Diskussion:Infinitesimalzahl

Ich möchte mich entschuldigen, dass der Text jetzt etwas klobig geworden ist und Bearbeitungskommentare enthält. Die Änderungen waren klein genug, um sie sofort umzusetzen, allerdings wollte ich nicht in größerem Maßstab löschen. Evtl. sollte man am Anfang nur von Infinitesimalen reden, und nur diejenigen Objekte Zahlen nennen, die zur hyperreellen Erweiterung des Modells der reellen Zahlen gehören. Das mit der Menge der Infinitesimale ist, wie geschrieben, gern erzählter Nonsense, weil über ein Nicht-Objekt räsonniert wird.

MfG Lutz Lehmann, HU-Berlin

"..., im Sinne der NSA zeigt er lediglich, dass eine Menge der Infinitesimale nicht definierbar ist."

Kann man das wirklich so schreiben? Die Menge der Infinitesimale wird doch in der NSA sehr wohl definiert (Monade von 0), allerdings gilt die Supremumseigenschaft nur für interne Mengen, daran würde das Argument scheitern.

Genau letzteres, die Monade ist keine Menge im Sinne der internen ZFC-Mengenlehre. Mit internen Mitteln gibt es genau eine Antwort auf die Frage nach "internen Infinitesimalen", næmlich dass es keine gibt. Da die Standard-Eigenschaft fuer die interne ZFC-Mengenlehre extern ist, gibt es keine Menge der Infinitesimale. Man spricht, soweit ich weiß, auch von Klassen.--LutzL 09:50, 17. Jan 2005 (CET)

Verstehe, ich hatte nicht verstanden, daß du eine Menge im Sinne der internen ZFC-Mengenlehre gemeint hast. Ich hab mich bisher nur mit Robinson'scher NSA auseinandergesetzt, von daher kam wohl das Mißverständnis. Ich hab den betreffenden Absatz jetzt übrigens erst mal rausgenommen, er hat den Artikel noch verwirrender gemacht als er ohnehin auch so schon ist. Es steht sowieso schon zweimal drin, daß es keine reellen Infinitesimale geben kann (ganz am Anfang "x müsste kleiner x/2 sein" und danach "eine Erweiterung mit Infinitesimalen ist nichtarchimedisch")

Einleitungssatz

"Bezüglich der Ordnung der reellen Zahlen" suggeriert, dass Infinitesimalzahlen reell sind. Es wäre auch schön, den "Nichtstandard-Aspekt" dieses Begriffes gleich im ersten Satz mit unterzubringen, damit der unbedarfte Leser gewarnt ist.--Gunther 13:24, 23. Mär 2005 (CET)

Differential

Es könnte sinnvoll sein, diesen Artikel mit Differential (der gerade in Überarbeitung ist) zusammenzuführen, denn Differentiale sollten ja gerade Infinitesimalzahlen sein, wenn ich das richtig verstehe.--Gunther 13:24, 23. Mär 2005 (CET)

Frage

"kleiner als jede noch so kleine positive reelle Zahl ist"
bedeutet das "kleiner als 1"? 85.181.197.37

Ja, und kleiner als 1/2, kleiner als 1/3, kleiner als 1/4,... Man kann rein algebraisch die linearen Funktionen a+bX betrachten, unter Multiplikation wird XX=0 gesetzt. Man definiert dann a+bX<c+dX falls a<c oder bei a=c falls b<d. Dann ist diese Struktur ein Ring, und es ist 0<X<1/n für jedes natürliche n=1,2,3,... Es ist leider kein Körper mehr, dazu braucht es den Robinson-Kalkül oder E. Nelsons IST.--LutzL 10:56, 12. Nov. 2007 (CET)

Wenn es nur darum geht, einen Erweiterungskörper zu bekommen, das kann man einfacher haben. Man wählt den Quotientenkörper $\mathbb {R} (X)$ des Poynomrings $\mathbb {R} [X]$ und setzt $0<X<r$ für jede positive reelle Zahl $0<r\in \mathbb {R}$. --Digamma 22:57, 12. Nov. 2007 (CET)

Ok, so kompliziert wollte ich es nicht gleich machen. Das wäre die Konsequenz, wenn man von den Keimen mod X² zu allgemeinen rationalen Keimen übergeht. Jedoch geht es bei den „eigentlichen“ bzw. analytischen Infinitesimalien darum, die Axiome der reellen Zahlen unangetastet zu lassen und durch weitere Axiome mehr Struktur zu erhalten. Insbesondere sollen das archimedische Axiom und die Vollständigkeit inkl. (reell) algebraischer Abgeschlossenheit weiter gelten.--LutzL 08:47, 13. Nov. 2007 (CET)

Wir scheinen unterschiedliche Vorstellung davon zu haben, was kompliziert ist. Die Konstruktion des Funktionenkörpers scheint wesentlich einfacher zu sein, und für den Durchschnittsmathematiker oder Physiker wesentlich zugänglicher als die Konstruktion mit Ultrapotenz oder mit der Maschinerie der Modelltheorie. Aber natürlich ist mir klar, dass die Einführung von Infinitesimalen mittels des Funktionenkörpers für praktische Zwecke ziemlich unzureichend ist. --Digamma 15:50, 13. Nov. 2007 (CET)

Die axiomatische IST ist einfach, wesentlich einfacher als der Robinson-Kalkül. Abgesehen von dem Fakt natürlich, dass in in IST verfassten Texten jedes zweite Wort "standard" lautet. Über den Funktionenkörper selbst habe ich keine Meinung, aber der nahe verwandte Körper der Laurent-Reihen (mit endlichem Pol in 0) bzw. Puiseux-Reihen wird von Basu/Pollack/Roy in ihrer Darstellung der reellen algebraischen Geometrie intensivst benutzt.--LutzL 12:37, 14. Nov. 2007 (CET)

Für einen Standardmathematiker dürfte weder der "Robinson-Kalkül" noch die IST einfach sein, weil er etwas tun muss, was er überhaupt nicht gewohnt ist: Auf die Syntax der Aussagen achten. Aber klar, er muss sich dann nicht mehr damit beschäftigen, was diese neuen Zahlen eigentlich sind, sondern kann sich ausschließlich auf die Axiome beziehen, sowie es ja auch niemanden mehr interessiert, wie man reelle Zahlen konkret konstruieren kann (Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen, Dedekind-Schnitte, ...) sondern man einfach nur die Eigenschaften eines vollständigen angeordneten Körpers benutzt. --Digamma 14:38, 14. Nov. 2007 (CET)

synthetische Differentialgeometrie

Zitat: Außerdem kann eine „synthetische Differentialgeometrie“ aufgestellt werden. Dieser Satz ohne weitere Erklärung, was denn eine synthetische Differentialgeometrie sein soll, hätte nur eine Berechtigung im Artikel, wenn synthetische Differentialgeometrie ein Link wäre, bei dem der Begriff erklärt wird. Da aber nur Differentialgeometrie verlinkt ist, schmeiß ich den Satz mal raus. --131.234.106.197 13:15, 25. Nov. 2008 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. 17387349L8764 (Diskussion) 14:55, 29. Jan. 2024 (CET) (Gelöst)

--17387349L8764 (Diskussion) 14:55, 29. Jan. 2024 (CET)

Welcher „verlinkte Artikel“?

Was bedeutet „Genaueres im verlinkten Artikel“? Bezieht sich das auf Nichtstandardanalysis? Wenn, dann m. E. recht unglücklich gelöst. Ansonsten nicht nachvollziehbar. --Phobetor 00:15, 25. Mai 2010 (CEST)

Wenn Du möchtest, dass Deine Frage beantwortet wirst, solltest Du sie besser nicht als "kleine Änderung" markieren. Da lesen die meisten drüber. Ich vermute stark, dass der Artikel Nichtstandardanalysis gemeint ist. Der enthält allerdings auch nicht viel. Eher findet man etwas im Artikel hyperreelle Zahl. Hast Du einen Formulierungsvorschlag? --Digamma 18:07, 25. Mai 2010 (CEST)

Schmieden/Laugwitz vs. Robinson

Ich wurde vor Jahren durch diesen Artikel zu der Auffassung verführt, Abraham Robinson sei der Erfinder bzw. Entdecker der unendlich kleinen Zahlen. Nun musste ich heute durch die Lektüre eines älteren Lehrbuchs erfahren, dass Schmieden und Laugwitz dies offenbar schon von Robinson erreicht hatten. Irre ich mich da? Sollte der Artikel evtl. angepasst werden? --217.226.76.158 19:08, 23. Sep. 2016 (CEST)

Der Artikel behauptet ja nicht wirklich, dass Robinson die unendliche kleinen Zahlen erfunden habe. Es steht dort

Im 20. Jh. wurden Zahlbereichserweiterungen der reellen Zahlen gefunden, die infinitesimale Zahlen in formal korrekter Form enthalten. Die bekanntesten sind die hyperreellen Zahlen und die surrealen Zahlen.

Da aber gleich danach dann auf Robinsons Nichtstandardanalysis eingegangen wird, ist es schon naheliegend, zu dieser Auffassung zu kommen. Weiter oben wird aber schon auf Alternativen verwiesen:

Um trotzdem solche Infinitesimale definieren zu können, muss entweder die obige Forderung abgeschwächt werden, oder die reellen Zahlen müssen in einen größeren geordneten Körper eingebettet werden, in welchem dann Platz für solche zusätzlichen Elemente ist. Letzteres ist der Weg, auf welchem algebraische Infinitesimale definiert werden (Coste, Roy, Pollack), und auch der Weg der Nichtstandard-Analysis (NSA) (Robinson, Nelson).

Irgendwo, denke ich, kann man da auch Schmieden und Laugwitz einfügen. --Digamma (Diskussion) 20:54, 23. Sep. 2016 (CEST)

Monaden?

Typischerweise argumentierten sie (eigentlich nur Newton, Leibniz benutzt Monaden, heute in etwa: abgebrochene bzw. formale Potenzreihen) so:

Der erste Link führt zur Monadologie, die tut hier aber nichts zur Sache, oder? Passender sind Monaden im Sinne der Nichtstandardanalysis, aber hat sie Leibniz überhaupt in dieser Form verwendet? Und was sollen hier Potenzreihen?

Um die Ableitung $f'(x)$ der Funktion $f:\mathbb {R} \ni x\mapsto x^{2}\in \mathbb {R}$ zu bestimmen, nehmen wir an, $\mathrm {d} x$ sei infinitesimal. Dann ist

$f'(x)={\frac {f(x+\mathrm {d} x)-f(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {x^{2}+2x\cdot \mathrm {d} x+\left(\mathrm {d} x\right)^{2}-x^{2}}{\mathrm {d} x}}=2x+\mathrm {d} x=2x,$

weil $\mathrm {d} x$ infinitesimal klein ist.

Obwohl dieses Argument intuitiv einleuchtet und richtige Ergebnisse liefert, ist es mathematisch nicht exakt:

Das grundlegende Problem ist, dass $\mathrm {d} x$ zunächst als ungleich null betrachtet wird (man teilt durch $\mathrm {d} x$), im letzten Schritt hingegen als gleich null.

Das entspricht doch der leibnizschen Infinitesimalrechnung (wie es mit Newton aussieht, habe ich nicht eruiert), außer dass bei ihm das Differential eben nicht als exakt identisch mit 0 betrachtet wird und das angesprochene Problem daher nicht besteht, siehe Leibniz’s Laws of Continuity and Homogeneity. -- IvanP (Diskussion) 10:59, 16. Mai 2019 (CEST)

Wenn man die entsprechenden Texte liest, sieht man, dass das Problem beim Rechnen mit Infinitesimalzahlen so gar nicht entsteht. Es wird nämlich nicht am Schluss $\mathrm {d} x=0$ gesetzt, sondern die Argumentation ist:

der "finite Teil" von $2x+\mathrm {d} x$ ist $2x$, weil $\mathrm {d} x$ infinitesimal ist — oder in der Sprechweise mit Monaden: $2x+\mathrm {d} x$ liegt in der Monade von $2x$

Es soll ja hinterher mit (finiten) reellen Zahlen gerechnet werden.--Mini-floh (Diskussion) 18:20, 18. Mai 2019 (CEST)