Diskussion:Nullstelle

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Unterschied Polynom / Polynomfunktion (ganzrationale Funktion)

Ich finde es sehr unglücklich formuliert, dass hier ständig von den Nullstellen "eines Polynoms" die Rede ist. Ein Polynom ist (meines Wissens) zumindest in der Schulmathematik immer ein Term - und ein Term hat keine Nullstellen. Gemeint ist eigentlich immer "Nullstelle einer Polynomfunktion", in der Sprache der Schulmathematik also "Nullstelle einer ganzrationalen Funktion". Ich weiss aber nicht genau, wie der Begriff "Polynom" in der höheren Mathematik gehandhabt wird - wird da "Polynom" als Synonym für "Polynomfunktion" verwendet, obwohl das ja eigentlich zwei verschiedene Dinge sind? Der Artikel "Polynom" ist dazu auch nicht gerade hilfreich...--91.65.208.71 23:03, 24. Feb. 2010 (CET)

Huch, ich bin ja nun Physiker, kenne Polynom aber nur als Synonym und Kurzform für eine Polynomfunktion. Was für eine Art von Term soll denn ein Polynom sonst sein? Nur das, was auf der rechten Seite der Funktionsgleichung steht? --PeterFrankfurt 02:03, 25. Feb. 2010 (CET)

Hallo 91.65.208.71, bitte keine weiteren dieser Änderungen vornehmen. Die Sprechweise zum Beispiel in Fundamentalsatz der Algebra ist die übliche! Man kann also sagen: "Nach dem Zwischenwertsatz hat jedes reelle Polynom ungeraden Grades mindestens eine reelle Nullstelle." Dennoch kann man auf den Unterschied 'abstraktes Polynom' versus 'Polynomfunktion' hinweisen, wenn es im jeweiligen Zusammenhang nötig ist. Das ist aber beispielsweise nicht der Fall im Artikel Kreiszahl. Grüße, -- KurtSchwitters 09:32, 25. Feb. 2010 (CET)

Hallo KurtSchwitters, 'tschuldigung, habe es inzwischen auch selbst in einem Algebra-Buch gelesen: auch bei Polynomen kann man von Nullstellen reden, und das bedeutet dann im Prinzip dasselbe wie die Nullstelle der zugehörigen Polynomfunktion. Trotzdem: in manchen Stellen in manchen Artikeln ist es sinnvoller, auf "ganzrationale Funktion" zu verweisen anstatt auf "Polynom", oder? Bin übrigens der Benutzer "BFeuerbacher", hatte nur leider vergessen, mich anzumelden (habe mich erst vor kurzem als Benutzer registiert); evtl. können wir das Ganze auf meiner Benutzer-Diskussionsseite genauer durchsprechen.--91.65.208.71 15:18, 26. Feb. 2010 (CET)

Hallo PeterFrankfurt, ein Polynom ist in der Tat nur das, was auf der rechten Seite der Funktionsgleichung steht - ein Term ist nicht dasselbe wie eine Funktion... aber "Polynom" wird in der Algebra trotzdem anscheinend häufig als Synonym für "Polynomfunktion" verwendet.--91.65.208.71 15:18, 26. Feb. 2010 (CET)

Wenn ich mir dann so ansehe, was im Artikel Term so steht, wo man ihn eben auch "ausrechnen" kann, sehe ich kein Hindernis, warum ein Term nicht auch eine Nullstelle wie eine Funktion aufweisen können sollte. Insofern wäre diese Unterscheidung hier auch in dieser Hinsicht hinfällig. --PeterFrankfurt 02:19, 27. Feb. 2010 (CET)

Der Begriff "Polynomfunktion" findet sich ausschließlich in Schulbüchern und wird auch von zahlreichen namhaften Mathematikdidaktiker stark kritisiert. Ich möchte deswegen darum bitten, ihn außerhalb des Artikels Polynomfunktion nur mit Verweis auf Verwendungen in der Schulmathematik zu benutzen. --P. Birken 16:55, 27. Feb. 2010 (CET)

Ein Polynom ist ein Element beispielsweise des Ringes $\mathbb {R} [X]$ und das Einsetzen liefert eine Abbildung von Polynomen zu Abbildungen $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Da diese injektiv ist, ist der Verzicht auf eine Unterscheidung durchaus als vereinfachende Sprechweise zulässig. Anders sieht es etwa bei endlichen Körpern aus. Das Polynom $X^{2}\in \mathbb {F} _{2}[X]$ ist ein anderes Polynom als $X\in \mathbb {F} _{2}[X]$, aber beide definieren dieselbe Abbildung $\mathbb {F} _{2}\to \mathbb {F} _{2}$. Dennoch ist es gerade hioer wichtig, die Nullstellen eher des Polynoms als der zugehörigen Funktion zu bestimmen: 0 ist doppelte Nullstelle von $X^{2}$ aber nur einfache von $X$.--Hagman 18:55, 27. Feb. 2010 (CET)--Hagman 18:51, 27. Feb. 2010 (CET)

@Digamma: Zur Änderung: Zwischen Polynomen im algebraischen Sinn und „Polynomfunktionen“ wird im Artikel nicht sauber getrennt, sondern immer wieder gewechselt. Mein Vorschlag war sicher nicht optimal, daher durchaus revertierbar, aber nicht unnotwendig. Im Abschnitt Nullstelle#Nullstellen von Polynomen ist plötzlich vom Zwischenwertsatz die Rede. Kollegiale Grüße ins Nachbarbundesland --Peter Gröbner (Diskussion) 10:23, 14. Mär. 2015 (CET)

Das liegt in der Natur der Sache: Man braucht Hilfsmittel aus der Analysis, um zu beweisen, dass jedes reelle Polynom ungeraden Grades eine Nullstelle besitzt bzw. dafür, dass jedes komplexe Polynom eine Nullstelle besitzt. Trotzdem ist das dann eine Aussage aus der Algebra über Polynome im Sinn der Algebra. --Digamma (Diskussion) 11:39, 14. Mär. 2015 (CET)

… oder eine Aussage über Nullstellen reellwertiger Funktionen im 1. Abschnitt. --Peter Gröbner (Diskussion) 12:54, 14. Mär. 2015 (CET)

Kurzgefasst: Ich finde die Überschriften „Nullstellen reellwertiger Funktionen“ bzw. „Nullstellen von Polynomen“ nicht sehr trennscharf, wenn man den jeweiligen Inhalt betrachtet. --Peter Gröbner (Diskussion) 12:59, 14. Mär. 2015 (CET)

Polynomfunktionen werden eigentlich nur im zweiten Teil "Nullstellen von Polynomen" behandelt. Das Wort "Polynom" kommt im ersten Teil "Nullstellen reellwertiger Funktionen" nur an einer Stelle vor: "Ist $f\colon D\to \mathbb {R}$ eine Polynomfunktion oder zumindest stetig und an der Nullstelle $x_{0}\in D$ differenzierbar". Hier werden die algebraischen Eigenschaften von Polynomen gar nicht benutzt, sondern nur die analytischen. Polynomfunktionen sind hier nur ein Beispiel für die Anwendbarkeit der folgenden Aussagen, die aber auf der Voraussetzung "stetig und an der Nullstelle $x_{0}\in D$ differenzierbar" beruhen.

Ich sehe hier somit kein Abgrenzungsproblem. --Digamma (Diskussion) 18:02, 14. Mär. 2015 (CET)

Im ersten Teil heißt es „Ist $f\colon D\to \mathbb {R}$ eine Polynomfunktion …“ und das ist faktisch der erste Satz (Nullstelle#Mehrfache Nullstellen). Interessanterweise ist im vorliegenden Lemma „Polynomfunktion“ nicht verlinkt, von dort würde nämlich auf Ganzrationale Funktionen weitergeleitet, somit wähnt sich m. E. der Leser im Bereich der reellen Zahlen und nicht der Algebra. --Peter Gröbner (Diskussion) 18:11, 14. Mär. 2015 (CET)

Der passendere link wäre m. E. Polynom#Polynome in der abstrakten Algebra --Peter Gröbner (Diskussion) 18:25, 14. Mär. 2015 (CET)

Mehrfache Nullstellen

Werden hier nur für reelle Polynome definiert, sind aber auch für komplexe Polynome wichtig.—Butäzigä (Diskussion) 10:45, 16. Jan. 2022 (CET)

Schönere Funktion

Wie wäre es mit einer Funktion, die alle dargestellten Mehrfachheiten enthält?

$f(x)=(x-1)\cdot (x-2)^{2}\cdot (x-3)^{3}\,$?

Das ist $x^{6}-14x^{5}+80x^{4}-238x^{3}+387x^{2}-324x+108$

Die Ableitungen sind:

• $f'(x)=6x^{5}-70x^{4}+320x^{3}-714x^{2}+774x-324$
• $f''(x)=30x^{4}-280x^{3}+960x^{2}-1428x+774$
• $f^{(3)}=120x^{3}-840x^{2}+1920x-1428$
• $f^{(4)}=360x^{2}-1680x+1920$
• $f^{(5)}=720x-1680$
• $f^{(6)}=720$

ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 21:19, 11. Mai 2022 (CEST)

Warum zwei verschiedene Definitionen?

In diesem Artikel gibt es zwei Definitionen für Nullstellen. Einmal "allgemein" und einmal für reellwertige Funktionen. Was ist der Zweck dieser Trennung? --Mathze (Diskussion) 20:55, 18. Jun. 2024 (CEST)