Diskussion:Lipschitz-stetige Funktion

Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel „Lipschitz-stetige Funktion“ zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Thema gehören nicht hierher. Für allgemeine Wissensfragen gibt es die Auskunft.

Füge neue Diskussionsthemen unten an:

Klicke auf Abschnitt hinzufügen, um ein neues Diskussionsthema zu beginnen.

• Diskussionsregeln
• Hilfe zu Diskussionsseiten
• Sei sachlich und freundlich!
• Greife niemanden persönlich an!
• Geh von guten Absichten aus.

Automatische Archivierung

Auf dieser Seite werden Abschnitte halbmonatlich automatisch archiviert, wenn sie mit {{Erledigt|1=--~~~~}} markiert sind. Um die Diskussionsseite nicht komplett zu leeren, verbleibt mindestens ein Abschnitt. Das aktuelle Archiv befindet sich unter /Archiv.

Lipschitzstetigkeit => Gleichmäßige Stetigkeit

Da für lipschitzstetige Funktion f stets gilt ${\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|}}<L$ ist f glm. Stetig wegen $|f(x)-f(y)|<|x-y|L<\delta L$ Für $\epsilon >0$ wähle $\delta ={\frac {\epsilon }{L}}$ Und schon gilt die glm. Stetigkeit ;-) (nicht signierter Beitrag von Prometeus (Diskussion | Beiträge) 0:33, 7. Mai 2005)

richtig. ich hab das mit dem $\delta$ auch noch im artikel ergaenzt. (@Prometeus: vergiss deine signatur nicht in den diskussionen ;-))

in diesem zusammenhang faellt mir wieder ein, dass etwaige zusammenhaenge zwischen lokaler lipschitzstetigkeit und der glm. stetigkeit erlaeutert werden sollten. waer toll, wenn da noch jemand was huebsches zu weiss.--seth 17:58, 7. Mai 2005 (CEST)

offenheit

Beispiel

Im Beispiel steht die Aussage, dass die Wurzelfunktion nicht Lipschitz-stetig an 0 sei. In der Definition wird dagegen der Befriff der Lipschitz-Steigkeit nur für eine offene Menge U festgelegt. (nicht signierter Beitrag von 80.184.165.213 (Diskussion) 19:07, 10. Okt 2005)

definition: ohne offen

in der definition kann man m.e. das offen auch weglassen (nicht signierter Beitrag von 84.114.163.130 (Diskussion) 23:02, 9. Mar 2006)

• die angesprochenen probleme sind durch die juengsten aenderungen von Benutzer:TN beseitigt worden. -- seth 14:41, 29. Apr 2006 (CEST)

definition mit metrischen raeumen

gudn tach! mittlerweile haben wir ja eine recht allgemeine definition der L-stetigkeit. aber es ginge ja eigentlich noch etwas allgemeiner, wenn man z.b. nicht von normierten, sondern allen metrischen raeumen spricht. allerdings waere diese definition wieder zu abstrakt fuer eine allgemeine enzyklopaedie. wie waere es also, wenn wir - stetigkeit als vorbild nehmend - erst eine spezielle definition und erst danach eine allgemeinere, z.b. die mit metrischen raeumen, geben? -- seth 15:32, 29. Apr 2006 (CEST)

Vorschlag:

---

Eine Funktion $f:G\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ genügt in einer Menge $M\subseteq G$ der Lipschitz-Bedingung, wenn es eine (nichtnegative) reelle Zahl $L$ gibt, mit der für alle $x_{1},x_{2}\in M$ die Ungleichung

$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq L\cdot |x_{1}-x_{2}|$

erfüllt ist.

---

Definition für metrische Räume Seien $D$ und $W$ metrische Räume mit den Metriken $d_{D}$ bzw. $d_{W}$.

Eine Abbildung $f:D\rightarrow W$ genügt in einer Menge $M\subseteq D$ der Lipschitzbedingung, wenn es eine (nichtnegative) reelle Zahl $L$ gibt, mit der für alle $x_{1},x_{2}\in M$ die Ungleichung

$d_{W}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq L\cdot d_{D}(x_{1},x_{2})$

erfüllt ist.

---

Müsste noch richtig einsortiert werden und die Definition der gleichmäßigen Lipschitz-Stetigkeit müsste noch angepasst werden. Mit freundlichen Grüßen, --TN 22:36, 1. Mai 2006 (CEST)

supremum-infimum bedingung

aus dem artikel hierher verschoben: --seth 10:39, 2. Jun 2006 (CEST)

---

Eine äquivalente Definition zur Lipschitz-Stetigkeit ist die Überprüfung einer stetigen Funktion auf das Vorhandensein von Supremum und Infimum. Besitzt eine Funktion also Supremum und Infimum und ist auf dem gesamten Definitionsbereich stetig, so ist sie auch Lipschitz-stetig. Da man die oben stehende Definition auch wie folgt umschreiben kann:

$\forall x_{1},x_{2}\in M:\left\|f(x_{1})-f(x_{2})\right\|_{W}/\left\|x_{1}-x_{2}\right\|_{V}\leq L$ und Stetigkeit vorausgesetzt wird, hat man die Lipschitzdefinition auf die Form des Differenzenquotienten gebracht, und da dieser nur endliche Werte annehmen darf, folgt daraus, dass man Lipschitz-Stetigkeit über die Existenz von Supremum und Infimum einer stetigen Funktion nachweisen kann.

---

entweder ich habe die definition nicht genau verstanden, oder sie ist ungenau formuliert.

wenn die funktion selbst supremum und infimum hat, ist sie noch lange nicht lipschitz-stetig. x->sin(x^2) wäre da ein gegenbeispiel. oder muss die ableitung beschränkt sein? (nicht signierter Beitrag von 84.161.213.5 (Diskussion) 22:36, 1. Jun 2006)

ich habe es mal hierher ausgelagert, mir gefaellt das naemlich schon auf grund der formulierung ebenfalls nicht. ist es rettungswuerdig oder soll es geloescht bleiben? -- seth 10:39, 2. Jun 2006 (CEST)

Wie wäre es mit stetig diff'bar mit beschränkter Ableitung? -- TN 20:44, 2. Jun 2006 (CEST)

$f(x_{2})-f(x_{1})=\int _{0}^{1}f'(tx_{2}+(1-t)x_{1})\cdot (x_{2}-x_{1}){\rm {d}}t{\mbox{ und so weiter. }}$

dass s.db. funktionen, deren ableitung beschraenkt ist, L-stetig sind, koennte man noch bei den eigenschaften in einem satz erwaehnen. eine formel ist imho dafuer aber nicht noetig. -- seth 18:31, 3. Jun 2006 (CEST)

Revert

Ich habe die Wahl von Teilmengen A in X wieder entfernt, da dies bereits in der Definition enthalten ist. Man waehle einfach auf der Teilmenge die Einschraenkung der Metrik als neue Metrik. Die Reihenfolge der Beispiele ist ebenfalls wichtig. Ohne den Quotienten waere nicht klar, dass x->x^2 auf unbeschraenkten Intervallen nicht Lipschitz-stetig ist. Zunaechst waere nur einsichtig, dass die gegebene Wahl von L nicht mehr funktioniert, was ja nicht heisst, dass es nicht doch ein anderes L gibt. --TB42 16:25, 28. Mär. 2009 (CET)

Ja du wolltest den Artikel vereinfachen? Das ist ein guter Vorsatz. Dementsprechend finde ich das Wählen einer Untermenge als Definitionsbereich ganz gut, da man sich sonst erst den Gedanken machen muss, den du hier Erwähnt hast. Die Beispiel-Definition die du nun eingefügt hast, finde ich gar nicht gut. Außerdem taucht dort das M wieder auf, was nirgendwo definiert ist. Ich sehe ein, dass es nicht klar ob es nicht vieleicht eine andere Abschätzung gibt, sodass x^2 auf einem unbeschränkten Gebiet lipschitz-stetig ist. Ich hatte jedoch den Eindruck, dass dies das Beispiel unnötig schwierig macht. --Christian1985 18:17, 28. Mär. 2009 (CET)

Die Definition auf \R habe ich eingefuehrt, damit der Artikel fuer Leser ohne Kenntnis von metrischen Raeumen leichter zugaenglich ist. Ich habe eine Anmerkung zu den Teilmengen angefuegt, wuerde diese jedoch nicht in die Definition aufnehmen, da diese dadurch laenger aber nicht allgemeiner wird. --TB42 19:04, 28. Mär. 2009 (CET)

Ich würde wie gesagt die Lipschitz-Eigenschaft wieder reintun, das ist bei gewöhnlichen Differentialgleichungen ein ganz typischer Term: "f erfüllt eine Lipschitz-Eigenschaft". --P. Birken 19:10, 30. Mär. 2009 (CEST)

So richtig? --TB42 00:09, 1. Apr. 2009 (CEST)

Die Überprüfung der Lipschitz-Bedingung..

..erleichtert in vielen Fällen. Die Funktion f(x,y) besitze auf R eine stetige partielle Ableitung nach y. Dann ist f(x,y) auf R auch Lipschitz-stetig bzgl. y. Vielleicht könnte das noch Einzug in den Artikel erhalten. (nicht signierter Beitrag von 1strayn0r (Diskussion | Beiträge) 18:50, 10. Feb. 2010 (CET))

Etwas bodenständiger bitte, es ist nur "Lipschitz"

Der Artikel scheint dazu zu dienen, daß ein Schüler oder Student seinen Lehrer möglichst kompliziert in dessen eigenem mathematischen Unterrichtsjargon impregniert. Wenn diese Flut mathematischer Symbole wenigstens vollständig wäre, also alle notwendigen Bedingungen verständlich erklärt wären, dann ginge es ja. Aber was sind dX, dY und andere lustige Ausdrücke? Es ist nicht zu erraten, was zB (A,dX|A) und (Y,dY) bedeuten könnte. Es sollte auch ein Jargon gewählt werden, den auch die Schüler anderer Lehrer verstehen. Noch besser ist natürlich einfaches ungeschwurbeltes Deutsch, was allerdings Abzüge beim Nerd-Faktor geben kann.

Was war es doch früher angenehm, als Leute noch etwas sagten um verstanden zu werden:

Wenn ein Fixpunkt durch die Gleichung/Beziehung x=f(x) definiert ist, dann heißt die Funktion f Lipschitz-stetig, wenn die erste Gleichung des Artikel mit einer Konstanten L>=0 für alle x des Definitionsbereichs erfüllt werden kann. Die Fixpunktgleichung kann auch mehrdimensional sein, x kann also ein Vektor und f eine entsprechende Funktion sein.

Für differenzierbare Funktionen f ist die kleinste Konstante L=max(|f'(x)|), was sich durch Auflösung der obigen Formel nach L und Grenzwertbildung für x2->x1 ergibt; gilt auch für mehrdimensionales x, f'(x) ist dann eine Matrix mit einem geeigneten Verfahren zur Betragsberechnung (zB Determinante, Kondition oder etwas Anderes)

Für L<1 heißt die Fixpunktgleichung kontrahierend; dies ist ein wichtiges Kriterium bei der Beurteilung der Stabilität von iterativen Gleichungslösungen oder technischen Regelsystemen mit Rückkopplung (Bounded In Bounded Out); so läßt sich auch bewerten, ob ein Problem/Fixpunkt geschickt formuliert ist.

Beispiel, stelle die Gleichung a*x*x + b*x + c = 0 nach x um:

1. Möglichkeit: x = -(c+a*x*x)/b, ungünstig, weil L linear vom größten zulässigen x abhängt

2. Möglichkeit: x = Wurzel(-c/a-b*x/a), numerisch oft besser, aber L kann undefiniert sein

3. Möglichkeit: x = -c/(b+a*x)

Mit der 3. Möglichkeit kann das Halley-Verfahren hergeleitet werden, wenn ein erstes x mit -c/b abgeschätzt und direkt eingesetzt wird: x = x - g(x) / (g'(x) - g(x)/g'(x) * g"(x)/2); übrigens eine wesentlich einsichtigere Herleitung über die bekannte Taylor-Reihe, als im aktuellen Artikel über das Halleyverfahren mit einer "geschickt geradebiegenden Gewichtsfunktion".

Es läßt sich auch überprüfen, ob eine Differentialgleichung so formuliert ist, daß die Lösung stabil ist bzw. konvergiert.

Eine bekannte Anwendung der Lipschitz-Stetigkeit ist das Konvergenzkriterium des Newtonverfahren: x = x - g(x)/g'(x). Die Iteration ist kontrahierend und somit konvergent, wenn die Norm/Betrag der Ableitung der rechten Seite kleiner als 1 ist, also |g(x)*g"(x)| / g'^2(x) < 1 oder |g(x)*g"(x)| < g'^2(x). Tatsächlich ist das Newtonverfahren sogar sicher konvergent für g(x)*g"(x) > -g'^2(x).

Fehlt noch etwas? Der Beweis vielleicht.

Man kann natürlich auch ab dem Beispiel alles streichen und auf den Fixpunktsatz von Banach verweisen, aber dieser Artikel ist ebenso richtig wie unverständlich: der Autor "formuliert auf Räumen" und findet es "hilfreich, zunächst auf Banachräumen zu operieren". Es fällt schwer einem derartig Verstrahlen die Tageszeit zu glauben. Jemand, dem solche Formulierungen und Operationen auf Banachräumen geläufig sind, braucht diese Artikel nicht, denn er wußte es schon vorher.--46.115.74.88 19:39, 1. Mär. 2013 (CET)

Ich glaube nicht, dass der Artikel verständlicher wird, wenn man von Beginn an Lipschitz-Stetigkeit mit dem Banachschen Fixpunktsatz vermischt. Der Fixpunktsatz ist zwar eine wichtige Anwendung, aber bei weitem nicht die einzige und keinesfalls die allgemeinste. Und das Konzept eines metrischen Raums dürfte zumindest für Studenten nicht zu abstrakt sein. (Was nicht heißen soll, dass man nicht erstmal elementarer bleiben sollte). --Digamma (Diskussion) 22:31, 1. Mär. 2013 (CET)

Unklare Menge

Im Abschnitt "Menge Lipschitz-stetiger Funktionen" taucht in der letzten Zeile aus heiterem Himmel die Menge $D$ auf, die vorher nirgendwo erläutert wurde (oder hab ich's nur übersehen?). Welche Menge ist hier wohl gemeint?--Anjolo (Diskussion) 12:02, 30. Dez. 2015 (CET)

Das sollte wohl $X$ heißen, hab’s ausgebessert, danke! -- HilberTraum (d, m) 12:54, 30. Dez. 2015 (CET)

Verschiebung Lipschitz-Stetigkeit?

Ich habe gerade mal gegoogelt. Es heißt fast überall Lipschitz-Stetigkeit, was ja auch den üblichen Konventionen im Deutschen entspricht. Spricht etwas gegen eine Verschiebung?—Ilse Ongkim (Diskussion) 21:10, 15. Dez. 2023 (CET)

Hallo,

ich wäre dafür das Thema nach Lipschitz-stetige Funktion zu verschieben. Hier geht es ja um eine Funktion. Mittlerweile sind auch fast alle anderen ähnlich gelagerten Fälle so verschoben worden wie beispielsweise Holomorphie auf Holomorphe Funktion. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 21:26, 15. Dez. 2023 (CET)

Fände ich in Ordnung.—Ilse Ongkim (Diskussion) 23:11, 15. Dez. 2023 (CET)

Ich warte noch bis morgen und verschiebe dann.—Ilse Ongkim (Diskussion) 17:09, 16. Dez. 2023 (CET)