Diskussion:Konvergenzradius

"Beweis"

Toll wäre es, wenn man auch den Beweis dazu hätte...

Würde Dir ein kargen Verweis auf die geometrische Reihe genügen?--Gunther 14:57, 12. Jan 2006 (CET)

naja, ich fänds schon cool, wenn es ein wenig ausführlicher wäre. Denn wenn, du nur einen kleinen Verweis auf die geometrische

Reihe machst, weiß ja keiner was damit anzufangen, oder?

Ich weiß nicht, ist die folgende Heuristik nicht irgendwie naheliegend?

• $r\approx 1/{\sqrt[{n}]{a_{n}}}$
• $a_{n}(x-x_{0})^{n}\approx {\Big (}{\frac {x-x_{0}}{r}}{\Big )}^{n}=q^{n}$
• $\sum q^{n}={\begin{cases}\mathrm {konvergent} &|q|<1\\\mathrm {meistens\ beschr{\ddot {a}}nkt} &|q|=1\\\mathrm {unbeschr{\ddot {a}}nkt} &|q|>1\end{cases}}$

Natürlich ist das kein Beweis, aber man kann einen draus machen. Allerdings kann man das so nicht in den Artikel schreiben. Und ein richtiger ε-δ-Beweis ist halt nervig und unübersichtlich, das wäre eher etwas für das b:Beweisarchiv.--Gunther 15:19, 12. Jan 2006 (CET)

Ja, da hast du Recht. Das sollte wohl so reichen.

Der Beweis folgt direkt aus dem Wurzelkriterium. Demnach ist die Reihe konvergent, wenn

$\limsup {\sqrt[{n}]{|a_{n}\,(x-x_{0})^{n}|}}<1$, das heißt wenn

$|x-x_{0}|<{\frac {1}{\limsup {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}$.

Divergent entsprechend für $|x-x_{0}|>r$. --Drizzd 18:55, 14. Feb 2006 (CET)

Das ist zwar formal richtig, erklärt aber nichts. Man kann übrigens genausogut das Wurzelkriterium als den Spezialfall $x=x_{0}+1$ der fraglichen Aussage betrachten.--Gunther 19:06, 14. Feb 2006 (CET)

Es ist der Beweis, dass obige Formel genau den Konvergenzradius (nach dessen Definition) ergibt. Der Beweis des Wurzelkriteriums ist Voraussetzung, aber nicht umgekehrt. Dieses wird über das Majorantenkriterium und Eigenschaften der geometrischen Reihe bewiesen. --Drizzd 20:51, 14. Feb 2006 (CET)

Man kann genausogut die Formel für den Konvergenzradius direkt aus der geometrischen Reihe beweisen und dann als Spezialfall das Wurzelkriterium daraus herleiten. Spontan würde ich auch das Wurzelkriterium für weniger wichtig halten.--Gunther 21:24, 14. Feb 2006 (CET)

Bezeichner für komplexe Zahlen

In der Funktionentheorie werden komplexe Zahlen üblicherweise mit z bezeichnet, während x und y oft für reelle Zahlen stehen. Wäre es nicht angebracht, x überall durch z zu ersetzen?

Fehler im Artikel?

Ich bin mir nicht sicher genug die Änderungen selbst durchzuführen, deshalb frage ich erstmal hier nach: Fehlt unter dem $\limsup$ nicht ein $n\to \infty$? Und bei den drei Beispielen bin ich mehr ziemlich sicher, dass es statt $|x|=1$ eher $|x|<1$ heißen müsste. 82.135.79.246 17:38, 30. Jul 2006 (CEST)

Das $n\to \infty$ finde ich entbehrlich; wenn Du es vermisst, dann füg' es ein. Und zu $|x|=1$: das ist genau so gemeint, es geht gerade um das Verhalten auf dem Rand des Konvergenzbereiches.--Gunther 17:43, 30. Jul 2006 (CEST)

Danke für den Hinweis. Und was das $|x|=1$ betrifft: Nochmaliges Lesen half... 82.135.79.246 18:24, 30. Jul 2006 (CEST)

Die Aussage für das letzte Beispiel machte keinen sinn. habs rausgenommen. wenn jemand eine lösung hat bitte posten.

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Fehler, die 2.

bin mir nicht sicher, deshalb will ich es nicht selbst ändern, glaub aber, dass eine Formel Falsch ist. sollte statt

$r=\lim _{n\rightarrow \infty }{\bigg |}{\frac {a_{n}+1}{a_{n}}}{\bigg |}$ nicht stehen

$r=\lim _{n\rightarrow \infty }{\bigg |}{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}{\bigg |}$ (nicht signierter Beitrag von 217.94.0.124 (Diskussion) 17:27, 13. Jun. 2008)

In der Tat, hab's revertiert. Leider wird nach wie vor die falsche Version angezeigt. Das Sichtungssystem ist offenbar noch verbesserungswürdig. --Drizzd 18:38, 13. Jun. 2008 (CEST)

komplexe Potenzreihen

Ein Hinweis, dass bzw. ob der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe auch über den Satz von Cauchy-Hadamard zu ermitteln ist wäre überaus hilfreich. Zumindest aber fehlt im ersten Absatz eine Erklärung aus welchem Zahlenbereich die Argumente der Potenzreihe kommen sollen. Darüber hinaus wäre auch ein illustrierendes Bild hilfreich, welches den Konvergenzradius veranschaulicht und der Hinweis, dass es sich im reellen Fall lediglich um ein Intervall handelt. Dies ist zwar für Fachkundige intuitiv klar sollte aber in diesem Rahmen nicht fehlen. MfG Markus

3. Beispiel

hallo zusammen! Mir ist das alles noch nicht so klar, aber das 3. Beispiel stimmt doch nicht. Warum soll die Potenzreihe für x=1 nicht konvergieren??????? Bitte um erklärung... --svebert 12:57, 30. Sep. 2007 (CEST)

Ähm, weil es dann die harmonische Reihe ist? Es ist eher fraglich, wieso die Reihe in den anderen Randpunkten konvergiert. In -1, da dann das Leibniz-Kriterium greift, aber sonst?--LutzL 11:09, 1. Okt. 2007 (CEST)

Für x = i hast Du es ganz analog nur eben jeweils Teilfolgen für Imaginär- und Realteil. Also plausibel finde ich es schon, nur beweisen könnte ich es auch nicht. --Drizzd 18:45, 31. Jan. 2008 (CET)

Quotientenkriterium

Sollte in dem Abschnitt über das Quotientenkriterium nicht auch irgendwie ausgeschlossen werden, dass die Parameter $a_{n}$ unendlich viele Nullen enthalten? Und dann steht da doch noch das Gegenbeispiel von oben im Raum: "bei der Koeffizientenfolge $a_{2n}=1,~a_{2n+1}=1/n$: Die zugehörige Reihe hat den Konvergenzradius 1" wird da gesagt. Aber der gefragte limes inferior müsste doch 0 sein (z.B. konvergente Teilfolge ((1/n) / 1) --> 0). Ei, wann gilt das Kriterium denn nu? Oder müsste es statt "lim inf" da unten auch "lim sup" heissen. Dann würde es doch stimmen, oder?

--Die vier Fragezeichen 16:12, 21. Mai 2010 (CEST)

Vielleicht genügt folgendes:

${\frac {1}{\limsup _{n\rightarrow \infty }|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}|}}\leq R={\frac {1}{\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}\leq {\frac {1}{\liminf _{n\rightarrow \infty }|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}|}}$Falls die jeweiligen Grenzwerte existieren!

--Leonsoftware 21:53, 22. Jun. 2010 (CEST)

Hi, steht doch im Artikel drin, vielleicht nicht nachdrücklich genug: Die Quotientenformel liefert nur dann den Konvergenzradius, wenn die Quotientenbetragsfolge echt konvergiert. Müsste vielleicht noch sauberer in den Artikel eingearbeitet werden, inklusive der obigen Ungleichungskette. Und die "Beweise" könnten auch noch etwas mehr erklärende Prosa vertragen.--LutzL 10:25, 23. Jun. 2010 (CEST)

Neugliederung

Guten Tag zusammen

Ich würde gerne diesen Artikel neu gliedern in Definition, Beispiele etc. und dabei auch etwas entschlacken. Die Herleitung der Formeln ist meiner Meinung nach überflüssig und beeinträchtigt stark die Lesbarkeit des Artikels. Gibt es da noch weitere Meinungen/pro/contra-Argumente dazu??

lg --NikelsenH (Diskussion) 11:21, 1. Jun. 2013 (CEST)

Neu gliedern ist ok, insbesondere sollte der führende Abschnitt kürzer werden und möglichst wenige und dann nur kurze Formeln enthalten. Die ausführliche Darstellung dann im ersten Abschnitt. Die Herleitung aus dem Wurzelkriterium ist kurz genug und sollte bleiben. Beim Quotientenkriterium sollte zwischen der Herleitung und der anschließenden Diskussion von Konvergenz und Nichtkonvergenz getrennt werden. Ist etwas unübersichtlich. Generell sollte Korrektes nicht entfernt werden, sondern wenn dann kompakter gestraffter oder wenigstens übersichtlicher dargestellt werden.--LutzL (Diskussion) 15:37, 1. Jun. 2013 (CEST)

Inkosistenz in der Definition

Der Text der Definition sagt „[...] für alle $x$ mit $|x-x_{0}|<\rho$ [...]“, die darunter stehende Menge lese ich jedoch als „[...] für ein $x$ mit $|x-x_{0}|=\rho$ [...]“ („alle“ zu „ein“, „<“ zu „=“). Zwar kann aus dem Abschnitt „Folgerungen aus dem Konvergenzradius“ recht einfach geschlossen werden, dass diese Formulierungen äquivalent sind, aber Inkonsistenzen in Definitionen sollten so weit irgendwie möglich (also im Grunde immer) vermieden werden. Ich schlage vor, den Text anzupassen, da mir eine Änderung der Formel deutlich komplizierter erscheint. Hermann Döppes (Diskussion) (22:35, 30. Nov. 2014 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

(Neue Abschnitte bitte nach unten, wie es auch der Knopf für neue Abschnitte macht.) Die Mengendefinition ist nicht sehr strikt, wie es in vielen mathematischen Texten üblich ist, wo übersichtliche Verständlichkeit über Formelsalat geht. Die Menge ist die aller Abstände r, für welche es ein x gibt mit r=dist(x,x0), so dass die Reihe absolut konvergiert. Diese Menge hat sehr oft kein Maximum, deshalb Supremum.--LutzL (Diskussion) 15:51, 2. Dez. 2014 (CET)

(Werde es mir merken. Danke.) Die richtige Definition ist kurz genug, dass es vertretbar wäre, sie ordentlich hinzuschreiben und anschließend (oder auch vorher), falls dies für notwendig befunden werden sollte, verständlich zu erklären. Eventuelle Unverständlichkeit (wobei ich gerade nicht sehe, was Du damit meinst) ist also kaum ein Argument gegen eine konsistente Definition. Ansonsten weiß ich durchaus, was ein Supremum ist (Ich habe das in meinem Beitrag auch nicht angesprochen.(?)) und Dein vorletzter Satz ist (ziemlich) genau das, was ich bezüglich meiner Lesart der Menge geschrieben habe. (Oder zumindest gemeint habe, falls ich jenes missverständlich formulierte und Du dadurch dort oben etwas anderes liest.) Hermann Döppes (Diskussion) 23:31, 2. Dez. 2014 (CET)

Aber eine Inkonsistenz besteht natürlich darin, dass implizit auf einen Satz (von Abel? Hadamard? Cauchy?) Bezug genommen wird, der besagt, dass wenn für einen Punkt x1 (einfache) Konvergenz besteht, dann die Reihe für alle x mit dist(x,x0) < dist(x1,x0) konvergiert. D.h., die zur angegebenen Menge assoziierten Punkte x bilden tatsächlich eine Kreisscheibe (d.h., das Innere dieser Menge ist eine Kreisscheibe, der Rand kann gemischtes Konvergenzverhalten aufweisen).--LutzL (Diskussion) 15:57, 2. Dez. 2014 (CET)

Genau das meine ich und denke, es sollte eliminiert werden. Man kann auch beide Versionen stehen lassen und hinzuschreiben, dass dies verschiedene Definitionen sind, welche sich (mit besagtem Satz von <hier Namen von intelligenter Person einfügen>) als äquivalent herausstellen. Aber um einen Satz zu bekommen, braucht man erst einmal eine saubere Definition. Ich definiere den Rang einer Matrix schließlich auch nicht als „Dimension der linearen Hülle der Spalten und Dimension der linearen Hülle der Zeilen“, sondern ich wähle eine Definition und zeige dann die Äquivalenz zur anderen. (Es geht natürlich auch umgekehrt: Ich zeige Gleichheit von Zeilen- und Spaltenrang und sage dann: „Dies rechtfertig die folgende Definition: [...]“ Aber sich implizit auf einen Satz zu stützen, der im späteren Verlauf des Artikels auch eher als Randnotiz daherkommt, halte ich nicht für vertretbar.) Hermann Döppes (Diskussion) 23:31, 2. Dez. 2014 (CET)