Diskussion:Kompakter Raum

p-adische Zahlen

Habe das Label p-adische Zahlen zu dem Beispiel verschoben, das tatsaechlich den entsprechenden metrischen Raum angibt (bis auf eine minimale Anpassung der Metrik). Dabei habe ich die Behauptung gelöscht, dass die p-adischen Zahlen homoeomorph zu einer Cantor-Menge sind. Ich hoere sie hier zum erstenmal, sehe aber nicht ohne weiteres, ob sie wahr oder falsch ist. Referenzen?--Gunther 12:26, 24. Feb 2005 (CET)

Dieser Raum 2^N mit der von dir modifizierten Metrik umfasst nur die p-adischen ganzen Zahlen. Ob die Menge der p-adischen ganzen Zahlen (das stand vorher auch falsch da) tatsächlich zu einer Cantor-Menge homöomorph ist, weiß ich nicht. Es erscheint mir aber plausibel: Man müsste sich überlegen, ob der eben genannte Raum 2^N (bzw. die Verallgemeinerung p^N, die dann homöomorph zu Z_p ist) in einen Zusammenhang mit einer Cantor-Menge gebracht werden kann. Die klassische Cantor-Menge C besteht ja aus allen Basis-3-Brüchen, in denen nur die Ziffern 0 und 2 vorkommen. Dabei entspricht jeder "Trialbruch" umkehrbar eindeutig einem Element von C (da die abbrechende Darstellung einer "Periode 2" eine Ziffer 1 enthalten müsste). Die Frage ist nun, ob die offensichtliche Bijektion von C nach 2^N stetig ist. (Das reicht für einen Homöomorphismus, da es sich um kompakte Räume handelt.) --SirJective 13:43, 24. Feb 2005 (CET)

Das ist richtig, ich meinte nur die ganzen p-adischen Zahlen, der Begriff p-adische Zahlen ist immer etwas ungenau. Die Homoeomorphie C = Z_p finde ich wirklich ueberraschend, zumal ja auf Cantor-Menge steht, dass alle Cantor-Mengen homeomorph sind, also auch alle Z_p's. Naja, immerhin verstehe ich jetzt, wieso man immer lokalkonstante Funktionen auf Z_p usw. betrachtet.

Dann waere im Artikel eigentlich ausreichend, zu sagen, dass Cantor-Mengen und ganze p-adische Zahlen dasselbe Beispiel sind, denn die Folgenkonstruktion steht ja auch im Artikel ueber p-adische Zahlen.--Gunther 15:05, 24. Feb 2005 (CET)

Die Homöomorphie zwischen C und 2^N hab ich jetzt im Artikel angedeutet, ebenso wie die zwischen p^N und Z_p. Man kann Z_p als genau die Menge p^N mit bestimmten Verknüpfungen definieren, aber das hab ich noch nie gesehen.

Nennt sich Witt-Vektoren, aber das gehoert mit Sicherheit nicht mehr zu "Kompakter Raum".--Gunther 23:42, 24. Feb 2005 (CET)

Ich denke, wir sollten die Cantormenge und Z_p als eigene Beispiele stehen lassen, da es ja (nach einigen Definitionen) verschiedene, wenn auch homöomorphe, Räume sind. --SirJective 19:26, 24. Feb 2005 (CET)

"Einfaches Beispiel"

Ich finde das Beispiel überhaupt nicht einfach, "typisches Beispiel" wäre eher zutreffend. Ich vermisse, gerade in der Einleitung, die Formulierung der endlichen Approximierbarkeit, i.e. die Existenz von endlichen ε-Netzen. Ein besseres und bedeutsameres Bespiel ist die Existenz von Maxima und Minima von (stetigen) reelen Funktinalen. Für endliche Mengen ist dies trivial, für stetige Funktionale auf kompakten Mengen die unten angegebene Eigenschaft.--LutzL 4. Jul 2005 19:34 (CEST)

ich schlage vor, das beispiel entweder umzuformulieren oder zu streichen.

Menge I

Man sollte noch erwähnen, was das für eine Menge I (bei der endlichen Überdeckung) ist. -- 212.201.55.6 20:20, 22. Feb. 2008 (CET)

Stetige reelle Abbildung aus Kompaktum X nimmt Minimum an

Das gilt doch nur, wenn X nichtleer ist? :> 6. November 2009 10:24 (ohne Benutzername signierter Beitrag von 82.113.121.197 (Diskussion | Beiträge) )

Kompakt; Folgenkompakt

Hallo, im Abschnitt "Eigenschaften" steht: "Jede unendliche Folge von Elementen einer kompakten Menge besitzt einen Häufungspunkt in K.[...]" Im Prinzip steht da nichts anderes als "Kompakt=>Folgenkompakt", was jedoch i.A. falsch ist! Es müsste lauten "Hausdorffsch und Kompakt=>Folgenkompakt" (vgl. Gegenbeispiel in Lynn Steen - Counterexamples in topology)

-- 84.169.57.172 08:19, 11. Jun. 2010 (CEST)

Selbst das ist so nicht richtig. Die Aussage in einem "kompakten Hausdorff-Raum besitzt jede Folge einen HP (also einen Punkt mit der Eigenschaft, dass in jeder Umgebung unendlich viele Folgeglieder liegen)" ist immer richtig. Falls überdies jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt (zum Beispiel erfüllt, wenn die Topologie durch eine Metrik erzeugt wird) so kann man eine immer eine konvergente Teilfolge ausswählen. Im allgemeinen ist das aber falsch (z.B. ist das Produkt {0,1}^({0,1}^N) ausgestattet mit der Produkttopologie (über der diskreten Topologie auf {0,1}) (N ist die Menge der natürlichen Zahlen) kompakt und nach dem Satz von Tychonoff und hausdorffsch aber NICHT folgenkompakt!!!

O.K. steht ja im Text - aber die Grafik sollte überarbeitet werden!

Bitte unbedingt in Grafik ändern und auch die anderen Aussagen nochmal sorgfältig überprüfen! (nicht signierter Beitrag von 178.24.169.138 (Diskussion) 21:35, 2. Mär. 2011 (CET))

Die Grafik habe ich wegen des oben genannten Fehlers entfernt.--FerdiBf (Diskussion) 17:01, 30. Nov. 2012 (CET)

Die Grafik befindet sich immer noch im Artikel Kompakte Menge. Die darin enthaltene Aussage "In einem kompakten Raum enthält jede Teilfolge eine konvergente Teilfolge" ist falsch. Im Fall der besonderen Restriktionen des Artikels "Kompakte Menge" kann man das gerade durchgehen lassen (ich habe die Restriktion auch in der Bildunterschrift erwähnt), schön ist es trotzdem nicht.--FerdiBf (Diskussion) 15:16, 1. Dez. 2012 (CET)

Das Bild ist in mehrererlei Hinsicht unschön:

• Es müsste ein beliebiges Teilnetz der Folge zugelassen sein (s. obige Diskussion).
• Endlicher Vektorraum – naja
• „Kompaktheit impliziert Unabhängigkeit der Kompaktheit vom Raum X“ – komische Formulierung
• Komaktheit impliziert Abgeschlossenheit und Beschränktheit – ersteres nur in Hausdorffräumen und zweiteres nur in metrischen Räumen (sonst gibt es so etwas ja nicht)

Deshalb habe ich es auch da entfernt. --Chricho ¹ ² ³ 16:29, 1. Dez. 2012 (CET)

Einpunktkompaktifizierung

Benutzer:Chricho hat als "Zusammenfassung" einer neuen Version geschrieben: "Kompaktifizierung mit einem Extra-Punkt soll immer gehen? Ich wünsche viel Spaß mit den rationalen Zahlen… Weiß gerade keinen Beweis, aber das geht sicherlich nicht immer (sonst bitte Quelle!)"

Ich habe die Anfrage nach hier verschoben und die entsprechende Änderung revertiert. Das Verfahren funktioniert tatsächlich für beliebige topologische Räume. Als Quelle habe ich gerade nur G.Preuß, Allgemeine Topologie, (Springer, 2.Aufl. 1975) S. 243 im Haus. Es ist aber auch in en:Compactification (mathematics) beschrieben. Auf $\mathbb {Q}$ angewendet: offene Mengen sind alle offenen Teilmengen von $\mathbb {Q}$ und alle Mengen der Form $(\mathbb {Q} \setminus \{p\})\cup \{\omega \}$, wenn $\omega$ der neue Punkt ist und $p$ ein beliebiger Punkt von $\mathbb {Q}$.

Ich werde den entsprechenden Text bei Kompaktifizierung eintragen und dann den Link ergänzen. Ich will aber erst noch überlegen, wie man den Text dort dann am Besten gliedert.--Mini-floh 16:57, 13. Feb. 2012 (CET)

Ah, okay T₂ bleibt dann nur nicht erhalten. Die tollen Eigenschaften (vollständig regulär…) haben ja auch erst die kompakten T₂-Räume. --Chricho ¹ ² 17:09, 13. Feb. 2012 (CET)

Habe nun wieder auf Alexandroff-Kompaktifizierung verwiesen. --Chricho ¹ ² 17:10, 13. Feb. 2012 (CET)

Hm, ohne T₂, wofür dann überhaupt die Mühe? Man fügt ∞ hinzu und den ganzen Raum mit ∞ als einzige zusätzliche offene Menge, das ganze wird kompakt, und der ursprüngliche Raum liegt natürlich auch dicht darin. In der Tat entspricht das auch en:Compactification für den Fall, dass wir etwa ℝ mit den offenen Mengen (-∞,a) haben, da gibt es nunmal keine abgeschlossenen Kompakta außer der leeren Menge. Sollte man vllt. doch auf den Fall T₂&lokal kompakt in diesem Artikel hinweisen, da man nur dann tolle Eigenschaften erhält? --Chricho ¹ ² 17:30, 13. Feb. 2012 (CET)

Vorsicht vor Schnellschüssen! In $\mathbb {R}$ ist (Satz von Heine-Borel) jede beschränkte abgeschlossene Menge kompakt!

Im Übrigen stimme ich eigentlich zu; ich würde auch lieber nur T₂-Räume als kompakt bezeichnen (und dann wäre das in diesem Fall eine "Quasikompaktifizierung), aber die hier verwendete Terminologie (und anscheinend die Gesamttendenz) ist offensichtlich anders. --Mini-floh 18:40, 13. Feb. 2012 (CET)

Die Warnung vor Schnellschüssen hätte ich selbst beherzigen sollen, denn die Konstruktion zu $\mathbb {Q}$ gibt so natürlich nur eine Subbasis für die Topologie, aber der Rest ist klar. --Mini-floh 18:51, 13. Feb. 2012 (CET)

Ja, schnellschießen tun wir hier wohl alle ab und zu. Aber ich meinte nicht ℝ mit der üblichen, euklidischen Topologie, sondern mit der Topologie $\{(-\infty ,a)|a\in \mathbb {R} \}\cup \{\mathbb {R} \}\cup \{\emptyset \}$, für welche Heine-Borel natürlich nicht gilt und die nicht einmal T₁ ist. Und da ist die Alexandroff-Kompaktifizierung, wie sie in der englischen Wikipedia beschrieben ist, gerade besagte triviale, da das einzige abgeschlossene Kompaktum leer ist, insofern stellt sich die Frage, warum wir gerade abgeschlossene Kompakta nehmen, im nicht-T₁-Fall bringt es ja nun gar nichts und im T₂ Fall überträgt sich das nur bei lokalkompakten Räumen. T₁ überträgt sich, ist es das, wieso man das so macht? --Chricho ¹ ² 19:23, 13. Feb. 2012 (CET)

Das ist einfach eine Folge der hier verwendeten Definition von "kompakt", nämlich dass kompakte Räume hier nicht T₂-Räume sein müssen. Aus der Konstruktion folgt aber:

Wenn $X$ nicht selbst kompakt ist, dann ist die "Alexandrow-Erweiterung" $X^{*}$ von $X$ der minimale kompakte Raum, in den sich $X$ mit einer stetigen und offenen Abbildung einbetten lässt. $X^{*}$ ist Hausdorff-Raum und daher Tychonoff-Raum genau dann, wenn $X$ lokal-kompakt ist.

Ich gebe zu, dass man bei ungewöhnlichen Räumen von dieser Eigenschaft nicht viel hat. Ich finde übrigens den englichen Begriff "Alexandroff extension" (ich übersetze das hier mit "Alexandrow-Erweiterung") für diese Konstruktion im allgemeinen Fall viel besser und werde ihn in mein aktives Vokabular aufnahmen.--Mini-floh 09:09, 14. Feb. 2012 (CET)

„Kleinster“ in welchem Sinne? Mit gröbster möglicher Topologie? Das wäre doch das mit nur einer zusätzlichen offenen Menge, und die Einbettung wäre auch stetig. --Chricho ¹ ² 12:08, 14. Feb. 2012 (CET)

Wenn ich erst jetzt antworte, hat das als Hintergrund: ich bin selbst gewöhnt, mit T₂-Räumen zu arbeiten und da ist das "kleinste" ja einfach zu sehen: weniger als 1 Punkt kann nicht dazu kommen und bei anderen Konstruktionen entsteht kein Hausdorff-Raum. Wahrscheinlich ist meine Behauptung für Nicht-T₁-Räume wirklich falsch, aber ich finde sie auch nicht so wichtig (Bei Hausdorff-Räumen gibt es meiner Erinnerung einen Satz, der etwa heißt: "Die Alexandroff-Kompaktifizierung ist minimales Element im Verband der Kompaktifizierungen, die Stone-Čech-Kompaktifizierung ist maximales Element." Ich werde die genaue Formulierung und einen Beleg suchen und in Kompaktifizierungen einbauen.

Dies bringt mich zum eigentlichen Grund meiner Antwort: ich habe bei Kompaktifizierung den Teil "Alexandroff-Kompaktifizierung" deutlicher markiert und umformuliert. Denkst Du, dass das so als Warnung reicht? Wenn nicht: Verbesserungen sind willkommen! (Übrigens: Alexandroff-Kompaktifizierung ist nur eine Weiterleitungsseite und ich denke fast, das reicht auch. Ich werde den Link korrigieren so, dass er direkt zu Kommpaktifizierung führt.)--Mini-floh 16:27, 17. Feb. 2012 (CET)

Man sollte solche Links auf Weiterleitungsseiten eigentlich nicht umbiegen. Es könnte z.B. sein, dass der Abschnittsname im Zielartikel geändert wird, dann braucht nur die Weiterleitungsseite geändert zu werden, aber nicht die Links, die darauf verweisen. Es könnte auch sein, dass in der Zukunft ein eigener Artikel zu dem Lemma entsteht, dann müsste man wieder den Link ändern. (Etwas anderes ist es, wenn es sich bei dem verlinkten Begriff nur um ein Synonym des Artikellemmas handelt.) --Digamma 16:57, 17. Feb. 2012 (CET)

Mit den Links stimme ich ϝ zu. Ansonsten: Wie kommst du auf den Satz mit „vollständig regulär“, dass man dann von der Alexandroff-Kompaktifizierung spricht? Es gibt doch vollständig reguläre Räume, die nicht lokalkompakt sind (lediglich jeder lokalkompakte Raum ist vollständig regulär, wie man an der Alexandroff-Kompaktifizierung sieht, welche dann normal ist und somit vollständig regulär, was sich auf den ursprünglichen Raum überträgt), und dann klappt die Angelegenheit nicht. Ich ändere das mal. Abgesehen davon wirkt das für mich nach Begriffsfindung, wenn man das ganze nur für lokalkompakte als Kompaktifizierung, und sonst als Erweiterung bezeichnet. --Chricho ¹ ² 18:19, 17. Feb. 2012 (CET)

Ich denke, Dein Text ist oK. Ich werde bei der nächsten Bearbeitung von "Kompaktifizierung" das so umformulieren: im engl. Sprachgebrauch nennt man diese Konstruktion "Alexandroff-Extension" (mit Quelle). Der entstehende Raum heißt ... A-Kompaktifizierung.

Deine Revertierung des Links finde ich allerdings etwas "komisch". Ich hatte doch erklärt: man kommt auch jetzt an die gleiche Stelle wie bei meinem Link. Allerdings wird man so von der Weiterleitungsseite "Alexandroff-Kompaktifizierung" dorthin gebracht. In den Wiki-Regeln steht ausdrücklich, dass die Verlinkung auf eine Weiterleitungsseite nicht erwünscht ist! Aber wenns Dir Spass macht.--Mini-floh 18:51, 17. Feb. 2012 (CET)

Wo steht das? In Wikipedia:Weiterleitung#Verlinkung auf eine Weiterleitung steht:

Im Allgemeinen sollte immer dann auf eine vorhandene Weiterleitung verlinkt werden statt auf den Zielartikel, wenn die Weiterleitung später auch zu einem eigenständigen Artikel werden könnte. Existieren weder Weiterleitung noch eigenständiger Artikel zu einem Begriff, den man verlinken will, sollte man sogar eigens eine Weiterleitung anlegen, wenn der Begriff eines eigenständigen Artikels bedürfte, im Moment aber lediglich in einem übergreifenden Artikel behandelt wird und man selbst keinen eigenständigen Artikel dafür schreiben will oder kann (bezüglich der Notwendigkeit eines eigenständigen Artikels, siehe WP:Relevanz). Statt direkt auf den übergreifenden Artikel oder einen seiner Unterabschnitte zu verlinken, sollte man eine Weiterleitung zum Artikel bzw. Unterabschnitt anlegen und dann auf die Weiterleitung verlinken.

Da lese ich das Gegenteil heraus.

Zu deiner Änderung in Kompaktifizierung: Ich glaube nicht, dass das mit der Alexandorff-Kompaktifizierung so funktioniert, wenn der Raum nicht hausdorffsch ist. Dann brauchen nämlich kompakte Mengen nicht abgeschlossen zu sein. Wenn man als neue offene Mengen die Komplemente von kompakten Mengen einführt, dann sind das zuviele. --Digamma 20:58, 17. Feb. 2012 (CET)

Du hast Recht, wenn man zwei Kompakta hat, deren Schnitt nicht kompakt ist (was ohne Abgeschlossenheit wohl passieren kann), dann wäre ja das Komplement dieses Schnittes auch eine Umgebung von ∞ und man erhielte damit ohne weiteres eine offene Überdeckung ohne endliche Teilüberdeckung. --Chricho ¹ ² 02:27, 18. Feb. 2012 (CET)

[Kein] Fehler in Beispiel 3 Kompakte Räume

Meiner Meinung ist ein Fehler im Beistpiel 3 von Kompakte Räume:

• "Ist $p=2$, dann ist die Abbildung $(x_{1},x_{2},\dots )\mapsto 2(x_{1}3^{-1}+x_{2}3^{-2}+x_{3}3^{-3}+\dots )$ ein Homöomorphismus von $2^{\mathbb {N} }$ in die Cantor-Menge"

Die die dreien in der Klammer müssen zweien sein. (In Analogie zum darauf folgenden Beispiel). Die Abbildung sollte wie folgt heißen:

$(x_{1},x_{2},\dots )\mapsto 2(x_{1}2^{-1}+x_{2}2^{-2}+x_{3}2^{-3}+\dots )$ --195.37.186.61 10:04, 4. Apr. 2012 (CEST)

Nein. Dann würde die Binärdarstellung des gesamten Intervalls [0,2) entstehen. Die Parametrisierung der Cantormenge erfolgt aber nach der Vorschrift: Nimm einen Punkt in [0,1), bestimme seine Binärdarstellung, ersetze in der Folge der 0 und 1 jede 1 durch eine 2 und interpretiere die Ziffernfolge als Ternärdarstellung einer Zahl. Und genau das leistet die Formel.--LutzL (Diskussion) 11:27, 4. Apr. 2012 (CEST)

Kompaktheit ist neben der Endlichkeit die beste Eigenschaft

Im Text wird der Satz „Kompaktheit ist neben der Endlichkeit die beste Eigenschaft“ wiedergegeben, was wie ein Zitat wirkt. Ist es eines? Wenn ja, woher? Wenn nein, dann werde ich diesen Satz entfernen.--FerdiBf (Diskussion) 16:52, 30. Nov. 2012 (CET)

Ich verfüge leider nicht über den Querenburg, da der hier als Literatur angegeben ist, findet man das vllt. da. Hast du den? Sonst kann ich bei Gelegenheit mir den einmal besorgen. Bei Jänich, der einige andere flappsige Sätze hat, steht der Satz jedenfalls nicht. Beim verlinkten Werk von Evers stehen die Sätze „Kompaktheit ist wohl einer der am häufigsten verwendeten Begriffe in und außerhalb der Topologie. Das liegt daran, dass kompakte topologische Räume sich noch sehr angenehm verhalten, ja manchmal geradezu wie endliche Räume“.--Chricho ¹ ² ³ 17:39, 30. Nov. 2012 (CET)

Bei Querenburg steht der Satz ziemlich sicher nicht. Ich kann ihn jedenfalls nicht finden. Er würde auch nicht zu Querenburg passen, der Stil des Buches ist dafür viel zu formal. --Digamma (Diskussion) 18:57, 30. Nov. 2012 (CET)

Der Satz ist auch schon bei Wikibooks (hier) zu finden. Also besser den Satz schnell löschen, bevor er weiter übernommen wird.--Christian1985 (Disk) 21:10, 30. Nov. 2012 (CET)

Habs entfernt. Soll der „Beweggrund“ denn ansonsten so stehen bleiben? Ich bin unschlüssig. -�-Chricho ¹ ² ³ 21:17, 30. Nov. 2012 (CET)

Ich überlege schon seit langem, wie man die Überschrift hier ändern kann, habe aber noch nichts Passendes gefunden („Interesse an ...“, „Wichtigkeit der ...“ überzeugen mich nicht).

In der Sache bin ich für: den Abschnitt beibehalten und sprachlich („der Beweis geht durch“ ist zwar typischer Mathematikerslang, aber hier handelt es sich nicht um ein Pferd) und auch gestalterisch überarbeiten. Das Beispiel ist vielleicht einfach genug, dass es noch interessierte Nicht-Mathematiker teilweise lesen.--Mini-floh (Diskussion) 21:58, 30. Nov. 2012 (CET)

Ich habe das entsprechend umformuliert. Wenn hier wirklich der typische Kompaktheitsschluss verdeutlicht werden soll, dann muss man ihn vorführen. Den Zusatz, dass man sogar zwei disjunkte kompakte Mengen trennen kann, habe ich entfernt, damit dieser Absatz nichts überflüssiges und daher möglicher Weise verwirrendes enthält.--FerdiBf (Diskussion) 09:07, 1. Dez. 2012 (CET)

Und ein Bild kann hier sicher auch nicht schaden.--FerdiBf (Diskussion) 09:14, 1. Dez. 2012 (CET)

Ich finde den Abschnitt jetzt richtig schön. Wenn man jetzt noch die Einleitung des Lemma so umformulieren kann, dass der einfache Leser einen Eindruck hat, was Kompaktheit ist (steht überhaupt nicht drin) und nicht gleich durch neue Begriffe abgelenkt wird (kann ja später folgen), könnte man andere Baustellen bearbeiten!--Mini-floh (Diskussion) 17:13, 1. Dez. 2012 (CET)

Uniforme Struktur

Heute neu eingefügt:

Jeder kompakte Hausdorffraum lässt genau eine uniforme Struktur zu, die die Topologie induziert. Die Umkehrung gilt nicht.

Mir ist nicht klar, was hier mit "Umkehrung" gemeint ist. --Digamma (Diskussion) 23:34, 6. Jul. 2013 (CEST)

Nicht jeder eindeutig uniformisierbare Raum ist kompakt. Ist nicht so wichtig wie die Sache mit der Eindeutigkeit, aber ich dachte, wenn man die Eigenschaft erwähnt, könne es nicht schaden, darauf hinzuweisen, dass es keine Charakterisierung ist. --Chricho ¹ ² ³ 23:59, 6. Jul. 2013 (CEST)

diskreter kompakter Raum ist endlich

... sagt zumindest F. Lemmermeyer (in ellipt. Kurven I, S.77 ). Dies sollte bitte geeignet eingebaut werden. Danke --2.247.247.209 16:42, 22. Feb. 2021 (CET)

Danke für den Hinweis. Ich habe es eingefügt (in die lange Liste mit Titel "Eigenschaften"). Gruß, --Digamma (Diskussion) 17:37, 22. Feb. 2021 (CET)