Diskussion:Kovarianz (Physik)

Kovariant und Kontravariant

Auch für die, die meinen es kapiert zu haben. Was da im Artikel steht ist teilweise falsch und unverständlich.

• Kovariant Ist ein Transformationsverhalten wenn sich die Basisvektoren und die darin dargestellte Vektoren(Größen) in gleicher Weise transformieren.

• Kontravariant Ist ein Transformationsverhalten wenn sich die Basisvektoren und die darin dargestellte Vektoren(Größen) in unterschiedlicher Weise transformieren.

Das kovariante Transformationsverhalten garantiert die Formerhaltung von Gleichungen beim Wechsel des Bezugsystems (Koordinatensystems).

Das gilt natürlich auch für die tensorielle Schreibweise.[[2A02:8071:2984:6200:99A4:4B9C:322:3954 16:51, 8. Mär. 2017 (CET)]]

***

Das Plattformbeispiel versteht kein Mensch. Ich weiss zwar was ko-und kontravariant bedeutet, zweifle aber dran, dass Menschen die das nicht wissen durch dieses Beispiel erklärt bekommen was die Begriffe bedeuten sollen. (nicht signierter Beitrag von 193.170.20.123 (Diskussion) 14:39, 17. Mär 2006)

Es ist selten, dass jemand mit diesem Brustton der Überzeugung von sich behauptet, mit den Begriffen der Ko- und Kontravarianz sinnvoll umgehen zu können. Könnten Sie daher hier auf der Diskussionsseite kurz skizzieren, wie Sie diese Begriffe einem lernwilligen angehenden Physiker erklären würden? Test: Warum ist die kovariante Ableitung kovariant? Das Wirrwarr dieser Begriffe im Bereich der Tensoren ist übrigens unter Tensordarstellungen der Physik vermerkt.--LutzL 16:47, 17. Mär 2006 (CET)

Ich muss mich "unsigned" anschließen: Das versteht kein Mensch.

Möchte mich auch anschließen, das Beispiel ist unverständlich. --Xenoborg 14:11, 10. Jul 2006 (CEST)

Der ganze Artikel ist Müll! Vergleicht doch mal die englische Version, das sind riesen Unterschiede. Im übrigen stimmt es nicht, dass die Klein-Gordon Gleichung kovariant ist. Im generellen ist die Klein-Gordon Gleichung nicht kovariant, da die Wellenfunktion nicht eichinvariant ist! Der Begriff Kovarianz in der SRT und ART ist nicht der gleiche!! Komplett überarbeiten mein Vorschlag; würde das gerne selber machen, habe aber momentan keine Zeit...

HÄH? Also ich als angehender Physiker versteh hier auch wirklich gar nix, obwohl ich mir eine Messapparatur mit Roboterarm und mehreren Digitalkameras gekauft habe und das Beispiel durchzuspielen versucht habe (zum Glück hatte ich einen Würfel schon parat). Naja

Hi, wenn Du als angehender Physiker mit Gedankenexperimenten und abstrakten Überlegungen Probleme hast, dann hast Du gewiss noch eine Menge zu lernen. Sonst kommst Du noch auf die Idee, das Experiment mit Schrödingers Katze nachzustellen. Ansonsten: Kovarianz verstehen wohl wirklich nur die wenigsten, die meisten mogeln sich durch, indem sie das Ritual der Basistransformation buchstabengetreu nachvollziehen. Ich warte immer noch darauf, dass ein Physiker, der das einigermaßen verstanden hat, einen brauchbaren Vorschlag macht oder möglichst gleich umsetzt.--LutzL 09:59, 12. Jun. 2007 (CEST)

Kovarianz = Forminvarianz?

Hallo, sind diese Begriffe das selbe? Dachte schon, aber Forminvarianz taucht im Artikel nicht auf. (nicht signierter Beitrag von 84.152.155.74 (Diskussion) --20:42, 4. Mai 2008)

Hi, bitte unterzeichne Deine Beiträge mit 4 oder 5 Tilden (~). Du meinst Forminvarianz von Gleichungen? Die ergibt sich daraus, dass die koordinatenfreien Gleichungen invariant bleiben und deren Koordinatendarstellungen in jedem Koordinatensystem gleich aussehen, bevor spezielle Eigenschaften spezieller Koordinatensysteme (z.B. Eigenbasen linearer Operatoren) evtl. zu Vereinfachungen führen. Mach mal hier einen Vorschlag, am besten mit einem Lehrbuch als Referenz, für den Begriff "Forminvarianz".--LutzL 10:40, 5. Mai 2008 (CEST)

Meiner Ansicht stammt der Begriff noch aus der alten Invariantentheorie des 19. Jahrhunderts (Hinweise des Verwendung des Begriffs finden sich zuhauf in Felix Kleins Entwicklung der Math.im 19.Jh.). Er steht in der Physik einfach für "transformiert unter der Gruppe auf dieselbe Art wie" bzw. bei Gleichungen "die rechte Seite transformiert wie die linke Seite". Daneben gibt es noch die speziell die Verwendung bei der Bezeichnung kovarianten und kontravarianten Vektoren.--Claude J 09:36, 19. Jul. 2008 (CEST)

Erwin Madelung "Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers", 6. Auflage Springer 1957, S.152: "Gleichungen und Gleichungssysteme welche bei Transformationen ungeändert bleiben, heißen kovariant". Er schränkt dies nicht auf lineare Transformationen ein.--Claude J 22:41, 2. Sep. 2008 (CEST)

Zur Neufassung von Norbert Dragon

Ich hätte große Lust, diese Neufassung wegen fachlicher Mängel (und evtl. OR) total zurückzusetzen. Am harmlosesten ist noch, dass kovariant mit kovariant erklärt wird, also faktisch gar nicht erklärt wird. Hochgestellte Indizes werden in der Physik üblicherweise mit kontravarianten Größen assoziiert, obwohl oder gerade weil sie Koordinaten von kovarianten Größen sind, dieser duale Gebrauch wenigstens war vorher besser erklärt, wenn auch mit etwas Ballast drumherum. Der größte Fehler jedoch ist das Gleichsetzen von kontravariant und kontragredient. Im euklidischen Raum mit Galilei-Transformationen mag das noch harmlos sein, im Minkowski-Raum und allgemeiner Mannigfaltigkeiten mit nichteuklidischem Metriktensor ist das falsch.--LutzL 12:36, 10. Aug. 2008 (CEST)

Zusätzlich ist festzustellen, dass in dem neuverlinkten Skript die Worte Ko- und Kontravarianz nicht vorkommen. (Obwohl die entsprechenden Konstrukte behandelt werden.)--LutzL 12:48, 10. Aug. 2008 (CEST)

Korrektur: Das Wort "kovariante" bzw. "Kovarianz" taucht 11 mal (davon 6 im Seitenkopf oder Inhaltsverzeichnis als Wiederholung einer Überschrift) auf, allerdings ohne jegliche Definition oder Begriffsbestimmung.--LutzL 12:53, 10. Aug. 2008 (CEST)

Reden wir vom gleichen Artikel? Der erste Satz spricht aus, was kovariant bedeutet, nämlich linear transformierend. Die Behauptung, ich erkläre kovariant mit kovariant, ist nicht :nachvollziehbar. Wo siehst Du einen fachlichen Mangel? Dass die kontravariante Transformation kontragredient zur kovarianten Transformation ist, ist ein mathematischer, unbestreitbarer Sachverhalt. Wenn Du ein zugängliches, korrektes, deutschsprachiges Skript findest, zitiere es. Ich bin nicht auf Selbstzitate versessen, möchte aber möglichst deutschsprachige Quellen zitieren. --Norbert Dragon 14:05, 10. Aug. 2008 (CEST)

Im Glossar habe ich OR nicht finden können, mit welcher Begründung willst Du also die frühere Version zurücksetzen? Um den Sprachgebrauch und die Indexnotation in Übereinstimmung zu bringen, ändere ich die Indexstellung von P und Q. --Norbert Dragon 14:19, 10. Aug. 2008 (CEST)

OR ist Original Reasearch, deutsch Theoriefindung. Wenn kontravariant sowieso kontragredient ist, ist erklärungsbedürftig, warum es zwei Begriffe dafür gibt. Kovariant ist nun doch etwas spezieller als "linear transformierend". Kontravariante Transformationen sind auch linear, wenn auch mit der inversen Matrix (bzw. deren Transponierter). In welchem Verhältnis stehen die Begriffe und Notationen zu deren Anwendung in physikalischen Theorien?--LutzL 16:08, 12. Aug. 2008 (CEST)

Und es ist Theoriefindung Deinerseits, sprich Du tappst im Dunkeln und hast weder ein deutsch- noch sonstsprachiges Buch vor Dir. Denn Du hast die Indizes falsch geändert. Denn die Koeffizienten von Ortsvektoren kriegen den Index oben, die der Linearform unten. Die ko-unten/kontra-oben Zuordnung bleibt aber erhalten. Ich bin Mathematiker und kenne den kategorientheoretischen Gebrauch dieser Begriffe und deren Anwendung in der Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten. Im Nebenfach Physik musste ich mir mühsam zusammenreimen, warum die Begriffe dort so verquer verwendet werden und warum das seine Richtigkeit hat. Als Physiker müsstest Du aber die besseren Quellen haben?

Was hier an brauchbarer Literatur rumsteht:

• Jänich: "Vektoranalysis" wäre ein Anfang, danach sind Tangentialvektoren, in Koordinaten ausgedrückt, kontravariant. Das Drumherum mit hoch/tiefstehenden Indizes und Summationskonvention nennt er Ricci-Kalkül. Allerdings hört er damit auf, kovariante Vektoren gibt es nicht.
• Wasserman: "Tensors & Manifolds" definiert ko- und kontravariante Tensorprodukte ausgehend von Vektor- und Dualraum (wie in der Differentialgeometrie üblich), das Transformationverhalten der Koordinatendarstellungen ist nachgeordnet und ergibt sich automatisch.
• Weintraub: "Differential Forms" definiert im Zusammenhang mit Pushbacks und Pullforwards, dass Punkte und Tangentialvektoren kovariant sind (die Vektoren, nicht die Koordinaten), und Funktionale und Differentialformen kontravariant. Das ist wieder die mathematisch-kategorientheoretische Sicht.
• Arfken/Weber: "Mathematical Methods for Physicists" beschreibt den puren physikalischen Standpunkt. Ein Punkt ist durch drei reelle Zahlen definiert. Kein Verweis auf die vorhergehende Wahl einer Basis bzw. eines Koordinatensystems im Raum. Transformationen sind prinzipiell aus Rotationen zusammengesetzt, also orthogonal. Eine Menge von Größen (Plural!) ist kontravariant, wenn sie sich wie die Menge der Differentiale transformiert. Warum sich überhaupt was transformiert, ist unwesentlich. Differential und Gradient werden durcheinandergeworfen,... Wichtig: Ganz am Anfang bei der Definition eines Vektors wird die koordinatenunabhängige oder -freie Darstellbarkeit von Naturgesetzen betont. Kontragredient taucht nicht auf.

--LutzL 16:49, 12. Aug. 2008 (CEST)

@LutzL 16.08 Uhr: Warum es beide Begriffe gibt, ist eine Frage der Sprachgeschichte, die wir hier nicht klären müssen. Ich bevorzuge den Begriff 'kontragredient', weil B = A^(-1 T) genauso kontragredient zu A ist wie A= B^{-1 T) zu B.

Klarer müßte man vielleicht herausarbeiten, dass kovariant in zwei verwandten, aber leicht verschiedenen Bedeutungen verwendet wird.

Erstens: Kovariant im Sinne von linear transformierend. In diesem Sinn sind alle Tensoren kovariant und in diesem Sinn spricht man in der Physik von kovarianten Gleichungen. Für die Tatsache, dass die Einstein-Gleichungen kovariant sind, ist unerheblich, ob man sie als Tensorgleichungen mit diesem oder jenem Indexbild schreibt. So wird das Wort kovariant im ersten Absatz erklärt.

Zweitens: Eine speziellere Bedeutung hat kovariant im Gegensatz zu kontravariant. Diese Bedeutung wird unter der Überschrift Ko- und Kontravariant diskutiert. Kontravariant läßt sich erst definieren, wenn man für einem Vektorraum definiert hat, dass er kovariant transformiert. Dass unter linearen Abbildungen die Koordinaten der transformierenden Punkte, die ja mitbewegt, nicht gegenbewegt, werden, als kontravariant eingestuft werden, und dass der Pull-Back (die rückwärtige Verkettung) von Differentialformen als kovariant bezeichnet wird, gehört zu den Ungereimtheiten der Sprachgeschichte.

Zur Vorgeschichte der Neufassung: Ich hatte den Artikel vor etwa einem Monat in die Qualitätssicherung Physik eingetragen, weil er die wichtigste Eigenschaft des Wortes Kovariant 'linear transformierend' mir nicht genügend betonte und sich nicht auf das Thema konzentrierte. Da keine Verbesserungsvorschläge kamen, habe ich den Artikel selbst neu gefasst. Nach bestem Wissen und Gewissen war das keine Bilderstürmerei sondern notwendig. --Norbert Dragon 18:29, 12. Aug. 2008 (CEST)

@LutzL 16.49 Uhr: Leg Dir bitte einen weniger agressiveren Ton zu: Ich stehe nicht im Dunkeln und weiß, wovon ich rede und schreibe.

Zu falschen Indizes: Was meinst Du wohl, welche der Größen P und Q Koordinaten des Ortsraumes sind? Das steht zwar nirgendwo, weil es für die Diskussion von Kovariant unerheblich ist, aber wer sich an Hamiltonsche Mechanik erinnert fühlt, stellt fest, dass die Bezeichnungen stimmen. Der Artikel spricht deutlich aus, dass die Matrizen L^{-1 T} eine Gruppe bilden.

Wie Du selbst schreibst, gibt es in der Literatur einige Verwirrung darüber, was ko- und was kontravariant ist. Warum aus Kategoriensicht das Transformationsgesetz der Koordinaten von Punkten kontravariant zur Transformation sein soll, kannst Du mir aber gerne erklären.

Vielleicht erklärst Du mir auch, wo sich Anhang A und B http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/relativ.pdf

von der von Dir zitierten Literatur unterscheiden. Sie stimmen, wie Du herausfinden wirst, mit meinem Artikel Kovarianz (Physik) überein. --Norbert Dragon 18:49, 12. Aug. 2008 (CEST)

• Definiere bitte, was Du unter kontragredient verstehst. Das fehlt in dem Artikel völlig. Aus Deinem Kontext heraus würde ich meinen, dass Du von einer Darstellung der Transformationsgruppe redest. Dann sollten in der Definition aber sehr deutliche Bezüge zur Darstellungstheorie der Lie-Gruppen rein.

• In dem Zusammenhang wäre zu klären, was das Transponieren aus Sicht des darstellenden Vektorraums bedeutet.

• "kovariant"=="linear transformierend" ist Wackelpudding. Da müsste wenigstens noch genau erklärt werden, in welchem Sinne das koordinateninvariant wird, und dass man die Gleichungen jenseits der Steinzeit auch koordinatenfrei formulieren kann.

• W a s wird kovariant transformiert? Doch nicht der Vektorraum. Sondern Koordinaten da drauf. Und, wie bereits festgestellt, sind es die Koordinaten des Dualraumes, die sich doppelt kontravariant, also kovariant transformieren.

• Es gibt keine Ungereimtheit darüber, was ko- und was kontravariant ist. Die primären Objekte, die unter Abbildungen "mitbewegt" werden, sind die Vektoren und damit auch die Basisvektoren. Die duale Basis, die Koordinatenfunktionale, werden -- insbesondere als Funktionale -- "gegenbewegt". Ricci war Mathematiker, Differentialgeometer, der wusste das, als er seinen Kalkül einführte. [edit] Was die primären Objekte sind und an welcher Stelle die inverse Transformation verwendet wird, ist sehr schön im Falle allgemeiner, auch krummliniger Koordinaten, hier erklärt.--LutzL 11:02, 14. Aug. 2008 (CEST)[/edit]

• Wie ich bereits sagte, es gibt keine Verwirrung in der Literatur darüber, was ko- und kontravariant bedeuten. Es gibt nur etwas Wackelpudding und eine seltsame Tradition auf Seiten der Physik. Und selbst dort sind die wichtigen Lehrbücher im Einklang mit der sonstigen Verwendung der Begriffe.

• Etwas zu Löschen und ohne eigene, belastbare Quellen Wackelpudding reinzuschreiben, ist in meinen Augen Bilderstürmerei. Zum Fetisch "linear transformierend" siehe oben.

• Ich entschuldige mich natürlich für den aggressiven Tonfall, das Medium verleitet dazu. Ich hoffe, "Wackelpudding" (in Bezug auf Versuche, diesen an der Wand festnageln zu können) ist nicht zu aggressiv.

• Bzgl. P und Q: könntest Du Dich mal mit Dir auf eine widerspruchsfreie Version einigen und diese klar und deutlich im Artikel realisieren? Diese Rumgeheimnisserei nervt ziemlich. Man kommt mit der Zeit auf den Verdacht, dass da (auf Seiten der Physiker allgemein) Unsicherheit hinter steht.

• Wie oben schon angesprochen, die Matrizen $L^{-1T}$ bilden keine Gruppe, -- bzw. schon, trivialerweise, sind ja invertierbar -- sondern die Abbildung $L\mapsto L^{-1T}$ ist ein Gruppenhomomorphismus und damit eine (nichttriviale) Darstellung der Gruppe der invertierbaren Matrizen. Und ich bin immer noch der Meinung, dass das Transponieren im Minkowski-Fall unphysikalisch ist.

• Zu Deinem Skript: Das benennt wenigstens Ochs und Esel, ist also wesentlich klarer zu Lesen als der Artikel hier. Trotzdem ist Deine private Vorliebe für den Begriff "kontragredient" (entgegengesetzt zu Gradienten transformierend) hier fehl am Platz. Und was einen Gradienten von einem Differential vektor- und transformationsbezogen unterscheidet, hast Du im Artikel ja angegeben.

• Es ist in der Physik üblich, die Koordinaten einer Linearform, wenn überhaupt, als Spaltenvektor zu schreiben. Natürlicher im Sinne des Matrixkalküls wäre die Schreibweise als Zeilenvektor, dann erfolgt die Anwendung auf einen Vektor in Form seines Koordinatenspaltenvektors einfach nach den Regeln der Matrixmultiplikation. Im Allgemeinen aber, und auch das weisst Du, erfolgt die Umwandlung von Vektoren in Linearformen und umgekehrt mit Hilfe einer Bilinearform. Nur in diesem Fall entstehen ko- und kontragrediente Vektoren Größen. Das Transponieren selbst hat im Ricci-Kalkül keine primäre Funktion, es entsteht im euklidischen Fall durch Hoch- und Runterziehen der Indizes mit dem Metriktensor. Das Transponieren oder primär die Anordnung der Koordinaten als Spaltenvektor wird beim Arbeiten mit drei- oder höherstufiger Tensoren sinnfrei.

--LutzL 10:35, 14. Aug. 2008 (CEST)

Ich empfehle Dir dringendst, Dir das in Deiner Bibliographie auftauchende Lexikon von A. Müller auzusehen. Das ist übrigens umgezogen, neuer Link: gleich zum Kovarianzprinzip. Quintessenz: Kovariant ist, was tensoriell ist. Die Motivation dazu ähnelt stark meinem ersten Versuch, diesem Artikel hier etwas belastbaren Inhalt zu geben.--LutzL 10:51, 14. Aug. 2008 (CEST)

@LutzL 10:51: wieviel Belege dafür, daß meine Formulierungen zutreffen, willst Du noch anhäufen? Dass Kovariant ist, was linear transformiert, spricht mein erster Satz aus. Du zitierst, daß kovariant sei, was tensoriell transformiert. Tensortransformationen sind linear. Der vorteil meiner Formulierung ist, daß sie den Fachbegriff tensoriell vermeidet und zudem richtig ist. Sie deckt auch die Dirac-Gleichung ab. Die lineare Transformation des Dirac-Feldes ist nämlich nicht im Tensorprodukt der Lorentz-Gruppe enthalten. dennoch ist die Dirac-gleichung kovariant, Wenngleich genau genommen unter einer Darstellung der Überlagerung der Poincaré-Gruppe. --Norbert Dragon 12:37, 14. Aug. 2008 (CEST)

@LutzL 10.42: Im Artikel steht, für jeden lesbar, dass kontravariant diejenigen Vektoren transformieren, die in Q' = A^(-1 T)Q übergehen. Zudem ist angegeben, dass dieses Transformationsverhalten bei Vektoren des Dualraums auftritt. Die Gruppe der Transformationen A kann diskret oder kontinuierlich sein, von ihr muss zur Erklärung von kovariant oder kontravariant nicht weiter geredet werden (auch wenn zwei Beispiele genannt werden).

Es ist erklärt, was lineare Abbildungen sind. Die Komponenten der transformierten Vektoren sind Linearkombinationen der ursprünglichen Komponenten. Was passt Dir daran nicht?

Die Eigenschaft, linear zu transformieren, ist mathematisch wohl definiert und kann nur böswillig als Wackelpudding diskreditiert werden.

Koordinaten oder Koordinateninvarianz ist für die Definition von Kovarianz nicht erforderlich, auch wenn in wichtigen Beispiele Transformationen von Tensorfeldern der Raumzeit, einer Mannigfaltigkeit untersucht werden. Der Artikel geht aber nicht über Differentialgeometrie der Raumzeit unter besonderer Berücksichtigung der mathematischen Begriffsbildung seit Adam und Eva, sondern schlicht und einfach über Kovariant im allgemeinen und Kovarianz im Unterschied zu Kontravarianz.

Die Frage, was transformiert werde, ist Deiner unwürdig. Eine Transformation ist eine invertierbare Selbstabbildung. Natürlich wird der Vektorraum transformiert. Dabei ändern sich die Vektoren und gehen in Vektoren mit geänderten Komponenten über. Transformation ist kein Basiswechsel. Denn unter Basiswechsel ändert sich kein Vektor. Vektoren hängen nicht von der Basis ab.

Wie Deine und meine Formulierungen zu bewerten sind, müssen wir anderen überlassen. Was drängt Dich, über "seltsame Begriffe, soweit ich sie verstanden habe" zu schreiben?

An P und Q ist nichts widersprüchlich. P transformiert kovariant und Q kontravariant. Es wird auch nichts Rumgeheimnist, sowenig wie bei einem Vektorraum herumgeheimnist wird, welcher Vektorraum dual sei. Der Verdacht, ich sei unsicher, was lineare Transformationen und die kontragredienten Transformationen seien, ist unbegründet.

Selbstverständlich ist G'={L^{-1 T} | L in G} eine Gruppe, wenn G eine lineare Gruppe ist. Dass Transponieren "unphysikalisch" sei, läßt mich sprachlos. Transponieren ist auch farblos, ohne daß mir das als Mangel erschiene.

Im Allgemeinen gibt es keine Umwandlung von Vektoren in Linearformen, sondern nur, wenn auf dem Vektorraum eine nichtausgeartete Bilinearform ausgezeichnet ist. Wenn es keine solche Bilinearform gibt, etwa im Farbraum der Quarks (die unter SU(3) transformieren), dann gibt es immer noch kontravariant transformierende Größen. Das können Vektoren des Dualraumes sein oder Vektoren anderer Räume, auf denen die Gruppe kontravariant dargestellt ist. Diese Räume müssen in der Theoretischen Physik nicht aus den bisherigen Räumen kontruiert werden, sondern können auch per Hand hinzugefügt werden.

Dein Schimpfen über Transponieren bei Tensoren höheren Stufe ist unangebracht. Transponieren wälzt eine lineare Abbildung A eines Vektorraums auf den Dualraum ab und bildet Dualvektoren Q auf A^T(Q) = Q A ab, das heißt, (A^T(Q))P = Q(A P) für alle P aus dem Vektorraum und alle dualen Q. --Norbert Dragon 12:37, 14. Aug. 2008 (CEST)

Ich wiederhole mich nicht noch mal. Alle genannten Kritikpunkte gelten weiter. Ich finde sogar, dass Prof. Dragon mit der Hälfte seines obigen Textes meine Kritikpunkte unterstützt, obwohl es ihm wohl nicht bewußt ist. Ich würde ihn nur noch einmal bitten, aus seinen umfangreichen Literaturlisten in seinen Skripten drei oder vier Lehrbücher/Standardwerke herauszusuchen und im Artikel in die Literaturliste einzustellen, die seiner Meinung nach seine Darstellung belegen oder wenigstens unterstützen.--LutzL 11:11, 20. Aug. 2008 (CEST)

Eine Darstellung, die Prof. N. Dragon verstehen sollte (auch wenn er nicht mit dem Sprachgebrauch übereinstimmt), und die auch für meinen Geschmack sehr klar formuliert ist, findet sich in diesem Skripot zur ART auf den Seiten 45-48. Leider ist keine Literatur angegeben.--LutzL 12:19, 20. Aug. 2008 (CEST)

Die Darstellung http://www.personal.psu.edu/pjm11/GeneralRelativity.pdf zelibriert das Zerrbild, das sich Mathematiker von Physikern machen. Es gibt Physiker, zum Beispiel mich, die unter Vektoren Elemente eines Vektorraumes verstehen ohne dazu die Menge aller Basen betrachten zu müssen. Jeden Vektor kann man als Linearkombination von Basisvektoren schreiben, er hängt aber nicht von der Basis ab. Daher kann man über ko- und kontravariant reden, ohne eine Basis erwähnen zu müssen. Das macht mein Artikel.

Der Autor, John Roe, scheint nicht zu wissen, daß der Begriff "Kovariant" auch außerhalb der Allgemeinen Relativitätstheorie auftritt. Wie dort bezeichnet er zunächst nur das lineare Transformationsgesetz einer Größe unter diesen oder jenen Transformationen. Beispielsweise transformiert d_m A_n + d_n A_m unter Eichtransformationen

A_n |--> A_n + d_n f nicht linear, sondern inhomogen, und ist daher keine kovariante Größe.

Immerhin schreibt John Roe unmißverständlich, daß kontravariant Größen sind, die kontragredient transformieren. Ob das Lutz Lehmann überzeugt, kann bezweifelt werden, denn für ihn gelten alle Kritikpunkte unverändert. Auch daß A^(-1 T) keine Gruppe bilden?

Um die Kritik konstruktiv abzuarbeiten: gibt es Einwände gegen die Aussage, daß Größen (unter einer Gruppe von Transformationen) kovariant seien, wenn sie linear transformieren?

So ist beispielsweise Box A_m = j_m unter konformen Transformationen kovariant.

--Norbert Dragon 15:24, 20. Aug. 2008 (CEST)

Würden der Herr Professor in seiner Herrlichkeit notieren, dass ich durchaus hingeschrieben habe, dass diese Menge eine Gruppe ist, dass aber in diesem Fall die Funktion gemeint ist, die einer Matrix die transponiert Inverse zuordnet? Was man ja auch als Darstellung einer Gruppe bezeichnet? Und dass, ich lasse mich da gerne belehren, zumindest noch eine Quelle diese Darstellung (und nicht die Menge) als kontragredient bezeichnet? Und das ich auch gewürdigt habe, dass das Skript des Herrn Professor (leider ist im Artikel immer noch das falsche verlinkt) sehr lesbar ist? Und dass in der von mir mit verfassten vorherigen Version des Artikels, die ja dem Professor zu mathematiklastig war, deutlich auf den dualen Gebrauch der Begriffe ko- und kontravariant hingewiesen wurde?

Und nochmals: Dass die übliche Verwendung der Begriffe eine verzerrte sein mag, ist erstmal hier für diese Enzyklopädie zweitrangig. Wichtig ist nur, dass es die übliche Verwendung dieser Begriffe ist. Wenn also der Herr Professor eine gute Quelle aufweisen kann, in der sein Standpunkt zum Entzerren dieses Gebrauchs zum Tragen kommt, so mag er, nach der Darstellung des üblichen Gebrauchs, noch einen Abschnitt zur Kritik am üblichen Gebrauch einfügen. Ich schätze aber, mehr als 95% aller Physiker (wenn sie diese Begriffe überhaupt kennen) kennen den üblichen Gebrauch, in dem der Koordinatenvektor eines geometrischen Vektors kontravariant ist.

Der Ursprung und die übliche Benutzung des Begriffs kontragredient wäre übrigens auch noch zu belegen, das Internet in der Google-Version ist dazu recht schweigsam. Und was zum Teufel suchen plötzlich die konformen Transformationen hier?--LutzL 17:00, 20. Aug. 2008 (CEST)

Ich habe nicht den Eindruck, daß Dein Diskussionsstil sachdienlich gemeint ist. Ich schreibe unter meinem Namen und nicht unter meinen akademischen Titeln.

Wer wie Lutz Lehmann zugibt, daß für ihn ko- und kontravariant Begriffe sind, die er nicht ganz verstanden hat, sollte seine Kritik auf Sach- und Formulierungsfragen beschränken.

Wortgebrauch können zum Beispiel diejenigen bezeugen, die die Worte gebrauchen. Ich gebrauche die Worte ko- und kontravariant, werde dabei bisher ausnahmslos von Physikern verstanden und kann bezeugen, daß man davon spricht, daß die Dirac-Gleichung kovariant unter Poincaré-Transformationen ist. Dabei handelt es sich weder um das Transformationsgesetz von Vektoren noch von dualen Vektoren oder Tensoren unter Diffeomorphismen, sondern von Spinoren unter der Überlagerungsgruppe der Poincaré-Transformationen. In der Physik wird das Wort "kovariant" allgemeiner verwendet als Lutz Lehmann von der der Differentialgeometrie her bekannt. Diese allgemeine Bedeutung von "kovariant" spricht der erste Absatz aus.

Ebenso steht im ersten Absatz, daß es sich bei der Transformationsgruppe in verschiedenen Beispielen um verschiedene Gruppen handeln kann. Ein weiteres Beispiel sind die inhomogenen Wellengleichungen Box A_m = j_m. Sie sind bei konformen Transformationen kovariant, nicht aber kovariant unter beliebigen Diffeomporphismen.

Um das Beispiel zu verstehen, braucht man übrigens nicht wissen, woher die konforme Gruppe kommt. Sie kommt nicht, sie geht nicht, sie ist die Transformationsgruppe, unter der

Box A_m und j_m linear transformieren. --Norbert Dragon 16:00, 21. Aug. 2008 (CEST)

Zum Beleg des allgemeineren Wortgebrauchs: Die deutsche Übersetzung des Titels der zweiten Kapitels von Bjorken Drell, Relativistische Quantenmechanik, BI-Taschenbuch 98. hat die Überschrift "Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung". Dabei gehen die englischsprachigen Autoren so wie der deutschsprachige Übersetzer davon aus, dass die Wortbedeutung so selbstverständlich klar ist, dass sie nicht definieren müssen, was damit gemeint ist, sondern erklären es im fortlaufenden Text. Natürlich ist nicht gemeint, daß die Dirac-Gleichung wie eine Eins-Form transformiert, sondern daß das Dirac-Feld linear unter einer Darstellung der Lorentztransformationen transformiert. So war zumindest der Sprachgebrauch der Physiker schon vor mehr als fünfzig Jahren. --Norbert Dragon 16:20, 22. Aug. 2008 (CEST)

Ich stellte schon fest, dass Sie sich in Ihren Skripten, und nun nach Aufforderung auch auf dieser Diskussionsseite teilweise sehr deutlich auszudrücken verstehen. Deshalb verstehe ich nicht den Stil, in dem Sie den Artikel verändert haben. Ueber Mathematik lohnt es sich erstmal nicht weiter zu diskutieren, solange keine Diskussionsgrundlage vorhanden ist. (Spinoren sind natuerlich auch Vektoren, wenn auch aus einem anderen Vektorraum, etc.)

Bitte legen Sie mir keine Aussagen in den Mund, und kommen Sie möglichst bald der Aufforderung nach Literaturnachweisen für ihre Verwendung der Begriffe nach. Ihre eigenen Skripte zählen an dieser Stelle nicht als Primärquellen. Ich hätte mich gerne an den Werken von Schouten orientiert, die wohl als Bibel des Ricci-Kalküls stehen könnten, aber die gibt es leider in unserer Bibliothek nicht. Die modernen Buecher zur SRT behandeln dieses Thema eher als handwerkliches, in Buechern zur ART wird doch auf modernerer linearer Algebra und Differentialgeometrie aufgebaut, wie ja auch in Ihren Skripten.

Ich habe übrigens nie die Benutzung des Begriffes "kovariant" im Sinne von "kovariante Formulierung der Naturgesetze" abgestritten, nur bemaengelt, dass der Erklärung ein verständlicher Inhalt fehlt. Der Gedanke "daß die Dirac-Gleichung ... das Dirac-Feld linear unter einer Darstellung der Lorentztransformationen transformiert" sollte in dieser Klarheit in diesem Abschnitt auftauchen. Evtl. noch mit dem Hinweis, dass dies keine "echte" Gruppendarstellung ist, sondern eine auf dem Niveau der Lie-Algebren. Und möglichst sollte auch eine Diskussion der verschiedenen Formulierungen des Kovarianzprinzips in spezieller und allgemeiner Relativitätstheorie im Artikel stattfinden.--LutzL 17:04, 23. Aug. 2008 (CEST)

Ich bestreite ja nicht, daß man etwas ausführlicher formulieren kann und dabei diese Diskussion berücksichtigen sollte. Insbesondere zeigen ja Deine Einwendungen, daß man meine Formulierung mißverstehen kann.

Allerdings lenkt Wikipeadia ab. Als ich Deinen Hinweis, kontragredient bedeute entgegen dem Gradienten (kannst Du das belegen? es erscheint mir unplausibel), überprüfen wollte, stellte ich fest, daß der Artikel Gradient (Mathematik) teilweise falsch ist, danach fand ich Fehler und Unbeholfenheiten in Kreuzprodukt, Graßmann-Identität und Klein-Gordon-Gleichung. Dort Fehler zu beheben, war erst einmal dringender als an Kovarianz zu feilen.

Wenn Du zugestehst, Spinoren seien auch Vektoren, dann ist die Aussage, kovariant zu sein hieße linear zu transformieren, sachlich unbestritten.

Übrigens wirkt auf dem Dirac-Feld die Überlagerungsgruppe SL(2,C) der Lorentzgruppe (wirklich die Gruppe, nicht nur die Algebra), was viele Physiker flugs umdrehen und SL(2,C) zu einer Darstellung der Lorentzgruppe erklären.

Zum Kovarianz-Prinzips müßte ich wohl Feynman ausgraben, der den Begriff Forminvarianz mit seiner Weltgleichung U = 0 entlarvt. Dabei ist U die Unweltlichkeit. Diese Größe ist folgendermaßen definiert: man bringe in allen Gleichungen der Physik alle Terme auf die linke Seite, so daß die Gleichungen lauten Linke Seite = 0. Die Unweltlichkeit ist die Summe über die Quadrate der linken Seiten. Offensichtlich ist Feynmans Gleichung unter jeder denkbaren Transformation der linken Seiten invariant.

Auch Einsteins Forderung, daß seine Gleichungen in jedem Koordinatensystem gelten sollten, ist schlecht definiert, so wichtig für ihn diese Forderung auch bei seiner Arbeit gewesen sein mag. Sie schränkt beispielsweise keine Euler-Lagrange-Gleichungen ein, denn die gelten in beliebigen Koordinaten. Gemeint ist, daß bei Transformationen der physikalischen Freiheitsgrade (also der Größen, die man in den Gleichungen anfänglich mit verschiedenen Startwerten vorgeben kann) die zusammengesetzten und abgeleiteten Größen, die in den Gleichungen vorkommen, linear transformieren. Dabei bleiben die Parameter und numerischen Koeffizienten unverändert (was übrigens bei Bjorken und Drell falsch ist: die lassen geänderte Gamma-Matrizen zu, ein Fehler der sich nicht auswirkt, weil alle Darstellungen der Dirac-Algebra einander äquivalent sind).

Ich werde mal bei Peter Szekeres, A Course in Modern Mathematical Physics, nachschauen, ob er etwas zum Thema sagt, obwohl meinem Eindruck nach Autoren über Kovarianz je weniger sagen, je kompetenter sie sind. --Norbert Dragon 20:13, 23. Aug. 2008 (CEST)

Was soll der Artikel behandeln?

Soll er kovariante Theorien, die Definition kovarianter physikalischer Größen, die Bedeutung in der Physik und Abgrenzung zu Kovarianz verletzenden physikalischen Theorien und Größen behandeln? Oder die Eigenschaft von Tensorfeldern? Ich wäre dafür, dazwischen scharf zu trennen und einen Großteil des hier Behandelten in einen Artikel Kovarianz (Tensor) oder Kovarianz (Differentialgeometrie) auszulagern. Letzteres ist nämlich ein mathematisches Konzept. Ersteres sollte man hier dann dafür ausbauen. --Chricho ¹ ² ³ 01:37, 12. Okt. 2012 (CEST)

Die englische Wikipedia hat einen Artikel zum Ricci-Kalkül geschaffen. In Ansätzen entspricht der hiesige Indexnotation von Tensoren diesem Inhalt. Im Prinzip könnte die Ko- und Kontravarianz von Vektoren hier gestrichen und dort ausgebaut werden, so dass ein einfacher Verweis oder ein Abschnitt mit Link zum Hauptartikel ausreichen würde. Dann bliebe für diesen Artikel die Kovarianz von physikalischen Gleichungssystemen als Hauptinhalt.--LutzL (Diskussion) 13:48, 12. Okt. 2012 (CEST)

Hm, dieser Artikel ist mir suspekt. Also dass man zu der Notation etwas schreiben sollte, sicherlich, aber dies hier erscheint mir fraglich. Erstens spricht kein Physiker von irgendwelchen Tripeln, die aus „Hypertupeln“ bestehen, zweitens meint ein Physiker, wenn er Tensor sagt, meist ein Tensorfeld und solche sind es auch, für die die Indexnotation meistens benutzt wird, es sind dann eben nur lokale Koordinaten. --Chricho ¹ ² ³ 16:55, 12. Okt. 2012 (CEST)

Eben, das lokale Koordinatensystem wird nicht extra erwähnt, sondern im Hintergrund mitgedacht. Muss aber vorhanden sein, da sonst die ganze Transformiererei sinnlos ist. Das kann sicher freundlicher aufgeschrieben werden, und den Tupeln kann noch ein x-Koordinatenvektor hinzugefügt werden,... aber wie man es sonst mathematisch exakt aufschreiben sollte, habe ich bisher nicht gesehen. Aber hier ging es eigentlich erstmal nur um Vektoren und Kovektoren sowie deren Koordinatenvektoren.--LutzL (Diskussion) 19:17, 12. Okt. 2012 (CEST)

Nach wie vor verwirrend

Nachdem ich mich etwas mit der Materie beschäftigt und mehrere Artikel aus dem Umfeld gelesen habe (insbesondere Tensor), bin ich von diesem restlos verwirrt. Ich weiß, das Thema ist komplex und ich weiß auch, dass es mehrere Disziplinen (Algebra, Differentialgeometrie, Kategorientheorie, Allgemeine Relativitätstheorie und andere Teilbereiche der Physik) berührt und die Sprechweisen und Notation nicht überall identisch sind. An diesem Artikel hier hat sich in den letzten Jahren kaum etwas getan (die meisten Änderungen sind als Kleinigkeiten markiert oder kommen von Bots). Und schon die vergangenen Diskussionen von zwischen 2007 und 2012 zeichnen ein eher vernichtendes Bild. Ich bin zu verwirrt, um das selbst zu verbessern. Kann man das so lassen? --DufterKunde (Diskussion) 13:13, 16. Apr. 2015 (CEST)

Seltsamer Satz in der Einleitung

"Verknüpft die Gleichung vektorielle Größen, ist also ein Gleichungssystem, dann stellt sich die Invarianz der Gleichung erst nach einer entsprechenden Transformation beider Seiten des Gleichungssystems ein."

Das hab ich gelöscht, denn daran stört manches:

• Invarianz ist eine Eigenschaft der Gleichung und entweder gegeben oder nicht, aber beim Transformieren "stellt" sie sich nicht "ein".
• Auch die Gleichung ${\vec {F}}\cdot {\vec {r}}=W$ verknüpft Vektoren, ist aber weder ein Gleichungssystem noch muss die rechte Seite transformiert werden.

Ich halte den ganzen Satz auch für überflüssig. Wer ihn wieder drin habe möchte, möge vorher die Formulierung berichtigen. --jbn (Diskussion) 16:18, 19. Mär. 2016 (CET)

V* --> V ?

Ich hab's zwar gesichtet, aber nun macht der folgende Satz "den zu V* dualen Vektorraum V" nicht merh so viel Sinn. ????? - noch was anzupassen? --Haraldmmueller (Diskussion) 14:55, 21. Aug. 2016 (CEST)