Diskussion:Ordnungsrelation

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Halbordnung: Reflexiv vs. Irreflexiv

Hallo,

gerade wollte ich den Text in irreflexiv ändern, da habe ich gesehen, dass dies schon geschehen ist und wieder rückgängig gemacht wurde.

Es scheint von Professor zu Professor unterschiedlich zu sein. Dieses Jahr wurde in "Mathematische Logik" an der RWTH von Professor Grädel gelehrt, dass eine Halbordnung irrefelxiv zu sein hat. Siehe auch http://www-mgi.informatik.rwth-aachen.de/Teaching/MaLo-WS04/kap2.ps Seite 30.

Vielleicht sollte nach einer Prüfung übernommen werden, dass beide Möglichkeiten bestehen - je nach Definition.

Stefan Heukamp

Die Definitionen in dem zitierten Skript stimmen mit den im Artikel angegebenen Definitionen für strenge Halbordnung bzw. strenge Totalordnung überein. Offenbar ist eine uneinheitliche Definition sowohl für das Begriffspaar "total/partiell" als auch für das Begriffspaar "streng/nicht streng" üblich. Einen Hinweis auf den ersten Konflikt gibt es ja bereits im Artikel (auch wenn ich mir nicht sicher bin, ob ich diesen verstehe) und ein Hinweis auf den zweiten Konflikt kann sicher nicht schaden.

Außerdem würde mich mal interessieren, warum außgerechnet bei dem Begriff "Ordnung" so grundsätzlich verschiedene Definitionen verbreitet sind. Vielleich weis ja jemand genaueres über den Hintergrund dieser Entwicklung. Andererseits - als ich noch bei meinen Eltern gewohnt habe, hatten meine Mutter und ich auch immer unterschiedliche Vorstellungen von "Ordnung". Scheint also völlig normal zu sein hier verschiedene Definitionen zu benutzen :-)

Sledge 20:24, 27. Jan 2005 (CET)

Hallo, warum geht man nicht einfach hin und definiert eine Halbordnung als transitive antisymmetrische Relation? Also ohne festzulegen, ob sie reflexiv oder irreflexiv sein muß. Dann könnte man doch zusätzlich von reflexiver / irreflexiven Halbordnungen als Spezialfällen sprechen, oder?

totale Ordnung

Reflexivität und Trichotomie vertragen sich nicht besonders gut, weil Reflexivität verlangt, dass gleiche Elemente stets in Relation zueinander stehen, Trichotomie dies aber gerade ausschließt. Die Änderungen von 217.236.194.75 an der Definition von totale Ordnung finde ich daher etwas unglücklich. Lediglich die leere Relation ist zugleich reflexiv und trichotomisch und erfüllt damit die Definition. So passt nun auch das Beispiel mit den ganzen Zahlen nicht mehr zu der Definition, da $1=1$ und $(1,1)\in \leq$ ist, die Trichotomie aber höchstens einen dieser Fälle zulässt. Kurz: Mir gefiel die alte Definition besser, die ich denn auch gleich wieder herstelle... Sledge 20:58, 1. Feb 2005 (CET)

Eine totale Ordnung ist stets reflexiv. Dies belegen verschiedenste Skripte aber auch der vorliegende Artikel zu den Ordnungsrelationen selbst: "Eine Totalordnung, Anordnung oder lineare Ordnung ist eine Halbordnung, die zudem eine totale Relation ist", was natürlich stimmt. Weiter oben steht "Eine Halbordnung – auch Partialordnung, teilweise Ordnung, Teilordnung oder partielle Ordnung genannt – ist eine antisymmetrische Quasiordnung", was wiederum stimmt. Und schließlich steht oben bei Quasiordnung "Eine Quasiordnung ist transitiv und reflexiv", was auch stimmt. Da eine Totalordnung also eine besondere Halbordnung und diese wiederum eine besondere Quasiordnung und diese stets reflexiv ist, so ist auch jede Halbordnung reflexiv und damit auch jede Totalordnung.

Folglich ist der Teil "das heißt für je zwei beliebige Elemente a,b der Grundmenge mit a ≠ b ist stets mindestens eine der beiden Relationen a\,R\,b oder b\,R\,a erfüllt" mit dem "a ≠ b" zumindest irreführend wenn nicht gar falsch, da es auf den ersten Blick die Reflexivität ausschließt. Ich würde zur Klarheit vorschlagen, den Teil mit "a ≠ b" einfach wegzulassen, da die Aussage ohne eindeutig richtig ist (und die Reflexivität mit einschließt): "das heißt für je zwei beliebige Elemente a,b der Grundmenge ist stets mindestens eine der beiden Relationen a\,R\,b oder b\,R\,a erfüllt"

Man könnte es sogar zur Klarheit nochmal betonen, indem man dahinter schreibt: "Dies gilt insbesondere auch für a=b, da durch die Reflexivität a\,R\,a gefordert ist."

Das direkt daruaf folgende, natürlich richtige, Beispiel mit dem "kleiner gleich" impliziert auch die Reflexivität! Also darf da kein "mit a ≠ b" stehen!

In jedem Fall sollte das "mit a ≠ b" also weg, weswegen ich das auch entfernt habe.

DrGoscha 00:44, 13. Jul 2010 (CET)

Tolentino hat DrGoscha's Änderung rückgängig gemacht, womit ich nicht einverstanden bin. Um nicht eine 'edit war' zu dritt zu veranstalten, stelle ich die Sache hier zur Diskussion. Tolentino argumentiert mit einer strengen Totalordnung: n.M.M. sollte man nicht so viel Aufhebens mit strengen Ordnungen machen, im Artikel auch Striktodnungen genannt, was ein besserer Name ist, da er eher Missverständnisse verhindert. So wie eine 'strenge Ordnung' keine Ordnungsrelation ist, muss auch eine 'strenge Totalordnung' keine Totalordnung sein, womit Tolentino's Argument hinfällig wird. Ohne Antwort werde ich in einigen Tagen DrGoscha's Version wiederherstellen. --UKe-CH 11:26, 17. Jul. 2010 (CEST)

Nach meiner Erfahrung benutzen verschiedene Autoren durchaus unterschiedliche Begriffsbildungen.

Zum Beispiel schreibt Kunen, Set Theory: "A total ordering (sometimes calle a strict total ordering)". Ich kenne z.B. auch die Bezeichnungen "Ordnung im Sinne von <" und Ordnung im Sinne von ≤".

Meschkowski (Einführung in die moderne Mathematik) schreibt "Ordnung", formuliert dann aber die Axiome einer strengen Ordnung. Als Fußnote schreibt er: "Die Ordnung heißt antireflexiv, weil sie nach O₁ dei Relation $a\prec a$ ausschließt. Andere Typen von Ordnungsrealtionen werden in Kapitel VII behandelt."

"Striktordnung" ist meines Erachtens ein Anglizismus, der deutsche Ausdruck ist "strenge Ordnungsrelation". -- Digamma 21:31, 17. Jul. 2010 (CEST)

Unklare Beispiele für "Wohlordnung"

"eine Wohlordnung ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt.

   Bsp: "Kleinergleich" auf N.
   Bsp: Z mit der Ordnung 0 < 1 < -1 < 2 < -2 < 3 < -3 < ... ."

Hm - 2 Beispiele, 2 Fragen:

1. bzgl. N - wirklich "Kleinergleich" und nicht "kleiner als"?

2. bzgl. Z - falls es korrekt ist, finde ich als Nichtmathematiker das 2. Beispiel für Wohlordnung unglücklich gewählt.

Aus meiner naiven Sicht fehlt da mindestens eine Betragsfunktion. Beim besten Willen: 1 ist nicht kleiner -1 und 2 nicht kleiner -2 etc.

Wie soll das irgendjemand helfen, zu verstehen, was gemeint sein könnte? Und ist nicht diese Verwendung von Z mit Null als (angeblich) 'kleinsten' Element lediglich eine Abbildung von Z in N (mit Null), was dann analog dem Beispiel 1 wäre und somit hier überhaupt keinen Erkenntnisgewinn bringen kann? --84.59.65.173 15:10, 13. Apr 2005 (CEST)

Auf $\mathbb {Z}$ wird eine neue Ordnung definiert, wie angegeben. Das kleiner-Zeichen hat hier nichts mit dem gewöhnlichen kleiner zu tun.--MKI 15:14, 13. Apr 2005 (CEST)

Ach das soll eine Definition sein? Dann ist's (wäre's) OK und auch die Ursache der Unklarheit gefunden. 84.59.66.56 16:14, 17. Apr 2005 (CEST)

Wohlordnungsdefinition

Müßte es nicht heißen: Eine total geordnete Menge ist wohlgeordnet, falls für jede Teilmenge ein kleinstes Element existiert?

Denn die Teilmenge der Ordnung ist eine Menge von Paaren aus $R\subseteq M\times M$ (s. o.). Wenn diese ein kleistes Element haben soll, dann müßte sie wiederum geordnet sein. Das ergibt keinen Sinn.

Hallo, ich habe 3 Fragen / Probleme:

• Ist es so, dass eine Wohlordnung immer eine totale Ordnung sein muss bzw. ob es auch eine strenge totale Ordnung (totale Striktordnung) sein kann, wie z.B. die "Standard"-<-Relation auf den natürlichen Zahlen.

• Ist eine "strenge Totalordnung" eine strenge totale Ordnung? Falls ja, könnte man das vllt. noch im Artikel unter strenge Totalordnugn erwähnen...

• Nochmal zur Striktordnung: eigentlich folgt doch schon aus transitiv und irreflexiv, dass die Relation antisymmetrisch ist und somit asymmetrisch, also könnte man doch sagen, dass eine Striktordnung transitiv und irreflexiv ist... (nicht signierter Beitrag von Tehkah (Diskussion | Beiträge) 13:55, 26. Aug. 2009 (CEST))

bzw. zum letzten Punkt ist die Antisymmetrie doch sowieso egal. Wenn etwas transitiv und irreflexiv ist, tritt der Fall für die Antisymmetrie (nämlich a < b und b < a) gar nicht erst auf... Außerdem sollte man asymmetrisch nicht mit antisymmetrisch definieren, da es ja eigentlich 2 verschiedene Konzepte sind... (nicht signierter Beitrag von 149.225.92.96 (Diskussion | Beiträge) 13:21, 27. Aug. 2009 (CEST))

Verschieben nach Ordnungsrelation

Da dieser Artikel nicht nur die Halbordnung beschreibt, wäre er unter dem Lemma Ordnungsrelation besser aufgehoben. Gibt es Gegenargumente? Da auch Ordnungsrelation eine längere Versionsgeschichte hat, könnte man auch eine Cut@Paste-Verschiebung machen. Meinungen? --Siehe-auch-Löscher 11:41, 21. Jul 2005 (CEST)

Meiner Meinung nach sollte Halbordnung dabei aber ein selbständiger Artikel bleiben. Z.B. ist die Unterscheidung zwischen "größte" und "maximal" nur für Halbordnungen relevant.--Gunther 12:03, 21. Jul 2005 (CEST)

Der Artikel ist überschaubar, so dass IMHO nichts ausgelagert werden muss. Insbesondere sollten Begriffe wie Totalordnung und Halbordnung in einem Absatz beschrieben werden, da beispielsweise die genannten Begriffe auch dort relevant sind, insofern dass die Totalordnung einer endlichen Menge immer ein größtes, aber keine maximalen Elemente enthält. Eine Fragmentierung führt da eher zu Redundanz und Unübersichtlichkeit. --Siehe-auch-Löscher 13:48, 21. Jul 2005 (CEST)

In einer totalgeordneten Menge sind die Begriffe "maximales Element" und "größtes" Element äquivalent. Eine endliche totalgeordnete Menge besitzt immer ein eindeutig bestimmtes maximales = größtes Element. Eine endliche teilgeordnete Menge besitzt immer maximale Elemente, aber nicht notwendigerweise ein größtes Element. (Beweise bzw. Beispiele auf Anfrage.)

Deshalb ist die Unterscheidung nur für Teilordnungen relevant.--Gunther 14:04, 21. Jul 2005 (CEST)

So rum ist es richtig, ich hatte die Definition gerade falsch gelesen, so dass maximales und größtes Element disjunkt sind. Trotzdem halte ich es für richtig die Ordnungsrelationen in einem Artikel zu bechreiben, denn genau die Unterschiede zwischen den Ordnungsrelationen sind für das Verständnis wichtig. Wer die Halbordnung verstanden hat, versteht auch gleichzeitig die Totalordnung und umgekehrt. --Siehe-auch-Löscher 14:49, 21. Jul 2005 (CEST)

Es sollte im Artikel noch herauskommen, dass Teilordnung und Totalordnung die wichtigen Begriffe sind. Wohlordnungen haben ja schon ihren eigenen Artikel, Verbände sind mehr als nur geordnete Mengen, und alles andere ist Exotik.--Gunther 14:57, 21. Jul 2005 (CEST)

Auch die Wohlordnung hätte hier noch gut Platz. Und die wichtigen Begriffe erkennt man eventuell dann an der Länge der Absätze. Aber wo Du es gerad sagst. Auch bei der Wohlordnung treten deine Begriffe wieder auf, nämlich in der Form, dass zwar ein kleinstes, aber kein größtes Element existiert. Ich werde morgen mal am Artikel weiterarbeiten. --Siehe-auch-Löscher 15:05, 21. Jul 2005 (CEST)

Ich halte nichts von Mammutartikeln, in denen man dann nach dem gewünschten Begriff suchen muss. Da Wohlordnungen Totalordnungen sind, ist die Unterscheidung kleinst/minimal wiederum irrelevant. Ich möchte auch Deiner obigen Aussage "Wer die Halbordnung verstanden hat, versteht auch gleichzeitig die Totalordnung und umgekehrt." widersprechen. Wer nur Totalordnungen kennt, hat keine Ahnung von Halbordnungen.--Gunther 15:21, 21. Jul 2005 (CEST)

Ich habe auch nichts gegen aufgeräumte Artikel, aber so wie er im Moment aussieht kann er nicht bleiben. Das Lemma heisst Halbordnung und der Artikel beginnt mit In der Mathematik sind Ordnungsrelationen .... Ich werde noch etwas abwarten und wenn die Artikel dann nicht getrennt werden, muss ich sie halt zum Oberbegriff verschieben. --Siehe-auch-Löscher 15:31, 21. Jul 2005 (CEST)

stimmt das wirklich?

"Eine (totale) Ordnung auf einer Menge liefert eine Anordnung der Elemente in einer bestimmten Reihenfolge, z. ..." ? ** Hiesigen Erachtens verlangt die totale Ordnung nur, dass zwei beliebige Elemente vergleichbar sind, das ist viel weniger; wie perlen auf einer Kette anordnen kann man sie deswegen nicht.

Das Bild ist natürlich in gewissen Punkten falsch (wie jedes Bild), alle mir bislang begegneten Perlenketten hatten beispielsweise nur endlich viele Perlen. Ich finde das Bild trotzdem praktisch.--Gunther 11:37, 25. Aug 2005 (CEST)

2. Versuch: "Reihenfolge" antwortet auf die Frage: "Wer ist der Nächste". "Totale Ordnung" auf die Frage: "Wer von euch beiden ist größer?" Ich halte das Bild für unpraktisch, weil es von einem wesentlichen Inhalt der definition ablenkt, es ist irritierend.

Das bild der Kette kann auch noch bei unendlich vielen perlen in Ornung sein, so ist ja die folge definiert.

Evtl. müsste man auch noch bei "reihenfolge" schärfer hin kucken.

Was nützt "praktisch", wenn "in gewissen Punkten falsch" ?

Vielleicht habe ich von einem Nachschlagewerke aber eine andere Vorstellung als Du.

Wenn ich bei "Reihenfolge" stattdessen frage: "Wer von Euch beiden war früher im Ziel?", dann bin ich wieder bei der Ordnung. Da "Reihenfolge" kein mathematischer Begriff ist, muss jeder seine persönliche Vorstellung von Reihenfolge mit dem mathematischen Begriff abgleichen. Solange man sich dessen bewusst ist, in welchen Punkten ein Bild falsch ist, kann es trotzdem nützlich sein. Wohl kaum jemand kann sich vierdimensionale Objekte vorstellen, aber die Vorstellung niedrigerdimensionaler Entsprechungen ist (mit der nötigen Sorgfalt) für viele Fälle ausreichend.--Gunther 12:10, 25. Aug 2005 (CEST)

"Wenn ich bei "Reihenfolge" stattdessen frage: "Wer von Euch beiden war früher im Ziel?", dann bin ich wieder bei der Ordnung. " kein Wunder, der Unterschied zeigt sich ja nicht bei endlichen Mengen.

Links auf Ordnungstopologie

Hallo,

im Artikel Ordnungstopologie habe ich topologienahe Begriffe wie diskret, dicht, ordnungsvollständig für Ordnungen eingebaut. Der Artikel bezieht sich für den Begriff "strikt totalgeordnet" via Link auf diesen Artikel hier.

1. Will jemand hier sinnvolle Links auf die genannten Begriffe einführen?
2. Würde mich jemand (zum Beispiel auf meiner Diskussionsseite warnen, wenn sich in den hier benutzten Begriffen Wesentliches ändert?

Die Begriffsverwirrung, die hier in der disku anklingt, kann ich mir (Achtung Theoriefindung!) ganz gut so erklären:

• Ordnungen tauchen fast überall in Mathe irgendwann mal auf.
• In vielen Bereichen der Mathe haben die Wortbausteine, mit denen hier operiert wird ("total", "strikt", "Halb-"...) schon einen gewissen "Beigeschmack" der eine bestimmte Bedeutung für Ordnungen nahelegt.
• Für Mathematiker, bei denen der strukturelle Aspekt deutlich vor dem begrifflichen rangiert (also Anti-Enzyklopädisten ;-)) sind Ordnungen, die sich gegenseitig natürlich bedingen („<“ und „<=“) fast wurschtegal zu bezeichnen und kaum zu unterscheiden.

Daraus folgt ein utopischer Rat: Forschen, was in den Teildisziplinen Usus ist und dann auseinanderfieseln: Im Zusammenhang mit Beweisen mit Hilfe des Auswahlaxioms (außer es handelt sich um Algebraische Zusammenhänge) bedeutet Halbordnung ... Ich überzeichne, aber, im Ernst, so geht's wohl nicht, aber ich hab mal in eine gewisse Richtung gestubst. --KleinKlio 21:10, 12. Okt. 2006 (CEST)

P.S.: Sehe gerade dass "strike Totalordnung" hier "strenge Totalordnung" heißt. Also - helft mir bei 2. oben, bitte. --KleinKlio 21:27, 12. Okt. 2006 (CEST)

!!! Anschaulichkeit?  !!!

Hi,

wäre es vielleicht möglich, einige der Begriffe mit anschaulichen Beispielen zu verdeutlichen? Die formalen Definitionen sind zwar notwendig, aber für einen Nicht-Mathematiker (z.B. mich) nicht immer hinreichend. Ist mir bei der Halbordnung aufgefallen. Hinterher war ich im Prinzip nicht schlauer als vorher. Und nachgeguckt hatte ich, um zu einem anschaulichen Verständnis zu gelangen. Es gibt bei der Halbordnung zwar das Beispiel mit der Teilmengenbeziehung. Dort wird das Beispiel aber nur formal "erläutert", womit der Sinn des Beispiels (Veranschaulichung) irgendwo ad absurdum geführt wird. Weiterhelfen würden (mir) Erklärungen mit Begriffen, die eben nicht auf die formale Definition zurückgreifen. Falls ich die Halbordnung jetzt überhaupt richtig verstanden habe (durch selbst Zusammenreimen), dann zeichnet sich eine Halbordnung dadurch aus, daß man eine Ordnungrelation nur zwischen einigen, aber eben nicht allen Elementen einer halbgeordneten Menge herstellen kann, d.h. die Ordnung zwischen einigen Elementen ist undefiniert (und zwar selbst nach Auswertung aller transitiven Beziehungen). Ist das so richtig? Ich fände ich es gut, so einen oder einen ähnlichen Satz zur Veranschaulichung der Halbordung und ggf. weiterer Begriffe mit einzubauen. Hilft Nicht-Mathematikern unendlich viel mehr weiter! Danke für die Aufmerksamkeit! --85.16.15.143 14:42, 3. Nov. 2006 (CET)

Übrigens (gerade erst gesehen), einen Begriff zu definieren, indem man auf die Definition eines davon abgeleiteten Begriffs verweist (wie bei der Definition der Ordnung hier geschehen), ist nicht sinnvoll, weil verwirrend, ggf. uneindeutig, und außerdem unnötig umständlich. Umgekehrt kann man das schon eher machen. --85.16.15.143 14:48, 3. Nov. 2006 (CET)

Induktive Ordnung

In "Mengentheoretische Topologie" definiert B.v. Querenburg den Begriff induktiv geordnet:

Eine geordnete Menge (A, ≤) heißt induktiv geordnet, wenn jede linear geordnete Teilmenge von A eine obere Schranke besitzt.

Ist das ein allgemein üblicher Begriff und sollten wir ihn ergänzen? --Drizzd 18:21, 14. Mai 2007 (CEST)

Halbordnung - Beispiel A Teilmenge B ?

Sind A und B zwei verschiedene Mengen?

Die Relation der Teilmenge sieht dann bitte wie folgt aus? Die wäe sehr hilfreich für das Verstehen der Reflexivität.

Wenn A != B: Es gibt ein b element B welches nicht in A enthalten ist (wenn A ungleich B). Definiition: "Die Reflexivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn x R x für alle Elemente x der Menge gilt " Folge: Fenn x = b ist die Teilmengenbeziehung dann nicht reflexiv! Okay, wo liegt der Fehler? --crony 15.10.2008

Zirkelschluss

Es macht wenig Sinn, im ersten Kapitel auf Quasiordnung zu verweisen, wenn dort wiederum im ersten Satz auf diesen Artikel verwiesen wird. 92.104.107.212 20:07, 20. Mär. 2009 (CET)

Menge mit einzigem minimalen Element, welches aber nicht das kleinste ist?

"Es kann sogar vorkommen, dass eine (unendliche) Menge T zwar ein einziges minimales Element hat, dieses aber nicht das kleinste Element der Menge ist."

Falls dem tatsächlich so ist, sollte dieser Fakt mit einem Beispiel belegt werden. Mir fällt nämlich keines ein und somit zweifle ich die Aussage hiermit an. (nicht signierter Beitrag von 89.246.175.45 (Diskussion | Beiträge) 18:54, 9. Feb. 2010 (CET))

Stimme zu. Intuitiv gilt ja $x<y\Rightarrow x\leq y$. Formal ist < aber noch nichtmal definiert bis zu dieser Stelle im Artikel. --Zahnradzacken 21:07, 9. Feb. 2010 (CET)

Beispiel: Gegeben sei die folgende Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen: $x\leq _{42}y:\Leftrightarrow x=y=42$

• $\leq _{42}$ ist eine Ordnungsrelation: Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität sind trivial zu zeigen.
• $\leq _{42}$ hat genau ein minimales Element, nämlich 42. Es gibt kein Element $x$ für das gilt $x\leq _{42}42$. Das folgt direkt aus der Definition.
• 42 ist aber nicht das kleinste Element, denn dann müsste z.B. gelten: $42\leq _{42}43$. Dass dies nicht der Fall ist, folgt auch direkt aus der Definition.

--Der Hâkawâti ✉ 21:51, 9. Feb. 2010 (CET)

Reflexivität ist nach meiner Auffassung nicht gegeben, denn es gilt nicht: $43\leq _{42}43$ --Zahnradzacken (01:36, 10. Feb. 2010 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Dann versuch ichs auchmal: Sei $M:=\{[0,a)|0<a<1\}\cup \{2\}$, mit $\subset$ als Relation (siehe Beispiel im Artikel). Dann ist $M<\{2\}$ falsch für alle A aus M (da keine echten Teilmengen von {2} in M sind), also {2} minimal, aber es gilt nicht $\{2\}\subset A\forall A\in M$, also {2} nicht das kleinste Element. --Fgbxl 18:52, 10. Feb. 2010 (CET)

Ok, sofern du $M:=[...]\cup \{\{2\}\}$ meinst? Könnte dann gerne in den Artikel. Würde aber vorschlagen, das Intervall geschlossen zu wählen. Ich habe zunächst gedacht, das wäre von Bedeutung und fand es in Kombination mit dem offenen Bereich für a etwas irritierend. --Zahnradzacken 20:21, 10. Feb. 2010 (CET)

Äh ja ich meinte $\{\{2\}\}$, habs jetzt mit geschlossenen Intervallen reineditiert, zwar sehr kurz, aber ich vermute solche Spezialfälle sind eh nur für wenige interessant. --Fgbxl 22:43, 10. Feb. 2010 (CET)

Habe mir erlaubt, das ganze geTeXt darzustellen, auch wenn es nur ein Einschub ist. --Zahnradzacken 23:30, 10. Feb. 2010 (CET)

Auswahlaxiom

Das Wohlordnungsprinzip ist ja sogar äquivalent zum Auswahlaxiom. Sollte man nicht klarstellen, dass beide nicht beweisbar sind, also außerhalb unseres Axiomensystems liegen (zusammen mit dem Zornschen Lemma)? --Anti-pi 11:53, 13. Mär. 2010 (CET)

Was meinst du da genau mit "unser. Axiomensystem"? Richtig ist, dass man (in den üblichen Axiomensystemen der Mengenlehre) das Auswahlaxiom nicht aus den übrigen Axiomen ableiten kann (wie P.Cohen nachwies). Die Mehrheit der heutigen Mathematiker, die sich mit der Frage beschäftigt haben, akzeptieren aber das Auswahlaxiom. Normalerweise wird kein math. Satz als Axiom bezeichnet, wenn er aus dem Rest der Grundlagen einer Theorie beweisbar ist, so dass die Bezeichnung als Axiom seine Unabhängigkeit vom Rest zumindest nahelegt. Allerdings muss man sagen, dass es über 50 Jahre dauerte, bis die Unabhängigkeit im Falle des Auswahlaxioms nachgewiesen wurde (im Falle von Euklids "Parallelenpostulat" brauchte man > 2000 Jahre dafür), es aber von Anfang an so nannte. Womit du mit deiner Forderung Recht haben könntest. Was meinen andere dazu?--UKe-CH 11:45, 15. Mär. 2010 (CET)

Ja, ich meinte schon das Axiomensystem der Mengenlehre. Die Bezeichnung "unser" rührt aber eher daher, dass ich das Auswahlaxiom immer noch etwas merkwürdig und als abseits stehend empfinde. Ist dem "normalen" Leser die Bedeutung eines Axioms im Gegensatz zu einem Theorem denn bewusst? Abgesehen davon finde ich es trotzdem wichtig zu erwähnen, dass die im Artikel formulierte Implikation eine Äquivalenz ist. --Anti-pi 14:16, 15. Mär. 2010 (CET)

Ich denke, dass die Formulierung im Text Das Wohlordnungsprinzip folgt aus dem Auswahlaxiom, ist ohne dieses aber nicht beweisbar. ausreicht. Die Äquivalenz mit dem Auswahlaxiom (auf der Basis der anderen Axiome von ZF) gehört meines Erachtens nicht hier her, sondern ist in den Artikeln "Wohlordnung" und "Wohlordnungssatz" (auf die hier verwiesen wird) gut aufgehoben. --Digamma 19:16, 7. Mai 2010 (CEST)

Ordnungsrelationen: Systematik

Ich würde es sehr befürworten, wenn einer, der ein gutes Buch hat, sich die Mühe machen würde, die Ordnungsrelationen zu systematisieren und eben auch die Begriffe wie quasi, halb, strikt, streng, schwach, total wie auch Komplement, Duplikat, lexikographische und komponentenweise Verkettung. Vielleicht auch wie sie sich unter Abbildungen und topologisch verhalten.

Spezialitäten, die bei nur einem speziellen Typ interessant sind oder vorkommen, sollten wohl in einen Spezialartikel ausgelagert werden. -- Nomen4Omen 09:34, 23. Sep. 2010 (CEST)

Ich habe dazu ein gutes Buch geschrieben. :-) Ich habe mir die Mühe gemacht, hier einen sehr offenkundigen Fehler zu beheben und, weil das, was hier stand, ganz offensichtlicher Quatsch war, es auch gewagt, das als Quatsch zu bezeichnen. Der Effekt war, daß ein Sichter wenige Minuten später die Änderung zurückgesetzt hat und Diskussion gefordert hat. Diskussion über etablierte Definitionen? Für solche Spielereien habe ich keine Zeit! Viel Spaß noch hier - und Tschüß.

Signatur-Nachtrag: -- Spezial:Beiträge/93.207.219.202 18:41, 20. Okt. 2010‎ (CEST)

Du hast ein Buch geschrieben in dem das steht? ISBN? --P.C. ✉ 19:53, 20. Okt. 2010 (CEST)

Hallo Ihr und insbesondere 93.207.219.202,

also ich finde den Artikel über die Ordnungsrelationen wirklich nicht toll und wäre außerordentlich an einer systematischen Überarbeitung interessiert. Wenn man nämlich eine Fragestellung in der Praxis hat, ist es so richtig mühselig, die anerkannte Einordnung und Begrifflichkeit zu finden. Ohne Zuhilfenahme der Engländer kann man sich praktisch keine Klarheit verschaffen.

Andererseits hat so eine Gruppe, in die man neu reinkommt natürlich auch so ihre Spielchenregeln, auf die man aber nicht so empfindlich reagieren darf. Meine ich jedenfalls. -- Nomen4Omen 10:48, 21. Okt. 2010 (CEST)

Warnung: Ganz grober Fehler: asymmetrisch / antisymmetrisch

Achtung: In der aktuell gesichteten Version ist ein ganz grober Fehler bei der Definition der strikten Ordnung. In der englischen Wikipedia stimmt es übrigens. Ich habe das hier mal behoben, weiß aber nicht, ob meine Bearbeitung gesichtet wird oder von irgendeinem Löschfanatiker rückgängig gemacht wird. Daher hier nochmals als Spoiler: Eine Relation kann typischerweise nicht irrefexiv und antisymmetrisch sein, die Definition der strikten Ordnung lautet richtig: Irreflexiv, asymmetrisch und transitiv. Antisymmetrisch hat in der strikten Ordnung nichts zu suchen! Irreflexiv kann man, wenn man möchte, fallen lassen, denn das folgt aus der Asymmetrie.

Nachtrag: Wir haben hier leider wieder das in der deutschen Wikipedia mittlerweile recht übliche Amoklaufen der BesserSichter(TM) und die Änderung wurde nicht gesichtet. Der Fehler ist ungefähr auf derselben fahrlässigen Preisklasse wie 2 + 2 = 7, daher trage ich das hier in die Diskussionsseite einfach nochmals als besondere Warnung ein mit dem Hinweis "grober Fehler", damit niemand auf die falsche Fährte gelockt wird (in der Hoffnung, daß zumindest dieses Kommentar stehen bleibt). Für ein Hick Hack mit BesserSichtern habe ich keine Zeit. Signatur-Nachtrag: -- Spezial:Beiträge/93.207.219.202 19:40, 20. Okt. 2010‎ (CEST)

Du schreibst "Eine Relation kann nicht irreflexiv und antisymetisch sein". Antisymetrisch heist es gilt nicht gleichzeitig $xRy$ und $yRx$ .. das ist für die Relation ">" erfüllt. Irreflexiv bedeutet, es gibt nie $xRx$ ... Das ist für die Relation ">" erfüllt... Also ist deine Aussage falsch. Abgesehen davon ist das, was Du am Artikel geändert hast keine sinnvolle Änderung, da der Abschnitt dann gleichzeitig zwei verschiedene Dinge behauptet hat. Die Wikipedia ist kein Forum, wo man beliebig reinschreibt, was einem gefällt, sondern eine Enzyklopädie, bei der gewisse Regeln gelten. --P.C. ✉ 19:51, 20. Okt. 2010 (CEST)

Irreflexivität folgt tatsächlich aus der Asymmetrie und zwar, weil (so sagt es die hochgepriesene englische Wikipedia) Asymmetrie genau dann vorliegt, wenn Antisymmetrie und Irreflexivität vorliegen. Tja.. haben am Ende (fast) alle Recht? @P.C.: Wieso war der Abschnitt durch die Änderung widersprüchlich geworden? --Zahnradzacken 20:51, 20. Okt. 2010 (CEST)

Gute Frage... Was habe ich da nur gesehen? --P.C. ✉ 09:37, 22. Okt. 2010 (CEST)

Hier mal ein Kurzbeweis für die Äquivalenzen der Definitionen, um künftige "Korrekturen" einzudämmen:

Zur Vorbereitung, mengenmäßige Kurzschreibungen von Relationseigenschaften:

• $R$ ist irreflexiv, wenn $R\cap R^{0}=\emptyset$,
• $R$ ist asymmetrisch, wenn $R\cap R^{-1}=\emptyset$,
• $R$ ist antisymmetrisch, wenn $R\cap R^{-1}\subseteq R^{0}$.

Da aus irreflexiv und antisymmetrisch asymmetrisch folgt (was im folgenden gezeigt wird), und umgekehrt, sind beide Definitionen äquivalent. Man mag sich darüber streiten, welche "intuitiver" o.ä. ist, aber falsch ist die im Artikel nicht. Wie dem auch sei, hier das zu zeigende (aus Faulheit: ohne die Schritte besonders kenntlich zu machen):

• Aus Irreflexivität und Antisymmetrie folgt Asymmetrie: $R\cap R^{-1}\subseteq R^{0}\Longrightarrow R\cap R\cap R^{-1}\subseteq R\cap R^{0}\Longrightarrow R\cap R^{-1}\subseteq \emptyset$.
• Aus Asymmetrie folgt Antisymmetrie: Simpel: $R\cap R^{-1}=\emptyset \subseteq R^{0}$.
• Aus Asymmetrie folgt Irreflexivität: Allgemein gilt: Wenn $(a,b)\in R\cap R^{0}$, dann ist $aRb$ und $a=b$, also (haha!) $aRa$ und $aRa$ (mit vertauschten as :) ). Dieses $(a,b)$ ist dann natürlich auch in $R\cap R^{-1}$. Also: $R\cap R^{0}\subseteq R\cap R^{-1}$. Bei Asymmetrie von R haben wir $R\cap R^{-1}=\emptyset$, und damit $R\cap R^{0}=\emptyset$, also Irreflexivität von R.

Noch Fragen, Hauser? --Daniel5Ko 00:05, 23. Okt. 2010 (CEST)

'Teilordnung' vs. 'teilweise Ordnung'

In meiner Korrektur von 2012-09-08

('Teilweise Ordnung' existiert ebensowenig wie die 'ersatzweise Lieferung'; schlechtes — wenngleich womöglich übliches — Deutsch wenigstens gekennzeichnet)"

hatte ich

"Eine Halbordnung – auch Partialordnung, teilweise Ordnung, Teilordnung oder partielle Ordnung genannt"

zu

"Eine Halbordnung – auch Partialordnung, Teilordnung (schlecht: teilweise Ordnung) oder partielle Ordnung genannt

gemacht, weil Adverbien auf ..weise nun mal nicht adjektivisch benutzt werden können (auch wenn es bei substantivierten Verben vielleicht nicht logisch erscheint - Sprache ist aber nicht nur logisch). Das wurde leider prompt revertiert von χario

"(isn mathem. begriff!?! Die letzte Textänderung von 77.186.114.227 wurde verworfen und die Version 107614964 von Chricho wiederhergestellt)".

Das Argument ist schwach. Auch Wissenschaftler haben zuweilen keine glückliche Hand bei der Terminus-Findung. In wissenschaftlichen Texten finden sich nicht selten die sprachlich entsetzlichsten oder auch nur unglückliche Definitionen und Ausdrucksweisen (nur ein paar reale Beispiele: "ordenbare" Mengen, "zuordenbare" Eigenschaften, "komponentenweise Verkettung", "Ketten"reaktion statt Lawinenreaktion, Atomgewicht ..). Wenn es – wie hier – sogar mehrere alternative Termini gibt, sollte man doch die offenkundig entgleisten nicht wertungsfrei neben den besseren aufführen. Und sogar ohne angegebene Alternative würde eine sprachkritische Anmerkung kein Tabu verletzen (und wäre keine Theoriefindung). Übrigens – ich hätte statt "schlecht" auch "fragwürdig" oder "etwas unglücklich" oder "weniger glücklich" benutzen können – wäre vielleicht akzeptabler. Ich habe aber keine Zeit für rechthaberische Gegen-Edits (schon gar nicht beim fleißigen χario) und belasse es bei diesem Kommentar.--77.186.55.46 04:58, 23. Sep. 2012 (CEST)

Hi, danke für deinen Edit und diese Erklärung. Ich hatte nur revertiert, weil die von dir eingefügte Bewertung im Text ("schlecht") für mich kein enzyklop. Stilmittel darstellt. Warum ist es schlecht? Wer sagt das? uswusw. Das sich das "nur" auf die sprachliche Ebene bezog, war nicht direkt erkennbar und macht auch nicht wirklich nen Unterschied. Meiner Ansicht nach steht es uns hier nicht zu, Fachbegriffe zu beurteilen, egal auf welcher Ebene. --χario 15:13, 25. Sep. 2012 (CEST)

Danke für Deine Antwort. Ich verstehe Dich ja. Es ist irgendwie ein Grenzfall: Die Elemente einer Teilordnung sind ja wirklich teilweise geordnet .. aber man ist beim Lesen doch unangenehm berührt (tja, oder auch nicht).

Analogie: Beim wörtlichen Zitieren sprachlich verunglückter Texte ist es ja sinnvoll und üblich, ein freches/absicherndes "(sic!)" nachzustellen:

.. finden wir sogar beim sprachmächtigen Lessing: "Gott! Gott! wenn dein Vater das wüßte! – Wie wild er schon war, als er nur hörte, daß der Prinz dich jüngst nicht ohne Mißfallen (sic!) gesehen!" (Emilia Galotti).

Wie wäre es also mit

"Eine Halbordnung – auch Partialordnung, Teilordnung, partielle oder teilweise (sic!) Ordnung genannt"

Übrigens vermute ich, dies ist die tausendste Diskussion zum Thema - wahrscheinlich ist das alles längst in irgendwelchen WP-Regeln festgelegt; bin einfach zu faul zum Suchen.

Spätestens bei irreführenden/ideologisch belasteten/historisch gewachsenen/veralteten/.. Fachbegriffen ist aber ein hinweisender/warnender/kritischer/.. Kommentar für das Verständnis hilfreich und oft gar nicht zu umgehen. Oder etwa die beiläufige "Bewertung", dass ein Begriff im Englischen anschaulicher ausfällt usw. usw.--77.186.8.208 06:10, 26. Sep. 2012 (CEST)

Vollständige Halbordnung immer mit Minimum?

Im Artikel steht, dass eine vollständige Halbordnung immer ein Minimum besitzt. Aber was ist denn mit (0,1] ausgestattet mit der normalen Ordnung aus R? Das ist doch eine vollständige Halbordnung, jedoch besitzt die Menge kein Minimum. --Jobu0101 (Diskussion) 23:04, 1. Feb. 2013 (CET)

Hallo Jobu! Dabei soll es sich offenbar nicht um einen mathematischen Satz, sondern um eine axiomatische Forderung (also um einen Teil der Definition) handeln. Ich habe es soeben umseitig klarer formuliert. Liebe Grüße, Franz (Diskussion) 23:45, 1. Feb. 2013 (CET)

Strenge Totalordnung

@Joachim Mohr: Das Beispiel Tonraum ist möglicherweise formal korrekt, aber als Veranschaulichung nicht besonders geeignet, denn

1. es gibt viele Leute, die bei Tonhöhen sehr unsicher sind.
2. es ist recht viel Abstraktion erforderlich, weil Töne nur selten ganz rein vorliegen, sondern meist nur als Krach oder mit vielen Ober- und Untertönen.

Was übrig bleibt, ist die Analogie zu Zahlen. Aber deren Totalordnung hatten wir ja schon. Nfu --Nomen4Omen (Diskussion) 20:16, 23. Nov. 2013 (CET)

Aufzählen der reellen Zahlen

Im Text heißt es: Der Begriff linear orientiert sich an der Vorstellung, die ganze Menge in einer Sequenz ähnlich der reellen Zahlen aufzählen zu können. Andererseits weiß man aber, dass sie nicht abzählbar sind. Geht aufzählen leichter als abzählen? Vllt sollte man sich eine andere Formulierung überlegen. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:57, 16. Apr. 2014 (CEST)

Ne, aufzählen ist noch schwieriger als abzählen :-). Wie wäre es mit: "..., die ganze Menge entlang einer Geraden ähnlich der Zahlengeraden aufzureihen"? --Digamma (Diskussion) 18:11, 16. Apr. 2014 (CEST)

Hallo! Der verbale Teil dieses Abschnittes wird wohl am besten ganz neu konzipiert werden. Denn auch der Hinweis auf eine bestimmte Reihenfolge ist falsch (oder zumindest die ganze Sache unnötig komplizierend), sodaß auch er entfernt werden muß. Darüber hinaus sollten wir vielleicht besser einfach nur die ganzen oder gar die natürlichen statt der reellen Zahlen als Beispiel wählen, dann könnte man evtl. auch die von Digamma vorgeschlagene Beschreibung „aufreihen“ verwenden. Für Totalordnungen auf überabzählbaren Mengen ist aber auch das eher unpassend. Im Sinne einer möglichst allgemeinen Gültigkeit ist es daher wahrscheinlich besser, auf eine solche Veranschaulichung durch das Wecken einer Vorstellung von realen (und daher ihrem Wesen nach abzählbaren, ja sogar endlichen) Ketten ganz zu verzichten und sich stattdessen auf eine geeignete Verbalisierung der charakterisierenden Eigenschaft der allgemeinen Vergleichbarkeit zu beschränken. Liebe Grüße, Franz 20:38, 16. Apr. 2014 (CEST)

@Nomen4Omen: "Kette" ist meines Wissens einfach synonym zu Totalordnung. Der Begriff setzt nicht voraus, dass die Ordnung diskret ist. Gebraucht wird er oft für eine totalgeordnete Teilmenge einer ansonsten nur partiell geordneten Menge, z.B. bei der Formulierung des Lemmas von Zorn. --Digamma (Diskussion) 13:55, 18. Apr. 2014 (CEST)

{Einschub nach BK]: Ja, das sehe ich auch so. Außerdem gibt es meines Wissens nach den Begriff „die [zu einer gegebenen Ordnung] gespiegelte Ordnung“ gar nicht. Wahrscheinlich meinst Du stattdessen „inverse Ordnung“ (also die Umkehrrelation). Dann wäre aber Deine Definition $y\geq x:\Longleftrightarrow x\leq y$ falsch (und andernfalls bliebe sie zumindest unverständlich), weil dadurch nur eine andere Schreibweise für die gegebene Relation (aber keine andere Relation) erklärt wird, wenn man die übliche Bedeutung der mathematischen Relationszeichen zugrundelegt. Liebe Grüße, Franz 14:44, 18. Apr. 2014 (CEST)

@Franz: Man kennt die Relation zwar schon, und sie wird bei den reellen Zahlen „größergleich“ genannt, aber sie ist eine andere Relation. (Man könnte sie auch mit $y\lesssim x:\Longleftrightarrow x\leq y$ definieren, was dann ein bisschen im Auge weh täte.) Weil man sie kennt, wird sie als nur andere Schreibweise gesehen.

Sie wird in Umkehrrelation als Beispiel 2 erwähnt. Auch die Definition stimmt mit der dortigen überein. Allerdings wird sie dort nicht „gespiegelt“, sondern „konvers“ oder „invers“ genannt. Die Spiegelbarkeit hat mit der Totalität der Ordnungsrelation zu tun (gilt also auch für die totale Quasiordnung). Sie drängt sich bei der Zahlengeraden geradezu auf. Man kann, wenn's sein muss, invers dazunehmen und gespiegelt in Anführungszeichen setzen. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:41, 18. Apr. 2014 (CEST)

@Digamma:Stimmt – so wird's dort verwendet. Man darf sich von der Optik nicht verleiten lassen. Also muss das diskret raus. --Nomen4Omen (Diskussion) 14:35, 18. Apr. 2014 (CEST)

Ketten

Im Abschnit über Totalordnungen stand: Ferner gibt es für totalgeordnete Untermengen von partiell geordneten Mengen die Bezeichnung Kette. Ich kenne aber Kette nur als Bezeichnung für wohlgeordnete solche Untermengen, also solche, bei der jede Teilmenge ein kleinstes Element hat. Ich habe den Satz entfernt. --Joachim Pense (d) 10:17, 10. Sep. 2014 (CEST)

@JPense: Hallo, hast du dafür eine Quelle? Ich kenne Kette eigentlich nur als Bezeichnung für eine totalgeordnete Teilmenge, z. B. hier oder hier. -- HilberTraum

⟨d, m⟩ 10:51, 10. Sep. 2014 (CEST)

Anscheinend habe ich da was verwechselt. Sorry. --Joachim Pense (d) 21:24, 10. Sep. 2014 (CEST)

Strenge Halbordnung und Striktordnung

Eine strenge Halbordnung wird lt. Text durch Irreflexivität und Transitivität definiert, während eine Striktordnung zusätzlich noch antisymmetrisch ist. Hmmm ...

Irreflexivität heißt, dass es keine Paare (a,a) gibt. Antisymmetrie heißt, dass aus aRb und bRa automatisch a = b folgt, also wäre aRb = aRa. Aber ist dies durch die Irreflexivität nicht ohnehin schon ausgeschlossen? Läuft die Forderung nach Antisymmetrie daher hier nicht ins Leere?

Vielleicht übersehe ich hier irgendetwas. Da ich aber mathematisch hoffentlich nicht völlig unbegabt bin, denke ich, dass auch andere Leser, die den Unterschied zwischen strenger Halbordnung und Striktordnung (sofern es ihn wirklich gibt) verstehen wollen, ins Grübeln geraten. Wenn jemand einen Vorschlag für ein "Minimalpaar" hat, zwei ähnliche Relationen, von denen die eine eine strenge Halbordnung, die andere aber eine Striktordnung ist, fände ich das sehr hilfreich!

Übrigens steht auf der Wikiseite "Relationen" unten im Abschnitt "Klassen von Relationen" der Text "Striktordnung oder strenge Halbordnung/Teilordnung: transitiv, irreflexiv und antisymmetrisch (d.h. asymmetrisch)". Hier wird also gar nicht differenziert!

MfG

p.s.: Dies ist mein erster Kommentar in der Wiki. Falls ich hier stilistisch, formal oder inhaltlich irgendwo ins Klo gegriffen haben sollte, teilt es mir bitte mit und übt Nachsicht! (nicht signierter Beitrag von 154.160.3.119 (Diskussion) 23:35, 22. Dez. 2017 (CET))

Du hast fast alles richtig gemacht, nur das Signieren (Unterschreiben) hast du vergessen. Das macht man, indem man --~~~~ eintippt oder über dem Editierfeld auf den Button mit dem Bleistift (dritter von links) klickt. --Digamma (Diskussion) 23:57, 22. Dez. 2017 (CET)

p.p.s.: Danke, Digamma! Dann will ich das mal nachholen, zumal ich jetzt ein Benutzerkonto habe - --Grünes Ekel (Diskussion) 09:51, 23. Dez. 2017 (CET)

Trichotomie

@Ernsts: hat am 21. April 2018, 09:12 Uhr eingebracht:

Die Trichotomie ist dabei äquivalent zu einer gleichzeitigen Irreflexivität (es gibt kein $x\in M$ mit $x<x$) und Asymmetrie (es gibt keine $x,y\in M$ mit $x<y\land y<x$). (Sagt er das wirklich so ?)

Erstens kollidiert das etwas mit Asymmetrische Relation#Nicht symmetrische Relation, wo Asymmetrie die Irreflexivität impliziert. Letzteres kann ich verstehen, weil:

$R{\text{ ist asymmetrisch}}\implies [\forall x\in M:xRx\Rightarrow \neg (xRx)]\implies \forall x\in M:\neg (xRx)\implies R{\text{ ist irreflexiv}}$

Zweitens ist tatsächlich $\forall x,y\in M:\neg (x<y\land y<x)$ eine Folge von [entweder $x<y$ oder $x=y$ oder $y<x$]. Aber wie daraus und der Irreflexivität z.B. die Vergleichbarkeit von $x$ und $y$ folgen soll, kann ich nicht erkennen. Die ist aber eine Folge der Trichotomie!

--Nomen4Omen (Diskussion) 11:14, 21. Okt. 2018 (CEST)

Danke für Deinen Tipp! Wenn die behauptete Äquivalenz nicht stimmt, könntest Du bitte das entsprechend abändern? (Bin leider momentan nicht im Thema und mir fehlt die Zeit) Bitte beachte, dass eine Änderung ggf. im Einklang mit anderen Artikeln, die das Thema berühren ist (ggf. dort auch ändern). Sollte der Sachverhalt in der englischen WP anders dargestellt werden (manchmal werden dieselben Begriffe etwas anders definiert/verwendet, z. B. Urelement), dann ggf. darauf hinweisen. Vielen Dank im Voraus! --Ernsts (Diskussion) 12:56, 21. Okt. 2018 (CEST)

Kann ich schon machen. Ich hätte aber gerne, wenn es geht, das wörtliche Zitat von Herrn Petersen. -Nomen4Omen (Diskussion) 14:00, 21. Okt. 2018 (CEST)

Der Satz wurde entfernt, da das Zitat von Herrn Petersen nicht geliefert wurde. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:30, 24. Okt. 2018 (CEST)

Lokal endliche Halbordnung

Hat es einen besonderen Grund, warum im ganzen Artikel bis auf den erwähnten Abschnitt ≤ verwendet wird und hier plötzlich ein ⩽ auftaucht? 1234qwer1234qwer4 (Diskussion☞·········🚪) 22:19, 18. Okt. 2019 (CEST)

Ich denke, da hat nur jemand seine persönliche Vorliebe ausgelebt. Ich habe es geändert. --Digamma (Diskussion) 22:23, 18. Okt. 2019 (CEST)

Konstruktion neuer Ordnungen

Es fehlt da noch ein natürlicher vierter im Bunde. Nämlich die Relation, die hier Thema ist. Die ist zwar nicht total, aber genau die richtige, um Koprodukte von Posets zu haben (wie analog die Produktordnung für Produkte). --Daniel5Ko (Diskussion) 21:28, 22. Aug. 2022 (CEST)

gelöschter Text

 Wird die Mengenbeziehung verallgemeinert durch ein teilweise Ordnung P ersetzt, so kann nach der Eilenberg-Steenrod Axiomatik und Kalmbach die topologische simpliziale Homologiethorie auf P zur Klassifikation verwendet werden.

Ich habe diesen Abschnitt erstmal herausgenommen. Bitte genauer erläutern: was soll dort klassifiziert werden?—Ilse Ongkim (Diskussion) 20:37, 20. Feb. 2023 (CET)

Intervalle und Intervallordnungen

Nach den jüngsten Änderungen scheint mir der Abschnitt über Intervalle weiterer Klarstellungen zu bedürfen.

In

$(-\infty ,b]\equiv {]{-\infty ,b}]}:=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq b\}$

gilt offenbar $b\in \mathbb {R}$. Dies steht im Widerspruch zu

$b:=\left(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\right)$.

Hilfreich wäre zur Verdeutlichung des Zusammenhangs zwischen Intervallen und Halbordnungen die Einführung der Begriffe Semiordnung (s. https://en.wikipedia.org/wiki/Semiorder) und Intervallordnung (s. https://en.wikipedia.org/wiki/Interval_order). --DrJoSch (Diskussion) 08:32, 14. Mär. 2023 (CET)

Rangigkeit der Begriffe, z.B. schwach vs. streng (und strikt??)

Wie im Artikel im Abschnitt Ordnungsrelation#Strenge Totalordnung schon richtig steht, kann man: aus jeder "strengen" Ordnung durch Zulassen des Gleichheitszeichens

$x\leq y\;\;:\Leftrightarrow \;\;x<y\lor x=y$

immer eine "schwache" machen und umgekehrt aus jeder schwachen durch Wegnahme der Gleichheit

$x<y\;\;:\Leftrightarrow \;\;x\leq y\land x\neq y$

immer eine strenge. Insofern charakterisiert die Polarität streng/schwach die hinter den Ordnungsrelationen steckenden oder fehlenden Sachverhalte nicht besonders. Von solchen sekundären Merkmalen sollte man so wichtige Attribute wie bspw. die Totalität NICHT abhängig machen. (Insofern gefällt mir die von Benutzer:V4len am 20. Februar 2014 um 10:49 Uhr formulierte Verweigerung der Totalordnung nicht.)

Des Weiteren sollte vllt geklärt werden, ob die umgangssprachlich einander so nahe stehenden Adjektive streng und strikt bei den Ordnungsrelationen nicht quasi synonym behandelt werden sollten. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:05, 18. Mär. 2023 (CET)