Diskussion:Lemniskate von Bernoulli

Etymologie

Wo kommt der Name eigentlich her? Etymologie? Wer hat ihn in die mathematischen Terminologie eingeführt? --Sigune 21:38, 13. Aug 2006 (CEST)

• lemniscus, lat. "Schleife", Adjektiv dazu lemniscatus; kommt von der Form des Zeichens, die wie ne Schleife aussieht. Das Zeichen für unendliche Größen führte definitiv John Wallis im 17. Jahrhundert ein (vgl. hier sowie Florian Cajori: A History of Mathematical Notations, 2 Bde., 1928-1929 (großartiges Buch); ob Wallis auch das Wort benutzt hat, weiß ich nicht, halte ich aber nicht für wahrscheinlich, denn die Ableitung vom Adjektiv dürfte nicht im Lateinischen selbst vorgenommen worden zu sein. . --Peter Hammer 02:34, 16. Aug 2006 (CEST)

2 Fragen

Frage 1: Im Artikel steht, die Fläche einer Halblemniskate ist jeweils a² (also insgesamt 2a²). Ich hatte hier eine Aufgabe mit Musterlösung wo als Gesamtfläche 4a² rauskam. Also genau das doppelte von dem was im Artikel steht. Oder ist das im Artikel nur falsch/schlecht formuliert und a² bezeichnet die Fläche eines Quadranten?

Frage 2: Was genau ist dieses a überhaupt? Hat das eine geometrische Bedeutung? Das vermisse ich im Artikel. --maststef 17:34, 2. Jun. 2008 (CEST)

Hat sich erledigt, das "Taschenbuch der Mathematik" von Bronstein bestätigt den Artikel und sagt mir auch, was das a ist. --maststef 20:03, 8. Jun. 2008 (CEST)

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Name des Sohnes auf dessen Vater geändert. Gruß -- Gerhardvalentin 00:13, 10. Jan. 2010 (CET)

Lemniskate bei Platon

Im Timaios befindet sich eine Beschreibung, die auf das obengenannte Symbol hinweist. Nachdem das Verhältnis der Längen des Weltalls beschrieben wird, heißt es weiter "Indem er [der Ordner oder Gott] nun diese gesamte Zusammenfügung der Länge nach zweifach spaltete, die Mitte der einen an die der anderen in der Gestalt eines Chi (X) fügte, bog er sie zusammen und verband sie durch einen Kreis in eins, jede nämlich der Stelle des (ersten) Zusammentreffens gegenüber mit der sich selbst und mit der anderen, umschloß sie rings durch die gleichförmige und in einem Raume kreisende Bewegung und führte den einen der Kreise von innen, den anderen von außen herum." (Original: Platon. Timaios, P.36b-c. In: Platon, Sämtliche Werke. Übers.: Friedrich Daniel Schleiermacher. S.34. 23. Aufl. Rowohlt. Hamburg, 2009.) (nicht signierter Beitrag von 79.237.250.184 (Diskussion) 04:39, 25. Apr. 2011 (CEST)) --Wolfizero 04:46, 25. Apr. 2011 (CEST)

Hinweis im Support

Im Support erreichte uns folgender Hinweis:

Sehr geehrte Damen oder auch Herren,

in dem Artikel über die Schleifenlänge hat sichj
offenbar ein Fehler eingeschlichen. Es fehlt
ein Faktor  2 !!!  Das kann man schon durch eine sehr grobe Abschätzung nachweisen !!!
Wenn man in grober Näherung die Lemniskate
durch zwei aneinanderliegende Kreise mit dem
Durchmesser  a  (Parameter aus der Kurven-
gleichung) ersetzt, dann erhält man als
"Schleifenlänge"  2·pi·a also 6,28·a  und
nicht 3,708·a .

Gruß Reinhard Kraasch (Diskussion) 21:55, 17. Apr. 2013 (CEST)

Ist nur ein Faktor von ${\sqrt {2}}$ statt 2, aber die alten Formeln waren falsch. Ist korrigiert. Siehe WolframAlpha oder diese Seite (französisch) für die richtigen Formeln. --mfb (Diskussion) 11:57, 18. Apr. 2013 (CEST)

Stimmt so trotzdem nicht - oder habe ich etwas übersehen? In dem französischen Artikel hat a eine andere Bedeutung (Schnittpunkt mit der Abszisse). In der Version vor dieser Änderung wäre 3.708a als Bogenlänge einer Schleife anzugeben gewesen. Eine numerische Annäherung ergibt ebenfalls mindestens den Wert 3.708 für die halbe Lemniskate. Auch ein Blick auf die Quadraturzeichnung zeigt, dass der Faktor 5,244 nicht ausreicht: Die Längen, die in die Quadrate passen, sind schon größer als 4, dazu kommt noch etwas mehr als der Umfang eines Kreises mit Radius 0.5. --Lemniskater (Diskussion) 14:18, 31. Dez. 2014 (CET)

Ich habe den Faktor ${\sqrt {2}}$ eingefügt. Jetzt sollte es eigentlich passen, oder? -- HilberTraum (d, m) 15:33, 31. Dez. 2014 (CET)

Symbol für unendlich

Überschrift eingefügt von --Silvicola ^Disk 01:20, 19. Feb. 2015 (CET)

Sollte nicht zumindest irgendwo erwähnt werden, das dies das Symbol für die Unendlichkeit ist? 37.201.229.98 22:03, 18. Feb. 2015 (CET)

Nein, meiner Ansicht nach nicht. Die Lemniskate ist eine von vielen Kurven mit Doppelschlinge, die dann alle auch infrage kämen. Außerdem finde ich nicht, dass nun gerade die Lemniskate unter diesen dem Zeichen

$\infty$

besonders genau ähnelte. Selbst dass die Lemniskate üblicherweise liegend dargestellt wird, ist nur der bloßen Konvention geschuldet, die Abszisse nach rechts und die Ordinate nach oben auszurichten; die Lemniskate bleibt aber auch Lemniskate, wenn sie gedreht wird, das Zeichen für unendlich dagegen nicht. --Silvicola ^Disk 01:20, 19. Feb. 2015 (CET)

Das Unendlichzeichen hat eine ganz andere Herkunft. Grüße, --Quartl (Diskussion) 01:27, 19. Feb. 2015 (CET)

Parametergleichungen

Die Parametergleichungen sind falsch! --DiCampi (Diskussion) 14:05, 15. Mär. 2015 (CET)

Und was genau soll falsch sein bzw. was ist richtig (Quelle?)? --mfb (Diskussion) 15:29, 15. Mär. 2015 (CET)

Vielleicht mit der Bearbeitung eben erledigt, wenn denn nur eine falsche Schreibweise gemeint gewesen sein sollte.

Eine Bijektion zwischen dem Parameter $\varphi$ der Polarkoordinatendarstellung und dem Parameter $t$ der Parametergleichungen findet man unschwer, indem man aus der Polarkoordinatendarstellung wiederum die x- und y-Komponente ableitet und mit denen der Parametergleichungen gleichsetzt, das scheint zu klappen, es ergibt sich je eine Gleichung für $\sin(t)$ und $\cos(t)$ als Funktion von $\varphi$, die dann zusammen auch schön $\sin ^{2}(t)+\cos ^{2}(t)=1$ erfüllen. Für eine genaue Zusammenstückelung des aus drei Teilintervallen bestehenden Definitionsbereichs für $\varphi$ und eine Prüfung, ob dies wirklich eine Bijektion zwischen den resp. Definitionsbereichen darstellt, ist es aber für mich schon zu spät am Tage. --Silvicola ^Disk 00:31, 16. Mär. 2015 (CET)

Parameterdarstellung

Hallo,

Vorab:

  Die Winkelbezeichnungen Phi und t aus dem Artikel
  seien hier in einem phantasievollen w wie "Winkel",
  nämlich dem zwischen dem positiven Teil der x-Achse
  und der Strecke r im mathematisch positiven Drehsinn
  ("linksrum"), vereint, für den ich mich robust auf
  [0;PI/4] beschränke.

Nun mein Problem: Ich krieg' die Parameterdarstellung nicht rekonstruiert. Es müsste ja x=r*cos(w) ,sowie auch y=r*sin(w) sein, also x=a*SQR(2*cos(2*w))*cos(w), was sich dann in die Form der Formel im Artikel bringen lassen müsste. Es müsste also SQR(cos(2*w))*cos(w)=cos(w)/(sin^2(w)+1) sein und genau das kann ich nicht verifizieren. Vielmehr scheint es sich um eine ausgeklügelte Näherung mit zunehmender Genauigkeit für kleine w zu handeln. Die Parameter-Formeln so wie hier im Artikel sind sonst nirgends zu finden. Also, wer hilft mir in dieser dunklen Zeit meiner geistigen Umnachtung ? Ansonsten sehr schöne Lemniskaten-Lenker-Animation...

Mit freundlichem Gruß

David Kientopf

--Vege Tarier (Diskussion) 01:58, 6. Aug. 2015 (CEST)

Hallo, ich habe mir die Formeln jetzt nicht genauer durchdacht, aber im Artikel wird doch nirgends behauptet, dass $t=\varphi$ sein soll. -- HilberTraum (d, m) 08:48, 6. Aug. 2015 (CEST)

Winkel

Na ja,

in meiner Formelsammlung z.B. (das große Tafelwerk) sind das bloß verschiedene Namen für das gleiche Kind... Das Phi ist auf jeden Fall schon mal auch mein w, da gebe ich ein Tüv-Siegel für, hab ich alles nachgebastelt... ...und das t, was sollte es sonst sein, bleibt doch höchstens noch PI/2-w, mal ausprobieren. Danke für Deine Anteilnahme aber.

Es könnte auch um F1 bzw. F2 gedreht werden, würde den Vollwinkel als Definitionsbereich erklären...

Schön wäre hier doch ein wenig Aufklärung, auch wenn das vom selbst denken abhält. (nicht signierter Beitrag von 80.187.108.35 (Diskussion) 02:44, 7. Aug. 2015 (CEST))

Gruß Kientopf

--Vege Tarier (Diskussion) 02:14, 7. Aug. 2015 (CEST)

Wenn man die Formel nochmal scharf anschaut, sieht man doch, wie $t$ und $\varphi$ zusammenhängen: Es ist $y=x\cdot \sin(t)$, also ist der Zusammenhang durch $\sin(t)=\tan(\varphi )$ gegeben. Grüße -- HilberTraum (d, m) 10:03, 7. Aug. 2015 (CEST)

Der Unterschied zwischen der x und y Formel... habe mich auch gefragt, wieso das nur *sin(t) ist, bin aber nicht zum Schluss gekomnen. Ich operiere noch nicht kaltblütig genug mit den Winkelfunktionen, lerne grad erst laufen.

Besten Dank

David Kientopf

--Vege Tarier (Diskussion) 14:20, 7. Aug. 2015 (CEST)

Verifizierung

SQR(cos(2*w1))*cos(w1) = cos(w2)/(sin^2(w2)+1)

mit tan(w1)=sin(w2)

= SQR(1-sin^2(w2))/(sin^2(w2)+1)

= SQR(1-tan^2(w1))/(tan^2(w1)+1)

= SQR(1-sin^2(w1)/cos^2(w1))*cos^2(w1)

= SQR(cos^2(w1)-sin^2(w1))*cos(w1)

= siehe oben

--Vege Tarier (Diskussion) 15:04, 7. Aug. 2015 (CEST)