Diskussion:Isomorphiesatz von Dedekind

Zur Einführung Bemerkung zum Rekursionssatz

Ein paar Bemerkungen zu Deiner Einführung. Ich meine der Kern der Aussage des Satzes von Dedekind geht tiefer. Er stellt dies auch in seiner Schrift dar. Dedekind beschäftigt mit der Frage der Unendlichkeit. Er definiert -- zum ersten Mal -- genau was eine unendliche Menge ist. Eine Menge $A$ heißt unendlich, wenn es eine injektive Funktion $\alpha \colon A\to A$ gibt, die nicht surjektiv ist. Er wählt -- in einer Anmerkung -- das anschauliche Wort "deutlich". Er baut eine Theorie der Mengen mit Selbstabbildungen auf. Modern gesprochen zeigt er, dass die Klasse der Mengen mit Selbstabbildungen eine Kategorie bilden. Er untersucht Unterobjekte sogenannte Teilketten. Eigentlich sehr modern. Dann definiert er was eine einfach unendliche Menge ist. Von einer solchen einfachsten unendlichen Menge zeigt er die Peano Axiome. Sie waren damals natürlich noch nicht unter dem Namen bekannt. Peano hat sie unter Berufung auf Dedekind erst später formuliert. Solche einfachst unendlichen Mengen erfüllen den Rekursionsatz. (siehe auch Einstellige Verknüpfung).

Spricht man wieder modern könnte man formulieren: $(\mathbb {N} ,1+)$ ist in der Kategrie der einsteligen Verknüpfungen ein freies Objekt mit Basis $0$. Zwei Mengen, die den Rekursionsatz erfüllen sind isomorph. Das wichtige dabei ist der Rekursionssatz, die Isomorphie ist eine leichte Folgerung. Mit Hilfe des Rekursionssatzes definiert er dann die Rechenoperationen auf $\mathbb {N}$ und zeigt ihre Gesetze.

Zumindestens die beiden Sätze "Daraus lässt sich bekanntlich die gesamte Theorie der natürlichen Zahlen aufbauen. Daher stellt sich die Frage nach der Eindeutigkeit der Peano-Systeme. " würde ich umstellen. Erst der Rekursionssatz und damit die Eindeutigkeit. Dann der Aufbau der natürlichen Zahlen. In dem Buch von Ebbinghaus et al. "Zahlen" ist diese Reihenfolge auch richtig dargestellt.

Übrigens finde ich das Wort "bekanntlich" nicht schön. Es behauptet sozusagen: jeder halbwegs gebildete Mensch weiß das! Oder im Umkehrschluss. Wie ungebildet bist Du, wenn du das nicht weißt. Ich armer Mensch hab oft wenig Ahnung von dem "Bekanntlichen" schlauer Menschen. Es ist so etwas wie das Wort trivial. Jedes mal wenn ich das lese bekomme ich Minderwertigkeitsgefühle.

Mit freundlichen Grüßen --Hesmucet (Diskussion) 20:12, 20. Mär. 2017 (CET)

Ja sehr gerne. Über einen Abschnitt "Historische Anmerkungen" würde ich mich sehr freuen. Das Wort "bekanntlich" hatte ich natürlich nicht so gemeint wie von dir empfunden. Da es entbehrlich ist, habe ich es entfernt.--FerdiBf (Diskussion) 21:23, 20. Mär. 2017 (CET)