Diskussion:Maßtheorie

Zu pauschale Aussage zu Anwendungen

Einige Anwendungsgebiete sind die verschiedenen Integralsätze (Gaußscher Integralsatz, Integralsatz von Stokes, Greenscher Integralsatz), partielle Differentialgleichungen, Funktionalanalysis, und damit auch die physikalische Feldtheorie.

Habe ich erst einmal herausgenommen. Die genannten Integralsätze sind nicht zufällig wesentlich älter als die Maßtheorie. Die Maßtheorie erlaubt nur eine Neuformulierung und Erweiterung der zuvor entdeckten Zusammenhänge. Diese als ihre Anwendung darzustellen, wäre zumindest irreführend. Weialawaga 18:47, 29. Mär 2004 (CEST)

Entfernen der Vokabelerklärung σ-Algebra

Für 'σ-Algebra' gibt es eine eigene Seite, die von hier aus auch verlinkt ist. Dort steht die Definition noch einmal. Da könnte sie hier doch entfernt werden. Oder ist jemand anderer Meinung? --Sielenk 21:47, 12. Mär 2005 (CET)

Satz von Hadwiger

Man sollte vielleicht die präzisere Fassung von en:measure (mathematics) übersetzen, denn so ist das ziemlich verwirrend. Translationsinvariante reguläre Borelmaße sind Vielfache des Lebesgue-Maßes, siehe Haarmaß oder en:Haar measure.

Der Punkt mit der Euler-Charakteristik kommt mir allerdings auch in der englischen Fassung merkwürdig vor. Für Würfel muss sie Null sein (Selbstähnlichkeit), aber aus Würfeln kann man geometrische Objekte basteln, die definitiv nicht Euler-Charakteristik Null haben sollten. (Habe die Frage auch auf en:Hadwiger's theorem gestellt.)--Gunther 13:20, 22. Mär 2005 (CET)

Inhalt, Prämaß

Auch obige zwei Begriffe könnte man erklären Richardigel 06:00, 5. Mai 2006 (CEST)

Die Definition der Sigma-Superadditivität bei Inhalt auf einem Ring ist falsch, der Operator muss umgekehrt werden.19:36, 24 Juli 2012 (ohne Benutzername signierter Beitrag von 178.24.155.255 (Diskussion))

Das $\leq$ sollte schon so passen. Ich habe noch einen Einzelnachweis ergänzt. -- HilberTraum (Diskussion) 20:46, 24. Jul. 2012 (CEST)

Ja, stimmt so wie es ist, es heißt ja nicht umsonst Superadditivität, dort ist das Zeichen umgekehrt zur Subadditivität --ThE cRaCkEr (Diskussion) 00:15, 25. Jul. 2012 (CEST)

Englische Übersetzung

Ich schlage vor, die englische Übersetzung von Maßraum aus dem Artikel zu entfernen. Hier geht es darum, die benutzten Begriffe zu erklären, nicht darum, sie in andere Sprachen zu übersetzen. Dafür gibt es Wiktionary. Marcoscramer 00:31, 29. Okt. 2006 (CEST)

Da niemand sich dagegen geäußert hat, habe ich jetzt die englische Übersetzung entfernt. Marcoscramer 22:29, 8. Nov. 2006 (CET)

Zustimmung. Außerdem haben wir Interwiki-Links. --NeoUrfahraner

Endliches Maß

Manche Literatur definiert Maße auf Semiringen (anstatt Prämaß); in diesem Fall heißt ein Maß endlich, wenn es für jede Menge des Semirings endlich ist. Da nicht der ganze Raum Omega im Semiring drinnenliegen muss, muss für ein solches endliches Maß nicht gelten, dass Omega endlichen Inhalt hätte! Ein Beispiel: Man nehme als Semiring die linkshalboffenen Intervalle (a,b] der Zahlengerade, mit reellen Zahlen a <= b; das Lebesguemaß eingeschraenkt auf diesen Semiring ist per Definitionem endlich, was es auf der Sigma-Algebra der Borelmengen nicht ist! --ASlateff

Letzte Zeile in "Maßraum"

Ich bin kein Mathematiker, aber stimmt diese Zeile so (Letzte Zeile im Abschnitt "Maßraum"):

Die Struktur (Ω, Σ, μ) eines Messraums zusammen mit einem auf diesem definierten Maß heißt Maßraum.

Ich hatte das so verstanden, daß μ erst zum Maßraum, nicht aber zum Messraum gehört. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 128.176.86.169 (Diskussion • Beiträge) Benutzer:NeoUrfahraner)

Genau. Der Satz ist so zu verstehen, dass (Ω, Σ, μ) "einen Messraums zusammen mit einem auf diesem definierten Maß" bezeichnet. Hast Du ihn so verstanden, dass (Ω, Σ, μ) bereits den Messraum bezeichnet? Dann gehört's evtl. weniger missverständlich formuliert, beispielsweise "Die Struktur (Ω, Σ, μ) eines Messraums (Ω, Σ) zusammen mit einem auf diesem definierten Maß μ heißt Maßraum."--NeoUrfahraner 15:41, 29. Mär. 2007 (CEST)

Unter Massraum heißt es, dass Omega, als Grundraum eine sigma-Algebra erzeuge. Dies ist meiner Ansicht nach falsch. Erzeugt wird eine Sigma-Algebra immer durch ein Erzeugendensytem. Die von Omega erzeugte Sigma-Algebra enthielte dann doch nur Omega selbst und die Lehre Menge, oder? Das wäre aber nun eine sehr spezielle sigma-algebra...(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 132.230.21.41 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 13:00, 16. Apr. 2008 (CEST))

Ja, das ist falsch formuliuert. Ich habe es durch "auf Omega definierte sigma-Algebra" (sagt man das so?) ersetzt. --NeoUrfahraner 13:00, 16. Apr. 2008 (CEST)

Kritik an der Abstraktheit

Ich bin und war auch in meiner aktiven Zeit kein Fachmann auf diesem Gebiet; aber ich fände es besser, wenn der Artikel zunächst an Beispielen in den Problemkreis einführen würde, also (Jordanschen) Inhalt und (Lebesguesches) Maß zunächst auf der reellen Geraden, in der reellen Ebene und im dreidimensionalen Raum erklären und beschreiben und erst später abstrakte Begriffe wie den Maßraum definieren würde. Das Verständnis mathematischer Begriffe entsteht fast immer an Beispielen; abstrakte Definitionen, z. B. mit Hilfe von Axiomen, sieht man erst später ein. Ich fühle mich aber weder berechtigt noch imstande, einen Alternativartikel in diesem Sinn zu schreiben. Also lasse ich es beim Meckern hier in der Diskussion. --Hanfried.lenz 22:07, 30. Aug. 2007 (CEST).

Es gibt doch sogar einen eigenen Artikel zum Lebesgue-Maß, der bei den Beispielen verlinkt ist. Das sollte doch, dank Inhaltsverzeichnis schnell erreichbar sein. Oder hättest du gerne das L.-Maß in den ersten Sätzen verlinkt? Dann denk dir einen schönen Satz aus und schreib' ihn rein. :-)--R. Möws 01:30, 31. Aug. 2007 (CEST)

Definition von "fast ueberall" falsch

Zitat aus dem Artikel:

Eine Eigenschaft gilt fast überall (bzw. μ-fast überall) in (Ω,Σ,μ), wenn sie für jede Nicht-Nullmenge gilt.

Das ist doch Unfug. Richtig muesste es heissen:

Eine Eigenschaft gilt fast ueberall, wenn es eine Nullmenge gibt, sodass alle Elemente im Komplement die Eigenschaft haben.

Warum ist die Definition im Artikel Unfug?

f:R->R, x|->1/x ist bzgl. Lebesgue Mass fast ueberall definiert, weil {0} eine Nullmenge bzgl. besagtem Mass bildet. R ist auch eine Nicht-Nullmenge, auf der die Aussage aber nicht gilt.

84.191.246.108 20:54, 29. Feb. 2008 (CET)

Ja stimmt, da ist die Negation nicht sauber. Hab ich übersehen. Ich werde mal deinen Satz reinstellen. Danke. Gruß Azrael. 14:56, 1. Mär. 2008 (CET)

Definition Prämaß nicht korrekt

In der Definition des Prämaßes darf die Sigma-Additivität nur für solche Folgen gefordert werden, deren Vereinigung Element des Halbringes ist. (nicht signierter Beitrag von 77.181.70.86 (Diskussion) 17:15, 14. Aug. 2008)

Ich habe das 'mal korrigiert. Bei so offensichtlichen Fehlern bedarf es übrigens keiner Diskussion. Einfach ändern, wie man es für richtig hält, siehe WP:Mut. Wie schauen schon darauf, dass nichts verschlimmbessert wird. --Drizzd 17:44, 14. Aug. 2008 (CEST)

Nicht messbare Mengen

Zu Erzbischof's Revert meiner Änderung: Wenn wie in Giuseppe Vitali "nicht-messbare Menge" auf Maßtheorie verweist sollte das auf jeden Fall irgendwie zumindest mal vorkommen.. --Jol2040 13:50, 30. Aug. 2008 (CEST)

Ich könnte mir vorstellen, dass es am Ende des Abschnitts (nach den Beispielen von Messräumen) besser passt. Irgendwie gehört's wohl in den Abschnitt hinein, derzeit lässt er ja die Frage ziemlich offen, ob man nicht einfach die σ-Algebra größer machen kann, damit alles messbar wird, oder ob es da nicht ein tieferes Problem gibt. --NeoUrfahraner 18:52, 30. Aug. 2008 (CEST)

Die Vitali-Menge ist nur bezüglich des Lebesgue-Maßes nicht messbar. Habe den Link in Giuseppe Vitali daher entsprechend korrigiert. --Drizzd 17:18, 31. Aug. 2008 (CEST)

Bildunterschrift

Ich bin kein Mathematiker, aber die Unterschrift unter dem Bild halte ich für falsch. Sollte da nicht, wie in der Englischen Version, von Obermengen an statt von größeren Mengen die Rede sein? (nicht signierter Beitrag von 141.76.31.213 (Diskussion) 17:41, 29. Okt. 2008)

Selbst das würde nicht stimmen, denn echte Obermengen müssen nicht unbedingt größeres Maß haben. Insofern ist die vage Formulierung "größere Mengen" vielleicht angebracht. Aber wenn Dir eine bessere Bildunterschrift einfällt, nur zu. --Drizzd 17:51, 31. Okt. 2008 (CET)

Ich finde die Unterschrift auch nicht passend. Der Begriff "größere Menge" wird doch gerade durch das Maß definiert. Eventuell sollte man den Satz einfach weglassen, wenn ein allgemeines Maß eine solche Eigenschaft nicht aufweist? Eine Darstellung der Sigma-Additivität fände ich sinnvoller. --martinhei 15:10, 13. Mär. 2011 (CET)

Gemeint ist hier doch einfach die Monotonie. Die Bildunterschrift suggeriert strenge Monotonie, was aber in der Regel nicht der Fall ist. -- Digamma 18:58, 13. Mär. 2011 (CET)

Existenzberechtigung?

"Der komplizierte Aufbau der Maßtheorie wird dadurch verursacht, dass es nicht möglich ist, eine Maßfunktion zu finden, die beliebigen Teilmengen der reellen Zahlen (bzw. des n-dimensionalen reellen Raumes) ein sinnvolles Maß zuordnet"

Das sehe ich ein. Nur, wer außer Mathematikern braucht reelle Zahlen. Hand aufs Herz, jede Größe in der Natur läßt sich nur mit endlicher Genauigkeit bestimmen und es gibt eigentlich keine reale Menge, die nicht endlich abzählbar ist. Versuche Tarski Banach auf endlichen Mengen zu beweisen, sage ich ein klägliches Scheitern voraus.

Was bedeutet das? Es bedeutet, dass eine reale Trivialität, nämlich z.B. die Volumenmessung eine Kompliziertheit erfährt, die der realen Aufgabe unangemessen ist (und diese Formulierung ist schon reichlich euphemistisch). Auch mit endlichen Mengen lässt sich beliebige Genauigkeit erreichen und man stößt dabei auf keine irgendwie geartete Antinomie.

Die ständig beim Hantieren mit unendlichen Mengen auftretenden Schwierigkeiten könnten ein Hinweis sein, dass sie keine adäquate Beschreibung (d.h. Approximation) der Realität liefern. Das ursprüngliche Paradigma, welches mit der Erfindung unendlicher Mengen einhergeht, war ja die Welt beliebig genau zu beschreiben. Die Realität verweigert sich allerdings diesem Anspruch.

In dem Moment, wo Maßtheorie mit endlichen Mengen betrieben wird, implodiert der gesamte Überbau. Für viele Mathematiker, die sich ein Leben lang mit dieser Theorie und ihren Feinheiten beschäftigt haben, möglicherweise eine ungeheuerliche Vorstellung ... (nicht signierter Beitrag von 88.78.154.197 (Diskussion | Beiträge) 15:43, 20. Okt. 2009 (CEST))

Bezeichnung für Sigma-Algebra

Die Notation Sigma (Bauer) oder mathcal A(Elstrodt) sind beide gebräuchlich. Wenn die Notation geändert wird, muss das auf jeden Fall konsequent im ganzen Artikel passieren (deswegen Revert). Ich bin eher für die Notation mit Sigma, da diese meines Wissens häufiger in der Stochastik verwendet wird und somit mehr verbreitet ist und weil es besser zum Namen Sigma-Algebra passt. Deswegen lieber bei Gelegenheit den Artikel Sigma Algebra ändern. Schönen Gruß "Wohingenau" 23:04, 8. Nov. 2009 (CET)

Hab nochmal nachgesehen ist Falsch, mathcal A im Bauer und Fraktur A im Elstrodt. Somit wäre die Notation mit mathcal A schon sinvoller, aber wenn dann im ganzen Artikel...--Schönen Gruß "Wohingenau" 00:16, 9. Nov. 2009 (CET)

Zur Definition vom Maß

In der Definition von Maß wird die Positivität aufgeführt:

• Positivität: $\mu (A)\geq 0$ für alle $A\in {\mathcal {A}}$.

Dies ist redundant, da die Abbildung $\mu$ von ${\mathcal {A}}$ nach $[0,\,\infty ]$ definiert wurde. -- TillTill 11:17, 10. Feb. 2011 (CET)

Ans Ende verschoben --Digamma 13:32, 10. Feb. 2011 (CET)

Ich habe $[0,\,\infty ]$ wieder durch ${\overline {\mathbb {R} }}$ ersetzt. Ich finde es wichtig, dass die Positivität explizit gemacht wird und sich nicht in $\mu \colon {\mathcal {A}}\to [0,\,\infty ]$ versteckt. -- Digamma 15:01, 10. Feb. 2011 (CET)

Das sollte man dann aber konsequenterweise auch beim Inhalt und beim Prämaß machen, da ist es ja genau das selbe. (nicht signierter Beitrag von 91.8.152.209 (Diskussion) 14:02, 16. Jun. 2012 (CEST))

Komplex?

In der Einleitung des Artikels steht:

Als Maß versteht man in der Maßtheorie eine Zuordnung von reellen oder komplexen Zahlen zu einem Teilmengensystem über einer Grundmenge.

(Hervorhebung von mir.) Im Rest des Artikels liegen die Werte von Maßen aber immer in $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$. Die von Maßen geforderte Monotonie ergibt sonst auch gar keinen Sinn. Ich denke, man sollte das "komplex" einfach streichen. Dann kann man auch die kürzlich entfernte Grafik wieder einfügen. -- Digamma 21:47, 21. Mär. 2011 (CET)

Ich würd's auch 'rausnehmen, denke ich. Komplexes Maß kann man stattdessen z.B. in #Verallgemeinerungen verlinken. --Daniel5Ko 23:30, 21. Mär. 2011 (CET)

Kein sinnvoller Satz (o.Ae.)

Was heisst im Abschnitt "Definition und Beispiele"

"Bedeutende Beispiele in der Maßtheorie Mengensysteme sind:"?

Meint dieses vielleicht:

"Bedeutende Beispiele die/welche in der Maßtheorie Mengensysteme sind:"? (nicht signierter Beitrag von 134.102.201.76 (Diskussion) 18:30, 5. Mai 2011 (CEST))

hab den Satz jetzt umgeformt, vorher war das wirklich kein sinnvoller deutscher Satz--JonBs 19:05, 5. Mai 2011 (CEST)

Definition und Beispiele

Die Aussage, dass jedes Dynkin-System Durchschnittsstabil ist, ist falsch. Dann wäre ja jedes Dynkin-System eine Sigma Algebra. (nicht signierter Beitrag von 93.220.245.85 (Diskussion) 21:56, 15. Mai 2012 (CEST))

Unanschaulich

Ich finde den Artikel reichlich unanschaulich. Ich habe an der Universität gelernt, dass jede endliche Punktmenge auf der Zahlengeraden das Maß Null hat. Ferner ist das Maß von abzählbar unendlichen Punktmengen im allgemeinen unbestimmbar. Nur beschränkte abzählbar unendliche Punktmengen haben das Maß Null. Davon kann ich in diesem Artikel nichts wiederfinden. --Dok21fie (Diskussion) 16:28, 5. Mär. 2018 (CET)

Dok21fie, du hast ein neues Thema angeschnitten. Dafür solltest du einen neuen Abschnitt beginnen, anstatt deinen Beitrag an einen andern, der eine ganz andere Frage behandelt, dranzuhängen. Und die Signatur setzt man normalerweise nicht zusätzlich in Klammern. Ich habe deshalb eine neue Überschrift eingefügt.

Zu deiner Aussage: Maßtheorie ist unanschaulich. Was du an der Uni gelernt hast, bezieht sich wahrscheinlich auf ein spezielles Maß, das Lebesgue-Maß. In der Analysis wird meistens nur dieses betrachtet. Allgemeine Maße sind vor allem für die Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig.

Zum Inhalt deiner Aussage: Beim Lebesgue-Maß (und bei jedem Maß, bei dem einelementige Mengen das Maß Null haben) haben nicht nur endliche, sondern auch abzählbar unendliche Mengen das Maß Null. Das liegt daran, dass Maße sigma-additiv (abzählbar additiv) sind. Ein "Maß", das nicht sigma-additiv, sondern nur additiv ist, heißt nicht "Maß", sondern "Inhalt". Ich vermute deshalb, dass du dich einfach falsch erinnerst. --Digamma (Diskussion) 17:07, 5. Mär. 2018 (CET)

Danke. Es handelt sich also im Artikel um eine Verallgemeinerung dessen, was man praktisch unter Messen versteht. --Dok21fie (Diskussion) 14:57, 6. Mär. 2018 (CET)

Dabei ist das Maß disjunkter Mengen additiv, also das Maß ihrer Vereinigung ist die Summe der Einzelmaße. Allgemein ist aber das Maß einer Vereinigung von Mengen kleiner oder gleich der Summe der Maße der Einzelmengen. Wie bildet sich das auf die Maßtheorie ab ? --Dok21fie (Diskussion) 06:31, 15. Mär. 2018 (CET)

Bei zum Beispiel 2 Mengen A und B: Zerlege die Vereinigung in disjunkte Teilmengen und du erhältst: $A\cup B=(A\setminus B){\dot {\cup }}(A\cap B){\dot {\cup }}(B\setminus A)$. Wende darauf die Additivität an und du erhältst:

$\mu (A\cup B)=\mu (A\setminus B)+\mu (A\cap B)+\mu (B\setminus A)=\mu (A)+\mu (B\setminus A)=\mu (A)+\mu (B\setminus A)+\mu (A\cap B)-\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)\leq \mu (A)+\mu (B).$

--Digamma (Diskussion) 10:34, 15. Mär. 2018 (CET)

Danke. Und eine weitere Frage : Ist die Maßtheorie kongruent zum Verfahren, das das Maß einer Punktmenge als den Grenzwert einer Intervallschachtelung ( Summe i (Epsilon i gegen Null) ) definiert ? --Dok21fie (Diskussion) 06:46, 17. Mär. 2018 (CET) Wenn man dieses Verfahren anwendet, kommt man zu dem Schluss, dass nicht einmal alle begrenzten abzählbaren Punktmengen das Maß Null haben. So ist auch das Maß der rationalen Zahlen zwischen Null und Eins unbestimmbar. --Dok21fie (Diskussion) 17:11, 20. Mär. 2018 (CET)

Verständnisfrage

(von einem Nicht-Mathematiker) Im Abschnitt sigma-Additivität wird gesagt "dass sogar die Frage nach der Existenz einer sigma-additiven Funktion auf der Potenzmenge einer überabzählbaren Menge nicht ohne weiteres gegeben ist". Ist es wirklich die Frage, die nicht ohne weiteres gegeben ist (und sollte das dann nicht eher heißen, dass sich die Frage nicht stellt) oder ist es nicht vielmehr die Existenz, die nicht ohne weiteres gegeben ist? --Pascal.vollmer.fr (Diskussion) 09:38, 16. Mär. 2020 (CET)

Ja, ich habe mal versucht, den Satz umzuformulieren. Danke für den Hinweis. -- HilberTraum (d, m) 22:01, 16. Mär. 2020 (CET)

Existenz Sigma-additiver Funktionen

Täusche ich mich, oder ergibt der Satz, dass nicht mal die Existenz einer Sigma-additiven Funktionen auf der Potenzmenge einer überabzählbaren Menge ohne Weiteres klar ist, so keinen Sinn? Beispielsweise die Nullabbildung oder die Funktion, die jede Menge außer die leere Menge auf unendlich abbildet, sind zwei Sigma-additive Funktionen, die sich auf jeder Potenzmenge definieren lassen. Gemeint ist wahrscheinlich, dass die Existenz Sigma-additiver Abbildungen mit Zusatzforderungen nicht im Allgemeinen sichergestellt werden kann. Auf der Potenzmenge von IR existiert beispielsweise keine sigma-additive Funktion, die abgeschlossene Intervalle auf ihre Länge abbildet, d.h. für die f([a,b]) = b-a gilt. (nicht signierter Beitrag von Nicolas0301 (Diskussion | Beiträge) 20:45, 7. Mai 2020 (CEST))

Es sind sicher nichttrivialen Funktionen gemeint, die jetzt nicht alle Mengen auf Null oder Unendlich abbilden. Das ist möglicherweise auch ohne Zusatzbedingungen nicht klar, müßte ich jetzt erst drüber nachdenken.—Hoegiro (Diskussion) 16:04, 20. Nov. 2020 (CET)