Diskussion:Polynomring

Polynome sind im Allgemeinen keine Funktionen

Polynome sind im Allgemeinen keine Funktionen, als Beispiel könnte man $\mathbb {F} _{2}[X]$ nehmen, deshalb sollte man vieleicht die Überschriften der Absätze ändern oder es zumindestens erwähnen... Genauere Erläuterungen findet man unter https://www.math.hu-berlin.de/~roczen/software/laidx3f.htm Paragraph 1/2/14. (Bin da nämlich selber noch nicht so fit drinnen :) Gruß Azrael. 23:14, 26. Aug. 2007 (CEST)

Hier ein Link, wo das alles ausführlich erklärt ist: http://de.wikipedia.org/wiki/Polynomring --80.136.131.45 14:15, 17. Sep. 2007 (CEST)

Häh das ist doch der Artikel hier?? Naja auf jedenfall sind es noch immer keine Funktionen sondern nur Abbildungen. Gruß Azrael. 01:03, 29. Sep. 2007 (CEST)

Was haben denn Funktionen für zusätzliche Eigenschaften gegenüber „nur Abbildungen“? —Markus Prokott 21:49, 30. Sep. 2007 (CEST)

Evtl. meinte er eigentlich, dass Polynome erstmal endliche Folgen mit Faltungsmultiplikation sind. Eine endliche Folge ist natürlich auch eine Abbildung, das ist aber, denke ich, überinterpretiert. Nebenbei ist es richtig, dass Funktionen=Abbildung, nur Funktionale sind meist etwas spezieller definiert.--LutzL 11:15, 1. Okt. 2007 (CEST)

Habe mir mal die Seite, die er verlinkt hat, angeschaut. Da steht wortwörtlich überschrieben „Polynome sind keine Funktionen“, und zwar auf Seite 3 in [1]. Gemeint ist dort was ganz Richtiges, die Überschrift ist aber doch potenziell missverständlich formuliert. Was tatsächlich gemeint ist, steht im zusammenfassenden Satz weiter hinten: „Ein Polynom ist also im Allgemeinen nicht durch die Funktion bestimmt, die wir durch Einsetzen von Elementen des Grundringes daraus bilden können.“; sprich, ein Polynom bestimmt (eindeutig) eine entsprechende Funktion, diese bestimmt aber umgekehrt nicht (eindeutig) ein Polynom. Oder anders: Die induzierte Polynomfunktion und das dieselbe induzierende Polynom sind streng zu unterscheiden. Das erste ist (selbstverständlich) eine Abbildung (oder Funktion), das andere hat erstmal nichts mit Abbildungen zu tun, egal ob man's als Folge oder als operativen Ausdruck darstellt, sondern ist einfach ein gewisses Element einer gewissen Menge, und – ganz wichtig – sie entsprechen auch nicht in irgendeiner Art Eins-zu-Eins einander, so dass man vereinfachend das eine als das andere interpretieren könnte.

Formal wird da gesagt, dass…

(1): der Polynomring $R[X]$ keine Menge von Abbildungen ist;

(2): die (dort nicht erklärte) Abbildung

$Funk_{Q}:R[X]\rightarrow \operatorname {Abb} (Q),\quad f_{\mathrm {Poly} }\mapsto f_{\mathrm {Funk} },$

die jedem Polynom $f_{\mathrm {Poly} }\in R[X]$ die zugehörige Polynomfunktion $f_{\mathrm {Funk} }\in \operatorname {Abb} (Q)$ über $Q$ zuordnet (aus der Menge $\operatorname {Abb} (Q)$ der Abbildungen von $Q$ in sich), nicht injektiv ist.

Wobei $Q$ ein Erweiterungsring von $R$ (dort: $R$-Algebra) ist und $f_{\mathrm {Funk} }$ punktweise auf $Q$ definiert ist durch

$f_{\mathrm {Funk} }(q)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \Phi _{q}(f_{\mathrm {Poly} })\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ q\in Q,$

mit $\Phi _{q}(f_{\mathrm {Poly} })\in Q$ als dem Bild von $f$ bei demjenigen Einsetzhomomorphismus

$\Phi _{q}:R[X]\rightarrow Q,\quad p\mapsto p(q),\quad \sum _{\cdots }a_{i}X^{i}\mapsto \sum _{\cdots }a_{i}q^{i}$

der $X$ auf $q$ abbildet.

Interessante Website übrigens. Obwohl ich einige Zeit gebraucht habe, um die Navigation zu kapieren.

Jetzt müssen wir natürlich noch kuggen, ob da ein diesbezüglicher Mangel im Artikel ist, oder ob's ein Missverständniss von Azrael war; schließlich gilt die Katze von Gargamel als Tollpatsch. ;-)

—Markus Prokott 15:20, 4. Okt. 2007 (CEST)

Im Beispiel Ein Polynom über einem endlichen Körper ist ein Fehler. Der Einsetzhomomorphismus ist nicht die Nullfunktion sondern X^q -q liegt im Kern aller Einsetzendomorphismen von K_q. (nicht signierter Beitrag von 188.107.212.6 (Diskussion) 13:06, 29. Aug. 2010 (CEST))

Definition <-> Konstruktion

Der Abschnitt Defintion stellt so wie ich das sehen lediglich die Konstruktion eines Polynomringes dar. Ich stelle mal die Definition, so wie ich sie kenne hier rein:

Polynomring über $K$ heißt jedes Tripel $(K[t],t,\eta )$ bestehend aus einem kommutativen Ring $K[t]$ mit 1, ausgezeichnetem Element $t$ und Ringmonomorphismus $\eta :K\to K[t]$, das die folgende universelle Eigenschaft hat:

Zu jedem Ring $R$ mit 1, jedem $r\in R$, jedem Ringhomomorphismus $\varphi :K\to R$ gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus $\Phi :K[t]\to R$, so daß $\varphi =\Phi \circ \eta$ und $\Phi (t)=r$. --Momo ∇ 22:08, 30. Jun. 2008 (CEST)

Eine kleine Bemerkung zum Teil "Definition: Der Polynomring": Die geläufige Polynomschreibweise ergibt sich doch eigentlich erst, wenn man a_k:=(a_k,0,...) setzt. Dann ergibt sich aus der zuvor erklärten Multiplikation tatsächlich die übliche Darstellung, d.h. z.B.: a_k \cdot x^k. So wie es hier aufgeschrieben ist, ist a_k \cdot x^k gar nicht definiert. [StS] (nicht signierter Beitrag von 217.93.84.161 (Diskussion) 20:23, 25. Dez. 2019 (CET))

Ringe mit 1 und Ringe ohne 1; Inkonsistenzen

Ich kenne Polynomringe nur für Ringe mit 1. Der Artikel startet mit allgemeinen Ringen, erwähnt dann, dass man bei Ringen mit 1 das Polynom X definieren kann und arbeitet dann nur noch mit Polynomen mit X weiter, ohne die zusätzliche Voraussetzung zu erwähnen. Mein Vorschlag: 1 als Voraussetzung reinnehmen, Ringe ohne 1 (und anderes) in Verallgemeinerungen reinnehmen.--Frogfol (Diskussion) 21:57, 5. Okt. 2013 (CEST)

Ich hab die 1 als Voraussetzung mit reingenommen, der Artikel ist dann konsistenter. Selbst Meyberg (der euklidisch ohne 1 definiert) definiert den Polynomring nur für Ringe mit 1. Für Ringe ohne 1 würde der Polynomring auch anders aussehen, wenn man denn einen haben möchte.--Frogfol (Diskussion) 13:40, 11. Okt. 2013 (CEST)

Was hältst Du davon, eine abstrakte formale Definition wie in dem vorhergehenden Abschnitt angedeutet für die Definition zu verwenden, und den derzeitigen Definitions-Abschnitt in Konstruktion umzubenennen?--LutzL (Diskussion) 16:11, 11. Okt. 2013 (CEST)

Ich verstehe nicht genau, was du meinst. Möchtest du Ringe ohne 1 drinnen lassen. Meine Algebrabüchern brauchen bei Polynomringen komm. Ringe mit 1. Wenn es Quelle gibt, die Polynomringe für Ringe ohne 1 definiert, dann sollte man das - so wie in der Quelle beschrieben - einpflegen, aber mE erst unter Verallgemeinerung. Der Begriff ist ja relativ elementar, da sollte sich ein Student im ersten Semester schnell orientieren können. Das wird erschwert, wenn zuerst ohne 1 definiert wird, für fast alle Aussagen dann aber die eins gebraucht/ vorausgesetzt wird, zT wie im Artikel auch nur implizit. zT hab ich schon ein wenig aufgeräumt (zB [2], man sieht dem Artikel aber immer noch zu sehr an, dass er nicht aus einem Guss ist. Mein Ziel wäre es, einen übersichtlichen, lesbaren Artikel hinzubekommen. Dann kann man Verallgemeinerungen noch hinzufügen. (So man denn eine Quelle findet.)--Frogfol (Diskussion) 20:59, 11. Okt. 2013 (CEST)

Nein, ich meinte den Diskussionsabschnitt eine Etage höher, "Polynomring über $K$ heißt jedes Tripel $(K[t],t,\eta )$,...". Das bräuchte natürlich auch eine Quelle und eine Qualifikation von K. -- Selbst die Konstruktion braucht die 1 für die Definition des Generators, d.h., Ringe ohne 1 müsste man durch eine "externe" Eins erweitern. Diese Feinheit sollte wirklich in eine Anmerkung ausgelagert werden. -- Das globale Problem ist, dass eigentlich jeder Interessierte irgendwie schon eine Vorstellung davon hat, was ein Polynom oder zumindest eine Polynomfunktion ist. Um den Artikel verständlich zu machen, müsste darauf eingegangen werden, warum diese Klimmzüge für den Polynomring notwendig sind. "van der Waerden: Algebra I" beschreibt recht elementar den Polynomring durch erst die Mengenerweiterung um ein externes Element x, definiert dann die algebraischen Eigenschaften von x und damit der Ringerweiterung und geht dann auf die Einsetzungsmorphismen ein. "Artin: Algebra" startet mit formalen Polynomen in einer undefinierten symbolischen Variablen und arbeitet sich dann zur abstrakten Definition als endliche Koeffizientenfolge vor. Später wird der Polynomring als das universelle Objekt unter den Ringerweiterungen durch Adjunktion eines Elements charakterisiert.--LutzL (Diskussion) 00:15, 12. Okt. 2013 (CEST)

sry, mein Fehler. Ich hatte "Abschnitt" gelesen, aber "Absatz" verstanden. Und nein, diese Definition sollte mE auf keinen Fall verwendet werden. Denn ein Leser, der "universelle Eigenschaft" versteht, versteht sowieso schon, was ein Polynomring ist. Hier sollte elementarer definiert werden, allerdings dann auch nicht so elementar wie in Polynom, dafür gibt es ja diesen Artikel. Und der Polynomring für Ringe, die nicht kom oder ohne 1 sind, sollte dann in Verallgemeinerung abgehandelt werden. Ich denke, ich schreibe den Artikel ganz neu, werde aber unter einem eigenen Abschnitt (nicht Absatz^^) Vorschläge machen. --Frogfol (Diskussion) 22:46, 14. Okt. 2013 (CEST)

Edit: Und natürlich ja, die universelle Eigenschaft gehört rein--Frogfol (Diskussion) 23:28, 14. Okt. 2013 (CEST)

Wobei man dann, mit der universellen Eigenschaft, wieder am Anfang ist. Die Faltungsalgebra endlicher Folgen über R braucht keine 1. R[x] als minimale Ringerweiterung mit einem freien Element x enthält aber zwingend dieses Element x. Dessen Koeffizientenfolge (0,1,0,...) impliziert eine Art 1 in der Erweiterung. Folgt daraus auch schon, dass R[x] ein Einselement haben muss?--LutzL (Diskussion) 12:56, 24. Okt. 2013 (CEST)

Und wieder stellt sich heraus, dass Mathematik die Kunst ist, eine Fragestellung solange auf ihren Kern zu reduzieren, bis sie zu ihrer eigenen Antwort wird. Die Antwort ist nein, da man das Faltungsmodell so anpassen kann, dass man die endlichen Folgen in $R\times R'\times R'\times \dots$ betrachtet, wobei $R'=R\cup \{1\}$ mit einer externen 1, falls R keine enthält, und natürlich, da 1a=a auch für die interne 1 gilt, falls vorhanden, $R'=R$ für Ringe mit 1. Dies ist dann tatsächlich eine Ringerweiterung, und sie ist echt kleiner als $R'[x]$, falls R ohne 1 ist.--LutzL (Diskussion) 13:45, 24. Okt. 2013 (CEST)

Man muss $R[X]$ nicht als Ringerweiterung sehen, sondern kann es rein über die endlichen Folgen definieren, auch im Fall, wenn $R$ ohne Eins ist. Es gibt dann das Polynom $X$ zwar nicht, aber ist das schlimm? Die Struktur ist trotzdem ein Ring (ohne Eins).

Vorschlag für eine zugänglichere Darstellung

Definition

Der Polynomring R[x] über einem kommutativen Ring R mit Einselement fügt diesem ein neues Element x hinzu, so dass weiterhin die Rechenregeln eines kommutativen Rings gelten, insbesondere also ax=xa für jedes Ringelement a gilt. Als Folge der Rechenregeln enthält R[x] auch

• alle Potenzen x²=xx, x³=xx²,..., xⁿ und
• die mit diesen gebildeten endlichen Summen $a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$, die Polynome in x mit Koeffizienten in R.

R[x] ist minimal in dem Sinne, dass die Polynome in x schon alle Elemente dieser Ringerweiterung sind. x ist frei (algebraisch frei über R), indem keine (nichttriviale) dieser Linearkombinationen sich zu Null reduziert.

Referenz: "van der Waerden: Algebra I"

Konstruktion

Jedes Polynom aus R[x] ist eindeutig durch seine Koeffizientenfolge charakterisiert. Umgekehrt kann mit der Menge der endlichen Folgen über R eine konkrete Realisierung des Polynomrings konstruiert werden... (weiter wie bisher)

--LutzL (Diskussion) 12:54, 24. Okt. 2013 (CEST)

Hallo, erstens hab ich mir erlaubt, deinen Beitrag zu verändern. Das diente der besseren Bearbeitungsmöglichket, außerdem schien so ein Beitrag unsigniert zu sein.

Deine Bearbeitung geht mE schon in die richtige Richtung, ist aber für Ringe ohne 1 falsch, wenn ich das richtig sehe, und zwar sowohl in der universellen Aussage als auch in der Definition. Hast du eine Quelle dafür, dass bei Ringen ohne 1 das so definiert wird?--Frogfol (Diskussion) 01:06, 27. Nov. 2013 (CET)

Edit: ME sollte man sich in der Def auf Ringe mit 1 beschränken. Für andere Ringe kann man dann in einem weiteren Abschnitt noch verweisen. Man hat drei Möglichkeiten, R[X] zu definieren: 1. Über Koeffizienten, analog also zu Ringen mit 1, nur dass man kein X in R[X] hat. Dafür hat man aber einen Einsetzungshomomorphismus.2. Über die universelle Eigenschaft (in der Kat Ringe ohne 1!). Das ist dann glaub ich sowas wie R+RXZ[X]. (Der Ring hat übrigens nie eine 1) 3.Wie du das vorschlägst.--Frogfol (Diskussion) 01:30, 27. Nov. 2013 (CET)

Im Prinzip ist das eh alles ein großer Zirkelschluss, die universelle Definition samt Konstruktion könnte genausogut oder vielleicht sogar mit größerem Recht im Adjunktionsartikel abgehandelt werden. Wäre nur schlecht, wenn dieser schwer verdauliche Brocken an zwei Stellen gepflegt würde. Die doppelte 1 in RxZ wird herausfaktorisiert, insofern ist diese Kurzschreibweise genauso "falsch" wie Ru{1}. In meinen Quellen habe ich nicht die Übersicht, ob in der Einleitung schon gesagt wird, dass alle Ringe eine 1 haben. Polynomringe über Ringen ohne 1 kommen praktisch z.B. vor, wenn die Polynome mit Koeffizienten in einem Ideal I betrachtet werden. Wobei man dann nachforschen müsste, ob I[X] als eigenständiger Polynomring benutzt wird oder doch als I*R[X]. Also ob (2Z)[X] das Polynom 2+X enthält oder nicht. In dieser Klarheit ausgeführt: wahrscheinlich nicht.--LutzL (Diskussion) 10:46, 27. Nov. 2013 (CET)

Nochmal: In der Form, wie das jetzt steht, ist das unbelegt und auch falsch. Ich denke, dass es besser ist, R[X] nur für Ringe mit 1 zu definieren. So macht das zB Lang.--Frogfol (Diskussion) 16:24, 27. Nov. 2013 (CET)

Unbelegt mag stimmen, falsch müsstest Du konkretisieren. van der Waerden definiert Polynome ohne Rücksicht auf Einselemente, alle Monome haben dann einen Ringkoeffizienten, die Variable X selbst ist dann nur ein Polynom, wenn es ein Einselement gibt. Artin setzt implizit die Existenz eines Einselementes voraus, wenn er Adjunktion von Elementen allgemein diskutiert. Lang: Algebra folgt van der Waerden. -- Ich würde sagen, die Literatur sagt, dass die Erwähnung der 1 aus der Definition und folgendem vollkommen raus muss. Die Eigenschaft, dass X und dessen Potenzen zum Polynomring gehören, wird dann in eine Nachbemerkung über unitäre Ringe delegiert.--LutzL (Diskussion) 19:25, 27. Nov. 2013 (CET)

1. Warum deine Änderung falsch ist: Es wird bei deiner Definition gesagt, dass deine Konstruktion eine universelle Eigenschaft hat. Das ist falsch. Insofern konterkarrierst du durch die Einführung der von dir ausgedachten (oder sehe ich das falsch?) Konstruktion die Definition durch eine universelle Eigenschaft. Man kann zwar auch für nicht-kommutative Polynome einen solchen Polynomring finden, der sieht dann aber anders aus: Das ist dann R+M/U, wobei M der freie Modul ist, der durch die Symbole i*x^j (i,j>0) erzeugt wird und U der Untermodul ist, der dafür sorgt, dass Addition und Multiplikation ordentlich definiert werden können und dass die Distributionsgesetze erfüllt sind. Für Ringe mit 1 kommt dann der gewöhnliche R[X] raus.
2. Dass das ohne Quellen sowieso raus muss, ist dir als alter Wikipedianer doch eigentlich auch klar, oder? Und wobei sich mir die Frage stellt, warum du dir eine Konstruktion selbst ausdenkst und die dann in zwei Artikel schreibst?
3. Zur Literatur: Oben hatte ich doch schon geschrieben, dass Lang eine 1 voraussetzt. Warum schreibst du dann, dass Lang van der Waerden folgt? Bei Lang haben sogar Ringe immer eine 1, deshalb braucht er das bei den Polynomringen nicht mehr vorauszusetzen. Beim Lesen der weiteren Abschnitte wird dann sofort deutlich, dass die Ringe eine 1 haben. Im Meyberg habe ich auch noch geschaut, dieser setzt explizit eine 1 voraus.
4. Polynomringe von Ringen ohne 1 werden nirgendwo gebraucht, ich denke, auch vdW kümmert sich nach der Def nicht mehr um sie. Der Artikel sollte spätestens im 1. Semester verstanden werden. Wo begegnet man denn Polynomringen von Ringen ohne 1?5. Auch vor deinem Edit war der Artikel unübersichtlich. Mal wurde dann eine 1 vorausgesetzt, mal nicht, mal wurde es explizit erwähnt, mal nicht. Es waren und sind dadurch kleine Fehler im Artikel, außerdem wird der Artikel unübersichtlich, also schlecht lesbarer. Eine klare Def am Anfang ist dann besser. Dann kann alle Eigenschaften und Sätze für diese Ringe hinschreiben, zum Schluss noch Verallgemeinerungen erwähnen. Letzlich ist der Artikel mit den unterschiedlichen oder zu allgemeinen (weil nicht notwendigen) Definitionen schwerer zu warten, weil dann häufig User Ergänzungen einfügen, die nur mit einer bestimmten Def gültig sind.--Frogfol (Diskussion) 19:50, 28. Nov. 2013 (CET)

Wenn Du das so definitiv sagen kannst, nimm es raus und mach alles mit 1. Die universelle Eigenschaft steht in etwa so in Artin: Algebra drin, aber ist natürlich aus oben angegebenen Gründen widersprüchlich. Bitte diesen Artikel im Zusammenhang mit dem Adjunktionsartikel sehen, damit keine Kreisverweise entstehen. Lang definiert den Polynomring als Gruppenalgebra über einer freien zyklischen Halbgruppe, irgendwas in der Abstraktheit sollte erhalten bleiben, die Konstruktion ist nur etwas mehr praktikabel als die Dedekind-Schnitte zum Rechnen mit reellen Zahlen. D.h., im Allgemeinen will man vernachlässigen, was die Variable genau ist, aber einmal sollte es eine explizite Erklärung geben.--LutzL (Diskussion) 20:04, 28. Nov. 2013 (CET)

Überarbeitung

Der Artikel wurde komplett überarbeitet.

1. Es wird jetzt immer eine 1 vorausgesetzt.
2. Viele kleine Fehler wurden beseitigt
3. Struktur hab ich übersichtlicher gestaltet, Sprache wurde überarbeitet

Es ist noch geplant:

1. Struktur soll noch besser werden
2. universelle Eigenschaft kommt wieder rein
3. ohne 1 kommt auch in Verallgemeinerung wieder rein.

den Baustein nehm ich erstmal wieder raus.--Frogfol (Diskussion) 16:50, 29. Nov. 2013 (CET)

Den Link auf den rationalen Quotientenkörper hab ich wieder rausgenommen. Da bemüht man sich, zwischen Polynomen und den induzierten Funktionen zu unterscheiden, und dann wird so eine Verquickung wieder verlinkt.^^. Jedenfalls stimmt der verlinkte Artikel nicht, da dort der Unterschied nicht gemacht wird.--Frogfol (Diskussion) 00:28, 30. Nov. 2013 (CET)

Gradsatz und Beispiel für <

User Spezial:Beiträge/Benutzer:134.61.130.155 irrt mit seinen Korrekturen vom 12.1.2015. Beispiel: $R:=\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$, $f:=1+2X\neq 0$ und $g:=1+3X\neq 0$ und beide vom Grad 1. Dann ist $f\cdot g=1+5X+6X^{2}=1+5X$ ebenfalls vom Grad 1 und $1=\operatorname {grad} (f\cdot g)<\operatorname {grad} (f)+\operatorname {grad} (g)=2$. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:35, 12. Jan. 2015 (CET)

Universelle Eigenschaft des Polynomrings

Wäre es nicht sinnvoll einen Abschnitt über die universelle Eigenschaft des Polynomrings hinzuzufügen? Dann könnten die Abschnitte zur Fortsetzung von Ringhomomorphismen auf die Polynomringe und zum Einsetzungshomomorphismus als Spezialfälle aufgeführt werden.--SigmaB (Diskussion) 14:06, 21. Jul. 2015 (CEST)

Polynomfunktion und Einsetzungshomomorphismus

Bitte, die Quelle "Fischer: Lehrbuch der Algebra, S.157-158" auch in den Artikel! --Nomen4Omen (Diskussion) 16:59, 27. Jul. 2016 (CEST)

Der Polynomring in mehreren Veränderlichen ("=" VS "≅")

Änderungswunsch:

Zwei Polynome sind gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind. Das sollte auch für multivariate Polynome gelten.

Das bedeutet aber, dass die Polynome $(X+1)Y,XY+Y$ und $YX+1$ unterschiedlich sind, denn die Koeffizienten-Vektoren ${\begin{pmatrix}X+1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}Y+1\end{pmatrix}}$ sind nicht identisch (nur isomorph).

Vergleiche das Kapitel in der englischen Wikipedia. --83.135.160.113 08:26, 9. Jan. 2024 (CET)