Diskussion:Kanonisches Ensemble

Planksches Wirkungsquantum in klassischer Zustandssumme

Unter 2. Klassisch steht:

"Der Zusammenhang zwischen dem klassischen Phasenraumintegral und der Spur in der quantenmechanischen Zustandssumme kann mit Hilfe kohärenter Zustände hergestellt werden. Damit wird auch geklärt, weshalb das Plancksche Wirkungsquantum in dem klassischen Ausdruck auftritt. "

Ich bin ziemlich sicher, dass das nicht stimmt. Das Planksche Wirkungsquantum taucht in der klassischen Betrachtung nicht auf und wird nur dazu verwendet die Zustandssumme einheitsfrei zu bekommen. Ich recherchiere das morgen noch mal genauer.

--Ginok21 (Diskussion) 03:55, 26. Apr. 2019 (CEST)

Einzige Ausnahme:Sackur-Tetrode-Gleichung. Daraus wurde 1913 sogar h bestimmt. Pech für die Standardlehrbücher.--Bleckneuhaus (Diskussion) 12:25, 16. Mär. 2020 (CET)

Ensemble ist kein System

Die Definition "Das kanonische Ensemble (auch NVT-Ensemble oder Gibbs-Ensemble nach J. W. Gibbs) ist in der statistischen Physik ein System mit festgelegter Teilchenzahl in einem konstanten Volumen,..." ist m.E. falsch. Dagegen gilt (z.B. nach abc Brockhaus Physik 1973 Leipzig) "Ein (statistisches) Ensemble setzt sich immer aus einer Vielzahl von physikalisch gleichartigen ... Systemen zusammen." Das kanonische Ensemble ist also immer eine Menge von Systemen. ArchibaldWagner (Diskussion) 16:17, 25. Mai 2019 (CEST)

"Schon" verbessert. Vieles andere auch. Bitte gegenlesen.--Bleckneuhaus (Diskussion) 12:15, 16. Mär. 2020 (CET)

@Bleckneuhaus: Vielen Dank für die Korrektur! Der erste Absatz ist so wohl grundsätzlich richtig und verständlich. Bis auf, dass nach meiner Kenntnis jede Gesamtheit in der statischen Physik als Gibbsches Ensemble bezeichnet werden kann, nicht nur ein kanonisches. Die Gibbsche Methode ist ja gerade; viele gleichartige Systeme zu betrachten, um Wahrscheinlichkeiten für physikalische Größen zu berechnen, und daher wird in der Literatur (z.B. Brockhaus a,b,c Physik) jede Gesamtheit, die für diese Zwecke betrachtet, wird auch als Gibbsche Gesamtheit bezeichnet. Für die kanonische Gesamtheit findet sich auch Gibbsche kanonische Gesamtheit (oder Ensemble) – was aber ein Pleonasmus ist. Das "Gibbsch" kennzeichnet nicht das kanonisch, sondern die Methode der Betrachtung vieler Systeme, was aber andererseits ja auch schon durch Ensemble (oder Gesamtheit) ausgedrückt wird. Also Gibbsches Ensemble entspricht eher statisches Ensemble. Kurzum Gibbs-Ensemble weglassen! Der Begriff NTV-Ensemble ist mir in der Literatur noch nie begegnet, aber man kann sich denken, wie das gemeint ist.

Leider ist der zweite Absatz in der Einleitung auch korrekturbedürftig. "Alle Systeme eines Ensembles besetzen einen anderen der Mikrozustände, die jeder für sich denselben durch N , V , T {\displaystyle N,\;V,\;T} {\displaystyle N,\;V,\;T} festgelegten Makrozustand realisieren, also auch dieselbe Energie E {\displaystyle E} E haben. ..." Was ist hier mit E gemeint, vermutlich doch die Gesamtenergie des "kleinen Systems", das mit dem Wärmbad gekoppelt ist. Die kanonischen Verteilung gibt aber gerade die W-Verteilung der Gesamtenergie des "kleinen Systems" an und man kann mit ihrer Hilfe die Fluktuation der Energie bei vorgegebener Temperatur berechnen. Dieses wird auch klar wenn die man die Anschauliche_Herleitung..., die @Bleckneuhaus: heute verbessert hat, anschaut. Weiter findet sich in dem Absatz, dass damit die Verteilung der Energie auf einzelne Atome/Moleküle gegeben ist, das ist aber nur eine ganz spezielle Anwendung der kanonischen Gesamtheit. – Zur Literatur siehe Kap 6 "Offene Systeme und Boltzmann Verteilung" (S 119-142) in K. Stierstadt "Themodynamik..." oder in dem Klassiker Becker "Theorie der Wärme" D "Die kanonische Gesamtheit" (S 120 - 130)

Weiter könnte in der Einleitung hervorgehoben werden, dass das kanonische Ensemble dann verwendet wird, wenn thermodynamische Systeme betrachtet werden, deren Temperatur, Teilchenzahl (und Volumen ?) vorgegeben ist. ArchibaldWagner (Diskussion) 21:36, 16. Mär. 2020 (CET)

"NVT-Ensemble" hab ich auch noch nie gehört, Google findets aber in vernünftigen Quellen. Ob "Gibbs'sch" was allgemeineres meint - das kann schon sein, aber ich weiß da nicht wirklich Bescheid: nehmen wir es doch raus. Den Satz mit E brauchte ich vor allem, um E einzuführen, jetzt hab ich ausgenutzt, auch die Fluktuationen schon zu erwähnen. Richtig? Wo Atome und Moleküle vorkommen, sehe ich gar nicht. (Den unübertrefflichen Becker habe ich leider nicht mehr, aber STierstadt ist ja auch sehr gut. Sollte in die Lit.-Liste.) --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:04, 16. Mär. 2020 (CET)

Hallo @Bleckneuhaus: vielleicht werden meine Bedenken etwas verständlicher, wenn ich sage, was mir an dem folgenden Satz nicht gefällt: "Klassisch wird diese Verteilung durch die Dichte der 1-Teilchenzustände als Funktion der Teilchenkoordinaten beschrieben, quantenmechanisch mit der Dichtematrix ρ {\displaystyle \rho } \rho in der Basis der Energieeigenzustände der einzelnen Teilchen." Das ist einmal "1-Teilchenzustände als Funktion der Teilchenkoordinaten" tatsächlich ist es ja die Dichte als Funktion der Phasenraumkoordinaten. Nur für diese wird die Liouville-Gleichung bewiesen und mit "Teilchenkoordinaten" assoziiere ich nicht unbedingt Phasenraumkoordinaten. Dann "die Dichte der 1-Teilchenzustände" es geht hier um die Verteilung in einer Gesamtheit, also welche Mikrozustände die einzelnen Systeme in dem Ensemble annehmen und nicht um die Verteilung von Einteilchenzustände eines einzelnen Systems. (Siehe etwa Ludwig Grundlagen der theoretischen Physik Band I "Strömungen im Phasenraum" S 317) Deutlicher wird das bei der quantenmechanischen Theorie, wo es ja um einen geeigneten statistischen Operator zu Kennzeichnung der preparierten Gesamtheit geht. Ich selber ziehe hier den Begriff statistischer Operator oder meinetwegen auch Dichteoperator dem Begriff Dichtematrix vor, da letztere die spezielle Darstellung des Hilbertraums als Folgenraum assoziiert. Bei der kanonischen Gesamtheit werden die Systeme ja so verteilt, dass die Eigenzustände zur Gesamtenergie jeweils mit dem Boltzmann-Faktor gewichtet werden, und ansonsten nur das Phasenraumvolumen bzw. die Dichte der Eigenzustände noch wirksam wird (siehe auch K. Stierstadt "Thermodynamik" S 120-125). Zusammenfassend denke ich, man sollte eine Formulierung finden, in welcher der Begriff "1-Teilchenzustände" nicht vorkommt, die trotzdem richtig ist und für möglichst viele Leser verständlich bleibt - leider nicht ganz einfach. Aber Du hast ja schon an vielen Stellen hier Dein Talent demonstriert.

Dann noch die Geschichte mit der Energie, ich halte Deine Lösung mit der Fluktuation noch nicht für optimal. Ich selber bevorzuge eine Aussage wie. Der Mittelwert der Energie (über alle Systeme) entspricht der makroskopischen inneren Energie U bei den üblichen Betrachtungen in der Thermostatik.

Noch ein Hinweis oder Frage: mit der Konstanz der Teilchenzahl – das steht zwar überall in den Lehrbüchern, und ist bei dem Allerweltsbeispiel ideales Gas auch richtig – ich bin mir aber gar nicht so sicher, wenn ich etwa ein System aus Photonen betrachte. Das Wesentliche bei der kanonischen Gesamtheit ist, dass keine Teilchen zwischen dem kleinen System und dem Wärmebad ausgetauscht werden, im Gegensatz zu der großkanonischen Gesamtheit, wo es auch ein Teilchenreservoir gibt. ArchibaldWagner (Diskussion) 11:27, 17. Mär. 2020 (CET)

Schön! Das werde ich beim übernächsten Durchgang zu berücksichtigen versuchen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:26, 17. Mär. 2020 (CET)

" in der Basis der Energieeigenzustände der einzelnen Teilchen." – das Ende "der einzelnen Teilchen" ist irritierend. Es sind die Eigenzustände zur Gesamtenergie, die kann man nur dann einfach in der Basis der einzelnen Teilchen angegeben werden, wenn die Teilchen nicht wechselwirken, der Hamilton-Operator also als Produkt von Einteilchen-Operatoren separiert werden kann. Sprich diese Ergänzung spezialisiert zu sehr und verdeckt die allgemeinere Bedeutung der kanonischen Gesamtheit.

Ich sehe, dieser Fehler wird unten in der Detailbearbeitung auch gemacht. Dort steht: "wobei $r$ eine vollständige Basis der zum Hamilton-Operator ${\boldsymbol {H}}$ der einzelnen Teilchen gehörenden Energieeigenzustände $|\Psi _{r}\rangle$ mit ihren Energien $E_{r}$ durchläuft." statt einfach und unmissverständlich zu schreiben: "wobei $r$ eine vollständige Basis der zum Hamilton-Operator ${\boldsymbol {H}}$ gehörenden Energieeigenzustände $|\Psi _{r}\rangle$ mit ihren Energien $E_{r}$ durchläuft." ArchibaldWagner (Diskussion) 16:06, 17. Mär. 2020 (CET)

Ein erster Versuch, den ersten Punkt zu bereinigen - erstmal nur für die Einleitung, sieh es bitte mal genau an. Danke für die Kritik, ich hatte mich eigentlich über genau diese Verwechslung in der früheren Version schon geärgert und mir vorgenommen, das jetzt endlich mal richtig zu machen. Und dann das! --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:39, 17. Mär. 2020 (CET)

Ja danke, das sieht jetzt viel besser aus, und Dir ist eine Formulierung gelungen, die vermutlich auch weniger tief mit der Materie Vertraute verstehen können. Im letzten Satz würde ich allerdings "...lassen sich als Erwartungswerte der Verteilung bzw. des Operators berechnen..." in "...lassen sich als Erwartungswerte des kanonischen Ensembles berechnen..." oder "...lassen sich als Erwartungswerte über das Ensemble berechnen..." ArchibaldWagner (Diskussion) 20:48, 17. Mär. 2020 (CET)

So, dies und noch ein paar Kleinigkeiten gemacht. - Dass <E> = U ist, muss das erwähnt werden? - Mit der Frage der Konstanz von N kenne ich mich nicht so im Detail aus. - Ich war übrigens zwischendurch mal unsicher, ob statt e^(-E/kT) bei Quanten nicht die FD- oder BE-Funktion einzusetzen sei, meine aber jetzt wieder, dass der Boltzmannfaktor immer der richtige ist. Stimmt das so? - Noch ein „übrigens“: Ich bin an diesem Artikel gelandet, weil ich heftig an Temperatur gearbeitet hatte (nachdem da jemand zwar offenbar sachkundig, aber unpassend rumgemacht hatte) und nun dort nocht die Rolle von T im Boltzmannfaktor erwähnen wollte. Schau Dir das doch auch mal alles an! --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:43, 17. Mär. 2020 (CET)

Ich denke, wir können diesen Diskussionspunkt schließen, denn "Ensemble" ist jetzt richtig erklärt. Zu Deinen Fragen: "Dass <E> = U ist, muss das erwähnt werden?" das ist Geschmacksache, im Grunde wünschte ich mir hier ein "Ensemble" von Lesermeinungen, wie hilfreich der Text jeweils war. Dann weiter, der Boltzmann-Faktor ist natürlich hier richtig, das liegt m.E. ähnlich tief in der Mathematik begründet, wie die Normalverteilung beim zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, und in der axiomatischen angesetzten Gleichwertigkeit der einzelnen Zustände (im Falle des thermodynamischen Gleichgewichts), solange die Nebenbedingung erfüllt ist (Mikrokanonische Gesamtheit). Die Fermi- und Bose-Einstein-Verteilungen sind spezielle Anwendungen, für freie Teilchen in einem "Kasten". Diese besonderen Funktionen kommen ja dadurch, dass hier weiteres Wissen über die Anzahl der möglichen Eigenzustände (Zustandssumme) mit dem Boltzmann-Faktor verbandelt werden. Auf die Problematik der Teilchenzahl bin ich gekommen, da die Teilchenzahl nicht explizit in die Hereitung eingeht und da weiter Teilchen mit Masse 0 was ihre Zahl angeht in der Thermodynamik sich nicht ganz so, wie von den Teilchen mit Masse gewohnt, verhalten.

Mein Gesamteindruck von dargestellten Details hier im Lemma ist, dass es sich um eine Formelsammlung handelt, in der einiges komprimiert, Beschreibungen verbessert, Anwendungsbereiche und Belege hinzugefügt werden könnten. Da ich mir mit einer solchen Arbeit schwer tue und noch andere Baustellen habe, will ich aber hier nicht weiter herumkriteln.

Zu Deiner Bitte mit der Temperatur. Ich schaue mir das gerne einmal an, aber das kostet Zeit. Die Temperatur ist ja eine der schillerndsten Begriffsbildung in der Physik. Nach meiner Erinnerung gibt auch hier der Stierstadt in seiner Einführung einen gut lesbaren Einstieg. Von der begrifflichen und theoretischen Problematik, wird die Temperatur für mich immer noch am besten in dem Band 4 des Lehrbuches "Grundlagen der theoretischen Physik" von Günter Ludwig abgehandelt (aber die theoretischen Aspekte und Schwierigkeiten sind nicht unbedingt was für Wikipedia). ArchibaldWagner (Diskussion) 11:21, 18. Mär. 2020 (CET)

Ich hab ja inzwischen weitergebastelt, weil ich noch lerne, wobei mir auch der Nolting 6 hilfreich ist. Bitte checken! (Den Ludwig sehe ich erst, wenn die UB wieder öffnet.) --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:07, 18. Mär. 2020 (CET)

weitere Überarbeitung

Nach Statistische Physik würde ich jetzt hier weiter aufräumen und bitte um weitere Mitarbeit. Erste Schritte auf Benutzer:Bleckneuhaus/Sandkasten. --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:44, 19. Apr. 2020 (CEST)