Diskussion:Metrischer Raum

Zum Archiv

Wie wird ein Archiv angelegt?

Automatische Archivierung

Auf dieser Seite werden Abschnitte ab Überschriftenebene 2 automatisch archiviert, die seit 7 Tagen mit dem Baustein {{Erledigt|1=--~~~~}} versehen sind.

Metrik

Wer weiss die Mehrzahl von Metrik? Merci.

Metriken ist üblich (alle Fälle identisch), damit inzwischen korrekt. Normsprachlich lassen die von griechischen Adjektiven abgeleiteten deutschen Hauptwörter (Mathematik, Physik, Musik, Technik,...) keine Pluralbildung zu. Sie wurden ursprünglich vom giechischen Neutrum Plural oder von Zusammensetzungen z. B. mit techne (Kunst) abgeleitet. Da man Technik in den Plural setzen kann (allerdings mit Bedeutungseinschränkung, Lebensmitteltechniken gibt es nicht), dürfte es auch bei Metrik einem etwas jüngeren Sprachgefühl als meinem nicht widersprechen. --KleinKlio 19:07, 14. Dez. 2006 (CET)

Alternative Notation?

Gibts eine alternative Notation für Metriken? Im Artikel Ungleichungen in Vierecken wird d nämlich außerdem für eine der Vierecksseiten verwendet, was doch ziemlich verwirrend ist, wie ich finde. --RokerHRO 14:43, 3. Aug. 2007 (CEST)

Distanzfunktionen

Zitat: Manchmal werden, entgegen dem Sprachgebrauch der Mathematik, auch Distanzfunktionen als Metriken bezeichnet.

Der Link auf Distanzfunktionen ist dann ein Redirect auf Metrik und eine Erläuterung des Begriffs Distanzfunktion findet sich auch sonst nicht. Das ist ziemlich sinnlos. 88.76.43.119 19:06, 13. Nov. 2007 (CET)

Ich habe nun den Satz

Manchmal werden, entgegen dem Sprachgebrauch der Mathematik, auch Distanzfunktionen als Metriken bezeichnet.

entfernt. Falls jemand etwas über Distanzfunktionen schreiben möchte, dann kann er ihn ja wieder hinzufügen. Ich bin mir nicht ganz sicher was eine Distanzfunktion ist (Abstand zweier Mengen?), sonst würde ich es selber machen. 84.63.126.206 07:55, 22. Nov. 2007 (CET)

Ich denke hier ist einfach jede Funktion gemeint, die alle Eigenschaften einer Metrik hat bis auf die Dreiecksungleichung. Andernfalls hätte es wohl gar keinen Sinn mehr, von Distanz zu sprechen. --Drizzd 16:36, 23. Nov. 2007 (CET)

Wenn du dir sicher bist dann kannst du ja den Artikel über Distanzfunktionen schreiben. Ich kenne den Begriff nicht und Google liefert auch nur Definitionen die am Ende dann doch eine Metrik sind (ich hab allerdings auch nur ein halbes Dutzend Definitionen überprüft). Ich habe nichts gegen den Begriff, nur es ist irgendwie unsinnig zu sagen: Da ist ein Unterschied und den nicht zu nennen bzw. die Begriffe doch identisch zu verwenden (durch den Link) ;) 84.63.105.27

Beispiel für einen nicht metrischen Raum?

Ich weiß nicht, ob ich es überlesen habe, aber ich vermisse ein Beispiel für einen Nicht-metrischen Raum (wenn es sowas gibt). --maststef 09:17, 21. Jan. 2008 (CET)

Würdest Du auch in dem Artikel zu den Spinnentieren ein Beispiel für eine Nicht-Spinne vermissen? Ich fände das irgendwie unpassend. Das hier könnte allerdings Deine Neugier befriedigen: Metrisierbarkeit --Drizzd 19:00, 16. Jun. 2008 (CEST)

Abstand !?

In der Definition der Metrik steht in Klammern (identische Punkte haben Abstand 0) und (Punkte mit Abstand 0 sind identisch, nicht-identische können nicht Abstand 0 haben.) Das sollte entfernt werden weil es suggeriert, Metriken wären Abstände. Abstände sind Metriken aber das wars auch. (nicht signierter Beitrag von 91.17.173.115 (Diskussion | Beiträge) 09:59, 1. Jun. 2009 (CEST))

Verstehe ich nicht: Metriken haben genau die Funktion, einen Abstand zu messen? --P. Birken 16:09, 1. Jun. 2009 (CEST)

Metrikdefinition

Gerade bei der Metrik sind die Definitionen ja ganz schön weit auseinander von Buch zu Buch. Ich bin jetzt auf eine sehr schöne Definition in "Funktionalanalysis" von Siegfried Großmann, 4. Auflage gestoßen, die nur mit

$1.d(f,g)=0\Leftrightarrow f=g$ und

$2.d(f,g)\leq d(f,h)+d(g,h)$

auskommt und daraus die Symmetrie und schließlich die positive semidefinitheit folgert und zwar so:

Ausgegangen von der Dreiecksungleichung setzt man $f=g\Rightarrow 0\leq 2d(f,h)$ dann wird darin f=h gesetzt also $f=h\Rightarrow d(f,g)\leq d(g,f)$ zweimaliges anwenden liefert $d(f,g)\leq d(g,f)\leq d(f,g)\Leftrightarrow d(f,g)=d(g,f)$ Als kürzeste ist diese Definition damit die wie ich finde beste und solange niemand einen Einwand dagegen hat würde ich das darum gern umschreiben.

L.G., giles (nicht signierter Beitrag von 90.153.112.242 (Diskussion | Beiträge) 21:21, 21. Jul 2009 (CEST))

Wir wollen nicht "die beste", sondern die uebliche Definition verwenden. --P. Birken 02:49, 22. Jul. 2009 (CEST)

Genau das ist zur Zeit aber nicht der Fall.... Schönen Gruß --DownAnUp 19:22, 1. Mai 2010 (CEST)

Formale Definition

1. $d\left(x,y\right)=0\Rightarrow x=y$ (Punkte mit Abstand 0 sind identisch, nicht-identische können nicht Abstand 0 haben.)

der Teil "nicht-identische können nicht Abstand 0 haben." der Aussage folgt NICHT aus dieser Definition, da muss ein Äquivalenzzeichen hin --84.60.127.181 17:45, 12. Feb. 2010 (CET)

Moin, vielleicht bin ich doof und habe einen Denkfehler, aber ich bin mir recht sicher dass die Definition falsch ist: Brauchen wir nicht eine Äquivalenz in Axiom 2, also d(x,y)=0 g.d.w. x=y? Man will ja keine Räume wo ein Punkt zu sich selbst Abstand hat. Das folgt auch nicht aus den andern Axiomen, nehme als Gegenbeispiel: X={x}, d(x,x) = 23 \\ Dann haben wir

(i) d(x,y)\geq 0 klar

(ii) d(x,y) = 0 => x=y klar da Prämisse leer

(iii) d(x,y)=d(y,x) klar da nur ein Punkt

(iv) d(x,y) <= d(x,z)+d(z,y) : nur eine Aussage: 23 <= 23+23

Vielleicht kommt der Fehler daher, dass wir es in normierten Räumen nicht brauchen. Ich habs mal in eine Äquivalenz geändert. (nicht signierter Beitrag von 217.233.95.212 (Diskussion | Beiträge) 00:44, 31. Mär. 2010 (CEST))

Einfach den weiteren Text lesen, wos erklärt wird. Den Text der vno der IP oben angemerkt wurde, habe ich angepasst. --P. Birken 20:30, 31. Mär. 2010 (CEST)

Entschuldige, aber bitte erkläre mir welches Axiom von 1 bis 4 im obigen Beispiel verletzt ist. Wenn ich nicht bescheuert bin grade keines, also lassen wir mit der aktuellen definition Räume zu, wo ein Punkt zu sich selbst Abstand hat, und das wollen wir doch sicherlich nicht oder? Man verleiche auch die englische Wikipedia und jedes mir auffindbare Buch zum Thema. (nicht signierter Beitrag von 217.233.77.145 (Diskussion | Beiträge) 01:13, 2. Apr. 2010 (CEST))

Oh, tut mir leid. Ich hatte nicht genau gelesen und da es um die genaue Formulierung der Axiome hier schon einige Diskussionen gab, implizit davon ausgegangen, dass es da korrekt steht :-) Diese Änderung war Schuld. Ich korrigiere es wieder, danke für den Hinweis! --P. Birken 18:36, 2. Apr. 2010 (CEST)

Hallo, kann mir jemand erklären warum die Äquivalenz wieder durch eine Implikation ersetzt wurde? Ist für mich nicht nachvollziehbar bzw. scheint mir falsch. Schönen Gruß --DownAnUp 19:07, 1. Mai 2010 (CEST) Okay, hab einfach mal weitergelesen ;-) Soweit klar, finde die Definition so allerdings sehr unschön da Axiom 2 so immer zusammen mit Axiom 1 betrachtet werden muss. Die im weiteren Text angegebene Definition erscheint mir deutlich eleganter. --DownAnUp 19:17, 1. Mai 2010 (CEST)

Darf ich die Diskussion nocheinmal anstoßen? Welchen sinn hat es denn, 4 Axiome zu benutzen, wenn es durch den Äquivalenzpfeil auh nur 3 bräuchte? Zumindest im Forster und im Fritsche ist das auch mit 3 Axiomen definiert, und der rest der LEhrbücher dürfte da in die gleiche Richtung springen (hab ich aber gerade nicht zur Hand). --Engeltr 16:15, 7. Mai 2011 (CEST) Nachtrag: Da ja sogar der Forster als Quelle angegeben ist, ist hier wohl einfach falsch zitiert? (In der en:WP gibt es auch nur 3 Axiome (+ das Nicht-negativ) --Engeltr 16:18, 7. Mai 2011 (CEST)

Im Prinzip stimme ich dir zu. Man muss dann aber den Abschnitt "Pseudometrik" anpassen. Außerdem finde ich, sollte die Nichtnegativität mit als Axiom aufgenommen werden, auch wenn sie aus der Dreiecksungleichung und daraus, dass ein Punkt zu sich selbst den Abstand 0 hat, folgt. Wenn man sie nicht als Axiom aufführen will, dann sollte man den Wertebereich von d auf nichtnegative Zahlen einschränken (das tun z.B. Querenburg und der dtv-Atlas Mathematik. -- Digamma 19:57, 7. Mai 2011 (CEST)

Formale Definition (Vektorraum)

Unterhalb der Axiome (i)-(iii) steht der Nachsatz, dass bei Vektorräumen, die Forderung d(x,y) >= 0 entfallen könnte und danach folgt eine Ungleichungskette zwecks Beweis. Wo in dieser Ungleichungskette wird irgendeine Eingeschaft eines Vektorraums genutzt? Meiner Meinung nach nirgends. Und ich kenne, die Axiome auch in einer Form, die d(x,y) >= 0 nicht fordert, sondern genauso wie in der Ungleichung folgert und zwar für beliebige Räume. d(x,y) >= 0 wird meistens nur der deutlichkeithalber als Axiom aufgenommen bzw. es werden erst Pseudometriken definiert und die Definitheit weggelassen, wodurch d(x,y) >= 0 als Axiom notwendig ist und in einem zweiten Schritt die Definitheit gefordert, um aus einer Pseudometrik eine Metrik zu machen.

Ich würde daher in dem Satz "für Vektorräume" weglassen, weil es so klingt, als würde es für andere Räume nicht gelten. Sondern stattdessen schreiben: "Obige Axiome sind nicht minimal, weil die Bedingung d(x,y) >= 0" auch aus den übrigen Axiomen mit ... gefolgert werden kann".

Matthias (nicht signierter Beitrag von 188.99.225.121 (Diskussion) 10:34, 21. Nov. 2011 (CET))

Hallo

Deine Forderung ist zwar richtig, die Argumentationsweise aber falsch: Auch im Fall einer Pseudometrik gilt d(x,x)=0, wodurch die Nicht-Negativität (mit der selben Argumentation) ebenfalls gesichert ist. Aber natürlich hast du Recht: Es macht keinen Sinn, die Nicht-Negativität als viertes Axiom oder als Teil des ersten Axioms explizit zu gefordern - sie ist bereits durch die drei anderen Axiome sicher. Man sollte nur die drei Axiom ausführen (in der jetztigen Version als einfach aus Axiom 1 die Forderung d(x,y) >= 0 entfernen) und darauf hinweisen, dass die Nicht-Negativität zwar bereits sicher ist, aber häufig durch Einschränkung des Wertebreiches oder eines weiteren Axiom explizit gefordert wird. (nicht signierter Beitrag von 46.126.193.28 (Diskussion) 04:26, 8. Dez. 2011 (CET))

Den ganzen Absatz gelöscht. Das ist nicht wichtig. --I217 08:34, 8. Dez. 2011 (CET)

In Literatur wird normalerweise die Forderung d(x,y)>=0 bzw. $d:X\times X\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ formuliert. Da das die gängige Formulierung ist, sollte sie so auch in der Definition stehen. (Was sie aktuell ja auch tut.) Allerdings ist das Axiomensystem so nicht minimal gewählt und wie du schon richtig erkannt hast, ist die Nicht-Negativität redundant. Daher halte ich es für wichtig, darauf hinzuweisen, dass die Nicht-Negativität redundant ist und man auch auf sie verzichten könnte, ohne die Eigenschaften der Metrik-Definition zu ändern. --Eulenspiegel1 11:04, 9. Dez. 2011 (CET)

Du schreibst "Daher", gibst aber in Wirklichkeit keinen Grund an. Wichtig für was oder wen? --I217 11:32, 9. Dez. 2011 (CET)

Wichtig für den Leser des Artikels. Wichtig für die Personen, die überprüfen wollen, ob eine gegebene Funktion nun eine Metrik ist oder nicht. Wichtig für diejenigen, die woanders mal eine Metrik-Definition gelesen haben und nun unsicher sind, ob diese beiden Definitionen äquivalent sind oder nicht. --Eulenspiegel1 11:47, 9. Dez. 2011 (CET)

Überprüfen der Nichtnegativität ist nicht das Problem. Für das letzte Argument ist die Frage: ist die verkürzte Definition üblich ("nicht nur von einem Professor und dessen drei Assistenten")? --I217 12:04, 9. Dez. 2011 (CET)

Das ist vielleicht kein Problem, aber man erspart sich dennoch einen Arbeitsschritt. Und ja, zum Beispiel definiert der Forster (Analysis 2) gleich auf Seite 1 im Kapitel "Topologie metrischer Räume" die Metrik ohne diese Zusatzbedingung. Und der Forster ist an einigen Unis Standardlektüre. --Eulenspiegel1 12:27, 9. Dez. 2011 (CET)

Triviale Arbeitsschritte darf man ab dem zweiten Semester weglassen. Ich habe den Hinweis wieder eingefügt. Die Rechnung habe ich weggelassen, sie lenkt nur ab, und für sie hast du auch keine Argumente vorgebracht. --I217 12:53, 9. Dez. 2011 (CET)

Nicht durch Normen erzeugte Metriken

Die Metrik $d(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|\,$ soll sein "ein Beispiel dafür, dass Vollständigkeit kein topologischer Begriff ist".

1. In Uniformer Raum#Topologie uniformer Räume steht richtig "Es ist möglich, dass verschiedene uniforme Strukturen dieselbe Topologie auf X erzeugen."
2. Ferner in Uniformer Raum#Vollständigkeit ebenso richtig "Wie bei metrischen Räumen hat jeder uniforme Raum eine Vervollständigung".

Frage: Ist damit Vollständigkeit ein sog. uniformer Begriff ? Ganz am Anfang von Uniformer Raum steht aber m.E. auch wieder zu Recht:

• "Uniforme Räume sind im Teilgebiet Topologie der Mathematik Verallgemeinerungen von metrischen Räumen."

Vorschlag: Ich würde gerne die Aussage, "dass Vollständigkeit kein topologischer Begriff ist" streichen. Es genügt m.E. zu erwähnen: "Es ist möglich, dass verschiedene metrische Strukturen dieselbe Topologie erzeugen." -- Nomen4Omen 11:17, 20. Jan. 2012 (CET)

Die Formulierung "ist kein topologischer Begriff" meint: "ist keine Eigenschaft des topologischen Raums" bzw. genauer: die Eigenschaft lässt sich nicht so definieren, dass sie invariant ist unter Homöomorphismen. Um von Vollständigkeit zu reden braucht man immer eine zusätzliche Struktur, wie eben eine Metrik oder allgemeiner eine uniforme Struktur. Vielleicht kann man die Aussage ja besser formulieren. --Digamma 22:11, 21. Jan. 2012 (CET)

Topologie

Im Artikel:

Der Begriff „topologischer Raum“ verallgemeinert den Begriff „metrischer Raum“: Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird (siehe dazu Umgebung). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.

Ein topologischer Raum heißt metrisierbar, wenn er zu einem metrischen Raum homöomorph ist. Damit ist ein topologischer Raum (X,T) metrisierbar, wenn eine Metrik d auf X existiert, welche die Topologie T induziert.

Das ist ein bisschen dünn. Insbesondere wird überhaupt nicht erklärt, wie durch die Metrik eine topologische Struktur induziert wird. Der Verweis auf Umgebung ist m.E. nicht ausreichend. Es wäre meiner Meinung nach sogar wünschenswert, wenn wichtige Topologische Begriffe (offene Mengen, Umgebung, Stetigkeit, gleichmäßig stetig, Lipschitz-stetig) für den Fall des metrischen Raums erklärt würden. Ich finde das deshalb wichtig, weil in der Analysis topologische Begriffe sehr oft nur für metrische Räume erklärt und benutzt werden.

In der gegenwärtigen Form ist das eigentlich kein Artikel zum Thema "Metrischer Raum", sondern zum Thema "Metrik". --Digamma (Diskussion) 10:54, 10. Jun. 2012 (CEST)

Eine Aufteilung in zwei Artikel Metrik (Mathematik) und Metrischer Raum würde ich auch begrüßen, siehe Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Themenkomplex Topologie, und ich übernehme auch gerne einen Teil der Arbeit, das wird aber bei meinen derzeitigen Baustellen im Bereich Skalarprodukt/Norm noch etwas dauern. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:28, 10. Jun. 2012 (CEST)

Minkowski und positive Definitheit

Hallo,

Eine der Bedingung, damit eine Metrik vorliegt, ist die positive Definitheit. Aber in einem Minkowski-Raum kann die Metrik doch auch negative Ergebnisse ausspucken, wenn es sich um sog. raumartige Vektoren handelt. Warum heißt es dann Metrik, wenn es nicht der Definition entspricht? Wie löst man den Widerspruch (hier im Artikel)? --85.179.149.22 01:13, 14. Jul. 2013 (CEST)

Es gibt zwei verschiedene Begriffe von "Metrik". Die Metrik eines metrischen Raums misst den Abstand zweier Punkte. Deine Minkowski-Metrik misst die Länge eines Vierervektors. Diese kann auch negativ sein. Die zwei Begriffe haben im Wesentlichen nichts miteinander zu tun. --Digamma (Diskussion) 14:10, 14. Jul. 2013 (CEST)

Kongruenz

@RPI: Ich habe noch nie gesehen, dass Kongruenzabbildungen als spezielle Ähnlichkeitsabbildungen definiert werden. Auch unser Artikel tut das nicht. Man kann das tun, wenn man Kongruenz im Rahmen eines Lehrgangs über Ähnlichkeit behandelt, aber der übliche Weg ist das nicht. Kongruenz ist wesentlich grundlegender als Ähnlichkeit. --Digamma (Diskussion) 07:48, 2. Apr. 2019 (CEST)

Ich bin zwar kein Geometer, aber „Kongruenz“ ist kein topologischer, sondern ein geometrischer Begriff (auch wenn man die Topologie als eine Verallgemeinerung der Geometrie auffassen kann). Kongruenz setzt eine geometrische Struktur voraus. Die Aussage

„Eine Abbildung vom Raum in sich selbst heißt Isometrie, sofern sie die Metrik erhält.“

ist zwar richtig, aber nicht allgemein gültig, weil Isometrien auch zwischen verschiedenen metrischen Räumen definiert sind. Und die Aussage

„Figuren, die von einer Isometrie aufeinander abgebildet werden können, heißen kongruent zueinander.“

gilt wohl nicht für beliebige metrische Räume. Obwohl metrische Räume in der Topologie behandelt werden, weil sie wichtige spezielle topologische Räume sind bzw. der topologische Raum eine Verallgemeinerung des metrischen Raumes ist, sind Isometrien und Kongruenzen in der Topologie im Allgemeinen kein Thema. Der Satz gilt aber für Selbstabbildungen z.B. in der ebenen euklidischen Geometrie, wo bereits eine isometrische Selbstabbildung eine Bewegung bzw. eine Kongruenzabbildung ist. In der euklidischen Ebene sind Kongruenzabbildungen spezielle Ähnlichkeitsabbildungen. --RPI (Diskussion) 04:06, 3. Apr. 2019 (CEST)

Ich habe nichts dagegen, dass du den Satz ganz streichst, weil man üblicherweise nur im euklidischen Raum von Kongruenz spricht. Aber: Metrische Räume sind zwar wichtig für die Geometrie Topologie (verbessert. --Digamma (Diskussion) 20:42, 5. Apr. 2019 (CEST)), weil die Metrik eine Topologie erzeugt, aber die Metrik selbst ist eigentlich eine geometrische Struktur (auch wenn das unser Artikel über mathematische Strukturen anders sieht). Isometrie ist ein geometrischer Begriff.

Natürlich sind Kongruenzabbildungen spezielle Ähnlichkeitsabbildungen und Kongruenz ein Spezialfall von Ähnlichkeit. Man geht hier aber üblicherweise nicht vom allgemeineren Begriff Ähnlichkeit aus und spezialisiert dann auf Kongruenz, sondern fängt mit dem Begriff der Kongruenz an und verallgemeinert dann zur Ähnlichkeit. Das ist der Grund, warum ich dagegen bin, Kongruenzabbildungen als spezielle Ähnlichkeitsabbildungen zu definieren. --Digamma (Diskussion) 22:54, 3. Apr. 2019 (CEST)

Der Artikel hier handelt vom metrischen Raum, also einem topologischen Thema, und es gibt einen eigenen Artikel für das geometrische Thema Kongruenz, wo die Kongruenz von geometrischen Figuren oder (allgemeiner) von Punktmengen (in der absoluten Geometrie) allgemein definiert wird:

wenn eine Bewegung des Punktraumes existiert, durch die die eine Figur auf die andere abgebildet wird.

Wie schon erwähnt ist zwar im Spezialfall der euklidischen Geometrie eine isometrische Selbstabbildung eine Bewegung, aber im Allgemeinen wird (nach Friedrich Bachmann: Zur Begründung der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. In: Math. Ann. Band 123, Nr. 1, 1951, S. 341–344, doi:10.1007/BF02054959. ) eine Bewegung als eine Permutation (bijektive Selbstabbildung) mit bestimmten Eigenschaften definiert und kommt ohne den Begriff der Metrik aus (vgl. z.B. Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. Band 1, 9. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1991, ISBN 3-423-03007-0, Abschnitt „Absolute Geometrie I“, S. 133. ):

Die Kongruenz geometrischer Figuren wird allgemein nicht als isometrische Selbstabbildung definiert.

Der Artikel Bewegung (Mathematik) behandelt diesen allgemeinen Fall leider nicht, sondern beschränkt sich nur auf den Spezialfall aus der euklidischen Geometrie und bedarf daher dringend einer grundlegenden Überarbeitung. --RPI (Diskussion) 17:45, 4. Apr. 2019 (CEST)

Ich kenne genug Arbeiten zur Geometrie in metrischen Räumen. Metrische Räume gehören eben nicht nur zur Topologie. Wenn man als Abbildungen Isometrien betrachtet, dann ist es Geometrie. Wenn man stetige Abbildungen betrachtet, ist es Topologie. Und der Zugang von Bachmann zu Bewegungen ist eben nicht der allgemein übliche. Die zitierte Seite im dtv-Atlas ist übrigens mit "Metrische Ebene" überschrieben.

Aber lassen wir das. Wie gesagt, ich habe überhaupt nichts dagegen, dass du den Begriff der Kongruenz hier entfernt hast. --Digamma (Diskussion) 08:14, 5. Apr. 2019 (CEST)

Im besagten dtv-Atlas findest du „metrische Räume“ bei der Topologie (S. 217). Die Namensähnlichkeit kann leicht zu Verwechselungen führen: Der „metrische Raum“ ist ein Begriff aus der Topologie, ein solcher besteht allgemein nur aus einer (Punkte-)Menge und einer Metrik darauf, ohne weitere Struktur sind darauf keine Geraden gegeben. Im Gegensatz dazu ist eine „metrische Ebene“ ein Begriff aus der Geometrie und besteht grundsätzlich aus einer Punkte- und einer Geradenmenge sowie einer Inzidenzrelation auf diesen. Auf einem metrischen Raum gibt es im Allgemeinen auch keine Inzidenz: er hat in der Regel keine geometrische Struktur! --RPI (Diskussion) 12:07, 5. Apr. 2019 (CEST)

Sorry, aber ich bin Differentialgeometer. Ich glaube, es gibt Unterschiede, was die Vertreter verschiedener Fachrichtungen unter Geometrie und geometrischer Struktur verstehen. Aus der Sicht des Differentialgeometers ist es Geometrie, wenn man Abstände messen kann. Geraden sind nicht erforderlich. So sind Alexandrow-Räume und CAT(0)-Räume und Längenräume Gegenstände der Geometrie, die durch ihre Metrik (Abstandsfunktion) definiert sind.

Und zur Kongruenz: Kongruenzabbildungen sind die Isometrien des euklidischen Raums. Mehr braucht man nicht zu ihrer Definition (auch wenn man sie auch anders definieren kann). --Digamma (Diskussion) 20:28, 5. Apr. 2019 (CEST)

Ich gebe zu, dass ich mich vor Jahrzehnten zuletzt mit Differentialgeometie beschäftigt habe, und das auch nur am Rande. Vielleicht habe ich mich zu sehr auf Elementargeometrien bzw. die absolute Geometrie bis zu den „klassischen“ metrisch-euklidischen und metrisch-nichteuklidischen Geometrien beschränkt. Allerdings hat das auch seinen Grund, denn wenn ich nicht völlig falsch liege, dann setzt die Differentialgeometrie (spezieller ebenso die projektive und affine Geometrie) nicht nur „nackte“ metrische Räume, sondern Mannigfaltigkeiten voraus, sodass zusätztlich zumindest lokal auch eine lineare Struktur gegeben ist.

Im euklidischen Raum sind Geodäten stets Geraden, bezeichnet man also allgemeiner in Längenräumen die Geodäten als „Geraden“, dann erhält man eine geometrische Struktur im genannten Sinne.

Wie schon gesagt sind in der absoluten Geometrie Bewegungen (Kompositionen von Geradenspiegelungen, dtv-Atlas, S. 133) und damit auch Kongruenzen allgemeiner definiert (dtv-Atlas, S. 151). Es gibt übrigens auch für Dynamische Systeme einen noch weiter gefassten Begriff der „Bewegung“. --RPI (Diskussion) 11:56, 8. Apr. 2019 (CEST)

In Beltramis hemisphärischen Modell der hyperbolischen Ebene werden tatsächlich die Geodäten als Geraden betrachtet (siehe David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. 4., durch Zusätze und Literaturhinweise von neuem vermehrte und mit sieben Anhängen versehene Auflage. Teubner, Leipzig/Berlin 1913, Anhang V. „Über Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung.“, S. 219 (archive.org). ). Und im Beltrami-Klein-Modell stimmt der Begriff der Kongruenz nicht mit dem in der euklidischen Ebene überein, im Gegensatz zu dem der Inzidenz. --RPI (Diskussion) 14:03, 9. Apr. 2019 (CEST)

Lesbarkeit des Quelltextes

@Nomen4Omen: Der Quelltext ist besser lesbar, wenn die einzelnen Zeilen auch im Quelltext untereinander angeordnet sind als alle in einer Zeile. Außerdem lässt sich im Quelltext "\text{für } x > y" leichter lesen als "\mathrm{f\ddot ur}\ x > y".

Weiterhin: Ein Satz lässt sich leichter lesen, wenn die Formel am Ende des Satzes steht und nicht mitten im Satz. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 17:38, 3. Jan. 2020 (CET)

@Eulenspiegel1: Ich habe glatt immer gedacht, dass nur die Autoren den Quelltext lesen und dass die Autoren vor allem FÜR DIE ANDEREN LESER (und nicht für sich selbst) schreiben: und dass die anderen viel mehr an der Hand genommen werden müssen als die Autoren, die, wenn es ihnen zu schwierig wird, es auch einfach lassen können.
Mit deinem Weiterhin bin ich auch nicht einig. Von leichter lesen kann überhaupt nicht die Rede sein – vom reinen Lesen her ist da NULL Unterschied. Wahrscheinlich meinst du "leichter verstehen". Aber auch da bin ich nicht deiner Ansicht. Statt dass du da jetzt einen Krieg für die leichtere Lesbarkeit der Quelltexte anfängst, wäre es mir echt lieber, du könntest mit einer WP-Regel aufwarten, statt derart persönlich gefärbte Statements von dir zu geben. --Nomen4Omen (Diskussion) 20:07, 3. Jan. 2020 (CET)

Ja, wir schreiben hauptsächlich für die Leser. Aber inwiefern ist es für den Leser einfacher, wenn der Quelltext komplizierter zu lesen ist? Der Quelltext hat keine Auswirkungen auf das Leseempfinden des Lesers. Daher wäre dir hier ein Verstoß gegen WP:KORR vorzuhalten.

Hinzu kommt: Wenn zwei Versionen möglich sind, die für den Leser den gleichen Komfort bieten, dann ist die Version zu bevorzugen, die auch für den Autoren ein höheren Komfort bietet. Das schadet nicht dem Leser, nützt aber dem Autoren.

Zum Weiterhin: Nein, ich meine nicht Verständnis, sondern Lesbarkeit. Die Art, wie das Gehirn Zeichen verarbeitet, unterscheidet sich von Sprache zu Sprache und unterscheidet sich auch zwischen Fließtext und Formeln. Steht die Formel am Ende des Textes, muss das Gehirn nur einmal im Satz umschalten. Steht die Formel jedoch mitten im Text, muss das Gehirn zweimal im Satz umschalten. Das ändert nichts am Verständnis, erschwert aber die Lesbarkeit.

Da du unbedingt Regeln haben möchtest: WP:KORR verbietet Geschmacksänderungen. Du hattest in deinen Edits jedoch Geschmacksänderungen durchgeführt.

Anstatt dass du jetzt einen Krieg für deine persönlich gefärbte Sichtweise anfängst, wäre es mir lieber, du könntest mit einer WP-Regel aufwarten. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 20:27, 3. Jan. 2020 (CET)

@Eulenspiegel1: Ich bin mit dir total einig, dass "Wenn zwei Versionen möglich sind, die für den Leser den gleichen Komfort bieten, dann ist die Version zu bevorzugen, die auch für den Autoren ein höheren Komfort bietet."

1. Ich finde aber, dass
     ${\text{für }}$
   um einiges schlechter aussieht als
     $\mathrm {f{\ddot {u}}r}$.
   Jedenfalls bei mir. Warum WP nicht in der Lage ist, die Schriftart \mathrm für eine ordentliche Darstellung der dt Umlaute herzurichten, ist mir ein Rätsel. (Aber jeder PC-Nutzer weiß ja, dass in der IT nicht alles so in Ordnung ist, wie es mit geringem Aufwand sein könnte.)
2. Bei deiner Lesbarkeit habe ich die Frage an dich: Wie oft schaltet dein Gehirn bei der folgenden Zeile um:
     dass ${\text{für }}$ um einiges schlechter aussieht als $\mathrm {f{\ddot {u}}r}$. Jedenfalls
3. Was die Geschmacksänderungen angeht, hätte ich gerne von dir ganz genau:

   Mit welchem Edit habe ich ganz genau

   welche Geschmacksänderung durchgeführt.

4. Brauchen wir einen Schiedsrichter, um festzustellen, wer mit den Reverts angefangen hat?
   Kannst du Versionsgeschichten lesen?

--Nomen4Omen (Diskussion) 21:09, 3. Jan. 2020 (CET)

1. Bei diesem Punkt würde ich dir evtl. zustimmen.
2. Hier schaltet mein Gehirn nicht um, da es keine Formel ist. Du benutzt zwar den Formel-Editor, um "für" zu schreiben, aber es ist dennoch ein Wort in einem Satz.
3. Mit diesem Edit hast du die folgenden Geschmacksänderungen durchgeführt: "\text{für }" durch "\mathrm{f\ddot ur}" ersetzt. Die Formel in die Mitte des Satzes verschoben. Aus einer mehrzeiligen Formel alles in eine Zeile geschrieben. Hinzu kommt noch die Linkänderung, die gegen korrektes Zielen von Links verstößt. Mit diesem Edit hast du "\text{für }" durch "\mathrm{f\ddot ur}" ersetzt.
4. Du hast mit den Geschmacksänderungen angefangen, ich habe deine Geschmacksänderungen revertiert.

--Eulenspiegel1 (Diskussion) 21:51, 3. Jan. 2020 (CET)

@Eulenspiegel1:

1. Wenn du mir bei 1. evtl. zustimmst, wieso ist es dann eine Geschmacksänderung?
2. Meine Frage 2. war für dich anscheinend nicht signifikant genug gestellt. Deshalb nochmal. Wie oft schaltet dein Gehirn bei der folgenden Zeile um:
     dass $x=y$ bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla $x\neq y$. Jedenfalls
3. Zu deinem 3.:
     (a) siehe hier 1.
     (b) wenn du die Änderung diskrete Metrik ---> diskrete Metrik meinst, dann bitte ich dich, auch Diskussion:Diskrete Metrik#Der Artikel kann eigentlich in den Artikel Diskrete Topologie vollständig subsumiert werden zu lesen.
4. Zu deinem 4.: siehe hier 1.

--Nomen4Omen (Diskussion) 22:21, 3. Jan. 2020 (CET)

1. Dass ich dir bei 1 zustimme, bedeutet nur, dass wir beide den gleichen Geschmack haben. Allerdings können wir beide auch gut sehen. Das Problem sind Blinde oder andere Personen, die auf ein Braille-Lesegerät angewiesen sind. Hier müsste ich mich erstmal informieren, wie diese die Formel nun lesen können. Siehe hierzu auch WP:Barrierefreiheit.
2. Innerhalb des ersten Satzes muss das Gehirn dreimal umschalten. Nach einem Satz macht man in der Regel eine Pause, so dass das umschalten zu Beginn eines neues Satzes nicht ganz so schlimm ist, wie mitten in einem Satz umzuschalten.
   Aber ich möchte daran erinnern, dass der Status quo nicht besser sein muss als dein Edit. Selbst wenn der Status quo genau so gut wie dein Edit wäre, würde gemäß WP:KORR der Status quo Vorrang haben. Dass ich dir erkläre, wieso der Status quo besser ist, ist reine Höflichkeit. Eigentlich müsstest du erklären, wieso dein Edit besser als der Status quo ist.
3. In der Diskussion Diskussion:Diskrete Metrik#Der Artikel kann eigentlich in den Artikel Diskrete Topologie vollständig subsumiert werden geht es nur um die Frage, ob der Artikel Diskrete Metrik eine Weiterleitung werden soll oder nicht. Davon unberührt bleibt, dass Links dennoch auf Diskrete Metrik verlinken sollten: Wenn es irgendwann einen neuen Artikel zu Diskrete Metrik gibt, müssen nicht alle Linkziele geändert werden. Aber auch wenn der Inhalt bei Diskrete Topologie bleibt: Wenn sich dort die Überschrift ändert, muss das Linkziel nicht in jedem Artikel geändert werden, sondern nur auf der Weiterleitungsseite. Aus diesen Gründen sollte auf die Weiterleitung verlinkt werden.

--Eulenspiegel1 (Diskussion) 16:21, 5. Jan. 2020 (CET)

"Vernünftige Reihenfolge der Aussagen"

Ich fand die Reihenfolge vor dieser Bearbeitung durch Benutzer:UvM besser. Dies ist ja kein mathematischer Fachtext, in dem die Begriffe in ihrer logischen Reihenfolge auftauchen sollten, sonden ein Wikipedia-Artikel. Und da sollte im ersten Satz das Lemma erläutert werden. Um die Logik klarer zu machen, könnte man ja schreiben:

Unter einem metrischen Raum versteht man in der Mathematik eine Menge, auf der eine Metrik definiert ist. Dabei ist eine Metrik (auch Abstandsfunktion) eine Funktion, die je zwei Elementen (auch Punkte genannt) der Menge einen positiven reellen Wert zuordnet, der (unter dieser Metrik) als Abstand der beiden Punkte voneinander aufgefasst wird. (nicht signierter Beitrag von Digamma (Diskussion | Beiträge) 11:41, 31. Jan. 2021 (CET))

Imho ist der Grundbegriff eher Metrik, Metrischer Raum ist davon abgeleitet, und demnach sollte der Artikel eigentlich auf das Lemma Metrik verschoben werden. Aber ich kenne den überwiegenden Mathe-Sprachgebrauch nicht gut genug. Spricht man wirklich öfter von einem metrischen Raum als von einer Metrik? --UvM (Diskussion) 15:53, 31. Jan. 2021 (CET)

Wir haben auch die zwei Artikel Norm (Mathematik) und Normierter Raum. Und die zwei Artikel Topologie (Mathematik) und Topologischer Raum. Von daher würde nichts dagegen sprechen, hier ebenfalls zwei Artikel anzulegen: Einen für "Metrik" und einen für "Metrischer Raum". --Eulenspiegel1 (Diskussion) 17:35, 31. Jan. 2021 (CET)

Definition

@Nomen4Omen: Bitte verzichte auf einen Edit-War und nutze erst die Diskussionsseite, wenn deine Änderungen nicht akzeptiert werden. Ich hatte dir schonmal gesagt, dass deine Definition nicht der offiziellen Definition entspricht. In deinem Vorschlag hat Punkt 1 auch keinen Namen. Dabei ist es offiziell ganz klar, welche Eigenschaften eine Funktion haben muss, um als Metrik zu gelten: Sie muss positiv definit und symmetrisch sein und die Dreiecksungleichung erfüllen. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 17:54, 19. Okt. 2021 (CEST)

@Eulenspiegel1:

1. Solcherart Tipps ("verzichte auf einen Edit-War") haben immer etwas ganz besonders Berührendes, wenn sie von Leuten geäußert werden, die sich selbst nicht daran halten.
2. Sollen Axiome redundanzfrei sein. Und dein Vorschlag hat Redundanz. (Aber er ist mit vieler Literatur in guter Gesellschaft.)
3. Ist tatsächlich die Bezeichnung «Positive Definitheit» wegen $d(x,y)$ falsch. Bei $d(x,x)$ wäre sie richtig — $d(x,x)$ bringt uns hier aber nichts.

–Nomen4Omen (Diskussion) 11:00, 20. Okt. 2021 (CEST)

Metrisches System (1799)

hat Metrisches Einheitensystemdas]] was mit dem Thema zu tun? Es wird nicht erwähnt. --88.128.92.85 12:49, 25. Dez. 2023 (CET)

Kurze Antwort: nein. Die einzige Gemeinsamkeit ist, dass beiden Bezeichnungen ein griechisches Wort mit der Bedeutung "messen" zugrunde liegt. --Digamma (Diskussion) 19:10, 25. Dez. 2023 (CET)