Diskussion:Leibniz-Kriterium

Zum Archiv

Wie wird ein Archiv angelegt?

Automatische Archivierung

Auf dieser Seite werden Abschnitte halbmonatlich automatisch archiviert, wenn sie mit {{Erledigt|1=--~~~~}} markiert sind. Um die Diskussionsseite nicht komplett zu leeren, verbleibt mindestens ein Abschnitt.

Komplexe Zahlen

soweit ich weiß gilt das Kriterium nicht in den Komplexen Zahlen ... hat jemand ein gutes Argument wieso? Der Beweis scheint ja auszunutzen, dass der entsprechende Körper angeordnet ist - aber hat vielleicht jemand ein Gegenbeispiel? Das würde den Artikel sicher aufwerten .. Bitte auch auf meienr Diskussionseite kurz bescheid geben, wenn wer was weiß :D Danke! --Self 18:54, 4. Mär 2006 (CET)

Ich verstehe nicht, was Du da erwartest. Beispiele dafür, dass es ohne Monotonie nicht funktioniert, gibt es schon im Reellen, z.B.

$a_{n}={\begin{cases}1/n&n\ \mathrm {gerade} \\0&n\ \mathrm {ungerade} \end{cases}}$

Wenn ich mich recht erinnere, gibt es eine in mancher Hinsicht vergleichbare Aussage in der Form: Für eine (komplexe) Folge $(a_{n})\in \ell _{2}$ ist $\sum a_{n}\zeta ^{n}$ für fast alle $|\zeta |=1$ konvergent. Aber ohne Gewähr...--Gunther 13:56, 5. Mär 2006 (CET)

monoton fallende (bzw. wachsende!) Nullfolge

Konvergiert eine unendl. Reihe nach dem Leibniz-Kriterium nicht auch, wenn die Folge a_n zwar keine monoton fallende, aber eine monoton wachsende Nullfolge ist? Drehen sich dann nicht einfach die Vorzeichen um, das prinzipielle Geschehen (Die Summanden gleichen sich gegenseitig aus) bleibt aber gleich? Siehe dazu auch den Weblink zum Beweis bei der Uni Stuttgart.

Klar. Wenn

$s=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$,

dann

$-s=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(-a_{n})$.

Ich glaube nicht, dass man das extra dazusagen muss. --NeoUrfahraner 11:11, 5. Dez. 2006 (CET)

Ok, ich sehe ein. Aber für Mathematikunerfahrene ist das IMHO nicht unbedingt gleich ersichtlich. Fragt sich bloß, welche Zielgruppe der Artikel hier hat/haben soll. --Sichtklar 19:17, 7. Dez. 2006 (CET)

Ich denke das Oma-Kriterium sagt ziemlich direkt, für an wen sich der Artikel richtet. Ich habe das mal ergänzt. --Martin Thoma 19:49, 26. Aug. 2012 (CEST)

Übersichtlichkeit

Zu Beginn sollte das Kriterium einmal möglichst kompakt formuliert werden:

Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die Beträge ihrer Summanden eine monotone Nullfolge bilden.

Zum ersten Absatz (Definition):

• Was wird definiert? Besser wäre "Formulierung", oder "Formulierung des Kriteriums" als Überschrift
• Gegenbeispiele sollten zum besseren Verständnis erst nach den Beispielen aufgeführt werden

Zum zweiten Absatz (Beispiele):

• Unter Berücksichtigung, dass zuerst Beispiele und dann Gegenbeispiele aufgeführt werden, sollte der Absatz umbenannt werden. Möglichkeiten wären "Anwendung", "Anwendbarkeit", etc.

Details:

• Das Gegenbeispiel könnte noch verschönert werden:

$a_{n}={\begin{cases}0&\mathrm {falls} \ n=0\\{\frac {2}{n}}&\mathrm {falls} \ 0\neq n\ \mathrm {gerade} \\{\frac {1}{n!}}&\mathrm {falls} \ n\ \mathrm {ungerade} \end{cases}}\,$

Dann ist die Teilsumme der ungeraden Glieder sinh(1), insbesondere also konvergent.

--Fishroot 14:27, 1. Jun. 2008 (CEST)

Hallo Fishroot,

mal schauen, was nach über 4 Jahren von deinen Anmerkungen bereits umgesetzt wurde und was nicht. Du hast damals über diese Version geredet:

Kompakte Formulierung zu beginn: noch offen

Ich finde die Formulierung unter Leibniz-Kriterium#Aussage_des_Kriteriums kompakt und sie ist relativ am Anfang. In die Einleitung würde ich sso etwas nicht stellen, da die Einleitung besonders allgemeinverständlich sein sollte.

Erster Absatz:

„Definition“ in „Aussage des Kriteriums“ umformuliert erledigtErledigt

Gegenbeispiele nach Beispielen erledigtErledigt

Benennung „Beispiele“ ist unpassend, da auch Gegenbeispiele in diesem Abschnitt sind:  Nein

Das wurde noch nicht gemacht. Ich gebe dir recht, dass die Formulierung nicht ganz passt. Allerdings finde ich deine Vorschläge auch nicht überzeugend und mir fällt leider selbst nichts besseres ein.

Verschönerung von Leibniz-Kriterium#Gegenbeispiel  Nein

Auch das wurde noch nicht gemacht. Die Aussage

„Die Reihe $S$ mit diesen Koeffizienten hat als positive Terme die harmonische Reihe, die divergiert, und als negative Terme die Reihe der reziproken Quadrate, die konvergiert.“

finde ich sowieso etwas seltsam. Man sollte die Reihe S schon explizit hinschreiben. Wenn ich diesen Satz richtig verstehe, dann ist die Reihe S nicht die Reihe über $(a_{n})$. Das geht auf jeden Fall besser.

Ich finde dein Beispiel auch besser. Ich habe mit Wolfram|Alpha mal den Grenzwert überprüft, der ist $e-1$ und nicht $\sinh(1)$. Oder?

Grüße, --Martin Thoma 10:07, 1. Sep. 2012 (CEST)