Diskussion:Pascalsches Dreieck

Geschichtliches

Zhu Shijie gilt zwar als der bedeutendste chinesische Mathematiker der vormodernen Zeit,aber es ist nicht der erste der das Pascal-dreieck beschrieben hat, unter anderem hat das Yang Hui vor ihm getan, nachdem in China auch das Dreieck benannt ist.--Kmhkmh 17:56, 2. Mai 2008 (CEST)

Allgemeines

Das Pascalsche Dreieck beinhaltet nicht nur die Potenzen der 2, sondern auch die der 11. Man braucht die Zahlen nur genau so zu lesen, wie sie da stehen.

1. Zeile: 11 hoch 0 = 1
2. Zeile: 11 hoch 1 = 11
3. Zeile: 11 hoch 2 = 121
4. Zeile: 11 hoch 3 = 1331
5. Zeile: 11 hoch 4 = 14641

Ab der 6. Zeile scheint es nicht mehr zu stimmen, tut es aber doch. Man muß nur die dezimalen Überschläge berücksichtigen: 10 Einser sind ein Zehner, 10 Zehner sind ein Hunderter, 10 Hunderter sind ein Tausender, usw.

6. Zeile: 1 5 10 10 5 1    

Das heißt, man hat 1 Hunderttausender, 5 Zehntausender, 10 Tausender, 10 Hunderter, 5 Zehner und 1 Einer. Aus 10 Hundertern kann man natürlich einen Tausender machen, und aus 10 Tausendern einen Zehntausender. Also haben wir nun 1 Hunderttausender, 6 Zehntausender, 1 Tausender, 0 Hunderter, 5 Zehner und 1 Einser: 1 6 1 0 5 1. Und das ist gleich 11 hoch 5.

                          1       Hunderttausender
                           5      Zehntausender
                           10     Tausender (= 1 Zehntausender + 0 Tausender)
                            10    Hunderter (= 1 Tausender + 0 Hunderter)
                              5   Zehner
                               1  Einer
                          ------
                          161051

6. Zeile: 11 hoch 5 = 161051

Das klappt auch mit allen weiteren Zeilen des Pascalschen Dreiecks.

7. Zeile: 1 6 15 20 15 6 1

                         1       Million
                          6      Hunderttausender
                          15     Zehntausender (= 1 Hunderttausender + 5 Zehntausender)
                           20    Tausender (= 2 Zehntausender)
                            15   Hunderter (= 1 Tausender + 5 Hunderter)
                              6
                               1
                         -------
                         1771561

7. Zeile: 11 hoch 6 = 1771561

8. Zeile: 1 7 21 35 35 21 7 1

                         1
                          7
                          21
                           35
                            35
                             21
                               7
                                1
                         --------
                         19487171

8.Zeile: 11 hoch 7 = 19487171

9.Zeile: 1 8 28 56 70 56 28 8 1

                         1
                          8
                          28
                           56
                            70
                             56
                              28
                                8
                                 1
                         ---------
                         214358881

9.Zeile: 11 hoch 8 = 214358881

usw., usw....

Quelle ? Peter Plichtas Primzahlkreuz. Und nicht das einzige aus seinen Büchern, das stimmt...

Danke, 217.86.163.198, für die Formatierung der Tabelle in "Potenzen mit beliebiger Basis". 80.120.159.102

Och mach ich doch gerne ;-). Zwei andere Punkte würde ich aber gerne noch einbringen, bin mir aber nicht sicher ob und wie. Zum einen Benutzer:KS/Test und zum anderen etwas über die Strukturverbindung zum Sierpinski-Dreieck (Gerade / ungerade Binominalkoeffizienten). --?B?K^S¿D¿ 10:36, 3. Mär 2005 (CET)

Weitere Eigenschaften

• jede Zeile ist eine Potenz von 11

nein, nur die Zeilen 0 bis 4 (zumindest im Dezimalsystem).--MKI 15:03, 23. Okt 2005 (CEST)

Oh, sorry. Witziger Weise passt es aber trotzdem wenn man addiert.

161051 1 5 10 10 5 1

1771561 1 6 15 20 15 6 1

Ok, da wirds schwierig :)

Diese "Witzige Weise" ist der binomische Satz für $(10+1)^{n}$.--Gunther 10:01, 25. Okt 2005 (CEST)

• ersetzt man jede gerade Zahl durch einen weissen Punkt und jede ungerade Zahl durch einen schwarzen Punkt, so erhält man ein Fraktal

Das kann doch nicht richtig sein!?

während der Exponent von a in jeder Formel stets um 1 abnimmt, der Exponent von b um 1 zunimmt. --Gardengrove 14:38, 29. Aug 2006 (CEST) Oder?

Gemeint ist wohl dass zB bei (a+b)^5 = a^5 + ..a^4..b^1 + ..a^3..b^2 + ..a^2..b^3 + ..a^1..b^4 + b^5 die Exponenten von a nacheinander 5, 4, 3, 2, 1 sind, also immer um 1 abnimmt. (die ".." in der Formel sind die Koeffitienten def.gemäß in Zeile 5 des PaDr. zu finden)

+-

Woran erkennt man, ob das Vorzeichen negativ bzw. positv? --Pascal 15:21, 10. Mär. 2007 (CET)

Eigentlich müssten alle Zahlen positiv sein. seb 19:22, 16. Mai 2007 (CEST)

Bild durch Tabelle ersetzen?

							$1$
						$1$		$1$
					$1$		$2$		$1$
				$1$		$3$		$3$		$1$
			$1$		$4$		$6$		$4$		$1$
		$1$		$5$		$10$		$10$		$5$		$1$
	$1$		$6$		$15$		$20$		$15$		$6$		$1$
$1$		$7$		$21$		$35$		$35$		$21$		$7$		$1$

Was haltet ihr davon? Nachteil wäre eben, daß der Quelltext nicht gerade klein ist. –SPS ♪♫♪ eure Meinung 23:22, 19. Apr. 2007 (CEST)

Erledingt :-) — MovGP0 15:38, 15. Okt. 2007 (CEST)

Es fehlt mir übrigens noch eine Übersicht wie das Pascalsche Dreieck mit Hilfe der Binominalkoeffizienten aufgebaut wird; also etwas der Art

				${\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
			${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$		${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$
		${\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$		${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$		${\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}$		${\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$		${\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$		${\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}$		${\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}$		${\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$		${\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$		${\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}}$

— MovGP0 15:43, 15. Okt. 2007 (CEST)

Implementierung

Ich bin für eine Wiederaufnahme des Programmcodes der einzelnen Programmiersprachen da ich den Grund der Löschung nicht nachvollziehen kann ! Jegliche relevante Zusatzinformation zu einem Thema sollte Platz in einem Artikel finden ! -Peter Schmidl (Leon22) 11:33, 9. Nov. 2007 (CET)

Worin besteht denn da die relevante Zusatzinformation? Das hier ist kein Programmierkurs, für das Verständnis eines pascalschen Dreiecks sind die Implementierungen völlig unerheblich. Was man ja auch daran sieht, dass die Code-Schnipsel sich vor allem damit beschäftigen, wie man die Ausgabe macht und nicht, wie man das Dreieck berechnet: Das ist nämlich völlig banal. --P. Birken 18:44, 9. Nov. 2007 (CET)

Graue und weiße Diagonalen

Vielleicht bin ich auch leicht farbenblind, aber ich werde aus dem Absatz

Die Summen der hier grau bzw. weiß markierten flachen „Diagonalen“ ergeben jeweils eine Fibonacci-Zahl (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...). In diesem Beispiel ist die Summe der grünen Diagonale gleich 13, die Summe der roten Diagonale gleich 21, sowie die Summe der blauen Diagonale gleich 34. Dass sich die „Diagonale“ manchmal nicht von einem zum anderen Ende „durchziehen“ lässt, wie im Fall der weißen Diagonale, ist unerheblich.

nicht so recht schlau, in Kombination mit dem Bild darüber. Ja, die blaue und die grüne Diagonale sehe ich und die ergeben auch die richtige Fibonacci-Zahl als Summe, aber welche Graue Diagonale ist gemeint, welche weiße ist gemeint? (sind damit weiße Zahlen auf weißen Grund gemeint? Die sieht man dann ja gar nicht...) und wieso lassen sich Diagonalen manchmal nicht durchziehen?

Bitte um Erklärung. --131.234.106.197 13:30, 22. Jan. 2008 (CET)

Gaußsche Glockenkurve

Ist das Korrekt: [1]? Mit Sigma ist wohl der vorfaktor bei der Kurve gemeint. --P. Birken 19:43, 26. Jan. 2008 (CET)

Ich nehme das mal raus. --P. Birken 08:45, 18. Feb. 2008 (CET)

Binomialverteilung#Übergang zur Normalverteilung --80.136.130.72 10:00, 18. Feb. 2008 (CET)

Mh, so aus dem Stand sehe ich nicht, wieso das dieselbe Aussage ist. --P. Birken 08:16, 19. Feb. 2008 (CET)

Es fehlt der Bezug zum Galtonbrett, der ja das Pascalsche Dreieck referenziert und den Hinweis zur Normalverteilung hat. Es sollte so sein, dass der Leser auf alle diese Zusammenhänge aufmerksam wird, ganz gleich, wo er startet.

n-über-k direkt berechen

Warum schreibt niemand, dass sich die k-te Zahl n-te Reihe, nämlich n-über-k, direkt berechnen lässt?? n-über-k = [n!]/[k!(n-k)!].

Steht doch in Binomialkoeffizient, wos auch hingehört. --P. Birken 18:56, 19. Apr. 2008 (CEST)

Ich möchte keinem promovierten Mathematiker widersprechen, aber ich halte das für eine wesentliche Eigenschaft des Dreiecks.

Es ist keine Eigenschaft des Dreiecks, sondern eine der Binomialkoeffizienten. Der Zusammenhang zwischen n über k und Zeilen und Spalten im Dreieck steht ja jetzt im Artikel, aber wie ich einen Binomialkoeffizienten noch ausrechnen kann, hat mit dem Dreieck ja nichts zu tun. --P. Birken 19:21, 30. Apr. 2008 (CEST)

Bild

Nochmal konkreter warum ich dieses Bild für untauglich halte: i) Die Farben sind grauenhaft, ii) Ein bewegtes Bild ist zur Erklärung des pascalschen Dreiecks überhaupt nicht notwendig und deswegen in meinen Augen abzulehnen: alles was es tut ist den Leser abzulenken. iii) Dass der Artikel nicht besonders verständlich ist für das Thema sehe ich auch so, aber das kann man auch anders lösen als durch dieses Bild. Viele Grüße --P. Birken 22:22, 21. Apr. 2008 (CEST)

Andere Eigenschaft

Ich habe eine hier nicht erwähnte Eigenschaft gelesen, nur kenne ich keine taugliche Formulierung:

                   1                     
                 1   1                   
               1   2   1                 
             1   3   3   1               
           1   4   6   4   1             
         1   5   10   10   5   1           

Addiert man die ersten Zahlen einer Schrägreihe, hier etwa 1+3+6 (fett) erhält man die Zahl, die schräg under dem größten Summanden steht hier 10.

Diese Eigenschaft ergibt sich unmittelbar aus der Konstruktionsvorschrift und ist keine „andere“ oder „neue“ Eigenschaft. – Wladyslaw [Disk.] 14:01, 22. Apr. 2008 (CEST)

Toller Artikel

Ich hab das Thema heute im Unterricht überhaupt nicht verstanden,aber hier ist der Artikel so verständlich geschrieben ,dass ich keinerlei Probleme mehr damit haben werde.War eben eine Sache von knapp 5 Min.Dabei bin ich gar keine helle Leuchte in Mathematik...Ein großes Lob an den Verfasser!!!!!!(Müsste vielleicht trozdem noch besser erläutert werden,damit man nicht erst über das "Abnehmen von a um 1" und das "Zunehmen von b um 1" nachgrübeln muss...;) Danke!--91.3.81.253 16:54, 25. Aug. 2008 (CEST)

Korrekter Artikel

Er ist wirklich korrekt,da steht nichts falsches.--91.3.81.253 16:57, 25. Aug. 2008 (CEST)

Berechnung x-beliebiger Zeilen

Tut mir leid wenn ich es bei all den hoch komplizierten Formeln übersehen habe, aber ich denke es wäre hilfreich die Methode zum errechnen einer x-beliebigen Zeile einzufügen. Damit meine ich diese Methode: z.B. Zeile 20: 1 (*20/1) 20 (*19/2) 190 (*18/3) 1140 (*17/4) 4845 (*16/5) ... usw. also dass Zähler stets um 1 abnimmt und Nenner um 1 zunimmt. Bin leider nicht fähig das verständlich in den Artikel zu schreiben. Und tut mir leid falls ich sie übersehen hab ;)-- (nicht signierter Beitrag von 77.178.195.122 (Diskussion | Beiträge) 20:13, 10. Nov. 2009 (CET))

Das und noch viel mehr steht in Binomialkoeffizient, siehe Binomialkoeffizient#Algorithmus zur effizienten Berechnung. --91.32.95.73 13:30, 28. Jul. 2010 (CEST)

Zeilensumme

'Da die Zeilensumme der ersten Zeile gleich eins ist, ist die Zeilensumme der n-ten Zeile gleich 2^n−1. Dies entspricht dem folgenden Gesetz für Binomialkoeffizienten: [...] =2^n' O.o ich bin mir nicht 100%, aber ziemlich sicher, dass hier erstens eine widersprüchliche Aussage, zweitens mit dem ersten Part (2^n-1) eine falsche Aussage getätigt wird. Kann es sein, dass sich da jemand (inkompetentes? Flüchtigkeitsfehler?) versehen hat, und die 1. Reihe (nur aus '1' bestehend) für Reihe 1 mit n=1 hielt? Denn meines Wissens nach gilt in der ersten Zeile n=0, und weil 2^0=1 im Endeffekt auf Zeilensumme=2^n gilt. --Johpick 11:57, 4. Dez. 2009 (CET)

Das sind zwei verschiedene Zeilennumerierungen. Die erste Zeile wird (in der neuen Numerierung) definiert als nullte Zeile – nicht falsch, aber verwirrend. --91.32.95.73 13:24, 28. Jul. 2010 (CEST)

Zumindest der Satz " Von oben nach unten verdoppeln sich die Zeilensummen von Zeile zu Zeile. Dies rührt vom Bildungsgesetz des pascalschen Dreiecks her. Jeder Eintrag einer Zeile wird in der folgenden Zeile zur Berechnung zweier Einträge verwendet." ist so nicht richtig. Die Einsen links und rechts werden nur zur Berchnung eines Eintrages der nächsten Zeile verwendet. Diese Einsen werden jedoch durch das Hinzufügen der "neuen" Einsen der nächsten Zeile verdoppelt. Das müßte im Artikel etwas genauer herausgearbeitet werden, so wie es da steht stimmt es einfach nicht. --Furanku 10:36, 18. Nov. 2010 (CET)

Man muss sich links und rechts Nullen vorstellen. Sonst wäre auch die Pascalsche Formel $\scriptstyle {\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}$ nicht allgemein anwendbar. Damit kann man dann die Argumentation durchaus so elegant führen. --91.32.85.154 10:58, 18. Nov. 2010 (CET)

Natürlich kann man so argumentieren. In der üblichen Darstellung stehen da aber keine Nullen, ebenso vermeidet die Animation dieses Bild um die äußeren Einsen zu generieren, diese sind dort quasi "vorgegeben". Ich denke schon, daß man das dann an dieser Stelle erwähnen sollte, ansonsten widersprechen sich die Bildungsvorschriften innerhalb des Artikels, was sicherlich zu Verwirrung führt. --Furanku 19:31, 18. Nov. 2010 (CET)

Habe es mal ergänzt. Es wäre überlegenswert ob man das nicht an den Anfang des Artikels stellt und ggf. auch die Animation diesebzüglich anpasst. --Furanku 19:46, 18. Nov. 2010 (CET)

Potenzen mit beliebiger Basis

Weiß jemand, was für ein Beweis für 6p|(n^p-n) für Primzahlen p>3 gemeint ist? Ich habe bislang keine interessante Alternative zu den üblichen Beweisen des kleinen Fermatschen Satzes gefunden (man kann mit dem kleinen Fermatschen Satz relativ leicht zeigen, dass p|S(p,k) für 1<k<p). Das Argument für 24|(n⁵-n³) ist klar. Ich weiß aber nicht, was das alles mit dem Pascalschen Dreieck zu tun hat. --91.32.95.73 13:16, 28. Jul. 2010 (CEST) In Comtet: Advanced combinatorics habe ich einen Induktionsbeweis gefunden (S. 218f.). Das Versprechen im Artikel ("gewinnt man unmittelbare Einblicke", "So ist ...", "wird ... gezeigt") scheint mir aber damit etwas irreführend, auch wenn die Idee grundsätzlich funktioniert. --91.32.94.134 15:25, 29. Jul. 2010 (CEST)

Darstellungen

Bitte noch Erklärungen für die computerunterstützten grafischen Lösungen hinzufügen, ... sonst mach ich's :-O --77.4.81.163 20:31, 6. Feb. 2011 (CET)

Bézierkurven

Ich fände noch einen Verweis/Link auf den Wikipedia Artikel mit der Bézierkurve sinnvoll. Bézierkurven haben eine besondere und pratkische Bedeutung in der Computergrafik. Praktischerweise lässt sich z.B. die kubische Bézierkurve sehr einfach durch die Zeile "1 3 3 1" im Pascalschen 3-eck herleiten! Die quadratische Bézierkurve durch die nächste Zeile im Pascalschen 3-Eck ... , das ganze setzt sich so immer weiter fort. Ich bin allerdings leider kein Mathematiker und kann nicht erklären, warum das so ist => sollte also am besten jemand Anderes schreiben/erklären! 04.05.2011 -- 21:46 -- me (ohne Benutzername signierter Beitrag von 84.56.219.105 (Diskussion) )

Das hat nicht viel im Speziellen mit Bézierkurven zu tun, sondern mit den Binomialkoeffizienten, die beim Multiplizieren von einfachen Polynomen aus kombinatorischen Gründen halt immer mal wieder auftauchen. --Daniel5Ko 22:49, 4. Mai 2011 (CEST)

Formel für Berechnung der Koeffizienten und Multinome

Folgendes - Ist der Exponent gewählt, sind auch die Koeffizienten durch die vereinfachte Formel

An der Stelle 0 ist der Koeffizient immer 1

Bsp.:

exp = 3

Koef = 1,1 * 3/1 = 3,3 * 2/2 = 3;3 * 1/3 = 1

Also dem vorhergehenden Produkt von (n = 1 <= exp) ==> exp--/n++

for(it_x = 1,it_y = this->exp_; it_x <= this->exp_; it_x++, it_y--); koef[it_x] *= koef[it_x - 1] * ((double) it_y / (double) it_x);

Sturkturaussage: Die Koeffizienten eines Multinoms sagen vor allem aus, in wie vielen Kombinationen ohne Wiederholung die Elemente bezüglich der jeweiligen Exponenten anordenbar sind!

könnte noch jemand ergänzen wie man Multinome formal und in einem Programm berechnet? Genauer gesagt - gibt es eine Möglichkeit Binome zu Trinomen und Multinomen zu erweitern so dass Koeffizienten gleicher Kombinationen von Elementen zusammengefasst werden können?

Gibt es ein einfaches Bildungsgesetz bis ausschließlich (sum(N))^n

Das Problem ist, man kann keine korrekte Produktschreibweise machen, nimmt man die herkömmliche Notation.

Beginnt man mit x[0] = 1.0 für Exponent 6 müsste man schreiben:

Das Produkt von 1.0 1.0 * 6.0/1.0 = 6.0 6.0 * 5.0/2.0 = 15.0 15.0 * 4.0/3.0 = 20.0 20.0 * 3.0/4.0 = 15.0 15.0 * 2.0/5.0 = 6.0 6.0 * 1.0/5.0 = 1.0

Die Formel ist daher für Binome folgerichtig und die einzige Möglichkeit das Pascalsche Dreieck zu parallelisieren. (Und nur weil ich so höflich bin heißt das nicht das mir solche Kommentare nicht weh tun) (nicht signierter Beitrag von Georg Neubauer (Diskussion | Beiträge) 19:35, 1. Feb. 2016 (CET))

--modInstance 15:01, 22. Jan. 2016 (CET)

Barrierefreiheit

Diese Diagonalen (Fibonacci) sind jetzt grün, rot und blau. Gerade die Wahl grün und rot ist bei Rot-Grün-Sehschwäche schwierig. Gibt es keine andere, "barrierefreie" Darstellung? --Heavy Metal Chemist (Diskussion) 15:06, 17. Okt. 2016 (CEST)

Geschichtliches

Ich habe soeben folgendes beidem Artikel zu Peter Apian gefunden: 1527 veröffentlichte er als erster abendländischer Autor, noch vor Blaise Pascal, eine Variante des Pascalschen Dreiecks, das früher bereits bei arabischen und chinesischen Autoren vorkam. Er wird in dem Artikel aber nicht genannt. Sollte die von ihm entwickelte Variante zu dem Artikel hier passen, so könnte Peter Apian an folgender Stelle eingefügt werden: Der Name geht auf Blaise Pascal zurück. Das pascalsche Dreieck war jedoch schon früher bekannt und wird deshalb auch heute noch nach anderen Mathematikern benannt. In China spricht man vom Yang-Hui-Dreieck (nach Yang Hui), in Italien vom Tartaglia-Dreieck (nach Nicolo Tartaglia) und im Iran vom Chayyām-Dreieck (nach Omar Chayyām). (nicht signierter Beitrag von 77.191.176.211 (Diskussion) 10:45, 3. Mai 2020 (CEST))