Diskussion:Hilbertraum/Archiv

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[[Diskussion:Hilbertraum/Archiv#Thema 1]]

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https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Hilbertraum/Archiv#Thema_1

Reflexiv in Banach- und Hilbert-Räumen

Hallo allerseits,

im Text wird behauptet:

Die Eigenschaft der Isomorphie eines Raums zu seinem Dualraum nennt man Reflexivität.

Das ist so nicht korrekt. Ein Banachraum (und mithin auch Hilberraum) wird als reflexiv bezeichnet, wenn er isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum ist, wobei die kanonische Einbettung des Raums in sein Bidual als Isometrie fungiert. (Es gibt tatsächlich Banachräume (z.B. den Jamesraum), die isometrisch isomorph zu ihrem Bidualraum, aber nicht reflexiv sind (man nennt solche Räume quasi-reflexiv).

Gruss, Kai

Ich habe es korrigiert und mit der Definiton verlinkt --NeoUrfahraner 17:33, 10. Feb 2005 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 12:19, 22. Aug. 2012 (CEST)

Null und Funktionenklassen in L2

Zwar ist der L2 ein wichtiger Hilbertraum, aber so wie er in dem Artikel beschrieben ist, ist L2 kein Hilbertraum (da die Definitheit beim Skalarprodukt fehlt). Wäre eine ausführliche Definition zu kompliziert oder sollte man es so, also eigentlich falsch, stehen lassen? --Sabata 19:42, 20. Aug 2004 (CEST)

nur wegen der bisher fehlenden komplexen Konjugation, die ich eben nachgetragen habe ? oder was ist sonst falsch ? ich denke, es spricht nichts gegen eine ausführliche Erklärung. -- Weialawaga 21:34, 20. Aug 2004 (CEST)

Naja, entweder ist beim Integral das Riemann-Integral gemeint, dann ist aber der Raum meines Wissens nach nicht vollständig oder aber das Lebesgue-Integral, dann ist aber die Definitheit verletzt (nur die Null hat Norm null), d.h. wenn ich eine Funktion betrachte, die bis auf eine Nullmenge gleich null ist, aber ansonsten nicht (also nicht die Nullfunktion), dann ist die Norm immer noch null. Lp wird erst zu einem Banachraum, wenn ich zwei Funktionen als gleich definiere, die bis auf Nullmengen gleich sind (=Äquivalenzklassen von Funktionen). Anders gesagt: Lp ist genau dann ein Banachraum, wenn die leere Menge die einzige Nullmenge ist, was aber beim Lebesgue-Maß nicht der Fall ist. --Sabata 22:07, 20. Aug 2004 (CEST)

Was ein L2-Raum ist, sollte hier nicht erklärt werden, sondern in einem entsprechenden Artikel über Lp-Räume. Keine Ahnung obs den schon gibt. --DaTroll 21:00, 22. Aug 2004 (CEST)

Gegenmeinung: die Anforderung "vollständig" ist wichtiger Bestandteil der Definition eines Hilbert-Raums, und die Anmerkung von Sabata hilft, zu veranschaulichen, welche nichttrivialen Implikationen diese Anforderung hat. -- Weialawaga 21:13, 22. Aug 2004 (CEST)

OK, das sehe ich ein. Viele Gruesse --DaTroll 21:17, 22. Aug 2004 (CEST)

Habe erst nicht gesehen, dass es bereits einen Artikel über L^p-Räume gibt. Ich habe jetzt mit einer Bemerkung dorthin verlinkt. Zweimal die L^p-Definition auszuführen, erscheint mir doch etwas zu kompliziert. Danke für die Antworten, --Sabata 17:45, 23. Aug 2004 (CEST)

Ich habe das nochmal umgeschrieben. Im allgemeinen Sprachgebrauch ist mit L2 der Raum der Äquivalenzklassen der quadratintegrierbaren Funktionen gemeint. Deswegen ist es keineswegs falsch, das so zu schreiben. Viele Gruesse --DaTroll 22:02, 23. Aug 2004 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Diskussion) 13:09, 1. Sep. 2012 (CEST)

Hilbertraum oder Hilbert-Raum

Im Artikel wird ungefähr gleich oft von Hilbertraum, wie von Hilbert-Raum gesprochen. Auch die Links auf diese Seite verwenden beide Schreibweisen etwa gleich oft. Es sollte nur eine Schreibweise verwendet werden und die zweite als Redirekt weiterleben. Mir gefällt Hilbertraum besser. Andere Meinungen? --Fomafix 19:52, 31. Jul 2006 (CEST)

Das wird man nie ganz vereinheitlichen können. Manche der Begriffe habe ich noch nie ohne Bindestrich gesehen (z.B. "Kronecker-Delta"), aber mir persönlich gefällt Hilbertraum auch besser.--Gunther 22:35, 31. Jul 2006 (CEST)

Hilbertraum liest sich auf den ersten Blick wie Hilber(t)-Traum insofern finde ich Hilbert-Raum eingängiger 15:12, 8. Dez. 2006 (CET)

Dann müsste man aber auch konsequenterweise auch Frechet-Raum schreiben. Das Verleserisko besteht, aber ich halte es für wahrscheinlich, dass fast niemand davon ausgeht, dass Mathematiker sich mit Träumen beschäftigen. Erwähnte ich bereits, dass meine Mitbewohnerin während ihrer Matheprüfung fast Himbeer-Traum statt Hilbertraum gesagt hätte? Der Duden sagt, dass solche Zusammensetzungen i.A. ohne Bindestrich geschrieben werden. --R. Möws 19:05, 9. Dez. 2006 (CET)

Keine Frage, nach Duden ist Hilbertraum die korrekte Schreibweise. In der Fachliteratur ist es jedoch i.A. üblich (weil besser lesbar) Personennamen durch Bindestrich abzutrennen, also Hilbert-Raum.

Gruß, René 17.48, 31. März 2007

Fände Hilbert-Raum auch schöner, und auch, wenn ich dazu in der Wikipedia keine Richtlinie gefunden habe, ist es hier doch eigentlich üblich, Eigennamen in zusammengesetzten Begriffen durch Bindestrich abzutrennen – so heißt es zum Beispiel konsequenterweise Fréchet-Raum. Deswegen, und um das Verleserisiko gänzlich zu eliminieren, bin ich für das Verschieben des Lemmas. Grüße, --RealZeratul 14:03, 21. Mai 2008 (CEST)

Ich habe den Eindruck, dass auch in der Fachliteratur "Hilbertraum" üblicher ist, kann das aber nicht belegen. (Bei verschiedenen Namen ist die Fachliteratur nicht einheitlich, zB heißt es "euklidischer" und nicht Euklid-Raum.)

Für das Lemma selbst sollte die "gebräuchlichste" Schreibweise verwendet werden. Ich glaube das steht in einer Wikipedia-Richtlinie.

Wuzel 18:42, 21. Mai 2008 (CEST)

Jedoch heißen die anderen Seiten Banach-Raum, Kolmogoroff-Raum, Fréchet-Raum .. (alle MIT Bindestrich), bin daher im Zuge der Vereinheitlichung (und weil ich auch Banach-Raum bevorzuge weil es in der Mathematik üblicher ist) ebenfalls für eine Verschiebung dieses Artikels --84.60.121.201 21:29, 6. Okt. 2009 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Diskussion) 13:16, 1. Sep. 2012 (CEST)

Fehler: unendlich-dimensional?

Ich glaube, da ist ein (Standard-)Fehler drin! Soweit ich weiß ist ein Hilbert-Raum ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt, mehr nicht, keine Aussage über die Anzahl der Dimensionen. Als Beispiel wird im Artikel unter anderem sogar der $\mathbb {R} ^{n}$ angegeben, der endlich viele Dimensionen hat. Im englischen Artikel ist auch nirgends die Rede von unendlich-dimensional!
Gruß, René 17.52, 31. März 2007

Antwort Renè: Meiner Information nach besitzt ein HR abzählbar unendlich viele Dimensionen. (nicht signierter Beitrag von 128.131.202.72 (Diskussion) 11:54, 24. Feb. 2011 (CET))

Fehler?

Skalarprodukt im ersten Argument semilinear ist, im zweiten linear:

Ich habe Lineare Algebra 2 gehört und der Prof + ein weiterer haben 1. Argument linear und zweites Semilinear gesetzt ....

Bin mir also ziemlich sicher, dass es genau andersrum ist MFG

Beides ist möglich. Für welche Version man sich entscheidet, ist Konvention. Physiker neigen zu der im Artikel verwendeten Konvention (das steht auch so im Artikel), Mathematiker zu der von Dir genannten. Siehe auch die Artikel Skalarprodukt und Sesquilinearform. --Digamma 20:34, 5. Feb. 2008 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Diskussion) 13:12, 1. Sep. 2012 (CEST)

Abteilung "Unfreiwilliger Humor"

Ich meine es war beim Länderspiel England - Deutschland am 22.8.2007, als der Kommentator den Offensivdrang des eingewechselten Roberto Hilbert mit den Worten "Da kommt Hilbert und schon gehen die Räume auf" (oder sehr ähnlich) pries. - AlterVista 23:04, 19. Mär. 2008 (CET)

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Es gibt eine Anekdote, dass Hilbert nach einem Vortrag in Göttingen auf dem Heimweg einen anderen Mathematiker (Landau ?) gefragt hat: "Was hat der Vortragende eigentlich mit Hilbertraum gemeint ?" Was hat es damit auf sich ? Wäre vielleicht auch wissenswert, wenn man schon das über die Hilberträume an den Unis reinschreibt. (nicht signierter Beitrag von 77.20.209.247 (Diskussion | Beiträge) 23:10, 3. Nov. 2009 (CET))

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Diskussion) 13:13, 1. Sep. 2012 (CEST)

Reell vs. Komplex

Meiner Meinung nach sollte man es in der Einleitung dabei belassen das der HR über einem komplexen Zahlenkörper und nicht einem reellen aufgespannt wird, da dies das stärkere Argument ist und das andere impliziert. Somit ist der Zusatz reell redundant und verwirrend. mfg MG 24.02.2011 (nicht signierter Beitrag von 128.131.202.72 (Diskussion) 11:54, 24. Feb. 2011 (CET))

Das ist ein Missverständnis. Es gibt Hilberträume über $\mathbb {R}$ und solche über $\mathbb {C}$. Ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ ist kein Vektorraum über $\mathbb {C}$, da man hier Vektoren nur mit reellen Zahlen, aber nicht mit echt-komplexen Zahlen multiplizieren kann. Umgekehrt ist ein Vektorraum über $\mathbb {C}$ kein Vektorraum über $\mathbb {R}$. Vektorräume über $\mathbb {R}$ sind also kein Spezialfall von Vektorräumen über $\mathbb {C}$. -- Digamma 16:29, 24. Feb. 2011 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Diskussion) 13:14, 1. Sep. 2012 (CEST)

Hilbertraum in der Physik

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Akreuzkamp (Diskussion) 15:14, 10. Jun. 2016 (CEST)

In diesem Artikel ist der Hilbertraum vorallem mathematisch definiert und das ist auch gut so. Allerdings wird in der Physik, vorallem in der Quantenphysik sehr viel von dem Hilbertraum gesprochen, was angesichts der Tatsache, dass so ziemlich jeder Raum, mit dem sich die Physik beschäftigt, (bspw. $\mathbb {R} ^{n}$) formal ein Hilbertraum ist, unsinnig erscheint. Was ein Physiker meint, wenn er von dem Hilbertraum redet, wird in dem Artikel leider in keinem Satz erwähnt. Ich bin gerade dabei zu versuchen, genau das zu verstehen, daher traue ich mir nicht zu, es selbst hinzuzufügen, sondern bitte darum, dass jemand, der die nötige Ahnung hat, es zu ergänzen. Die beste Definition habe ich im Artikel über den Impulsoperator gefunden:

„Der Hilbertraum ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} ^{3};\mathbb {C} )$ ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums $\mathbb {R} ^{3}$“

. Ich würde also möglichst prominent im Artikel einen Satz hinzufügen ala

„In der Physik wird der Begriff des Hilbertraums üblicherweise verwendet um den speziellen Hilbertraum ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} ^{3};\mathbb {C} )$ der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des zugrunde liegenden Raumes (z.B. Ortsraum $\mathbb {R} ^{3}$) zu bezeichnen.“

Vorallem bei dem zu Grunde liegenden VR bin ich mir nicht sicher und das lässt sich mit Sicherheit besser formulieren. Daher, danke schonmal für's hinzufügen. --Akreuzkamp (Diskussion) 19:48, 21. Nov. 2015 (CET)

Ja der $L^{2}$ oder eine uneigentliche Erweiterung dessen ist der Hilbertraum, der in der Physik fast immer betrachtet wird. Aber ist es immer der $L^{2}$-Raum üder dem drei-dimensionalen Standard-Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ oder kann es auch der $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ sein? Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 20:31, 21. Nov. 2015 (CET)

Mittlerweile habe ich nicht nur die experimentelle Quantenmechanik sondern auch die theoretische Quantenmechanik gehört und habe selbst einen kleinen Abschnitt dazu hinzugefügt. Lieben Gruß.--Akreuzkamp (Diskussion) 15:14, 10. Jun. 2016 (CEST)

Einige Anmerkungen/Anregungen

Hallo zusammen: Einige Anmerkungen/Anregungen

Es sollte auf jeden Fall der Begriff der Orthogonalität definiert werden.

Zusätzlich könnten die Begriffe

Hilbertraumbasis, Fourierkoeffizient, Besselsche Ungleichung, Parsevalsche Gleichung, Parallelogrammgleichung

definiert werden. Gruss Ed_der_gar

Hab diese Vorschläge gleich in den Artikel gestellt, in der Hoffnung, dass das jemanden animiert, ausführlicheren Text herzustellen. -- Weialawaga 12:18, 21. Mai 2004 (CEST)

Das ist drin jetzt, kann verfeinert werden etc.

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --17387349L8764 (Diskussion) 16:06, 12. Mär. 2022 (CET)

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Definition

Ich finde es umständlich, den Hilbertraum über den Prähilbertraum zu definieren. Es ist doch aufwendig, wenn jemand kurz nachgucken möchte, was ein Hilbertraum ist, sich noch mal eine andere Seite anschauen zu müssen. Man könnte doch besser schreiben "Der Hilbertraum ist ein reeler oder komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt, der vollständig ist, bzgl der Norm, die durch das Skalarprodukt induziert wird. Ein Hilbertraum ist also ein Prähilbertraum der vollständig ist... usw" -- Drimascus 20:06, 17. Mär. 2011 (CET)

Zustimmung. Sei mutig. -- Digamma 21:46, 17. Mär. 2011 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --17387349L8764 (Diskussion) 16:05, 12. Mär. 2022 (CET)

Synoynm: "Hilbertscher Raum"?

Ist "Hilbertscher Raum" (so bei Johann von Neumann und im Artikel Wladimir Iwanowitsch Smirnow) ein Synonym zu Hilbert-Raum? -93.196.247.36 06:42, 17. Nov. 2013 (CET)

Ja ist synonym. Es ist John von Neumann. Gruß

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --17387349L8764 (Diskussion) 16:03, 12. Mär. 2022 (CET)