Diskussion:Komplexe Zahl/Archiv/2

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[[Diskussion:Komplexe Zahl/Archiv/2#Thema 1]]

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wurzeln (plural)

gudn tach!
zu [1]: oops, sorry, hab versehentlich das diff falschrum interpretiert und gedacht, dass das "n" entfernt worden sei. dummer fehler meinerseits. danke fuer die korrektur danach. -- seth 10:50, 8. Jan. 2011 (CET)

Danke für die Klarstellung. Hab' mich sehr darüber gewundert, warum dein Änderungskommentar so schlecht zur Änderung passt :D --Daniel5Ko 14:08, 8. Jan. 2011 (CET)

-i Wurzel aus (-1)?

In dem Satz: "In diesem Sinne kann i (aber auch − i) als „Wurzel aus − 1“ aufgefasst werden." scheint ein Fehler vorzuliegen. Ist nicht die Wurzel aus (-1) i und (-1)*Wurzel(-1) = (-i)? Wenn man x²+1=0 Auflöst kommt ja tatsächlich +/- i heraus, da es ja +/-Wurzel heisst. --polu16 (nicht signierter Beitrag von 84.56.251.142 (Diskussion) 18:01, 31. Mär. 2011 (CEST))

Unter dem Abschnitt Wurzeln steht: „Eine Zahl hat also n komplexe n-te Wurzeln. Dadurch ist ein Wurzelterm in C mehrdeutig.“ Deshalb ist die Quadratwurzel doppeldeutig und die Wurzel(-1) ist sowohl +i als auch -i. Die Auffassung, dass i als Wurzel(-1) definiert ist, ist nicht korrekt. Denn die imaginäre Einheit i wird ja (z.B. in der 2. Zeile des Artikels) durch „i*i=-1“ definiert. --Reseka 19:10, 31. Mär. 2011 (CEST)

Pragmatische Regeln: potenzieren einer komplexen mit einer komplexen Zahl

Gibt es dazu vieleicht auch eine pragmatische Rechen-Regel? Wenn nicht, wäre vieleicht wünchenswert, dies dazuzuchreiben.

Gruß (nicht signierter Beitrag von 193.174.73.60 (Diskussion) 09:21, 15. Apr. 2011 (CEST))

Es wäre auch wünschenswert, Diskussionsbeiträge zu unterschreiben :-)

Mir ist nicht klar, was du mit "pragmatischen Rechenregeln" meinst. Regeln, um solche Potenzen auszurechnen? Oder Regeln, um mit solchen Potenzen zu rechnen, ohne sie auszurechnen (eben Potenzrechengesetze)? -- Digamma 10:22, 15. Apr. 2011 (CEST)

Multiplikation

Irgendwie kommt der Abschnitt Multiplikation von komplexen Zahlen doch etwas zu kurz. Ein Verweis auf en:Multiplication_algorithm#Gauss.27s_complex_multiplication_algorithm fehlt komplett. --Andi 22:13, 23. Sep. 2011 (CEST)

WP:SM als Motto? --wdwd 23:10, 23. Sep. 2011 (CEST)

Einführung der Polarkoordinaten

"Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten a und b die Polarkoordinaten $\varphi$ und $r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$,..." - aus meiner Sicht ist es hier verwirrend, sofort die Umrechnung von r dazuzuschreiben, aber jene von phi nicht, auch wenn dies der Machbarkeit geschuldet ist. Vorschläge: a) Die Umrechnung von r herausnehmen; b) einen Verweis auf die Umrechnungsformeln unten einfügen; c) beides. Meinungen hierzu? --KnightMove 13:01, 6. Okt. 2011 (CEST)

Erledigt, Franz 12:21, 21. Jan. 2012 (CET)

Umrechnung

Gehört der lange Abschnitt über die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten und umgekehrt tatsächlich hierher? Dabei geht es eigentlich nur um zwei Koordinatensysteme in der Ebene, aber nicht wirklich um komplexe Zahlen. --Digamma 20:29, 20. Dez. 2011 (CET)

Sowas sehe ich immer als Service für den Leser an, dass er für solche in der Praxis wichtigen Elemente nicht auf -zig andere Seiten weiterklicken muss und womöglich den Faden verliert. Vor allem nicht so mathematisch sattelfeste Leser wüssten womöglich gar nicht, wo sie hinschauen müssten, bzw. würden es gar nicht merken, dass es um genau diesen Punkt geht, wenn beispielsweise "Polarkoordinaten" verlinkt würden. --PeterFrankfurt 01:33, 21. Dez. 2011 (CET)

Die Umrechnungen stehen in allen Darstellungen komplexer Zahlen durchaus im Mittelpunkt. Gerade die „recht komplizierte“ Ermittlung des Arguments aus den kartesischen Koordinaten ist für den „Anfänger“ wichtig, damit er nicht den (oft zu findenden) Fehler macht, der diese auf den „Arctan“ reduziert. --Reseka 10:10, 21. Dez. 2011 (CET)

Wo ist denn diese Umrechnung in der Praxis wichtig? Ich denke, dass jeder Praktiker mehr davon hat, wenn ihm klar gemacht wird, dass das keine Fragestellung der komplexen Zahlen ist, sondern eine der ebenen Geometrie. Man könnte ja auch deutlicher schreiben, dass die Umrechnungen etwa unter Polarkoordinaten zu finden sind. --Digamma 19:02, 21. Dez. 2011 (CET)

Wichtig ist die Polarform z.B. beim Berechnen von Potenzen und Wurzeln. Da brichst du dir in der „a+bi“-Form einen ab, in Polarform ist es dagegen einfach zu rechnen.

Ebenso wird in der Wechselstromrechnung mit komplexen Zahlen fast ausschließlich in Polarform gerechnet.

Die geometrische Anschaulichkeit der Gaußschen Zahlenebene ist ja nett, hat aber für das Rechnen mit Komplexen Zahlen in der höheren Mathematik kaum eine Bedeutung. Spätestens bei Hyperkomplexen Zahlen versagt die geometrische Anschaulichkeit eh. :-)

Ich hoffe, deine Frage ist damit hinreichend beantwortet. --RokerHRO 20:22, 21. Dez. 2011 (CET)

Nicht wirklich. Denn gerade in der Mathematik musste ich noch nie die kartesische Form in Polarkoordinaten umformen. Wo es nicht mehr anschaulich ist, beschränkt man sich auf die algebraische Form. Wenn ich aber ein Integral mit dem Residuensatz ausrechnen muss, dann überlege ich geometrisch, wie ich den Integrationsweg parametrisiere. Ich sage ja nicht, dass die Polarkoordinaten nicht nützlich seien. Deswegen braucht man sich aber trotzdem nicht des langen und breiten darüber auslassen, wie man aus den kartesischen Koordinaten den Winkel ausrechnet. Das ist schlicht ebene Geometrie bzw. Trigonometrie. --Digamma 23:04, 21. Dez. 2011 (CET)

Aber so furchtbar viel Overhead wird dadurch doch nicht in diesen Text hier reingebracht. In meinen Augen ist das zu verschmerzen, dass man es dem nicht so versierten Leser erspart, sich diese Details woanders her zu besorgen, mit all den Risiken, dass er nicht mehr zurückfindet. --PeterFrankfurt 02:26, 22. Dez. 2011 (CET)

Ich habe manchmal das Gefühl, dass so einige mathematische Entitäten (vielleicht gerade zugunsten mancher E-Techniker) mit der Keule serviert werden. Aber das ist natürlich eine sehr persönliche Meinung. Gruß, -- E (D) 11:16, 22. Dez. 2011 (CET)

Ist x oder i eine komplexe Zahl?

hi, in den ersten beiden sätzen ist mir gar nicht ersichtlich, ob komplexe zahlen nun das X oder das i sind...--VladimirHilgenberg (Diskussion) 16:46, 17. Mai 2012 (CEST)

Hallo Vladi! Dort ist das i eine komplexe Zahl (ebenso wie die dort ebenfalls vorkommenden Zahlen -1, 0 und 1), während es sich beim x um gar keine Zahl handelt: x ist dort eine sog. Variable. Liebe Grüße, Franz (Diskussion) 17:37, 17. Mai 2012 (CEST)

Beispiele in den Rechenoperationen

Es wäre nett, wenn mal jemand die Rechenoperationen (potenzieren, radieren, etc.) mit jeweils einem Beispiel versehen würde. --Verrain (Diskussion) 16:58, 11. Okt. 2012 (CEST)

"Radieren" ist keine Rechenoperation ;-) Die heißt "Radizieren". --Digamma (Diskussion) 19:30, 11. Okt. 2012 (CEST)

Ohja, meinte natürlich radizieren ^^ --Verrain (Diskussion) 12:23, 16. Okt. 2012 (CEST)

Kleine Ergänzungen

Der Artikel ist gut geschrieben, aber auch mathematisch stellenweise sehr anspruchsvoll. Trotzdem findet man für die Praxis alle wichtigen Inhalte gut erklärt. Zu meinen kleinen Vorschlägen: "nichtnegativ" habe ich als Begriff im Duden nicht gefunden, obwohl es in der Mathematik als Begrifflichkeit wohl verwendet wird. Entscheidung?

Thmea Vektoraddition: Natürlich sind die Rechneregeln in der Komponentenform für kompl. Zeiger und Vektoren gleich. Man sollte hier eventuell ergänzen, dass es sich um ortsgebundene Vektoren handelt. Besonders in der Eektrotechnik ist die "Zeigerdarstellung" um den Ursprung elementar und darf nicht mit freien Vektoren verwechselt werden... MfG FL (nicht signierter Beitrag von Haflu (Diskussion | Beiträge) 15:42, 3. Okt. 2013 (CEST))

Hallo Haflu! Daß sich der Begriff „nichtnegativ“ nicht im Duden findet, ist nicht weiter verwunderlich: Das gilt sicherlich für viele Fachausdrücke, insbesondere für welche aus dem Gebiet der Mathematik. Ich plädiere daher für die Wiedereinsetzung der Zusammenschreibung (machst Du das bitte selbst?), auch wenn „nicht negativ“ nicht falsch ist. Denn ich sehe doch einen (vielleicht nur subtilen) Unterschied zwischen der Negation von „negativ sein“ und der zum Nomen „Nichtnegativität“ gehörenden Eigenschaft „nichtnegativ sein“, den Du wahrscheinlich auch nachvollziehen kannst. Liebe Grüße, Franz 16:18, 3. Okt. 2013 (CEST) PS: Beachte bitte diese Hilfeseite und trage dann Deine Signatur hinter Deinem vorigen Beitrag nach.

Zu "nicht negativ": Ich sehe es auch so, dass die Tatsache, dass man das Wort im Duden nicht findet, nicht bedeutet, dass es nicht existiert. Von mir könnte da auch "nicht negativ" stehen, deshalb habe ich die Änderung gesichtet. Dennoch denke ich auch, wie Franz, dass es zumindest in der Intention einen Unterschied gibt: "Nichtnegativ" ist eine eigene Eigenschaft, nicht nur die Verneinung einer Eigenschaft. Die Bedeutung könnte man wohl besser durch "positiv oder null" ausdrücken, aber das ist zu umständlich und macht die Sätze schwerfällig und lenkt auch zu sehr auf den Unterschied zwischen positiv und null.

Zu den Zeigern: Als Mathematiker ist man es gewohnt, Elemente von $\mathbb {R} ^{2}$, also Paare reeller Zahlen, sowohl als Punkte als auch als Vektoren aufzufassen. Der Vektor, der dem Punkt entspricht, ist sein Ortsvektor, den Verbindungsvektor vom Nullpunkt zum betrachteten Punkt. Wenn im Artikel "Ortsvektor" steht, ist das für mich OK. Aber bei "ortsgebundener Vektor" denke ich an einen Vektor, der an den betrachteten Punkt gebunden ist. Das ist aber nicht gemeint. --Digamma (Diskussion) 19:32, 3. Okt. 2013 (CEST)

Gegen nichtnegativ habe ich nichts einzuwenden. Es gibt halt Rechtschreibungsregeln. Kann man sehen wie man will. Der Artikel ist sowiso so gut geschrieben, dass ich quasi nichts mehr verbessern kann. Ich betreibe hier Krümelsucherei. Bin im Moment auf Chemo und muss mir die Zeit vertreiben. Den Begriff ortsgebundener Vektor findet man z.B. hier https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Vektor-Algebra/Grundbegriffe Zum Ortsvektor findet man z.B. solche Definitionen: "Als Ortsvektor (oder Radiusvektor) eines Punktes bezeichnet man in der Mathematik und in der Physik einen Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zu diesem Punkt (Ort) zeigt." Da ist der Ursprung nicht erklärt. Man findet aber auch Definitionen, die den Begriff Ortsvektor vom Ursprung aus definieren. Ist wohl nicht ganz einheitlich oder gibt es da eine Norm? (nicht signierter Beitrag von Haflu (Diskussion | Beiträge) 01:19, 4. Okt. 2013 (CEST))

Ich habe nochmal quergelesen und muss euch Recht geben. Die beiden Begriffe werden überwiegend gleichwertig verwendet. In der Elektrotechnik ist der Begriff ortgebundene Zeiger üblich und da ist immer der Ursprung gemeint. Es gibt allereings bei den Modulationsverfahren auch Zeiger, die von beliebigen festen Punkten aus rotieren. Daher kam ursprünglilch mein Einwand. ok (nicht signierter Beitrag von Haflu (Diskussion | Beiträge) 12:10, 4. Okt. 2013 (CEST))

Exzellent / Artikel des Tages

War schonmal? Warscheinlich.. Finde den Artikel aber ein gutes Beispiel für die Stringenz und Tiefe der Wikipedia bei mathematisch-naturwisseschaftlichen Themen. (nicht signierter Beitrag von 87.79.225.214 (Diskussion) 23:27, 6. Feb. 2012 (CET))

Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik

"Wichtig ist auch die Anwendung komplexer Zahlen bei der Berechnung uneigentlicher reeller Integrale im Rahmen des Residuensatzes der Funktionentheorie."

Verständlicher ließe sich das überhaupt gar nicht mehr formulieren. 91.64.28.152 19:25, 29. Jan. 2008 (CET)

Differentialoperatordefinitionen in der Physik

Kann mir jemand sagen, wieso da jetzt die Differentialoperatoren so betont sind? Nur weil da ein iħ∂ₓ oder soetwas steht? Entscheidend ist doch, in was für einem Raum sich die Zustände bewegen, nicht dass da mal ein i in einem Operator steht? --Chricho ¹ ² ³ 17:16, 27. Jul. 2012 (CEST)

Entfernter Abschnitt

Ich habe den folgenden Abschnitt entfernt, da ich ihn an dieser Stelle für unpassend/unnötig halte und es ein wenig wie unbelegtes "Editorialising" halte. Bitte nicht ohne Konsens wieder einfügen. Weiteres Feedback kann in Portal:Mathematik und/oder WP:3M nachgefragt werden.--Kmhkmh (Diskussion) 13:37, 1. Nov. 2013 (CET)

Widerspruchsfreiheit
Die naheliegende Frage, ob es denn so etwas ‚wirklich‘ gibt, wird in der Mathematik generell so interpretiert, dass eine Definition zulässig ist, wenn sie nicht auf logische Widersprüche führt. Unter der Voraussetzung, dass nicht schon die reellen Zahlen in sich widersprüchlich sind, wird dies im Abschnitt Konstruktion gezeigt. Es wird ein Modell aufgebaut, das genau die erwarteten Eigenschaften zeigt.

Hallo Kmhkmh! Kannst Du ein bisschen begründen, warum unpassend? Warum unnötig? Was willst Du belegt haben? Das mag überall und nirgends stehen. Unter Mathematikern ist es selbstverständlich, aber sicher nicht für jeden WP-Leser. Würdest Du in der Vorlesung Deinen Hörern (Erstsemester!) die Definition vorsetzen ohne genau diese Bemerkung? Sie werden von der ‚Erfindung‘ beeindruckt sein, aber vielfach nicht von selbst auf die logische Notwendigkeit und die Möglichkeit einer Begründung kommen. Und die ist wichtig! Unten wird zwar die Konstruktion (sogar zweimal) durchgeführt, aber recht ungenau mit dem Ausdruck ‚Sinn haben‘ begründet. Dass sie da spät kommt, ist angesichts ihrer Länge ok. Genau deshalb aber ist eine kurze Vorankündigung im Zusammenhang mit der Definition passend und notwendig.

Die Mahnung, nicht einfach wieder einzusetzen, finde ich ein wenig kränkend. Ich hätte vielmehr gerne Argumente, auf die ich eingehen kann. Was ich am Portal finden soll, weiß ich nicht, und eine ‚dritte Meinung‘ hat doch erst Sinn, wenn unsere Meinungen erläutert sind.-- Binse (Diskussion) 00:36, 2. Nov. 2013 (CET)

Die Begründung steht doch da "unbelegtes Editorialising". Zudem halte ich den Absatz persönlich auch für unnötig und analogen Artikeln zu Zahlbereichen findet sich auch nicht Entsprechendes. Im Wesentlich ist das ein Kommentar über das, was Mathematiker unter einer Definition verstehen und sowas gehört damit eher in einen allgemeinem Artikel zu Denitionen oder mathematischer Modellierung, aber nicht in Artikel zu einzelnen speziellen Definition. Das mag man vielleicht anders sehen, deswegen habe ich die beiden Links angegeben bei denen du die Meinung unbeteiligter Mathematikautoren/Dritter nachfragen kannst. Sollten diese den Absatz (aus meiner Sicht wider Erwarten) für gut bzw. passend befinden, dann kann er gerne wieder rein bzw. beuge mich dem (mehrheitlichen) Urteil der Kollegen.

Es tut mir Leid wenn dir meine Aktion etwas harsch oder kränkend vorkommt, so war sie keineswegs gemeint. Aber insbesondere um die Qualität ausgreifter Artikel bei einer Vielzahl von Änderungen effizient zu erhalten, entferne ich unbelegte Zusätze, deren Sinn/Nutzen für den betroffenden Artikel mir zudem fraglich erscheint, grundsätzlich.--Kmhkmh (Diskussion) 01:16, 2. Nov. 2013 (CET)

Als Dritte Meinung: Ich halte den Abschnitt ebenfalls für zu allgemein und nichtssagend (vor allem was soll "so etwas" bedeuten?), aber kann die Intention dahinter schon nachvollziehen. Der Artikel verwendet ja - wohl aus didaktischen Gründen - eine axiomatische Definition und bei "Die imaginäre Einheit i ist dabei eine nicht-reelle Zahl mit der Eigenschaft i² = −1" sollte man sich schon fragen, wie mit der "Existenz" aussieht. Das Problem ist, dass im Artikel die Konstruktion mit geordneten Paaren reeller Zahlen sehr spät kommt. Das sollte entweder vorgezogen werden oder zumindest sollte deutlich darauf verwiesen werden, denn dadurch wird die Frage der Existenz ja beantwortet. -- HilberTraum (Diskussion) 10:18, 2. Nov. 2013 (CET)

Normalerweise arbeitet man im Rahmen der Mengenlehre und die komplexen Zahlen werden dann einfach als eine bestimmte Menge definiert. Mit Fragen der Widersprüchlichkeit sieht man sich da nicht konfrontiert. Bei der „Definition“ hier im Artikel handelt es sich auch nicht – da widerspreche ich HilberTraum – um eine axiomatische Definition. Es sollte sofort klargestellt werden, dass es sich bei $a+b\cdot \mathrm {i}$ nur um eine besondere Schreibweise für eine rein formale Paarbildung handelt. Der Leser wundert sich sonst, was dieses + da zum Beispiel zu bedeuten hat. Wer sagt denn, dass aus $a+b\cdot \mathrm {i} =c+d\cdot \mathrm {i}$ auch $a=c$ und $b=d$ folgen? Grüße --Chricho ¹ ² ³ 19:43, 2. Nov. 2013 (CET)

Stimmt, der Artikel behauptet allerdings am Anfang von "Konstruktion der komplexen Zahlen" selbst, er hätte eine axiomatische Definition gegeben. -- HilberTraum (Diskussion) 09:47, 3. Nov. 2013 (CET)

Also noch mal der Reihe nach. Mein Zusatz war nach Kmhkmhs Meinung unpassend, unnötig, und stellt unbelegtes Editorialising dar. Axiomatisch ist die ‚Definition‘ des Artikels wirklich nicht (und wäre so in einer Mathevorlesung auch nicht akzeptabel). Wollte man da verbessern, müsste man aber ziemlich viel ändern. Lassen wir das also im Augenblick. Diese Bemerkung hat aber mit meinem Zusatz nichts zu tun. In der ‚Definition‘ wird gesagt:

Die imaginäre Einheit \mathrm i ist dabei eine nicht-reelle Zahl mit der Eigenschaft \mathrm i^2=-1.

Wer hier behauptet, man könnte einfach annehmen, es gäbe so eine Zahl und brauche sich nicht darum zu kümmern, ob die Annahme womöglich auf Widersprüche führt, der irrt sich. Mal ein Beispiel. Jemand stört sich daran, dass es 0^-1 im Körper ${\mathbb {R}}$ der reellen Zahlen nicht gibt. Da betrachtet er eben eine Erweiterung ${\mathbb {R}}'$ von ${\mathbb {R}}$, die auch Körper ist und eine Zahl $u$ mit der Eigenschaft $u\cdot 0=1$ enthält. Damit fällt er aber ganz schnell auf die Nase. Aus $0\cdot 2=0$ folgt $u\cdot 0\cdot 2=u\cdot 0,$ also $1\cdot 2=1,2=1.$ Und das ist ein Widerspruch. Will man also wenigstens ein bisschen mathematische Genauigkeit haben, so muss man sagen, dass und warum kein Widerspruch zu befürchten ist. Was aber notwendig ist, ist bestimmt nicht ‚unpassend‘. Zu ‚unbelegt‘ muss ich mich bekennen; aber nur wegen der Aussage: „... wird in der Mathematik generell so interpretiert, dass eine Definition zulässig ist, wenn sie nicht auf logische Widersprüche führt.“ Ich bin bereit, das wegzulassen, obwohl sich doch gerade hier die Frage stellt, was es denn das heißt: „Es gibt eine Wurzel aus -1.“ Das Wort ‚Editorialising‘ gehört weder zu meinem deutschen noch zu meinem englischen Sprachschatz. Im Wörterbuch steht es nicht und ‚Hilfe:Editorialising‘ bringt auch nichts; wird wohl spezielle WP-Sprache sein. Analogien lassen mich aber vermuten, dass es so etwa mit ‚herumeditieren‘ übersetzt werden könnte. Jedenfalls klingt es ausgesprochen abschätzig. Und ist damit, wenn man sich um Verbesserung eines Artikels bemüht, kränkend. Auch wenn es nicht so gemeint ist, so kommt es eben an. Was ich auch nicht gut finde, KMHkmh, ist, dass Du erst löschst, dafür nur Urteile aber keine Argumente gibst, also keineswegs erst den Konsens suchst, aber von mir die umgekehrte Reihenfolge anmahnst. Und mir Stimmenwerbung empfiehlst, statt eine Diskussion anzubieten. Ich werde also, so gut ich es verstehe, nach Deiner und HilberTraums Kritik eine neue Formulierung versuchen.-- Binse (Diskussion) 03:04, 4. Nov. 2013 (CET)

Noch einmal, das eine mathematische Definition "widerspruchsfrei" sein muss, ist eine grundsätzliche Eigenschaft einer jeden mathematischen Definition und damit im Normalfall kein Thema, das bei einer einzelnen Definition angesprochen wird. Man beachte auch das hier "Wikipedia ist kein Lehrbuch" zu beachten ist, d.h. nicht jede Nebenüberlegung oder Übungsaufgabe zu einem Begriff (wie eben z.B. die Konsistenz der Definition oder der Beweis ihre elementaren Eigenschaften), die man in einem entsprechenden Lehrbuch findet (und die dort auch sinnvoll ist), gehört in einen enzyklopädischen Artikel.

Was das Wort Editorialising bzw. editorialise bedeutet kannst du hier nachlesen: [2]. Ansonsten kannst du "unbelegtes Editorialising" auch einfach als unbelegtes Kommentieren übersetzen.

Die neue Variante ist zwar deutlich besser als der eigene Abschnitt, aber ich halte das auch in dieser Form eigentlich für überflüssig. Zudem ist die Einleitung des Satzes mit "natürlich" auch nicht gerade enzyklopädischer Stil.--Kmhkmh (Diskussion) 05:03, 4. Nov. 2013 (CET)

Habe es entfernt. Es handelt sich nicht um eine axiomatische Definition, und deshalb kann man auch nicht von irgendwelchen Modellen sprechen. Um auf dein Beispiel mit dem Inversen von 0 einzugehen: Wenn – so wie hier im Artikel – niemand behauptet, es würde sich ein Körper ergeben oder was auch immer (es werden hier überhaupt keine Eigenschaften/Axiome aufgestellt!), dann stört auch das nicht. --Chricho ¹ ² ³ 09:16, 4. Nov. 2013 (CET)

Hallo Chricho, hast denn vielleicht noch einen besseren Vorschlag für eine Gliederung, außer Binses Einfügung zu revertieren? Wo genau soll denn die Verschlechterung liegen, wenn man den Leser darauf hinweist, dass "ganz weit unten" noch Konstruktionen kommen, die ihn an dieser Stelle vielleicht auch interessieren könnten? Ist das nicht so ein Fall, wie du ihn hier selbst so schön beschrieben hast? Es geht doch auch gar nicht darum, ob sich ein Körper ergibt, sondern darum, dem Leser zu zeigen, was eine "Zahl, die quadriert $-1$ ist", sein könnte. -- HilberTraum (Diskussion) 11:37, 4. Nov. 2013 (CET)

Um überhaupt auf die Idee zu kommen, man könnte sich „in Widersprüche verwickeln“ müsste man erstmal erwähnen, was man für Eigenschaften überhaupt fordert. Dem Leser wird gewissermaßen suggeriert, es gäbe irgendwelche „naturgegebenen Gesetze“, die durch die alleinige Forderung $\mathrm {i} ^{2}=-1$ verletzt werden könnten. Die gibt es aber in der Mathematik eben nicht, wenn man vorgibt, axiomatisch vorzugehen und gar von Modellen spricht, dann müssen auch irgendwo Axiome stehen.

Wie wäre es denn mit einer Einführung, bei der man (in allgemeinverständlicher Weise, also ohne Verwendung des Begriffes) sagt, dass die komplexen Zahlen eine minimale Körpererweiterung der reellen Zahlen um eine Zahl $\mathrm {i}$, die $\mathrm {i} ^{2}=-1$ erfüllt, sind. Liebe Grüße --11:55, 4. Nov. 2013 (CET)

Minimale Körpererweiterung ohne Verwendung des Begriffs? Scheint mir schwierig zu sein, hast du vielleicht einen konkreten Formulierungsvorschlag? Was spräche denn eigentlich dagegen (außer dem Arbeitsaufwand für die Umstellung), die Konstruktion als geordnete Paare zur Definition zu machen? Das dürfte wohl auch in der Literatur der gängigste Weg sein. Grüße -- HilberTraum (Diskussion) 12:56, 4. Nov. 2013 (CET)

Naja, das ginge halt mit Aufzählen von Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz und Existenz von Inversen. Ansonsten halte ich das mit der Konstruktion auch für eine nicht so schlechte Idee. --Chricho ¹ ² ³ 13:34, 4. Nov. 2013 (CET)

Ich halte Chrichos erste Idee für die bessere. Die Konstruktion interessiert ja nur als Nachweis, dass der Körper der komplexen Zahlen existiert. Es ist außerdem nicht die einzig mögliche Konstruktion. Ebenso natürlich, wenn auch mit mehr Theorie verbunden, ist die als Faktorisierung des Polynomrings $\mathbb {R} [X]$ nach dem von $X^{2}+1$ erzeugten Ideal.

Man kann auch durchaus in der Definition formal sein, also schreiben, dass der Körper der komplexen Zahlen die kleinste Körpererweiterung des Körpers der reellen Zahlen ist, in der es ein Element $i$ gibt mit $i^{2}=-1$, und entweder in einem motievierenden Abschnit vorher oder einem erklärenden Abschnitt danach erläutern, dass dies bedeutet, dass man fordert, dass die üblichen Rechengesetze (KG, AG, DG) weitergelten. --Digamma (Diskussion) 16:19, 4. Nov. 2013 (CET)

Nach einigem Nachdenken halte ich das für keine gute Idee: Ich sehe deutliche didaktische Vorteile der Paardefinition, und nicht umsonst gehen auch die meisten Lehrbücher so vor. Die Paardefinition führt ganz natürlich zu Anschauung der gaußschen Zahlenebene, auch das ist ein Begriff, der mMn im Artikel viel zu spät explizit angesprochen wird. Was sollte bei einer Definition als minimaler Erweiterungskörper (auch wenn das irgendwie sprachlich abgespeckt werden soll) mit den Abbildungen passieren? Übrigens verwendet gleich das erste Bild die Schreibweise (a,b). Ebenso natürlich ergeben sich bei einem geometrisch-analytischen Zugang Begriffe wie Norm oder die Polarform. -- HilberTraum (Diskussion) 19:51, 4. Nov. 2013 (CET)

Gerade didaktisch halte ich den von mir vorgeschlagenen Zugang für besser. Die wichtigste Frage ist dabei für mich: "Was soll das? Wozu tut man das?" Erst danach kommt: "Funktioniert das auch wirklich?" Warum führt man komplexe Zahlen ein? Weil man Gleichungen lösen möchte, die man in den reellen Zahlen nicht lösen kann, z.B. quadratische Gleichungen. Deshalb erfindet man i als "Wurzel" von -1. Und damit rechnet man dann erst mal ganz naiv so wie man es gewohnt ist, mit der zusätzlichen Regel $i^{2}=-1$. Dann findet man heraus (das wäre dann ein Abschnitt "Eigenschaften"), dass man jede komplexe Zahl in der Form $a+bi$ schreiben kann, mit $a,b\in \mathbb {R}$ schreiben kann. Damit ist jede komplexe Zahl druch ein Paar von zwei reellen Zahlen gegebeb und kann somit als Punkt in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden. So komme ich dann zur gaußschen Zahlenebene. Und an dieser Stelle kann ich dann die Existenz der komplexen Zahlen rechtfertigen, indem ich sie als solche Zahlenpaare definiere. --Digamma (Diskussion) 20:36, 4. Nov. 2013 (CET)

"Warum führt man komplexe Zahlen ein?" Meiner Meinung nach ist weder aus historischer Sicht noch aus moderner Anwendungssicht die Antwort darauf "Weil man Gleichungen lösen möchte, die man in den reellen Zahlen nicht lösen kann, z.B. quadratische Gleichungen." Historisch war der Ausgangspunkt die Berechnung reeller(!) Lösungen von kubischen und quartischen Gleichungen. Aus moderner Sicht könnte man genauso gut auch antworten: Um Schwingungen als Kreisbewegungen zu untersuchen, um analytische Geometrie in der Ebene zu vereinfachen oder um das Verhalten von Potenzreihen besser zu verstehen. -- HilberTraum (Diskussion) 21:03, 3. Nov. 2013 (CET)

Liebe Kollegen, ich quetsche mal mit einem Gedankenexperiment dazwischen: Geht mal raus auf die Strasse und fragt 10 x-beliebige Passanten, was sie unter dem "Ideal eines komplexen Körpers" verstehen :-(

Will sagen: Binses Ansatz, mit "einfachen" Worten zu sagen, "warum" die Mathematiker "sowas" machen und "ob so etwas existiert" sind IMO durchaus vertretbar. Just my $0.02 -- 217.230.46.138 22:22, 4. Nov. 2013 (CET)

Hallo miteinander! Das folgende habe ich geschrieben ohne mich um die weitere Diskussion hier zu kümmern. Kann sein, es passt nicht mehr alles. Aber Ihr habt wohl mehr über die Art einer axiomatischen Ausgestaltung von Einleitung und Definition gesprochen.

Also, eine neue Einführung und Definition halte ich auch für wünschenswert. Habe ich ja schon gesagt, macht nur etwas mehr Arbeit. Solange der Artikel aber einen intuitiven (Wort jetzt umgangssprachlich gemeint) Stil benutzt, der zwar nicht Lehrbuchgerecht ist, aber vielen Laien (Omas) möglicherweise sogar mehr sagt, bleibt der Hinweis genauso wichtig. Es ist zum Glück nicht so, als könnte man ohne Axiome gar nichts sagen. Logisch gesehen mag es keine ‚naturgegebenen Gesetze‘ geben. De facto aber schon. Versuch nur mal, die üblichen Rechenregeln abzuschaffen, zu ändern! Im Artikel wird tatsächlich suggeriert, man könnte, obwohl es unter den (sagen wir ‚bekannten‘ Zahlen, ‚reell‘ hat keinen Mitteilungswert, solange man nichts Anderes kennt!) keine Quadratwurzel aus -1 gibt, sich einfach eine machen und damit rechnen, wie gewohnt. Schon die alten Mathematiker sind dieser Suggestion nicht erlegen. Wollen wir es vom Leser erwarten? Dass es von ersten Anwendungen bis zur endgültigen Akzeptanz Jahrhunderte gedauert hat, lag doch genau daran, dass man die Erlaubtheit dieser Operation anzweifelte, unsicher war, ob man damit stets richtige Ergebnisse bekäme. Die Mathematiker damals waren doch nicht doof. Dass man diesen Zweifel heute mit wenigen Zeilen durch Konstruktion eines Modells beheben kann, ist ein schönes Beispiel für den Fortschritt der Mathematik seitdem. Die Komplexen Zahlen sind in meinen Augen, und wahrscheinlich bin ich da nicht allein, in der Mathematik eine der wertvollsten Erwerbungen der Neuzeit. Und da soll es überflüssig sein, zu zeigen, soll nicht zum Thema Komplexe Zahlen gehören, dass man ohne Bedenken mit ihnen arbeiten kann? Das ist mir unbegreiflich.

Und zu Kmhkmhs These, dass Widerspruchsfreiheit für eine Definition zu fordern sei, gehöre nicht hier hin: Das habe ich in der neuen Variante ja gar nicht mehr drin gehabt. Aber dass sie tatsächlich zu fordern ist, wie Du doch wohl zugibst, zwingt eben hier, wie immer, aufmerksam zu sein. Dass gerade bei dem hier vorliegenden Typ von Definition eine Prüfung geboten ist, genau dass wollte ich mit dem Beispiel von 0^-1 zeigen. Und dass die Nachprüfung eine unwesentliche Nebenüberlegung sei, ist einfach falsch: siehe Beispiel, siehe Geschichte, siehe heutige Bedeutung.

‚Modell‘ ist als Link nicht verfügbar. Im gegebenen Rahmen wäre ein Verweis auf Modelltheorie auch kaum hilfreich. Gegenwärtig ist es (mit hinreichender Nähe zur Umgangssprache) ein Zitat aus dem Abschnitt zur Konstruktion und erklärt sich dort durch die gegebenen Beispiele. Das Wort hat auch ohne axiomatischen Unterbau die passende Bedeutung.

Auf die stilistische und inhaltliche Kritik gehe ich gerne ein, wie schon zuvor. Insofern hoffe ich, Ihr seht das nicht als Edit-War. Wenn Ihr aber doch gleich wieder (ohne Konsens) löschen wollt, besorgt doch bitte gleich Schlichter; Ihr kennt Euch wohl besser in WP aus. Ich habe übrigens den Eindruck, HilberTraum auf meiner Seite zu haben. Da stünde es also 2:2. Eine axiomatische Ausformulierung von Einführung und Definition, möglichst bald, könnte das Problem ja lösen. Natürlich mit Fingerspitzengefühl. Einerseits sollte Mathematik nicht auf Formelsammlung und ‚Höheres Rechnen‘ reduziert werden, anderseits kann z.B. ein Regress auf axiomatische Mengenlehre (ich übertreibe da etwas) einen sachlich vollkommen richtigen Artikel für jeden Nichtfachmann auch vollkommen unverständlich machen.

Im übrigen lösche ich das Wort ‚axiomatisch‘ aus dem Abschnitt ‚Konstruktion‘ als unzutreffend. Da sind wir uns ja einig.-- Binse (Diskussion) 19:00, 4. Nov. 2013 (CET)

Noch einmal es geht darum welche Inhalte in einen enzyklopädischen Artikel sinnvoll sind und nicht darum, was in einem Lehrbuch sinnvoll ist bzw. dort angesprochen werden sollte. Bei den komplexen Zahlen ist eine Überprüfung der Existenz und Konsistenz der Definition nicht mehr oder weniger wichtig als bei jeder anderen mathematischen Definition.

Die (implizite) Vorstellung, die jetzt vermittelt wird, dass bei den komplexen ein besonders schwieriger Fall bzgl. der Existenz und Konsistenz vorläge ist aus moderner Sicht falsch und man sollte daher auch nicht dem Leser gegenüber den Eindruck erwecken, dass dem nicht so wäre.

Richtig ist hier lediglich, das Begriff historisch gesehen Schwierigkeiten bereiten hat, die aber eben aus moderner Sicht so nicht existieren. Diese historischen Schwierigkeiten gehören aber im Zweifelsfall (nur) in den Abschnitt zur Geschichte. In der jetzigen Darstellung z.B. kann ein Leser das leicht so deuten, als wäre die Entwicklung bzw. der Umgang mit reellen Zahlen im 16. Jahrhundert abgeschlossen bzw. problemlos und nur die Erweiterung auf die komplexen wäre noch problematisch bzw. mit Schwierigkeiten/Unsicherheiten verbunden gewesen. In einem solchen Fall ist dem Leser ein völlig falscher Eindruck vermittelt worden. Denn eine befriedigende Behandlung der reellen Zahlen bzgl. Definition, Existenz und Eigenschaften wird erst im späten 19. Jahrhundert erreicht, zu einem Zeitpunkt als man in der Existenz der komplexen Zahlen längst nicht als mysteriös oder problematisch empfunden wurde.

In einem enzyklopädischen Artikel sollte einem Leser zunächst eine moderne Sichtweise des Begriffes und seiner Eigenschaften vermittelt werden, denn das ist alles was er benötigt um den Begriff zu verstehen und mit ihm arbeiten zu können. Historische Schwierigkeiten bei der Begriffentwicklung gehören im Normalfall, abgesehen von einer möglichen zusammenfassenden Erwähnung in der Einleitung, in einen späteren Abschnitt und zwar am besten in einem zur Geschichte/Begriffsgeschichte (sofern vorhanden).--Kmhkmh (Diskussion) 12:33, 5. Nov. 2013 (CET)

„Bei den komplexen Zahlen ist eine Überprüfung der Existenz und Konsistenz der Definition nicht mehr oder weniger wichtig als bei jeder anderen mathematischen Definition.“ Falsch

Sehr viele Definitionen sind mehr oder weniger komplexe Namensdefinitionen, wie z.B.: „Eine N-Gruppe ist eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung, die die folgenden Axiome erfüllt: ...“. Sollten die Axiome sich widersprechen, so folgt nichts Schlimmeres, als dass es keine N-Gruppen gibt. Die Definition ist dann leer aber zulässig. Die ‚Definition‘ der Komplexen Zahlen ist grundsätzlich anders. Sie behauptet, dass es etwas mit bestimmten Eigenschaften gibt. Du darfst aber nicht behaupten, dass es etwas gibt, was es (vielleicht) nicht gibt. Ohne den Nachweis, dass die geforderten Eigenschaften sich nicht widersprechen, ist die Definition einfach keine, ist unzulässig. Das ist keine Stilfrage, sondern eine Frage von richtig oder falsch.-- Binse (Diskussion) 02:19, 6. Nov. 2013 (CET)

Das ist wiederum ist formal nur eine Frage der Formulierung, man die komplexen Zahlen auch Stile deines obigen N-Gruppen-Beispieles definieren, auch wenn der Artikel das im Moment zugegebener Maßen nicht macht. Zudem ändert das natürlich nichts an der Tatsache, das bei fast jeder Definition eine Existenz einer entsprechen Struktur implizit unterstellt wird, da besteht kein Unterschied zu den komplexen Zahlen.--Kmhkmh (Diskussion) 03:20, 6. Nov. 2013 (CET)

Körper, Isomorphie

Es wurde (und wird in meinem Vorschlag wohl noch verstärkt) stark darauf abgezielt, die komplexen Zahlen als Körper einzuführen. Als ein gewisser bis auf Isomorphie eindeutiger Körper. Neben Addition und Multiplikation braucht es jedoch für viele Dinge noch eine Zusatzstruktur: Eine passende Einbettung der reellen Zahlen oder alternativ eine nichttriviale Involution (komplexe Konjugation), kartesische Zerlegung oder andere gleichwertige Strukturen. Diese sind offenbar fundamental und erst mit diesen kann man topologische und analytische Begriffe einführen. Durch die Körperstruktur ist diese Struktur nicht festgelegt, da es zahlreiche Körperautomorphismen von $\mathbb {C}$ gibt, die diese Struktur eben nicht erhalten. Wohl aber lässt sich, wenn mich nicht alles täuscht, ausgehend von den komplexen Zahlen als Körper eine beliebige komplexe Konjugation auswählen und alle diese Wahl ist dann eindeutig bis auf Isomorphie, aber eben nicht kanonisch. Ich sehe da eine Gefahr für Missverständnisse, wenn man nicht erwähnt, dass es sich hier um eine zusätzliche über den Körper hinausgehende Struktur handelt, während man freimütig einfach nur von Eindeutigkeit bis auf Körperisomorphie spricht und so tut, als wäre es damit schon erledigt. Meinungen? --Chricho ¹ ² ³ 11:51, 5. Nov. 2013 (CET)

Das sehe ich auch so. Die reellen Zahlen werden aus den rationalen durch ihre Topologie konstruiert. Auf dem Weg zu den komplexen Zahlen muss man die Topologie aber explizit mitnehmen. Die gehört bei dem, was man komplexe Zahlen nennt, immer mit dazu. Und am einfachsten geht das mit dem Vektorraum. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:24, 5. Nov. 2013 (CET)

Ihr habt ja recht. Aber müsste man dann nicht besser bei den reellen Zahlen anfangen? Die vielen Körperisomorphismen von $\mathbb {C}$ ergeben sich doch erst, wenn man schon für $\mathbb {R}$ Isomorphismen betrachtet, die die Ordnung/Topologie nicht respektieren. Wenn man sich dagegen bei $\mathbb {C}$ auf Isomorphismen relativ zu $\mathbb {R}$ beschränkt hat man nur noch Identität und Konjugation. Das ist einerseits naheliegend, weil es eben $\mathbb {R}$, wie es sich gehört, als geordneten Körper voraussetzt, und betont die Konjugation als den einzig nichttrivialen (relativen) Isomorphismus. Ich hätte jedenfalls heftige Bedenken, hier auf ‚pathologische‘ Strukturen einzugehen. Fazit für die nächste Verbesserung: Die Konjugation etwas deutlicher zu erwähnen. Sie gehört doch auch in der Praxis zu den wichtigen Operatoren. Ferner könnte die unter #Weitere Eigenschaften angesiedelte Bemerkung, es gäbe keine Ordnung nach Größe, ersetzt werden durch eine, die auf die Halbordnung/Topologie der Ebene hinweist.-- Binse (Diskussion) 19:02, 5. Nov. 2013 (CET)

Auf dem Körper $\mathbb {R}$ existiert eine kanonische Ordnung (und damit Topologie etc.), die sich nur mit Hilfe von Addition und Multiplikation definieren lässt. Daraus folgt dann auch, dass jeder Körperisomorphismus von $\mathbb {R}$ diese Ordnung respektieren muss und daher trivial ist. Daher ist die Lage bei $\mathbb {C}$, bei der man eine zusätzliche Struktur fordert, doch eine andere. --Chricho ¹ ² ³ 20:02, 5. Nov. 2013 (CET)

Seh ich nicht. Bist Du da sicher? Ich meine $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ hätte unendlich viele Körperautomorphismen. Jede Körpererweiterung eines Körpers (Hier $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$) kann in zwei Schritten durchgeführt werden: Erst eine rein transzendente, $T/\mathbb {Q}$, bei der eine geeignete Menge $E$ von paarweise algebraisch unabhängigen transzendenten Elementen (Erzeugenden) adjungiert werden, und danach eine rein algebraische, bei der also jedes Element algebraisch über $T$ ist. Die Mächtigkeit von $E$, der Transzendenzgrad der Erweiterung, ist im vorliegenden Fall ${\mathfrak {c}}$ . Schon $T/\mathbb {Q}$ hat $2^{\mathfrak {c}}$ Automorphismen entsprechend allen Permutationen von $E$, und die lassen sich jeweils unendlich oft auf die algebraische Erweiterung $\mathbb {R} /T$ fortsetzen. Erst wenn man $\mathbb {R}$ als angeordneten Körper nimmt, gibt es nur den trivialen Automorphismus. Die Anordnung von $\mathbb {R}$ kann also wohl nicht kanonisch sein. Anderseits hat $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ die zwei angegebenen Automorphismen, gleichgültig, wie man $\mathbb {R}$ sieht. Habe ich Dich falsch verstanden?-- Binse (Diskussion) 01:27, 6. Nov. 2013 (CET)

Hm. Anderseits hast Du natürlich recht: a>b, wenn a-b ein Quadrat ist. und Quadrat bleibt Quadrat bei jedem Automorphismus. Ist also was an meiner obigen Überlegung faul. Muss ich morgen mal nachdenken. Oder siehst Du es schon?-- Binse (Diskussion) 03:41, 6. Nov. 2013 (CET)

Ich denke, es scheitert an der Fortsetzung: Denn wenn wir mal so zwei transzendente Zahlen $t,u$ haben, so hat vllt. zum Beispiel das Polynom $tx^{4}+x^{3}+1$ in $\mathbb {R}$ eine Nullstelle, bei Ersetzung von $t$ durch $u$ gibt es aber keine. Wenn der Automorphismus nun $t$ und $u$ vertauschen soll, lässt er sich nicht auf die algebraische Erweiterung fortsetzen. --Chricho ¹ ² ³ 08:37, 6. Nov. 2013 (CET)

Richtig. auf normale Erweiterungen lässt sich ein Automorphismus fortsetzen, auf nichtnormale aber nicht immer.

Die entsprechende Überlegung bleibt richtig für $\mathbb {C}$ und unterstreicht damit deine Kritik, Eindeutigkeit von $\mathbb {C}$ ‚bis auf Isomorphie‘ sei unbefriedigend schwach. Ich stimme zu. Beliebige Automorphismen bilden eben $\mathbb {R}$ auf einen von vielen dazu isomorphen Unterkörper von $\mathbb {C}$ ab.

Wäre es nicht einfacher, $\mathbb {C}$ als Körpererweiterung von $\mathbb {R}$ zu betrachten? Dann ist $\mathbb {R}$ automatisch in enthalten. Im Prinzip ist dann $\mathbb {C}$ auch automatisch ein Vektorraum über $\mathbb {R}$. Über die Topologie von $\mathbb {C}$ spricht man wohl am besten im Zusammenhang mit der Gaußschen Zahlenebene.

Das heißt natürlich nicht, dass man nicht weiter unten über $\mathbb {C}$ als Körper an sich reden sollte und z.B. über Körperautomorphismen von $\mathbb {C}$ und dass es davon viele gibt, aber darunter nur einen nichttrivialen, der $\mathbb {R}$ festlässt. --Digamma (Diskussion) 20:40, 5. Nov. 2013 (CET)

Ja ob nun Körpererweiterung (habe oben von einer Einbettung der reellen Zahlen gesprochen, was ja wohl dasselbe ist) oder Angabe der komplexen Konjugation läuft wie gesagt aufs selbe hinaus. Ich würde den ersten Ansatz für den Artikel bevorzugen. --Chricho ¹ ² ³ 22:50, 5. Nov. 2013 (CET)

Einer Überlegung wert ist auch, angesichts der Darstellung der Elemente als $a+{\mathfrak {i}}b$ zu sagen, dass $\mathbb {C}$ auch ein reeller Vektorraum ist. Das wäre eine Zusatzstruktur, die die Konstruktion ‚bis auf Isomorphie und Konjugation‘ eindeutig macht; und der Begriff ‚Vektorraum‘ ist relativ präsent in der Leserschaft. Isomorphie für Körper und Vektorraum wäre dann die entscheidende Eindeutigkeitsaussage, vielleicht mit Link Körpererweiterung als ‚s.a.‘. Schwierigkeiten sehe ich dabei in der sauberen Einordnung der Konjugation mit nicht zu vielen Worten, zumal der Artikel Vektorraum den Begriff ‚Isomorphie‘ (als bijektive lineare Abbildung) zwar benutzt, aber nicht definiert. Anderseits vermisse ich sowieso eine Definition des konjugiert Komplexen. Bisher steht es wohl nur so nebenbei im Beispiel zur Division.-- Binse (Diskussion) 13:44, 6. Nov. 2013 (CET)

Geschichte

Da gerade am Artikel gebastelt wird, hat vielleicht jemand Lust das folgende Ptoblem im Abschnitt Geschichte zu beseitigen.

In der Einleitung wird Bombelli, der für Entwicklung der komplexen Zahlen maßgeblich war, erwähnt, aber im Abschnitt Geschichte taucht er dann nicht auf.--Kmhkmh (Diskussion) 12:37, 5. Nov. 2013 (CET)

„Im Gegensatz dazu wurden als gewöhnliche Zahlen die reellen Zahlen bezeichnet.“

Einen richtig klaren Begriff von reellen Zahlen gab es zu dieser Zeit doch noch gar nicht. Und wurden vllt. auch Infinitesimale als „gewöhnliche Zahlen“ bezeichnet? Weiß da jemand etwas zu (kenn mich mit der Geschichte der Infinitesimalen nicht aus)? Wenn nicht sollte man vllt. einfach den bestimmten Artikel in „die reellen Zahlen“ weglassen, sodass unklar bleibt, ob wirklich alle gemeint waren. --Chricho ¹ ² ³ 11:54, 5. Nov. 2013 (CET)

Dito, siehe dazu auch mein Kommentar weiter oben.--Kmhkmh (Diskussion) 12:37, 5. Nov. 2013 (CET)

Ich kenne die Geschichte auch nicht richtig, möchte aber stark vermuten, dass der Satz richtig wird, wenn man ihn umdreht und etwa schreibt: „Im Gegensatz zu den komplexen wurden dann die ‚gewöhnlichen‘ Zahlen als reelle Zahlen bezeichnet“. Solange es die Erweiterung nicht gab, hatte man ja keinen Anlass, dem bekannten Zahlbereich einen besonderen Namen zu geben.-- Binse (Diskussion) 12:31, 3. Dez. 2013 (CET)

Ich habe einfach mal bei Descartes nachgeschaut: Auf S. 47 heißt es: „Au reste, tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours réelles, mais quelquefois seulement imaginaires“. Also „reell“ vs. „imaginär“, wobei aber mit „imaginär“ keine rein imaginäre Zahl im Sinne des Artikels imaginäre Zahl gemeint ist und „reell“ natürlich nicht auf unserem heutigen präzisen Begriff reeller Zahlen fußt. --Chricho ¹ ² ³ 12:47, 3. Dez. 2013 (CET)

Körpertheorie und Ultraprodukt

Ich mag ja Modelltheorie, aber diesen Abschnitt finde ich nicht so hilfreich. Eine komplexe Zahl wird doch schon teilweise in der Oberstufe eingeführt, aber die Def mit Ultraprodukten finde ich hier zu abgehoben. Zumal der Satz nicht stimmt, es folgt nicht alleine aus dem Satz von Los, da muss man schon mehr reinstecken. Auch den verlinkten Text selber zweifle ich an, ohne CH können da unterschiedliche Modelle entstehen. Nun ist die Theorie der aa Körper ja stabil, deshalb wirds schon stimmen, ist aber wie gesagt in diesem Kontext etwas zu abgehoben und mE nicht passend.--Frogfol (Diskussion) 22:57, 1. Dez. 2013 (CET)

Ich kann die Korrektheit aus dem Stehgreif und ohne Zugriff auf die angegebene Literatur nicht beurteilen, aber auch die Angabe "abgehobener" Inhalte ist hier durchaus angemessen. Das ist letztlich nur eine Frage der Struktur bzw. Anordnung der Inhalte, d.h. eine einfach zugängliche Darstellung ohne unnötige Abstraktionen sollte zu Beginn stehen, aber danach ist auch die Darstellung beliebig "abgehobener" Zusammenhänge möglich.--Kmhkmh (Diskussion) 06:27, 2. Dez. 2013 (CET)

Es geht doch nur um die Kardinalität, und die ist auch ohne Kontinuumhypothese garantiert das Kontinuum, siehe etwa hier, S. 208. Die impliziert dann, dass man bis auf Isomorphie immer dasselbe Modell erhält. Man sollte aber etwas mehr zum Lefschetz-Prinzip schreiben. --Chricho ¹ ² ³ 13:19, 2. Dez. 2013 (CET)

@Chricho, äh, ja, ich hatte gerade eine Gehirnwindung zu wenig oder auch zuviel geschaltet.

Und klar, man kann auch abstraktes erwähnen. Aber die Überschrift passt nicht, später geht es um Modelltheorie. Vielleicht ist das, was ich meine am besten zT so ausgedrückt, dass man besser weniger oder besser mehr schreiben sollte. Und dass man C so über Ultraprodukte definieren kann, liegt letztlich daran, dass die Theorie omega_1-kategorisch ist. Ich kann C auch so definieren, dass ich eine 2^omega große Menge körpertheoretisch adjungiere und den Körper abschließe. Auch das fände ich hier nicht so passend. Abgehoben war vielleicht falsch, nicht passend oder hier irrelevant wäre wohl richtiger gewesen. Allerdings schlägt umgekehrt das Lefschetz-Prinzip einen Bogen von der Algebraischen Geometrie zur Modelltheorie, das find ich auch ausbauenswert. Gruß --Frogfol (Diskussion) 00:04, 3. Dez. 2013 (CET)

Du hattest natürlich recht, dass die Formulierung schlecht war, die suggerierte, das wäre eine Teilaussage des Satzes von Łos. Wie findest du den aktuellen Stand? Was Körpertheorie angeht fände ich es noch sinnvoll etwas darüber zu schreiben, dass die komplexe Konjugation ausgehend von der Körperstruktur nicht kanonisch ist, und ausgehend von Körperstruktur und komplexe Konjugation ist das $i$ nicht kanonisch (siehe dazu auch obige Abschnitte). Dass es eben für die ganzen Strukturen nötig ist, noch die komplexe Konjugation, die Teilmenge der reellen Zahlen oder ähnliches anzugeben (s. o.). Über die exp-Struktur scheint es auch noch interessantes zu geben, da weiß ich aber nichts drüber.[3] --Chricho ¹ ² ³ 11:13, 3. Dez. 2013 (CET)

Eine kleine Änderung

Der Satz: „Je zwei solche Körper sind isomorph zum Körper der komplexen Zahlen“ ist ja nur eine kleine bei den letzten Änderungen versehentlich unaufgeräumt gebliebene Ecke. Ich habe erst mal minimalistisch verbessert, weil ich mich, wo Ihr doch gerade so sehr bei der Sache seid, nicht zu sehr einzumischen will. Gefallen tut es mir so noch nicht. Mein Vorschlag wäre: „Je zwei solche Körpererweiterungen der reellen Zahlen sind isomorph. Eine Beliebige davon darf als Körper der komplexen Zahlen bezeichnet werden.“ Noch lieber würde ich sehen: „... Jeder solche Erweiterungskörper ist ein Modell für den Körper der komplexen Zahlen.“ Aber das wirft dann wieder die Frage auf, ob man ‚Modell‘ intuitiv gebrauchen darf, wie z.Z. (noch?) im Absatz Matrizen.-- Binse (Diskussion) 13:23, 3. Dez. 2013 (CET)

Die Anwendungen

Die komplexen Zahlen sind einfach der notwendige eindeutig bestimmte Abschluss des Zahlsystems. Aber sag das mal einer auf ‚enzyklopädisch‘! Es zeigt sich aber darin, dass sie in Mathematik und Physik absolut unverzichtbar sind. Irgendwie muss das gesagt werden, wenn der Leser einen korrekten Eindruck vom Lemma bekommen soll. Dass sie sehr nützlich sind, ist dagegen ein gewaltiges Understatement: In der Mathematik muss man nachdenken, um Bereiche zu finden, wo sie nicht dazugehören; in der Physik sind sie immerhin sehr häufig. Ich glaube daher, dass jede Aufzählung von Beispielen so unvollständig bleiben muss, dass sie sich nach den Richtlinien verbietet. Was man tatsächlich an Anwendungen bringen will, sollte nicht nur als Beispiel gekennzeichnet sein, sondern sollte geeignet sein, zusätzliches Licht auf das Lemma selbst zu werfen. Dass die wichtigsten Funktionen, die in Naturwissenschaft und Technik auftreten: exp, log, sin, cos, ... ihre typischen Eigenschaften erst mit komplexem Argument richtig zeigen, begründet sicher den Hinweis auf die komplexe Funktionentheorie. Dass die Quantentheorie ohne die komplexwertige Wellenfunktion oder den komplexen Hilbertraum kaum formulierbar ist, zeigt, wie notwendig die komplexen Zahlen (unabhängig von den Gedankenakrobaten, die sich Mathematiker nennen) sind. Dass manche Aussagen über ganze Zahlen (Beispiel: Primzahlsatz) sich mit Hilfe der komplexen Analysis leichter und in besserer Qualität beweisen lassen als im Reellen, verdient sicher auch gesagt zu werden. In der E-Technik ist speziell die Polardarstellung nützlich um Phasenwinkel und Verwandtes zu beschreiben. -- Binse (Diskussion) 17:35, 3. Dez. 2013 (CET)

Fehler bei Umrechnung Normal in Polarform mittels Tangens

Die Tabelle hat mehrere Fehler, die man sofort erkennt. Außerdem fehlen die Fälle für b=0 (nicht signierter Beitrag von 2003:6D:CF5C:DD01:8D85:837F:22CD:CE44 (Diskussion | Beiträge) 22:22, 28. Sep. 2014 (CEST))

Bitte nicht so vage. Welche Fehler? Ich kann keine erkenne. Der Fall b = 0 ist mitbehandelt. --Digamma (Diskussion) 08:21, 29. Sep. 2014 (CEST)

Wenn a<0 und b<0 sollte man PI hinzuaddieren und nicht abziehen, sonst bekommt man einen negativen Winkel. (nicht signierter Beitrag von 2003:6D:CF5C:DD01:D479:292C:C936:E587 (Diskussion | Beiträge) 15:07, 29. Sep. 2014 (CEST))

Das ist durchaus gewollt. Der Winkel läuft hier im Intervall $(-\pi ,\pi ]$. Dies steht weiter oben im Abschnitt Polarform. Ich werde es bei der Umrechnung nochmal ergänzen, damit Missverständnisse wie dieses in Zukunft vermieden werden. Diese Wahl ist in der komplexen Ebene üblich, damit die Koordinaten auf der positiven reellen Achse keine Singularität besitzen. Wie die Umrechnung zu modifizieren ist, wenn der Winkel im Intervall $[0,2\pi )$ liegen soll, steht direkt unter der Tabelle im Abschnitt Berechnung des Winkels im Intervall [0, 2π). --Digamma (Diskussion) 15:53, 29. Sep. 2014 (CEST)

PS: Eine Ergänzung ist nicht notwendig. Es steht schon direkt darüber. --Digamma (Diskussion) 15:55, 29. Sep. 2014 (CEST)

Archivierung

Ich habe ein zweites Archiv neu errichtet. Eigentlich genügt ein Archiv bis zu einer Größe von ca. 250 kB. Obwohl dieses erste Archiv deutlich kleiner ist, dauerte der Aufruf der Archivseite sehr lange. Selbst der GiftBot hatte in der vergangenen Nacht damit seine Schwierigkeiten. MfG Harry8 12:25, 8. Feb. 2014 (CET)

Zur Zeit dauern die meisten Seitenaufrufe lange. Das liegt wohl eher an Problemen beim Server. --Digamma (Diskussion) 13:09, 8. Feb. 2014 (CET)

Addition in Exponentialform

Es wird eine Formel angegeben, mit der man zwei komplexe Zahlen in Exponentialform addieren kann. Nun habe ich in der Schule gelernt, dass dies nicht geht. Gleiches behaupten viele Bücher (z.B. Kreul/Kreul). Auch die englische Wikipedia gibt keine Formel dazu an. Auch der Webseite der Amerikanischen Mathematikervereinigung (MAA) lese ich, dass es dazu kein Formel geben kann: There is no general rule for the addition of complex numbers in exponential form. http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/47/Siebel/Basic_Calculations.pdf Daher meine Frage: Hat die angebliche Formel mal jemand hergeleitet (überprüft)? (nicht signierter Beitrag von 2003:6D:CF5C:DD01:BCF8:FBAE:D684:20F (Diskussion | Beiträge) 14:20, 12. Okt. 2014 (CEST))

Ein (partieller) Beweis findet sich zum Beispiel hier: [4]. Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:10, 12. Okt. 2014 (CEST)

Vielen Dank für den Link. Aber dort wird die Winkelformel nicht bewiesen. Sie kann nämlich nicht das richtige Ergebnis liefern. Einen Ergebnis von z.B. 200° könnte man niemals mit dieser Formel erhalten. Lediglich die Formel für den Betrag ist bewiesen und richtig. (nicht signierter Beitrag von 2003:6D:CF5C:DD01:4434:AEBF:CE35:BA86 (Diskussion | Beiträge) 12:37, 13. Okt. 2014 (CEST))

Die Frage ist natürlich, ob die Formeln praktikabel sind. Die Formel für den Betrag der Summe ergibt sich aus dem Kosinussatz. In dieser Form berechnet man z.B. auch den Betrag der Summe von zwei Kräften, bei denen die Beträge und der Winkel zwischen den Kraftrichtungen gegeben sind. Die Formel für den Winkel geht im Prinzip über den Realteil und den Betrag. Im Prinzip wird hier also zuerst die kartesische Form berechnet, in dieser Form wird addiert und dann wird daraus wieder die Polarform berechnet. --Digamma (Diskussion) 19:23, 12. Okt. 2014 (CEST)

PS: Die Formel für den Winkel ist in dieser Form falsch, weil sie immer Werte zwischen 0 und $\pi$ liefert. --Digamma (Diskussion) 19:28, 12. Okt. 2014 (CEST)

Vielen Dank für den Link. Die verlinkte Formel für den Winkel ist wirklich falsch, er hat sie aus dem Buch Murray-Spiegel (Schaums Outline). Ich hab das Buch, die falsche Formel steht da wirklich drin. Bloß die arccos Funktion im Wikipedia-Artikel liefert auch nur Werte zwischen 0 und pi, oder vertue ich mich da? Folglich wäre sie auch falsch. (nicht signierter Beitrag von 2003:6D:CF5C:DD01:BCF8:FBAE:D684:20F (Diskussion | Beiträge) 01:29, 13. Okt. 2014 (CEST))

Weiter oben im Artikel steht, wie man aus Real- und Imaginärteil den Winkel berechnet. Wenn man nicht die "atan2"-Funktion verwendet, kommt keine der Formeln ohne Fallunterscheidung aus. "arctan" liefert nur Werte zwischen $-\pi /2$ und $\pi /2$ (ohne die Grenzen), "arccos" nur Werte zwischen "0 und $\pi$" einschließlich. Alle Formeln verwenden Bruchterme, die nicht definiert sind, wenn der Nenner 0 ist. --Digamma (Diskussion) 14:44, 13. Okt. 2014 (CEST)

Die Fallunterscheidung (wie bei der Umrechnung eines "einzelnen" Winkels) ist aber nicht durchführbar, weil wir zwar wissen, in welchen Quadranten die beiden beteiligten komplexen Zahlen liegen, aber nicht, wo das Ergebnis liegen wird. Wo das Ergebnis liegen wird, will man ja erst ausrechnen. (nicht signierter Beitrag von 2003:6D:CF5C:DD01:40AE:E4FD:6B95:B4B1 (Diskussion | Beiträge) 16:49, 13. Okt. 2014 (CEST))

Doch, man könnte das aktuelle $\chi :=\arccos \left({\frac {r\cos \varphi +s\cos \psi }{t}}\right)$ zum Beispiel durch

$\chi :=(\delta _{r\sin \varphi +s\sin \psi ,0}+\operatorname {sgn}(r\sin \varphi +s\sin \psi ))\cdot \arccos \left({\frac {r\cos \varphi +s\cos \psi }{t}}\right){\text{ für }}t\neq 0$

ersetzen, womit alle wesentlichen Fälle abgedeckt wären (nur die Addition einer komplexen Zahl zu ihrem additiv Inversen bliebe offen, aber für das Ergebnis $0$ gibt es eben weder eine trigonometrische noch eine Exponentialform, weil das Argument gar nicht definiert ist). Dabei ist $\delta _{m,n}$ das Kronecker-Delta und $\operatorname {sgn}(x)$ die Vorzeichenfunktion. Statt so einen monströsen Term aufzunehmen plädiere ich jedoch eher dafür, die ganze (jetzt natürlich falsche) Darstellung einer Summe einfach aus dem Artikel zu entfernen. --Franz 17:52, 13. Okt. 2014 (CEST)

Den Kronecker-Term braucht man nicht, sondern nur die sgn-Funktion. Siehe wiki Artikel "Polarkoordinanten". (nicht signierter Beitrag von 2003:6D:CF5C:DD01:F9B3:BF8E:1702:AD12 (Diskussion | Beiträge) 00:00, 19. Okt. 2014 (CEST))

Doch, man braucht ihn, weil ohne ihn Falsches dastünde (beachte, um das einzusehen, insbesondere sgn(0)=0). Man darf eben nicht alles glauben, was man auf Wikipedia liest ;-). Ich habe die falsche Behauptung im Artikel Polarkoordinaten soeben entfernt.

Man könnte aber auch, wie von Digamma oben kurz erwähnt, den Winkel mit Hilfe der atan2-Funktion angeben. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 11:08, 15. Okt. 2014 (CEST)

Ich würde hier auch der atan2-Variante den Vorzug geben und habe das im Artikel direkt umgesetzt. Eventuell sollte man irgendwo noch auf atan2 verlinken. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:25, 15. Okt. 2014 (CEST)

Ein Link befindet sich zwar knapp oberhalb, aber ich habe nun einen weiteren direkt dazu gesetzt. --Franz 12:13, 15. Okt. 2014 (CEST)

Bei der Gelegenheit habe ich auch noch die Subtraktionsformel ergänzt. Viele Grüße, Quartl (Diskussion) 13:34, 15. Okt. 2014 (CEST)

Einheitengruppe

@HilberTraum: Doch kam vor: dort wo auch die Kreisgruppe vorkommt. Macht aber nichts, denn man kann es dort nicht mit der Schaltfläche suchen. Ist also OK so. --Nomen4Omen (Diskussion) 21:41, 15. Feb. 2015 (CET)

Rechnen mit Wurzeln

Im Abschnitt zu den Wurzeln komplexer Zahlen steht das Beispiel -1 ... \neq 1und der Hinweis, das die Rechenregeln für Wurzeln reeller Zahlen hier nicht gelten. Der Hinweis ist mE irreführend, Kern der Sache ist, dass die Wurzelfunktion mehrdeutig ist, und man rechts und links unterschiedliche Wurzeln gewählt hat. (nicht signierter Beitrag von 134.95.65.137 (Diskussion) 12:02, 29. Sep. 2015 (CEST))

In der Tat schien der Absatz irreführend bis falsch, siehe Hauptartikel. Habe den Absatz erst einmal entfernt, vielleicht kann ja bei Bedarf eine kurze Beschreibung noch hinzu. -- E (D) 12:54, 29. Sep. 2015 (CEST)

unzählbar

@Benutzer:Binse Lieber Binse, zwar kommt „unzählbar“ in der mathematischen Literatur nicht oft vor, aber das Verständnis davon ist für den hiesigen Zweck genau genug. Und Dein „überabzählbar“ ist zumindest im präzisen mathematischen Sinn ziemlich sicher falsch, da es sich um $2^{\mathfrak {c}}$ (mit   überabzählbar = ${\mathfrak {c}}=\aleph$   als der Mächtigkeit des Kontinuums) oder vielleicht gar um ${\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}$ Automorphismen handeln dürfte. Insofern wäre unzählbar sogar besser als Dein „überabzählbar“. Vielleicht ginge „mindestens überabzählbar“. Aber, da es nicht wirklich auf die genaue Kardinalität ankommt, ist unzählbar eigentlich gut genug. Es sei denn, Du rechnest genau aus, wieviel es sind, und findest einen reliable Beleg dafür. --Nomen4Omen (Diskussion) 21:50, 4. Jan. 2016 (CET)

Ach Nomen4Omen: ‚überabzahlbar‘ ist doch keine bestimmte Kardinalzahl. Das Wort sagt nur: mehr als abzählbar, von größerer Mächtigkeit als die Menge der natürlichen Zahlen. Du hast schon recht, dass an dieser Stelle $2^{\mathfrak {c}}$ stehen dürfte, eine der überabzählbaren Kardinalzahlen. So wie ich es geschrieben habe, ist es doch ganz richtig. Wenn Du es unbedingt noch ungenauer haben willst, dann nimm wenigstens einen Ausdruck, der in der Mathematik üblich ist: mit ‚unendlich viele‘ wäre ich einverstanden. Das wird mindestens so gut verstanden wie ‚unzählbar‘, wofür Du womöglich in keinem Lehrbuch eine Definition findest. Anderseits kommt ‚überabzählbar‘ wenige Zeilen weiter sowieso vor.

Was mich an dieser Fußnote übrigens auch noch stört, ist ihre Position bei den Nachweisen, wo sie als einfache Bemerkung nicht hingehört. Statt < ref > ... < /ref > müsste es was Besseres geben. Leider kenne ich mich da nicht aus. Am besten schreibt man eine Bemerkung richtig in den Text oder lässt sie eben weg.- Binse (Diskussion) 01:28, 5. Jan. 2016 (CET)

OK, ich hab's nachgelesen in dewiki: es ist dort, wie Du sagst. Dabei ist die erste Verwendung von »überabzählbar« genau $\beth _{1}:={\mathfrak {c}}$. Aber die zweite ist genau $\beth _{2}:=2^{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}$, wie man dem Artikel en:Beth_number#Beth_two entnehmen kann. Übrigens gibt's bei den Engländern anscheinend nur »uncountable« und kein »overcountable«, wobei countable halt abzählbar bedeutet und nicht nur zählbar. --Nomen4Omen (Diskussion) 10:16, 5. Jan. 2016 (CET)

Eine reelle Multiplikation einsparen

Der Kniff, wie man bei der Multiplikation statt vier reellen Multiplikationen nur drei benötigt ist IMHO an dieser Stelle nicht relevant. Er stört den Lesefluss, des ansonsten gut strukturierten Artikels. Ich würde ihn gerne löschen. --Suricata (Diskussion) 19:17, 6. Mai 2016 (CEST)

ich finde es zwar nicht so störend, aber man kann sicher an der aktuellen Stelle gut darauf verzichten. Eine Alternative zur Löschung wäre noch, das Ganze in einen separates und noch auszubauendes Kapitel zu numerischen und algorithmischen Fragen bei der Softwareimplementierung zu verschieben.--Kmhkmh (Diskussion) 20:38, 6. Mai 2016 (CEST)

Ich habs nach unten geschoben. --Suricata (Diskussion) 08:12, 7. Mai 2016 (CEST)

Notation, Form, Darstellung

Ich verstehe den Unterschied zwischen diesen drei Begriffen nicht, habe aber das Gefühl, dass sie nicht konsequent verwendet werden. Zwei Beispiele:

• Manchmal ist von Polarform, dann wieder von Polardarstellung die Rede.
• Zitat: "Besonders in der Physik wird ... der Notation der komplexen Zahlen in Polarform der Vorzug vor der Vektordarstellung gegeben."

Gibt es einen Mathematiker der mir die Feinheiten erklären kann und eventuell Unstimmigkeiten im Artikel beseitigt? --Herbmuell (Diskussion) 16:17, 15. Mai 2016 (CEST)

"Polardarstellung" und "Polarform" sind Synonyme, bzw. "Polardarstellung" ist eine Kurzform für "Darstellung in Polarform". Der zitierte Satz ergibt in der Tat keinen Sinn. Gemeint ist wohl "algebraische Form" statt "Vektorform", d.h. Darstellung durch Real- und Imaginärteil. Aber natürlich ist auch die Polardarstellung die Darstellung eines Vektors. Ich lösche deshalb den Satz. --Digamma (Diskussion) 13:16, 16. Mai 2016 (CEST)

Na gut, vielen Dank. Ich habe im Abschnitt "Polarform" 3 Änderungen vorgenommen, 2 davon hoffentlich in deinem Sinn oben. Schau's dir bitte mal an wenn du Zeit hast. --Herbmuell (Diskussion) 17:42, 19. Mai 2016 (CEST)

Ist aus meiner Sicht OK. --Digamma (Diskussion) 20:57, 19. Mai 2016 (CEST)

Geschichte

"Heute machen diese Dinge keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten. Durch die Einfachheit der Definition, der bereits erläuterten Bedeutung und Anwendungen in vielen Wissenschaftsgebieten stehen die komplexen Zahlen den reellen Zahlen in nichts nach. Der Begriff der „imaginären“ Zahlen, im Sinne von eingebildeten bzw. unwirklichen Zahlen, hat sich also im Laufe der Jahrhunderte zu einer schiefen, aber beibehaltenen Bezeichnung entwickelt."

Diese Aussage ist in sich schief, weil auch die Reellen Zahlen weiterhin als imaginant betrachtet werden müssen. Reale Ergebnisse erhält man nur mit Rundung... --77.7.186.61 22:23, 11. Nov. 2016 (CET)

Ja und? --Digamma (Diskussion) 00:04, 12. Nov. 2016 (CET)

Hauptwert

Ich hatte immer angenommen, die Konvention für den Hauptwert φ₀ sei

$\varphi _{0}\in [0,2\pi [.$

Mich überrascht ein wenig, dass dies hier anders steht. Kann man natürlich auch machen, aber wie gesagt, obige Konvention schien mir geläufiger.--Slow Phil (Diskussion) 12:22, 20. Jan. 2017 (CET)

Gibt es die Wurzel aus -1?

@HilberTraum:, können sie mir bitte die vielen Zusammenhänge nennen, in denen es offenbar die Wurzel aus -1 gibt? --Alva2004 (Diskussion) 09:19, 1. Jul. 2017 (CEST)

Ob man i als Wurzel aus -1 bezeichnet, ist reine Konvention. Es gibt viele, vor allem ältere Texte, wo das geschieht. Dies impliziert nicht, dass die üblichen Regeln für das Rechnen mit Wurzeln gelten. Deshalb ist die Tatsache, dass die Anwendung dieser Regeln zu Widersprüchen führt, auch kein Argument für die Nichtexistenz. --Digamma (Diskussion) 09:32, 1. Jul. 2017 (CEST)

Sie reden von einer Bezeichnung, ich von einer Existenz. Offenbar setzt $i={\sqrt {-1}}$ wegen des Widerspruchs $-1={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1$ die Produktregel ${\sqrt {w}}{\sqrt {z}}={\sqrt {wz}}$ außer Kraft. Gibt es irgendjemanden der das tut? --Alva2004 (Diskussion) 09:46, 1. Jul. 2017 (CEST)

Das wird eigentlich in jeder Mathematiksoftware so gemacht (Matlab, R, Maple usw.): Da ergibt sqrt(-1) das Ergebnis i. Aber im Artikel steht ja nur, dass i als eine Wurzel aus -1 aufgefasst werden kann. Viel „harmloser“ kann das doch gar nicht mehr formuliert werden. Es wird weder von einer Quadratwurzelfunktion gesprochen noch wird die Schreibweise ${\sqrt {-1}}$ verwendet. -- HilberTraum (d, m) 10:06, 1. Jul. 2017 (CEST)

Doch, das kann man harmloser formulieren, nämlich so wie ich es getan habe. Es kann nicht aufgefasst werden, sondern es wird, weil es probat und einfach ist und Menschen widersprüchliche Wesen sind. Es ist eben viel einfacher ${\sqrt {-5}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {5}}=i{\sqrt {5}}$ zu schreiben, anstatt ${\sqrt {-5}}={\sqrt {i^{2}5}}={\sqrt {i^{2}}}{\sqrt {5}}=i{\sqrt {5}}$. In Rechenmethoden der Physik wird vom formalen Wurzelausdruck gesprochen. Auch das ist harmloser. Ich habe mich immer gefragt, was an der Definition von $i={\sqrt {-1}}$ so verkehrt ist und warum meistens $i^{2}=-1$ definiert wird. Darauf will ich eine Antwort geben. Was ist so verkehrt DARAN? Ich hab das jetzt mal harmloser formuliert, hoffe das passt nun. --Alva2004 (Diskussion) 10:21, 1. Jul. 2017 (CEST)

Verkehrt daran ist ganz einfach, dass $i={\sqrt {-1}}$ rasend schnell zu Widerspruechen fuehrt. Die Definition von "Irgendetwas", das man i nennt und die Loesung der Gleichung $x^{2}=-1$ darstellt, fuehrt dagegen nicht zu Widerspruechen, sondern zu einer sinnvollen Erweiterung der reellen Zahlen, den komplexen Zahlen. Die letzte Ergaenzung halte ich deshalb fuer falsch; es wird nicht - auch in der aelteren Literatur - so definiert; es wird - rein formal - lediglich so aufgefasst/interpretiert. MfG -- Iwesb (Diskussion) 11:11, 1. Jul. 2017 (CEST)

Die oben angeführte Produktregel gilt doch ohne nur für positive bzw. nicht-negative reelle Zahlen. Ich verstehe auch nicht so ganz, wie man $i={\sqrt {-1}}$ als Definition lesen will, da die rechte Seite eigentlich (im der herkömmlichen Verwendung des Wurzelzeichens) eigentlich nicht definiert.--Kmhkmh (Diskussion) 11:34, 1. Jul. 2017 (CEST)

Offensichtlich hab ich hier in ein Wespennest gestochen und das tut mir Leid. Nun bitte ich allerseits sich zu beruhigen und konstruktive Beiträge beizusteuern!

• @Kmhkmh: Die Produktregel gilt im komplexen, und wenn dort $i={\sqrt {-1}}$ gesetzt wird, dann ergibt sich "mein" Widerspruch.
• @Iwesb: genauso hab ich es doch geschrieben: es führt schnell auf eine Widerspruch. Können sie bitte Quellen und von ihnen akzeptierte Widersprüche beisteuern, die $i={\sqrt {-1}}$ nach sich zieht?

Dann plane ich einen eigenen Abschnitt

== Wurzel aus -1 </h2> ==

Gelegentlich, vor allem in der älteren Literatur<sup>[Quellen]</sup>, wird die imaginäre Einheit mit einem formalen Wurzelausdruck <math>i=\sqrt{-1}</math> veranschaulicht. Dies führt schnell zu Widersprüchen<sup>[Quellen]</sup>. Die Definition der imaginären Einheit, die die Lösung der Gleichung <math>x^2=-1</math> darstellt, ist jedoch widerspruchsfrei<sup>[Quellen]</sup>, und führt zu einer sinnvollen Erweiterung der reellen Zahlen, den komplexen Zahlen.

Beispiele für Widersprüche, auf die <math>i=\sqrt{-1}</math> führt:

*...
*...

--Alva2004 (Diskussion) 13:31, 1. Jul. 2017 (CEST)

Nochmal: "Wurzel aus -1" ist nur eine Benennung und ${\sqrt {-1}}$ ist nur ein Symbol. Das führt nicht zu Widersprüchen, weil weder die Verwendung der Bezeichnung "Wurzel" noch die des Wurzel-Symbols implizieren, dass die Rechenregeln für Wurzeln oder gar für Potenzen gelten.

Die Potenzgesetze gelten übrigens im Komplexen nur für ganzzahlige Exponenten, aber nicht für gebrochene. Die Potenz- oder Wurzelgesetze gelten auch nicht für dritte oder fünfte Wuzeln aus negativen Zahlen, obwohl man diese Wurzeln problemlos definieren kann.

Ja, die Tatsache, dass die Rechenregeln für Wurzeln aus komplexen Zahlen nicht gelten, ist ein Grund Wurzeln aus komplexen Zahlen nicht zu definieren oder nicht zu verwenden. Andererseits kann man diese Wurzeln aber verwenden, wenn man sich dessen bewusst ist, dass die Wurzel- und Potenzgesetze für sie nicht bzw. nur eingeschränkt gelten. "${\sqrt {-1}}$" wird auch oft ein ein Symbol verwendet, das nicht als zusammengesetzt aus Wurzelsymbol und Zahl "-1" aufgefasst wird, sondern als ein einziges Symbol, i. --Digamma (Diskussion) 16:34, 1. Jul. 2017 (CEST)eine alternative Schreibweise, für

+1 --Kmhkmh (Diskussion) 16:44, 1. Jul. 2017 (CEST)

+1 (= noch 1 drauf)

Sehr richtig! Die Funktionalgleichung $a^{1/n}b^{1/n}=(ab)^{1/n}$ mit $2\leq n\in \mathbb {N}$ gilt NICHT für jede beliebige Wahl der Wurzeln. Genauer: Es gilt nur $\left(a^{1/n}b^{1/n}(ab)^{-1/n}\right)^{n}=1$ oder $a^{1/n}b^{1/n}=\zeta (ab)^{1/n}$ mit einem $\zeta ^{n}=1$. Benutzer Alva2004 hätte also NICHT die Wurzel aus -1 nehmen müssen, denn genauso führt $-1={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}={\sqrt {1\cdot 1}}={\sqrt {1^{2}}}=1$ zum Widerspruch. Soll man deshalb ${\sqrt {1}}$ verbieten?

Auch Hauptwerte retten nicht vor solchen kleinen Stolpersteinen (= „mehrdeutigen Funktionen“), mit denen übrigens die Herren Euler und Gauß schon sehr souverän umgegangen sind.

@Digamma: Ich sehe übrigens ${\sqrt {-1}}$ als das Primäre und $\mathrm {i}$ als das Sekundäre, weil es zu ${\sqrt {-1}}$ wesentlich mehr Vorbedeutung („Wurzelsymbol“!) gibt und $\mathrm {i}$ eine zwar schon lange bekannte, aber doch irgendwo recht freie und willkürliche Setzung ist; ja, es soll Leute geben, die's lieber mit $\mathrm {j}$ halten. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:09, 1. Jul. 2017 (CEST)

Also in der modernen Mathematikliteratur hat sich $\mathrm {i}$ meines Wissens durchgesetzt, ${\sqrt {-1}}$ wird da praktisch nicht mehr verwandt und $j$ wird gerne in der Physik und in den Ingenieurwissenschaften verwendet, aber kaum in der Mathematik.--Kmhkmh (Diskussion) 19:28, 1. Jul. 2017 (CEST)

@Kmhkmh: Ja, in der Mathematik hat sich $\mathrm {i}$ durchgesetzt, so sehr, dass es in tiefere emotionale Schichten des Unbewussten eingedrungen ist. Der Ausgangspunkt war aber „Symbol“ („zusammengesetztes“ oder „einziges“). Und da ist halt ${\sqrt {-1}}$ viel näher an einem Verständnis oder einer Herleitung als $\mathrm {i}$, welches ja total aus dem heiteren Himmel fällt. Anders ausgedrückt: $\mathrm {i}$ ist eine alternative, kurze Schreibweise für ${\sqrt {-1}}$. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:58, 1. Jul. 2017 (CEST)

Ja, das kann man so sehen. Man kann aber auch sagen, dass ${\sqrt {-1}}$ eine historische Schreibweise für $i$ ist, die man innerhalb der Mathematik nicht zuletzt wohl auch deswegen aufgegeben hat, weil sie, wie man an der Diskussion hier sieht, immer wieder zu Irritationen und Missverständnissen führt. Insofern kann man diese Nähe zur Herleitung auch eher kritisch sehen. Was man nun als Alternativschreibweise und was eigentliche Schreibweise auffasst hängt dann davon ab, wo man den Betrachtungschwerpunkt setzt. Schaut man auf die historische Entwicklung so ist wohl die $i$ die Alternative, schaut man jedoch auf die moderne Darstellung (in der Mathematik), dann ist wohl ${\sqrt {-1}}$ die (veraltete) Alternative.--Kmhkmh (Diskussion) 20:12, 1. Jul. 2017 (CEST)

@Kmhkmh: Tut mir jetzt ein bisschen leid. An der Diskussion hier kann man überhaupt nichts erkennen, schon gar nicht, ob $\mathrm {i}$ oder ${\sqrt {-1}}$ „mathematisch besser“ ist. ($\mathrm {i}$ sieht allemal kürzer aus, sagt aber eigentlich gar nichts.) Der „Widerspruch“, den Alva2004 entdeckt zu haben glaubte – und der keiner ist, wie oben gezeigt, weil »gilt NICHT für jede beliebige Wahl der Wurzeln« –, hat weder mit -1 noch mit ${\sqrt {-1}}$ noch mit $\mathrm {i}$, sondern nur mit der Zweideutigkeit der Wurzelfunktion etwas zu tun. (Der gleiche „Widerspruch“ besteht übrigens auch mit $\mathrm {i} ={\sqrt {-1}}={\sqrt {(-\mathrm {i} )^{2}}}=-\mathrm {i}$.)
Was man allerdings vielleicht erkennen muss, dass bestens ausgebildete Mathematiker sich (heute noch) mit mehrdeutigen Funktionen derart schwer tun. --Nomen4Omen (Diskussion) 21:57, 1. Jul. 2017 (CEST)

Es geht ja auch nicht um den realen mathematischen Zusammenhang sondern den assoziierten (falschen), ohne die ${\sqrt {-1}}$-Notation würde man doch gar nicht auf die Idee kommen die Rechengesetze für Wurzeln (falsch) anwenden zu wollen. In diesem Sinne geht aus auch nicht um "mathematisch besser" sondern um "didaktisch besser" und ist vermutlich einer der Gründe aus denen sich $i$ bei den Mathematikern durch gesetzt hat.--Kmhkmh (Diskussion) 22:24, 1. Jul. 2017 (CEST)

Ja, da bin ich jemand auf den Leim gegangen, dem ich vertraute... Aber ist das ganze nicht doch eine ausführlichere Auseinandersetzung in einem eigenen Abschnitt wert? In K. Fritzsche: Tutorium Mathematik für Einsteiger findet sich eine zitierbare Quelle, die es auf den Punkt bringt:

„Damit ist schon die Gleichung $i={\sqrt {-1}}=(-1)^{1/2}$ nur halb richtig, denn links steht eine feste komplexe Zahl und rechts ein Objekt, das die beiden Werte i und -i annehmen kann“

– K. Fritzsche

und dies kann zu Irritationen führen, wie beispielsweise die oben angegebenen "Gleichungen". Fritzsche schreibt auch, "Fortgeschrittene Studenten foppen nun Anfänger gerne mit folgender Rechnung" und meint damit die von mir angegebene Gleichungskette. Ich würde dem gerne einen Abschnitt widmen:

== Wurzel aus -1 ==

Die imaginäre Einheit wird gelegentlich mit einem formalen Wurzelausdruck <math>\rm i=\sqrt{-1}</math> geschrieben. Problematisch an dieser Gleichung ist, dass links eine feste komplexe Zahl steht und rechts ein Objekt, das die beiden Werte i und -i annehmen kann. Dieser Stolperstein wird durch die Einführung von i als der Zahl mit der Eigenschaft i² = -1 umgangen.

Das Problem dabei tritt in der folgenden Gleichungskette zu Tage, mit der fortgeschrittene Studenten Anfänger gerne foppen<ref>Fritzsche</ref>:
:<math>-1=\rm i\cdot i=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}\;\stackrel{a}{=}\;\sqrt{(-1)(-1)}
=\sqrt{1}\;\stackrel{b}{=}\;1</math>
In dieser Gleichungskette sind alle Teilgleichungen anzuzweifeln, wo ein Wurzelausdruck mit einem festen Wert verglichen wird. Wenn man <math>\rm i=\sqrt{-1}</math> akzeptiert, sind das vor allem die Gleichheitszeichen a und b. Links vom Gleichheitszeichen a steht ein fester Wert -1, rechts davon eine Quadratwurzel, die im komplexen immer zwei  Werte annehmen kann. Beim Gleichheitszeichen b wird die im reellen geltende Vereinbarung verwendet, dergemäß <math>\sqrt{x}</math> den positiven Wert der Wurzel meint. Allerdings wird hier im komplexen gerechnet, wo es keinen Positivitätsbegriff gibt. Links vom letzten Gleichheitsszeichen steht also eine Wurzel, die die Werte +1 und -1 annehmen kann, und die darf nicht mit der festen Zahl 1 gleichgesetzt werden.

--Alva2004 (Diskussion) 08:00, 2. Jul. 2017 (CEST)

Vielleicht wäre das Ganze besser in einem separaten Artikel aufgehoben, auf en.wp gibt es dafür z.B. en:Mathematical fallacy, eine deutsche Variante scheint noch zu fehlen, aber das wäre ja eine Gelegenheit diese in Angriff zu nehmen.--Kmhkmh (Diskussion) 08:04, 2. Jul. 2017 (CEST)

Nach wie vor fehlt mir im Artikel der Vergleich der Definitionen von $i={\sqrt {-1}}$ und $i^{2}=-1$ und eine Begründung, warum im Artikel der letzteren der Vorzug gegeben wird. Ich finde auch lehrreich, was am Fehlschluss -1 = 1 falsch ist. Falls nichts dagegen spricht, werde ich obige Passage nach dem 15.7.2017 im Artikel einfügen.

Einschub:@Benutzer:Alva2004:
(1) Beide Definitionen bedeuten im Prinzip dasselbe. (Die eine ($i={\sqrt {-1}}$) ist explizit, und die andere ($i^{2}=-1$) implizit.) Gibt es nämlich eine Lösung $y$ von $y^{2}=x$, dann ist die Quadratwurzel-Funktion und das Quadratwurzel-Zeichen so definiert, dass ${\sqrt {x}}:=y$ (eines aus $\{y,-y\}$, siehe (2)).
(2) Wegen $1^{2}=1\cdot 1=1=(-1)\cdot (-1)=(-1)^{2}$ lässt sich eine Umkehrfunktion $g\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R}$ des Quadrierens mittels der Maßgabe $g(x)^{2}=x$ nicht definieren (Verletzung der Rechtseindeutigkeit). Wird der Wertebereich eingeschränkt (bzw. bei der Originalfunktion der Definitionsbereich) bspw. durch $g\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$, dann klappt es, und man hat die Wurzelfunktion.
(3) Man kann auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Funktion anwenden, bspw. 1 addieren. Man kann auch die Wurzel ziehen. Allerdings nicht als Umkehrung des Quadrierens. Angesichts der Feststellung (2) (der Nicht-Funktionalität, der „Mehrdeutigkeit“) muss man darauf achten, dass man in denselben Wertebereich hinein die Wurzel zieht. Also folgt aus der Anwendung von ${\sqrt {}}$ auf beide Seiten von     $1^{2}=1\cdot 1=1=(-1)\cdot (-1)=(-1)^{2}$     das richtige Ergebnis   $1={\sqrt {1^{2}}}={\sqrt {-1^{2}}}=1$. Denn mit der Wurzelfunktion ${\sqrt {}}$ ist niemals ${\sqrt {1}}=-1$, sondern immer ${\sqrt {1}}=+1$. --Nomen4Omen (Diskussion) 15:29, 3. Jul. 2017 (CEST)

en:Mathematical fallacy gefällt mir, ich werd mal sehen, was ich bis dahin machen kann. --Alva2004 (Diskussion) 09:56, 3. Jul. 2017 (CEST)

Ok, nochmal (obwohls die Kollegen doch bereits viel besser als ich erklaert haben). Es gibt keine Wurzel aus -1; die Wurzelfunktion ist fuer negative reelle Zahlen nicht definiert. Ein "Rechenausdruck" ${\sqrt {-1}}$ ist nicht definiert, macht keinen Sinn.

Einschub:@Benutzer:Iwesb:
(1) Hier steht: „Es gibt keine Wurzel aus -1.“ Das ist nur sehr eingeschränkt richtig. Richtig ist: „Es gibt keine reelle Wurzel aus -1.“
(2) Hier steht: „Die Wurzelfunktion ist fuer negative reelle Zahlen nicht definiert.“ Das ist richtig falsch! Eine Wurzel lässt sich in allen Körpern $K$ definieren. Die Frage ist dann, ob diese Wurzel in $K$ existiert. (Definition und Existenz sind zwei sehr verschiedene Dinge!!) Wenn sie nicht existiert, dann erweitern die Mathematiker den Körper, sofern das geht – und bei Wurzeln geht das immer, nämlich zu $K[X]/(X^{2}-a)$ mit der Unbestimmten $X$ und dem Radikanden $a$. Genau eine solche Körpererweiterung der reellen Zahlen sind die komplexen Zahlen. Und jetzt gibt es auch ein $\mathrm {i}$ mit $\mathrm {i} ^{2}=-1$, also eine Quadratwurzel aus $-1$. Damit gibt es auch eine Funktion $f\colon \mathbb {R} _{0}^{-}\rightarrow \mathbb {C}$ mit $f(x)=\mathrm {i} {\sqrt {-x}}$ mit dem reellen $(-x).$ (Manche Autoren definieren auch $\mathbb {C} :=\mathbb {R} ({\sqrt[{4}]{1}})$ und meinen damit naheliegenderweise, dass auf jeden Fall eine primitive vierte Einheitswurzel zu nehmen ist. Man kann auch eine achte Wurzel aus 1 definieren. Sie existiert, und eine primitive davon ist gleichzeitig eine Quadratwurzel aus $\mathrm {i}$, nämlich $(1+\mathrm {i} ){\sqrt {2}}/2$ ).
(3) Hierunter steht: „Damit "Rechnen" darf man nicht.“ Das ist nochmals richtig falsch! Natürlich darf man damit rechnen. Das Rechnen mit den komplexen Zahlen ist von allergrößter Bedeutung. Nur darf man nicht meinen, die Umkehrung des Quadrierens sei eine Funktion, wie es leider in den Beispielen hier (teilweise) geschehen ist. --Nomen4Omen (Diskussion) 15:29, 3. Jul. 2017 (CEST)

Man kann "formal" ein Symbol definieren als "Loesung" der Gleichung $x^{2}=-1$. Wie man das nennt, ist voellig egal, gebraeuchlich ist $i$, $j$ und manch einer mag auch mal geschrieben haben ${\sqrt {-1}}$. Aber das ist lediglich ein Symbol, damit "Rechnen" darf man nicht (warum, dafuer stehen jetzt etliche Beispiele hier). Das ist keine Erweiterung der Wurzelfunktion auf negative Zahlen. Ein analoges Beispiel ist in der Bruchrechung das Erweitern mit Zahlen ungleich 0. Wenn ich das mit 0 mache, dann kann ich alles moegliche beweisen; es ist einfach nicht zulaessig (und wenn du jetzt einen Physiker fragst, der sagt schulterzuckend "Renormierung"). Also wenn man irgendetwas in den Artikel schreiben will, dann muss es dieser Unterschied zwischen Symbol und "Erweiterung der Wurzelfunktion" sein; aber das bereitet mir derzeit deutliche Bauchschmerzen. -- Iwesb (Diskussion) 11:37, 3. Jul. 2017 (CEST)

Liebe Leute, die Wikipedia ist kein Mathebuch sondern soll nur darstellen, was schon dargestellt wurde, und dazu gehört nun mal ${\rm {i={\sqrt {-1}}}}$. Ich meine das Klaus Fritzsche: Tutorium Mathematik für Einsteiger. Springer-Verlag, 2016, ISBN 978-3-662-48910-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 2. Juli 2017]).  das ganz gut dargestellt hat, oder? Ich hab meinen Code oben noch mal präzisiert. --Alva2004 (Diskussion) 16:33, 3. Jul. 2017 (CEST)

OK, um's (hoffentlich) ganz klar zu machen: ${\stackrel {b}{=}}$ ist richtig, also ${\sqrt {1}}\;{\stackrel {b}{=}}\;1$, weil die Wurzel ${\sqrt {}}$ aus einer nicht-negativen Zahl als nicht-negativ definiert ist. Ist die Zahl komplex, aber nicht nicht-negativ, dann lässt sich der Hauptwert definieren. Dieser entspricht im Fall eines negativen Radikanden der oben genannten Funktion $f\colon \mathbb {R} _{0}^{-}\rightarrow \mathbb {C} ;f(x)=\mathrm {i} {\sqrt {-x}}$ und hilft (noch) bei der Gleichung ${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=-1$. Die Funktionalgleichung $x^{1/n}y^{1/n}=(xy)^{1/n}$ mit $2\leq n\in \mathbb {N}$ rettet aber auch der Hauptwert nicht für alle $x,y\in \mathbb {C} ,n\geq 2$, da das Potenzieren NICHT umkehrbar ist (das Quadrieren und Potenzieren mit geradem Exponenten schon nicht im Reellen und höhere ungerade Potenzen auch nicht im Komplexen). Beispiel hierzu: $\arg x=\arg y=2\pi /3$, dann ist$\arg({\sqrt {x}})=\arg({\sqrt {y}})=\pi /3$, aber $\arg(xy)=-2\pi /3$, woraus $\arg({\sqrt {xy}})=-\pi /3\neq 2\pi /3=\arg({\sqrt {x}})+\arg({\sqrt {y}})$.
Ich habe mir Klaus Fritzsche: Tutorium Mathematik für Einsteiger. Springer-Verlag, 2016, ISBN 978-3-662-48910-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 3. Juli 2017]).  angeschaut. Was mir nicht gefällt, ist, dass er (im fraglichen Abschnitt) nur sehr zurückhaltende (und missverständlich hingeschriebene) Rückgriffe auf „Definitionen“ bringt und vor allem den Hauptwert nicht erwähnt, der viel größere Zahlbereiche sowohl bei der Basis wie beim Exponenten zulässt, derart dass seine Behauptung »Deshalb kann man keine der beiden Wurzeln als die Wurzel auszeichnen.« falsch ist. Man kann tatsächlich mehr definieren und muss dafür die universelle Gültigkeit Gleichung $x^{1/n}y^{1/n}=(xy)^{1/n}$ für $x,y\in \mathbb {C}$ einschränken. Eklatant falsch ist seine Aussage: „Stimmt die Regel auch im Komplexen? Tatsächlich ist das so.“ (Besser finde ich, was schon im dewiki unter Hauptwert steht.) --Nomen4Omen (Diskussion) 20:21, 3. Jul. 2017 (CEST)

Habe einen Abschnitt Quadratwurzel#Potenzgesetz hinzugefügt, der die Überflüssigkeit der Diskussion hier klar stellt. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:44, 4. Jul. 2017 (CEST)

Die Diskussion hier ist mit nichten überflüssig und durch den neuen, mich zumindest verwirrenden Abschnitt, auch nicht aus dem Weg geräumt. Die Identität (a b)^r = a^r b^r pauschal für ungültig zu erklären, ist enzyklopädisch ein Fehler.

Einschub:@Benutzer:Alva2004: Bitte, zitiere die Stelle genau, wo »(a b)^r = a^r b^r pauschal für ungültig erklärt« wird.

Das wird so gemacht aber auch anders. In Potenzgesetze.pdf wird am Schuss geschrieben:

„Wir haben nun gelernt, dass man beim Potenzgesetz und auch beim Logarithmusgesetz im Komplexen vorsichtig sein muss, wenn (Hervorhebung von mir) man sich bei der Notation auf den Hauptzweig einschränkt“

Einschub:@Benutzer:Alva2004: Wenn man Gleichungen haben will (Gleichungen von komplexen Zahlen. Zu Gleichungen von Mengen siehe den 4. Einschub), dann muss man sich auf einen Wert einschränken. Wenn man Vieldeutigkeit haben möchte, dann wird's schwierig. So schwierig, dass man in Dein und Fritzsches Problem hineinläuft.

Fritzsche macht diese Einschränkung auf den Hauptzweig nicht. Das ist nicht falsch, sondern eine andere Herangehensweise, die in einer Enzyklopädie erwähnt gehört.

Einschub:@Benutzer:Alva2004: Natürlich ist es nicht falsch, den Hauptwert zu verschweigen. Aber wie man das Verschweigen in eine Enzyklopädie reinbringen soll, ist mir unklar.

In Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 4 (Moo-Sch). Springer Spektrum Verlag, Mannheim 2017, ISBN 978-3-662-53499-1, doi:10.1007/978-3-662-53500-4.  steht auf Seite 240, dass man die Potenzfunktion y = f( x ) = x^1/p auch als mengentheoretische Funktion definieren kann.

Einschub:@Benutzer:Alva2004: Eine „mengentheoretische Funktion“ oder besser eine „mengentheoretische Gleichung“, könnte sein:

$\{(xy)^{r}|x,y\in \mathbb {C} ;x^{r}=a^{r};y^{r}=b^{r}\}=\{x^{r}y^{r}|x,y\in \mathbb {C} ;x^{r}=a^{r};y^{r}=b^{r}\}$.

Sie sagt im Grunde dasselbe wie die Formulierung:

»Für ... beliebige $a,b\in \mathbb {C}$ kann man in ${\text{(P)}}$ die „Vorzeichen“ von zwei der drei Wurzeln frei wählen, wonach genau eine Möglichkeit für das „Vorzeichen“ der letzten dritten übrig bleibt.«

die sich im Abschnitt Quadratwurzel#Potenzgesetz findet.

Ich vermute mal, dass dann die Gleichung (a b)^r = a^r b^r so zu lesen ist, dass es ein z gibt, für das sowohl z = (a b)^r als auch z = a^r b^r gilt.

Einschub:@Benutzer:Alva2004: Was dieses z retten soll, erschließt sich mir nicht.

Leider finde ich im Internet dazu keine Quellen. Ich werde aber mal an die Uni gehen und suchen, was Zeit braucht... --Alva2004 (Diskussion) 10:37, 5. Jul. 2017 (CEST)

Einschub:@Benutzer:Alva2004: 5 Einschübe von --Nomen4Omen (Diskussion) 14:38, 5. Jul. 2017 (CEST)

Nochmal: Die Wikipedia ist kein Mathebuch sondern eine Enzyklopädie, die dargestelltes darstellt.

• Ich sehe gerade, dass das Potenzgesetz (a b)^r = a^r b^r in Komplexe Zahl fehlt. Das geht in einer Enzyklopädie gar nicht und sollte imho mit Erläuterung, insbes. obiger Mengengleichung, ergänzt werden.
• In Fritzsche ist das Problem, dass man eine mehrdeutige Funktion nicht mit eindeutigen Werten gleichsetzen darf. Bei "ihnen" ist das Problem, dass das Potenzgesetz nicht mehr gilt. Beides wird gemacht und sollte imho dargestellt werden.--Alva2004 (Diskussion) 15:31, 5. Jul. 2017 (CEST)

Mir scheint, dass Du mit aller Gewalt den Begriff der „mehrdeutigen Funktion“ in Wikipedia unterbringen willst. Dazu steht schon etwas im Artikel Funktion (Mathematik)#Begriffsgeschichte im Abschnitt Begriffsgeschichte. Ich begrüße es total, dass der Artikel sich an die Mathematik hält und bei seinem Abschnitt „Definitionen“ nicht weiter darauf eingeht. Denn man kann bei einem rechtseindeutigen (und damit herkömmlichen) Funktionsbegriff bleiben und zumindest die vorliegenden Mehrdeutigkeiten durch Lösungsmengen ausdrücken (wie von mir oben schon angedeutet). Und das ungleich viel schärfer und präziser als durch einen weichgeklopften Funktionsbegriff.

Total unerträglich wäre, wenn Du diese Begriffsbildung unter Berufung auf Fritzsche einbringen würdest. Fritzsche »foppt« Anfänger und sich selbst, er erfüllt NICHT die Qualitätsanforderungen reputabler Belege oder »Any exceptional claim requires multiple high-quality sources.«.

Was Du mit Deinem Satz »In Fritzsche ist das Problem, dass man eine mehrdeutige Funktion nicht mit eindeutigen Werten gleichsetzen darf.« ausdrücken möchtest, erschließt sich mir nicht. Natürlich »darf man eine mehrdeutige Funktion nicht mit eindeutigen Werten gleichsetzen«! Macht Fritzsche das trotzdem? Hat er hier ein Problem? Oder willst Du nur sagen, dass er das als Problem angesprochen hat? (Was soll ich damit anfangen? Hast Du mir nicht zugetraut, dass ich weiß, dass man Eindeutigkeit mit Mehrdeutigkeit nicht verwechseln darf?)

Gehst Du auf meine Fragen, die ich an Deine Texte habe, überhaupt ein? Bisher nicht! Kann man so diskutieren? Du musst sehr gut antworten, wenn ich nochmal auf Deinen Text eingehen soll. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:58, 5. Jul. 2017 (CEST)

@Nomen4Omen: Eine Bitte für (auch späteren) Lesbarkeit der Diskussion durch andere. Bitte keine Einschübe, die die ursprünglichen Beitrage zerreißen und schwer leserlich machen. Wenn man sich auf bestimmte Punkte oder Sätze beziehen möchte, so kann man diese ja im eigenen Posting noch einmal im eigene Posting zitieren/referenzieren bevor man sie sie kommentiert. Die Postings einzelner Personen sollten möglichst kompakt und unverändert bestehen bleiben, denn sonst wird es schwierig die Gesamtaussagen von Postings zu erfassen bzw. diese am Stück zu lesen und die Unterschriften den zugehörigen Texten zuzuordnen.--Kmhkmh (Diskussion) 06:29, 6. Jul. 2017 (CEST)

@Kmhkmh: Danke für den Tipp. Ich habe mir zwar die allergrößte Mühe gegeben, den ursprünglichen Duktus des Vorredners erkennbar zu halten und die Leserlichkeit nur ganz unwesentlich zu stören. Aber der Weg, den Du vorschlägst, muss sicherlich auch bei sehr großer Anzahl von Bezügen (Zitaten/Referenzen) einfach mal ausprobiert werden. --Nomen4Omen (Diskussion) 08:08, 6. Jul. 2017 (CEST)

Danke! Einzelne kleine Einschübe kann man noch einigermaßen überlesen, wenn man das ursprüngliche Posting lesen will, aber bei längeren wirkt es schon sehr störend. Spätestens aber wenn jetzt solche Einschübe dann wieder lokal beantwortet werden bzw. sich da Unterthreads ausbilden, ist dann das ursprüngliche Posting völlig zerfleddert und unlesbar. Das ist mit den Zitaten/Referenz ist zwar etwas lästiger erhält bzw. verbessert aber die langfristige Lesbarkeit einer fortschreitenden Diskussion.--Kmhkmh (Diskussion) 08:41, 6. Jul. 2017 (CEST)

Wozu Komplexe Zahlen?

Weshalb wird nirgendwo erklärt, wozu man Komplexe Zahlen gebrauchen kann? Überall wird nur erklärt, wie man das rechnet. Das ist aber keine Motivation. Also hier meine Hypothese: 1. Es geht bei Komplexen Zahlen immer um die Beschreibung von Schwingungen. 2. Schwingungen bewegen sich immer zwischen zwei Dimensionen hin und her. 3. Wenn man die zweite Dimension nicht wirklich beschreiben will, sie für Berechnungen aber dennoch benötigt wird, für man "i" ein und verbietet mit der Wurzel aus einer negativen Zahl den direkten Zugriff darauf - weil es diese Zahl einfach nicht gibt. Nur das Quadrat kann berechnet werden, damit die Summe der Energien beider Dimensionen gleich Null gesetzt werden kann. Ein schlechter Trick, aber alle halten sich daran - deshalb funktioniert es. Richtig? Oder hat jemand eine bessere Erklärung? 109.43.3.234 22:14, 29. Jul. 2017 (CEST)

Es steht alles im Abschnit #Geschichte. Kurz: Komplexe Zahlen waren anfangs nur eine "mathematische Spielerei", oder ein Hilfsmittel zum Lösen bestimmter Gleichungen. Dass sie auch tatsächliche Anwendungen z.B. in der Physik haben, kam erst sehr viel später. --RokerHRO (Diskussion) 10:58, 30. Jul. 2017 (CEST)

Betrag

Müsste es nicht $|239+\mathrm {i} |={\sqrt {239^{2}-1^{2}}}$ heißen? --DaB. (Diskussion) 00:25, 8. Apr. 2018 (CEST)

Nein, denn der Imaginärteil von $239+i=239+1\cdot i$ ist nicht $i$, sondern 1. Franz 00:36, 8. Apr. 2018 (CEST)

Visualisierung

Die Farbdarstellung der komplexen Zahlenebene wird häufig zur Veran­schaulichung komplexer Funktionen (hier: der Identität) angewendet. Die Farbe kodiert das Argument $\arg$ und die Helligkeit gibt den Betrag $|\cdot |$ an.

Der Text ist falsch - oder das Bild. Gelb ist ja viel heller als Blau, in der Mitte bildet sich ein Stern usw. Es liegt halt daran, dass es auf RGB-Werten beruht und RGB perzeptuell höchst unlinear ist. Ob das so wirklich etwas "veranschaulicht" TiHa (Diskussion) 06:17, 4. Aug. 2018 (CEST)

Verweis im Text "Die Unmöglichkeit der oben angegebenen Lösung ist bei der Behandlung der quadratischen Gleichung schon sehr früh bemerkt und hervorgehoben worden"

Auf welche Lösung "oben" bezieht sich dieser Verweis? --Zulu55 (Diskussion) 12:54, 20. Nov. 2018 (CET)

Schon zum Zeitpunkt des Einfügens dieser Passage in den Artikel vor über 14 Jahren durch den Benutzer Finanzer war nicht (leicht?) zu erkennen, worauf sich der Verweis bezieht. Du kannst daher bedenkenlos versuchen, diese Stelle verbessernd abzuändern. Vielleicht erfahren wir aber vorher noch vom Autor, was genau er damals mit „[der] Unmöglichkeit der oben angegebenen Lösung“ gemeint hat. Die aus meiner Sicht einzig sinnvolle Deutung wäre so etwas wie „die Unmöglichkeit der [formalen] Lösung ${\sqrt {-1}}$ [der Gleichung $x^{2}+1=0$]“. Rilfak (Diskussion) 14:30, 20. Nov. 2018 (CET)

@Rilfak: 😂 Danke für's Raussuchen, bin gespannt...

Bitte einfach so ändern, löschen, verschieben, tut bitte einfach das was auch immer ihr für richtig haltet. Nach 14 Jahren weiß ich schlicht nicht mehr, was und warum ich da irgendwas eingefügt habe, zumal das auch noch einer meiner ersten Edits gewesen sein dürfte. Gruß Finanzer (Diskussion) 21:07, 20. Nov. 2018 (CET)

Das dachte ich mir schon angesichts der doch ziemlich mathefremden Themen, die ein flüchtiger Blick auf deine aktuelle Beitragsliste zeigt. Fürs Erste habe ich mal notdürftig eine eigentlich unserer Richtlinie Wikipedia:Keine Theoriefindung widersprechende (unbelegte) Ersatzversion etabliert. Wem al-Chwarizmis Algebra zugänglich ist, möge die fragliche Stelle verbessern und/oder korrigieren. Rilfak (Diskussion) 00:21, 21. Nov. 2018 (CET)

Danke an euch beide. --Zulu55 (Diskussion) 10:24, 21. Nov. 2018 (CET)

Minus mal minus ergibt plus ...

... lernte ich noch in der Schule. Kann also in die Tonne? --77.20.129.230 16:32, 8. Mär. 2021 (CET)

Wieso das denn ?? ??

Gilt nach wie vor !!

Für die Rechenzeichen "−" und "+" allemal.

Nur gibt es jetzt außer positiven und negativen Zahlen auch noch andere, die sich nicht so simpel einordnen lassen.

So isses halt: alles wird normalerweise immer n′bisschen umfangreicher. Man muss mehr rumkucken, umfassendere Regeln lernen. Ist aber machbar und tut durchaus gut. –Nomen4Omen (Diskussion) 17:51, 8. Mär. 2021 (CET)

Na gemäß Artikel gilt es gerade nicht mehr, das sei ja gerade der Witz bei "komplexen Zahlen":

"Man braucht also eine neue Zahl, sie wird $\mathrm {i}$ genannt, mit der Eigenschaft $\mathrm {i} ^{2}=-1.$"

Wird eine positive Zahl quadriert (plus mal plus), ist das Ergebnis positiv. Wird eine negative Zahl quadriert (minus mal minus), wäre das Ergebnis nach der Schulregel auch positiv. Ein negatives Ergebnis einer mit sich selbst mutiplizierten Zahl ist also nach der Schulregel nicht möglich. Jedenfalls für diese "komplexen Zahlen" wäre die Regel damit in der Tonne. Mein Vorstellungsvermögen, was für einen (weder positiven noch negativen, sondern noch andersartigen?) Wert so eine Zahl haben soll, ist damit hoffnungslos gesprengt, und da bin ich sicher nicht der einzige. Der Artikel sollte das also irgendwie adressieren.--77.20.129.230 23:23, 8. Mär. 2021 (CET)

Multiplikation mit $\mathrm {i}$ entspricht einer Drehung um 90 Grad. $\mathrm {i} ^{2}$ ist dementsprechend eine Drehung um 180 Grad oder eine Spiegelung am Ursprung. Dann ist es gar nicht so abwegig, dass $1\cdot \mathrm {i} ^{2}=-1$. Gruß Dexxor (Diskussion) 08:15, 9. Mär. 2021 (CET)

In der Schule lernt man das Rechnen mit reellen Zahlen. Eine Eigenschaft von diesen ist, dass es eine „klare Anordnung“ gibt, anschaulich auf einem Zahlenstrahl: links der Null sind die negativen Zahlen und rechts der Null die positiven Zahlen. Sowas hängt dann mit den bekannten Gesetzen zusammen, wie etwa „Minus mal Minus ist Plus“. Da die reellen Zahlen ein Teil der komplexen Zahlen sind, gilt dies auch weiterhin, wie Nomen4Omen schon bemerkte. Aber für nicht-reelle Zahlen wie $\mathrm {i}$ oder $1-2\mathrm {i}$ gibt es kein eindeutiges „natürliches Vorzeichen“. Schon die Existenz einer Zahl, die im Quadrat -1 ist, zerstört die Anordnung der reellen Zahlen. Daher kann man hier nicht die gleiche Interpretation wie im Reellen anlegen. Vielmehr muss bei der Multiplikation an Drehungen gedacht werden, wie Dexxor korrekt bemerkt hat. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 08:24, 9. Mär. 2021 (CET)

Was wir Dir sagen wollen: Etwas, was nicht positiv ist, ist deshalb nicht negativ. (Selbst im Reellen gilt das nicht uneingeschränkt, da gibt es nämlich die 0, die weder positiv noch negativ ist. Und im Komplexen gibt es noch viel mehr weder Positives noch Negatives.) Auch mit "Gut" und "Böse" ist das so: etwas, was nicht gut ist, ist deshalb nicht unbedingt böse. –Nomen4Omen (Diskussion) 11:45, 9. Mär. 2021 (CET)

"Gedrehte Zahlenwerte" kann ich mir leider auch nicht vorstellen.

Im Artikel wird die irritierend ins Auge springende Abweichung von dieser zentralen Rechenregel für reele Zahlen noch immer nicht adressiert. --2A02:8108:8380:43E4:0:0:0:D5E2 14:59, 16. Dez. 2021 (CET)

Diagramm zu erweitern

erweitern um $\mathbb {C}$

• 
  Orginal
• 
  so in der Art: nur viel schöner
• 
  neue erweiterte Datei erledigtErledigt

und im Artikel aufzunehmen? --Qwertzu111111 (Diskussion) 19:59, 26. Mai 2021 (CEST)

Ja, auf jeden Fall. Schau doch mal, ob es hier schon etwas Passendes gibt. Oder frag den Autor Benutzer:Mortalmoth bzw. den letzten Bearbeiter der Datei Benutzer:Mrmw, ob er eine neue Version der Datei erstellen kann, die die komplexen Zahlen mit enthält. --Digamma (Diskussion) 21:43, 26. Mai 2021 (CEST)

@Qwertzu111111, Digamma: erledigtErledigt --Mrmw (Diskussion) 10:50, 27. Mai 2021 (CEST)

@Mrmw:. Erstmal vielen Dank. Aber die Idee war wohl nicht, die Datei abzuündern, sondern eine neue zu schaffen, denn die alte, ohne C, wird durchaus noch gebraucht. Gruß, --Digamma (Diskussion) 11:02, 27. Mai 2021 (CEST)

@Qwertzu111111, Digamma: erledigtErledigt --Mrmw (Diskussion) 11:40, 27. Mai 2021 (CEST)

Nochmals Danke. Ich habe mal noch den Beschreibungstext und das Erstellungsdatum (auf heute) korrigiert. --Digamma (Diskussion) 12:13, 27. Mai 2021 (CEST)

vielen lieben Dank für die Arbeit und die schnelle Erledigung. --Qwertzu111111 (Diskussion) 19:02, 27. Mai 2021 (CEST)

Separierung "algebraische" vs. "Polar"-Form

Die lieben Kollegen "91.62.172.88" und "2003:c3:672d:cf00:f185:2f72:1747:829c" haben sich so große Mühe gemacht, das #Rechnen in der algebraischen Form vom #Rechnen in der Polarform zu trennen. Dabei ist diese Trennung in der Anwendung nachrangig – man nimmt halt das, mit dem man zum Ziel kommt. M.a.W.: Die Problemstellung (Addieren, Potenzieren, etc.) ist das Entscheidende, wonach sich die Form richtet.

Ich finde es nicht so gut, dass insbesondere dem Nicht-Mathematiker hier eine Wichtigkeit vorgespielt wird, die es in der Realität überhaupt nicht gibt. Besten Gruß, --Nomen4Omen (Diskussion) 18:04, 2. Mär. 2022 (CET)

Einzelnachweise

Die Verweise auf proofwiki.org sind problematisch, da diese Plattform mit Werbung verseucht ist. --Sigma^2 (Diskussion) 10:27, 19. Aug. 2022 (CEST)

erledigtErledigt --Dexxor (Diskussion) 08:52, 20. Aug. 2022 (CEST)

"a + bi" oder "a + ib"

Ich kenne eher die erste Form. Im Artikel taucht aber auch die zweite Form auf. Ich bin da leidenschaftslos, und weiß auch nicht, welche Schreibweise üblicher ist, aber hätte es im Artikel zumindest einheitlich. Was meint ihr? --RokerHRO (Diskussion) 12:07, 15. Dez. 2022 (CET)

Es wird im Artikel mehrfach dargestellt, dass das das selbe ist. Warum also nicht beides verwenden? --Der-Wir-Ing ("DWI") (Diskussion) 13:13, 15. Dez. 2022 (CET)

Zum jetzt neuen Abschnitt Potenzieren mit Basis i

Abgesehen davon, dass der Abschnitt keinerlei Belege angibt, also gemäß WP:Belege entfernt werden muss, ist eine Einheitswurzel, wie i sie eine darstellt, ein derartiger Sonderfall einer Basis, dass sie zusammen mit anderen Einheitswurzeln, vielleicht unter der Überschrift "völlig komplexe Potenzen von Einheitswurzeln", behandelt werden müsste.
Als Basis für allgemeine Zwecke ist sie ziemlich ungeeignet. Es kann nach ihr auch kein Logarithmus gebildet werden.
All das wird nicht behandelt. Also weg damit! Was meint Ihr? --Nomen4Omen (Diskussion) 08:59, 16. Mai 2023 (CEST)

Möglicherweise nach Imaginäre Zahl #Potenzen verschieben. Dieser Artikel hat kaum noch Platz für solche Spielereien. --Dexxor (Diskussion) 17:17, 16. Mai 2023 (CEST)

Jetzt wurde auch ein Abschnitt Logarithmus zur Basis i angelegt: [5]. Ich halte diesen Abschnitt für überflüssig; es gibt keinen Grund, zu jeder möglichen Basis von Logarithmen einen eigenen Abschnitt anzulegen.—Ilse Ongkim (Diskussion) 19:25, 16. Mai 2023 (CEST)

Du hast Recht: Es ist richtig schrecklich !!!

Noch viel viel schlimmer: Die vierte Einheitswurzel $\;\mathrm {i} \;$ ist keine mögliche Basis für Logarithmen !!!

Denn es ist $\log _{2}(\mathrm {i} )={\frac {\log _{2}1}{4}}=0$. Also gilt die so wichtige Beziehung $\log _{b}{a}\cdot \log _{a}{b}=1$ nicht für $|a|=1\vee |b|=1,$ weil nämlich sonst $\log _{b}{1}=0$ oder $\log _{a}{1}=0$ ist.

Schon extrem seltsam, wie hier mit Logarithmen zur Basis 1 umgegangen, m.a.W. durch Null dividiert wird. −Nomen4Omen (Diskussion) 19:55, 16. Mai 2023 (CEST)

Der Artikel befindet sich derzeit auf keinem akzeptablen Niveau, und bewegt sich auch sehr weit entfernt von der Literatur. Habe einen entsprechenden Baustein ergänzt. Werde die Tage etwas aufräumen und Belege einfügen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:55, 16. Mai 2023 (CEST)

Ich bin mit der groben Überarbeitung jetzt soweit fertig. Der Artikel scheint in den letzten Monaten durch diverse (IP-)Nutzer massiv aufgebläht worden zu sein. Auch mitunter falschen Aussagen. Was da teils „gesichtet“ wurde, hat dann doch mildes Kopfschütteln verursacht. Sei's drum. Jetzt ist der Punkt, an dem weitere Ergänzungen vorgenommen werden können. Wenn ich heute noch die Zeit finde, füge ich noch ein bisschen Literatur hinzu. Beste Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:47, 18. Mai 2023 (CEST)

Das liegt vermutlich daran, dass die offiziellen Kriterien für das Sichten nur verlangen zu überprüfen, das das kein (offensichtlicher) Vandalismus vorliegt und eine inhaltliche Überprüfung nicht verlangt wird. Falls der Artikel zuviel wiederholt zuviel Unerwünschtes durch IPs ansammelt, kann man Überlegen für IPs sperren zu lassen.--Kmhkmh (Diskussion) 12:06, 18. Mai 2023 (CEST)

Das habe ich auch spätestens nach diesem Vorfall ernsthaft in Erwägung gezogen. Der Nutzer ist inzwischen dauerhaft gesperrt. -- Googolplexian (Diskussion) 12:13, 18. Mai 2023 (CEST)

┌────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Frage an Googolplexian und andere: Habt Ihr auch Literatur zu

1. $\mathrm {i}$ als Basis von Potenzierungen mit komplexen Exponenten
2. $\mathrm {i}$ als Exponent einer Potenzierung
3. $\mathrm {i}$ als Basis von Logarithmen

Wenn so, dann könntet Ihr etwas davon in den (oder einen anderen) Artikel einbringen. Ich frage das deshalb, weil die 3 Themen dem oder den IP-Nutzer(n) vom 15./16. Mai so außerordentlich wichtig und ohne Beleg eingebracht worden waren. --Nomen4Omen (Diskussion) 08:50, 19. Mai 2023 (CEST)

Man kann hier ggf. das ein oder andere Beispiel geben, also in den Abschnitt zu Potenzen und Logarithmen. Das könnte Lesern sicherlich helfen. Es handelt sich aber lediglich um einfache Anwendungen der Regeln $z^{w}:=e^{w\mathrm {Log} (z)}$ und $\log _{w}(z):={\frac {\mathrm {Log} (z)}{\mathrm {Log} (w)}}$. Ich kümmere mich drum. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:05, 19. Mai 2023 (CEST)

Der Fall $i^{i}$ ist beliebte Mathe-Trivia, insofern besteht da ein gewisser Nachschlagsbedarf und explizite Angabe ist damit durchaus sinnvoll, auch wenn es nur eine direkte Anwendung der allgemeinen Formel ist. Allerdings wäre ein Hinweis auf Mehrdeutigkeit vielleicht noch sinvoll je nach Kontext (bzw. ohne weiteren Kontext) kann man sich ja nicht einfach auf den Hauptwert beschränken.--Kmhkmh (Diskussion) 11:05, 19. Mai 2023 (CEST)

Ja. Das Beispiel hatte ich auch schon ergänzt. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:15, 19. Mai 2023 (CEST)

Hallo Nomen4Omen, ich habe Schwierigkeiten mit der Definition $\ln \,z:=\mathrm {Log} (z)+2\pi ik$ mit $k\in \mathbb {Z}$, da keine Abhängigkeit von $k$ auf der linken Seite erkennbar gemacht ist. Ein solcher Typ „Funktion“ wird erst auf einer vielblättrigen Riemannschen Fläche sinnvoll, da dort zusätzliche Parameter zur Verfügung stehen. Außerdem ist das Zeichen $\ln$ damit überdefiniert, da es für $k\not =0$ unter Einschränkung auf $\mathbb {R} ^{+}$ nicht mehr mit dem natürlichen Logarithmus übereinstimmt. So kann das mMn nicht stehen bleiben. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 14:19, 19. Mai 2023 (CEST)

Es ist zwar nicht als hochgradige Definition gemeint und steht so mMn auch nicht da, aber Schwierigkeiten sollst Du natürlich trotzdem nicht haben. Schreib's halt so, dass Du damit zurechtkommst. --Nomen4Omen (Diskussion) 14:27, 19. Mai 2023 (CEST)

Also mich stören die letzten Korrekturen auch etwas, zum einen sollte man sich notationstechnisch für den Artikel zwischen $ln,Ln$ oder $log,Log$ entscheiden und die Notation nicht mischen und zum anderen scheint mir im Kontext der komplexen Zahlen bzw Funktionentheorie $log,Log$ die übliche Notation zu sein (jedenfalls meiner Erfahrung nach). Auch ist es durchaus üblich die von Googolplexian122 erwähnte Abhängigkeit auf der linken Seite notationstechnisch explizit anzudeuten.--Kmhkmh (Diskussion) 20:26, 20. Mai 2023 (CEST)

Nun ja, bisschen schade finde ich es schon, dass die "Nebenwerte" jetzt total unterdrückt sind. --Nomen4Omen (Diskussion) 20:37, 20. Mai 2023 (CEST)

Nein, die Nebenwerte sollten schon rein, ich hatte mich da beim ersten Edit im Versionsdschungel verirrt.--Kmhkmh (Diskussion) 01:21, 21. Mai 2023 (CEST)

In der Formel ${\underset {(0,k)}{\log }}\,z$ verstehe ich leidlich das $k$, aber die 0 davor überhaupt nicht. Ohne eine(n Link zu einer) Erklärung ist das Mur0ks. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:56, 21. Mai 2023 (CEST)

Nur der Vollständigkeit halber, dass ist eine Notation die z.B. in Endl/Luh benutzt wird um die Mehrdeutigkeit auszudrücken. Da sie die Umkehrfunktion dort etwas anders oder allgemeiner definieren, steht da noch ein zusätzlicher Parameter, der in unserem Kontext 0 ist.--Kmhkmh (Diskussion) 18:26, 21. Mai 2023 (CEST)

Danke für die Erläuterung. Aber, wenn sonst keine Bezüge zu Endl/Luh existieren, ist die jetzige Erklärung mit Lösungsmengen vorzuziehen. --Nomen4Omen (Diskussion) 15:51, 22. Mai 2023 (CEST)

Allgemein ist die Schreibweise $\mathrm {i} ^{\mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{-{\tfrac {4k+1}{2}}\pi },k\in \mathbb {Z}$ ohne nähere Erklärung „Murks“. Auf der linken Seite steht eine komplexe Zahl, auf der rechten Seite eine unbestimmte Größe, da von $k$ abhängig. Man beschränkt sich bei der Definition von $z^{\omega }$ immer erst auf einen Logarithmuszweig. Das muss dazu genannt werden, um die Problematik der Mehrdeutigkeit zu verstehen. Die möglichen Werte können aber in einer Menge angegeben werden. Habe das jetzt mal ergänzt. -- Googolplexian (Diskussion) 17:06, 21. Mai 2023 (CEST)

Naja das Problem ist doch gerade das ohne Kontext $\mathrm {i} ^{\mathrm {i} }$ eben nicht einfach als eine komplexe Zahl zu verstehenist, so habe ich das jedenfalls bisher immer verstanden. Wobei die letzte Überarbeitung bzw. aktuelle Version natürlich besser ist.--Kmhkmh (Diskussion) 18:21, 21. Mai 2023 (CEST)