktionen mit Polstellen (tw. hebbar) im LK behandelt.

zu 2) In der Einführungsphase (NRW: 10 bei G8/11 bei G9); Polynomdivision wird ab 2014 nicht mehr verlangt.

zu 3) Auch die Zifferndarstellung lässt sich als dekadisches Polynom verstehen (z.B. 123 = 1*10² + 3*10^1 + 3* 10^0), ist aber keine Funktion. (Antworten eines anonymen Mathelehrers) (nicht signierter Beitrag von 77.8.245.126 (Diskussion) 21:21, 23. Feb. 2014 (CET))

Danke für den Beitrag. Frage 1) und 2), das wird oben nicht so deutlich, in der Diskussion eins weiter unten aber klar angesprochen, zielten auf die historische Herkunft, das muss eine Entwicklung im Zeitraum 1890-1920 sein. In diesem Zeitraum jedenfalls fixiert sich der Gebrauch von "ganz" und "rational" in der Algebra auf den heutigen Gebrauch. Frage 3) fragt nach der Scheu der Schulliteratur vor "Polynom" und "Polynomfunktion". Die Zifferndarstellung bzw. genauer ihr dekadischer Wert sind natürlich "Summen mehrerer Terme" und damit polynom, aber auch Auswertungen einer Polynomfunktion an der Stelle 10.--LutzL (Diskussion) 01:42, 24. Feb. 2014 (CET)

Definitionsbereich

Nirgends steht in dem Artikel, was genau der Definitionsbereich einer solchen Funktion sein kann, dennoch ist im Abschnitt „Allgemeine Eigenschaften“ dann auf einmal von einer „maximal möglichen Definitionsmenge“ die Rede. Wer schränkt einen da auf die reellen oder komplexen Zahlen ein? Es gibt da noch mannigfaltige Erweiterungskörper, die man auch prinzipiell nehmen könnte. Dann ist die Rede von Glätte – doch wie ist das überhaupt definiert, wenn man Definitionsmengen im Ungewissen lässt, die möglicherweise nicht einmal offen ist? Wieso werden überhaupt komplexe Zahlen im Definitionsbereich zugelassen, nicht aber als Koeffizienten? Und worum geht es beim Satz „Außerdem sind sie berechenbar, wenn ihre Koeffizienten es sind”? Ist nun nur von Polynomfunktionen mit einem Definitionsbereich bestehend aus berechenbaren Zahlen die Rede? Oder wird eine $\omega$-Turingmaschine zur Hilfe gezogen, welche eben Platz für unendliche Eingabe hat? Da müsste man aber schon näher spezifizieren, was für ein Maschinenmodell, denn da gibt es viele nicht-äquivalente. Wirkt alles recht unbedarft. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 18:32, 30. Okt. 2013 (CET)

Die Antwort hängt wahrscheinlich von der Klassenstufe ab. Da auch nicht so genau klar ist, was eine "ganzrationale Funktion" von einer "Polynomfunktion" unterscheidet, dürften die angesprochenen Probleme Folgeschäden sein. Um mal ein paar Gedanken rauszupicken: "berechenbar" oder "dem Verstande zugänglich", "begreifbar" (im Gegensatz zu z.B. trigonometrischen Funktionen, die man tabellieren musste) dürfte die ursprüngliche Intention sowohl in "rationale Zahlen" als auch in "ganze rationale algebraische Funktion" gewesen sein. Zu dem Zeitpunkt, als diese Intention entstand, war eine Funktion einfach ein funktioneller Zusammenhang zwischen Parametern und einer Unbekannten. Die Gleichung y=x^3-3x+1 ist natürlich trivial nach y lösbar, aber auch die Lösungen von ax^2+bx+c=0 sind in diesem Sinne Funktionen der Parameter a,b,c.--LutzL (Diskussion) 19:05, 30. Okt. 2013 (CET)

Ich befürchte, dass es keine Literatur gibt, die den Begriff richtig ordentlich einführt und gleichzeitig all den Sprachgebrauch der Schulmathematik mit erfasst, von maximalen Definitionsmengen etc. Habe die Aussagen nun erstmal entfernt, die sich nicht klar treffen lassen ohne klare Behandlung des Definitionsbereiches. Jetzt steht das Horner-Schema etwas einsam im Raum. Den Begriff der Polynomfunktion kenne ich übrigens für beliebige Ringe, nicht nur auf den reellen Zahlen und Verwandtem. --Chricho ¹ ² ³ 01:27, 31. Okt. 2013 (CET)

Nur was an dem Begriff "ganzrational", so rein von den Wortbestandteilen her betrachtet, sagt mir jetzt, dass die Koeffizienten aus den reellen Zahlen oder einem Ring oder Körper mit Charakteristik 0 stammen? "reelle Polynomfunktion" sagt das auch, und ist international kompatibler.So ist "ganzrational" ein Leerbegriff, der willkürlich mit einem Inhalt gefüllt wurde.--LutzL (Diskussion) 01:46, 31. Okt. 2013 (CET)

Ich glaube nicht, dass die Bezeichnung "ganzrationale Funktion" von vornherein die Beschränkung auf reelle Funktionen intendiert. Es ist nur so, dass der Artikel im Wesentlichen von einem Lehrer aufgrund von Schul-Literatur geschrieben wurde und die Bezeichnung "ganzrationale Funktion" vor allem im Schulunterricht verwendet wird. --Digamma (Diskussion) 18:58, 1. Nov. 2013 (CET)

Meine negative Haltung zu diesem Begriff mal beiseite gelassen, ist es an sich bemerkenswert, dass die deutsche Schulliteratur hier einen Sonderweg gegangen ist. Deshalb die Nachfrage, ob jemand Zugang zu Quellen hat, die dies aus historischer oder pädagogischer Sicht erhellen, diese Geschichte wäre einen Abschnitt hier wert. So wie es jetzt aussieht, genügte der Begriff "Funktion fünften Grades" oder "quadratische Gleichung" nicht mehr aus, vielleicht so um 1920 plusminus 10 Jahre, und der internationale Standard "Polynom" klang vielleicht "zu französisch". Es setzen sich ja manchmal solche singulären Entscheidungen fest, und irgendwann haben sich alle dran gewöhnt.--LutzL (Diskussion) 21:32, 1. Nov. 2013 (CET)

"mit natürlichen Exponenten"

0 ist nicht nach allen Definitionen Element von N. (nicht signierter Beitrag von 77.8.245.126 (Diskussion) 21:21, 23. Feb. 2014 (CET))

Das tut der Definition meiner Auffassung nach nicht weg. --Christian1985 (Disk) 20:24, 12. Jul. 2019 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 20:24, 12. Jul. 2019 (CEST)

Ich finde in der Definition den Zusatz, dass die Koeffizienten ungleich 0 sein müssen, schwierig, weil demnach die einfachste quadratische Funktion f(x)=x^2 nicht ganzrational wäre (a₁=a₀=0). Das kann man nicht ernst meinen.

Amin Negm-Awad (Diskussion) 04:27, 2. Jan. 2021 (CET)

Nein, es ist nur verlangt, dass der führende Koeffizient $a_{n}$ nicht Null ist. Das braucht man, um darüber den Grad definieren zu können, ohne dass jedes Polynom $n$-ten Grades auch als Polynom $m$-ten Grades für jedes $m>n$ aufgefasst wird. Allerdings ist $f(x)=0$ nach der jetzigen Definition kein Polynom, mithin die Differenz zweier Polynome nicht immer ein Polynom. Kann man bei Gelegenheit glattziehen, aber: welchen Grad hat denn das Nullpolynom?

• 0, weil weniger nicht geht (von mir bevorzugt)
• –1, weil alle Koeffizienten mit höherem Index Null sind (die Programmiererlösung mit möglichst wenigen Ausnahmen)
• gar keinen, weil für kein natürliches $n$ die Definition passt

--Lantani (Diskussion) 12:05, 2. Jan. 2021 (CET)

Für den Grad des Nullpolynoms findet man manchmal auch den Wert $-\infty$ (dann kann man weiterhin sagen, dass $\operatorname {deg} (fg)=\operatorname {deg} (f)+\operatorname {deg} (g)$ gilt) --Rqndom (Diskussion) 12:16, 2. Jan. 2021 (CET)

Ich habe mal zu Hause in die Bücher geschaut, in denen der Grad eines Polynoms definiert wird. Van der Waerden (Algebra) und Bundschuh (Zahlentheorie) definieren wie der Artikel hier den Grad so, dass das Nullpolynom keinen Grad abbekommt, Hornfeck (Algebra) schreibt explizit nach der Definition des Grades: „Die von Null verschiedenen Elemente aus R sind also Polynome vom Grad Null; für das Nullpolynom ist kein Grad definiert“. In der Sache ist das dasselbe. Für hier finde ich die letzte Formulierung am besten, weil sonst der Leser ins Grübeln gerät, und anders als die genannten Bücher ist die Wikipedia nicht primär für einen akademischen Leserkreis gedacht. (Der von mir intuitiv geratene Grad 0 ist also weder üblich noch praktisch.) – Ich machs jetzt so. --Lantani (Diskussion) 17:49, 3. Jan. 2021 (CET)

der grad ist das supremum der k mit a_k\neq 0, supremum der leeren menge ist -oo, und auf die formel deg(fg)=deg(f)+deg(g) will man doch sicher auch als nichtakademiker nicht verzichten? --Peter Grabs (Diskussion) 09:41, 13. Jun. 2024 (CEST)

Was ist an diesen Funktionen "ganzrational"?

Gibt es irgendwo in der Literatur eine schlüssige Erklärung für den Namen "ganzrational"? Ich sehe auch nach 35 Jahren Mathematik keine Verhältnisgrößen in diesen Polynomen, warum also "rational"? Und dann "ganz"? Was denn nun? Ist dieser verwirrende Begriff auch im Englischen üblich? Und warum irritiert man Schüler damit, während Studenden und professionelle Mathematiker hervorragend ohne ihn auskommen? --217.226.75.9 13:52, 13. Jun. 2015 (CEST)

"Warum rational?": Siehe rationale Funktion.

Ich denke, "rational" bezieht sich darauf, dass die Funktionsterme nur durch Verwendung von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division darstellbar sind, so wie die rationalen Zahlen aus der 1 durch die Verwendung dieser vier Grundrechenoperationen entstehen. "Ganz" deshalb, weil man auf die Division verzichtet, wie bei den ganzen Zahlen. Wenn man die Division zulässt, bekommt man "gebrochen-rationale Funktionen". Warum nennt man sie dann nicht einfach "ganze Funktionen"? Das liegt daran, dass es einen allgemeineren Begriff der "ganzen Funktion" gibt.

Im Unterschied dazu gibt es (wie bei den Zahlen) auch algebraische und transzendente Funktionen. Allerdings habe ich auch noch nicht von "irrationalen Funktionen" gehört.

Warum man diesen Begriff in der Schule verwendet, anstatt von Polynomfunktionen zu sprechen, weiß ich nicht. Ein Grund könnte sein, dass man den Unterschied zu den gebrochen-rationalen Funktionen hervorheben möchte. --Digamma (Diskussion) 22:02, 14. Jun. 2015 (CEST)

sollte man nicht diesem umstand rechnung tragen, indem man diesen artikel polynomfunktionen nennt und ganzrationale funktionen zu einer weiterleitung macht? --Peter Grabs (Diskussion) 09:45, 13. Jun. 2024 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 20:25, 12. Jul. 2019 (CEST)

Scilab-Code

Mit dieser Änderung wurde ein Kapitel mit Scilab-Code eingefügt. Mir erschließt sich nicht so richtig, warum so etwas in einem Wikipedia-Artikel stehen soll. --Digamma (Diskussion) 17:51, 9. Feb. 2016 (CET)

Ich verstehe ebenso wie Digamma nicht, wozu der Code im Artikel steht. Habe ihn jetzt raus genommen, wenn jemand etwas dagegen hat, kann er ja hier mitdiskutieren.--SigmaB (Diskussion) 07:43, 28. Jul. 2016 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 20:26, 12. Jul. 2019 (CEST)

Polynom – Polynomfunktion – ganzrationale Funktion

Als erstes vorneweg: mit Christians jüngster Änderung, „Polynom“ öfter durch „ganzrationale Funktion“ zu ersetzen, weil das das Lemma des Artikels ist, bin ich voll einverstanden; er hätte es auch noch an mehr Stellen machen können. Andererseits werden wir die Strategie nicht durchhalten können, konsequent zwischen Polynomen und Polynomfunktionen zu unterscheiden, weil das nämlich nie getan wird, außer wo es um Algebra geht. Kein Mensch redet von Taylorpolynomfunktionen oder ganzrationalen Taylorfunktionen, und auch in vielen anderen Kontexten werden die Begriffe auch in seriösen Büchern nicht streng auseinandergehalten.

Die Ursachen für die Verwechslungsgefahr sind:

• Maulfaulheit: wozu „-funktion“ dazusagen, wenns eh jeder weiß, dass nur die Eigenschaft verwendet wird, in diesem Kontext als Funktion zu dienen
• eineindeutige kanonische Abbildung der Polynome auf die Polynomfunktionen, wenn es um ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen geht
• die Ringstruktur auf der Menge der Polynome ist oft uninteressanter als andere Strukturen, z.B. bei der Approximation reeller Funktionen durch Polynome, die einen Vektorraum, oft sogar einen Hilbertraum bilden

Man kann jetzt auf beiden Seiten vom Pferd fallen:

• Macht man den Unterschied nicht sauber, dann ist es schlicht falsch.
• Macht man den Unterschied zu streng, dann kann man mit dem Wissen kein Mathematikbuch lesen, in dem solche Funktionen schlicht „Polynome“ heißen, und das ist total normal und kein bisschen falsch.

Mein Vorschlag, dessen Realisierung allerdings Zeit zum Reifen braucht:

• Im Artikel Polynom die Verwendung des Worts auch in anderen Kontexten als Schulalgebra (nicht nur Schule, auch anderes „Buchstabenrechnen“ wie z.B. Bronstein) und abstrakter Algebra erwähnen
• Danach (wegen Verweismöglichkeit) hier erwähnen, dass Polynomfunktionen auch oft schlicht Polynome genannt werden, wenn keine Verwechslungsgefahr besteht

Ich denk mal drüber nach. --Lantani (Diskussion) 13:36, 4. Jan. 2021 (CET)

Hallo Lantani,

wie Du ja weisst, habe ich versucht die Redundanz-Diskussion Wikipedia:Redundanz/Dezember_2017/Archiv#Polynom_-_Ganzrationale_Funktion abzuarbeiten. Dass der aktuelle Zustand immer noch nicht so recht befriedigend ist, darüber sind wir uns wohl einig. Insbesondere finde ich die Weiterleitung Polynomfunktion als Weiterleitung auf diesen Artikel ungünstig. Ich bin mir allerdings auch nicht sicher, ob ein eigener Artikel zu dem Thema sinnvoll ist. Vielleicht wäre es wirklich gut im nächsten Schritt im Artikel Ganzrationale Funktion deutlich herauszuarbeiten, dass in vielen Kontexten eine ganzrationale Funktion auch Polynom genannt wird.--Christian1985 (Disk) 18:54, 4. Jan. 2021 (CET)

Hallo Christian1985,

ich finde die Artikelteilung nach wie vor gelungen. Der Abschnitt Polynom #Polynome in der elementaren Algebra ist jetzt in manchen Teilen verdoppelt; das kann man reduzieren (nicht eilig). Ich habe schon ein paar Teile angefangen zu überarbeiten, aber es macht keinen Sinn, etwas einzustellen, was noch nicht zusammenpasst. Die Idee ist:

• Im Artikel Polynom möchte ich den algebraischen Ansatz (die Unbestimmte liegt nicht im Ring) stärker betonen, ohne dass es für den einfachen Leser zu unanschaulich wird. Den Funktionsansatz (die Unbestimmte ist eine Variable, die für beliebige Ringelemente steht) auch erwähnen und die gemeinsame Motivation plausibel machen – die steht bis jetzt nur in den Artikeln Polynomring und Satz über den Einsetzungshomomorphismus, wo ihn der normale Leser nicht findet oder nicht versteht. Das ist keine große Änderung, aber eine sehr schwierige, weil der Trick, die Unbestimmte wie das Kaninchen aus dem Hut zu zaubern, auch für Leser mit sehr guten Vorkenntnissen aus der Schule überraschend kommt. Ich versuchs mal.
• Hier im Artikel Ganzrationale Funktion möchte ich in den Abschnitt, der jetzt Linearfaktorzerlegung heißt, alles hineinpacken, was damit zu tun hat, auch zum Beispiel Anzahl der Nullstellen. Der gehört dann mit unter die Überschrift Algebraische Eigenschaften. Wenn das steht, kann man die ähnlichen Teile im Artikel Polynom streichen (das steht dann hier) und die Funktion, die sie dort hatten, nämlich an Bekanntes anzuknüpfen, ersetzen durch einen Link nur auf die Algebraische Eigenschaften hier, nicht auf die Kurvendiskussionen, die dem Algebraiker wurscht sind. Das ist eine größere Änderung als die vorige, aber man kann weniger falsch machen.
• Wenn alles aufgeräumt ist, vielleicht auch schon nach dem ersten Schritt, würde ich die Weiterleitung Polynomfunktion auf Polynom setzen (weil dort erklärt wird, was der Unterschied ist und weil das Wort Polynomfunktion nur dort Sinn macht) und stattdessen hierher eine neue Weiterleitung Reelles Polynom (weil das das ist, was hier erklärt wird und bei Polynom nicht). Nach meinem Geschmack sogar lieber umgekehrt Reelles Polynom als Artikellemma.

--Lantani (Diskussion) 00:26, 18. Jan. 2021 (CET)

Ich denke, es waere systematischer und der Bedeutung der Begriffe angemessener, wenn es einen Artikel "Polynomfunktion" gaebe, auf den "ganzrationale Funktion" nur weiterleitet. --Peter Grabs (Diskussion) 09:50, 13. Jun. 2024 (CEST)

Wie die Artikel heißen sollen und welche auf welche weiterleiten, darüber denke ich erst nach, wenn das drinsteht, was hineingehört. Ist ja gar nicht schlecht, aber wie oben gesagt verbesserungsfähig.

Es gibt halt drei Sorten Leute, die das Wort Polynom verwenden:

• die Algebraiker, für die jedes Polynom auch eine Polynomfunktion definiert (aber umgekehrt nicht eindeutig) – die müssen genau zwischen Polynom und Polynomfunktion unterscheiden.
• die Schul- und Ingenieurmathematiker, die nur mit reellen und vielleicht komplexen Polynomen rechnen, diese umformen, Nullstellen suchen, Kurven diskutieren usw.
• die Numeriker und andere, die spezielle Polynome brauchen, oft zu Approximations- oder Interpolationszwecken

Die letzten beiden verwenden kaum je Polynome im algebraischen Sinn, und jede Polynomfunktion wird – anders als im allgemeinen Fall – von genau einem Polynom erzeugt. Sie haben also keinen praktischen Grund, zwischen Polynomen und Polynomfunktionen zu unterscheiden. Für die sind die betrachteten Funktionen Polynome. Hat schon mal jemand von einer Taylor-Polynomfunktion reden hören? Oder einer Interpolationspolynomfunktion? Deswegen siedle ich den Begriff Polynomfunktion bei den Algebraikern an, also im Artikel Polynom, wo der Unterschied erklärt wird und wo Aussagen über alle Polynomfunktionen stehen, nicht nur die über den reellen oder komplexen Zahlen.

Gute Lemmata für die Leute, die nur reelle und komplexe Polynome betrachten wollen, wären m. E. „Ganzrationale Funktion“, „Polynom (Analysis)“, „Reelles Polynom“. Im Gegensatz zu meiner Meinung von 2021 würde ich für „Ganzrationale Funktion“ als eigentliches Lemma plädieren, weil der Name vielen aus der Schule vertraut ist und nicht zuletzt, weil der Artikel jetzt schon so heißt und ich die Umbenennerei von Artikeln blöd finde, wenn es keine wichtigen Gründe dafür gibt.

Aber, wie gesagt, ich bin für andere Meinungen offen. --Lantani (Diskussion) 22:20, 19. Jun. 2024 (CEST)