Diskussion:Leere Menge

leere Menge Untermenge der leeren Menge

"Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge." Auch der leeren?

Wenn ja, ist somit keine Menge leer? Wenn nein, wieso nicht, sie beinhaltet doch nichts?

Ja, auch der leeren. Doch sie ist weiterhin leer, sie beinhaltet doch nichts. Man muss zwischen einer Menge und ihrem Inhalt trennen. "A ist Teilmenge von B" bedeutet: B enthält (mindestens) den Inhalt von A, nicht die Menge A selbst.

(unbek.Autor) Also 0 = ( 0 ) und was folgt ? (--Dok21fie (Diskussion) 21:29, 16. Apr. 2013 (CEST))

Was ist deine Frage? --Chricho ¹ ² ³ 21:34, 16. Apr. 2013 (CEST)

Ich glaube, hier geht es durcheinander. Die leere Menge ist nicht Element der leeren Menge ($\{\}\in \{\}$ ist falsch!) -- wohl aber Teilmenge ($\{\}\subseteq \{\}$). Viele Grüße -- Phil1881 (Diskussion) 14:53, 17. Apr. 2013 (CEST)

Danke. Das ist aufschlussreich. Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst. Außerdem gibt es dann keine Menge, die sich selbst als Element enthält. --Dok21fie (Diskussion) 17:09, 21. Apr. 2013 (CEST)

Doch ich habe da eine Frage : Wo ist in der Menge M = (a,b,c) die leere Menge ?(--Dok21fie (Diskussion) 10:36, 14. Mai 2013 (CEST))

Die leere Menge ist immer da. Du findest sie am einfachsten, wenn du die Potenzmenge betrachtest. P({a, b, c}) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Viele Grüße -- Phil1881 (Diskussion) 12:12, 15. Mai 2013 (CEST)

Das ist nicht ganz logisch.(--Dok21fie (Diskussion) 08:15, 25. Mai 2013 (CEST))

Zunächst ist das alles Definitionssache, aber in diesem Fall ist die Definition durchaus logisch. Stell dir als Menge einen Sack Körner vor. Du kannst in den Sack reingreifen und eine Handvoll Körner rausgreifen. Diese Handvoll ist eine Teilmenge der Menge. Du kannst auch reingreifen und mit einer leeren Hand rauskommen, das ist dann die leere Menge. Die leere Menge ist also in jeder Menge als Teilmenge enthalten. Auch in einen leeren Sack kannst du reingreifen und mit einer leeren Hand rauskommen. Daher ist auch in der leeren Menge die leere Menge als Teilmenge enthalten. Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:08, 27. Mai 2013 (CEST)

Vielleicht verwechselt Dok21fie ja eine "Teilmenge" mit einer "echten Teilmenge"? *wild spekulier* --RokerHRO (Diskussion) 19:32, 27. Mai 2013 (CEST)

Ganz hübsch. Doch : Wenn ich in den Sack blicke, dann sehe ich nur eine Menge Körner. Erst wenn ich die Hand hineinstrecke, ist etwas Leeres darin. Ich kann die Hand auch leer herausnehmen. Doch wer wird behaupten, dass meine leere Hand eine Teilmenge der Menge der Körner ist ? (--Dok21fie (Diskussion) 07:55, 3. Jun. 2013 (CEST))

Worauf willst du hinaus? --RokerHRO (Diskussion) 07:58, 3. Jun. 2013 (CEST)

Ich will verstehen, wieso die Leere Menge eine Teilmenge jeder beliebigen Menge sein soll.(--Dok21fie (Diskussion) 08:12, 7. Jun. 2013 (CEST))

Eine Menge A heißt genau dann Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist. Wenn A keine Elemente hat, also leer ist, so ist diese Bedingung trivialerweise erfüllt (es gibt kein Element, für das man das prüfen müsste). --Chricho ¹ ² ³ 09:40, 7. Jun. 2013 (CEST)

Prüfen könnte. Und ebenso trivialerweise wegen  nicht vorhandener gemeinsamer Elemente ist die leere Menge keine Teilmenge von B.

Auch das kann man nicht prüfen. (--Dok21fie (Diskussion) 18:14, 7. Jun. 2013 (CEST))

Nein, prüfen müsste. Man muss es nur für die Elemente prüfen, wenn es keine Elemente gibt, muss man es für nichts prüfen, und die Aussage ist trivialerweise wahr. Wenn man nichts tun muss, so hat man all seine Aufgaben erfüllt. --Chricho ¹ ² ³ 18:21, 7. Jun. 2013 (CEST)

"A ist keine Teilmenge von B": Es gibt in A ein Element, das nicht in B enthalten ist. Sei A={}. Es gibt in der leeren Menge kein Element, für das die Aussage wahr wird! -- Phil1881 (Diskussion) 11:04, 10. Jun. 2013 (CEST)

Das ist richtig geschlossen. Doch ich halte dagegen: Weil es keine gemeinsamen Elemente zwischen der Leeren Menge und einer Menge B gibt, haben die beiden Mengen nichts miteinander zu tun. (--Dok21fie (Diskussion) 21:09, 11. Jun. 2013 (CEST))

Wenn das richtig geschlossen ist, und das was du dagegenhältst dem widerspricht, dann hast du wohl falsch geschlossen. --Chricho ¹ ² ³ 21:41, 11. Jun. 2013 (CEST)

Versuch mit ein bisschen Logik:

"A ist Teilmenge von B"

bedeutet:

"Jedes Element von A ist Element von B".

Das bedeutet:

"Für jedes Ding x gilt: Wenn x ein Element von A ist, dann ist x auch ein Element von B".

Die Aussage hinter dem Doppelpunkt bedeutet:

"x ist ein Element von B oder x ist kein Element von A".

Die Aussage "A ist Teilmenge von B" bedeutet also:

"Für jedes Ding x gilt: x ist ein Element von B oder x ist kein Element von A"

Wählt man für A die leere Menge, so lautet die Aussage:

"Für jedes Ding x gilt: x ist ein Element von B oder x ist kein Element der leeren Menge"

Da die Aussage "x ist kein Element der leeren Menge" für jedes x sicher richtig ist, ist die ganze Aussage richtig. --Digamma (Diskussion) 21:26, 11. Jun. 2013 (CEST)

Es tut mir leid. Der offenkundliche Widerspruch zwischen meiner Aussage : Die leere Menge hat mit anderen Mengen nichts zu tun, ist elementfremd, und Ihrer Aussage : die Leere Menge ist Teilmenge jeder anderen Menge, liegt im Begriff Leere Menge selbst. Es ist möglich, über sie widersprüchliche Aussagen anzuleiten. (--Dok21fie (Diskussion) 16:14, 13. Jun. 2013 (CEST))

Du hältst es also für „offenkundig“, dass wenn $A$ und $B$ elementfremd sind, $A$ nicht Teilmenge von $B$ sein kann? Dann beweis das doch mal. --Chricho ¹ ² ³ 17:05, 13. Jun. 2013 (CEST)

Gerne: Es gilt : Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind. Nun hat aber A keine Elemente, also auch keine , die in B sind, infolgedessen kann A nicht Teilmenge von B sein. Darüberhinaus sind A und B elementfremd, da sie keine gemeinsamen Elemente enthalten. (--Dok21fie (Diskussion) 07:32, 19. Jun. 2013 (CEST))(nicht signierter Beitrag von Dok21fie (Diskussion | Beiträge) 20:40, 18. Jun. 2013 (CEST))

„Nun hat aber A keine Elemente, also auch keine , die in B sind, infolgedessen kann A nicht Teilmenge von B sein.“ Die Aussage „alle Elemente von A sind auch Elemente von B“ impliziert nicht, dass A überhaupt Elemente hat. Da besteht kein Widerspruch, das „infolgedessen“ in deiner Aussprache ist einfach kein gültiger Schluss. Lies dir doch die ausführliche, schöne Erklärung von Digamma nochmal sorgfältig durch – so zeigt man eben ausführlich, dass die Aussage „Die leere Menge ist Teilmenge von B“ wahr ist. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 21:15, 18. Jun. 2013 (CEST)

Die Crux ist eben, dass beide Aussagen wahr sind. Dass hier die eine Aussage die andere nicht ausschließt.(--Dok21fie (Diskussion) 07:30, 19. Jun. 2013 (CEST))

Tertium non datur. --Quartl (Diskussion) 13:50, 20. Jun. 2013 (CEST)

Das hieße nicht nur, dass du Mengenlehre mit der leeren Menge widersprüchlich findest, sondern quasi jedwede Logik (außer parakonsistente und sehr triviale). Die Aussage „Für alle x: Die falsche Aussage impliziert die wahre Aussage“ ($\forall x(\bot \rightarrow \top )$) müsstest du dann ja auch sowohl für wahr als auch für falsch halten. @Quartl Mit Tertium non datur hat das nichts zu tun. --Chricho ¹ ² ³ 19:38, 20. Jun. 2013 (CEST)

Das ist eben eine der Antinomien der Mengenlehre. Die Logik wird davon nicht berührt, jedenfalls nicht die Quantorenlogik (Funktionenkalkül). Allerdings ist die Junktorenlogik (Aussagenlogik) in ihrer Gültigkeit beschränkt. (--Dok21fie (Diskussion) 10:16, 24. Jun. 2013 (CEST))

Wie kommst du darauf, dass die nicht berührt ist? Betrachte die Aussage $\forall x(\bot \rightarrow \top )$: $\bot$ (Falsum) ist nichts anderes als die Aussage, dass $x$ Element der leeren Klasse ist. $\top$ (Verum) heißt, dass $x$ Element der Allklasse ist. Die Aussage ist also nichts anderes als „die leere Klasse ist eine Teilklasse der Allklasse“. Nach deiner vorherigen Argumentation müsste diese Aussage also sowohl wahr als auch falsch sein und die Antonomie trifft die Prädikatenlogik. Die Prädikatenlogik (Quantorenlogik) schließt die Aussagenlogik übrigens mit ein – wenn die Aussagenlogik widersprüchlich ist, so auch die Prädikatenlogik. --Chricho ¹ ² ³ 16:14, 24. Jun. 2013 (CEST)

Mal ganz pragmatisch gedacht, Dok21fie: Wenn die leere Menge wirklich zu einer Antinomie führen würde, denkst du nicht, dass das schon mal irgendjemand aufgefallen wäre? ;-) -- HilberTraum (Diskussion) 22:19, 24. Jun. 2013 (CEST)

Da bin ich ganz auf der Seite der naiven Mengenlehre. Lies mal Wikipedia.(--Dok21fie (Diskussion) 18:42, 25. Jun. 2013 (CEST))

Worauf bezieht sich das? Es gibt Antinomien der naiven Mengenlehre, ja, das sind aber eben keine Antinomien der modernen, axiomatischen Mengenlehre. Doch das was du da vorschlägst ist meines Erachtens 1. unrichtig und 2. wenn überhaupt eine Antinomie (intuitionistischen) Prädikatenlogik erster Stufe, mit Mengenlehre, welche ja auf der Prädikatenlogik aufbaut, muss man da gar nicht anfangen. --Chricho ¹ ² ³ 23:23, 25. Jun. 2013 (CEST)

Hallo Chricho!!! Hier ist eigentlich nicht der Ort, um Grundsätze der Logik zu diskutieren. Doch so viel: Die Aussagenlogik besagt, dass aus Falschem Beliebiges folgt: ( 0 impl. a mit a beliebig ) das heißt: Nichts konkretes. Also kann man sagen: Es falsum nihil sequitur. Die Aussagenlogik beschäftigt sich nur mit wahren oder falschen Aussagen, ( 0 = Falsch, 1 = Wahr ), für den Begriff: "leere Menge" ist darin kein Platz. In Gegensatz dazu kennt die Prädikatenlogik den Leeren Begriff. z.B. Aus" Alle a sind b" und " Alle a sind nicht b" folgt "Alles ist nicht a" oder " Solches a gibt es nicht", a ist leer. Das kann man leicht nachrechnen. Ein solcher leerer Begriff ist die leere Menge. Dabei wird die Gültigkeit der Logik (durch die Widersprüchlichkeit der Leeren Menge) nicht berührt. Gruß (--Dok21fie (Diskussion) 15:11, 30. Jun. 2013 (CEST))

So, machen wirs deutlicher: Ich habe das einstellige Prädikat $a(x)$. Angenommen es gilt nun $\forall x(\neg a(x))$, so folgt, dass $a$ die leere Klasse („leeren Begriff“) beschreibt. Nehmen wir nun ein zweites einstelliges Prädikat $b(x)$. Wie drücken wir nun aus, dass $a$ eine Teilklasse von $b$ repräsentiert? Ganz einfach: $\forall x(a(x)\rightarrow b(x))$. Unter der Voraussetzung, dass $\forall x(\neg a(x))$ ergibt sich mit ex-falso-quodlibet, dass $\forall x(a(x)\rightarrow b(x))$ wahr sein muss. Gemäß deiner Rede hat jedoch „die leere Klasse nichts mit anderen Klassen zu tun“, womit die Aussage falsch sein muss, und wir einen Widerspruch hätten, und zwar völlig ohne Mengenlehre, sondern in der klassischen (und sogar in der intuitionistischen) Prädikatenlogik erster Stufe. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 19:15, 30. Jun. 2013 (CEST)

Zunächst: Die verneinte Aussage ist keine leere Aussage. Doch wir müssen nicht so weit gehen. Nach der Aussagenlogik gilt: Aus Falsum folgt Verum. Da stimme ich Dir zu. Es gilt aber auch : Aus Falsum folgt Falsum. Beides sind Tautologien. Es gibt also zwei Möglichkeiten. Und für mich heißt das, dass aus Falschem kein Schluss gezogen werden kann. Vielleicht kommen wir jetzt zueinander. Gruß(--Dok21fie (Diskussion) 17:14, 9. Jul. 2013 (CEST))

"Nach der Aussagenlogik gilt: Aus Falsum folgt Verum." - ja, und die Wiederspiegelung eben genau dessen in der Mengenlehre ist die Aussage "Die leere Menge ist Teilmenge jeder nicht-leeren Menge". Oder, etwas anders formuliert, aber sonst equivalent, "Jedes Element der leeren Menge ist Element jeder nicht-leeren Menge". Oder auch, formal ausgedrückt: $\displaystyle \left(\bot \,\Rightarrow \,\top \right)\iff \forall {(x,A\neq \emptyset )}:\left(x\in \emptyset \,\Rightarrow \,x\in A\right)\iff \forall {(A\neq \emptyset )}:(\emptyset \subseteq A)$.

"Es gilt aber auch : Aus Falsum folgt Falsum." - auch dies ist richtig, und equivalent zu "Die leere Menge ist Teilmenge der leeren Menge selbst", was in die offensichtlich triviale Aussage "Jedes Element der leeren Menge ist Element der leeren Menge" umformuliert werden kann, oder formal ausgedrückt: $\displaystyle \left(\bot \,\Rightarrow \,\bot \right)\iff \forall {x}:\left(x\in \emptyset \,\Rightarrow \,x\in \emptyset \right)\iff (\emptyset \subseteq \emptyset )$.

"Beides sind Tautologien. Es gibt also zwei Möglichkeiten. Und für mich heißt das, dass aus Falschem kein Schluss gezogen werden kann." - stimmt. Und die Aussage "Aus einer widersprüchlichen (also immer falschen) Aussage folgt jede beliebige Aussage" bedeutet aus der Sicht der Mengenlehre eben "Die leere Menge ist Teilmenge jeder beliebigen Menge", oder "Ein Element der leeren Menge ist Element jeder Menge", oder formal ausgedrückt: $(\forall {(x,P(x))}:\left(\bot \,\Rightarrow \,P(x)\right))\iff (\forall {(x,A)}:\left(x\in \emptyset \,\Rightarrow \,x\in A\right))\iff \forall {A}:(\emptyset \subseteq A)$.

Ferner, die Aussagen "Alle Elemente der leeren Menge sind rationale Zahlen" und "Alle Elemente der leeren Menge sind irrationale Zahlen" schließen sich nicht gegenseitig aus (wie es vielleicht auf den ersten Blick zu erscheinen möge) - ganz im Gegenteil, sie sind beide wahr, da die leere Menge sowohl Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen, als auch Teilmenge der Menge der irrationalen Zahlen ist (schließlich ist der Querschnitt zweier elementfremden Mengen die leere Menge, und generell $A\cap A'=\emptyset$). (nicht signierter Beitrag von 87.207.254.5 (Diskussion) 22:39, 3. Mai 2016 (CEST))

Zeichen für die leere Menge

Jeder Blick in mathematische Fachliteratur zeigt, daß als Zeichen für die leere Menge fast immer ein durchgestrichener Kreis, nicht eine durchgestrichener 0 verwendet wird.
für *TeX* gilt:

• \phi (nicht \varphi!) liefert die beste Approximation an dieses Zeichen $\ \phi$
• \empty produziert die durchgestrichene 0, die nur selten verwendet wird, und daher nur als typographische Variante angesehen werden kann $\emptyset$

1) Die "formale" Definition könnte m. E. weggelassen werden. Sie trägt nichts zum Verständnis bei. 2) Nach meiner vagen Erinnerung hat ein Mathematiker einmal seine geringe Achtung eines Kollegen dadurch ausgedrückt, dass er die leere Menge nach ihm benannt hat. Stimmt das, und wenn ja, um welche Mathematiker handelt es sich? --Hanfried.lenz 09:45, 13. Nov. 2007 (CET).

• der Vollständigkeit wegen sei auch erwähnt, daß (insbesondere in älteren Büchern) auch manchmal "0" für die leere Menge verwendet wird.

--Peter S 14:39, 14. Feb 2005 (CET)

Meiner Ansicht nach trifft \empty das Leere-Menge-Zeichen, wie ich es kenne, besser als \phi. Außerdem ist \phi eben ein phi und ich asoziiere mit diesem Zeichen auch nur ein Phi und nicht die leere Menge.

TobiAs2 01:45, 15. Feb 2005 (CET)

Ich stimme für \varnothing ($\varnothing$).--Gunther 12:28, 2. Mär 2005 (CET)

Ich bin auch für \varnothing . --Squizzz 10:37, 4. Mär 2005 (CET)

Wenn ich gewußt hätte, daß \varnothing zur Verfügung steht (ist nicht Standard-TeX und steht auch nicht im Verzeichnis der hier vorhandenen Symbole), hätte ich es von Anfang verwendet (obwohl es etwas groß geraten ist). --Peter S 18:09, 4. Mär 2005 (CET)

$\varnothing$ ist ok. TobiAs2 20:10, 5. Mär 2005 (CET)

Ich bin für $\emptyset$ (\emptyset - ist ja auch der Name des Artikels!) --Martin Thoma 20:08, 20. Aug. 2012 (CEST)

Habe das jetzt erstmal ersetzt. Gibt es irgendeine Quelle dafür, dass \emptyset eine durchgestrichene 0 ist und kein durchgestrichenes Oval? Und war Bourbaki der erste? --Chricho ¹ ² ³ 23:35, 20. Aug. 2012 (CEST)

Ich bin gegen \emptyset.

1. Der Artikel sagt selbst (Notation und Codierung): „$\varnothing$ (ein durchgestrichener Kreis) [hat sich] weitgehend durchgesetzt“

2. $\varnothing$ kommt dem mir bekannten handschriftlichen Zeichen am Nächsten.

3. Schon der erste Kommentar war: „Jeder Blick in mathematische Fachliteratur zeigt, daß als Zeichen für die leere Menge fast immer ein durchgestrichener Kreis, nicht eine durchgestrichener 0 verwendet wird.“

4. Wenn ich mir die (sieben Jahre) alte Diskussion angucke, war bisher der Konsens bei \varnothing

5. „\emptyset - ist ja auch der Name des Artikels!“ ist in meinen Augen kein Argument, wenn es um die Darstellung geht.

6. $\varnothing$ ist in meinen Augen am Gefälligsten.

Einen sieben Jahre alten Konsens nach nur drei Stunden ohne nenneswerte Diskussion und nach übereinstimmender Meinung von zwei Autoren zu revidieren halte ich für ziemlich unschön. Auch wenn wir mutig sein sollen, hätte ich mir etwas mehr Zeit zur Diskussion gewünscht. Viele Grüße -- Phil1881 (Diskussion) 09:08, 21. Aug. 2012 (CEST)

@Chricho: Ich kenne keine Quelle.

@Phil1881: ich antworte mal direkt auf deine Punkte:

zu 1.: dafür hätte ich gerne eine Quelle. In den Skripten für Analysis I, II und Lineare Algebra I und II am KIT wird immer \emptyset verwendet. Hier (S. 6) wird \emptyset als übliches Symbol beschrieben.

zu 2.: mir nicht

zu 3.: wie gesagt, dann will ich Quellen

zu 5.: Da TeX zumindest zu beginn der Entwicklung von Mathematikern entwickelt und genutzt wurde und meiner Erfahrung nach auch heute noch vor allem von Mathematikern, Informatikern und Physikern genutzt wird, ist es meiner Meinung nach schon ein Argument. Zumindest die Entwickler waren wohl der Meinung, dass eine leere Menge durch $\emptyset$ dargestellt werden sollte.

Grüße, --Martin Thoma 10:18, 21. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe mal auf StackExchange nachgefragt, vielleicht kennt da jemand Quellen. --Martin Thoma 10:38, 21. Aug. 2012 (CEST)

Wir benutzen hier TeX zur Darstellung mathematischer Formeln. Und TeX sieht für die leere Menge \emptyset vor, der Name ist nicht zufällig. Wenn einem eine konkrete typographische Ausgestaltung in TeX nicht gefällt, ist das völlig nebensächlich. Der Gebrauch ist zudem auch nicht exotisch. Ich weiß, dass TeX semantisch oft nicht sonderlich stark ist, und die Software hier erlaubt es auch nicht, da Abhilfe zu beschaffen, weshalb oft Zeichen nach dem bloßen Aussehen verwendet werden. Das rechtfertigt aber nicht eine Verwendung in solchen Fällen wie diesem, in dem das Problem nicht vorliegt und es ein semantisch völlig eindeutig vorgesehenes Zeichen gibt. --Chricho ¹ ² ³ 11:01, 21. Aug. 2012 (CEST)

Formelsatz ist abhängig von Sprache und Kultur. TeX wurde von einem Amerikaner entwickelt und berücksichtigt daher in seinen Default-Layoutregeln und -Fonts den amerikanischen Formelsatz. Das müssen wir aber nicht kommentarlos so übernehmen und machen wir an anderen Stellen auch nicht: Denn wir richten im deutschen Formelsatz auch den Differentialoperator und Konstanten auf, was im engl. Formelsatz nicht üblich ist (und TeX daher nicht kennt und man es durch physische Formatierung zurechtfrickeln muss.) Da das vielen Mathematikern und Naturwissenschaftlern zu mühsam ist, oder sie die Tradition des nicht-amerikanischen Formelsatzes schlicht nicht kennen, wird leider auch in nicht-englischen Texten der TeX-Default immer mehr verwendet, mit allen Unschönheiten. :-(

Im Übrigen wird auch im engl. Wikipediaartikel en:empty set in den Formeln stets \varnothing verwendet. Anscheinend sind auch die englischen Wikipedianer mit dem TeX-Default unzufrieden. :-) --RokerHRO (Diskussion) 15:26, 21. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe mal meine wenigen Bücher aus der Vor-TeX-Zeit durchgeschaut. Herbert Meschkowski, Einführung in die moderne Mathematik, BI 1971, Grauert-Lieb, Differential- und Integralrechnung I, Springer 1976 und der dtv-Atlas schreiben eine durchgestrichene Null (\emptyset). Herbert Federer, Geometric Measure Theory, Springer 1969 schreibt einen durchgestrichenen Kreis (\varnothing). --Digamma (Diskussion) 11:00, 22. Aug. 2012 (CEST)

Dieudonné und Bourbaki verwenden in der Tat den Kreis. Ein deutsches Vor-TeX-Analysis-1-Skript verwendet die 0. --Chricho ¹ ² ³ 11:06, 22. Aug. 2012 (CEST)

Formal

Es kommt mir vor das die formelle Definition in einen Kreis herumgeht. ... ist die leere Menge..., schaut aus wie ein Satz ueber die leere Menge statt eine Definition. Vielleicht soll man sagen ... heisst leere Menge ... .130.89.223.226 16:21, 24. Sep 2005 (CEST)

Wenn "Definition" drüber steht, kann man auch einfach "ist" schreiben. Ist vielleicht etwas umständlich formuliert, wäre "Die leere Menge ist diejenige Menge, die keine Elemente hat, d.h. $\forall x\colon x\notin \varnothing$." besser?--Gunther 16:30, 24. Sep 2005 (CEST)

Definition?

Das hier ist zwar ganz interesant, aber nicht 'direkter' als das Axiom, oder? Hab ich ermal wieder rev., hier kann diskutiert werden.

" Die leere Menge $\varnothing$ ist definiert durch $\varnothing :=\{x\mid \bot \}$ wobei $\bot$ für die falsche Aussage steht. Die leere Menge enthält also ein Element $x$ genau dann, wenn die falsche Aussage wahr ist, das heißt überhaupt nicht. " --χario 19:41, 27. Mai 2008 (CEST)

Es handelt sich nicht um ein Axiom, sondern um eine Definition. Dass die definierte Klasse $\varnothing$ eine Menge ist, kann man dann als Axiom formulieren. In der ZF ist das aber unnötig, weil man ohnehin unendliche Mengen axiomatisch fordern muß, und Mengen unter Teilmengenbildung abgeschlossen sind. Wenn es also überhaupt Mengen gibt, dann insbesondere auch die leere Menge.

Angenommen, wir haben den Ausdruck $x\in \varnothing$. Mit meiner Definition kann ich ausrechnen, dass die falsche Aussage herauskommt: $(x\in \varnothing )=(x\in \{x\mid \bot \})=\bot$. Geht es mit Deiner Definition genauso einfach?--AlfonsGeser 20:52, 27. Mai 2008 (CEST)

Das ist nicht der Punkt, da wir hier selbst keine Wikipedia:Theoriefindung betreiben sollten, vorallem nicht in der Definition. Wenn dein Ansatz sinnvoll ist, bzw. wenn du ihn aus WIkipedia:Quellen hast, dann sollte es auf jeden Fall in den Artikel, aber nicht anstelle der althergebrachten Definition. Warten wir dochmal ein bisschen, was andere dazu sagen. By the way: ich bin jetzt erstmal weg. --χario 21:27, 27. Mai 2008 (CEST)

Ich betreibe hier keine Theoriefindung. Die Mengenkomprehension ist Standard-Notation in der gesamten Mathematik. Das Zeichen $\bot$ für die falsche Aussage ist in der Aussagenlogik üblich. Aber von mir aus können wir auch umständlicher $x\neq x$ dafür schreiben. Hier ist meine Quelle: Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PostScript), Vorlesungsskript, 1994. Und wo sind Deine Quellen? Ich sehe keine.--AlfonsGeser 22:00, 27. Mai 2008 (CEST)

Einer der Vorteile von ZFC besteht darin, ohne den Klassenbegriff auszukommen, aber beliebige Komprehension (im Unterschied zur Aussonderung) ist nur zulässig zur Bildung von Klassen. Wenn man auf das Axiom der leeren Menge verzichten will, muss man das Unendlichkeitsaxiom so umformulieren, dass die leere Menge nicht mehr vorkommt (Quelle?).--80.136.160.148 16:23, 28. Mai 2008 (CEST)

Irgendwo müsste sich bestimmt ein Skript oder Buch finden lassen, das die naive Mengenleere auf Mengen und nicht auf Klassen aufbaut. Da meiner subjektiven Einschätzung nach 80% der Artikelleser aus der naiven Mengenleere kommen (und zwar der ganz naiven), sollte der Artikel auch entsprechend aufgebaut sein. Nichts gegen den Zugang über Klassen, soll auf jeden Fall rein, dann aber ordentlich, mit entsprechender Darstellung der Unterschiede und der Vor/Nachteile. --χario 19:20, 28. Mai 2008 (CEST)

Also ich kenne die Definiton nur so, dass bei einer beliebigen Menge ein unerfüllbares Mengenprädikat angegeben wird, so steht es in vielen Lerhbüchern und Scripten. Manchmal sieht man auch die Definition über zwei Mengen disjunkt voneinander sind. Vielleicht könnte man das in der Definition im Artikel erwähnen, da diese Art der Definition sehr oft zu sehen sind.

Wie die obigen Beiträge zeigen, ist der Begriff "leere Menge" problematisch. Wenn es gilt, dass eine Menge über ihre Elemente definiert ist, (und nicht nur über die Anzahl ihrer Elemente) dann ist die leere Menge, die ja keine Elemente enthält, nicht definiert. Sie ist auch in gewissem Sinne widersprüchlich, denn es gilt: Zwei Mengen, die keine gemeinsamen Elemente enthalten, sind elementfremd. Damit ist ( ) und ( ) zueinander elementfremd, da ja keine gemeinsamen Elemente vorhanden sind. D.H. die Leere Menge ist zu sich selber elementfremd. Ich postuliere, dass der Begriff Leere Menge widerprüchlich ist, und, wenn immer die leere Menge das Ergebnis einer Schlussfolgerung ist, ein Widerspruch in den Prämissen vorlag. (--Dok21fie (Diskussion) 20:29, 15. Feb. 2013 (CET))

Nein, da ist überhaupt nichts offensichtlich widersprüchlich. --Chricho ¹ ² ³ 20:34, 15. Feb. 2013 (CET)

Und die korrekte Folgerung wäre, dass jede Aussage der Art "Für alle Elemente der Menge gilt ..." für die leere Menge korrekt ist. --χario 01:07, 16. Feb. 2013 (CET)

Da die Leere Menge keine Elemente enthält, ist eine solche Aussage disparat. (--Dok21fie (Diskussion) 22:22, 16. Feb. 2013 (CET))

Was hat das jetzt bitte mit der Verbesserung dieses Artikels zu tun? --Chricho ¹ ² ³ 23:11, 16. Feb. 2013 (CET)

Hab ich wohl missverstanden. D.h. die leere Menge hat keine Existenz im eigentlichen Sinne.(--92.58.21.54 15:12, 25. Feb. 2013 (CET))

Das hängt davon ab, was du unter diesem „eigentlichen Sinn“ verstehst. Im üblichen mathematischen Sinn jedenfalls existiert sie. Die leere Menge ist eben dadurch definiert, dass sie keine Elemente hat. Das ist für die Mengenlehre überhaupt kein Problem. So wie auch die Zahl Null als „Anzahl der Elemente der leeren Menge“ definiert ist, das ist auch kein Problem. --Chricho ¹ ² ³ 15:57, 25. Feb. 2013 (CET)

Kann man machen, doch normalerweise bedeutet der Begriff "Menge", auch dass etwas darin ist. Was hältst Du denn von der Menge A=(a,a,a,b,b)=(3a,2b) ?(--90.173.190.13 17:33, 3. Mär. 2013 (CET))(nicht signierter Beitrag von Dok21fie (Diskussion | Beiträge) 18:00, 3. Mär. 2013 (CET))

Also in der Mathematik heißt es das normalerweise nicht. Wenn man in der Umgangssprache manchmal meint, dass etwas drin ist, hat das ja keine grundsätzliche Bedeutung. Es heißt nur, dass man Mengen in der Mathematik eben von der Verwendung des Wortes „Menge“ in anderen Kontexten abgrenzen muss. Mit „(a,a,a,b,b)=(3a,2b)“ meinst du wohl eine Multimenge, das ist etwas anderes (man schreibt es allerdings normalerweise nicht so, wie du das geschrieben hast). Grüße --Chricho ¹ ² ³ 17:12, 3. Mär. 2013 (CET)

Danke für den Hinweis. Ich wollte nur zeigen, dass der ursprüngliche Versuch von Cantor, die Zahlen aus der Mengenlehre abzuleiten, hinfällig wird, sowie man Multimengen zulässt.(--Dok21fie (Diskussion) 20:17, 3. Mär. 2013 (CET))

Auch Multimengen lassen sich innerhalb der auf Cantor zurückgehenden Mengenlehre auf Mengen zurückführen. --Chricho ¹ ² ³ 20:26, 3. Mär. 2013 (CET)

Sicher.(--Dok21fie (Diskussion) 17:31, 4. Mär. 2013 (CET))

Gut, wenn das sicher ist, weiß allerdings nicht, was du uns sagen willst. --Chricho ¹ ² ³ 17:51, 4. Mär. 2013 (CET)

Keine Menge ist zu sich selbst elementfremd!(--Dok21fie (Diskussion) 17:31, 4. Mär. 2013 (CET))

Doch, die leere Menge, und das weißt du. So ist die Begrifflichkeit in der Mathematik. Wo ist das Problem? --Chricho ¹ ² ³ 17:51, 4. Mär. 2013 (CET)

Dass die Widersprüchlichkeit des Begriffs der leeren Menge nicht erkannt ist.(--Dok21fie (Diskussion) 16:50, 7. Mär. 2013 (CET))

Wo ist der Widerspruch? --Chricho ¹ ² ³ 17:56, 7. Mär. 2013 (CET)

Der Begriff der Leeren Menge ist in meinen Augen widersprüchlich, weil die Leere Menge zahlreiche zusätzliche Eigenschaften aufweist, die für nichtleere Mengen nicht gelten. 1. Eine Menge wird durch ihre Elemente definiert. Die Leere Menge hat keine Elemente, also ist sie nicht in diesem Sinne definiert. 2. Sie hat keine Elemente, also ist sie zu sich selber elementfremd. Eine Nichtleere Menge ist zu sich selbst identisch. 3. Die Leere Menge ist in allen Mengen enthalten. Sie ist also in sich selbst enthalten, aber auch in ihrem Komplement. Das Komplement der Leeren Menge ist die Grundmenge. Eine nichtleere Menge ist nie in ihrem Komplement enthalten. 4. Nach Axiom 5 im Hauptteil gilt für die Potenzmenge P(0)=(0). Dies führt bei wiederholter Potenzierung zu einer unendlichen Folge leerer Mengen, die sich nur durch die Tiefe der Schachtelung unterscheiden. Das ist im Widerspruch zu der bewiesenen Aussage, dass es nur eine leere Menge gibt. Dieser letzte Punkt könnte daurch behoben werden, dass man postuliert. P(0)=0. Dann gäbe es auch bei wiederholter Potenzierung nur eine Leere Menge. Doch die obigen Aussagen setzen weiterhin die leere Menge in den Widerspruch zu nichtleeren Mengen. Gruß(--Dok21fie (Diskussion) 15:35, 10. Mär. 2013 (CET))

Ja, sie hat andere Eigenschaften, aber das schafft keinen Widerspruch. Und $P(\emptyset )=\left\{\emptyset \right\}$ ist nicht leer, sondern einelementig. --Chricho ¹ ² ³ 17:11, 10. Mär. 2013 (CET)

Vielleicht sollte man aber den Gegensatz zu nichtleeren Mengewn im Hauptteil besser herausarbeiten. (Wikipedia ist ein Lexikon und kann auch unterschiedliche Auffassungen darstellen). Zusätzlich bin ich der Meinung, dass Axiom 8: Für alle Elemente aus 0 gilt... nicht richtig, auch nicht falsch, sondern disparat ist. Welche Farbe haben die Straßenbahnen von Tel Aviv? Rot oder Blau ?(--Dok21fie (Diskussion) 20:29, 11. Mär. 2013 (CET))

Die Mathematik ist aber nicht deine Alltagssprache von Straßenbahnen und Tel Aviv, sondern ein formales Gebilde, in dem Allquantifizierung eben so definiert ist, dass diese Aussage nicht „disparat“ ist, wie du behauptest, sondern beweisbar (und zwar formal!). Natürlich gehören unterschiedliche Standpunkte in Artikel der Wikipedia, allerdings nur solche, die eine gewisse Bedeutung für den Artikelgegenstand haben und sich mit entsprechender Literatur belegen lassen, und nicht irgendwelche spontanen Meinungen, die an der Sache vorbeigehen. --Chricho ¹ ² ³ 23:45, 11. Mär. 2013 (CET)

Von spontan kann bei mir keine Rede sein! Tut mir leid, wir verstehen einander nicht(--Dok21fie (Diskussion) 15:02, 17. Mär. 2013 (CET))

Tja, für die Wikipedia ist das auf jeden Fall irrelevant und gehört als Theoriefindung nicht in diesem Artikel erwähnt. Für die mathematische und philosophische Fachdiskussion ist es aller Wahrscheinlichkeit auch irrelevant, darüber muss man aber hier nicht diskutieren. --Chricho ¹ ² ³ 15:50, 17. Mär. 2013 (CET)

Also nochmals zur Verdeutlichung: In Tel Aviv gibt es keine Straßenbahnen. Das heißt, dass man über die Straßenbahnen von Tel Aviv behaupten kann, was man will, keiner kann widersprechen, man kann es allerdings auch nicht beweisen. Jede Aussage wäre disparat. Und die Leere Menge ist leer. Das heißt : (0) = 0 Wer das nicht anerkennt, hat eine Algebra vor sich, die mit der allgemeinen Auffassung von Mengen nichts zu tun hat. Gruß (--Dok21fie (Diskussion) 15:04, 24. Feb. 2014 (CET))

Die leere Menge ist leer. Das heißt aber nicht, dass sie nicht existiert. Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile. Dies gilt auch für die leere Menge. --Digamma (Diskussion) 19:56, 7. Mär. 2014 (CET)

(0)=0 heißt auch: Eine Menge von nichts ist nichts. Das heißt, dass sie auch nicht existiert. (--Dok21fie (Diskussion) 15:23, 16. Mär. 2014 (CET))

Existiert die Zahl 0 für dich auch nicht? --Chricho ¹ ² ³ 15:44, 16. Mär. 2014 (CET)

Da sollte man nichts verwechseln. Mengen kann man zwar abzaehlen, aber Zahlen sollte man nicht vermengen. Gruß (--Dok21fie (Diskussion) 08:19, 10. Apr. 2014 (CEST))

Ableitung des Leermengenaxioms?

Der ZF-Artikel enthält im Subartikel Redundanz einen Link zu einem Mengenlehre-Skript, in dem das Leermengenaxiom per Aussonderung bewiesen wird. Wäre es trotzdem hilfreich, die Ableitung des Leermengenaxioms per Aussonderung im Artikel hier explizit anzugeben? Wenn erwünscht füge ich es ein.--Wilfried Neumaier 20:28, 10. Jul. 2011 (CEST)

Ich glaube das ist nicht nötig. Wer Aussonderung verstanden hat, dem ist mit der Bemerkung ableitbar aus irgendeiner anderen Menge schon hinlänglich geholfen. --SnowIsWhite 22:11, 10. Jul. 2011 (CEST)

Vorhin habe ich im ZF-Subartikel Redundanz die Ableitung des Leermengenaxioms ohne Unendlichkeitsaxiom vermerkt mit Referenz. Trotzdem wurde sofort eine Diskussion in einem alten Diskussionspunkt zur Redundanz eröffnet, weil das offenbar nicht so klar ist, wie man es ohne dieses Axiom beweist. Daher habe ich angefragt, ob ich den Beweis geben soll. Er gilt auch in ZF ohne Unendlicheitsaxiom.--Wilfried Neumaier 00:05, 11. Jul. 2011 (CEST)

In der Tat braucht man nur irgendeine Menge. Wenn man das Unendlichkeitsaxiom hat, dann hat man ein Axiom, das die Existenz einer Menge postuliert. Wenn man nicht das Unendlichkeitsaxiom hat, hat man "normalerweise" zunächst kein Axiom, das die Existenz übrehaupt einer Menge ergibt, und braucht dann explizit "Axiom: Es gibt eine Menge".--Hagman 18:15, 30. Sep. 2011 (CEST)

Wenn man genau ist: In der Prädikatenlogik der ersten Stufe folgt die Existenz irgendeines Objekts auch ohne Axiome. Z. B. in Kenneth Kunen, Set Theory - An Introduction to Independenc Proofs, North Holland, Amsterdam 1980, S. 10:

Axiom 0: Set Existence. $\exists x\ (x=x)$.

This axiom says that our universe is non-void. Under most developments of formal logic, this ist derivabel from the logical axioms and thus redundant to state here, but we do so for emphasis.

--Digamma (Diskussion) 20:15, 27. Apr. 2012 (CEST)

Wie das eben immer ist: Bei den einen wird der Trivialfall von vorne herein ausgeschlossen, um ihn an einigen Stellen ignorieren zu können (wird wohl insbesondere bei modelltheoretischer Einführung üblich sein, aber bestimmt auch bei irgendeinem Autor nicht), bei den anderen wird er es nicht gemacht, und vllt. ist gerade der Trivialfall in ein paar Fällen nützlich. Ich denke, auf diese Forderung sollte man sich hier nicht verlassen. --Chricho ¹ ² 20:21, 27. Apr. 2012 (CEST)

War auch nur ne Randbemerkung von mir. --Digamma (Diskussion) 20:43, 27. Apr. 2012 (CEST)

So wie es derzeit im Artikel steht, ist es falsch. Klar habt ihr recht, wenn ihr sagt, mit Aussonderung bekommt man die leere Menge sofort, sobald man irgendeine Menge hat. Es ist auch richtig, dass das Unendlichkeitsaxiom die Existenz einer ganz bestimmten Menge postuliert. Aber hier muss man aufpassen: Das Unendlichkeitsaxiom setzt bereits die Existenz der leeren Menge voraus, man braucht die leere Menge, um das Unendlichkeitsaxiom formulieren zu können. Also können wir nicht die Existenz der leeren Menge durch das Unendlichkeitsaxiom beweisen. Das muss vorher geschehen! --Jobu0101 (Diskussion) 14:27, 31. Jul. 2013 (CEST)

Na, ein Axiom setzt niemals andere voraus, es ist einfach nur irgendein Satz. Man kann das Unendlichkeitsaxiom einfach hinschreiben und dann folgt daraus zusammen mit dem Aussonderungsschema das Leermengenaxiom. --Chricho ¹ ² ³ 16:01, 31. Jul. 2013 (CEST)

Um das Axiom hinschreiben zu können, braucht man doch bereits die leere Menge. --Jobu0101 (Diskussion) 19:45, 31. Jul. 2013 (CEST)

In der Form, wie es im Artikel zum Unendlichkeitsaxiom steht, ja. Aber nicht, um es streng in der Sprache der Mengenlehre hinzuschreiben, das heißt insbesondere ohne zusätzliche Definitionen allen mit Prädikatenlogik und dem Prädikat $\in$. Der Artikel zum Unendlichkeitsaxiom arbeitet nicht streng formal in der Sprache der Mengenlehre, sondern verwendet eine Erweiterung dieser, etwa um ein Symbol für die leere Menge oder auch für die Vereinigung zweier Mengen oder auch für eine einelementige Menge. --Chricho ¹ ² ³ 20:08, 31. Jul. 2013 (CEST)

Okay, ich verstehe. Kannst du das Unendlichkeitsaxiom mal so aufschreiben, dass es ohne diese Erweiterungen auskommt? Sollte man es nicht auch so (vielleicht zusätzlich) in den Artikel aufnehmen? --Jobu0101 (Diskussion) 21:48, 31. Jul. 2013 (CEST)

$\exists I(\exists o(o\in I\wedge \forall xx\notin o)\wedge \forall x(x\in I\rightarrow (\exists y(y\in I\wedge \forall z(z\in y\leftrightarrow (z\in x\vee z=x))))))$ Klar? Bin mir aber unsicher, ob das im Artikel zum Unendlichkeitsaxiom hilfreich wäre. --Chricho ¹ ² ³ 22:01, 31. Jul. 2013 (CEST)

Ja vielen Dank. Habe es verstanden. Jedoch braucht man bei dieser Formulierung kein Aussonderungsaxiom mehr für die Existenz der leeren Menge, denn die Existenz wird ja bereits hier gefordert über $\exists o(o\in I\wedge \forall xx\notin o)$ also insbesondere $\exists o(\forall xx\notin o)$. --Jobu0101 (Diskussion) 10:10, 1. Aug. 2013 (CEST)

Naja, man kann auch leicht eine andere Formulierung wählen, bei der es nicht mehr ohne Aussonderungsaxiom folgt: $\exists I(\forall o((\forall xx\notin o)\rightarrow o\in I)\wedge \forall x(x\in I\rightarrow (\exists y(y\in I\wedge \forall z(z\in y\leftrightarrow (z\in x\vee z=x))))))$. Naja, das ist Haarspalterei, das Unendlichkeitsaxiom zu fordern, ohne irgendwie die Existenz der leeren Menge zu fordern, gibt es nicht. --Chricho ¹ ² ³ 12:11, 1. Aug. 2013 (CEST)

Den Nachsatz "gibt es nicht" verstehe ich nicht. Meintst du "geht nicht"? Auf jeden Fall lustige Variante des Unendlichkeitsaxioms! --Jobu0101 (Diskussion) 12:25, 1. Aug. 2013 (CEST)

Ich meinte, dass ich nicht glaube, dass jemand eine Mengenlehre betrachtet, in der das eine Rolle spielt. --Chricho ¹ ² ³ 12:31, 1. Aug. 2013 (CEST)

Auch interessant: Das Leermengenaxiom folgt aus dem Aussonderungsaxiom. Das Unendlichkeitsaxiom ist dazu nicht erforderlich, weil in der zugrundegelegten Prädikatenlogik automatisch ein Objekt existiert, das in ZF dann eine Menge ist, aus der die leere Menge ausgesondert werden kann. --Jobu0101 (Diskussion) 21:57, 31. Jul. 2013 (CEST)

Das hängt von der Konvention ab. Manche Autoren nehmen die Existenz eines Objekts als Axiom der Prädikatenlogik an, andere nicht. --Chricho ¹ ² ³ 22:03, 31. Jul. 2013 (CEST)

Kommt man dann nicht in Konflikt mit den Ableitungsregeln? Und folgt nicht aus dem Aussonderungsaxiom:

$\forall A\,\exists M\,\forall x(x\in M\leftrightarrow (x\in A\wedge x\neq x))$?

Daraus folgt doch (da die rechte Seite immer falsch ist):

$\forall A\,\exists M\,\forall x\,x\notin M$

und damit

$\exists M\,\forall x\,x\notin M$

oder? --Digamma (Diskussion) 22:38, 31. Jul. 2013 (CEST)

Das hängt vom Kalkül ab. Die überwiegende Mehrheit der Texte, die solche Kalküle einführen, setzt das wohl voraus. Und auch in der Modelltheorie und der universellen Algebra ist das nicht unüblich, vorauszusetzen, dass die Universen von Strukturen nichtleer sind. In manchen Kontexten ist es aber natürlicher, die Existenz eines Objekts nicht vorauszusetzen. Siehe zum Beispiel La Logique des Topos (S. 8–9) – da wird der Sequenzenkalkül angepasst, um damit umgehen zu können. Die Lösung, die dort gewählt wird, ist die, eine Information „was die freien Variablen sind“ mitzuschleppen, bei deiner Ableitung etwa geht ja das $A$ verloren – wenn man im Hinterkopf hat, dass die Aussage sich nur auf Kontexte bezieht, wo auch ein $A$ betrachtet wird (wenn man Modelltheorie macht, etwa, dass man nur Modelle betrachtet mit $A$ in der Signatur), dann hat man kein Problem. (Meines Erachtens ist das nicht so künstlich, wie es vllt. erscheinen mag, nur um den einen Sonderfall auszuschließen, sondern es führt durchaus auch in anderen Kontexten zu einem klareren, wohlstrukturierteren Bild, wenn man die „freien Variablen“ als eine zusätzliche Information statt einer Eigenschaft der Formel auffasst) Man kann es sicherlich auch weniger elegant machen mit vielen Spezialfällen oder dergleichen, habe hier ein Zitat von Quine gefunden. --Chricho ¹ ² ³ 23:46, 31. Jul. 2013 (CEST)

Danke für diese ausführliche Antwort. --Jobu0101 (Diskussion) 18:52, 6. Aug. 2013 (CEST)

Ich habe nun noch eine Frage zur Existenz der leeeren Menge: Ich habe gelesen, dass man das Aussodnerungsaxiom auch fallen lassen kann, wenn man das Ersetzungsschema hat. Wie konstruiert man sich denn mit dem Ersetzungsschema nun die leere Menge? Mit der Version des Ersetzungsschemas, die hier in der Wikipedia steht, ist das kein Problem, aber ich kenne diese hier:

$(\forall x\in u.\exists !yA(x,y))\Rightarrow \exists v\forall y(y\in v\Leftrightarrow \exists x\in u.A(x,y))$

Das heißt, wir starten bereits mit einer Menge u, so dass A für jedes Element von u definiert ist. Wenn man nun eine beliebige Menge hat, zum Beispiel eine induktive, deren Existenz durch das Unendlichkeitsaxiom gefordert wird, wie bekommt man daraus mit meiner Version des Ersetzungsschemas die leere Menge? --Jobu0101 (Diskussion) 18:52, 6. Aug. 2013 (CEST)

Denke nicht, dass es in dieser Variante in jedem Fall funktioniert (außer du hast bei anderen Axiomen spezifische Sachen, zum Beispiel dass das Unendlichkeitsaxiom schon alleine die Existenz der leeren Menge impliziert): Nimm das Axiomensystem ZFC, aber ohne Aussonderungsaxiom, mit deiner Variante des Ersetzungsaxioms und ohne Unendlichkeitsaxiom. Jetzt konstruieren wir ein Modell, in dem es keine leere Menge gibt: Zunächst nehmen wir uns Symbole $a_{0},a_{1},\ldots$, die in dem Modell liegen sollen, und setzen $a_{0}\ni a_{1}\ni a_{2}\ldots$. Über diesen Symbolen betrachten wir nun alle nicht-leeren hereditär endlichen Mengen, deren transitiver Abschluss die leere Menge nicht enthält. Ich behaupte, diese Menge bildet ein Modell des besagten Axiomensystems: Paarmengen-, Vereinigungs- und Extensionalitätsaxiom sollten klar sein. Ebenso die Ersetzung, es kommt ja nie eine leere Menge raus mit deinem Ersetzungsschema. Fürs Potenzmengenaxiom beachte man, dass die leere Menge nicht Teil der Potenzmenge ist. Fundierung ist auch kein Problem (auch wenn das Modell nicht fundiert ist), weil sich $\left\{a_{0},a_{1},\ldots \right\}$ nicht bilden lässt. Mit Unendlichkeitsaxiom ist natürlich die Frage, wie man das sinnvoll formuliert, wenn die Existenz der leeren Menge nicht gegeben ist, da hatten wir ja oben mehrere Varianten. --Chricho ¹ ² ³ 22:30, 6. Aug. 2013 (CEST)

Womöglicht interessiert dich diese Frage bei MathOverflow. --Chricho ¹ ² ³ 00:01, 7. Aug. 2013 (CEST)

Danke wiedermals für die Erörterung. Dann hat das Skript, in welchem ich gestern las, also nicht so ganz recht, da es behauptet, aus dem Ersetzungsschema in obiger Version könnte man

$\forall x,y,z\colon (E(x,y)\land E(x,z)\Rightarrow y=z)\Rightarrow \forall A\colon \exists M\colon \forall y\colon (y\in M\iff \exists x\colon (x\in A\land E(x,y)))$

folgern, um dann daraus unmittelbar das Aussonderungsschema herleiten zu können. --Jobu0101 (Diskussion) 07:36, 7. Aug. 2013 (CEST)

Meine Auffassung ist, dass die Leere Menge zwar formal definiert werden kann, aber dass es für sie keine anschauliche Darstellung gibt. Man versuche mal, in den Venn´schen Diagrammen einen Kreis ohne Inhalt zu ziehen! Das kleinste Element ist hier der Punkt, der einem Individualbegriff entspricht. lässt man den auch weg, ist nichts mehr da. Aber über nichts sollte man sich nicht aufregen. (--Dok21fie (Diskussion)) (nicht signierter Beitrag von Dok21fie (Diskussion | Beiträge) 10:51, 26. Aug. 2017 (CEST)) Im Übrigen kommt man mit den Axiomen im Artikel formal nur klar, wenn man zwei Bezeichnungen für die Leere Menge gleich setzt : O = ( ). 18.2.2018(Dok21fie) Das Axiom, dass die leere Menge Untermenge jeder Menge sein soll, ist damit unwahr.(Dok21fie)17.2.2018 Darueberhinaus halte ich das Axiom, dass eine beliebige Aussage ueber die (nicht existierenden) Elemente der Leeren Menge, außer der Existenz-Aussage, wahr sein soll, für bedenklich. Man belastet damit sein System mit einer Fülle von Aussagen , die keine Grundlage haben. 7.9.2017 (--Dok21fie (Diskussion))

Das hat nichts mit dem Leermengenaxiom zu tun, sondern ist eine Folge der Regeln der klassischen Prädikatenlogik. --Digamma (Diskussion) 13:08, 7. Sep. 2017 (CEST)

In der Tat. Doch angemessen kann man dieses Problem nur mit der 3-wertigen Logik nach Lukasiewicz bearbeiten. Im Rahmen der Aussagenlogik, wäre es m.E. rationeller, alle Aussagen über die Elemente der leeren Menge als fasch anzusetzen. 14.9.2017 (--Dok21fie (Diskussion))

Mengenleere

Die leere Menge ist keine Menge -- 0xAFFE 03:26, 19. Sep. 2011 (CEST)

Kein Lichtblick, sondern (d)eine unetablierte Privattheorie. --RokerHRO 08:11, 19. Sep. 2011 (CEST)

Nenne mir doch bitte eine gemeinbekannte Theorie, die nicht irgendwann einmal eine "unetablierte Privattheorie" gewesen ist. Ein bisschen weniger Konservatismus, ein Hauch von Argumentation - und der nächste Kommentar könnte etwas werden! -- 0xAFFE 02:05, 21. Sep. 2011 (CEST)

Die gibt es nicht, da geb ich dir recht. Aber: Nach WP:TF ist es nicht die Aufgabe der WP, neue Theorien zu verbreiten oder zu etablieren. Es sollen stattdessen nur Theorien, die bereits etabliert sind, hier beschrieben werden. Tut mir leid. --RokerHRO 13:12, 21. Sep. 2011 (CEST)

Du solltest dich erst mit axiomatischer Mengenlehre befassen, bevor du das alles in Frage stellst. Mit solchen saloppen Cantor-Formulierungen argumentiert heute niemand mehr. --Chricho ¹ 19:13, 21. Sep. 2011 (CEST)

Zudem geht es in der Mathematik nicht darum, dass ein Begriff irgendeiner anschaulichen Vorstellung von Weidenkörben und dem normalen Sprachgebrauch entspricht, es geht allein um die innere Konsistenz. --Chricho ¹ 19:15, 21. Sep. 2011 (CEST)

Du scheinst die Argumentation ganz einfach nicht begriffen zu haben; der Weidenkorb war lediglich ein anschauliches Beispiel für die Problematik. Es ist auch schlicht egal, ob axiomatische Mengenlehre oder nicht - die Begriffe von Menge und Element sind unzertrennlich. Hierfür solltest Du Dir einmal genauer anschauen, was ein ganzheitliches Begriffspaar ist oder den Artikel ganz einfach nochmal lesen. Es kann keine leere Menge geben, sonst haben wir Mengenleere statt Mengenlehre. -- 0xAFFE 18:01, 30. Sep. 2011 (CEST)

Dass du die als unzertrennlich ansiehst, ist der Mathematik vollkommen egal, a priori haben diese Begriffe für die Mathematik überhaupt keine Bedeutung, die Axiome müssen stimmen, und dann darf die leere Menge auch eine Menge sein und das leere Wort ein Wort und die Null eine Zahl etc. --Chricho ¹ 20:51, 30. Sep. 2011 (CEST)

Btw. kannst du statt des bit-gefummels auch einfach nen unsigned nehmen zum shiften… Und deine Kommentarfunktion geht nicht. --Chricho ¹ 19:37, 21. Sep. 2011 (CEST)

Danke für den Hinweis, ich mach mir gern mal zu viel Arbeit - werde den Artikel entsprechend überarbeiten. Die Kommentarfunktion geht sehr wohl, allerdings musst Du dafür unten den Captcha eingeben - ich gebe zu, das ist momentan schlecht plaziert. -- 0xAFFE 18:01, 30. Sep. 2011 (CEST)