Diskussion:Hyperbel (Mathematik)

Brennpunkte

Zunächst einmal bin ich dankbar, daß es Wikipedia gibt. So haben wir alle die Möglichkeit, uns zu informieren. Daher einige Anmerkungen:

1. Die Funktion y = 1/x ergibt lediglich einen "Arm" der Hyperbel, und zwar im positiven Bereich von x und y. Der negative ( um 180 Grad gedrehte )"Arm" mit negativen Werten von x und y wird durch die Funktion y = 1/-x dargestellt. Das anzusprechen ist wichtig, um den Laien und Anfänger (wie z.B. ich es bin) nicht zu verwirren.

Nein. Wenn x negativ ist, dann auch 1/x. --Wuzel 16:37, 28. Feb 2005 (CET)

Die Funktion y = -1/x spiegelt die Funktion y = 1/x an der x-Achse in den negativen Bereich " rechts unten ". Die Funktion y = -1/-x spiegelt die Funktion y = 1/x an der y- Achse in den Bereich "links oben".

Nein. -1/-x ist dasselbe wie 1/x. Die Funktion y=-1/x stellt ebenfalls eine Hyperbel dar; ihre Äste liegen im 2. Quadranten ("links oben", negative x-Werte und positive y-Werte) und im 4.Quadranten ("rechts unten"). -- Wuzel 16:37, 28. Feb 2005 (CET), korrigiert Wuzel 13:40, 1. Mär 2005 (CET)

2. Wertvoll wäre es, wenn von berufener Seite ausgeführt würde, a) wie die Brennpunkte berechnet werden b) der Zusammenhang mit der Cartesianischen Gleichung x2 / a2 - y2 / b2 = 1.

Janke-Weddige 28.02.2005

Definition der Brennpunkte

Danke für die Hinzufügung. Aus meiner Sicht einige Anmerkungen.

1. Soweit ich sehe, sind Brennpunkte bei Hyperbel und Parabel von zentraler Bedeutung. Ich wüßte also gerne, wie man die Brennpunkte berechnet.
2. Für das große Schaubild wüßte ich gerne die Funktionsgleichung.
3. Ich denke, WIKIPEDIA ist kein Forum für den Gedankenaustausch unter Professoren. Vielmehr wohl für den interessierten Laien gedacht. Das bedeutet m.E., daß viel "behutsamer" müßte vorangeschritten werden. Ich vermag die jetzige Nennung der Brennpunkte ( a = Wurzel 2 )nicht zu verstehen, geschweige denn herzuleiten.Die Formel x2/a2 - y2/b2 =1 ist für mich nicht nachvollziehbar. Dies um so weniger, als -soweit ich das verstehe- a und b nicht erläutert werden. Ich denke die Verfasser sollten den Mut haben, schlicht für den "interessierten Laien" zu schreiben, der keinerlei Vorkenntnisse hat.
4. An WUZEL: Danke für Ihre Hinweise. Jetzt verstehe ich zum ersten Mal eine Hyperbel etwas besser. In der Schule habe ich es jedenfalls nicht verstanden. Sie sehen im übrigen, mit welchen Verständnisschwierigkeiten ich - und vermutlich viele andere auch - zu kämpfen habe.

Danke. Janke-Weddige 01.03.2005

Ich habe Deinen Beitrag ein bisschen freundlicher formatiert, hoffe das ist in Ordnung.

Zu Punkt 3: Das kommt vielleicht noch. Aber Wikipedia ist kein Lehrbuch -- Wuzel 15:56, 1. Mär 2005 (CET)

Danke. Wikipedia muß die Bevölkerung ansprechen, sonst wird nichts draus. Also bitte nicht aufs hohe Roß setzen. - Ich bin gar nicht einverstanden, daß mein letzter Beitrag kommentarlos gestrichen wurde. Janke-Weddige 01.03.2005

das sage ich auch immer, dass zu kompliziert geschrieben wird. echt wahnsinn was manche von ihrer theorie loslassen- völlig unbrauchbar. übrigens habe ich das mit dem e nicht verstanden. anscheinend wurde vergessen, es mit einzumalen. (nicht signierter Beitrag von 130.75.237.113 (Diskussion) )

Was heißt "das mit dem e"? e ist im Artikel als der "halbe Abstand der Brennpunkte" definiert. Richtig, dass sollte vielleicht jemand ins Diagramm malen, aber das scheint mir doch ziemlich klar, dass das der Abstand vom (nicht als solchen markierten) Mittelpunkt zu F1 bzw zu F2 ist. Od

Oder ist Dir nicht klar, dass aus der Definition

$b={\sqrt {e^{2}-a^{2}}}$

die Beziehung

$a^{2}+b^{2}=e^{2}$

folgt? --Wuzel 16:40, 29. Jan. 2007 (CET)

Bild Fadenmodell

Vielleicht hat jemand für Bild:Fadenmodell.jpg eine Verwendung. Kolossos 17:41, 6. Jul 2006 (CEST)

Wie kam die Hyperbel zu ihrem Namen?

Das fragte ich mich gerade. "Übertreffung, Übertreibung" - wo ist der Zusammenhang? 84.191.213.28 14:13, 14. Okt. 2006 (CEST)

Achtung Theoriefindung: Bei einer hyperbolischen Bahn eines Himmelskörpers (oder irgendeines anderen Körpers in einem anziehenden Zentralpotential U(r) prop. 1/r) übertrifft die mechanische Gesamtenergie des Körpers die Grenzenergie, die ihn in eine beschränkte Bahn zwingen würde. (Der mathematische Grenzfall der Parabel "Vorbeiwurfbahn" dürfte ähnlich zu erklären sein) - Das griechische Verb "βἁλλειν", von dem beide Bahnen ihren Namen haben, bedeutet "werfen". Zugegeben - eher eine Einladung zum Weiterforschen als eine Antwort. Ethymologische oder Fremdwortlexikon? --KleinKlio 20:34, 28. Dez. 2006 (CET)

Ich habe das mal so erklärt gesehen: Wenn der Scheitel eines Kegelschnitts im Ursprung liegt, Hauptachse auf der x-Achse, dann lautet:

• die Parabelgleichung $y^{2}=Ax$ (Gleichheit)
• die Ellipsengleichung $y^{2}=Ax-Bx^{2}$ mit positivem B. Vom Ax wird also etwas abgezogen, ellipsis=Auslassung
• die Hyperbelgleichung $y^{2}=Ax+Bx^{2}$ mit positivem B, also wird über das Ax hinausgeschossen.

--Wuzel 23:03, 28. Dez. 2006 (CET)

Polarformel falsch

$r={\frac {p}{\sqrt {\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\varphi -1}}}$

$p={\frac {e^{2}-a^{2}}{a}}$

$\varepsilon ={\frac {e}{a}}$

Sei $\varphi =0$ dann ist $r=a$

Probe (nicht 100% mathematisch sauber, insbes. was das kürzen der Wurzel betrifft): $r={\frac {e^{2}-a^{2}}{a\cdot {\sqrt {{\frac {e^{2}}{a^{2}}}-1}}}}={\frac {e^{2}-a^{2}}{\sqrt {e^{2}-a^{2}}}}={\sqrt {e^{2}-a^{2}}}\neq a$

Bildbeschreibung fehlt bei [[bild:Hyperbel_Ortskurve.PNG]]

Der Artikel enthält ein Bild, dem eine Bildbeschreibung fehlt, überprüfe bitte, ob es sinnvoll ist, diese zu ergänzen. Gerade für blinde Benutzer ist diese Information sehr wichtig. Wenn du dich auskennst, dann statte bitte das Bild mit einer aussagekräftigen Bildbeschreibung aus. Suche dazu nach der Textstelle [[bild:Hyperbel_Ortskurve.PNG]] und ergänze sie.

Wenn du eine fehlende Bildbeschreibung ergänzen willst, kannst du im Zuge der Bearbeitung folgende Punkte prüfen:

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Link zu Hyperboloid

Wo würde ein solcher Link thematisch am besten passen? --RokerHRO 11:03, 5. Sep. 2009 (CEST)

Halbparameter p

Der Halbparameter p taucht hier in der Polargleichung mit Brennpunkt im Pol auf, wird aber nirgends erklärt geschweigedenn ist er in den Bildern eingezeichnet. Nehmt euch ein Beispiel am Eintrag über die Ellipse! ;) (nicht signierter Beitrag von 79.214.23.112 (Diskussion) 18:43, 8. Nov. 2010 (CET))

Implizite Darstellung in Polarkoordinaten

Eine implizite Koordinatendarstellung ist einfach eine Gleichung zwischen den Koordinaten. Bei kartesischen Koordinaten also eine Gleichung zwischen $x$ und $y$, z.B.

$xy=1,.$

Die Darstellung

$y={\frac {1}{x}}$

ist demgegenüber eine explizite Darstellung. Da hier jedem x genau ein y zugeordnet wird, kann man hier auch schreiben, dass die Hyperbel der Graph einer Funktion f ist mit

$f(x)={\frac {1}{x}}$

Eine saloppe Schreibweise dafür ist

$y(x)={\frac {1}{x}}.$

Solche Schreibweisen sind bei Physikern und Ingenieuren weit verbreitet. Mathematisch sind sie nicht korrekt, da nicht zwischen der Koordinate $y$ und der Funktion „$y$“ unterschieden wird.

Eine Darstellung

$x=\cosh(t),\quad y(t)=\sinh(t)$

oder, um die funktionale Abhängigkeit deutlicher zu machen,

$x=\cosh(t),\quad y(t)=\sinh(t)$

ist eine Parameterdarstellung. Beide Koordinaten $x$ und $y$ werden in Abhängigkeit vom Parameter $t$ dargestellt.

In Polarkoordinaten ist die Darstellung

$r^{2}-{\frac {2}{\sin(2\varphi )}}=0$

eine implizite Darstellung. Es wird eine Beziehung zwischen dem Radius $r$ und dem Winkel $\varphi$ angegeben. Da es sich nicht um eine Funktion handelt, unterbleibt dabei die Nennung eines Definitionsbereichs. Vielmehr ist einfach jeder Wert möglich, der in die Gleichung eingesetzt werden kann. Nur wenn der Bereich, aus dem $\varphi$ ist, eingeschränkt wird, ist es hier nötig, diesen anzugeben. Winkel zwischen $\pi /2$ und $\pi$ sind automatisch ausgeschlossen, da für diese $\varphi$ keine Lösung der Gleichung existiert.

Im Artikel "logarithmische Spirale" wird diese durch die Gleichung

$r(\varphi )=ae^{k\varphi }$

beschrieben. Diese sieht ganz ähnlich aus wie eine explizite Darstellung in Polarkoordinaten. Genaugenommen ist das jedoch eine Parameterdarstellung für den Radius $r$, wobei als Parameter der Winkel $\phi$ gewählt wurde. Während der Winkel in Polarkoordinaten aber nur über eine Periode (z.B 0 bis $2\pi$) läuft, läuft er hier als Parameterüber ganz $\mathbb {R}$. Als Koordinate ist er genau genommen modulo $2\pi$ zu nehmen. --Digamma (Diskussion) 15:34, 9. Mai 2012 (CEST)

Dein Satz Da es sich nicht um eine Funktion handelt, unterbleibt dabei die Nennung eines Definitionsbereichs. Vielmehr ist einfach jeder Wert möglich, der in die Gleichung eingesetzt werden kannist einfach falsch bzw. Unsinn. Es muss immer klar sein, was diese Parameter/Variablen denn sind, sprich welche Werte sie annehmen dürfen und sollen! Und ob man dies nun als Funktionsgleichung ansieht oder nur wenn z.B. $r^{2}(\varphi )=$ da steht, ist dagegen eine (nebensaechligere) Notations-/Konventionsfrage, die einen aber nicht davon befreit, immer genau festzulegen welche Zahlen denn hier zulaessig sind! Genau deshalb (wegen dieser ungenauen Auffassung von Dir, die auch andere haben) gibt es ja letzlich echte inhaltliche Probleme!).

... da für diese \varphi keine Lösung der Gleichung existiert. Es existiert schon eine, nur nicht in \R! Weil man eben immer auf den (eingeschraenkten) Definitionsbereich/Wertebereich der Variablen aufpassen muB! Achim1999 (Diskussion) 15:53, 9. Mai 2012 (CEST)

Während der Winkel in Polarkoordinaten aber nur über eine Periode (z.B 0 bis $2\pi$) läuft .. eine gewagte Behauptung! Dazu muesste man erstmal klaeren, was denn der Winkel in Polarkoordinaten ist/sein soll. Genau genommen kann man deine Aussage schlecht angreifen, weil sie noch mehrere undefinierte bzw. implizite kontextabhaengige Annahmen enthaelt. Wenn Du statt deutscher Umgangssprache eine wohldefinierte Aussage im mathematischen Sinn angeben muesstest, wuerde diese Pseudoproblematik sofort als solche erkennbar. Aber thematisch inhaltlich bringt es keine neuen Erkenntnisse -- nur auf sprachlicher und formaler Metaebene (genau wie die Frage, welchen Wert denn der Nullpunkt in Polarkoordinaten hat -- es ist nur ein Streit um Worte, bzw. deren Benutzung).  :-/ Achim1999 (Diskussion) 16:11, 9. Mai 2012 (CEST)

Es muss immer klar sein, was diese Parameter/Variablen denn sind, sprich welche Werte sie annehmen dürfen und sollen! Wenn man eine Teilmenge der Ebene durch eine Gleichung beschreibt, dann ddürfen die Koordinaten grundsätzlich alle für Punkte der Ebene möglichen Werte annehmen. Wenn von Polarkoordinaten die Rede ist, dann sind das für r alle positiven reellen Zahlen, für den Winkel $\phi$ alle Zahlen zwischen 0 und $2\pi$. Wobei es hier nicht auf das Definitionsintervall von $\phi$ ankommt, weil die Gleichung $2\pi$-Periodisch in $\phi$ ist.

Es existiert schon eine [Lösung der Gleichung], nur nicht in \R! Wir sind hier in der analytischen Geometrie der Ebene. Da versteht es sich aus dem Kontext, dass die Koordinaten nur reelle Werte annehmen. Und wenn du in der komplexen Geometrie auch komplexe Koordinaten zulässt, dann sind auch die komplexen Lösungen zugelassen.

Und ob man dies nun als Funktionsgleichung ansieht oder nur wenn z.B. $r^{2}(\varphi )=$ da steht, ist dagegen eine (nebensaechligere) Notations-/Konventionsfrage, die einen aber nicht davon befreit, immer genau festzulegen welche Zahlen denn hier zulaessig sind! Die Unterscheidung zwischen einer Funktion und ihren Werten ist keine nebensächliche Notations- oder Konventionsfrage, sondern wesentlicher, als die Forderung, immer explizit festzulegen, welche Werte die Variablen annehmen dürfen, wenn es durch den Kontext schon klar ist. Wichtiger ist es, die Bedeutung der Variablen anzugeben.

Den Rest deiner Ausführungen verstehe ich nicht.

Inhaltlich noch eine Anmerkung: Der zweite Ast der Hyperbel kommt nicht durch die Lösungen der Gleichung mit negativem $r$ zustande, sondern durch die $\phi$-Werte zwischen $\pi$ und ${\tfrac {3}{2}}\pi$.--Digamma (Diskussion) 19:30, 9. Mai 2012 (CEST)

Genau Das war gerade NICHT gemeint. Er soll mit r < 0 erzeugt werden, r ist als beliebige reelle Zahl zugelassen. Und DESHALB habe ich auch 0 < \varphi < \pi/2 gewählt. Wieso sonst diese implizitze Form? Sonst könnte man das ganze doch explizit nach r auflösen/schreiben und sich das ganze Brimbaorium ersparen. Argh! Effektiv hast Du meine Darstellung in eine andere verbogen, weil Du meine nicht erkennen wolltest. Daß z.B. Punkte bei der Wahl von deinem diktatorischen Intervall 0 <= \varphi < 2\pi, mehrfach (doppelt) erzeugt werden, ist auch nicht im Sinne des Erfinders! Deine "automatische" Methode krankt leider hinten und vorne. :-( Achim1999 (Diskussion) 22:12, 9. Mai 2012 (CEST)

Ganz offensichtlich ist es ja durch den Kontext hier NICHT klar! Polarkoordinaten wurden bisher nicht bemüht, geschweige denn die Parameter/variablen r und \varphi definiert. Polarkoordinaten nur "modulo 2\pi" (be)nutzen zu dürfen, halte ich für Unsinn, wobei deine Definition von "modulo 2\pi" auch noch schgwammig/unklar ist. Winkelwerte sind lediglich modulo 2\pi äquivalent, daß ist alles. Inhaltlich bring t einen diese Beschränkung nicht weiter, behindert einen aber an vielen Stellen. Ich habe noch keinen Mathematiker erlebt, der eine Polarkoordinate von z.B. (r,\varphi)=(-5,-7\pi) nicht wusste, einem Punkt (x,y) in cartesischen Koordinaten zuzuordnen. Achim1999 (Diskussion) 22:26, 9. Mai 2012 (CEST)

PS: Falls Du Dich nur an meiner Wortwahl "Polarkoordinaten" störst, weil Du solche stets auf r >= 0 und \varphi \subset [0,2\pi[ verwendet wissen willst, dann ersetze dieses Wort durch einen anderen Begriff! Ich wollte eine elegante inhaltliche Beschreibung (z.B. Zusammenhang der Definitionsmenge haben) hier aufzeigen, aber nicht um Begriffe/Sprache streiten. Achim1999 (Diskussion) 22:38, 9. Mai 2012 (CEST)

Noch was. Ich habe 'mal eben in den Artikel Polarkoordinaten geschaut. Die lassen (wie leider auf Wiki-DE üblich) den Wertebereich für Polarkoordinaten undefiniert. :-( Man erfährt aber, daß dieses "r" eine Länge sein soll (wohl also $\in \mathbb {R} _{0}^{+}$). Lediglich bei der Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten wird zum Zwecke der eindeutigen Darstellung eine Beschränkung des Winkelintervalls auf Länge 2\pi vorgenommen. Und sogar hier ist man sich der Problematik bei r=0 bewusst, daß die Lösung hier doch völlig willkürlich vom Himmel fällt -- nur weil man unbedingt eindeutig sein will! Achim1999 (Diskussion) 23:45, 9. Mai 2012 (CEST)

Ich habe es nun deinen Vorstellungen von Polarkoordiantenform angepasst, in dem ich es explizit als Funktion von r(\varphi) dargestellt habe. Eventuell kann man es so weiter unten referenzieren, wo die allgemeinen Formen der Hyperbeldarstellung in Polarkoordinaten (im implizitem Defintionsbereich) aufgeführt sind. Mein Ziel, werde ich -- wenn ich noch Lust habe -- im Artikel "Lemniskate", dort wird der Sinn des negativen r auch am Beispiel klar, darstellen. Achim1999 (Diskussion) 11:31, 10. Mai 2012 (CEST)

„nach einer geeigneten Koordinatentransformation“

Sind lineare Koordinatentransformationen gemeint, oder ist noch eine weiter Einschränkung erwünscht? --Chricho ¹ ² ³ 19:03, 17. Apr. 2013 (CEST)

Gleichseitige Hyperbel ...

Den Abschnitt "Gleichseitige Hyperbeln mit Hauptachse in der Winkelhalbierenden" habe ich weggelassen, da solche Hyperbeln in dem Abschnitt "... affine Bilder" (Beispiele) schon vorkommen. Die Polarkoordinatendarstellung kommt in der Formelsammlung vor.--Ag2gaeh (Diskussion) 17:07, 5. Jun. 2013 (CEST)

Erklärung

Wie kommt man von der Formel x²/a² - y²/b² = 1 zur Formel y=1/x? Schon oben in Nummer 1 wurde nach den Halbachsen a und b gefragt. Eine Antwort fehlt. a ist der Abstand des Scheitels vom Mittelpunkt. b steht senkrecht auf a. Welche Zahlen muss man für a und b in die Formel x²/a² - y²/b² = 1 einsetzen, um y=1/x zu erhalten? --Dr. Hartwig Raeder (Diskussion) 08:31, 10. Apr. 2016 (CEST)

Das geht gar nicht. Die Gleichung x²/a² - y²/b² = 1 beschreibt eine Hyperbel (bzw. ein Hyperbelpaar), bei der die x- und die y-Achsen Achsen der Hyperbel sind. Die Gleichung y=1/x beschreibt ein Hyperbelpaar, bei der x- und y-Achsen Asymptoten sind. Um aus den ersteren die zweiten zu bekommen muss man die Hyperbeln oder das Koordinatensystem um 45° drehen. --Digamma (Diskussion) 08:37, 10. Apr. 2016 (CEST)

Herzlichen Dank für die prompte Antwort. Warum wird das im Artikel nicht anschaulich erklärt? Wie kann ich also den Krümmungskreisradius rho für den Graphen y=1/x im Scheitel x=y=1 mit a = Wurzel aus 2 berechnen, wenn ich b nicht kenne und nicht berechnen kann? Ich frage, weil mir in der Diskussion:Symmetrisches Dimethylarginin die Argumente fehlen. --Dr. Hartwig Raeder (Diskussion) 08:49, 10. Apr. 2016 (CEST)

Warum das im Artikel nicht steht? Es steht drin, aber ziemlich versteckt und schwer verständlich als Beispiel 3 im Abschnitt Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel. Man könnte das sicher anschaulicher erklären bzw. dieses wichtige Beispiel stärker herausstellen. Warum das nicht geschieht? Keine Ahnung.

Was ist b? Die Asymptoten sind rechwinklig zueinander (es sind ja die Koordinatenachsen), daraus ergibt sich a = b.

Die Krümmung und damit den Krümmungskreisradius kann man auch mit Hilfe der Differentialrechnung ausrechnen. Eine Kurve mit der Gleichung $y=f(x)$ hat im Punkt $(x_{0}|f(x_{0}))$ die Krümmung

${\frac {f''(x_{0})}{{\big (}1+f'(x_{0})^{2}{\big )}^{\frac {3}{2}}}}$

und damit den Krümmungskreisradius

$r(x_{0})=\left|{\frac {{\big (}1+f'(x_{0})^{2}{\big )}^{\frac {3}{2}}}{f''(x_{0})}}\right|$,

vgl. Krümmungskreis#Krümmungsradius eines Funktionsgraphen. Grüße, --Digamma (Diskussion) 09:39, 10. Apr. 2016 (CEST)

Vielleicht sollte man im Anschluss an den Abschnitt "Hyperbel in 1. Hauptlage" einen Abschnitt "Hyperbel als Funktionsgraph" (analog zur Parabel) einfügen und da Informationen, die hier vermisst worden sind einfügen. --Ag2gaeh (Diskussion) 10:10, 10. Apr. 2016 (CEST)

Das fände ich gut. --Digamma (Diskussion) 10:33, 10. Apr. 2016 (CEST)

Ich werde mir was dazu überlegen.--Ag2gaeh (Diskussion) 10:57, 10. Apr. 2016 (CEST)

Das wäre sehr schön. Es kann doch nicht sein, dass x und y in einem Stichwort völlig verschiedene Bedeutungen haben sollen. --Dr. Hartwig Raeder (Diskussion) 13:36, 10. Apr. 2016 (CEST)

Einleitungsbild

Hyperbel mit Mittelpunkt $M$, Brennpunkten $F_{1}$ und $F_{2}$, Scheitelpunkten $S_{1}$ und $S_{2}$

Was spricht gegen das nebenstehende Einleitungsbild, als Ersatz für das Bild mit 4 Kegelschnitten?

Beweggründe:

• Das Artikelthema sind nicht in erster Linie die Kegelschnitte.
• Einleitungsbilder sollten erfahrungsgemäß möglichst einfach sein.
• Als Vergleich kann das Einleitungsbild des Artikels Ellipse dienen.

Mit Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 01:01, 10. Sep. 2020 (CEST)

Ja, das macht Sinn. Vielleicht könntest Du noch die Asymptoten einzeichnen. Sie sind typisch für die Hyperbel. Es wäre auch zu überlegen, ob in der Einleitung schon die Standardgleichung, wie bei der Ellipse erscheinen sollte. Wer diese Gleichung sucht. muss z.Z. etwas tiefer einsteigen.--Ag2gaeh (Diskussion) 09:13, 10. Sep. 2020 (CEST)

Danke für den Tipp, Bearbeitung erledigtErledigt--Petrus3743 (Diskussion) 11:15, 10. Sep. 2020 (CEST)