Diskussion:Mathematisches Objekt

Überarbeitung nach Löschkandidatur

Der Artikel bekam im Februar 2012 einen Lösch/QS-Antrag und wurde im Mathe-Portal diskutiert (Archiv) und überarbeitet. Die folgenden Diskussionspunkte beziehen sich auf den Artikelstand Ende Juli. -- χario 05:07, 12. Aug. 2012 (CEST)

Ich hab mir noch ein bisschen Gedanken zum Artikel gemacht:

1. Was noch nicht angeschnitten wird, sind die Brückenschläge, wenn die Objekte eines Bereichs in einem anderen untersucht werden und was da für Durchbrüche und neue Blickwinkel entstehen, bspweise bei: Galois (Algebra -> Lsg von Polynomgleichungen) und Andrew Wiles' Beweis des Satz von Fermat.
2. Was ist mit mathematischen Modellen für physikalische (biologische, soziologische, chemische) Systeme und insbesondere wieder auf die Mathematik bezogen: Turing-Maschinen?
3. In work. Schon auf der Portal-Disk erwähnt: Wie hantiert man mit mathem. Objekten: Notation, Formalisierung, Vorstellungen, Bezüge zu Skizzen, Diagrammen, Symbolen, Abgrenzung zu angewandter Mathematik. Siehe untere Diskussion
4. Done. Ab jetzt gehts um den Geschichtsabschnitt: Bei dem Teil zu den reellen Zahlen ist die Erwähnung von beschränkten Reihen mMn nicht hilfreich, insbesondere nicht mit dieser getrennten Verlinkung, vielleicht einfach ganz weglassen? Der Link zu verschiedenen Konstruktionsmethoden reicht doch eigentlich.
5. Dafür würd ich die komplexen Zahlen genauer erklären, als Bsp für eine heiß diskutierte, un-intuitive Erweiterung eines mathem. Objektes (den reelle Zahlen, um Lsg für bestimmte Polynomgleichungen darzustellen) und dafür wie reichhaltig die darauf bauende Mathematik geworden ist (Funktionentheorie z.B.).
6. Done. Nach dem Satz zu Cantor könnte man einbauen, schon er wußte, dass nicht alles eine Menge sein kann, mit Verweis zu Klassen, aber betonen, dass "alle grundlegenden" Objekte sich als Mengen definieren lassen. Und den jetzigen Mengenabschnitt und die zwei Bücher dann entfernen.
7. Ans Ende des Geschichtsabsatzes könnte man noch überleiten, dass auch heute noch Axiome gesucht werden, aktuell irgendwas zu großen Kardinalzahlen, das die Kontinuumshypothese entscheidet (da kann ich nen Artikel im Spektrum der Wissenschaften als Quelle anbieten)
8. War dieser Satz zur Ontologie wirklich so grauenhaft? Alternativformulierungsvorschläge?

Einen potenziellen Lit-Eintag hab ich auch noch: Simon Singh, Fermats letzter Satz, der gibt im Grunde genau so einen Überblick wie wir ihn hier erstellen, passt also mMn wie die Faust aufs Auge. Grüße, --χario 00:09, 1. Aug. 2012 (CEST)

Grundsätzlich Zustimmung, denn alle Informationen, die beitragen, was mathematische Objekte sind und wozu sie gebraucht werden, können dem Artikel nur gut tun. Was beispielsweise auch noch fehlt sind Funktionen als Objekte (da wäre man wieder bei Weierstraß) und auch Graphen als Objekte (angefangen bei Euler). Nur muss man das alles irgendwie strukturieren, denn jedes mathematische Teilgebiet hat seine eigenen Objekte. Möglicherweise hilft eine Aufteilung des Geschichtsabschnitts und eine Struktur

• Zahlen als Objekte („Alles ist Zahl“, Lösung von Gleichungen, N, Z, Q, R, C, ...)
• Geometrische Formen als Objekte (Euklid, Hilbert, Descartes, Riemann, ...)
• Mengen als Objekte (Cantor, ZF, Auswahlaxiom, Klassen, ...)
• Funktionen als Objekte (Leibnitz, Weierstraß, Dedekind, Infinitesimalrechnung, ...)
• Graphen als Objekte (Euler, Sylvester, Pfade, Zykel, Färbung, ...)
• Beweise als Objekte (Frege, Russel, Gödel, Axiome, logische Verknüpfungen, ...)
• Algorithmen als Objekte (Church, Turing, Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, ...)
• ...

jeweils mit eigenem kurzen Geschichtsteil und was die betrachteten Objekte sind. Der Rest (mathematische Modellbildung, Querbezüge zwischen den Disziplinen, ...) ist dann Kür: schön, aber in erster Iteration noch nicht notwendig. Zum Thema Ontologie gab es bei Benutzer Diskussion:Daniel5Ko#Bollox eine kurze Diskussion mit dem Ergebnis, dass der mathematisch-philophische Hintergrund auch, aber separat behandelt werden sollte, am besten von jemanden der sich da auskennt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:01, 1. Aug. 2012 (CEST)

Hmm, die Aufteilung nach Teilgebieten halt ich für nicht so gut, das sind ja letzlich alles "nur" Beispiele für math. Objekte. Ich glaube, hier sollten wir weiterhin eher auf die Menge (sorry, wohl eher Klasse) Gesammtheit der math. Objekte schauen, also wichtige Entwicklung insgesamt erörtern und einzelne mO's nur als Bsps aufführen. --χario 03:21, 4. Aug. 2012 (CEST)

Punkt 6 deiner Liste habe ich mal umgesetzt, das ging schnell. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:49, 4. Aug. 2012 (CEST)

Bezug von mathematischen Objekten zu formalen Systemen

Ich habe nun einmal versucht darzulegen, welchen Anspruch die moderne Mathematik hat (→Formulierbarkeit im formalen System) und was „mathematische Objekte“, von denen man die ganze Zeit spricht, letztlich mit dem formalen System zu tun haben, in dem man seine Sätze formuliert. Ich habe dabei versucht, keinerlei mathematikphilosophischen Standpunkt einzunehmen (→POV), sondern lediglich den Anspruch darzulegen. Solang der Mathematiker sich an diese Spielregeln hält, kann er anerkannt und darüber hinaus immer noch Platonist sein, glauben, dass die Sätze außermathematische Bedeutungen haben, oder dass die Schlussregeln eigentlich Denkgesetze sind etc. pp. Denkt ihr, das passt denn, dennoch im ersten Satz darauf hinzuweisen, dass dies vom Formalismus beeinflusst ist? Ist der Abschnitt überhaupt brauchbar? Sonstige Anmerkungen? Grüße --Chricho ¹ ² ³ 03:29, 5. Aug. 2012 (CEST)

Mit diesem Satz bin ich unzufrieden: „Diese Weise ähnelt dabei intuitiven Vorstellungen davon, dass sie Objekte bezeichnen.“ Hat jemand einen besseren Vorschlag? Da diese „Weise“ im Wesentlichen eine Ansammlung von syntaktischen Regeln und Schlussregeln ist, entspricht sie natürlich in vielerlei Hinsicht überhaupt nicht irgendeiner intuitiven Vorstellung, weshalb dieser Satz unglücklich ist. Aber auf eine gewisse Weise entspricht es eben der Struktur des intuitiven Sprachgebrauchs. Wie genau sagt man da am besten, was was ähnelt? Ich schlaf erstmal drüber… --Chricho ¹ ² ³ 03:47, 5. Aug. 2012 (CEST)

Mit der Verwendung des Wortes Grundlegung bin ich jetzt auch nicht mehr zufrieden, denn wie gesagt kann man ja ruhig sagen, dass etwas anderes noch grundlegender sei als das formale System da. Morgen... --Chricho ¹ ² ³ 04:01, 5. Aug. 2012 (CEST)

Es wird wohl unmöglich sein, im Artikel "keinerlei mathematikphilosophischen Standpunkt einzunehmen" (Chricho). Aus prä-wiki-Zeiten habe ich noch in Erinnerung, irgendwo gelesen zu haben: "Die meisten Mathematiker sind unter der Woche Formalisten und am Wochende Neuplatoniker." (leider weiß ich den Buchtitel nicht mehr :-(

Genau dieser Wechsel der Ansichten verschiedener einzelner Personen zwischen Formalismus und neuplatonischen Standpunkt ("Mathematik erfindet nicht, sie findet") ist unter philosophischen Aspekten interessant. Vom abweichenden (dem 3.) Standpunkt der Konstruktionisten erwähne ich nur mal das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren. Dessen formaler Beweis der Richtigkeit ist konstruktiv. D.h. der Beweis der Richtig keit liefert gleichzeitig das Verfahren, wie aus den gegebenen linear unabhängigen Vektoren das Orthogonalsystem erzeugt wird.

Diese Umstellung von Quartl entspricht der Entwickung: 1900 sind Hilberts Probleme der Anfang der Grundlagenkrise; die Principia Mathematica von Russel/Whitehead ab 1910 bleiben "unvollendet", der rein formal-axiomatische Ansatz führt nicht zum Ziel. Erst Gödel gelingt 1931 der Nachweis, warum das so ist.

Ich bedauere, die Problemstellung "Objekt" vs. "formaler Struktur" nur kursorisch anreissen zu können, viel gelesene Literatur zum Thema liegt mir gerade nicht vor. --grixlkraxl (Diskussion) 13:49, 5. Aug. 2012 (CEST)

Fakt ist doch: Letzte Entscheidungsinstanz im mathematischen Betrieb ist ein formaler Beweis. Welchen abstrakten Konzepten, wenn überhaupt, Mathematiker dagegen ontologische Existenz zusprechen, ist völlig unerheblich. Habe jetzt noch eine Ergänzung durchgeführt. --Chricho ¹ ² ³ 14:33, 5. Aug. 2012 (CEST)

(nach BK)2. Wenigstens eine Stelle aus Russell/Whitehead, Principia Mathematic, Suhrkamp 1984, ISBN 3-518-28193-3:

„Was einem als überrasched auffällt ..., ist Russells ausgesprochen realistische Haltung ... 'Die Logik befaßt sich mit der realen Welt ganz ebenso wie die Zoologie, wenngleich mit ihren abstrakteren und allgemeineren Zügen', sagt [Russell 1920] ... freilich [wurde Russells] Haltung im Lauf der Zeit allmählich schwächer ... Wenn [Russell] ein konkretes Problem in Angriff nahm, verwandelten siche die zu analysierenden Objekte ... bald zum größten Teil in 'logische Fiktionen'. Obwohl das vielleicht ... nicht unbedingt heissen muß, daß diese Dinge nicht existieren, sondern nur daß wir keine direkte Wahrnehmung davon haben.“

– Kurt Gödel: Russells mathematische Logik, S. VII (engl. Erstveröffentl. 1944)

Beim Wiederabdruck 1964 merken die Hrsg. Paul Benacerraf und Hilary Putnan des Sammelbandes Philosophy Of Mathematics, New Jersey 1964 an, daß Gödel auf folgendes aufmerksam machen will: (1) Seit der Erstveröffentlichung seiner Abhandlung wurden in einigen der diskutierten Probleme Fortschritte erzielt und die Formulierungen könnten verbessert werden. (2) wird "konstruktivistisch" in der Abhandlung "für eine streng antirealistische Art von Konstruktivismus benutzt". Nach der tatsächlichen Entwicklung der Logik und der Mathematik ist dieser "äquivalent mit einer gewissen Art von 'Prädikativität' und folglich verschieden[!] sowohl von 'intuitionistisch zulässig' als auch von 'konstruktiv' im im Sinne der Hilbert-Schule". (zit. nach Suhrkamp 1984, Anm. 1, S. XXIX).

Zusammenfassung: Soviel mal zu den Initiatoren der ganzen Begrifflichkeiten. Auch diese verstanden die mathematischen Objekte in jeweils (auch philosophisch) verschiedenem Sinn. --grixlkraxl (Diskussion) 15:05, 5. Aug. 2012 (CEST)

@Chricho: Überschrift ist besser formuliert, aber statt dem (mir bisher in diesem Zusammenhang noch nicht untergekommenen) "basal" eher auf den Unvollständigkeitssatz eingehen? Der Artikel triffts gar nicht schlecht. --grixlkraxl (Diskussion) 15:05, 5. Aug. 2012 (CEST)

Ich denke, das eine hat mit dem anderen nichts zu tun. Unvollständigkeitssatz wäre wohl eine Erwähnung wert, Beispiel, wo Unvollständigkeit für den Begriff eines mathematischen Objekts entscheidend ist: Angenommen wir arbeiten in ZFC. Wir müssen dann, da die Kontinuumshypothese unabhängig ist, sowohl zwischen „den Objekten“ $\emptyset$ und $S:=\{x\in \{0\}\vert \aleph _{1}=\beth _{1}\}$ als auch zwischen $\{0\}$ und $S$ unterscheiden (Bed.: $\aleph _{1}$ und $\beth _{1}$). Metasprachlich handelt es sich um drei verschiedene Objekte, der objektsprachliche Satz $\emptyset =S\vee \{0\}=S$ ist jedoch beweisbar. Willst du auf soetwas hinaus? --Chricho ¹ ² ³ 00:27, 6. Aug. 2012 (CEST)

3. Ich nehm mir vor, mal an neuerer Literatur erneut The Emperors New Mind von Roger Penrose zu lesen (dieses Buch habe ich "nur" verlegt:-( Damals verstand ich es durchaus als Erwiderung auf Gödel, Escher, Bach. Wie auch immer: Bei meiner damaligen Änderung wollte ich auf die umgangssprachlichen(!) Bedeutungen von "Objekt" und/oder(!) Struktur als Thema der Mathematik hinaus: Bei der "Einteilung einer Ebene" nach dieser Art wird offensichtlich ein "Objekt" Ebene auf eindeutige Art strukturiert (eben beweisbar lückenlos und aperiodisch). Die jeweils einzelnen "Drachen" oder "Pfeile" sind dagegen als geometrische Objekte anzusprechen. Unmittelbar anschaulich wird's dann, wenn Penrose auf den Kacheln steht, vgl. file:RogerPenroseTileTAMU2010.jpg.

Möglicherweise bin ich ja zu "wortklauberisch", aber manchmal sind die Bedeutungsänderungen einzelner Bezeichnungen in den letzten 100 Jahren sprachlich schwer nach zuvollziehen. --grixlkraxl (Diskussion) 16:14, 5. Aug. 2012 (CEST)