Diskussion:Gruppe der rationalen Punkte auf der Einheitshyperbel

Isomorphismus zur direkten Summe aus H’ und den H_p

Dass die Gruppenstruktur mittels Hilberts Satz 90 bestimmt wird, habe ich in der verlinkten Quelle nicht gefunden (und klingt erstmal auch nicht so plausibel für mich). Bei Lin Tan wird Hilberts Satz 90 im vorhergehenden Abschnitt erwähnt, aber nicht im Zusammenhang mit der Hyperbel.—Hoegiro (Diskussion) 09:19, 27. Mai 2020 (CEST)

@Hoegiro Ja, der Hinweis von Lin Tan auf Hilbert bezieht sich nur auf den konkreten Fall des Einheitskreises. Da es aber bei Hilbert 90 um das allgemeine Problem geht, ist dies weder auf den Einheitskreis noch auf die Einheitshyperbel beschränkt - insbesondere ist letztere auch umfasst. -Ralf Preußen (Diskussion) 11:13, 27. Mai 2020 (CEST)

Dafür bräuchte es aber eine Quelle. Für mich ist das nicht offensichtlich.—Hoegiro (Diskussion) 11:25, 27. Mai 2020 (CEST)

Nein, der springende Punkt zur Anwendung von Hilbert 90 hier ist in beiden Fällen der Doppelwinkelsatz. Der eine Fall des Einheitskreises ist belegt, wodurch dies auch für einen weiteren innerhalb der Anwendung reicht, welcher dasselbe Verfahren anwendet. In diesem Sinne ist auch der Kontext von Lin Tan. -Ralf Preußen (Diskussion) 13:57, 27. Mai 2020 (CEST)

Ob dort dasselbe Verfahren angewandt wird, geht aus der angegebenen Quelle aber nicht hervor. Wenn dieser Zusammenhang tatsächlich besteht, dann wird sich dafür doch wohl auch eine Literaturangabe finden lassen.––Hoegiro (Diskussion) 11:11, 19. Jul. 2020 (CEST)

@Hoegiro In der angegebenen Quelle von Lin Tan gibt es eine prinzipielle Einführung inkl. Doppelwinkelsatz, welche am Beispiel des Einheitskreises Schritt für Schritt veranschaulicht wurde, aber (entsprechend modifiziert) auch für andere Kegelschnitte wie die Einheitshyperbel gilt. Nach dem Abstraktionsprinzip trifft m.E. also auch Hilbert 90 zu. Aber ich bin nur Hobby-Mathematiker... --Ralf Preußen (Diskussion) 12:21, 19. Jul. 2020 (CEST)

Abstraktionsprinzip?? So arbeiten wir hier aber nicht.––Hoegiro (Diskussion) 14:35, 19. Jul. 2020 (CEST)

siehe Klasse_(Mengenlehre)#Klassenterme. Wenn etwas allgemein für Obst gilt, dann gilt es für Äpfel und Birnen.--Ralf Preußen (Diskussion) 15:57, 19. Jul. 2020 (CEST)

In der angegebenen Quelle wird eben nicht gesagt, dass das Argument auch für andere Kegelschnitte funktioniert. (Es wird auch nicht gesagt, dass es nicht funktioniert. Es wird einfach gar nichts dazu gesagt.)––Hoegiro (Diskussion) 14:39, 19. Jul. 2020 (CEST)

Das sehe ich durch die m.E. gegebene Gültigkeit in der Obermenge anders. Mir ist auch nichts bekannt, was dieser Abstraktion gerade im Hyperbolischen widersprechen würde. Zudem erkennt man dies (Doppelwinkelsatz) an der Anwendung der (modifizierten) Additionstheoreme auch im Hyperbolischen. Aber ich würde (nach der Regel: Ober schlägt Unter) diesen Disput gern von einem hier versierten Mathematiker entscheiden lassen - und der bin ich nicht. --Ralf Preußen (Diskussion) 15:57, 19. Jul. 2020 (CEST)

Du könntest auch eine Quelle angeben, wo der Beweis der Gruppenstruktur nachzulesen ist. So etwas sollte es ja wohl geben.––Hoegiro (Diskussion) 17:40, 19. Jul. 2020 (CEST)

Einen solchen Beweis habe ich nicht gefunden, aber einen interessanten Artikel (welcher Lösungen auf dem Kreis, Hyperbel und Kegel behandelt): [1]. Hast Du denn eine begründete Vermutung, dass es da ein Problem gibt - bspw. bezüglich des einzigen neutralen Elements? --Ralf Preußen (Diskussion) 18:43, 19. Jul. 2020 (CEST)

Ich vermute gar nichts. Es kann stimmen oder auch nicht. Wir arbeiten hier aber mit Quellen und nicht mit unseren persönlichen Vermutungen. Und in der neuen Quelle ist von Hilbert 90 nicht die Rede, oder übersehe ich etwas?—Hoegiro (Diskussion) 21:57, 19. Jul. 2020 (CEST)

Wieso soll da von Hilbert die Rede sein? Der Artikel behandelt nur ein und dasselbe Verfahren (wie auch in der Quelle) auf dem Kreis, der Hyperbel sowie allgemein auf Kegelschnitten, also so wie ich hier oben argumentiert habe.--Ralf Preußen (Diskussion) 09:06, 20. Jul. 2020 (CEST)

Das ist jetzt etwas öde. Die Quelle diskutiert eben nicht, wie man den Isomorphismus im Fall der Hyperbel beweist. (Schon gar nicht diskutiert sie irgendein Beweisverfahren.) Vielleicht geht das auch im Fall der Hyperbel mit Hilbert 90, aber jedenfalls wird das in der Quelle nicht gesagt. (und es wird dort auch nicht gesagt, dass dasselbe Verfahren verwendet würde)—Hoegiro (Diskussion) 19:08, 23. Jul. 2020 (CEST)

WP:Dritte Meinung

Eine Dritte Meinung wurde angefordert, die sich vermutlich auf diesen Absatz bezieht. --Siehe-auch-Löscher (Diskussion) 08:23, 24. Jul. 2020 (CEST)

Winkel?

Wenn also $(x,y)$ und $(t,u)$ jeweils mit $(1,0)$ die Winkel $\alpha$ und $\beta$ bilden

Ich denke nicht, dass man das so schreiben kann. Aus $(x,y)=(\cosh \alpha ,\sinh \alpha )$ folgt nicht, dass (x,y) mit (1,0) den Winkel $\alpha$ bildet. Es ist nicht wie bei den Winkelfunktionen im Kreis.—Hoegiro (Diskussion) 09:25, 27. Mai 2020 (CEST)

@Hoegiro ich denke (nach blick in die wikipedia zur einheitshyperbel) doch, dass dieser Winkel genaus so definiert ist (also vom Ursprung (0,0) positiv nach (1,0) ausgehend) - lasse mich aber gern auch eines besseren belehren. -Ralf Preußen (Diskussion) 11:13, 27. Mai 2020 (CEST)

Das kann doch aber nicht sein, schon allein weil $\cosh(\alpha +2\pi )\not =\cosh(\alpha )$ während alpha und alpha+2pi ja derselbe Winkel sind.—Hoegiro (Diskussion) 11:21, 27. Mai 2020 (CEST)

doch! - siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)#/media/Datei:Hyperbel-param-s.svg -Ralf Preußen (Diskussion) 11:48, 27. Mai 2020 (CEST)

und https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelfunktion#/media/Datei:Hyperbolic_functions.svg -Ralf Preußen (Diskussion) 11:51, 27. Mai 2020 (CEST)

es gilt: sinh ⁡ ( x ± y ) = sinh ⁡ x cosh ⁡ y ± cosh ⁡ x sinh ⁡ y cosh ⁡ ( x ± y ) = cosh ⁡ x cosh ⁡ y ± sinh ⁡ x sinh ⁡ y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x\pm y)&=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y\\\cosh(x\pm y)&=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y\end{aligned}}} {\begin{aligned}\sinh(x\pm y)&=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y\\\cosh(x\pm y)&=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y\end{aligned}} -Ralf Preußen (Diskussion) 12:03, 27. Mai 2020 (CEST)

Die Additionsformel ist richtig und ist tatsächlich der springende Punkt, warum man das Gruppengesetz so definieren kann. Nur ist alpha eben nicht der Winkel, diese Veranschaulichung (wie man sie vom Kreis kennt) funktioniert hier nicht. alpha ist hier einfach ein Parameter, der hier eben durch x=cosh(alpha) eindeutig festgelegt ist ohne dass er eine geometrische Bedeutung hat.—Hoegiro (Diskussion) 13:13, 27. Mai 2020 (CEST)

Ah-ja! DANKE sehr für die Aufklärung, -Ralf Preußen (Diskussion) 14:12, 27. Mai 2020 (CEST)

Formel zur Gruppenoperation

Die angegebene Formel $(x,y)+(t,u)=(xy+tu,xu+yt)$ zur Gruppenoperation kann nicht stimmen. Danach wäre $(1,0)+(1,0)=(0+0,0+0)=(0,0)$. Das liegt nicht einmal auf der Hyperbel.--FerdiBf (Diskussion) 10:04, 30. Mai 2020 (CEST)

@FerdiBf Ja, da war ein Fehler - Danke. -Ralf Preußen (Diskussion) 10:37, 30. Mai 2020 (CEST)