Diskussion:Modallogik/Archiv

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[[Diskussion:Modallogik/Archiv#Thema 1]]

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Abschnitt Syntaktische Charakterisierung

Ich finde die Angaben zur Reduzierbarkeit missverständlich. System T und schwächere besitzen unendlich viele nichtreduzierbare modale Präfixe (Kombinationen aus nicht, möglich, notwendig). S4 besitzt derer 14 und S5 genau 6. Falsch ist, dass S4 die Reduktion bloß bei Ketten des gleichen Operators erlaubt.

Ist das nicht falsch: Ähnlich kann man aus der Notwendigkeit einer Disjunktion die Disjunktion der Notwendigkeit der Einzelaussagen folgern, jedoch nicht umgekehrt. Muss es nicht heißen: Ähnlich kann man aus der Disjunktion der Notwendigkeit der Einzelaussagen die Notwendigkeit der Disjunktion der Einzelaussagen folgern, jedoch nicht umgekehrt. Lars (nicht signierter Beitrag von 213.39.162.33 (Diskussion) )

Stimmt, diese Formulierung war falsch. Viele Grüße, --GottschallCh 11:42, 27. Apr. 2007 (CEST)

Ich bin kein Experte, aber habe gerade in einem Buch gelesen, dass S5 auf K,T,4,5 basiert (statt nur K,T,5). Ich glaube auch mit der Zuordnung der Relationseigenschaften stimmt irgendwas nicht, Symmetrie scheint falsch zugeordnet. -Abaris

Hallo Abaris, es ist richtig, dass K, T, 4 und 5 Theoreme von S5 sind, aber 4 lässt sich aus K, T und 5 ableiten (vgl. z.B. Hughes, Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, Kapitel 3, The System S5). Die Entsprechung zwischen Axiom B und der Symmetrie der Zugänglichkeitsrelation scheint mir auch richtig, denn in jedem symmetrischen Rahmen ist B gültig und ist B in einem Rahmen, d.h. in jeder Welt in jedem Modell über diesem Rahmen, gültig, so ist der Rahmen symmetrisch (vgl. Hughes, Cresswell). --RobM 19:43, 21. Aug 2005 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: -- Leif Czerny 13:57, 30. Jul. 2012 (CEST)

Barcan-Formeln

„Im System K sind bereits alle oben diskutierten Folgerungen gültig, mit Ausnahme der umstrittenen Barcan-Formeln, von denen eine gegebenenfalls als eigenes Axiom hinzugefügt werden muss (die jeweils andere ergibt sich dann ebenfalls).“

Vorher im Artikel steht, nur eine der beiden sei umstritten. Wie kann das sein? --Chricho ¹ 14:17, 13. Aug. 2011 (CEST)

Ich weiß nicht genau, warum Du meinst, dass im Text stünde, nur eine der beiden Barcan-Formeln wäre umstritten. Ist es deswegen

Die Bedeutung der Anwendung von Quantoren auf Modalaussagen ist in der philosophischen Logik umstritten; der Grund dafür liegt in den so genannten Barcan-Formeln.

• (A) aus $\exists x\Diamond Fx$ folgt $\Diamond \exists xFx$
• (B) aus $\Diamond \exists xFx$ folgt $\exists x\Diamond Fx$ (Barcan-Formel, umstritten)

Ich vermute mal Du verstehst das so, dass (A) und (B) Barcan-Formeln sind und (B) ist umstritten. So ist es aber nicht gemeint (A) ist keine Barcan-Formel, sondern nur (B). Später im Text steht dann die andere Barcan-Formel:

Ein ganz analoges Problem stellt sich beim Allquantor und dem Notwendigkeitsoperator:

• (A) aus $\Box \forall xFx$ folgt $\forall x\Box Fx$
• (B) aus $\forall x\Box Fx$ folgt $\Box \forall xFx$ (Barcan-Formel, umstritten)

Wie könnte man es deutlicher machen? --Hajo Keffer 14:39, 13. Aug. 2011 (CEST)

Achso, man sollte sie dann vllt. nicht unter „Barcan-Formeln“ subsummieren, insbesondere, wenn nur eine genannt wird. Man sollte vllt. gleich darauf hinweisen, dass die Barcan-Formeln alles äquivalente Formulierungen sind und zudem auf den Ausdruch „Barcan-Formel (B)“ verzichten, das klingt so, als wäre A auch eine. --Chricho ¹ 21:47, 13. Aug. 2011 (CEST)

Habe mal versucht, das zu reorgnisieren. Liebe Grüße, -- Leif Czerny 13:52, 30. Jul. 2012 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: -- Leif Czerny 13:52, 30. Jul. 2012 (CEST)

kleine Fragen

Ein paar Fragen oder Anregungen. 1.was sind unimodale Logiken, ich meine begrifflich unterschiedlich, zu modalen Logiken? Mich verwirrt die Wortwahl ein wenig. Würde mich selbst über den Informationszuwachs freuen, wenn das vielleicht ergänzend eingefügt werden könnte, was unimodal bedeutet. 2.Zur Nezessierungsregel. Mir ist diese Regel persönlich bekannt als Gödelregel. Aber wie diese Regel nun genannt wird ist nicht so entscheidend. Nur würde ich gerne wissen, was Nezessierung bedeutet? 3. was mich auch brennend interessiert, was eine universelle Subsitution ist? liebe grüße --23:05, 17. Feb 2006 (CET)

Zu 1.) "Unimodal" ist eine Modallogik, die nur einen Modal-Operator hat, "multimodal" eine mit mehreren Operatoren. Die gewöhnliche Modallogik scheint zwei Operatoren zu haben: "es ist notwendig" und "es ist möglich". Das zählt aber noch nicht als multi-modal, da man die beiden Operatoren durch einander definieren kann und man daher einen der Operatoren nicht wirklich braucht. Echt multi-modal wäre eine Logik erst dann, wenn man z.B. einen Notwendigkeits-Operator hätte, der den Gesetzen von K gehorcht und einen, der z.B. S5 gehorcht. Diese wären dann nicht durch einander definierbar. Die gewöhnlichen Modallogiken sind also unimodale Logiken.

Zu 2.) "Gödelregel" ist ein korrekter Ausdruck und sollte eigentlich in den Text. Was verstehst Du an der Regel nicht, so wie sie im Text erklärt ist? Die Regel besagt, wenn Du A bewiesen hast, dann hast Du auch "Es ist notwendig, dass A" bewiesen.

Zu 3.) Substitution besagt zunächst einfach, dass man einen Ausdruck durch einen anderen ersetzt. Z.B. wenn ich in "Wenn A, dann B" den Ausdruck "A" durch "C" ersetze, bekomme ich "Wenn C, dann B". Man unterscheidet nun zwischen universeller und einfacher Substitution.

Bei universeller muss ich _alle_ Vorkommen ersetzen, bei einfacher kann ich eines, mehrere oder alle ersetzen. Der Unterschied kommt natürlich erst zum Tragen, wenn in dem Ausdruck mindestens 2 Vorkommen enthalten sind. Also universelle Substitution von "A" durch "C" in "Wenn A, dann B oder A" ergibt: "Wenn C, dann B oder C", bei einfacherer Substitution könnte sich auch "Wenn C, dann B oder A" ergeben.

Manche logischen Gesetze setzen universelle Substitution voraus. So kann ich in einer bewiesenen Formel einen Ausdruck durch einen anderen ersetzen, wichtig ist aber, dann ich hier nur universell ersetzen kann. Sind allerdings 2 Ausdrücke äquivalent, so kann ich sie einfach durcheinander ersetzen.

Danke für Deine Fragen, das sind alles Sachen, die man in diesen oder in andere Artikel einarbeiten sollte.

--Hajo Keffer 12:26, 18. Feb 2006 (CET)

Danke für die schnelle Antwort:-) zu 2.) die Regel an sich verstehe ich schon. sie besagt an sich ja eigentlich nur, wenn ein Ausdruck A wahr ist,dann ist er notwendigweise wahr. Mich irritiert der Begriff Nezessierung. Kann es sein, dass er von dem englischen necessity kommt? zu 3.)vielleicht sollte das auch in den Beitrag eingearbeitet werden? ich kenne mich leider noch nicht sehr gut hier aus. denn ich denke, dass es wichtig ist darauf hinzuweisen, dass in der Modallogik das Ersetzbarkeitstheorem nicht im gleichen Maße wie in der klass. Aussagenlogik funktioniert. also das ersetzen von sem. äquivalenten Ausdrücken erst gilt, wenn die Regel : ${A\rightarrow B \over \Box A\rightarrow \Box B}$ gilt. Entspricht das der universellen Subsitution? liebe Grüße --Frem 14:45, 18. Feb 2006 (CET)

Zu 2: Engl. necessity kommt ja selbst wiederum vom Lateinischen necessitas = Notwendigkeit. Nezessieren bedeutet "notwendig machen". Nezessierungsregel = "Wenn ich A gezeigt habe, kann ich A notwendig machen"

Zu 3: Ich bin mir nicht ganz sicher, was Du mit dieser Regel meinst. Der Unterschied zwischen einfacher Aussagenlogik und Modallogik in Bezug auf das Ersetzen von äquivalenten Ausdrücken ist der folgende: In einfacher Aussagenlogik kann ich, wenn ich aus der _Annahme_, dass A und B äquivalent sind, eine Aussage C gefolgert habe, A in C durch B ersetzen. In der Modallogik kann ich das nur, wenn ich _bewiesen_ habe, dass A und B äquivalent sind (oder wenn ich angenommen habe, dass A und B notwendigerweise äquivalent sind). Vermutlich meinst Du mit Deiner Regel etwas ähnliches.

Hierbei handelt es sich aber um einfache Substitution, d.h. um die Ersetzung _einiger_ Vorkommen von A durch B. Die Kalkülregel bezieht sich aber auf universelle Substitution, also auf die Ersetzung _aller_ Vorkommen von A durch B. Es gilt ganz generell, dass ich in einer bewiesenen Formel einen bestimmten Ausdruck universell durch einen anderen ersetzen darf. Das gilt in der normalen Aussagenlogik genau wie in der Modallogik. Die Kalkülregel der universellen Substitution ist also etwas anderes als die Ersetzung von Äquivalenten. Ich habe übrigens auf Deinen Diskussionsbeitrag hin den Artikel Substitution (Logik) verfaßt, vielleicht willst Du da ja mal reingucken.

--Hajo Keffer

zu 2: Vielleicht wäre es dann wirklich ganz hilfreich, diese Notation von dir noch einzufügen. (Ich selbst trau mich noch nicht an die Artikel heran, bin froh, dass ich verstanden habe, wie die Diskussionsseiten funktionieren:-) )Und/Oder geschichtlich wäre es vielleicht interessant, dass Gödel diese Regel "entdeckt" hat. War er eigentlich der erste?

zu 3: Habe den Artikel gelesen:-) Sehr schön. Meines bisherigen Wissenstandes her war mir nur die universelle Subsitution bekannt, also nicht begrifflich, aber von der Anwendung her. Ich sehe bei der Regel die ich oben notiert habe gerade, dass sie auch nicht ganz korrekt ist. Das müsste eine Bijunktion sein und nicht nur eine einfache Implikation. Und dann haben wir es ja, oder?

--Frem 20:38, 18. Feb 2006 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Hajo Keffer (Diskussion) 11:17, 20. Aug. 2012 (CEST)

Literaturangaben

Ich arbeite mich gerade in das Gebiet der Logik ein und bin dabei auf diesen Artikel gestoßen. Gibt es hierzu empfehlenswerte Literatur? Tom

hallo Tom! einführend zum diesem Thema, aber auch weiterführend zu anderen nichtklassischen Logiken, würde ich persönliche "Nichtklassische Logik" von L.Kreiser und S. Gottwald empfehlen. Gut ist auch "An Introduction to nonclassical logic" von Graham Priest. Falls diese Bücher nicht so richtig helfen, könnte ich mal meine Prof's fragen, was sie außerdem empfehlen würden. Ach genau, was mir da auch einfällt. Eine gute insgesamte Einführung für Logik ist gerade erschienen. Titel ist ganz einfach: Einführung in die Logik. Autor ist Niko Strobach. In diesem Buch gibt es auch Kapitel zur Modallogik. Liebe Grüße --Frem 20:10, 17. Mär 2006 (CET)

Der Tip ist gut und sollte dazu führen, diese Literatur auch in den Artikel zu schreiben. --SonniWP 19:26, 6. Mai 2007 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: -- Leif Czerny 13:57, 30. Jul. 2012 (CEST)

Anwendungsbeispiele

Ganz nützlich fände ich, wenn man ein paar Anwendungsbeispiele geben könnte. Wozu braucht man Modallogiken? Was ist einfacher darstellbar mittles der Modaloperatoren? Mir fallen da momentan Programmverfikation (dynamische Logik) und Beschreibung von Agentensystemen ein. Thomas

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: -- Leif Czerny 13:57, 30. Jul. 2012 (CEST)

Dimension

Die Werte möglich und notwendig erweitern den Werteraum {wahr,falsch} zu {wahr,falsch, möglich, notwendig} hättest du die gern als Wertmenge bezeichnet? Zumindest ist das keine andere Dimension! Dieser Begriff ist in der Modallogik auch nicht geläufig.--SonniWP 20:43, 6. Mai 2007 (CEST)

Gegenüber der Darstellung in http://www.philosophie.uni-osnabrueck.de/FoLIIScript.htm finde ich die intuitionistische in unserem Artikel leichter verständlich. Allerdings muß die Begriffswelt mathematisch akzeptierbar sein und das ist mit der Uminterpretation eines mathematisch definierten Begriffes nicht zu bewerkstelligen.--SonniWP 20:49, 6. Mai 2007 (CEST)

Hallo!

Ich wollte nicht die Formulierung übermäßig verteidigen, sondern nur die Bemerkung rückgängig machen, dass Modallogik mehrwertige Logik sei. In den heute gängigen Formen der Modallogik wird die Menge der Wahrheitswerte nicht verändert; auch der Text, auf den du hinweist ([1]), stellt die übliche zweiwertige modallogische Semantik dar (dort Kapitel 1.2). Zwar gab und gibt auch mehrwertige Semantiken, aber "[i]nsgesamt herrscht heute die Auffassung vor, daß die Modallogik ein eigenständiges Gebiet der nichtklassischen Logik ist und keineswegs in toto auf die mehrwertige Logik reduziert werden kann" (Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Berlin: Akademie 1990, S. 60). Der Artikel behandelt solche Themen bisher nicht, ist aber auch nicht von mir. ;-)

Persönlich finde ich die Formulierung allerdings durchaus gelungen und hatte ich bisher keine Probleme beim Durchlesen: Das Wort "Dimension" wird für mein Sprachgefühl eindeutig nicht im mathematischen, sondern im alltagssprachlichen Sinn verwendet (bei der wahllosen Google-Suche finde ich gleich zu Beginn Formulierungen wie: "Verleihen Sie Ihrem Flötenspiel eine zusätzliche Dimension" oder "die neue Dimension der Medizin/Vorfreude/Geldanlage/...").

Viele Grüße, --GottschallCh 00:29, 7. Mai 2007 (CEST)

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Semantische Charakterisierung der Modalsysteme

Folgend ein Zitat, das m.E. in etwas abstrakterer und gleichzeitig verständlicheren Form beschreibt, worum es geht:

"Die verschiedenen Modalsysteme stimmen nun darin überein, dass sie als Quantifizierung über die Zugänglichkeitsrelation der verschiedenen Welten laufen. Sie unterscheiden sich in den unterschiedlichen Einschränkungen, die als exakt definierbare Forderungen an die Zugänglichkeit gestellt werden. Genauer ausgedrückt: Ein Modalsystem ist interpretierbar als ein geordnetes Tripel <O, W, Z>, bei dem W die Objektmenge aller Welten ist, O ein Element dieser Menge und Z die Relation, die für die Elemente von W definiert ist."

Bucher, Einführung in die angewandte Logik (1987), ISBN 3 11 0112787, S. 272

--Hans-Jürgen Streicher 22:26, 22. Aug. 2008 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: -- Leif Czerny 13:57, 30. Jul. 2012 (CEST)

Wahrheitsfunktionalität

Hallo, in den Artikel wurde ein Abschnitt über die (mutmaßlich nicht vorhandene) "Wahrheitsfunktionalität" der Modallogik eingeführt. Ich habe mit diesem Abschnitt so meine Probleme, die ich hier darlegen will.

• Es ist unklar, was "Wahrheitsfunktionalität" überhaupt bedeuten soll. Es wird so getan als handele es sich um einen Fachbegriff, doch der Link führt einfach nur auf die Seite "Wahrheitswertefunktion".
• Das gegebene Beispiel zeigt nichts anderes als dass in der Modallogik eine Aussage mit modalem Operator immer nur in Bezug auf eine gegebene Welt gültig ist. Es ist klar, dass "box alpha" nicht denselben Wahrheitswert hat wie "box beta", selbst wenn alpha und beta für sich genommen denselben Wahrheitswert haben. Aber das ist ja auch gerade der Sinn einer modalen Logik, dass sie nämlich Gültigkeiten in Bezug auf bestimmte Umstände untersucht.

Insgesamt sehe ich die vorgetragene Argumentation nicht als schlüssig. Offensichtlich verfügt auch die Modallogik über eine Auswertungsfunktion, die der Wahrheitswertefunktion der Aussagenlogik entspricht, aber eben die Besonderheiten der modalen Operatoren berücksichtigt. Auch können Formeln der Modallogik offensichtlich wahr oder falsch sein, ja sie müssen es sogar ("tertium non datur"). Ich bitte daher um eine Erläuterung, da ich ansonsten den Abschnitt wieder entfernen müsste. -- Mkleine 18:29, 31. Aug. 2008 (CEST)

Quine (Grundzüge der Logik, S. 33) bestimmt "wahrheitsfunktional" wie folgt: "Allgemein wird ein zusammengesetzter Satz eine Wahrheitsfunktion von seinen Bestandteilen genannt, wenn sein Wahrheitswert in jedem Fall durch den Wahrheitswert der Bestandteile bestimmt ist. Genauer: ein Satz, der aus gegebenen Bestandteilen zusammengesetzt ist, ist eine Wahrheitsfunktion dieser Bestandteile, wenn sein Wahrheitswert durch keine Änderung der Bestandteile geändert wird, die nur den Wahrheitswert der Bestandteile ungeändert lässt." Im Text wird nun gezeigt, dass der Satz "Es ist möglich, dass Sokrates kein Schuster ist" nach dieser Definition (und der im Text gegebenen äquivalenten Definition) nicht wahrheitsfunktional ist. Der Satz "Es ist möglich, dass Kreise eckig sind" ist nämlich (mit Quines Worten) "eine Änderung der Bestandteile, die den Wahrheitswert der Bestandteile ungeändert lässt". Der Bestandteil "Sokrates ist kein Schuster" wird nämlich in den Bestandteil "Kreise sind eckig" geändert und dieser Bestandteil hat denselben Wahrheitswert (beide Sätze sind falsch). Wäre der Satz "Es ist möglich, dass Sokrates kein Schuster ist" nun eine Wahrheitsfunktion, so dürfte der Wahrheitswert des Satzes durch eine solche Änderung nicht geändert werden. Der Wahrheitswert des Satzes ändert sich aber (von wahr zu falsch). Daher ist der Satz keine Wahrheitsfunktion seiner Bestandteile nach Quines Definition. Soviel zur Erläuterung des Sachverhaltes. Unklar ist mir im Moment noch, wie man das im Text noch deutlicher/ausführlicher erläutern könnte. --Hajo Keffer 19:45, 1. Sep. 2008 (CEST)

PS zur näheren Erläuterung: Es ist klar, dass nach Quines Definition der Satz "Sokrates ist kein Schuster oder Paris liegt in England" eine Wahrheitsfunktion ist. Denn ersetzen wir z.B. "Sokrates ist kein Schuster" durch einen Satz mit gleichem Wahrheitswert (etwa "Kreise sind eckig"), so bleibt der WW des Gesamtsatzes (wahr) immer erhalten. Dasselbe gilt, wenn wir "Paris liegt in England" durch einen anderen falschen Satz ersetzen. Der WW lässt sich hier überhaupt nur ändern, wenn wir einen der beiden Sätze durch einen Satz mit anderem Wahrheitswert, also durch einen wahren Satz, ersetzen. Dasselbe gilt für Aussagenverknüpfungen mit "und" "wenn - dann" usw. --Hajo Keffer 20:15, 1. Sep. 2008 (CEST)

Ok, die Definition von Quine kann ich nachvollziehen. Schön wäre eigentlich, wenn man hierfür einen eigenständigen Artikel erfassen könnte. Einige Bedenken bleiben für mich dennoch. Ich versuche das mal zusammenzuführen.

• In der Aussagenlogik lässt sich an Hand einer Formel alpha der Wahrheitswert der Formel bestimmen. Dies erfolgt durch folgende Voraussetzungen: Erstens ist die Semantik von AL-Formeln klar definiert, d.h. es existiert eine Auswertungsfunktion, die an Hand einer gegebenen Belegung der Aussagensymbole jeder AL-Formel einen Wahrheitswert (0,1 oder wahr, falsch) zuordnet.
• In der Modallogik gibt es hierzu einen Unterschied. Denn in der Modallogik existieren nicht einfach Belegungen von Aussagensymbolen, sondern nur Belegungen von Aussagensymbolen in Bezug auf eine gegebene Welt. Das ist ja gerade die Besonderheit modaler Logiken, dass sie die Berücksichtigung des Kontextes von Aussagen ermöglichen.
• Dass Belegungen sich in der Modallogik auf eine gegebene Welt beziehen, ändert aber nichts an der Eindeutigkeit der Auswertungsfunktion der Modallogik. Auch hier erhält man an Hand der (modallogischen) Belegung und der Auswertungsfunktion für jede Formel alpha einen eindeutigen Wahrheitswert.

Was Quine hier wohl meint ist, dass man dem Satz seinen Wahrheitsgehalt nicht ansieht, da dieser ja vom Kontext des Satzes abhängt (von der Welt, auf die er sich bezieht). Quine argumentiert, dass die Gültigkeit modallogischer Formeln unter der Operation des simultanen Substituierens nicht abgeschlossen ist, und damit hat er auch Recht, das zeigt das gegebene Beispiel. Aber insgesamt erscheint mir die Aussage, dass ein modallogischer Satz keine Wahrheitsfunktion seiner Bestandteile ist, doch schwer nachvollziehbar. Vielleicht übersehe ich hier noch irgendeine Feinheit des Arguments ?! -- Mkleine 12:05, 2. Sep. 2008 (CEST)

Wenn man entscheiden will, ob ein modallogischer Satz eine Wahrheitsfunktion seiner Bestandteile ist oder nicht, so muss man eine Definition von "Wahrheitsfunktion" haben, nach der man eine solche Entscheidung trifft. Nach Quines Definition ist ein modallogischer Satz keine Wahrheitsfunktion seiner Bestandteile. Wie sähe denn eine Definition von "Wahrheitsfunktion" aus, nach der ein modallogischer Satz eine Wahrheitsfunktion seiner Bestandteile _ist_? Und wird eine solche Definition in irgendeinem (bekannten) Logikbuch verwendet?

Der intuitive Gehalt von Quines Definition ist doch der folgende: Bei einer Wahrheitsfunktion kenne ich, wenn ich den Wahrheitswert der Bestandteile kenne, auch den Wahrheitswert des Gesamtsatzes. Das ist doch auch ziemlich das, was man sich unter einer Funktion vorstellt: Bei einer Funktion wird durch die Argumente der Wert eindeutig bestimmt (z.B. "der Vater von", "die Hauptstadt von" etc.). Bei der Wahrheitsfunktion sind Argumente und Werte eben Wahrheitswerte. Ein modallogischer Satz ist, wie das Beispiel zeigt, keine Wahrheitsfunktion, denn hier wird durch den Wahrheitswert des Argumentes von "Es ist möglich, dass ..." der (Wahrheits-)Wert nicht eindeutig bestimmt: Bei manchen falschen Sätzen wird er wahr, bei andern falsch. Das ist doch eigentlich eine ganz gute Definition mit einem ganz guten intuitiven Sinn, oder nicht? --Hajo Keffer 18:24, 2. Sep. 2008 (CEST)

Hallo, da ich in Urlaub war, antworte ich erst heute. Du sagst bezogen auf den Wahrheitswert modallogischer Sätze: "Bei manchen falschen Sätzen wird er wahr, bei andern falsch." Das ist so nicht korrekt. Ich formalisiere: Nehmen wir die Formel "<>A" (als "Es ist möglich, dass A gültig ist", wobei A hier eine beliebige Aussagenvariable sei). Die Formel <>A kann nun natürlich nicht "für sich genommen" gültig sein, sondern nur in Bezug auf eine Welt, nennen wir sie s. <>A ist gültig, wenn A in einer von s aus erreichbaren Welt wahr ist. Es ist also nicht so wie du sagst, dass der Wahrheitswert bei manchen Sätzen wahr wird, bei anderen falsch. Es hängt eben vom modallogischen Rahmen ab, ob ein Satz gilt oder nicht. Ist dieser Rahmen aber gegeben, so ist das Ergebnis der Wahrheitswertefunktion für den Satz <>A eindeutig bestimmt.

Man könnte Quines Aussage so interpretieren, dass man aussagenlogischen Sätzen ihren Wahrheitsgehalt ansieht, ohne einen Rahmen zu kennen. Bei modallogischen Sätzen hingegeben benötigt man noch den Rahmen, um den Wahrheitswert eines Satzes entscheiden zu können. Ich finde das aber einigermaßen "konstruiert". Sowohl bei aussagenlogischen als auch bei modallogischen Sätzen benötigt man eine "Belegung", um den Wahrheitswert zu bestimmen. Bei modallogischen Sätzen gilt eine Belegung nur in Bezug auf bestimmte Welten, bei aussagenlogischen gibt es "nur eine" Welt. In jedem Fall gibt es immer eine eindeutig bestimmte Wahrheitswertefunktion.

Ich denke, man sollte dies im Artikel differenziert darstellen, um keine Missverständnisse zu erzeugen. Denn Modallogik ist keine unbestimmte Sache - es ist nicht so, dass dort Wahrheitswerte nicht eindeutig berechenbar wären. Das könnte man aber fälschlicherweise schlussfolgern, wenn man den Sachverhalt zu pauschal darstellt. -- Mkleine 15:31, 26. Sep. 2008 (CEST)

Dass Modallogik nicht wahrheitsfunktional ist, bedeutet ja nicht, dass sie eine "unbestimmte Sache" ist (was immer das heißen mag). Der Satz "<> A" wird (in s) bei Einsetzung von manchen (in s) falschen Sätzen für A wahr, bei Einsetzung von anderen (in s) falschen Sätzen für A falsch - dies zeigt die Nicht-Wahrheitsfunktionalität der Modallogik. Dass Modallogik nicht wahrheitsfunktional ist, kann man im Übrigen auch an vielen Stellen im Netz nachlesen, hier eine kleine Auswahl: [2], [3], [4] und [5]. Nachdem ich mittlerweile doch schon einiges an Belegen für meine Meinung beigebracht habe, möchte ich Dich nochmals bitten, ein Logikbuch zu zitieren, in dem behauptet wird, die Modallogik sei wahrheitsfunktional, und eine Definition von "wahrheitsfunktional" anzugeben (und zu belegen), nach der sich ergibt, dass die Modallogik wahrheitsfunktional ist. --Hajo Keffer 23:16, 27. Sep. 2008 (CEST)

Hallo, ich denke, dass das Beispiel mit dem Schuster nicht stimmt. Es wird behauptet, dass "Sokrates ist kein Schuster" falsch ist. Falls das wirklich so ist, ist die Aussage "Es ist möglich, dass Sokrates kein Schuster ist", auch falsch, denn damit eine Aussage möglich ist, muss sie in einer Welt gültig sein. Hat jemand ein besseres Beispiel für diesen Absatz? NilsV 23:52, 14. Dez. 2008 (CET)

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Beispiel falsch?

Hallo. Ich hab jetzt extra bei Sokrates nachgelesen, ob nicht vielleicht doch Schuster war, aber außer dem in den Fußnoten erwähnten Brecht-Stück "Der verwundete Sokrates" kommt nichts dergleichen vor, also gehe ich davon aus er war kein Schuster. Somit hat der Bestandteil "Sokrates war kein Schuster" den Wahrheitswert wahr und durch das Ersetzen mit dem Bestandteil "Kreise sind eckig" wird der Wahrheitswert auf falsch gesetzt. Die Argumentation "Ersetzen zweier Teilaussagen mit gleichem Wahrheitswert" greift hier also nicht. Das Beispiel steht aber sowieso nicht mehr im Abschnitt Wahrheitsfunktionalität der Modallogik, also genug damit. Statt dessen wird dort nun in der Aussage "Es ist möglich, dass Sokrates kein Philosoph ist" (laut Artikel wahr) die Teilaussage "Sokrates ist kein Philosoph" (falsch) durch "Kreise sind eckig" (falsch) ersetzt. Meine Frage: Warum ist es möglich, dass Sokrates kein Philosoph ist? Geht es darum, dass er auch etwas anderes, z.B. Grieche, Mann oder Bartträger, also nicht ausschließlich Philosoph ist? Oder geht es um einen potentiellen anderen Sokrates, der auch existieren könnte? Oder darum, dass Sokrates nicht mehr lebt und damit mittlerweile kein Philosoph mehr ist? Das wären für mich die einzigen plausiblen Erklärungen, und die müssten dann im Text genauer behandelt werden (meiner Meinung nach auch mit einem besseren Beispiel, denn der Satz "Es ist möglich, dass Sokrates kein Philosoph ist" beißt sich nach gesundem Menschenverstand bemessen mit der Aussage "Sokrates ist ein Philosoph"). Sollte meine Vermutung mit dem "ausschließlich" (usw) nicht stimmen müsste allerdings das ganze Beispiel neu geschrieben werden. Oder verstehe ich etwas falsch? --stfn 03:45, 8. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe den Abschnitt vorerst gelöscht weil er so einfach keinen Sinn ergibt. --stfn 16:45, 8. Jun. 2010 (CEST)

Danke! Jetzt habe ich es verstanden :) In formaler Beweisform oder so lässt sich diese Eigenheit aber nicht (zusätzlich) darstellen, oder? Das würde dem ganzen halt mehr "wissenschaftliche" Substanz geben. Sagen wir P :<=> "Sokrates ist kein Philosoph" und Q :<=> "Kreise sind eckig" mit P => falsch und Q => falsch. Dann gilt trotzdem in diesem Fall <>P => wahr und <>Q => falsch, es kann also nicht einfach P mit Q substituiert werden. Jetzt müsste man noch irgendwie s als mögliche Welt einbringen und man hätte zwar immer noch keinen formalen Beweis aber zumindest begleitende Formeln, also statt der "biegsamen" menschlichen Sprache etwas "Handfestes". Mir hilft so etwas immer sehr (zumal formale Logik im Endeffekt ja sowieso auf Zeichenmanipulation hinausläuft). --stfn 01:26, 9. Jun. 2010 (CEST)

Das Problematische an der Argumentation ist, dass eine kontrafaktische Aussage ("Sokrates ist kein Philosoph") durch eine widersrpüchliche Aussage ("Kreise sind eckig") ersetzt wird. Zwar sind beide Aussagen falsch, aber die eine ist eben zufälligerweise falsch, die andere notwendigerweise. Die Modallogik ist deshalb nicht wahrheitsfunktional, weil die Werte "wahr" und "falsch" quer zu den modalen Werten "notwendig", "kontingent" und "unmöglich" verlaufen. Beim modalen Argument müssen also Teilaussagen durch andere mit demselben modalen Wert ersetzt werden, nicht aber durch solche, mit demselben Wahrheitswert. Aber auch dann ist die Wahrheitsfunktionalität nicht gewährleistet. "p" sei der kontingente Satz "Es regnet", "q" der kontigente Satz "Der Hund bellt". Beide Aussagen sind also auch möglich: <>p; <>q.. Ferner ist die Konjunktion der beiden Aussagen "p und q" möglich: <>(p^q). Substituiere ich nun aber für q den ebenfalls kontingenten Satz nicht-p, dann ergibt sich die falsche Behauptung <>(p^nicht-p). In Worten: "Es ist möglich, dass es regnet und zugleich nicht regnet". (Man kann die Beispielsätze durch genaue Orts- und Zeitbestimmungen präzisieren (Es regnet an 1. Mai auf dem Münchner Marienplatz). Das Argument bleibt dabei gültig). --mer 16:49, 1. Jun. 2011 (CEST) (17:45, 1. Jun. 2011 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Ich sehe auch ein Problem in der Behauptung, dass Kreise nicht eckig seien - ein Kreis ist formal als Menge von Punkten definiert, für die gilt, dass jeder Punkt des Kreises den gleichen Abstand zu einem gegebenen Punkt hat. Das Problem daran ist, dass es Strukturen gibt, in denen der "Abstand" anders definiert ist. Der "Abstand" zweier Punkte in einer mathematischen Struktur wird durch eine Metrik d definiert und niemand zwingt uns, die euklidische Metrik zu nehmen.

 Kreis(Mittelpunkt, Radius) = {x | d(x,Mittelpunkt)=Radius)}

Wenn wir den R^2 nehmen und als Metrik die Funktion

 d((x,y),(x',y')) := max(|x-x'|, |y-y'|)

dann sind "Kreise" sehr wohl eckig (wobei ja der Begriff "eckig" hier gar nicht definiert ist). AlgorithMan (Diskussion) 11:15, 26. Apr. 2012 (CEST)

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vom Artikel hierher verschoben

Sokrates ist aber kein Schuster (in der Wirklichkeit) Er ist Steinmetz--93.222.244.193 17:02, 20. Dez. 2008 (CET)

Eben das finde ich auch etwas iritierend an dem Beispiel. Sokrates ist wohl nur bei Brecht und da rein fiktiv Schuster. Dass er Bildhauer gewesen sein soll, ist mir nicht bekannt gewesen und nach Lesen des Wikipedia-Artikels zu Sokrates neu für mich. Eindeutiger im Zusammenhang mit einem Modallogikartikel wäre in meinen Augen die Aussage "Sokrates ist kein Philosoph." Immerhin soll es um eine Aussage gehen, die erkennbar falsch ist, nicht darum Sokrates Lebenslauf zu kennen. (nicht signierter Beitrag von 213.61.58.226 (Diskussion | Beiträge) 15:55, 25. Jun. 2009 (CEST))

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