Diskussion:Häufungspunkt

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Formulierungsproblem

Hi LutzL, ich (also die IP 84.56.97.101, keine Ahnung warum ich ausgeloggt war) habe deine Änderungen wieder rückgängig gemacht, denn $\left\{x:(\exists n\in \mathbb {N} :a_{n}=x)\right\}\neq \left\{a_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}$! Du hast die Folgendefinition wiederholt, daher gibt es in deiner Menge unendlich viele Elemente '1', damit gäbe es eine konstante und damit konvergente Teilfolge mit Grenzwert '1'. In meiner Menge gibt es jedoch genau eine '1' und Umgebungen (bspw. [0.6,1.4]) in denen kein weiteres Element liegt. Genau das macht den Unterschied zwischen den Häufungspunkten aus. Oder um es anschaulicher zu machen: <Grundschulmodus>In deiner Menge sind unendlich viele kleine, rote Dreiecke, in meiner nur 1 </Grundschulmodus> Grüssle, --Gnu1742 22:19, 13. Dez 2004 (CET)

Hi, dat is Quatsch. Du kannst zu einer Menge die 1 sooft hinzufügen wie Du willst, sie ist nur einmal drin. Wir reden hier über ungeordnete Mengen ohne Vielfachheiten, also einfachste Mengenlehre. Sei es wie es will, die Formel ist umständlich, auch wenn sie Dein Argument ausdrückt. Desgleichen gilt übrigens auch beim Bild einer Abbildung, im f=f(D)={f(x): x ∈ D} würde ausreichen, meist wird aber im f={y: ∃x mit y=f(x)} geschrieben. Die logischen Ausdrücke dahinter sind sogar identisch, y ∈ {f(x):x ∈ D} besagt gerade ∃x mit y=f(x)--LutzL 09:09, 14. Dez 2004 (CET)

"Man sagt a ist Häufungspunkt von M, wenn in jeder Umgebung von a ein Punkt von M liegt, der von a verschieden ist." Also bei uns und im Forster ist das die Definition von Berührpunkt. Nach meinem Wissensstand wäre gültig: "Man sagt a ist Häufungspunkt von M, wenn in jeder Umgebung von a unendlich viele Punkte von M liegen, die von a verschieden sind." Daraus folgt dann, dass jeder Häufungspunkt ein Berührpunkt ist, aber andersrum...? Falls ich falsch liege, bitte berichtigen. Wär auch für mich interressant. Johan

In metrischen Räumen sind die beiden Bedingungen äquivalent, und allgemeinere Räume dürfte Forster nicht betrachten. (Beweis: Zu einer vorgegebenen Umgebung $B_{\epsilon }(a)$ wähle $a\neq x_{1}\in B_{\epsilon }(a)$ beliebig und wähle $x_{n+1}$ mit $0<d(x_{n+1},a)<d(x_{n},a)$.)

Im Topologie-Glossar wird ein Berührpunkt darüber definiert, dass jede Umgebung von $a$ einen Punkt von $M$ enthält, der nicht unbedingt von $a$ verschieden sein muss. "Berührpunkt" ist hier also synonym mit "enthalten im Abschluss von $M$", während "Häufungspunkt" synonym mit $a\in {\overline {M\setminus \{a\}}}$ ist. Diese Verwendung scheint mir auch die übliche zu sein, bist Du Dir sicher, dass das im Forster so steht? Vgl. auch die Unterscheidung "point of closure" und "limit point" in en:closure (topology).--Gunther 00:14, 12. Jan 2006 (CET)

Ich hätte da mal ne Frage: Wider spricht sich nicht die Definition der Häufungspunkte von Folgen:"b\; heißt Häufungspunkt einer Folge a=(a_n)_{n\in\mathbb N}, falls in jeder noch so kleinen Umgebung von b\; unendlich viele Folgenglieder liegen" mit dem Beispielzu Unterschieden in der Definition:"Die Häufungspunkte von a sind 0 und 1, da zum einen eine Teilfolge existiert, welche gegen 0 geht (nämlich die an mit geraden n), zum anderen eine konstante Teilfolge mit dem Wert 1 (die an mit ungeraden n)." Es gibt zwar eine gegen die 1 konvergierende Teilfolge, aber in der näheren Umgebung gibt es keine weiteren Folgenglieder. Oder interpretier ich den Umgebungsbegriff falsch? (nicht signierter Beitrag von Bullet proofed TONY (Diskussion | Beiträge) 10:36, 10. Okt. 2006)

Die Umgebungen schließen die 1 mit ein. Und da 1 unendlich oft Folgenglied ist, ist 1 Häufungspunkt.--Gunther 10:39, 10. Okt. 2006 (CEST)

Formulierungen

Um die Verstehbarbeit für mathematisch interessierte Laien zu ermöglichen, möchte ich die besonders formalen Pasagen etwas „abwerten“. Deshalb habe ich zwei Textteile in Klammerns gesetzt; wer's zu schwierig findet, weiß dann: das kann ich auch überlesen.
Meine Frage, auch unter diesem Aspekt: ist die Formulierung „Während für den Grenzwert gilt, dass aus a_n\to a folgt, dass auch für jede Teilfolge a_{n_k}\to a gilt, dass also jede Teilfolge gegen den selben Grenzwert konvergiert, gilt für Häufungspunkte die umgekehrte Beziehung: ist a\; Häufungspunkt der Teilfolge a_{n_k}, so ist a\; auch Häufungspunkt der Ausgangsfolge a_{n}\;“ wirklich unverzichtbar? -- Peter Steinberg 23:24, 10. Mai 2006 (CEST)

Ich habe noch ein paar kleinere kosmetische Änderungen gemacht. Zum angefragten Satz: unverzichtbar ist er sicher nicht; meiner Meinung nach verdeutlicht er nochmals das Verhältnis Grenzwert/Häufungspunkt, indem er eine Art Dualität aufzeigt. Wichtige Anwendung dafür kenne ich aber keine. Wenn Du meinst, dass er für den Laien mehr verwirrend als erhellend ist, können wir ihn auch entfernen. --NeoUrfahraner 06:28, 11. Mai 2006 (CEST)

Fehlen eines Wortes?

Im Abschnitt "Häufungspunkt einer Menge" fehlt im Satz "jeder Häufungspunkt ein Berührungspunkt," (aufzählung von den drei punkten) ein wort, oder? bin mir nicht sicher ob dies der fall ist und welches fehlt. --c3p

Meinst Du In topologischen Räumen ist ... jeder Häufungspunkt ein Berührungspunkt? --NeoUrfahraner 13:01, 8. Dez. 2007 (CET)

Unterscheidung zwischen Häufungspunkt und Verdichtungspunkt?

Wenn ein Häufungspunkt a einer Folge F so definiert ist(und nur so kenne ich dies), dass in jeder Umgebung von a ein Element von F liegen muss, welches ungleich a ist!,dann sind -1 und 1 (im ersten Beispiel des Artikels) keine Häufungspunkte der dortigen alternierenden Folge, denn in genügend kleinen Umgebungen dieser beiden Punkte befinden sich außer diese beiden Zahlen keine weiteren Elemente. Gemäß Studienunterlagen(Analysis 1 der Fernuni Hagen) wären dies lediglich Verdichtungspunkte. Verdichtungspunkte sind nach diesen Unterlagen Punkte, welche Grenzwerte von Teilfolgen (und diese gibt es ja hier)von F sind. Insbesondere sind somit dann Häufungspunkte und Verdichtungspunkte nicht immer das gleiche! (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 88.70.52.10 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 19:36, 22. Feb. 2008 (CET))

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Benutzer_Diskussion:Gnu1742&diff=42862611&oldid=42859644 Ich hab's entfernt. --NeoUrfahraner 23:42, 22. Feb. 2008 (CET)

Man sagt Verdichtungspunkt bei Folgen und Häufungspunkt bei Mengen. "Man muß genau unterscheiden zwischen Häufungspunkten von Mengen und Verdichtungspunkten von Folgen. In der Literatur herrscht hier terminologisch eine enorme Verwirrung, wir weisen daraufhin, daß in manchen Lehrbüchern für einen Verdichtungspunkt eier Folge auf die Bezeichnung Häufungspunkt einer Folge verwendet wird. Dadurch gibt es Mißverständnisse, die häuptsächlich wegen des folgenden Phänomens zustande kommen: Wir können einer Folge {x_n} eindeutig eine Menge X({x_n})={x : x=x_n für n e N} zuordnen. Jedoch sind im allgemeinen Verdichtungspunkte der Folge nicht Häufungspunkte der zugeordneten Menge! Der Grund liegt darin, daß für eine Folge ein Verdichtungspunkt dadurch zustande kommen kann, daß eine Zahl unendlich oft auftritt, während dies für Häufungspunkte einer Menge ausgeschlossen ist." ( Zitat siehe Analysis I von Wolfgang Luh auf Seite 103, ISBN 3-89104-498-4) --84.58.230.31 17:36, 3. Mär. 2009 (CET)

Verständlicher

Hallo zusammen. Ich habe mich mal eingemischt, und den Artikel etwas umstrukturiert und umformuliert, weil ich meine, dass es ihm an Lesbarkeit gebricht. Ich habe an den Anfang eine kurze und klare Definition der beiden Häufungspunkt-Begriffe gesetzt. Die beiden Namen Folgenhäufungspunkt und Mengenhäufungspunkt scheinen mir passend zu sein, die beiden ähnlichen aber doch verschiedenen Begriffe auseinanderzuhalten. Häufungspunkt und Häufungswert kann eh keiner auseinander halten. Das Beispiel zum Unterschied der beiden passt am besten gleich nach dem Zweck-Abschnitt. Eure Kommentare dazu?--AlfonsGeser 20:38, 6. Jun. 2008 (CEST)

Seitdem ich zuletzt was an dem Artikel geändert habe, ist viel passiert (inklusive eine Art Editwar) - muss mir wieder alles Satz für Satz durchlesen. Ungern würde ich den Status auf "gesichtet" setzen, obwohl solche Haltung dem Sinn der gesichteten Versionen nicht entspricht. Grosse Änderungen auf einmal sind prinzipiell nicht die allerbeste Lösung, weil dann der Versionsunterschied unübersichtlich ist. Werde bei Gelegenheit probieren den Artikel unter die Luppe zu nehmen. Aber schon jetzt sehe ich beim ersten Satz Fehler: Ein Häufungspunkt einer Menge ist ein Punkt, der unendlich viele weitere Punkte in seiner Nähe hat - und was ist mit den endlichen topologischen Räumen? --Alexandar.R. 21:09, 6. Jun. 2008 (CEST)

Der zweite Satz ist auch nicht ganz richtig, er stimmt so nur in Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen. --NeoUrfahraner 21:31, 6. Jun. 2008 (CEST)

Hallo Alexandar und NeoUrfahraner! Ich interpretiere Eure Kritik mal so: Im Wesentlichen findet Ihr, dass alles in Ordnung ist. Danke dafür. Wenn ihr die Definitionen präzisieren wollt, so ist das in Ordnung. Aber vergeßt bitte nicht, dass die Einleitung allgemein verständlich bleiben sollte: Wikipedia:Oma-Test.

Alexandar, ich habe die Struktur nur ganz ungern durcheinandergebracht. Auch ich finde, dass größere Änderungen besser vermieden werden. Gelegentlich ist es aber nötig, und ich hoffe, dass Du mir in diesem konkreten Fall schliesslich recht geben wirst. Dass Du dem Artikel aber den gesichtet-Status verweigerst, ist gegen die Grundsätze von Wikipedia. Ich zitiere aus Wikipedia:Gesichtete Versionen:

Eine gesichtete Version ist eine mittels der MediaWiki-Extension Flagged Revisions speziell gekennzeichnete Version 
eines Artikels, die aussagen soll, dass eine Artikelversion frei von offensichtlichem Vandalismus ist. Sie sagt
nicht aus, dass der Artikel fachlich geprüft wurde.

Du verdächtigst mich doch nicht des Vandalismus? Ich fordere Dich auf, die neue Version auf Anzeichen von Vandalismus durchzusehen und das "gesichtet" Flag nicht länger zu verweigern.--AlfonsGeser 18:14, 8. Jun. 2008 (CEST)

Och, Mensch Alfons. Ich verweigere gar nichts. Damit wollte ich nur sagen, dass bei der Unsicherheit, die ich im Zusammenhang mit der Richtigkeit des Inhaltes verspüre, lieber jemandem anderen den Sichtungsstatusänderungen überlassen würde. Sowas darf jeder machen. ...Große Änderungen vermeiden... - auch große Änderungen sind erwünscht, wenn sie nötig sind. Besser ist es aber diese nicht mit einem Schlag (eine Redaktion zu machen), so ist es manchmal übersichtlicher. ...alles in Ordnung... - ich kann für NeoUrfahraner nicht sprechen, aber ich finde nicht, dass alles in Ordnung ist. Den Oma-Test vor der inhaltlichen Richtigkeit der Aussagen zu stellen ist keineswegs OK. Der Artikel verdient jetzt einen Überarbeiten-Baustein. Ich wollte die Reaktion auf meine Kritik abwarten, bevor ich ihn setze. Normalweise sollte er aber sofort hin, wenn etwas nicht stimmt. --Alexandar.R. 18:48, 8. Jun. 2008 (CEST)

Noch einmal: Mit der inhaltlichen Richtigkeit hat das gesichtet-Flag nichts zu tun. Ich fordere Dich noch einmal auf, das gesichtet-Flag nicht länger zu verweigern. Die Änderungen scheinst Du ja durchgesehen zu haben. "Sowas darf jeder machen" stimmt übrigens nicht. Ich zitiere aus Wikipedia:Gesichtete Version:

Jeder angemeldete Benutzer wird automatisch zum „Sichter“ sobald 60 Tage seit seinem ersten Edit vergangen sind, er
mindestens 500 Artikel-Bearbeitungen (Edits) getätigt, eine Benutzerseite angelegt und seine eMail-Adresse
bestätigt hat, sein Sperrlogbuch leer ist und einige weitere Anforderungen erfüllt sind.

Was Deinen Überarbeiten-Baustein betrifft: Werde glücklich damit. Ich bin schon froh, dass Du meine Änderungen nicht rückgängig gemacht hast. Oder hat Du damit nur gewartet, bis Reaktion auf Deine Kritik kommt? :-^ --AlfonsGeser 20:33, 8. Jun. 2008 (CEST)

Zuletzt lautete die Regel 30 Tage + 30 Edits - ist offensichtlich verschärft worden. Den Status habe ich schon um 18:50 geändert. Welche Änderungen an dem Artikel als nächstes sinnvoll wären, damit habe ich jetzt keine Zeit mich zu beschäftigen. --Alexandar.R. 20:58, 8. Jun. 2008 (CEST)

1. Zum gesichtet-Flag: Es stimmt, dass das gesichtet-Flag keine inhaltliche Richtigkeit garantiert, sondern lediglich Vandalismusfreiheit. Das sehe ich aber nur als Minimalforderung. Es bedeutet nicht, dass man jemanden zwingen kann, eine gesichtet-Flag zu setzen, wenn er aus welchem Grund auch immer inhaltliche Zweifel hat. Ich bin da mit dem Sichten auch lieber ein wenig vorsichtiger.
2. Inhaltlich: das Ziel, den Artikel verständlicher zu machen, halte ich für gut. Momentan geht die Verständlichkeit aber auf Kosten der Korrektheit. Der Artikel setzt implizit ein paar Axiome (Trennungsaxiom T2, erstes Abzählbarkeitsaxiom) voraus, die zwar in den meisten, nicht aber in allen topologischen Räumen erfüllt sind. Wenn ich Zeit finde, werde ich ein paar konkrete Verbesserungsvorschläge machen. --NeoUrfahraner 08:39, 9. Jun. 2008 (CEST)

Um die Korrektheit sicherzustellen, habe ich in der Einleitung an prominenter Stelle den Kontext vorausgesetzt, nämlich die Analysis, und explizit davor gewarnt, die Definitionen in der Topologie damit gleichzusetzen. Mir ist natürlich klar, dass das einen richtigen Topologen nicht zufrieden stellt, aber 99 Prozent der Leser sind halt keine Spezialisten in der Topologie. Ist Euer Vorwurf jetzt entkräftigt? --AlfonsGeser 10:43, 9. Jun. 2008 (CEST)

Fast. Zur Analysis wird oft auch die Funktionalanalysis gezählt, in der auch allgemeinere Topologien eine Rolle spielen. Der passende Kontext wären eigentlich die metrischen Räume, die entsprechend allgemein sind, aber T2 und Ab1 erfüllen. Blöderweise kenne ich kein passendes Wort für "Analysis beschränkt auf metrische Räume". "Elementare Analysis" ist auch nicht klar definiert. Passt es, wenn man den dritten Satz folgendermaßen formuliert: "Entsprechende Verallgemeinerungen gibt es in der Theorie der metrischen Räume bzw. noch allgemeiner in der Topologie". Dann kann man in weitere Folge an den entsprechenden Stellen einfach "In metrischen Räumen" ergänzen, um explizit den Kontext hervorzuheben. --NeoUrfahraner 14:04, 9. Jun. 2008 (CEST)

Vielleicht Haarspalterei, aber lokal abzählbare Umgebungsbasen gibt es auch in nur metrisierbaren Räumen, uniforme Räume oder einige lokal-konvexe Räume. Und für manche Leute ist Topologie auch ein Teilgebiet der Analysis. Gemeint war wohl die Abgenzung "reelle Analysis" zu mehrdimensionaler Analysis bis hin zu allgemeiner Topologie. Das entspräche dann auch dem Verlauf des Artikels, reelle Zahlenfolgen samt liminf/limsup werden vordergründig behandelt, allgemeinere Folgen in den Anmerkungen.--LutzL 15:24, 9. Jun. 2008 (CEST)

Ja. An einigen Stellen braucht man T2, an anderen Ab1. Für die Korrektheit ist es wichtig, einen Kontext zu finden, in dem diese beide Axiome erfüllt sind (das muss nicht unbedingt der allgemeinste sein), für die Verständlichkeit sollte man aber nicht zu abstrakt werden. An "reelle Analysis" habe ich auch gedacht, aber das "natürliche" Gegenstück wäre die komplexe Analysis, und da gelten ja auch weiterhin T2 und Ab1. Jedenfalls möchte ich nicht, dass so einfach dort steht "dass jede Folge höchstens einen Grenzwert haben kann", verstehe aber andererseits, dass man nicht gleich mit Trennungsaxiomen anfangen kann. --NeoUrfahraner 15:45, 9. Jun. 2008 (CEST)

Danke für Eure konstruktiven Beiträge. Die weiteren Änderungen würde ich jetzt gerne Euch überlassen, weil Ihr Euch in den Feinheiten besser auskennt als ich.--AlfonsGeser 21:40, 9. Jun. 2008 (CEST)

Motivation in der Einleitung

In der Einleitung steht, dass der Begriff des Häufungspunkts eine wichtige Rolle in der Mathematik spielt. Das kann man vielleicht noch etwas konkretisieren. Die Begriffe Kontinuum und diskrete Menge beruhen darauf, und die mathematischen Zugänge zu beiden unterscheiden sich grundsätzlich voneinander. --AlfonsGeser 11:52, 14. Jun. 2008 (CEST)

Bild

Also, rein persönlich finde ich das neue Bild (1nthsrun.png) nicht berauschend, mancher mag es sogar verwirrend finden ... --Hagman 13:26, 13. Aug. 2010 (CEST)

Ein graues Nicht oder ein nichtigen Grauen? Und warum muss sowas als pixeliger Screenshot von einem Spectrum-Emulator gebaut werden und nicht mit einem modernen Programm, das eine svg-Vektorgrafikausgabe ermöglicht? Als Spirale sähe das vielleicht greifbarer aus.--LutzL 15:45, 13. Aug. 2010 (CEST)

Und besser ist es jetzt auch nicht geworden ... :( --Hagman 23:17, 13. Aug. 2010 (CEST)

Lack of elaborating concrete concerns

I have never met such a situation till now, first time when I cannot even grasp the mere intention of the questions. It is extremely hard to reply to generalities and lack of concreteness. I try now to figure out the intentions and reply them, but I may misunderstand them, because, I think, they are only vaguely elaborated.

"Ein graues Nicht oder ein nichtigen Grauen?"

I do not speak German, I do not understand exactly. Using dictonary and grammar memories from childhood, the sentence seems to me something like "A gray nothing or an inane horror?". In my dilletant verbatim translation, this seems like an unaprorpriate emotional "sidekick", making further discussion extremely hard, discouraged as WP:KPA on Wikipedia. I am used to such sentences only on cyberbullying sites like 4chan's /b/ channel (a highly debated juvenile site), but not here or in academic discussions. Could we agree to avoid dishonest sidekicks in future? Sorry if I mistranslated the sentence.

"Und warum muss sowas als pixeliger Screenshot von einem Spectrum-Emulator gebaut werden und nicht mit einem modernen Programm, das eine svg-Vektorgrafikausgabe ermöglicht?"

Simply because my lack of learning curve, I do not know mathematical programs well:

• The ones I know (Wolfram Alpha) facilitate only special goals (plottings of continuous functions). The level I know Matlab-like programs is also just mere plotting of functions.
• In other mathematical programs, I found their scripting language hard, and I could not mount the learning curve of their scripting yet.
• That's why I tried to use general graphical libraries. X Window System and GTK+ are hard to program, they seem for me rather low-level, implementation-near. It takes learning of days through thousand-pages-large manuals just to plot a mere dot. Gnuplot does not seem friendlier, either.

ZX Spectrum Basic had no learning curve for me, because I know it from my teens like my palm. More important: its graphical interface is incoroprated into the language itself. Thus, I simply used the only solution at hand. Later, I tried LOGO too.

Now I am learning a higher-level graphical library: HGL (Haskell Graphics Library). This Haskell, a pure functional programming language, is my "maternal" programming language, with no more learning curve for me. The only curve is the learning of its graphical library. Fortunatelly, HGL fits very well to the pure logical and algebraic spirit of the language.[1] In the future, I try to use this for similar goals, after having passed its learning curve.

"1nthsrun.png ..., mancher mag es sogar verwirrend finden"

My other image has indeed a big didactical problem: the use of horizontal lines may be very confusing: why is an accumulation point represented as a limit of sequence of lines? As I chose the horizontal lines, my thought was that a horizontal "smearing" transforms the first image into the second one in a visually intuitive way.

But as for the mentioned 1nthsrun.png image, I cannot figure out what the claimed didactical problem is. The image represents a sequence which can be split into two subsequences on a parity base. I find the image straightforward. It would be helpful to formulate the problem in a more elaborate way. Why does it run against the didactic goal?

$a_{n}:={\begin{cases}1/n,&{\mbox{falls }}n{\mbox{ gerade}}\ ,\\1,&{\textrm {sonst.}}\end{cases}}$

"Und besser ist es jetzt auch nicht geworden ... :("

Dots are now visible. In the former image, dots were not visible. Why is that no improvement at all? Does it have a factual mistake? Or does it run against a didactic aspect? Such a vague claim does not seem to be constructive. Such a severe claim needs elaboration.

In short: did the two images add any didactic increment to the explanatory text, or not? The images surely have huge technical limitations, but the real question is: Do the technical limitations of the images run against didactical aspects? Was the article more appropriate didactically without the images? If so, then the images should be deleted, and should not be let to pass the administrator check (which occured meanwhile). But if the didactic increment exists, the images can be left temporarily till someone with more learning curve than me redraws them.

I found no concrete proposals, no didactical arguments, not even a request to the administrator not to let the "ungesichtet" version pass (moreover, it passed this check since then). No one deleted or redrawed the images. The concern remarks about the images stick to generalities, and lack any concreteness and elaboration. At least a didactical argument is sorely lacking (do the images provide zero or even negative didactic increment to the explanatory txt?) I simply find no way how to react, or whether there is anything at all to reply to. I have been never addressed in such an unconstructive and unhelpful way on talk pages, and the future of the images has been left unclarified, too.

Physis 16:12, 29. Aug. 2010 (CEST)

Yes, graphics programming gets steeply harder the more modern the programming environment is. But, it's not necessary to paint the graphics on the screen and then capture them somehow. It is easier to write directly into a graphics file. The formats "portable graymap" pgm and "portable pixmap" ppm are especially simple (or even the venerable xbm and xpm), conversion to more (or at all) compressed formats can then happen separately with imagemagick or similar programs. Even better for the intended purpose would be to use a vector graphics format. Postscript is such a format that is at the same time a complete programming language. SVG would be another possibility. Gnuplot can produce both. -- Your images, esp. the circles, are rendered as middle gray on middle gray, even if the full resolution is black on middle gray. This is visually awful. That's the reason for my first comment.--LutzL 19:50, 29. Aug. 2010 (CEST)

We had just an editing conflict (both of them submitted at the same time). I resolved it by stepping back, cancelling my submission, saving it, and now I submit it again to a standalone section, which can be read below under the long subsection header.

I suppose, Hagman did not mean the technical details as most important, I think he wanted to point out to the didactical problem which I figured out meanwhile myself, and described it below.

Physis 20:18, 29. Aug. 2010 (CEST)

Thank You for the proposed graphical formats and solutions. As they are entirely new to me, I cannot leap their learning curve in the next days. The only one I have ever heard about is Gnuplot, but even that takes some time for me. I shall study all of them in future. I think I shall do the task of the redrawing with Haskell Graphics Library, because I have already invested a lot into it (7 years in Haskell, and the last two weeks in its graphical library HGL), thus I can begin that work at once. Physis 21:18, 29. Aug. 2010 (CEST)

Usage of horizontal lines on the 2nd image has more didactical disadvantages than advantages

My reply to the second comment can be read one line above from here, and even three lines above that too.

Independent of all above, I found a didactical fault on my 2nd image, which requires urgent redraw. I will do that overnight.

The second image uses horizontal lines. The reason behind is that if we "smear" the 1st picture horizontally, than it gets transformed into the 2nd one in an intuitive way:

After "smearing" 1st image horizontally, it turns into the 2nd one:

But this small didactical trick, a tiny advantage, does not counterbalance a huge didactical disadvantage: why does the 2nd image represent the notion of accumulation point with a limit of sequence of lines? If the reader does not make the associated mental abstraction automatically (smeared lines represent only points), then the image can confuse or even mislead him. An indirect interpretation of the image is inappropriate.

This is a deciding counteradvise against the image, from a didactic aspect.

A solution: unifying the two ideas behind the two images into a single graphical notation, and drawing a unified image in the following way:

• On the right half of the image, a coordinate system-like representation of the $(a_{n})$ sequence, maybe coloring added to emphasize the two subsequences.
• On left part of the image, a Zahlengerade. The number line must stand vertically, not horizontally. The set $\lbrace a_{n}\mid n\in \mathbb {N} \rbrace$ and the accumulation point 0 can be presented here.
• The left and the right halves of the image, the number line and the coordinate system are passed so next to one another, that the correspondence between the two represented notions (the set and the sequence) should be intuitively visible. Small horizontal leading lines or appropriate coloring can enhance the effect.

Haskell's HGL seems an appropriate tool to draw that.

Physis 20:12, 29. Aug. 2010 (CEST)

Proposed new version of the image

Die konstante "grüne" Teilfolge konvergiert gegen 1, die nichttriviale "rote" gegen 0. Der einzige Häufungspunkt der "weiße" Menge ist 0, und 0 selbst gehört nicht zur Menge. 1 ist kein Häufungspunkt.

Die Begriffe Folgenhäufungspunkt und Mengenhäufungspunkt sind eng miteinander verwandt, aber nicht genau gleichwertig. Das demonstriert folgendes Beispiel:

Die Folge $a=(a_{n}),n\in \mathbb {N}$ sei folgendermaßen definiert:

$a_{n}:={\begin{cases}1/n,&{\mbox{falls }}n{\mbox{ gerade}}\ ,\\1,&{\textrm {sonst.}}\end{cases}}$

Die Folge a hat zwei Häufungspunkte. Die Teilfolge $(a_{2n})$ konvergiert gegen 0, also ist 0 Folgenhäufungspunkt von $(a_{n})$. Die Teilfolge $(a_{2n+1})$ konvergiert gegen 1, also ist auch 1 Folgenhäufungspunkt von $(a_{n})$.

Die Menge der Folgenglieder von $(a_{n})$ ist definiert durch

$X((a_{n})):=\left\{a_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}$

Das heißt, $X((a_{n}))\,$ ist die Menge aller Folgenglieder, siehe Bildmenge von Funktionen. Nun ist 0 ein Häufungspunkt der Menge $X((a_{n}))\,$, denn um jede ε-Umgebung gibt es noch Elemente $1/n\,$ mit $1/n<\varepsilon$, die 1 jedoch nicht, da sich zum Beispiel in seiner Umgebung mit dem Radius $0{,}3$ kein weiteres Element der Menge befindet.

Der Unterschied beruht darauf, dass ein Wert, der in einer Folge unendlich oft als Glied vorkommt, in der Menge trotzdem nur einmal gezählt wird. Jeder Mengenhäufungspunkt ist ein Folgenhäufungspunkt. Umgekehrt ist ein Folgenhäufungspunkt entweder ein Mengenhäufungspunkt, oder kommt unendlich oft als Folgenglied vor.

Physis 19:02, 9. Sep. 2010 (CEST)

A proposal in the text: I suppose, for the domain of the sequence, instead of $\mathbb {N}$, rather $\mathbb {N} ^{+}$ was meant: $a_{n}$ is not interpreted in n = 0. Physis 19:05, 9. Sep. 2010 (CEST)

Actually, that depends on the "version" of $\mathbb {N}$ used, cf. natürliche Zahl. Actually, the problem can be avoided quietly by switching odd and even ($a_{n}={\tfrac {1}{n}}$ if $n$ is odd (and hence non-zero!) and $a_{n}=1$ otherwise). Changing the sequence requires changing the images of course (though the difference may not be noticed by the average reader). My suggestions for theimages: Add axes to the sequence version so that the horizontal axis (with an arrow tip) suggests the dynamic aspect of a sequence; arrange the set (as a set of points, not lines) horizontally to conform with the usual real line (as a "static object")being drawn horizontally. Also I'd suggest using black on white (or possibly some color like red or blue on white for the points and black fopr the axes). I'll start my text editor in a minute and try to make an example of what I mean. (I never meant to bully you as a graphic artist, I just was rather somewhat upset about the appearence of the article).--Hagman 22:02, 12. Sep. 2010 (CEST)

As promised, this is what I just "hacked" together to demonstrate what I mean:

. These may not be the prettiest possibilitie with resüpect to design, but at least SVG graphics are readily edited with a simple text editor and they are vector graphics (thus look good even in printed media). They are PD and I don't mind them being improved or completely replaced by others. Your animation is also very nice (but as a gif it is not scalable and as any animation has problems withbeing printed).--Hagman 22:44, 12. Sep. 2010 (CEST)

Thank You very much for Your proposal and help. At that time I had no knowledge about vector graphics. Meanwhile, I have begun to learn a vector graphics language (Asymptote). Now I put the resulting new SVG images into the article, it can be modified or reverted. To facilitate any possible modification, I include also the generating source code on the Wikimedia Commons page of the images (both images are generated by the same Asymptote program):

Die konstante Teilfolge konvergiert gegen 1, die nichttriviale andere gegen 0.	Der einzige Häufungspunkt der Menge ist 0, und 0 selbst gehört nicht zur Menge. 1 ist kein Häufungspunkt.

Physis 08:38, 25. Mär. 2011 (CET)

Warum wäre 1 kein Häufungspunkt? Imho ist das das Gegenteil von richtig. --χario 00:15, 26. Apr. 2012 (CEST)

1 ist ein Häufungspunkt der Folge, aber ein isolierter Punkt der Menge der Folgeglieder, und damit kein Mengen-Häufungspunkt. Um diesen Unterschied ging es oben in der Beschreibung. Die Bildunterschrift ist nicht ganz so klar.--LutzL (Diskussion) 12:12, 26. Apr. 2012 (CEST)

Häufungspunkt einer Folge - Definition - Topologie und Folgenhäufungspunkt

Also irre ich mich, oder ist das genau das was eben für Mengen-Häufungspunkte gilt, aber für Folgen eben doch drin ist (man denke an konstante Folgen):

> Sofern die Topologie des Raumes nicht allzu 'verklumpt' ist, ist ein Punkt $p$ Häufungspunkt, wenn in jeder Umgebung von $p$ ein von $p$ verschiedenes Folgenglied liegt.

LG Daniel (nicht signierter Beitrag von 87.184.72.128 (Diskussion) 21:28, 25. Apr. 2012 (CEST))

Häufungspunkt und Häufungswert

Bei Herrn Prof. Dr. Schmoeger gibt es einen Unterschied zwischen Häufungspunkten und Häufungswerten:

$(a_{n})$ sein eine Folge und $\alpha \in \mathbb {R}$. $\alpha$ heißt ein Häufungswert von $(a_{n}):\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0$ gilt: $a_{n}\in U_{\varepsilon }(\alpha )$ für unendlich viele $n\in \mathbb {N}$.

Quelle: Skript Analysis I, S. 31.

Sei $D\subseteq \mathbb {R}$ und $x_{0}\in \mathbb {R}$. $x_{0}$ heißt ein Häufungspunkt von $D:\Leftrightarrow \exists {\text{Folge }}x_{n}{\text{ in }}D\setminus \{x_{0}\}{\text{ mit }}x_{n}\rightarrow x_{0}$.

Quelle: Skript Analysis I, S. 59.

Ein Beispiel, wo es einen Unterschied macht:

$a_{n}=(-1)^{n}$

${\mathcal {H}}(a_{n})=\{1,-1\}$

$\{a_{1},a_{2},...\}=\{-1,1\}$ hat keine Häufungspunkte

Falls diese beiden Begriffe auch in der Literatur keine Synonyme sind, sollte man die Weiterleitung unbedingt entfernen oder im Artikel den Unterschied klar machen.

Grüße, --Martin Thoma 14:20, 17. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe nun eine weitere Quelle für den Unterschied:

Eine Zahl $\alpha$ heißt Häufungswert der Folge $(a_{n})$, wenn in jeder $\varepsilon$-Umgebung von $\alpha$ unendlich viele Folgenglieder liegen, wenn es also zu jedem $\varepsilon >0$ unendlich viele Indizes $n$ gibt, für die

$a_{n}\in U_{\varepsilon }(\alpha )$ oder also $|a_{n}-\alpha |<\varepsilon$ ist.

Quelle: Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. 11. Auflage. Teil 1. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-42231-X, S. 179. 

Wir nennen $\xi$ einen Häufungspunkt der Menge $M\subset \mathbb {R}$, wenn es eine Folge $(x_{n})$ aus $M$ gibt, die gegen $\xi$ konvergiert, deren Glieder aber alle $\neq \xi$ sind.

[...]

Der Leser unterscheide sorgfältig zwischen „Häufungspunkt einer Menge“ und „Häufungswert einer Folge“.

Quelle: Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. 11. Auflage. Teil 1. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-42231-X, S. 235. 

Da das Buch von Heuser ein Standardwerk ist, wäre ich dafür die Begriffe auch in der Wikipedia so zu übernehmen.

Also sollte insbesondere als erstes in diesem Artikel alles angepasst werden.

Vermultich wäre es aber am sinnvollsten, zwei Artikel - einen für „Häufungspunkt“ und einen für „Häufungswert“ zu erstellen.

Gibt es dazu wiederspruch oder Anmerkungen?

Grüße, --Martin Thoma 16:20, 29. Aug. 2012 (CEST)

Widerspruch. Häufungswert halte ich für einen extrem selten gebrauchten Begriff. Für Folgen in metrischen Räumen ergibt "Wert" nicht so recht Sinn.--LutzL (Diskussion) 19:42, 29. Aug. 2012 (CEST)

Wieso ergibt „Wert“ für Folgen in metrischen Räumen nicht so recht Sinn? Kannst du Quellen nennen, die das, was in der Definition von Heuser als Häufungswert bezeichnet wird, als Häufungspunkt bezeichnen?

edit: Ach so. Ja, mir ist jetzt klar warum dir „Punkt“ bei metrischen Räumen besser gefällt als „Wert“. Dennoch hätte ich für die Bezeichnung gerne eine Quelle. --Martin Thoma 21:21, 29. Aug. 2012 (CEST)

The terminology seems as confusing in German as in several other languages (including English and Swedish...). I note that at least some German-speaking authors try to address the problem. As far as I can see, the term Verdichtungspunkt (suggested by Wolfgang Leh; see Diskussion:Häufungspunkt#Unterscheidung zwischen Häufungspunkt und Verdichtungspunkt?, supra) is meant to stand for essentially the same thing as Häufungswert. Am i right? Jörgen B (Diskussion) 21:41, 18. Mai 2013 (CEST)