Diskussion:Legendresche Vermutung

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Ist „Bewiesen ist, dass eine Primzahl oder eine aus zwei Primzahlen zusammengesetzte Zahl zwischen n² und (n+1)² liegt.“ eine unglückliche Formulierung? Mit n aus den natürlichen Zahlen ist der Abstand d zwischen n² und (n+1)² $d=(n+1)^{2}-n^{2}=n^{2}+2\,n+1-n^{2}=2\,n+1$, was einen Abstand von mindestens 3, d.h. zwei dazwischen liegenden Zahlen bedeutet. Von denen ist dann mindestens eine gerade und damit die 2 oder ein Produkt aus 2 und weiteren Primzahlen, während mindestens eine weitere Zahl dann Primzahl oder Produkt aus mindestens zwei Primzahlen ohne die 2 sein muß. --87.163.91.191 03:04, 27. Okt. 2008 (CET)

Und deshalb kommt das jetzt mal raus! Das was da steht ist absolut trivial, sollte also weg, und wenn etwas anderes gemeint war, dann sollte der falsche Text wohl auch weg. --94.221.86.174 23:58, 27. Apr. 2009 (CEST)

Kann das leider nicht löschen aus irgendeinem Grund. Aber unterstütze die Löschungsforderungen. Eigentlich bedarf das nicht mal eines Kommentars... (nicht signierter Beitrag von 188.105.135.31 (Diskussion | Beiträge) 22:46, 22. Nov. 2009 (CET))

unterstütze Löschen, da die Quelle für die Behauptung, daß die Vermutung bewiesen sei fehlt. Spekulation: Ausserdem wird bei n -> Unendlich der Abstand zwischen n**2 und (n+1)**2 so dünn, dass der Beweis dort schwierig wird. Eher von oben herunter ein Beweis möglich, dass unterhalb einer gewissen Schranke die Behauptung beweisbar ist. -- Gh7401 00:22, 20. Feb. 2010 (CET)

Ich habe das mal rausgenommen, bitte ansonsten keine Fragen in Artikel schreiben, dafür ist die Diskussionsseite da. --P. Birken 19:56, 16. Aug. 2010 (CEST)

Da der Bereich von Möglichen Priemzahlen n*2 ist (bei n = 1000 ist der bereich also 2000) müsste man also eine Primzahllücke finden, die groß genug ist bei n= 1000 müsste hier also eine Primzahllücke von 2000 vorhanden sein (was ja nicht so ist um genau zu sein sind in dem Bereich 152 Primzahlen). Dadurch, dass jedoch n immer größer wird brauchen wir jedoch immer größere Lücken, diese kann man errechnen (siehe: http://de.wikibooks.org/wiki/Primzahlen:_V._Kapitel:_Primzahllücken), jedoch sind diese lücken immer bei einer höheren Zahl als wir "zur verfügung haben", wodurch die Theorie belegt wäre. Beispiel bei n = 3, wir brauchen also eine Lücke von 6, die es jedoch erst zwischen 61 und 67 gibt! Oder habe ich bei meiner Überlegung etwas übersehen? Jan F. Pollmann 03.04.2012 17:09 (ohne Benutzername signierter Beitrag von 188.101.131.159 (Diskussion))

Obige behauptung hätte sich doch leicht korrigieren lassen, da sie in dem Wolfram-Weblink erwähnt wird. Gemeint ist eine zahl, die prim ist oder aus genau zwei Primfaktoren besteht und der Beweis ist von Chen.--Claude J (Diskussion) 07:41, 18. Sep. 2012 (CEST)

Überprüfen

Aus dem Artikel:

Verschärfungen der Vermutung

Im "BUCH der Beweise" (zuerst auf englisch als "Proofs from the BOOK" erschienen), von Martin Aigner und Günter M. Ziegler wird eine Frage von Opperman (1882) erwähnt: "Gibt es für n ≥ 2 mindestens eine Primzahl zwischen (n-1)n und n², und mindestens eine zwischen n² und n(n+1)? Gibt es also zwischen zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen immer mindestens zwei Primzahlen?". Diese Vermutung ist ebenfalls noch nicht bewiesen - da es sonst die Legendresche auch wäre. Bewiesen ist aber, dass zwischen hinreichend großen benachbarten Kubikzahlen mindestens 2 Primzahlen existieren.

Beispiele für die Verschärfungen

Für n=2, 3, 4 und 5 erfüllen (., 3), (5, 7), (11, 13), (17,19, 23) und (29, .) die Bedingungen der verschärfenden Vermutungen.

In diesem Abschnitt ist der Wurm drin: die Zahlen passen nicht zur Definition, und der Satz "Gibt es also zwischen zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen immer mindestens zwei Primzahlen?" nicht zu Definition noch zu den Zahlen. --Erzbischof 19:08, 31. Mär. 2009 (CEST)

Die Löschwut auf dieser Seite durch Leute, die offensichtlich nicht lesen können oder mathematisch triviale Folgerungen nicht begreifen, zeigt mir, dass Mathematik in der Wikipedia keine Zukunft hat. --Sommerfm (Diskussion) 15:57, 5. Jun. 2014 (CEST)

Siehe en:Oppermann's conjecture. Habs eingefügt.--Claude J (Diskussion) 08:38, 5. Apr. 2019 (CEST)

Zweierpotenzen

Kann man aus dieser Vermutung folgern, ob es zwischen 2^n und 2^(n+1) immer eine Primzahl gibt? Oder ist das evtl. schon bewiesen? In der Kryptografie muß man ja gelegentlich eine n-bittige Primzahl wählen. Wäre blöd, wenn das nicht immer ginge. (nicht signierter Beitrag von 2001:8D8:1FF:F000:A6BA:DBFF:FEFD:12E2 (Diskussion | Beiträge) 14:17, 18. Sep. 2014 (CEST))

Wegen $2^{n+1}=2\cdot 2^{n}$ folgt das sofort aus dem Satz von Bertrand, nach dem zwischen jeder natürlichen Zahl und ihrem Doppelten eine Primzahl liegt. --Franz 21:48, 18. Sep. 2014 (CEST)

Danke. Wenn dieser Satz im Artikel über Primzahlen erwähnt würde, hätte sich diese Frage von vornherein erübrigt. (nicht signierter Beitrag von 2001:8D8:1FF:F000:A6BA:DBFF:FEFD:12E2 (Diskussion | Beiträge) 12:30, 19. Sep. 2014 (CEST))

Man kann natürlich nicht gut alles über Primzahlen Bekannte in den Artikel Primzahl aufnehmen, immerhin gibt es dort aber im zum Thema gehörenden Abschnitt Primzahllücken einen Link zum Hauptartikel Primzahllücke, wo man dann im dortigen Abschnitt Obere Schranken den Satz von Bertrand findet. Ich werde aber einen zusätzlichen Hinweis darauf direkt in den Artikel Primzahl einfügen. --Franz 13:40, 19. Sep. 2014 (CEST)

Verständnisschwierigkeit

Es gibt doch das Bertrandsches Postulat, das besagt, dass für jede natürliche Zahl $n>1$ mindestens eine Primzahl $p$ mit $n<p<2\,n$ existiert. Nun ist $(n+1)^{2}=n^{2}+2\,n+1$, was heißt, zwischen $n^{2}$ und $(n+1)^{2}$ gibt es das Intervall $2\,n+1$. Aber laut Betrand (was auch Tschebyschow, Ramanujan, Erdős bewies) gibt es in diesem Intervall mindestens eine Primzahl. Wo ist also die Frage? Oder geht es um etwas anderes? --Iovialis (Diskussion) 15:44, 21. Feb. 2024 (CET)

Die von dir erwähnte, bei Legendre auftretende, Differenz (n+1)²-n²=2n+1 der beiden Intervallgrenzen (das ist die Intervalllänge) hat nichts mit dem bei Bertrand auftretenden Quotienten 2n/n=2 der dortigen Intervallgrenzen zu tun: Dieser Quotient bei Legendre (n+1)²/n²=(1+1/n)² ist stets kleiner als 2, sobald n größer als 2 ist, und strebt bei unbegrenzt wachsendem n ziemlich rasch gegen 1.

So gibt es zum Beispiel nach Bertrand mindestens eine Primzahl zwischen 100² und 2×100², also zwischen 10.000 und 20.000 (denn der Quotient 20000/10000=2 ist nicht kleiner als 2). Bei Legendre wird aber sogar eine Primzahl in dem (viel!) kleineren Intervall zwischen 100² und (100+1)², also zwischen 10.000 und 10.201 vermutet (obwohl der Quotient 10201/10000=1,0201 deutlich kleiner als 2 ist). --91.119.45.248 21:02, 21. Feb. 2024 (CET)

Merci vielmals für die Antwort! Jetzt hab' ich's wohl verstanden: Legendre vermutete, dass zwischen $n^{2}$ und $(n+1)^{2}$ (mindestens) eine Primzahl liegt - also im dazwischenliegenden Bereich $2n+1$. Bertrand (und andere) bewiesen, dass im Bereich $2n$ mindestens eine Primzahl vorkommt. Wollte man zeigen, dass Legendre richtig lag, müsste man zeigen, dass wenn man zu einer Quadratzahl ($n^{2}$) eine Zahl aus dem Bereich $2n+1$ hinzuaddiert, das Ergebnis (mindestens einmal) eine Primzahl ist. Das Einzige, was hier mit Bertrand zu tun hat, ist, dass der Bereich, woher diese "hinzuaddierende Zahl" stammen soll ($2n+1$), mindestens eine Primzahl enthält. Konkret: zwischen $100^{2}=10.000$ und $101^{2}=10.201$ gibt es 201 Zahlen und (laut Bertrand) sind darunter (unter den 201 Zahlen) auch Primzahlen, was aber nicht heißt, dass im Bereich 10.000 bis 10.201 auch mindestens eine Primzahl ist - das müsste man getrennt beweisen. --Iovialis (Diskussion) 14:45, 22. Feb. 2024 (CET)

Du verwendest den Begriff „Bereich x“ (mit einer Zahl x) auf unterschiedliche Arten, wobei keine davon üblich ist (weil so ein Begriff unter Mathematikern überhaupt nicht definiert ist). Vermutlich meinst du damit beim ersten Vorkommen (im zweiten Satz) „in einem Intervall der Länge 2n+1“, das wäre dann korrekt. Beim zweiten Vorkommen im dritten Satz hingegen meinst du offenbar etwas anderes, denn „in einem Intervall der Länge 2n“ passt überhaupt nicht zu Bertrands Aussage. Beim dritten Mal im darauffolgenden Satz meinst du spezifischer als vorher „im Intervall (der Länge 2n+1) zwischen 0 und 2n+1“, also nicht „in einem beliebigen Intervall der Länge 2n+1 (zwischen x und x+2n+1 mit beiebigem x)“. Dasselbe gilt ganz offensichtlich auch für das nächste Vorkommen im nächsten Satz, allerdings hat dies (anders als du dort behauptest) überhaupt nichts mit Bertrand zu tun – denn bei ihm stammt die Primzahl aus dem Intervall zwischen n und 2n der Länge n. Nun folgt noch dein letzter Satz, der in sich völlig widersprüchlich ist. Denn du schreibst dort doch im Grunde, dass zwischen 10.000 und 10.201 Primzahlen seien, was aber nicht hieße, dass im selben Bereich auch mindetsens eine Primzahl sei.

In Summe bringt mich das natürlich zur Überzeugung, dass deine einleitend erwähnte Vermutung, dass du es jetzt „wohl verstanden“ hättest, falsch ist. Lass mich daher Bertrands Postulat gleichwertig umformulieren, damit dir der Zugang zu seinem Inhalt erleichert werden möge. Er hat genau Folgendes bewiesen (und nicht mehr als das!):

• Für jede positive ganze Zahl m=2n gilt:

Die m kleinsten positiven ganzen Zahlen 1, 2, 3, …, m-1, m – also 1, 2, 3, …, n-1, n, n+1, …, 2n-1, 2n – lassen sich in der Mitte (zwischen n und n+1) in zwei gleichgroße Hälften zu je n=m/2 Zahlen teilen, nämlich 1, 2, 3, …, n-1, n und n+1, n+2, n+3, …, n+(n-1)=2n-1, n+n=2n. In der zweiten dieser beiden Hälften (das sind genau die Zahlen, die größer als m/2, aber nicht größer als m sind!) befindet sich stets eine Primzahl.

Oder etwas geometrischer:
Wenn man den positiven Zahlenstrahl irgendwo rechts abschneidet (z.B. bei m=8), entsteht eine Strecke, in deren rechter Hälfte (also zwischen m/2=4 und m=8) stets eine Primzahl liegt. Die rechte Intervallgrenze ist also immer doppelt so groß wie die linke: Das Verhältnis (der Quotient) m/(m/2)=2 (oder 2n/n=2) der Intervallgrenzen ist eine Konstante, nämlich stets gleich 2.

Bei Legendre ist das völlig anders: Für jede Quadratzahl (n+1)² als obere Intervallgrenze ist die untere Grenze nicht m/2=(n+1)²/2, sondern gleich der nächstkleineren Quadratzahl n². Und n² teilt den Zahlenstrahl von 0 bis m=(n+1)² keineswegs in der Mitte, sondern für n>2 rechts davon, sodass mit wachsendem m der Ort für die vermutete Primzahl auf einen immer kleiner werdenden Anteil des Abschnitts zwischen 0 und m eingeschränkt wird. Dieser Anteil wird bei hinreichend großem m sogar kleiner als jede beliebig vorgegebene positive Zahl werden (für unser früheres Beispiel mit m=101² ergäbe sich mit (101²−100²)/101²=0,0197… weniger als 2 %), während er bei Bertrand konstant gleich 50 % ist. Das sollte eigentlich verständlich machen, warum sich Legendres Vermutung so trotzig einem Beweis widersetzt: Es handelt sich um eine wesentlich stärkere Aussage als Bertrands bewiesener Satz.--91.119.45.248 17:47, 22. Feb. 2024 (CET)

Nochmals danke für die Antwort und Sorry, dass ich mich sprachlich nicht gerade so ausdrücken kann, wie das Mathematiker tun. Meinen Denkfehler glaube ich trotzdem verstanden zu haben - auch ohne Deine weitere Erklärung (mit Deinem anfänglichen Seitenhieb auf die Sprache). Ich unterlag dem Irrtum, dass im Intervall $2n+1$ wie Bertrand bewies, auch im Fall Legendresche Vermutung mindestens eine Primzahl liegt, wobei ich nach Deinen ersten Ausführungen verstand, dass ich die Intervallgrenzen $n^{2}$ und $(n+1)^{2}$ unbeachtet ließ. Was ich zeigen kann (ohne Bertrand), ist, dass zwischen den Quadraten von zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen immer Primzahlen liegen (müssen). Allerdings zweifle ich daran, dass ich das mit den "Sprachregelungen der Mathematik" hinbekomme und wahrscheinlich ist das sowieso nichts für Wikipedia. ALso belassen wir's dabei. --Iovialis (Diskussion) 09:30, 23. Feb. 2024 (CET)

Einverstanden: Wir belassen es auch aus meiner Sicht wohl wirklich besser dabei.--91.119.45.248 02:46, 24. Feb. 2024 (CET)