Diskussion:Lebesgue-Integral

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Wann ist eine Funktion Lebesgue-integrierbar?

Schön, aber wo ist die Definition davon, was ein Lebesgue-Integral ist. Wann ist eine Funktion Lebesgue integrierbar? Welche Funktionen sind Lebesgue-integrierbar aber nicht Riemann-integrierbar? Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem Lebesgue-Integral und dem Riemann-Integral?

Die Definition ist da - sie ist leider nur nicht so einfach anzugeben, weil man aufeinander aufbauend das Lebesgue-Integral für treppenfunktionen,nicht-negative,beliebige definieren muss.

Bei den anderen Sachen wäre es natürlich sinnvoll etwas zu erwähnen um die ganze Sache ein bisschen anschaulicher zu gestalten --Saraedum 13:33, 17. Mär 2005 (CET)

Alle Riemann-integrierbaren Funktionen sind Lebesgue-integrierbar

Es steht da: Jede Riemann-integrierbare Funktion ist Lebesgue-integrierbar. Das stimmt aber doch bei unbestimmten Riemann-Integralen nicht. Das Riemann-Integral von sinx/x exisiert, das Lebesgue-Integral jedoch nicht.

Es steht ja auch nirgends geschrieben, dass eine uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion Lebesgue-integriebar sein muss.

Von Riemann-integrierbar spricht man üblicherweise, wenn beschränkte Intervalle vorliegen.

charakteristische Funktion nicht Riemann-integrierbar?

Ich sehe einen Widerspruch: Vielleicht kann jemand diesen ausräumen. Also: Q ist lebequesche Nullmenge. also ist doch die Menge der Unstetigkeitsstellen der charakteristischen Funktion (x=1 für x aus Q; x=0 sonst; Beispiel unten) eine Lebequesche Nullmenge. Das ist für mich ein Widerspruch zu dem Lebequeschen Integralitätskriterium, welches doch aussagt, dass eine Funktion, die Lebeque-integrierbar und fast überall stetig ist, auch Riemann-integrierbar ist.

Nein. Die Menge der Unstetigkeitsstellen von $\chi _{\mathbb {Q} }$ ist ganz $\mathbb {R}$, also keine Nullmenge. Sie ist nämlich auch in den irationalen Stellen nicht stetig: Sei etwa $x\in \complement _{\mathbb {R} }\mathbb {Q}$, setze $\varepsilon :=1/2$, für jedes $\delta >0$ existiert $y\in \mathbb {Q} \cap (x-\varepsilon ,x+\varepsilon )$, da die rationalen Zahlen dicht liegen, es ist also $|x-y|<\delta$, aber $|f(x)-f(y)|=|0-1|=1>\varepsilon$, i.e. die Funktion ist in $x$ unstetig. HTH 160.45.45.233 8. Jul 2005 16:12 (CEST)

Lebesgue-Integral

Der Hauptgrund für die Konstruktion des Lebesgue-Integrals liegt darin, dass man bezüglich der Integral-Halbnorm vollständige Funktionenräume benötigt. Mit "Integral-Halbnorm" ist hier das Integral des Betrages einer Funktion gemeint. Die Vollständigkeit dieser Funktionenräume und die hieraus resultierenden Konvergenzsätze bilden die Basis der Funktionalanalysis. Die Konstruktion des Lebesgue-Integrals über die Maßtheorie ist höchst umständlich, und so genau versteht man auch nicht, was die ganze Konstruktion eigentlich soll. Es gibt aber einen sehr einfachen Zugang, welcher das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger zum Ausgangspunkt nimmt und dieses lineare Funktional dann stetig bezüglich einer "oberen Integral-Halbnorm" fortsetzt. Der Abschluss der stetigen Funktionen in den BANACHRAUM aller Funktionen mit endlicher oberer Integral-Halbnorm ist dann selber (trivialerweise) vollständig, und die Fortsetzung des Ausgangsfunktionals auf diesen Abschluss ist das Lebesgue-Integral. So einfach gehts, und die Studenten, die mit wochenlangen Konstruktionen von Maßen verschont werden und stattdessen Anwendungen lernen, dürfen sich glücklich schätzen

Steckt die Technik dann nicht in dieser "oberen Integral-Halbnorm"? Denn im Endeffekt erhält man ja in jedem Fall einen Raum L¹, der die charakteristische Funktion einer Menge genau dann enthält, wenn sie messbar mit endlichem Maß ist.--Gunther 11:47, 10. Sep 2005 (CEST)

Für die Einführung des Lebesgue-Integrals gibt es verschiedene Philosophien. Vom Standpunkt der Funktionalanalysis ist es sicher am einfachsten, das Lebesgue-Integral als Fortsetzung des Riemann-Integrals auf einen Banachraum zu definieren, aber dies ist nicht der einzige Grund für die Konstruktion des Lebesgue-Integrals. Das Integral spielt auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine zentrale Rolle (dort heißt es Erwartungswert), wo Integrierbarkeit beliebiger beschränkter messbarer Funktionen und direkte Konvergenzaussagen (monotone/dominierte Konvergenz) wichtiger sind als Vollständigkeit. Man geht dort ohnehin von Maßen aus, und stetige Funktionen mit kompaktem Träger erscheinen dann als Umweg.--133.5.161.2 10:21, 20. Sep 2005 (CEST)

Also auch ich habe den funktionalanalytischen Zugang mittels stetiger Funktionen mit kompaktem Träger kennengelernt. Allerdings denke ich dass beide Zugänge, sowohl der maßtheoretische als auch der funktionalanalytische Zugang interessant sind. Ich denke man sollte dies im Artikel ergänzen. Für die Wahrscheinlichkeitstheorie ist es meiner Ansicht nach unverzichtbar den maßtheoretischen Zugang zu wählen.

Formulierung

Kann man wirklich sagen, das L-Integral sei der moderne Integralbegriff? Oder sollte man sagen ein moderner Integralbegriff? Ich bin mir nicht sicher, aber es gibt doch bestimmt noch andere Integralbegriffe? :-) --134.130.244.140 11:53, 28. Jan 2006 (CET)

Ich habe "der moderne Integralbegriff" geschrieben, weil es sich um den maßtheoretischen Integralbegriff handelt, der heute in vielen Bereichen der Mathematik, z.B. Funktionalanalysis (Lp-Räume, Variationsrechnung) oder Wahrscheinlichkeitstheorie (Erwartungswert) verwendet wird, da er die erforderlichen Konvergenzeigenschaften besitzt, die etwa dem Riemann-Integral fehlen. Ich denke, zumindest was die Integration in den reellen Zahlen (Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$) angeht, ist es durchaus angebracht, von dem modernen Integralbegriff zu sprechen. Allerdings bin ich zugegebenermaßen nicht gerade ein Spezialist auf dem Gebiet und weiß nicht viel über alternative Integralkonzepte. Grüße, --RSchlicht (133.5.161.2) 09:08, 2. Feb 2006 (CET)

Naja es gibt unzählige Integralbegriffe, aber eben nur wenige sind wirklich brauchbar und besitzen die Eigenschaften, die wir intuitiv an ein Integral stellen. Vielleicht sollte man noch das Lebesgue Bochner Integral ansprechen, das viele Anwendungen in der Theorie der PDE hat.

Schauder

Wenn ich ein wenig Zeit finde, werde ich den Artikel mal sortieren, die Sätze in eigene Artikel auslagern, stattdessen Beispiele geben. Ich schreibe das nicht so sehr als Ankündigung; wenn ich nicht dazu komme oder es vergesse, hat der Artikel das trotzdem nötig. igel+- 08:18, 13. Jul 2006 (CEST)

"Fälschlicherweise"

da steht "(nicht! Treppenfunktion)" - was soll denn das, bitteschön! Mathematiker sind doch gerade dafür berühmt, Dinge je nach Wetterlage verschieden zu benennen. Es gibt keine "richtige" Bezeichnung, nur mehr oder minder verbreitete. igel+- 21:49, 16. Aug 2006 (CEST)

Vergleich Riemann/Lebesgue

Der Vergleich zwischen uneigentlich-Riemann und Lebesgue ist schief. Die Konstruktion des Limes von Integralen über beschränkte Intervalle gibt es in der Lebesgue-Theorie ganz genauso, beispielsweise bei der Fouriertransformierten allgemeiner L²-Funktionen.--Gunther 13:13, 4. Okt 2006 (CEST)

Konvergenz von Beppo Levi

Gehört nicht noch in die Voraussetzung, dass das Lebesgue-Integral der Funktionen-Folge beschränkt ist? Ansonsten muss das Integral ja keinen endlichen Wert annehmen, da wir ansonsten lediglich Monotonie fordern.(nicht signierter Beitrag von 132.199.232.247 (Diskussion) )

Das macht ja nichts, denn $\infty =\infty$. igel+- 13:34, 27. Mär. 2007 (CEST)

Zur Illustration der Grenzwertbildung beim Lebesgueintegral

Beim Lesen dieses Artikels sind uns einige Unstimmigkeiten aufgefallen, die wir hier zur Diskussion stellen möchten:

Die horizontalen Linien in der roten Abbildung zu Beginn sind (in der üblichen Notation) von der Form $y=t_{i}$ für eine (äquidistante) Einteilung $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=\beta$ des Wertebereiches der dargestellten Funktion. Sie schneiden aus der "Fläche unter der Kurve" den Bereich

$\{(x,t_{i})\;:\;f(x)>t_{i}\}$

aus. Die zugehörigen "horizontalen Streifen" $S_{i}$ haben, falls man die Mengen $\{f>t_{i}\}$ mittels $\mu$ misst und $t_{i}-t_{i-1}=:\varepsilon$ setzt, den "Inhalt"

$\varepsilon \mu (\{f>t_{i}\})$ .

Approximation der "Fläche unter der Kurve" durch (dünne) horizontale Streifen läuft dann auf das Integral

$\int _{0}^{\beta }\mu (\{f>t\})\;dt$

hinaus -- ein interessanter und realisierbarer Ansatz, interessant insbesondere wenn man beachtet, dass der Integrand für "sinnvolle" $\mu$ immer eine fallende, also Riemann-integrierbare reelle Funktion ist.

Tatsächlich beschrieben wird im Artikel aber die Approximation durch Summen der Form

$\sum _{i=1}^{n}t_{i}\mu (A_{i}),$

wo $A_{i}=\{x\;:\;t_{i-1}<f(x)\leq t_{i}\}$. Hier sind die Summanden aber keine horizontalen Streifen, sondern eher Bündel von vertikalen Streifen. Die Konfusion stammt vermutlich von dem irreführenden (falschen?) Text zu der Illustration in http://www.britannica.com/eb/art-19637/The-Lebesgue-integral-Note-that-the-areas-or-slices-to Tatsächlich entspricht $t_{i}\mu (A_{i})$ dem Gesamtinhalt der dort blau gefärbten vertikalen Streifen, während der gelbe horizontale Streifen lediglich zur Bestimmung der Menge $A_{i}$ dient.

Würde der umsichtige Kaufmann im Zitat am Ende des Artikels "horizontale Streifen" gleicher Dicke messen und dann addieren, so müsste er wie folgt vorgehen (unter der Annahme, dass die Münzen/Scheine einen Nennwert $\in \mathbb {N}$ (in Kronen) haben:

Ich habe $m_{1}$ Münzen im Nennwert $>0$, macht $m_{1}$ Kronen.

Ich habe $m_{2}$ Münzen im Nennwert $>1$, macht $m_{2}$ Kronen.

$\dotsb$

Ich habe $m_{k}$ Münzen im Nennwert $>k-1$, macht $m_{k}$ Kronen.

Ich habe $0$ Münzen im Nennwert $>k$,

macht insgesamt $m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{k-1}$ Kronen.

Das tut er aber nach Lebesgue eben nicht.

Insofern sind zwar das Lebesgue-Zitat und die Vorgehensweise im Artikel selbst konsistent, beides passt aber nicht zur Illustration und der Interpretation am Anfang.

Wir meinen, dass man den Kopf des Artikels neu formulieren sollte, mit einer neuen Illustration und einer "Grundidee", die zum Rest des Artikels passt.

--KathaRad 00:51, 21. Jun. 2008 (CEST)

Bild

Ich kapier zwar nicht so richtig was KathaRad geschrieben hat, aber ich bin auch der Meinung, dass die Abbbildung mit den horizontalen Streifen Unfug ist. Das L-Integral wird über die Indikator (Charakteristische Fkt., wie auch immer man sie nennt) konstruiert: $\int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mu (A_{i})$ Dies wird auch richtig im Artikel wiedergegeben. Ich betrachte jetzt mal den 1-dim Fall: Nehmen wir an, dass ich die Reelle Achse einfach in gleichgroße Intervalle teile. Diese Intervalle heißen nun $A_{i}$ mit beispielsweise $A_{i}=\{x|x\in (a_{i},b_{i}]\,{\mbox{und}}\,b_{i}-a_{i}=1\}$. Ich teile die x-Achse einfach in ganz viele disjunkte Teilintervalle der Länge 1 (beispielsweise) auf, diese heißen $A_{i}$. Nun ist $\mathrm {X} _{A_{i}}(x)=1$ falls $x\in (a_{i},b_{i}]$. Jetzt brauche ich noch mein $\alpha _{i}$ Ich wähle für jedes $A_{i}$ eine Stützstelle (beliebig) $x_{s}\in (a_{i},b_{i}]$ und gucke mir den Funktionswert an dieser Stützstelle an. Jetzt setze ich $\alpha _{i}=f(x_{s})$. Wenn ich mir das mal so angucke, dann ist das irgendwie genauso, wie bei einem R-Integral. Ich glaube den Unterschied sieht man erst, wenn man das L-Integral im 2-Dimensionalen Raum betrachtet. Ich muss sagen, ich habe nun auch nicht die größte Ahnung, aber das Bild ist einfach nicht mit der Charakteristischen Fkt. vereinbar!

Also das Integral von $f$ ist ja gleich dem Maß der Ordinatenmenge. Wenn man die Ordinatenmenge (die Fläche unter der Kurve) in disjunkte Teilmengen (in diesem Fall Teilflächen) zerlegt (die roten Rechtecke), dann kann man ja alle Maße dieser Teilflächen addieren und erhält wieder das Maß der Ordinatenmenge (näherungsweise). --svebert 16:53, 11. Jul. 2008 (CEST)

Hier hat sich ja nix geändert... Das Bild ist falsch! Siehe hier [1]. Habe keine Zeit das "richtige" Bild hier einzufügen, aber das falsche kommt jetzt weg!--svebert 01:51, 4. Aug. 2011 (CEST)

ok, habe das Bild korrigiert und was zu geschrieben. Ist aber noch suboptimal -> nicht leicht verständlich. Vllt. kann das jemand besser Formulieren?--svebert 20:47, 6. Aug. 2011 (CEST)

Verwendung bei den Räumen der Funktionalanalysis

Ich habe eine kleine Anmerkung zu diesem Abschnitt im Artikel. Ich bin mit der Formulierung nicht ganz einverstanden. Die erwähnten Konvergenzbegriffe haben per se nichts mit dem Lebesgue-Integral zu tun, sondern werden abstrakt definiert. Richtig ist, dass viele Beispiele mit Hilfe des Lebesgue-Integrals definiert werden oder allenfalls einfach und elegant charakterisiert werden können. Bin ich da auf dem Holzweg? UrsZH 22:43, 7. Okt. 2008 (CEST)

das ist der strittige abschnitt, den ich gerade gelöscht habe :

Es ist sehr umständlich, die in der Funktionalanalysis verwendeten topologischen Vektorräume und Konvergenzbegriffe (beispielsweise Hilbertraum, Banachraum, „starke“ und „schwache Konvergenz“) anders als mit dem lebesgueschen Integral zu definieren.

jetzt zur begründung : die aufgezählten sachen werden ganz ohne lp-räume definiert !!! wenn jetzt beispiele für diese dinger gemeint sind, dann gefällt mir die aussage immernoch überhaupt nicht, da es für die genannten dinger einfachere beispiele wie $C^{m,\alpha }(\Omega ),L(E;F),\mathbb {K} ^{n},l^{p}$ gibt. und für so sachen wie (frechet-)metrik gibts auch schönere beispiele. --84.173.167.188 01:40, 12. Okt. 2008 (CEST)

Ich bin mit der Löschung einverstanden. Wie schon vorher erwähnt, ist die Aussage nicht wirklich sinnvoll. Aber auch wenn die erwähnten Begriffe ganz ohne Lebesque-Integral definiert werden, so liefert das Lebesque-Integral mit den Lp-Räumen doch klassische Beispiele, die in der Funktionalanalysis eine zentrale Rolle spielen. Auch die Charakterisierung der zugehörigen Konvergenzbegriffe durch Integrale ist von nicht zu unterschätzender Bedeutung. Ob diese Beispiele nun schön sind oder nicht, ist in meinen Augen nicht relevant.

Diese Aussagen gehören aber nicht in diesen Artikel, sondern sollten (und werden auch) in den entsprechenden Artikeln über die einzelnen Begriffe behandelt werden. UrsZH 21:27, 12. Okt. 2008 (CEST)

Bildbeschreibung fehlt bei [[Bild:Lebesgue vs Riemann.gif]]

Der Artikel enthält ein Bild, dem eine Bildbeschreibung fehlt, überprüfe bitte, ob es sinnvoll ist, diese zu ergänzen. Gerade für blinde Benutzer ist diese Information sehr wichtig. Wenn du dich auskennst, dann statte bitte das Bild mit einer aussagekräftigen Bildbeschreibung aus. Suche dazu nach der Textstelle [[Bild:Lebesgue vs Riemann.gif]] und ergänze sie.

Wenn du eine fehlende Bildbeschreibung ergänzen willst, kannst du im Zuge der Bearbeitung folgende Punkte prüfen:

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Punkt 7 Argumentation falsch

Ich bin der Meinung das folgende Argumentation schlicht falsch ist: f ist nicht Riemann-integrierbar, da es mehr als endlich viele Punkte gibt wo die Obersumme (=1) ungleich der Untersumme (=0) ist.

Denn: f ist sogar Riemann-integrierbar, wenn es zum Beispiel genau abzählbar viele Unstetigkeitsstellen besitzt, in diesem Beispiel ist f auf ganz [0,1] unstetig und deswegen nicht Riemann-integrierbar.

Außerdem verstehe ich nicht, wieso man die alternierende Reihe nur uneigentlich integrieren kann. Die Funktion hat abzählbar viele Unstetigkeitsstellen und ist damit Riemann integrierbar. -- Washbag 14:22, 31. Mai 2009 (CEST)

Ich habe die Begründung mal umformuliert. So besser? Zu "uneigentlich": Riemann integrierbar bezieht sich immer auf endliche Intervalle. --Sabata 15:30, 31. Mai 2009 (CEST)

Ja so macht es Sinn! Jetzt hab ich auch verstanden was du oben gemeint hast, deine Argumentation beruhte ja überhaupt nicht auf Unstetigkeitsstellen :D Sorry! Danke für die Erklärung zu "uneigentlich". -- Washbag 20:51, 31. Mai 2009 (CEST)

Das stimmt doch gar nicht. Nach dem Lebesgue'schen Integrabilitätskriterium ist eine Funktion genau dann Riemann-integrierbar, wenn ihre Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge bilden. Das ist nicht äquivalent zur Abzählbarkeit. Im Übrigen reicht es nicht aus, dass alle Obersummen > 0 sind, da im Grenzfall durchaus wieder null herauskommen könnte. Dass das hier nicht der Fall ist, liegt daran, dass die Obersummen stets 1 sind und somit in der Grenze nicht die 0 treffen können. --Tolentino 16:03, 1. Jun. 2009 (CEST)

Oops, wohl nicht nachgedacht. Danke für die Verbesserung. --Sabata 18:08, 1. Jun. 2009 (CEST)

Keine Ursache... Ich habe Washbag übrigens halb Unrecht getan. Er hat ja nur behauptet, dass "Unstetigkeitsstellen abzählbar" ein hinreichendes Kriterium für Riemann-Integrierbarkeit ist, kein äquivalentes. Allerdings ist das Verletzen seines hinreichenden Kriteriums natürlich kein Argument für die Nicht-Integrierbarkeit, da bräuchte man halt doch das äquivalente Kriterium... Naja, sei's drum, viele Grüße, --Tolentino 19:51, 1. Jun. 2009 (CEST)

In meinem ersten Beitrag, meinte ich auch genau das! Ich hab gedacht Sabata meint, es ist an mehr als endlich vielen Stellen unstetig und folgert daraus, dass es nicht Integrierbar ist, dass wäre ja eine falsche Argumentation(weil z.B. höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen schon hinreichendes Kriterium ist. Meine Argumentation wieso es nicht Riemann-Integrabel ist, war: Die Funktion ist auf [0,1] unstetig , [0,1] hat Lebesgue Maß 1, also kann die Funktion nicht Riemann-integrabel sein. Tut mir leid, hab mich wirklich sehr schwammig ausgedrückt. -- Washbag 22:06, 1. Jun. 2009 (CEST)

Macht doch nix, jetzt steht ja alles beisammen für diejenigen, die noch nie vom Lebesgue'schen Integrabilitätskriterium gehört haben. Viele Grüße, --Tolentino 09:28, 2. Jun. 2009 (CEST)

Bild Riemann vs. lebesque falsch

Die Riemann summen sollten Untersummen und Obersummen sein (die im limes das gleiche Ergebniss liefern müssen etc.etc.). Die im ersten Bild im Artikel abgebildete Näherung ist aber weder unter noch obersumme und daher keine Riemannsche summe. (nicht signierter Beitrag von 92.78.136.140 (Diskussion) 22:30, 2. Feb. 2012 (CET))

Beachte diesen Abschnitt: Riemannintegral#Urspr.C3.BCngliche_Formulierung_.28Riemann-Summen.29 im Artikel zum Riemannintegral. Dem Riemannintegral ist es im Limes völlig egal, wie die Partition im Detail aussieht. Hier wurde im Bild eine äquidistante Partition gewählt und immer der Funktionswert an der linken oberen Ecke. Man hätte auch Obersummen oder Untersummen nehmen können. Man darf sogar Partitionen mit nicht äquidistanten Intervallen nehmen--svebert 22:55, 2. Feb. 2012 (CET)

Abgrenzung, Integral für verschiedene Maße

Hallo, sollte man den Artikel nicht vielleicht aufteilen: Zum einen das Lebesgue-Integral als Integrationsbegriff im ℝⁿ, und zum anderen das Integral für reellwertige Funktionen in beliebigen Maßräumen? (ich kenne das zum Beispiel als Maßintegral, die englische Wikipedia hat die Weiterleitung en:Integral (measure theory)…) Wieso man das tun wollen könnte? Das Lebesgue-Integral im ℝⁿ lässt sich auch völlig ohne den Maßbegriff definieren (etwa vom Riemann-Integral ausgehend). Ist vielleicht nicht so schön, wird aber durchaus gemacht. (Randnotiz: Lebesgue (Seite 102) hat es schon mit Maßen gemacht (allerdings wohl nicht für beliebige Maßräume, wenn ich das richtig sehe), das ist also kein historischer Ansatz) Zudem ist das Wort Lebesgue-Integral doch auch sehr stark mit dem Lebesgue-Maß verbunden. Meinungen? --Chricho ¹ ² 17:17, 28. Mär. 2012 (CEST)

Man könnte das natürlich auch mit dem Lebesgue-Maß zusammen behandeln, dafür müsste dann der Artikel aber entsprechend ausgebaut werden. --Chricho ¹ ² 18:15, 28. Mär. 2012 (CEST)

Eine Aufteilung, bei der in Lebesgue-Integral nur das Integral bzgl. des Lebesgue-Maßes auf $\mathbb {R} ^{n}$ behandelt wird, fände ich sehr gut, das scheint mir auch die übliche Sprechweise zu sein. Ob Maßintegral das richtige Lemma für den allgemeinen Fall ist, weiß ich nicht so recht, der Begriff existiert zwar, aber eine Google-Suche hat mich nicht so richtig überzeugt. Das Integral wird meistens einfach nur "Integral" genannt, also vielleicht doch besser Integral (Maßtheorie)? Bei einer Definition des Lebesgue-Integrals auf $\mathbb {R} ^{n}$ ohne Maßbegriff wäre ich auch etwas skeptisch. Was meinst du genau mit "vom Riemann-Integral ausgehend"? Ich fürchte etwas, dass solche Zugänge weder mathematisch noch didaktisch viel bringen und vielleicht eher historisch interessant sind, aber ich lasse mich auch gern vom Gegenteil überzeugen. -- HilberTraum (Diskussion) 13:24, 30. Mär. 2012 (CEST)

Soweit mein oberflächlicher Blick in das Buch und mein minimales Französisch da ausreichen, scheint schon Lebesgue das dort über Maße definiert zu haben, zumindest vom Prinzip her, auch wenn er nur vom Maß im $\mathbb {R} ^{n}$ spricht. Wäre auch irgendwie komisch, wenn nicht, wo er doch als ein Begründer der Maßtheorie gilt. Das heißt, es ist wohl eher nicht von historischem Interesse. Didaktisch, nunja, in meiner Analysis-Vorlesung wurde das so gemacht, sonderlich schön finde ich das allerdings auch nicht. Kurze Skizze:

• Definiere Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger (nicht sonderlich schwer, geht mit Riemann oder was auch immer man gerade zur Hand hat).
• Definiere Integral für von unten und von oben durch punktweise monotone Folgen solcher Funktionen approximierbare Funktionen (das sind die halbstetigen mit ein paar Einschränkungen, Polstellen funktionieren auch) gerade durch den Grenzwert der Integrale der Folgenglieder.
• Definiere das Oberintegral einer Funktion als Infimum aller Integrale von von unten durch Folgen stetiger Funktionen mit kompaktem Träger approximierbaren Funktionen, die über der Funktion liegen, und entsprechend das Unterintegral.
• Wenn beide übereinstimmen (und womöglich endlich sind), nennt man die Funktion Lebesgue-integrierbar und hat den Wert.
• Das Lebesgue-Maß ergibt sich als Integral charakteristischer Funktionen.

Kann man erwähnen, didaktisch oder mathematisch bringt diese Definition aber auch meiner Ansicht nach nicht viel (eine zusätzliche Äquivalenz kann natürlich nie schaden), sollte also keineswegs eine Definition, wie wir sie im Moment haben, ersetzen. Vielleicht geht irgendein Beweis damit etwas einfacher und manche finden das vielleicht etwas anschaulicher, man braucht keinen Maßerweiterungssatz von Carathéodory (dass man ein Prämaß zu einem Maß fortsetzen kann, was auch hier im Artikel Lebesgue-Maß im Wesentlichen gemacht wird, die Konstruktion übers äußere Maß funktioniert allgemein). Im Buch von Forster wurde das früher so gemacht, mittlerweile ist er jedoch zur Vernunft gekommen, und verwendet ein wenig Maßtheorie. Die Suchergebnisse für „Maßintegral“ überzeugen mich auch nicht, einige Lehrbücher scheinen es jedoch zu benutzen und es käme ohne Klammer-Zusätze aus. WP:Lemma sagt Soweit es nach den Namenskonventionen möglich ist, sollte man die Einmaligkeit des Artikeltitels ohne Verwendung eines Klammerzusatzes anstreben.

Dass das die übliche Sprechweise ist, das Lebesgue-Integral auf den $\mathbb {R} ^{n}$ zu beschränken, denke ich auch. --Chricho ¹ ² 14:52, 30. Mär. 2012 (CEST)

In Konrad Königsberger Analysis 2 gibt es auch noch einen anderen Zugang ohne Maße, aber ich denke auch, dass es reicht, solche alternativen Definitionen nur zu erwähnen (wenn überhaupt) und bei der Maß-Definition zu bleiben. Vielleicht könnte man ja für Lebesgue-Maß einen anschaulicheren Zugang finden, der ohne Caratheodry auskommt, da müsste es was geben mit inneren und äußeren Maßen, ich habe aber jetzt grad keine Quelle im Kopf. -- HilberTraum (Diskussion) 19:02, 30. Mär. 2012 (CEST)

Bei mir ist mal folgende FormulierungBemerkung hängen geblieben, http://books.google.com/books?id=a1R0livwR9AC&pg=PA239 . --Erzbischof 19:12, 30. Mär. 2012 (CEST)

Diese Symbole kenn ich für Ober- und Interintegral, was auch immer da auf der ausgeblendeten Seite davor passiert. ;) --Chricho ¹ ² 19:39, 30. Mär. 2012 (CEST)

Hehe, ja, ich meinte aber die Bemerkung darunter. --Erzbischof 20:09, 30. Mär. 2012 (CEST)

Ah, die wirkt interessant und stimmt dem hiesigen Konsens zu. Bloß hören meine Kenntnisse leider schon vor Rado-Maßen auf. --Chricho ¹ ² 21:05, 30. Mär. 2012 (CEST)

Konvergenzsätze

In den drei Sätzen (Levi / Lebesgue / Fatou) heißt es jeweils $f_{n}\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},B)$, was unscharf bezüglich des Symbols B ist. In Elstrodt (2018) sind die Sätze für numerische Funktionen mit dem Messraum $({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))$ formuliert. Ich werde das entsprechend korrigieren. --Sigma^2 (Diskussion) 22:53, 13. Sep. 2022 (CEST)