Diskussion:Koch-Kurve

Hallo. Willst du bitte mal beim ersten von Koch-Artikel den Titel nachprüfen. --Cornischong 10:41, 26. Jun 2004 (CEST)

Könntest Du Dich bitte etwas deutlicher ausdrücken? Ich verstehe kein Wort. --Arbol01 10:47, 26. Jun 2004 (CEST)

Review

Im Review gab es schon längere Zeit keinen Diskussionsbeitrag mehr, ebenso wurde der Artikel schon lange nicht mehr geändert, deshalb habe ich ih naus dem Review rausgenommen. Die kopierte Diskussion folgt. -- Dishayloo [ +] 20:09, 5. Aug 2004 (CEST)

Diskussion aus dem Review

Seit Mitte März hat sich an diesem Artikel nichts mehr getan. Auch mir ist nichts mehr eingefallen. Stellvertretend steht dieser Artikel auch für die Fraktale, das Sierpinski-Dreieck, die Drachenkurve und ein paar andere. --Arbol01 08:07, 26. Jun 2004 (CEST)

• Das ist jetzt etwa der 5. Matheartikel in der letzten Zeit, der hier eingestellt wurde und den ich dann auch gelesen habe. Der Vorteil an diesem Artikel gegenüber allen anderen: Ich habe tatsächlich mal verstanden, um was es geht und konnte den Sätzen folgen. Der Text besteht nicht aus lauter Formeln und Mathematikergerede, dafür danke.
• Wie bei allen anderen Artikeln aus diesem Bereich vorher aber auch fehlt jegliche Hintergrundinformation. Die Kurve wurde 1904 erstmals beschrieben, ist seitdem nichts damit passiert? Sind diese Theorien niemals in einer Anwendung integriert gewesen, gibt es keine anderen Kurven , Formeln, Programme etc. die mit diesem Ding irgendwas gemacht haben? Gibt es ausser Koch niemanden, der sich danach damit befasst hat oder das ganze irgendwie weiterentwickelt, implementiert hat? Was ich meine: Gibt es keine Geschichte zu der Kochkurve und keine Praxisanwendung? Wenn es "Erstveröffentlichungen" gibt, dann gibt es doch auch spätere Veröffentlichungen, was sagen denn die über die Kockkurve? Wie eng steht die Kurve zu den oben von dir genannten Fraktalen, dem Sierpinski-Dreieck und der Drachenkurve. Was ist eine Haussdorffdimension? Hat das ganze nicht auch irgendwie Einfluss auf Chaostheorien? -- Necrophorus 18:58, 26. Jun 2004 (CEST)

Puuuh! Jein. Nein, nach der Eintdeckung ist nicht so viel mit Fraktalen wie der Kochkurve und den Kurven passiert. Man hat keine praktische Verwendung für diese Kurven gesehen. Erst in den 80er Jahren, als die Mandelbrotmenge, die Attraktoren und alles andere, was erst mit Computern berechenbar und sichtbar gemacht werden konnte, sind die fraktalen Kurven wieder in den Vordergrund getreten.

Die Koch-Kurve, die Drachenkurve, das Penta-Plexity, die Pfeilspitzen-Kurve und all die anderen Kurven, die in der Tabelle im Artikel Fraktal unten aufgeführt sind, stehen sehr eng im Zusammenhang, da sie alle auf die gleiche Weise konstruierbar sind, und man von allen diesen Objekten eine Haussdorfdimension berechnen kann.

Die Haussdorfdimesion ist mehr oder weniger das Verhältnis des Logarithmus der Länge der neuen Kurve zu dem Logarithmus der Länge der alten Kurve.

Eine Erkenntnis solcher Kurven ist: Je genauer man eine Küste man vermißt, desto länger wird sie, und die genaue Länge einer Küste wird man nie ermitteln können.

Eine Andere Sache ist die, das sich einerseits Pflanzen leicht per Computer überzeugend darstellen lassen, und andererseits sich reale Pflanzen sich fraktalisch analysieren lassen. Dafür ist ein Biologe namens Lindenmayer mit seinem System verantwortlich.

Zu der Haussdorffdimension und dem L-System müssen die Artikel erst noch geschrieben werden.

Im Gegensatz zu der Mandelbrotmenge und Attraktoren wie dem Lorenz-Attraktor, haben die Kurven wenig, bis keinen praktischen Nutzen.

Ach ja, ausser von Koch haben sich z.B. Roger Penrose, David Hilbert, Gosper (der mit der Gleiter-Kanone aus dem Game of Life, Waclav Sierpinski, Karl Menger, Peano und andere Mathematiker mit solchen Kurven befaßt. --Arbol01 22:34, 26. Jun 2004 (CEST)

• Eventuell kann man mehr herausstreichen, dass die (einzige ?) Bedeutung der Koch-Kurve darin liegt, als Gegenbeispiel zu dienen. z.B. stetige Kurve aber nirgends diffbar, und kurve mit unendlicher Länge. In diesem Zusammenhang tritt sie in den Grundkursen der Mathematik jedenfalls immer auf. Unyxos 19:52, 2. Jul 2004 (CEST)

• Also, sie hat mit Sicherheit noch einen weiteren Nutzen: Sie liefert schöne Bildchen :-) --Berni 17:33, 8. Jul 2004 (CEST)

• Habe mal etwas dran gebastelt und ergänzt. Ich finde, man sollte die Textgrafik für die Kurvenfolge durch eine ordentliche echte Grafik ersetzen. Falls sich jemand dessen annimmt, kann er das im gleichen Aufwasch auch für die Drachenkurve erledigen. Ob die ganze Geschichte genug für "Exzellenz" hergibt, weiß ich allerdings nicht, falls das beabsichtigt sein sollte. Vielleicht sollte man den Artikel in kochsche Kurve umbenennen. Koch-Kurve klingt irgendwie nach Slang der Fraktal-Fans. --Wolfgangbeyer 12:55, 10. Jul 2004 (CEST)

Schön, das sich jemand der Koch-Kurve annimmt. Zwei Dinge: Ich habe den Atikel hier eingestellt, damit er besser, aber nicht exzellent wird. Der Artikel war schon mal unter Kochsche Kurve zu finden. Wer gerne Kochsche Kurve haben möchte, kann, sofern nicht schon ein Redirect besteht, einen solchen erstellen.

Mir gefallen Koch-Kurve, Menger-Schwamm und Sierpinski-Dreieck viel besser als Kochsche Kurve, Mengerscher Schwamm und Sierpinkisches Dreieck. Ich kann leider kein Spanisch, aber auf der der dortigen Seite sing geeignete Drachenkurven. Vielleicht kann man die eine oder andere Drachenkurve übernehmen. --Arbol01 13:22, 10. Jul 2004 (CEST)

Die Kurve heißt Koch-Kurve und nicht kochsche Kurve. Deshalb sollte sie auch unter diesem Namen in der WP stehen.--Berni 16:27, 12. Jul 2004 (CEST)

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Hallo Benutzer:DaTroll: Dein Zusatz wirft für mich ein paar kleinere Fragen auf: Was ist eigentlich an der Koch-Kurve entdeckungsgeschichtlich das bedeutendere: Dass es sich um eins der ersten entdeckten Fraktale (nicht das erste) handelt, oder dass es eine überall stetige Kurve ist, die nirgends differenzierbar ist? Welcher Kurventyp ist denn früher entdeckt worden? Sind eigentlich alle Kurven, die überall stetig aber nirgends differenzierbar sind, fraktale Kurven? Sind also diese beiden Begriffe letztlich synonym? --Wolfgangbeyer 22:26, 31. Aug 2004 (CEST)

Fläche der kochschen Schneeflocke?

Die Fläche der kochschen Schneeflocke muss einen Grenzwert haben. Könnte den mal jemand, der ihn kennt, nachtragen. Wäre schön, weil interessant. Vielleicht mit Herleitung? TIA! :) -- Daniel FR Hey! 23:34, 20. Nov 2004 (CET)

Die Kochkurve hat keine Fläche, sonst hätte sie ja Dimension 2 und nicht eins komma ... -- Dishayloo [ +] 15:53, 21. Nov 2004 (CET)

Es geht um die Schneeflocke, das ist eine geschlossene Fläche. Der Grenzwert der Fläche ist:

$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}+3{\frac {\sqrt {3}}{9\cdot 4}}+3\cdot 4{\frac {\sqrt {3}}{81\cdot 4}}+\cdots ={\frac {\sqrt {3}}{4}}\left(1+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4^{n}}{3^{2n+1}}}\right)$

Hab ich schnell zusammengebastelt, kann das jemand bestätigen? --sτω ⊗ 17:02, 21. Nov 2004 (CET)

Sieht ok aus. Die geometrische Reihe kann man noch auswerten und erhält dann

$A={\frac {2\cdot {\sqrt {3}}}{5}}$,

wenn ich mich nicht verrechnet habe. D. h. die Fläche beträgt 8/5 des Ausgangsdreiecks. Hm, aber was soll daran interessant sein? --Wolfgangbeyer 22:14, 21. Nov 2004 (CET)

Jedenfalls erstmal DANKE an alle Beteiligten. :) -- Daniel FR Hey! 22:30, 21. Nov 2004 (CET)

Frage: Der Flächeninhalt ist aber doch nicht immer gleich groß sondern abhängig von der Kantenlänge des Ursprungsdreieckes vor der ersten Iteration. Somit gillt die obrige geometrische Reihe im Grenzfall nur für eine Kantenlänge von 1. Wie sähe denn nun die Lösung der Reihe aus, die nur noch von der Seitenlänge s abhängig ist? dark 06:49, 19. Jan 2005 (CET/MEZ)

Obige Formel mal s². --Wolfgangbeyer 22:16, 19. Jan 2005 (CET)

Flächeninhalt: Die Formel im Hauptartikel stimmt nicht. Beim ersten Iterationsschritt werden nicht vier, sondern nur drei kleinere Dreiecke mit 1/9 der Ausgangsfläche angefügt. Danach bei jedem Schritt 4-mal mehr Dreiecke mit 9-mal kleinerer Fläche. Die Fläche konvergiert also gegen (1 + 3/9 * 9/5) = 8/5 und nicht 9/5 der Ausgangsfläche. (nicht signierter Beitrag von 2A02:1205:503D:D040:F83B:A4A:5549:20E7 (Diskussion) 20:28, 30. Sep. 2017 (CEST))

Ich hab jetzt mal eine kleine Geogebrasimulation erstellt. https://www.geogebra.org/m/yyf4tvg7 Der Vorteil gegenüber einer automatisch ablaufenden Animation ist der, dass jeder durch Spielen mit den "+" und "-" Schaltflächen in aller Ruhe nachvollziehen kann, wie die einzelnen Iterationen zustande kommen. Wenn das Gebilde bei der 0-ten Iteration die Fläche 1 hat, so komme ich auf folgende Gleichung.

$A=1+{\frac {3}{9}}+{\frac {12}{81}}+{\frac {48}{729}}+{\frac {192}{6561}}+...={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}\cdot \sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {4}{9}}\right)^{i}=1.6$--Willi windhauch (Diskussion) 14:02, 4. Jan. 2020 (CET)

Ich hab jetzt mal meine Gleichung noch ein wenig vereinfach. Und vielleicht hat der Autor nur die Fläche des grünen Gebildes ausrechnen wollen. Wobei er allerdings nicht beachtet hat, dass das erste aufgesetzte Dreieck ein Neuntel des Flächeninhalts des Ausgangsdreiecks besitzt. Multipliziert man also den vom Autor errechneten Wert mit einem Drittel und zählt 1 dazu, so stimmt die Rechnung mit meiner vereinfachten Form überein. $1+3\cdot {\frac {1}{9}}\sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {4}{9}}\right)^{i}=1+{\frac {1}{3}}\sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {4}{9}}\right)^{i}=1.6$--Willi windhauch (Diskussion) 12:15, 10. Jan. 2020 (CET)

Bei der eigentlichen Kochkurve (nicht bei der Schneeflocke) fängt man mit einer Strecke an, nicht mit einem Dreieck. Dein Satz "Wobei er allerdings nicht beachtet hat, dass das erste aufgesetzte Dreieck ein Neuntel des Flächeninhalts des Ausgangsdreiecks besitzt." ergibt also gar keinen Sinn, denn das erste aufgesetzte Dreieck ist das Ausgangsdreieck. Vorher gibt es gar kein Dreieck. Bezugsdreieck der Rechnung im Artikel ist also nicht das Ausgangsdreieck der Schneeflocke, sondern das erste aufgesetzte Dreieck.

Interessanter ist aber wahrscheinlich wohl tatsächlich der Flächeninhalt der Schneeflockenkurve. --Digamma (Diskussion) 10:47, 11. Jan. 2020 (CET)

Andere Koch-Kurve

Ich hörte von einer Koch-Kurve der folgenden Grundform:

  _
_| |  _
   |_|

Ist diese es wert, hier erwähnt zu werden? -- Benutzer:Bingbaum _{Unterschrift nachgetragen --Arbol01 18:11, 30. Apr 2005 (CEST)}

Ich glaube die Kurve heißt anders, ist aber der Erwähnung wert. --Arbol01 18:11, 30. Apr 2005 (CEST)

Ich interessiere mich für sie, seit ich bei der 41. Mathematik-Olympiade damit konfrontiert wurde. Aufgabe -- Bingbaum 23:21, 18. Jun 2005 (CEST)

Lesenswert-Kandidatur, August 2005

Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve. Es handelt sich bei ihr ferner um eines der ersten formal beschriebenen fraktalen Objekte.

• pro - war vor einiger Zeit mal im Review und ich finde ihn ziemlich gut, auch laienverständlich. -- Achim Raschka 12:42, 14. Aug 2005 (CEST)
•  Kontra In dieser Form fast ausschließlich eine Konstruktionsanleitung. Mathematische Zusammenhänge, Entstehung und Bedeutung/Anwendung fehlt völlig norro 23:04, 14. Aug 2005 (CEST)
•  Kontra Da muss ich leider meinem Vorredner norro zustimmen. -- Roffle 08:36, 15. Aug 2005 (CEST)
•  Kontra der Anfang ist nicht schlecht - aber darf es ein bisschen mehr Text sein? --Atamari … 01:36, 18. Aug 2005 (CEST)
•  Kontra Siehe Vorredner. N.B.: Ist das überhaupt eine Kurve, wenn pro x-Wert zwei y-Werte möglich sind? Also in diesem Fall hätte ich auch gewaltige Mühe, eine Kurve abzuleiten... *heftigstdenkoppschüttel* --Keimzelle 20:28, 18. Aug 2005 (CEST)

Wo sind für einen x-Wert zwei y-Werte möglich? Ich sehe im Artikel nichts davon. Zugegeben, die Formulierung ist etwas irreführend. Aber von x-Werten und y-Werten sehe ich nichts. --Arbol01 00:29, 19. Aug 2005 (CEST)

Das kurvige an der Koch-Kurve

Die allgemeine Theorie dazu könnte eher bei den L-Systemen angesiedelt sein. Unanschaulich und kurz: Man nehme sich den Raum B der stetigen Funktionen f von [0,1] mit Werten in der 2D-Ebene oder deren Teilbereich [0,1]x[0,1], bei welchen f(0)=(0,0) und f(1)=(1,0) ist. Über die Supremumsnorm der Differenz sei ein Abstand auf B definiert. Durch Rotation, Verschiebung und Skalierung einer solchen Funktion im Wertebereich können die 4 Wegstücke der Konstruktion nachgebildet werden. Mit einer entsprechenden Teilung des Definitionsbereiches [0,1] in vier Viertel kann eine zusammenhängende Parametrisierung dieser 4 Teilstücke erreicht werden. Richtig aufgeschrieben ergibt dies eine kontraktive Abbildung von B nach B mit Kontraktionskonstanter 1/3. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es einen Fixpunkt in B, die Koch-Kurve. Stetig, aber nicht differenzierbar und mit unendlicher Länge.--LutzL 17:44, 1. Dez 2005 (CET)

Kann man anhand dieser Theorie beweisen, dass die Kurve nirgends differenzierbar ist? M.E. fehlt dem Artikel nämlich noch eine Beweisidee für diese Aussage. --HeikoTheissen 18:10, 1. Dez 2005 (CET)

Nein, nur begründen, warum man das nicht machen kann: Die Supremumsnorm der Differenz der Ableitung hat eine "Kontraktionskonstante" 4/3>1. Das müsste man dahingehend ausbauen, dass die Ableitung tatsächlich fast überall in dieser Art wächst.--LutzL 18:57, 1. Dez 2005 (CET)

Weitere Bilder, u.a. aus den Commons

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--LutzL 20:01, 1. Dez 2005 (CET)

ASCII-Kunst ausgelagert

Anfangskurve:

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1. Iteration:

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                        /    \
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                   /              \
__________________/                \__________________

2. Iteration:

                          /\
                         /  \
                  ______/    \______
                  \                /
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                    \            /
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       /  \        /              \        /  \       
______/    \______/                \______/    \______

3. Iteration:

                        __/\__
                        \    /
                  __/\__/    \__/\__
                  \                /
                  /_              _\
                    \            /
      __/\__      __/            \__      __/\__      
      \    /      \                /      \    /      
__/\__/    \__/\__/                \__/\__/    \__/\__

--LutzL 15:36, 9. Dez 2005 (CET)

Java-Programmierbeispiel

Spricht etwas dagegen wenn ich ein Programmierbeispiel in Java reinstelle? -- Daniel Brettschneider 22:01, 30. Sep. 2007 (CEST)

Sei mutig.--Τιλλα 2501 ^± 22:15, 30. Sep. 2007 (CEST)

Es wäre nicht so gut, da in Java, wie in jeder "richtigen" Programmiersprache, immer etwas Overhead vorhanden ist. In der Beschreibungsseite für ein eingestelltes Bild wäre der Code angebracht. Hier bitte nur die wesentlichen Routinen, und auch das nur, wenn sie den (vorhandenen?) Pseudo-Code erheblich verbessern.--LutzL 11:17, 1. Okt. 2007 (CEST)

Wie ich nachträglich sehe, ist das auch so gemacht worden. Die Kode-Sammlung sieht trotzdem nicht gut aus. Die ersten zwei Beispiele sind kryptisch. Die KTurtle und Deins könnten etwas mehr Erklärungen vertragen, die KTurtle Kommentare, das Java-Beispiel einen Hinweis, dass da noch ein Überbau dazugehört (aber bitte nicht den Überbau posten).--LutzL 11:24, 1. Okt. 2007 (CEST)

Ich hab ein erklärendes Bild eingefügt, reicht dsa zum Verständnis? Ich kann das irgendwie nicht so gut beurteilen, weil ich es ja verstehe... --Daniel Brettschneider 20:30, 1. Okt. 2007 (CEST)

Sieht erstmal gut aus. Der Winkel delta ist etwas unleserlich. Kannst Du nachschauen, ob das Programm, mit dem Du das Bild erzeugt hast, über einen SVG-Export verfügt? Eine Vektorversion wäre besser als die JPG-Version. Und wenn Du noch etwas Zeit zum Experimentieren hast, heruntergestellte Indizes wären hübscher.--LutzL 10:13, 2. Okt. 2007 (CEST)

Das Beispiel in Java ist hilfreich. Danke. Weiß jemand um eine Methode/Implementation, die Koordinaten für den Graphen zu erzeugen, bei der man ohne Trigonometrie auskommt und sich rein auf Vektorrechnung stützt? D. h. die Funktion sollte zwei Punkte und die Iterationstiefe als Argument nehmen, keinen Winkel.

Bildbeschreibung fehlt bei [[Datei:Koch curve (L-system construction).jpg]] und [[Datei:Kochkurve.png]]

Der Artikel enthält ein Bild, dem eine Bildbeschreibung fehlt, überprüfe bitte, ob es sinnvoll ist, diese zu ergänzen. Gerade für blinde Benutzer ist diese Information sehr wichtig. Wenn du dich auskennst, dann statte bitte das Bild mit einer aussagekräftigen Bildbeschreibung aus. Suche dazu nach der Textstelle [[Datei:Koch curve (L-system construction).jpg]] und [[Datei:Kochkurve.png]] und ergänze sie.

Wenn du eine fehlende Bildbeschreibung ergänzen willst, kannst du im Zuge der Bearbeitung folgende Punkte prüfen:

• Namensraum Datei: Bilder sollte im Namensraum Datei liegen. Bitte ändere die alten Bezeichnungen Bild: und Image: in Datei:.
• Skalierung: Außerhalb von Infoboxen sollten keine festen Bildbreiten (zum Beispiel 100px) verwendet werden. Für den Fließtext im Artikelnamensraum gibt es Thumbnails in Verbindung mit der automatischen Skalierung. Um ein Bild/eine Grafik in besonderen Fällen dennoch größer oder kleiner darzustellen, kann der „upright“-Parameter verwendet werden. Damit erfolgt eine prozentuale Skalierung, die sich an den Benutzereinstellungen orientiert. --SpBot 23:10, 1. Mär. 2009 (CET)

Koch-Kurve als Funktion fehlt

Aus dem Text: Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve.

Von Stetigkeit und Differenzierbarkeit zu reden ergibt (zumindest im elementaren Sinn) nur dann einen Sinn, wenn man eine Funktion hat, die die Kurve parametrisiert. Das fehlt hier völlig. -- Digamma 10:48, 5. Jul. 2010 (CEST)

Hat sich erledigt. Ich hab's übersehen. -- Digamma 10:50, 5. Jul. 2010 (CEST)

Grenzwert

Im Artikel steht:

Zum Grenzwert der Iteration gehören diejenigen Punkte, die von irgendeinem Iterationsschritt an in allen folgenden Iterationen enthalten sind, sowie alle Häufungspunkte der so gebildeten Punktmenge.

Ist das nicht einfach der folgende Ausdruck?

${\overline {\bigcup _{n=0}^{\infty }\bigcap _{i=n}^{\infty }K_{i}}}$

--Jobu0101 11:01, 18. Jul. 2011 (CEST)

Ich persönlich glaube aber, dass der Ausdruck hier eine bessere Definition wäre:

$\bigcap _{n=0}^{\infty }{\overline {\bigcup _{i=n}^{\infty }K_{i}}}$

--Jobu0101 15:19, 18. Jul. 2011 (CEST)

Ich sehe das auch so. Die zitierte Textpassage ist meines Erachtens falsch. -- Digamma 19:13, 18. Jul. 2011 (CEST)

Ich habe nie etwas dazu gelernt, wie man bei solchen Kurven einen Grenzwert definiert, aber allein meine Anschauung sagt mir, dass ich von einem Grenzwert eher das erwarte, was mir die eigene Definition liefert als das, was mir die Wikipedia hier weiß machen will. Wo kann man denn nun die wirkliche Definition finden? In der englischen Wikipedia steht, soweit ich das beim Überfliegen einschätzen konnte, einzig und allein "The Koch snowflake is the limit approached as the above steps are followed over and over again.". Sie geben also gar keine Definition an, bzw. sagen, man müsste es nur oft genug machen, dann hätte man irgendwann den Grenzwert. So ein Schwachsinn. Also sehr hilfreich. --Jobu0101 08:40, 19. Jul. 2011 (CEST)

Weiß da keiner weiter? --Jobu0101 19:58, 12. Dez. 2011 (CET)

Ich habe einen Mitschrieb von einer Vortragsreihe von Johne Hutchinson, in dem ist die Rede von Konvergenz in der Hausdorff-Metrik. Hilft das weiter?

Eine andere Möglichkeit wäre: Man parametrisiert die Kurven der Folge jeweils proportional zur Bogenlänge über dem Intervall [0,1] und betrachtet punktweise oder gleichmäßige Konvergenz. --Digamma 22:29, 15. Dez. 2011 (CET)

... kochsche Kurve bzw. ... kochsche Schneeflocke

Kleinschreibung von kochsche - wie kochsche Kurve in der Einleitung - für kochsche Kurve und kochsche Schneeflocke eingearbeitet. Mit Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 13:34, 11. Apr. 2024 (CEST)