Diskussion:Polyeder

Regelmäßig und konvex

Die Aussage "Es gibt nur 5 regelmässige Polyeder" ist ja streggenommen eigentlich falsch.

Denn: Es gibt 9 regelmässige Polyeder.

Fünf davon sind konvex (die bekannten "Platonischen Körper"), die anderen 4 sind konkav und heissen "Kepler-Poinsot'sche Körper". (s. z.B. bei http://mathworld.wolfram.com/Kepler-PoinsotSolid.html)

Regelmässig sind diese vier deshalb, weil sie aus regelmässigen Vielecken zusammengesetzt sind. (Die Forderung dass der Körper konvex ist, ist für regelmässige Körper hingegen nicht nötig.)

Übrigens: ein regelmässiges Vieleck muss selbst auch nicht zwingend konvex sein. Es müssen nur alle (Aussen-)winkel gleich gross sein.

Das Pentagramm ist z.B. ein konkaves regelmässiges 5-Eck.

Unter den vier "Keppler-Poisont'schen Körpern" sind zwei die ein Pentagramm als Seitenfläche haben; einer hat ein "konvexes" reguläres Fünfeck und einer ein "konvexes" reguläres Dreieck als Seitenfläche.

Ich bin dafür, dass der Text "Es gibt nur 5 regelmässige Polyeder" auf "Es gibt nur 5 regelmässige konvexe Polyeder" abgeändert wird. Und am bessten noch ein hinweisender Ergänzungssatz auf die vier "Kepler-Poinsont'schen Körper" angefügt wird.

CeeBee 20.12.2004

Regelmäßige Polyeder

Ein Polyeder heißt regelmäßig oder regulär, wenn es durch lauter deckungsgleiche (=kongruente) regelmäßige Polygone begrenzt wird; dann treffen an jeder Ecke die gleiche Anzahl von Polygonen zusammen, d.h. auch die Ecken sind deckungsgleich. Es gibt nur fünf regelmäßige Polyeder. Diese heißen auch platonische Körper.
Die Folgerung dann treffen ... ist falsch. Beispielsweise ist eine aus zwei regelmäßigen fünfseitigen Pyramiden zusammengeklebte Bipyramide (en:Pentagonal dipyramid), deren Kanten alle gleich lang sind, von kongruenten Dreiecken begrenzt. An den beiden Pyramidenspitzen stoßen fünf, an den fünf "Seitenspitzen" nur vier Dreiecke zusammen. --Rat 14:09, 13. Apr 2006 (CEST)

Endlichkeit

Afaik muss ein Polyder durch ENDLICH viel Ungleichungen beschrieben werden können, das wird so ja nicht im Artikel erwähnt... (nicht signierter Beitrag von 129.206.93.36 (Diskussion) 14:33, 14. Dez. 2006)

Stimmt. Das stand nur implizit da, indem eine Matrix $A$ verwendet wurde. Ich habe es jetzt nochmal explizit reingeschrieben und bei der Gelegenheit mal den Artikel etwas aufgeräumt. -- Sdo 23:54, 14. Dez. 2006 (CET)

Große Überarbeitung am 17.01.2007

Das, was ich vorgefunden habe, war ja mal gar nicht Oma-tauglich. Wie kann man nur auf die Idee kommen, bei einem solchen Thema die allgemeine mehrdimensionale Definition vor die klassichen Polyeder zu stellen? Oder „Die Dimension eines Polyeders P ist definiert als die Dimension seiner affinen Hülle, also des kleinsten affinen Raums, der P enthält.“ in der Einleitung.

Also:

• „konvexe Polyeder“ umbenannt und ans Ende gestellt. In der Einleitung einen kurzen Vermerk auf höherdimensionale Verallgemeinerungen belassen.
• Als nächstes die Veranschaulichungen. Ein wenig ausgebessert, sofern mir Beispiele eingefallen sind. (Nur so am Rand: „Radiergummi“ als Beispiel für Polyeder ist angesichts der diversen Formen, die es da heute gibt, weit überholt.)
• Die wichtigsten Polyeder im Alltag sind nicht die platonischen Körper, etc., sondern ganz banale Dinge wie Quader, Prismen, etc.
• „regelmäßige Polyeder“ komplett überarbeitet. Eine feste Definiton von „regelmäßig“ für Polyeder ist überflüssig, da man schon „platonische Körper“, etc. als Bezeichnungen hat, und für die anderen regelmäßigen Polyeder nach Worten suchen muss. Außerdem ist mir bisher keine sinnvolle, einheitlich verwendete Definiton in Literatur, etc. untergekommen. Die Tabelle habe ich entfernt, weil sie m.E. nicht sinnvoll ist und teilweise falsch war (fast alle Polyeder überhaupt haben keine regelmäßigen Vielecke als Begrenzungsflächen und nicht identische Ecken – nicht nur die catalanischen Körper).

Noch zu tun:

• Den ersten Teil könnte sich mal jemand anschaun, was es noch erklärungstechnisch und sonstwie zu verbessern gibt.
• Den zweiten Teil sollte sich mal jemand anschaun, der sich damit auskennt. Mir sagen da viele Dinge so gar nichts.
• Dualität sollte hier irgendwie integriert werden.

--Wrzlprmft 18:52, 17. Jan. 2007 (CET)

Hallo Wrzlprmft, da hast Du wohl recht. Der Artikel steht schon länger auf meiner todo-Liste, aber bisher hatte ich immer dringendere Baustellen... Im zweiten Teil habe ich gerade mal zumindest ein paar anschauliche Erklärungen dazugeschrieben. Welche Art von Dualität meinst Du genau? (BTW: Deine Sprachfanatiker-Marotten sind mir sehr sympathisch.) -- Sdo 23:11, 17. Jan. 2007 (CET)

Danke für die Überarbeitung, das sieht schon besser aus. Diese Dualität meine ich, aber ist auch nur Nebensache, da mir dieses Gebiet (Körper und Polyeder) umso chaotischer erscheint, je intensiver ich es mir anschaue. Da gibt es erstmal anderes zu tun. (Und danke für das BTW) --Wrzlprmft 23:41, 17. Jan. 2007 (CET)

Definition Seitenfläche

Eine Seitenfläche eines konvexen Polyeders ist der Schnitt einer Hyperebene (im dreidimensionalen Raum: einer Ebene) mit dem Polyeder, und eine Facette eines n-dimensionalen konvexen Polyeders ist eine (n − 1)-dimensionale Seitenfläche. Bei einem dreidimensionalen Würfel sind beispielsweise alle Ecken, Kanten und Flächen des Würfels Seitenflächen, aber auch die leere Menge und der ganze Würfel. Aber nur die zweidimensionalen Seitenflächen sind Facetten des Würfels.

Die Definition scheint so nicht ganz zu passen. Wie kann bei einem Schnitt zwischen einem Würfel und einer Ebene wieder ein Würfel rauskommen? Nach der Definition wäre doch selbst der Schnitt zwischen einem Würfel und einer Ebenen, die schräg durch einen Würfel läuft, eine Seitenfläche. Mein Änderungsvorschlag:

Eine Seitenfläche eines konvexen Polyeders ist der Schnitt von beliebig vielen Hyperebenen (im dreidimensionalen Raum: Ebenen), die das Polyeder begrenzen, mit dem Polyeder selbst. Eine Facette eines n-dimensionalen konvexen Polyeders ist eine (n − 1)-dimensionale Seitenfläche. ...--Decay 00:18, 20. Aug. 2007 (CEST)

Du hast recht, das war in der Form falsch. Ich habe es etwas präzisiert. Gruß, -- Sdo 02:01, 21. Aug. 2007 (CEST)

1) Ich schlage zur Definition der Seitenflächen vor, zunächst eine "Stützebene" bzw. "Stützhyperebene" eines konvexen Polyeders (allgemeiner einer konvexen abgeschlossenen Menge M) zu erklären. Das ist eine Hyperebene H, die mit M nur Randpunkte gemein hat. M liegt also ganz auf einer (abgeschlossenen) Seite von H. Eine Seitenfläche ist dann der Durchschnitt von M mit einer Stützhyperebene. 2) Mir scheint, dass im Artikel eine einwandfrie Definition eines (auch nichtkonvexen) Polyeders fehlt. --Hanfried.lenz 12:36, 17. Okt. 2007 (CEST).

Sei mutig und ändere es einfach. Wenn es jemandem nicht gefällt, wird er es schon entsprechend anpassen. ;-) -- Sdo 16:34, 17. Okt. 2007 (CEST)

In dem aktuellen Artikel fehlt die Definition einer Seitenfläche komplett. Warum eigentlich? Es ist doch wichtig zu beschreiben, wie die Seitenfläche, Ecke, Kante u.s.w. eines Polyeders definiert ist! Blubbi1234 (Diskussion) 14:42, 3. Mai 2014 (CEST)

Neue Kapitel

Definition

Eine Menge $P=P(A,b)\subseteq K^{n}$ heißt Polyeder, wenn es eine Matrix $A$ und ein $b\in K^{m}$ gibt mit $P=\{x\in K^{n}|Ax\leq b\}$. Ein beschränktes Polyeder nennt man Polytop.

Seien $V,E\subseteq K^{n}$ endliche Mengen. Ein V-Polyeder ist die Menge $P:=Conv(V)+Cone(E)$, wobei Conv(V) die konvexe Hülle der Elemente aus V und Cone(E) die konische Hülle der Elemente aus E sind. Ist $E=\emptyset$, spricht man auch von einem V-Polytop.

Ist $P=P(A,b)$ ein Polyeder und seien $a\in K^{n}$ und $\beta \in K$. Wenn $\forall x\in P:a^{T}x\leq \beta$ gilt, so nennt man die Ungleichung $a^{T}x\leq \beta$ gültig für P.

Eine Menge $F\subseteq P$ heißt Seitenfläche von P, wenn es eine für P gültige Ungleichung $a^{T}x\leq \beta$ gibt mit $F=\{x\in P|a^{T}x=\beta \}$. Dabei sind Mengen P und $\emptyset$ immer eine Seitenfläche des Polyeders P. Blubbi1234 (Diskussion) 15:13, 3. Mai 2014 (CEST)

Hallo Blubbi1234, dies ist höchstens eine Definition für konvexe Polyeder. Der Polyederbegriff in diesem Artikel ist allgemeiner und umfasst zum Beispiel auch eine triangulierte Brezel oder Sternkörper. Möglicherweise ist aber ein separater Artikel zu konvexen Polyedern sinnvoll. Siehe auch Polytop (Geometrie) und die aktuelle Diskussion in der Qualitätssicherung. Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:22, 3. Mai 2014 (CEST)

Entweder dort (konvexes Polyeder) oder in diesem Artikel sollte dann erwähnt werden, dass die beschränkten (konvexen) Polyeder genau den (konvexen) Polytopen entsprechen, wobei ein Polytop als konvexe Hülle einer endlichen Vektoren- bzw. Punktmenge definiert ist. Anders herum kann man natürlich auch ein Polytop wie Blubbi1234 direkt als beschränktes Polyeder definieren und muss dann (nur noch) zeigen, dass jedes (konvexe) Polyeder als konvexe Hülle einer endlichen Punktmenge darstellbar ist. Diese zwei äquivalenten Betrachtungen (Polyeder oder konvexe Hülle) beziehen sich auf unterschiedliche Betrachtungsweisen, d. h. die Beschreibung über Ecken (konvexe Hülle) oder über Facetten (Ungleichungssystem). --92.226.147.54 11:43, 23. Feb. 2015 (CET)

Spielwürfel

Seit wann bitte sind die meisten Spielwürfel Polyeder? --95.33.121.50 16:49, 9. Jun. 2009 (CEST)

Dem muß ich mich anschließen - der klassische 6-seitige Spielwürfel (siehe erstes Bild im Artikel Spielwürfel) hat abgerundete Ecken und ist damit kein Polyeder. Echte Polyeder-Spielwürfel dürften eher selten sein - wegen der spitzen Ecken. (nicht signierter Beitrag von 92.201.118.62 (Diskussion) 15:32, 10. Jan. 2016 (CET))

Große Grafik

Die animierte Grafik ist ja sehr schick, aber ist 778kb nicht etwas groß für eine Wiki Seite? (nicht signierter Beitrag von 217.231.116.95 (Diskussion | Beiträge) 15:21, 6. Sep. 2009 (CEST))

DAS Polyeder

Vielleicht sollte im einleitenden Text irgendwo stehen, dass es korrekt "das Polyeder" heißt und nicht wie im alltäglichen Sprachgebrauch der vielverwendete Begriff "der Polyeder". (siehe http://www.duden.de/suche/index.php?suchwort=polyeder&suchbereich=mixed#inhalte) --Airam-anna 16:34, 15. Apr. 2011 (CEST)

Tippfehler??

"Für zusammenhängende Polyeder (zu denen das obige Beispiel nicht gehört) gilt allgemein"

Das obige Beispiel ist der Würfel, aus dessen Inneren ein kleinerer Würfel herausgeschnitten ist , und ist natürlich zusammenhängend. Ist das NICHT aus Versehen in dem Satz gelandet? (nicht signierter Beitrag von 92.201.118.62 (Diskussion) 14:26, 10. Jan. 2016 (CET))

Die Oberfläche besteht aus zwei nicht zusammenhängenden Netzen, nämlich den inneren und den äußeren Würfelflächen. --77.6.47.255 01:49, 11. Sep. 2023 (CEST)

konvexe polyedrische Kegel

"Unbeschränkte Polyeder mit nur einer Ecke werden Polyederkegel genannt." Also nach meinem Verständnis gibt es auch konvexe polyedrische Kegel OHNE Ecke (z.B. der Durchschnitt zweier nicht-paralleler Halbräume im R^3. Die Scheitelfläche ist in dem Beispiel nicht ein Punkt, sondern eine Gerade.). Warum also so eine komische Definition im Artikel? Die zeugt nicht von tiefem mathematischen Background. (nicht signierter Beitrag von 92.201.118.62 (Diskussion) 14:26, 10. Jan. 2016 (CET))

Bezeichnung "Trieder" ist falsch

Da von einem Punkt mehr als drei Halbgeraden ausgehen können, gibt es auch mehr als ein unbeschränktes Polyeder mit nur einer Ecke. Das Wort Trieder suggeriert aber ein Polyeder mit nur drei Seiten. --78.51.121.221 01:20, 23. Apr. 2018 (CEST)

Trieder sind spezielle Polyederkegel. Ich habe es korrigiert.--Schojoha (Diskussion) 20:26, 24. Apr. 2018 (CEST)

Mal kurz eine Frage zur Definition:

"Ein (dreidimensionales) Polyeder [poliˈ(ʔ)eːdɐ] (auch Vielflach, Vielflächner oder Ebenflächner; von altgriechisch πολύεδρος polýedros, deutsch ‚vielsitzig, vieleckig‘)[1] ist im engeren Sinne eine Teilmenge des dreidimensionalen Raumes, welche ausschließlich von geraden Flächen (Ebenen) begrenzt wird, beispielsweise ein Würfel oder ein Oktant eines dreidimensionalen Koordinatensystems"

Müsste es nicht heißen, dass ein Polyeder eine Teilmenge des dreidimensionalen Raumes ist, welche ausschließlich durch ENDLICH VIELE Ebenen begrenzt wird?

Demnach wäre eine Kugel oder ein Zylinder auch ein Polyeder.

und eine Kugel hätte dann genau eine Ecke nach dem eulerschen Polyedersatz.... (nicht signierter Beitrag von 2A02:908:15A0:1440:C8FC:6E96:FA1E:35A3 (Diskussion) 00:50, 1. Apr. 2020 (CEST))

Programmcodes ?

Autor Maximum 2520 hat Programmcodes hier eingefügt. Gibt es dafür "Spielregeln". Meiner Meinung nach tragen sie nichts zum Verständnis der Polyeder bei.--Ag2gaeh (Diskussion) 16:59, 6. Aug. 2020 (CEST)

Leonardo Polyeder

Ich denke, dass Leonardo Polyeder in diesem Bereich von Wikipedia aufgenommen werden sollten. Dieser Begriff erscheint ausführlich in einer Arbeit von Prof. Dr. Dr.h.c. Jörg M. Wills, Uni Siegen, Deutschland, und Prof. Dr. Gábor Gévay, Uni Szeged, Ungarn in der Zeitschrift ARS MATHEMATICA CONTEMPORANEA 6 (2013) 1-11, mit dem Titel "On regular and equivelar Leonardo polyhedra". Also available at http://amc.imfm.si In der jetzigen Wikipedia Fassung sollte dieser Begriff unter * Polyeder -> 3. Besondere Polyeder -> 3.2 Reguläre Polyeder . . . aufgenommen werden.

Eine Vorbemerkung: Die Randstrukturen der 3-dimensionalen Polyeder sind 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten. Eine wichtige Verallgemeinerung der Randstruktur platonischer Körper wird in der Mathematik seit vielen Jahrzehnten unter dem Begriff "reguläre Karten" studiert. Auf die polyedrischen Einbettungen solcher regulären Karten (z.B. Beispiele aus Arbeiten von Harold Scott MacDonald Coxeter) wird an dieser Stelle von Wikipedia nicht hingewiesen. Das könnte im Zusammenhang mit den Leonardo Polyedern geschehen. Eine kleine Sammlung von aktuellen Referenzen zu regulären Karten und deren polyedrischen Einbettungen befindet sich im Buch Jürgen Bokowski, "Schöne Fragen aus der Geometrie", Ein interaktiver Überblick über gelöste und noch offene Probleme, Springer Spektrum 2020. --Perleberger15 (Diskussion) 01:14, 14. Jan. 2022 (CET) Ein Leonardo Polyeder wird definiert als eine eingebettete 2-Mannigfaltigkeit im 3-dimensionalen Raum mit ebenen konvexen Seitenflächen, die jeweils (n \geq 3) Ecken besitzen und bei der an jeder Ecke (k \geq 3) Seiten in zyklischer Reihenfolge angrenzen. Man spricht bei dem Polyeder von der Eigenschaft "equivelar" und nach Schläfli "vom Typ {n,k}". Zusätzlich soll ein Leonardo Polyeder eine rotationssymmetrische Eigenschaft besitzen, die bei einem der 5 platonischen Körper vorliegt. Damit gehören die platonischen Körper zu dieser Polyederklasse und die bekannten Darstellungen von Leonardo Da Vinci zum Buch von Luca Pacioli über den goldenen Schnitt rechtfertigen die Bezeichnung „Leonardo Polyeder“.

Ich bin inzwischen mit der bestehenden Eingangs-Definition von Polyeder zufrieden. Eine Alternative wäre: Vereinigung von 3-dimensionalen Tetraedern. Das entspräche am ehesten der Definition im zweibändigen Mathematisches Wörterbuch mit etwa 2.000 Seiten aus dem Jahr 1974. Es entstand im Auftrage des Zentralinstituts für Mathematik und Mechanik der Akademie der Wissenschaften der DDR, bearbeitet und herausgegeben unter Mitwirkung zahlreicher Fachgelehrter (ca. 125 Professoren) von J. Naas und H. L. Schmid. Nur als Information für andere mathematische Definitionen.

Vorschlag für einen Unterabschnitt 3.6 Leonardo Polyeder

3.6 Leonardo Polyeder

Ein Leonardo Polyeder hat konvexe Seitenflächen, jede Seite hat die gleiche Anzahl der Ecken,

an jeder Ecke liegt die gleiche Anzahl der Seiten und es liegt eine Rotationssymmetrie vor, wie bei einem platonischen Körper.

Ein Beispiel als YouTube Video: https://youtu.be/MEhVzcMbfog

Die platonischen Körper sind Leonardo Polyeder. Der Begriff soll an die Bilder von Leonardo da Vinci erinnern,

die er für das Buch von Luca Pacioli über den goldenen Schnitt angefertigt hat.

Literaturangaben:

G. Gévay & Jörg M. Wills, On regular and equivelar Leonardo polyhedra, ARS MATHEMATICA CONTEMPORANEA 6 (2013) 1-11, http://amc.imfm.si

Literatur von und über Luca Pacioli im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek--Perleberger15 (Diskussion) 16:34, 17. Jan. 2022 (CET)

Hallo Perleberger15, danke für deine Anregung. Darf ich einfach mal ein paar Fragen dazu stellen?

• Können wir Leonardo polyhedra mit Leonardo-Polyeder übersetzen?
• Was habe ich mir unter einer konvexen Seitenfläche vorzustellen?
• Ist die beschriebene Eigenschaft gleichzeitig die Definition für solche Polyeder?
• Leiten sich aus dem Aufbau besondere Eigenschaften ab?
• Haben Leonardo-Polyeder eine weitergehende Bedeutung erlangt, indem sie in weiteren Arbeiten erwähnt werden?

Vielen Dank für die Beantwortung --Wiegels „…“ 21:36, 17. Jan. 2022 (CET)

Hallo Wiegels,

• Können wir Leonardo polyhedra mit Leonardo-Polyeder übersetzen? Ja, o.k.
• Was habe ich mir unter einer konvexen Seitenfläche vorzustellen? Rechtecke, Dreiecke, sind Beispiele für konvexe Flächen,
• die konvexe Hülle von mindestens drei Punkten in einer Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen, bilden eine konvexe Seitenfläche.
• Die Punkte in einer Ebene als Laternen, dann ein Gummiband herum, das berandet eine konvexe Fläche.
• Ist die beschriebene Eigenschaft gleichzeitig die Definition für solche Polyeder? Genau, mathematisch genauer würde ich mir noch wünschen, dass angrenzende Flächen nicht in einer Ebene liegen, aber einfach ist sicher besser,
• Leiten sich aus dem Aufbau besondere Eigenschaften ab? Es sind die seit Jahrtausenden bewunderten platonischen Körper, für die es eine symmetrische Verallgemeinerung gibt.
• Symmetrien in Kunst und Wissenschaft haben schon immer eine wichtige Rolle gespielt.
• Nur ein Polygon-Typ für alle Seiten, die Anzahl der angrenzenden Seiten stets gleich, das empfinden viele als schön.
• Haben Leonardo-Polyeder eine weitergehende Bedeutung erlangt, indem sie in weiteren Arbeiten erwähnt werden?
• Sie wurden schon vorher in Vorträgen vorgetragen und die Suche nach weiteren Beispielen ist noch nicht abgeschlossen.
• Weitere Beispiele sind schon früher gefundene Einbettungen regulärer Karten.
• Ich suche die Literaturstellen dazu heraus.
• Das 8. Kapitel in J. Bokowski, Schöne Fragen aus der Geometrie, Springer Spektrum 2020 enthält sie,
• aber ohne die Bezeichnung Leonardo-Polyeder.
• Vielen Dank für die Fragen und das Interesse

--Perleberger15 (Diskussion) 22:58, 17. Jan. 2022 (CET)

Die Polyeder, die Einbettungen von regulären Karten sind, sollten aufgeführt werden. Sie gelten wie die Leonardo-Polyeder als Verallgemeinerungen der platonischen Körper, aber sie haben i.a. noch höhere kombinatorische Symmetrien.

Von E. Schulte und J. M. Wills gibt es seit 1985 das Polyeder, das eine Struktur von Felix Klein aus dem Jahr 1879 beschreibt, diese Struktur ist bekannt als Kleins Quartic. Von J. Bokowski und U. Brehm wurden polyedrische Einbettungen gefunden, die eine Struktur von W. von Dyck aus dem Jahr 1880 betreffen. Von G. Gévay, E. Schulte und J. M. Wills gibt es ein Polyeder aus dem Jahr 2014 zu einer Struktur von F. Klein und K. E. R. Fricke aus dem Jahr 1890. Von P. McMullen, C. Schulz und J. M. Wills gibt es zwei Polyeder zu regulären Karten von H. S. M. Coxeter aus dem Jahr 1937. Zwei weitere Polyeder gibt es von P. McMullen, C. Schulz und J. M. Wills zu zwei regulären Karte von H. S. M. Coxeter und A. Boole Stott aus dem Jahr 1937 Ein Polyeder zu einer regulären Karte von Hurwitz aus dem Jahr 1893 mit einer Symmetriegruppe der Ordnung 1008 wurde im Jahr 2018 gefunden von J. Bokowski und M. Cuntz.

Die genauen Literaturangaben folgen in Kürze.--Perleberger15 (Diskussion) 19:47, 18. Jan. 2022 (CET)

Literaturangaben: Polyeder zu regulären Karten

1. Bokowski, J.: A geometric realization without self-intersections does exist for Dyck’s regular map. Discrete Comput Geom. 6, 583-589 (1989) 2. Bokowski, J.: On the geometric flat embedding of abstract complexes with symmetries. In: Hofmann, K. H. and Wille, R. (Eds.), Symmetry of Discrete Mathematical Structures and Their Symmetry Groups. A collection of Essays. Research and Exposition in Mathematics, 15, Heldermann, Berlin, pp. 49-88 (1991) 3. Bokowski, J., Cuntz, M.: Hurwitz’s regular map (3,7) of genus 7: A polyhedral realization. Art Discrete Appl Math 1, 1-17 (2018) doi: 10.26493/2590-9770.1186.258 4. Faber, G.: Walther v. Dyck. Sonderabdruck aus Jahresbericht der Deutschen Mathematiker- Vereinigung, 45. Band, Heft 5/8, (1935) 5. Bokowski, J., G´(e)vay, G.: On Polyhedral Realizations of Hurwitz’s Regular Map (3,7)18 of genus 7 with Geometric Symmetries. Erscheint in: Art Discrete Appl Math (Gr¨unbaum volume) (2020) 6. Bokowski, J., Wills J.M.: Regular polyhedra with hidden symmetries. Math. Intelligencer, 10, 27-32 (1988) 7. Bokowski, J., Koviˇc, J., Pisanski, T., ˇ Zitnik, A.: Selected open and solved problems in computational synthetic geometry, in K. Adiprasito, I. B´ar´any and C. Vˆılcu (Eds.), Convexity and Discrete Geometry including Graph Theory, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 148. Springer, Cham, pp. 219-229 (2016) 8. Boole Stott, A.; Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, Verhandel. Koninkl. Akad. Wetenschap. (Eerste sectie), 11.1, 3-24 (1910) 9. Brehm, U.: Maximally symmetric polyhedral realizations of Dyck’s regular map. Mathematika 34,2, 229-236 (1987) 10. Brehm, U., Schulte, E.: Polyhedral maps. in J. E. Goodman and J. O’Rourke (Eds.), Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, Boca Raton, pp. 345-358 (1997) 11. Brehm, U., Wills, J.M.: Polyhedral manifolds. in Gruber, P., M., Wills, J.M. (Eds.), Handbook of Convex Geometry, North-Holland, Amsterdam, Volume A, pp. 535-554 (1993) 12. Conder, M. D. E.: Regular maps and hypermaps of Euler characteristic −1 to −200, J. Comb. Theory Ser. B, 99, pp. 455-459 (2009) Associated lists available online: http://www.math.auckland.ac.nz/ conder (accessed on 22 January 2020) 13. Conder, M., Dobcs´anyi, P.: Determination of all regular maps of small genus. J. Comb. Th., Series B, 81 (2): 224-242 (2001) doi: 10.1006/jctb.2000.2008 14. Coxeter, H.S.M.: Regular skew polyhedra in 3 and 4 dimensions and their topological analogues. Proc. London Math. Soc. (2), Volume 43, Issue 2, Pages 33-62 (1937) (reprinted, Coxeter, H.S.M.: Twelve geeometric essays, Southern Illinois Univ. Press, Carbondale, 1968, p. 75-105) 15. Coxeter, H. S. M.: Regular Polytopes. Dover (1973) 16. Coxeter, H. S. M., Moser, W. O. J.: Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 14 (4th ed.), Springer Verlag (1980) 17. Dyck, W.: U¨ ber Aufstellung und Untersuchung von Gruppe und Irrationalita¨t regula¨rer Riemann’scher Fl¨achen, Math. Ann. 17 473-508 (1880) 18. Dyck, W.: Notiz ¨uber eine regul¨are Riemann’sche Fl¨ache vom Geschlecht 3 und die zugeh¨orige Normalcurve vierter Ordnung. Math. Ann. 17, 510-516 (1880) 19. The GAP Group, GAP – Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.9.2; (https://www.gap-system.org) (2018) 20. G´evay, G., Schulte, E., Wills, J.M.: The regular Gr¨unbaum polyhedron of genus 5, Adv. Geom. 14 465-482 (2014) 21. Hurwitz, A.: U¨ ber algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich. Math. Ann. 41 (3): 403-442 (1893) doi:10.1007/BF01443420 22. Klein, F.: U¨ ber die Transformationen siebenter Ordnung der elliptischen Functionen. Math. Ann. 14, 428-471 (1879) (Revidierte Version in Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Vol., 3, Springer, Berlin, 1923) 23. Klein, F.: Vorlesungen ¨uber das Ikosaeder und die Aufl¨osung der Gleichungen f¨unften Grades, Teubner, Leipzig (1884) Literatur 207 24. Klein, F., Fricke, R.: Vorlesungen ¨uber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Teubner, Leipzig, Germany (1890) 25. Levy, S. (Editor): The Eightfold Way : The Beauty of Klein’s Quartic Curve. Mathematical Sciences Research Institute Publications (2001) 26. Macbeath, A. M.: On a curve of genus 7, Proc. London Math. Soc. 15 (3) 527-542 (1965) 27. Macbeath, A. M.: Hurwitz groups and surfaces, In: S. Levy (Ed.), The Eightfold Way, MSRI Publications 35, Cambridge UP, Cambridge (1999) 28. McMullen, P., Schulte, E., Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 92, Cambridge UP, Cambridge (2002) 29. McMullen, P., Schulz, Ch., Wills, J.M.: Equivelar polyhedral manifolds in E3. Israel J. Math. 41 331-346 (1982) 30. McMullen, P., Schulz, Ch.,Wills, J.M.: Polyhedral manifolds in E3 with unusually large genus. Israel J. Math. 46 127-144 (1983) 31. McMullen, P., Schulz, Ch.,Wills, J.M.: Infinite series of combinatorially regular maps in three-space. Geom. Dedicata 26 299-307 (1988) 32. Schulte, E., Wills, J. M.: A polyhedral realization of Felix Klein’s map {3,7}8 on a Riemann surface of genus 3. J. London Math. Soc. (2) 32, 539-547 (1985) 33. Schulte, E., Wills, J. M.: On Coxeter’ regular skew polyhedra, Discrete Math. 60 253-262 (1986) 34. Schulte, E., Wills, J. M.: Convex-Faced Combinatorially Regular Polyhedra of Small Genus. Symmetry, 4, 1-14 (2012) doi:10.3390/sym4010001 35. S´equin, C. H.: My Search for Symmetrical Embeddings of Regular Maps. Conf. Proc., Bridges Pcs, Hungary, pp 85-94 (2010) http://archive.bridgesmathart.org/2010/bridges2010-85.html 36. S´equin, C. H.: Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps. Symmetry Festival, Delft, the Netherlands, August 2-7, pp. 31-34 (2013) Symmetry: Culture and Science (ISSN 0865-4824), Vol.24, Numbers 1-4, pp. 155-170 (2013) 37. van Wijk, J. J.: Symmetric tiling of closed surfaces: visualization of regular maps. Conf. Proc. SIGGRAPH, New Orleans, pp 49: 1-12 (ACM Transactions on Graphics), 28 (3): 12 (2009) doi: 10.1145/1531326.1531355

Literaturangaben zum 8. Kapitel mit der Überschrift Reguläre Karten aus dem Buch J. Bokowski, Schöne Fragen aus der Geometrie, Springer Spektrum 2020--Perleberger15 (Diskussion) 20:00, 18. Jan. 2022 (CET)

Deutsche Bearbeitung der englischen Seite Regular map (graph theory)

Ich habe begonnen, die englische Seite Regular map (graph theory) als eine deutsche Seite Reguläre Karte zu erstellen.

Die Einleitung enthält jetzt insbesondere den letzten Satz, der den Bezug zu Polyedern herstellt.

In der Mathematik ist eine reguläre Karte eine symmetrische Zerlegung einer geschlossenen kombinatorisch vorgegebenen Fläche. Genauer gesagt ist eine reguläre Karte eine Zerlegung einer kombinatorisch gegebenen zweidimensionalen Mannigfaltigkeit (z. B. einer Kugel, eines Torus oder einer reellen projektiven Ebene) in topologische Scheiben, sodass jedes Paar zweier Fahnen (Fahne = inzidentes Tripel (Ecke, Kante, Seite)) durch eine Symmetrie der Zerlegung (gegeben als eine Permutationsgruppe) vertauscht werden kann. Reguläre Karten sind daher topologische Verallgemeinerungen platonischer Körper. Die Theorie der Karten und ihrer Klassifikation steht in Verbindung mit der Theorie der Riemannschen Flächen, der hyperbolischen Geometrie und der Galois-Theorie. Reguläre Karten werden entweder nach dem Geschlecht, der Orientierbarkeit der Fläche, dem zugrunde liegenden Graphen oder der Automorphismusgruppe klassifiziert. Neben der Klassifikation werden topologische und polyedrische dreidimensionale euklidische Einbettungen mit geometrischen Symmetrien studiert. --Perleberger15 (Diskussion) 23:27, 20. Jan. 2022 (CET)

Beispiele für Polyeder mit einer bestimmten Flächenzahl

Auf der Seite Beispiele für Polyeder mit einer bestimmten Flächenzahl

könnte man vier kleine symmetrische Polyeder aufnehmen.

Die kombinatorische Beschreibung stammt von Möbius.

Diese vier symmetrischen Polyeder haben nur sieben Ecken.

Je zwei Ecken sind durch eine Kante verbunden.

Sie haben daher 21 Kanten. Die Anzahl der Flächen ist 14.

Das Modell von C. Reinhard, von dem Möbius schreibt, hatte offenbar Selbstdurchdringungen.

Es ist wohl besser, vom Möbius-Torus zu sprechen. Császár kannte die Literaturstelle von Möbius nicht.

Es gibt auch den Wikipedia-Eintrag, in dem vom Császár-Polyeder gesprochen wird.

Dort gibt es aber noch keinen Hinweis auf Möbius und die Arbeit von 1991.

Die Literaturangaben dazu:

Bokowski, J., Eggert, A.: All Realizations of Möbius’ Torus with 7 Vertices. Structural Topology 17, 59-76 (1991)

Bokowski, J., Schöne Fragen aus der Geometrie, Springer Spektrum, Kapitel 3.

Császár: A Polyhedron Without Diagonals, Acta Sci. Math. (Szeged) 13 (1949), 140–142

Möbius, A. F.: Gesammelte Werke II. Hrsg. Felix Klein, Neudruck der Ausgabe von 1886, p. 552 ff. (1967)

Reinhard, C.: Zu Möbius’ Polyedergeometrie. Berichte der Königlich sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften (1885)

YouTube Videos:

 https://youtu.be/3DMztLCzK_w

 https://youtu.be/6GhtRzemOwU (nicht signierter Beitrag von Perleberger15 (Diskussion | Beiträge) 14:22, 21. Jan. 2022 (CET))

Art der Seitenflächen

Der Text hatte bisher suggeriert, dass Polyeder beliebiger Flächenzahl nur aus Dreiecken bestehen könnten. Das stimmt jedoch nicht: Bei einem nur von Dreiecken begrenzten Polyeder mit F Flächen und der Tatsache, dass an jeder Kante zwei Flächenseiten zusammenfallen, ergibt sich die Anzahl der Kanten K nach der Formel $K={\tfrac {F\cdot 3}{2}}$. Bei ungeradem F ergibt das aber keine ganze Zahl. Ergo können nur bei geradem F alle Flächen Dreiecke sein. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 01:53, 1. Jan. 2023 (CET)

Duales Polyeder

Keine gute Erklärung, auch die Verlinkung hilft nicht weiter.—Ilse Ongkim (Diskussion) 11:39, 4. Jul. 2023 (CEST)

Ich bin nicht sicher, auf welche Passage genau du dich beziehst. Den Satz "Das Dual eines konvexen Polyeders kann durch polare Hin- und Herbewegung erhalten werden" habe ich jedoch eben mal entfernt und auch das Beispiel genauer ausgeführt. Hope this helps.

--Welt-der-Form (Diskussion) 23:04, 4. Jul. 2023 (CEST)

Es wird nicht richtig erklärt, wie man den dualen Polyeder bekommt. Man sollte sagen, dass zwei Ecken durch eine Kante verbunden werden, wenn die entsprechenden Flächen im Ursprungspolyeder eine gemeinsame Kante hatten, und dann erklären, welche Flächen mit welchen Rändern es im dualen Polyeder gibt.—Ilse Ongkim (Diskussion) 23:39, 4. Jul. 2023 (CEST)

Der Artikel verzichtet, denke ich, aus gutem Grund auf eine Konstruktionsbeschreibung, denn das Dual ist ja nicht nur ein kombinatorisches Objekt, sondern auch ein geometrisches. Ich habe aber die Definition mal näher ausgeführt... --Welt-der-Form (Diskussion) 18:31, 5. Jul. 2023 (CEST)

Polyeder müssen nicht dreidimensional sein

Der erste Satz lautet "Ein Polyeder ist ein dreidimensionaler Körper". Laut "Lectures on Polytopes" von Ziegler, immerhin eines der bekanntesten Bücher zum Thema Polytope (und natürlich Polyeder) ist das viel zu speziell formuliert. Ich weiß, dass jetzt vermutlich das Gegenargument kommt, dass es dort um konvexe Polyeder (beliebiger endlicher Dimension) geht, aber das sind eben die Objekte, die die meisten Mathematiker unter Polyeder verstehen und die sind nach dem ersten Satz gedanklich raus. Das sollte viel allgemeiner formuliert werden. Kann auch gern einen Vorschlag machen, falls hier in den nächsten Tagen/Wochen nicht groß Widerrede kam. --BumbleMath (Diskussion) 12:46, 10. Jan. 2024 (CET)

Bei nur zwei Dimensionen ist es ein Polygon und bei mehr als drei Dimensionen entstehen mathem. abstrakte Objekte, welche man nur in einem separaten Abschnitt betrachten kann. Im Intro ist m. E. die allgemein übliche Definition zu verwenden. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 15:03, 10. Jan. 2024 (CET)

Die Definition ist eben nicht allgemein üblich. Ein Polyeder ist in weiten Teilen der Mathematik die Menge, welche als Schnitt von Halbräumen entsteht. Siehe eben zitiertes Buch von Ziegler. --BumbleMath (Diskussion) 16:04, 10. Jan. 2024 (CET)

Die Diskussion wird übrigens mittlerweile hier fortgesetzt, da sie doch tief zu greifen scheint. --BumbleMath (Diskussion) 18:36, 11. Jan. 2024 (CET)