Diskussion:Metrischer Raum/Archiv

Diese Seite ist ein Archiv abgeschlossener Diskussionen. Ihr Inhalt sollte daher nicht mehr verändert werden. Benutze bitte die aktuelle Diskussionsseite, auch um eine archivierte Diskussion weiterzuführen.

Um einen Abschnitt dieser Seite zu verlinken, klicke im Inhaltsverzeichnis auf den Abschnitt und kopiere dann Seitenname und Abschnittsüberschrift aus der Adresszeile deines Browsers, beispielsweise

[[Diskussion:Metrischer Raum/Archiv#Thema 1]]

oder als Weblink zur Verlinkung außerhalb der Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Metrischer_Raum/Archiv#Thema_1

Fréchet-Metrik

Übertrag aus Diskussion:Metriken im Vektorraum. --Quartl 18:23, 24. Feb. 2012 (CET)

Zum Begriff der Fréchet-Metrik:

Das Lehrbuch "Lineare Funktionalanalysis", H.W. Alt, definiert den Begriff der Fréchet-Metrik so, wie ich es im Artikel übernommen habe.

Eine Netzquelle der Verwendung (leider nicht der Definition) ist http://www.math.chalmers.se/Math/Research/HarmonicAnalysis/OldSeminars/

We consider the infinite dimensional complete metric space R^∞ with the product topology and Frechet metric d(x,y)=sum 2^-n min{1,|yn- xn|}, which is a natural infinite dimensional extension of the n-dimensional Euclidian spaces.

Dies passt mMn nicht zur Definition der Frechet-Metrik in metrischer Raum, sondern zur in diesem Artikel gegebenen Definition d(x,y) = p(x-y). --SirJective 18:53, 17. Apr 2004 (CEST)

Danke für den Hinweis: ich habe nun beide Definitionen im Artikel Fréchet-Metrik dargestellt. -- Weialawaga 13:01, 18. Apr 2004 (CEST)

Inzwischen habe ich den gesamten Inhalt dieses Artikels in hoffentlich übersichtlicher Weise in die Artikel Distanzfunktion, normierter Raum und metrischer Raum absorbiert und mir deshalb erlaubt, Metriken im Vektorraum auf einen REDIRECT zu reduzieren. -- Weialawaga 14:27, 18. Apr 2004 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 12:20, 18. Aug. 2024 (CEST)

Definition

Mit der aktuellen Definition hat der leere metrische Raum den Durchmesser minus unendlich. Es wäre also besser, den Wertebereich der Funktion d als R+ zu definieren. (nicht signierter Beitrag von 193.88.209.90 (Diskussion) 00:02, 14. Jun. 2011 (CEST))

Einspruch!

Aus den Bedingungen

(i) d(x,y)=0 <=> x=y

(ii) d(x,y) <= d(x,z)+d(z,y)

folgt nicht

(iii) d(x,y) >= 0

(iv) d(x,y) = d(y,x)

Betrachte X = {0, 1} und die Abbildung

d  a  b
a  0 -1
b  1 0

Sie erfuellt (i), (ii), aber nicht (iii), (iv).

Ich aendere den Artikel zurueck... --SirJective 10:51, 13. Jan 2004 (CET)

ebenfalls Einspruch ;) aus d(x,y)=0 <=> x=y, d(x,y)=d(y,x) & der Dreiecksungl. folgt, dass d(x,y)>=0, denn: 0=d(x,x)<=d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) Haize 21:26, 29. Aug 2005 (CEST)

Das steht auch schon in der aktuelleren Diskussion unten.--Gunther 21:29, 29. Aug 2005 (CEST)

Artikel könnt noch etwas gestrafft und verständlicher formuliert werden. -- Nichtich 14:17, 9. Feb 2004 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 12:21, 18. Aug. 2024 (CEST)

Axiom (i)

Das Axiom (i) ist unnötig und sollte daher weggelassen werden. [01:27 12. Mai 2004]

Danke. Die aktuelle Fassung enthält nun hoffentlich alle und nur alle nötigen Axiome. -- Weialawaga 13:23, 12. Mai 2004 (CEST)

Die Entfernung von d(x,y)>=0 als Axiom ist zwar richtig, da diese Bedingung aber in vielen Texten explizit oder implizit (durch d:X x X -> R+) gefordert wird, hab ich sie etwas deutlicher hervorgehoben. --SirJective 18:26, 13. Mai 2004 (CEST)

Habe sie mal wieder entfernt und als Folgerung eingebunden --84.60.127.181 17:43, 12. Feb. 2010 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 12:22, 18. Aug. 2024 (CEST)

Anmerkungen

Hallo zusammen ! Einige Anmerkungen/Fragen/Anregungen :

In wie weit ist die Minkowski-Metrik diag( -c, 1,1,1 ) positiv definit ??

Antwort (siehe auch Änderung im Artikel): sie ist definit, solange man bei ihrer Anwendung die fundamentale Unterscheidung von zeit- und ortsabhängigen Abständen berücksichtigt. Müsste im Artikel Minkowski-Raum genauer erklärt werden. -- Weialawaga 12:02, 21. Mai 2004 (CEST)

Dann ist diese Metrik aber nicht auf

javascript:insertTags('$','$','\RR \times \RR^3'); definiert. Damit finde ich das Beispiel nicht sehr gut. Im Artikel über den Minkowski-Raum wird die Metrik auch als indefinit (wie auch ich das sehe) bezeichnet. Konsequenterweise würde ich dieses Beispiel an dieser Stelle nicht bringen ! javascript:insertTags('--Ed der gar 16:52, 21. Mai 2004 (CEST)',,);

Vorschlag: Minkowski-Raum drin lassen, weil für eine wichtige Gruppe von Mathematikanwendern wichtig; Metrik als uneigentlich bezeichnen. Weialawaga 17:57, 21. Mai 2004 (CEST)

Die Hierarchie mathematischer Strukturen liesse sich auch gut graphisch darstellen, Schema

  topologischer Raum <= metrischer Raum <= normierter Raum <= Innenproduktraum

Zeichenerklärung: Y <= X Jedes X ist auch ein Y, damit sind sämtliche in Y definierte Begriffe auch in X gegeben.

Durch so ein Schema gewinnt man viel schneller einen Überblick, um z.B. zu erkennen, dass ein Innenproduktraum auch ein topologischer Raum ist, ist im Augenblick sehr viel Les- und Gedankenarbeit nötig !

Siehe Diskussion:Hierarchie mathematischer Strukturen -- Weialawaga 12:02, 21. Mai 2004 (CEST)

Die speziellen Eigenschaften des metrischen Raums als topologischer Raum sollten stärker betont werden: Hausdorff (steht im Artikel), jeder Punkt besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis, Stetigkeit/Abgeschlossenheit/Kompakt ... lassen sich über Folgen charakterisieren (was im topologischen Raum im allgemeinen nicht geht)

Abgrenzung welche Begriffe wo definiert werden können topologischer Raum : Stetigkeit, konvergenz, offen, kompakt metrischer Raum: vollständig(Cauchyfolgen), gleichmäßig stetig (im Endeffekt lassen sich diese Begriffe auch im uniformen Raum erklären )

Evtl. stärker Betonen, dass die Metrik eine Verallgemeinerung des Begriffes des Betrags auf den reelen Zahlen darstellt, damit sämtliche Konzepte aus der Analysis der reellen Zahlen (Stetigkeit/Konvergenz) übertragen werden können. (So wird es ja in Deutschland und wahrscheinlich vielen anderen Ländern gelehrt)

Gruss Ed

Müsste die triviale/diskrete metrik nicht

d(x,y) = 0 für x=y
d(x, y) = 0 für x≠y

sein? (Statt d(x,x) = 0 in der ersten zeile)

--DarkBlaze 15:53, 21. Apr 2005 (CEST)

Da ist doch kein Unterschied. Viele Gruesse --DaTroll 15:55, 21. Apr 2005 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 12:23, 18. Aug. 2024 (CEST)

Fehler: Aus (1),(3) und (4) folgt, daß nichtidentische Punkte einen Abstand größer Null haben

Im Kapitel Definitheit und Pseudometrik hat sich ein Fehler eingeschlichen. So wird ausgesagt, daß aus (1), (3) und (4) folgen würde, daß nichtidentische Punkte einen Abstand größer Null haben. Die behauptete Folge ist bereits als (2) notiert.

Gegenbeispiel: d(x,y)=0

Es gilt (1) d(x,x)=0 und (3) d(x,y)=d(y,x)=0 und (4) d(x,y) = 0 ≤ d(x,z) + d(z,y) = 0, aber nicht (2) d(x,y)>0 bei x≠y, da ja d(x,y)=0.

Der Fehler hat sich meines Wissens nach hier eingeschlichen:

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Metrischer_Raum&diff=7933081&oldid=7931459

Man könnte nun ausbessern versuchen, und aus (2)-(4) (2) folgen lassen, aber das ist wohl trivial.

Könnte hier ein Mathematiker mal drüberschauen? -- stw

Bin Mathematiker, habe drübergeschaut und die Aussagen über minimale/überflüssige Definitionen angepasst und begründet. Jetzt sollte alles passen. -- ak

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 12:24, 18. Aug. 2024 (CEST)

d(x,y)>=0 überflüssig?

Hallo,

da ist wohl doch etwas schiefgelaufen, weil nun 4 Axiome dastehen, aber unten erwähnt wird, das eines davon überflüssig ist. Der Artikel ist damit widersprüchlich und ich bin selbst verwirrt, was nun gelten soll.

Aus (ii)-(iv) folgt

$d(x,y)={\frac {1}{2}}(d(x,y)+d(y,x))\geq d(x,x)=0,$

aber deshalb (i) wegzulassen fände ich ziemlich albern.--Gunther 18:41, 20. Jun 2005 (CEST)

Danke schonmal für die Erklärung. Trotzdem sollte man doch den Text anpassen. Da steht ja noch (i) d(x,y)>0 und später, dass es oft noch zusätzlich gefordert wird. Und dass es sich herleiten lässt aus (i). Klar, aber komisch. Oder man könnte sagen eine Abbildung nach R+ ist eine Metrik, wenn gilt:...

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 12:25, 18. Aug. 2024 (CEST)

Metrisierbar als stub

Ich habe (anstelle des Redircts auf diesen Artikelhier) einen Artikel zum Lemma „Metrisierbar“ angefangen (noch ein stub). Was er IMHO soll, geht aus dem einleitenden Abschnitt hervor: Eher Übersicht und Linkscharnier bieten, als in Details gehen. Wäre für rege Mitarbeit dankbar (zum Beispiel kann ich aus meiner Quelle wenig „übliche Satznamen“ beitragen). --KleinKlio 11:39, 15. Okt. 2006 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 12:25, 18. Aug. 2024 (CEST)

Metrischer Tensor

Der Satz, Zitat: „Metrische Tensoren, die nicht positiv definit sind, werden nur unregelmäßig explizit als pseudometrisch bezeichnet. Ein Beispiel ist der (pseudo)metrische Tensor diag(-1,1,1,1) des Minkowski-Raums. “

ist mir nicht ganz klar.

1. Müsste es nicht „die nicht positive semidefinit sind“ heißen?
2. Soll „unregelmäßig“ hier „in der Literatur selten“ oder „entgegen der ansonsten (für pseudo-) geltenden Regeln“ heißen?

Klarstellung durch Relativitätstheoretiker wäre schön.--KleinKlio 09:10, 4. Nov. 2006 (CET)

Erledigt! Problemtaischer Satz wurde gelöscht. --KleinKlio 15:27, 5. Nov. 2006 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 12:26, 18. Aug. 2024 (CEST)

Römische Zahlen

Schreibt man so ... ii vii ... römische Zahlen? Hat WIKI da nichts bessres zu bieten? --Kölscher Pitter 17:42, 20. Feb. 2007 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 12:27, 18. Aug. 2024 (CEST)

Uneigentliche Metrik

Im Abschnitt "Beispile: durch Normen induzierte Metriken" steht etwas von einer "uneigentlichen Metrik des Minkowski-Raumes", der Begriff einer uneigentlichen Metrik wird aber nicht erklärt. Ist mir deshalb aufgefallen weil ich mein ein wenig wunderte, ich dachte eigentlich bisher, dass die Minkowski-Metrik auch "negative" Abstände zulässt, eben wenn sie Raumartig sind... Und ich mag mich irren, aber kann man die beiden genannten Formeln für Abstände nicht mit Betragsstrichen unter der Wurzel zusammenfassen? --Axel Wagner 01:15, 5. Aug. 2007 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 12:28, 18. Aug. 2024 (CEST)

Frage zur Definition

Müsste es bei der Formalen Definition anstelle von d\colon X\times X\to \mathbb{R} nicht d\colon X\times X\to [0,\infty[ heißen?

Dies ist nicht notwendig, denn aus 0 = d(x,x) <= d(x,y) + d(y,x) = d(x,y) + d(x,y) = 2d(x,y) folgt d(x,y)>=0. Andim 23:21, 14. Aug. 2008 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 12:28, 18. Aug. 2024 (CEST)