Diskussion:Prädikatenlogik erster Stufe

Beispiele

Das ist jetzt wohl nicht euer Ernst. Hier fehlen Beispiele Motivationen etc. . Ansonsten bleibt der Artikel unbrauchbar. (nicht signierter Beitrag von 85.181.51.195 (Diskussion) 13:08, 3. Feb. 2013 (CET))

Der Artikel beginnt doch mit einem motivierenden Beispiel, um die Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe zu motivieren. Zu weiteren Begriffsbildungen sind ebenfalls Beispiele vorhanden. An welcher Stelle könnte ein weiteres Beispiel hilfreich sein?--FerdiBf (Diskussion) 15:23, 3. Feb. 2013 (CET)

Unvollständig

Im Kapitel "Satz von Lindström" erscheint mir der letzte Satz unvollständig: Will man beide Sätze beibehalten, so die Prädikatenlogik erster Stufe also „das beste“, was man erreichen kann. --Panter Rei Πφερδ 17:35, 4. Apr. 2011 (CEST)

Das fehlende Verb ist eingefügt.--FerdiBf 13:51, 24. Jun. 2011 (CEST)

Fehlendes "für alle"

Im Abschnitt freie Variablen zum Schluss: $\forall v_{0}v_{1}+\!v_{0}v_{1}\equiv +v_{1}v_{0}$ Das ist eigentlich kein Satz, der Allquantor geht nur auf v0! Oder seh ich da was komplett falsch? --188.22.101.214 11:48, 21. Jun. 2011 (CEST)

Das siehst Du ganz richtig. Da hatte ich offenbar von einer üblichen Abkürzung und daher metasprachlichen Mitteilung einer Formel Gebrauch gemacht. Danke für den Hinweis, ich habe das fehlende $\forall$ eingefügt.--FerdiBf 13:49, 24. Jun. 2011 (CEST)

Teilgebiet?

Hat sich mit der Aussage, dass die Prädikatenlogik erster Stufe ein Teilgebiet der mathematischen Logik sei, jemand etwas besonderes bei gedacht? Die Prädikatenlogik erster Stufe ist doch ein formales System, und kein Teilgebiet – genauso wenig wie ein topologischer Raum Teilgebiet der Mathematik ist. --Chricho ¹ ² 21:38, 18. Feb. 2012 (CET)

Das stimmt schon so. Im Gebiet "Prädikatenlogik erster Stufe" betrachtet man: Sprachen, Formeln, Interpretationen, Modelle, formale logische Systeme, etc. Gruß, Wasseralm 20:48, 28. Feb. 2012 (CET)

Ok, es gibt keine feste Definition von Prädikatenlogik erster Stufe, man geht von diesem oder jenen Kalkül aus etc. Aber dennoch bezeichnet das Wort doch üblicherweise eine abstrakte Idee von gewissen Sprachen mit gewissen Kalkülen, Interpretationen etc., und nicht ein Teilgebiet, das sich mit solchen beschäftigt. --Chricho ¹ ² 01:45, 30. Mär. 2012 (CEST)

Kann jemand ein Beispiel nennen, wo die Prädikatenlogik erster Stufe ein Teilgebiet genannt wird? --Chricho ¹ ² ³ 23:56, 16. Jul. 2013 (CEST)

Aus der Encyclopedia Britannica (die Zahlen nehmen Bezug auf Terme, logische Verknüpfungen und Quantifikatoren) hier: When (1), (2), and (4) are considered, the field is the central area of logic that is variously known as first-order logic, quantification theory, lower predicate calculus, lower functional calculus, or elementary logic.

Aus Jaakko Hintikka: What is Elementary Logic? Independence-Friendly Logic as the True Core Area of Logic, Physics, Philosophy, and the Scientific Community Boston Studies in the Philosophy of Science Band 163, 1995, pp 301-326. Der zweite Absatz auf Seite 301 beginnt so: "Now what is the most basic part of contemporary logic, the true elementary logic? Most philosophers, and most logicians, would undoubtly answer: first-order logic, also known as quantification theory, lower predicate calculus or - nomen est omen - elementary logic. This part of logic was first developed explicitly by Frege. ..."

Die Prädikatenlogik erster Stufe ist nicht nur ein formales System sondern bezeichnet auch die gesamte Theorie solcher Systeme. Ein deutschsprachiges Zitat habe ich auf die Schnelle nicht gefunden, aber der Eintrag in der Encyclopedia Britannica sollte überzeugen. --FerdiBf (Diskussion) 13:56, 12. Aug. 2013 (CEST)

Gut, ich denke, die Sprechweise ist jedenfalls richtig, habe mir jetzt auch mal First-Order Logic von Smullyan angeschaut, das klingt auch recht deutlich dort. Aber sollte man vllt. in der Einleitung etwas dazu ergänzen, dass man das auch im Sinne eines Oberbegriffs für gewisse eng zusammenhängende formale Systeme und Semantiken verwendet? Dass der Begriff quasi zugleich die zentralen Untersuchungsgegenstände des Gebietes bezeichnet? Der Begriff ist ja schon etwas anders als sagen wir mal Funktionalanalysis – ein Satz der Prädikatenlogik erster Stufe ist etwas anderes als ein Satz der Funktionalanalysis. --Chricho ¹ ² ³ 14:30, 12. Aug. 2013 (CEST)

Motivierendes Beispiel?

Was an diesem Beispiel motivierend sein soll erschließt sich wohl nur Leuten die schon ganz genau wissen was die Prädikatenlogik erster Stufe genau ist. Da fehlt zumindest ein erklärender Satz was das ganze jetzt gebracht hat, wo das Problem war oder was das überhaupt mit Prädikatenlogik zu tun hat. -- 109.192.123.5 14:36, 28. Feb. 2012 (CET)

Ich habe am Ende des Beispielabschnitts ein paar Sätze über das nun folgende angefügt. Ich hoffe, dass diese bzgl. obiger Kritik Klarheit schaffen.--FerdiBf (Diskussion) 19:34, 29. Mär. 2012 (CEST)

Entschuldigung, aber dieses "Beispiel" ist der schlimmste Blödsinn, der mir je in der Wikipedia untergekommen ist. Wie, bitte, kann man die PL an einer Gruppe aufhängen, die ihrerseits über die ZF hergeleitet wird, die ihrerseits über die PL1 hergeleitet wird? Für genau so einen Zirkelbezugs-Mist samt mathematischen Schreibweisen, die nirgendwo erklärt sind, muss sich die Mathematik die Häme von Theologen gefallen lassen. Das "Urelement" ist ja schon Sündenfall genug, aber das hier ist so larifari aus der hybriden Hüfte geschossen, dass es eigentlich ohne Ankündigung gelöscht gehört. Die Wikipedia soll ein Lexikon sein, keine Nabelschau für Experten von Experten. --MrScoville (Diskussion) 21:19, 16. Jul. 2013 (CEST)

Hallo MrScoville! Ich denke nicht, dass die Lage so schlimm ist, wie du sie beschreibst. Ich gebe zwei Ansätze, wie man das Gruppenbeispiel rechtfertigen kann:

• Man geht davon aus, dass man seine Grundlagen der Mathematik schon geschaffen hat, etwa über ZF, kann aber auch ein ganz anderes System sein, eine gewisse Form von Arithmetik, Typentheorie oder was auch immer, Hauptsache ist zunächst nur, dass man ein wenig Arithmetik machen kann. Dann lässt sich innerhalb dieses Systems die Prädikatenlogik erster Stufe definieren, in dem Sinne, dass man Sätze der Prädikatenlogik erster Stufe als bestimmte Objekte definiert, deren Konjunktion, Disjunktion, Quantifizierung etc. definiert. Das geht alles mit Arithmetik (indem man Formeln als Zahlen kodiert und als solche direkt definiert). Wenn man Beweise betrachten will, dann muss man solche Beweisschritte definieren, geht auch mit etwas Arithmetik. Will man Modelltheorie definieren, braucht man einen Begriff von Strukturen, für die man dann formal definiert, wann eine Struktur ein Modell einer Formel ist. Hier spielen jetzt mehr Details der zugrundeliegenden Grundlagen der Mathematik ins Spiel. Wenn man zum Beispiel nur endliche Strukturen als mögliche Modelle betrachtet, reicht wieder etwas Arithmetik. Oder man kann etwa Strukturen betrachten, deren Relationen primitiv-rekursiv dargestellt werden können, dann braucht man schon etwas mehr Arithmetik. Oder man arbeitet eben, wie in der Mathematik am verbreitetsten, mengentheoretisch, definiert Strukturen als bestimmte Mengen, und legt dabei ZF zugrunde. Die grundsätzliche Idee von Formeln und Modellen ist aber jedenfalls erst einmal unabhängig von den konkreten Grundlagen der Mathematik. Und selbst wenn man sich für ZF entscheidet, welches auf der Prädikatenlogik erster Stufe aufbaut, dann kann man das wie folgt auffassen: Bei der Schaffung der Grundlagen der Mathematik, bei der Schaffung von ZF, ist man letztlich auf einige intuitive, nicht-formale, man mag sagen philosophische Begriffe angewiesen, da es ja die formale Mathematik noch gar nicht gibt. In einem solchen Kontext definiert man dann informell, was es heißt, einen Beweis in der Prädikatenlogik zu führen, und was Axiome von ZF sind. Innerhalb der nun geschaffenen formalen Mathematik kann man dann allerhand Strukturen betrachten, Gruppen, Vektorräume, oder aber eben auch Logiken. Eine davon ist die Prädikatenlogik erster Stufe, wie man sie formal definiert hat, und bei dieser ist es dann eben zufällig so, dass sie strukturell sehr den informellen Definitionen, die man der Mathematik zugrundegelegt hat, ähneln (das muss aber nicht so sein, wie gesagt, wenn man etwa Mathematik typentheoretisch aufgebaut hätte). Es ist dann aber ein philosophischer Schritt, die innerhalb der Mathematik mithilfe der formalen Definition der Prädikatenlogik erster Stufe gewonnenen Erkenntnisse auf die informell, philosophisch definierten Grundlagen der Mathematik anzuwenden. Es gibt da keine Zirkularität, es liegen einfach zwei verschiedene Begriffe von Prädikatenlogik vor. Ich denke, dieser Artikel geht (im Gegensatz zum eher auch philosophisch orientierten Artikel Prädikatenlogik) rein innermathematisch vor, beschreibt also die Prädikatenlogik erster Stufe und entsprechende Modellbegriffe im Kontext schon bestehender Grundlagen der Mathematik (die zum Beispiel ZF sein können). Eine Zirkularität besteht da wie gesagt selbst dann nicht, wenn man mit ZF arbeitet.
• Ein anderer Ansatz (der Aufgrund der Nennung von Modellen (Beispiele von Gruppen) und Isomorphie und dergleichen im Artikel wohl nicht verfolgt wird, aber auch denkbar wäre, wenn man mit Gruppentheorie starten möchte) wäre, das ganze gar nicht in einem formalen Rahmen wie ZF zu sehen, sondern eben „Gruppentheorie“ (wobei diese dann nur einen Bruchteil von dem darstellt, was die Gruppentheorie als Teilgebiet der Mathematik macht) direkt zu definieren, und zwar informell: Man definiert sich, was eine prädikatenlogische Formel der Gruppentheorie sein soll und dann, wie man darin Beweise macht. Viele formale grundlegende Eigenschaften von Gruppen kann man dann beweisen (sagen wir mal, dass alle Elemente einer Gruppe, deren zweite ebenso wie ihre dritte Potenz die Identität ist, die Identität selbst sind). Man hat dann quasi Gruppentheorie als Grundlage der Mathematik gewählt anstelle von Mengenlehre (diese Grundlage wäre aber zu schwach oder zumindest viel zu unkomfortabel, man könnte nicht viel machen, nicht einen Großteil der bekannten Mathematik darauf aufbauen, es ist nicht einmal sichergestellt, dass mehr als ein Objekt existiert). Hier startet man also ganz vom Anfang und es ist keine Zirkularität gegeben.

Hilft diese Erklärung weiter? Noch zu der Definition der Notationen: Die Sache ist die, dass diese Notationen wie „∀xx=x“ zwar in einem streng formalen Sinne definiert werden, sie werden aber einfach definiert als eine Kodierung für genau diesen Ausdruck. „∀xx=x“ ist also einfach nur ein formaler Ausdruck, eine Zeichenkette, nichts weiter. Da jetzt auszuführen, wie genau man diese Kodierungen formal vornimmt, ist nicht zielführend für eine Motivation. Was man mit diesen Ausdrücken nun machen kann, was Modelle davon sind, das definiert man alles erst später.

Ansonsten grundsätzlich und @all zu diesem Motivationsabschnitt: Allgemeinverständlich ist das nicht, das Beispiel ist weniger eine Motivation für Prädikatenlogik erster Stufe sondern ein Beispiel für das ganz spezifische mathematische Anwendungsgebiet „Axiomatisierung von Strukturklassen durch Prädikatenlogik erster Stufe“, die Wahl geordneter abelscher Gruppen erscheint mir auch nicht optimal, da da ganz viele Bedingungen ins Spiel kommen, die aber bezüglich der Demonstration von Möglichkeiten der Prädikatenlogik recht redundant sind. Für Philosophen und Leute ohne mathematischen Hintergrund ist es auch nicht brauchbar. --Chricho ¹ ² ³ 23:28, 16. Jul. 2013 (CEST)

Wo versteckt sich die klassische Schlussregel?

Ich kann aus dem Abschnitt "Mathematisches Schließen" die klassische Schlussregel A, A -> B |- B nicht herauslesen. Würde mich freuen, wenn mir das jemand herleiten könnte und vielleicht auch den Artikel ergänzt, da das ja eine sehr oft benutzte Schlussregel ist. --141.89.46.19 15:18, 5. Mär. 2013 (CET)

Den Beweis, dass diese von dir genannte Schlussregel – sie nennt sich Schnittregel und entspricht dem Modus ponens – im Sequenzenkalkül gültig bzw. überflüssig ist, liefert der Gentzensche Hauptsatz. Das ist ein bedeutender früher Satz der Beweistheorie, für den Beweis verweise ich dich auf den Artikel bzw. die dort angegebene Literatur. Für den Fall, dass du den Vollständigkeitssatz für die Prädikatenlogik schon kennst, kannst du den Satz natürlich auch modelltheoretisch leicht einsehen (die Implikation gilt in allen Modellen, also ist sie beweisbar). --Chricho ¹ ² ³ 16:08, 5. Mär. 2013 (CET)

OK, danke für die schnelle Antwort. Dazu noch eine Frage: Ich kenne den formalen Aufbau der Prädikatenlogik 1. Stufe nur im Zusammenhang mit entsprechenden Axiomen und dem Modus Ponens als einzige Schlussregel. Ich nehme an, dass sich diese Axiome beim Sequenzenkalkül ebenfalls in dessen Schlussregeln verbergen? --141.89.46.19 18:05, 5. Mär. 2013 (CET)

Vermutlich kennst du einen Hilbertkalkül. Ja, im Sequenzenkalkül lassen sich solche Axiome aus den Axiomen des Sequenzenkalküls (welche sich nur aus einem einzigen Schema ergeben) mit den Schlussregeln herleiten. --Chricho ¹ ² ³ 18:16, 5. Mär. 2013 (CET)

Wo genau steht dieses Schema im Artikel? --141.89.46.19 18:44, 5. Mär. 2013 (CET)

Das, was hier „Voraussetzungsregel“ genannt wird, kann man auch als Axiomenschema auffassen: Alle Sequenzen der Form $\phi \phi$ sind Axiome. Kann man natürlich auch als Schlussregel (allerdings eine ohne Voraussetzungen, was nichts anderes als ein Axiomenschema der Logik ist) auffassen. Was unter Gleichheit steht, wäre in dem Sinne auch ein Axiomenschema, mir ist allerdings eine Formulierung geläufig, in der man auf dieses verzichtet, weiß nicht, ob das hier so einfach geht. --Chricho ¹ ² ³ 18:58, 5. Mär. 2013 (CET)

Modell

Wie ist die zweite der Regeln zu verstehen? In den anderen Regeln steht rechts eine Aussage, die definiert, wann die linke Seite zutrifft oder nicht (falls ich das richtig verstanden habe). In der zweiten Regel steht eine "echte" Relation die zB 3+5 = 8 ergeben kann, wie definiert das, ob I ein Modell für Rt1...tn ist? --141.89.46.19 18:05, 5. Mär. 2013 (CET)

Ich verstehe gerade dein Problem nicht, aber ich versuche mal die Situation zu erläutern: $R$ ist ein Relationssymbol, das ist nur ein Symbol, von dem man die Stelligkeit kennt. $R^{\mathcal {A}}$ ist dagegen eine Relation, d. h. eine Menge von n-Tupeln. $R^{\mathcal {A}}({\mathcal {I}}(t_{1}),\ldots ,{\mathcal {I}}(t_{n}))$ ist nur eine andere Schreibweise dafür, dass $({\mathcal {I}}(t_{1}),\ldots ,{\mathcal {I}}(t_{n}))$ Element der Menge $R^{\mathcal {A}}$ ist. --Chricho ¹ ² ³ 18:22, 5. Mär. 2013 (CET)

Mein Problem ist hier, dass dort keine logische Aussage steht, die die linke Seite definiert. Wann darf ich denn behaupten ${\mathcal {I}}\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}$ ? Vielleicht hab ich gerade nur einen Knoten im Kopf und sehe das Offensichtliche nicht?(nicht signierter Beitrag von 141.89.46.19 (Diskussion) 19:38, 5. Mär. 2013 (CET))

Doch, das ist eine Aussage auf der rechten Seite, das ist die metasprachliche, mengentheoretische Aussage, dass $({\mathcal {I}}(t_{1}),\ldots ,{\mathcal {I}}(t_{n}))$ Element der Menge $R^{\mathcal {A}}$ ist. --Chricho ¹ ² ³ 19:00, 5. Mär. 2013 (CET)

Sorry, du hast natürlich recht! Das war für mich wohl etwas zu viel Symbolik auf einmal ;) Danke für die Klarstellung. --141.89.46.19 19:49, 5. Mär. 2013 (CET)

Bedeutung

Einleitend wird von der Bedeutung für die Mathematik gesprochen, allerdings ohne konkret zu sagen welche das sein könnte. So wie ich das sehe wurde die Formalisierung geschaffen, um einen klar umrissenen Gegenstand der Untersuchung zu haben. Und dieser Gegenstand soll, in erster Linie, gerade das natürliche/intuitive Schließen abbilden. Alle Aussagen über solche formalen Systeme, die sich aus dieser Untersuchung ergeben, lassen sich dann auch über die Mathematik machen -- d.h., insofern diese sich in einem solchen System überhaupt darstellen lässt. Kurz: Insofern sich Mathematik als Zeichenkettenmanipulation nach bestimmten Regeln darstellen lässt, treffen Allgemeine Erkenntnisse hierüber auch über die Mathematik zu. -- Ich bin kein Experte in der Sache und freue mich über Ergänzungen, Widersprüche, die mich eines besseren belehren :) --141.89.46.19 18:31, 5. Mär. 2013 (CET)

Naja, es wird schon etwas dazu in der Einleitung gesagt, ganz ähnlich, wie das, was du gesagt hast. Optimal erscheint mir das aber noch nicht. Die Bedeutung kommt daher, dass die bedeutendsten (und womöglich meisten) formalistischen Grundlegungen der Mathematik auf der Prädikatenlogik erster Stufe beruhen. Bloß wäre diese Aussage in der Einleitung nicht sehr allgemeinverständlich. Dazu, wofür sie erfunden wurde, siehe Begriffsschrift, kenne mich mit Freges Absichten nicht aus. --Chricho ¹ ² ³ 19:07, 5. Mär. 2013 (CET)

Die Bedeutung ist mir, unter anderem, auch deswegen nicht ganz klar, weil ich nicht erkennen kann, wo genau die Trennung zwischen der Prädikatenlogik 1. Stufe und der modernen Mathematik liegt. Hier besteht ja eine gewisse Zirkelhaftigkeit, weil schon viele mathematische Begriffe vorausgesetzt werden (zB Menge, Relation, die Menge der natürlichen Zahlen usw), auch Symbole ("$\in$", "="). Selbst, wenn man die Verwendung dieser Begriffe als irgendwie, naiv verständlich zuließe, ist es damit spätestens bei den ganzen Sätzen über die Prädikatenlogik, weiter unten im Artikel, vorbei: Da wird von Isomorphie, Basis, Topologie und Kardinalzahlen geredet - erst recht dann, wenn auch noch Unendlichkeit ins Spiel kommt. Das macht es mir schwer die Aussagekraft solcher Sätze und damit die Bedeutung der Prädikatenlogik richtig einzuordnen. Muss man die moderne Mathematik in diesem Fall doch als etwas unabhängiges ansehen und die Prädikatenlogik 1. Stufe "nur" als Beiwerk (das sich als eher beschränkt entpuppt hat, in Hinsicht auf die Unvollständigkeitssätze)? Praktisch benutzt den formalen Ansatz vermutlich kaum ein Mathematiker für seine Arbeit, denn das wäre unproduktiv, am ehesten noch Informatiker. - Ich bin da, wie gesagt kein Experte. Vielleicht helfen dir meine Fragen den Abschnitt "Bedeutung" besser zu gestalten? Ich würde mich jedenfalls über eine Antwort freuen! --141.89.46.19 20:49, 5. Mär. 2013 (CET)

Die Modelltheorie und den meisten anderen Kram, den du ansprichst, sind völlig unnötig, wenn man die Mathematik mit der Prädikatenlogik auf formale Beine stellen will. Weder braucht man das, was hier im Abschnitt „Semantik“ steht, noch das, was im Abschnitt „Eigenschaften“ steht. Was man als Grundlage braucht, ist eine Konzeption von Symbolfolgen und Regeln, die man voraussetzen muss, wenn man Mathematik zirkelfrei formal aufbauen will, um die Sprache und die Schlussregeln zu definieren. Mehr nicht. Diese Begriffe sind nicht nur äußerst einfach, sondern weisen auch eine besondere Klarheit auf. Deshalb lassen sich, sobald man die Mathematik einmal formal aufgebaut hat, innerhalb der Mathematik Dinge wie die Sprache der Prädikatenlogik und Schlussregeln auch formal (d. h. bei einer prädikatenlogischen Grundlegung der Mathematik per Prädikatenlogik) definieren. Diese Formalisierung dann ist eingebettet in die Mathematik, sodass sich der gesamte mathematische Apparat (Mengen, Relationen, die ganze Modelltheorie…) darauf werfen lässt. Man muss also zunächst unterscheiden zwischen der intuitiv definierten formalen Sprache, auf der man die Mathematik aufbaut, und der später innerhalb der Mathematik formal mathematisch definierten formalen Sprache der Prädikatenlogik. Es ist allerdings so, dass „jeder vernünftige Mensch“ davon ausgeht, dass sich mathematisch gefundene Erkenntnisse über letztere auf erstere anwenden lassen, sie also auch eine Bedeutung für die Philosophie der Mathematik haben. --Chricho ¹ ² ³ 21:17, 5. Mär. 2013 (CET)

Mir war nicht bewusst, dass man die Mathematik befriedigend mit so einem minimalen Satz an Formalismus aufziehen kann. Gibt es Literatur in der so etwas sauber durchgeführt wird? Mich würde interessieren das genauer nachzulesen. Denn auf den ersten Blick klingt das ganz nett, da die Zirkelhaftigkeit gebannt zu sein scheint. Ich sehe da aber schon eine ganze Reihe neuer (vlt eher alter) Probleme sich auftun, vor allem durch implizite Annahmen. Was zB haben diese Schlussregeln mit Vernunft zu tun; warum diese und nicht andere; was haben die Objekte, die ich so beschreibe, noch mit ihrer gedanklichen Entsprechung zu tun; wie lassen sich Aussagen über solche Objekte interpretieren; was sollen (logische) Aussagen sein?
Deinen letzten Satz kann ich dann, so ohne weiteres, nicht mehr teilen. Seine Schwäche drückt sich schon in der Formulierung "jeder vernünftige Mensch" aus - die ich in solchen Zusammenhängen zu oft höre. Mein "gesunder Menschenverstand" lässt mich jedenfalls erahnen, spätestens hier gibt es unüberwindbare Grenzen und zirkelhafte Gedankengänge. Gerade, was die entscheidenden Begriffe des Schließens, der Wahrheit, auch der Bedeutung und Aussagekraft angeht. Diese sollen ja zum Teil durch die zweite Formalisierung (Prädikatenlogik 1. Stufe) untersucht werden. Die Probleme des einfachen Formalen Ansatzes (weiter oben) bleiben und können dadurch nicht geklärt werden. Genau so etwas drückt sich auch in den Unvollständigkeitssätzen von Gödel aus. Philosophisch ist das wohl eher in diesem Sinne interessant.
Was also die Bedeutung (und Legitimation) angeht bin ich gerade nicht weiter, als: Es funktioniert halt! Zumindest in Bezug auf Naturwissenschaft und Technik. Dieses Funktionieren basiert hier, meiner Meinung nach, auf der Gegenständlichkeit der Zeichenketten und ihrer Mechanik (strenge Schlussregeln), was seine Entsprechung in der physikalischen Welt findet. - Ich bleibe also etwas unzufrieden zurück... --141.89.46.129 13:35, 6. Mär. 2013 (CET)

Das mit dem „jeder vernünftige Mensch“ war eher ironisch gemeint, in Analogie zum „gesunden Menschenverstand“, der auch so oft fehlschlägt. Ich wollte damit nicht Personen, die diese Schlussweise kritisieren, diffamieren, sondern mehr darauf hinweisen, dass eine solche Kritik möglich ist, zugleich aber diese Schlussweise etwas sehr Ansprechendes hat und entsprechende Verbreitung hat.

Zum Bezug zu Objekten: Bei einer formalistischen Auffassung von Mathematik kann man letztlich auf die Vorstellung von Objekten verzichten, es geht nur um Formeln, die man manipuliert, auf was für Objekte sie sich „beziehen“ mögen, was sie „bedeuten“, ist irrelevant. Solange man nur Mathematik betreiben möchte und keine Empirie oder Philosophie, ist das zumindest zufriedenstellend.

Zu einem formalen Aufziehen: Von Nicolas Bourbaki gibt es das Buch Théorie des ensembles (es existiert auch eine englische Übersetzung), welche als Lehrbuch gedacht ist, das im Sinne einer formalistischen Grundlegung dem Leser das erklären soll, was zum Aufbau der Mathematik notwendig ist. Es wird Mengenlehre basierend auf der Prädikatenlogik 1. Stufe betrieben. Das Buch ist aber in manchen Teilen etwas idiosynkratisch. Zudem wird in dem Sinne darauf verzichtet, mathematische Logik zu treiben, dass bewusst darauf verzichtet wird, diese „zweite Definition der Prädikatenlogik“ vorzunehmen. Formeln werden dort niemals als in der Objektsprache (also formal) beschriebene Objekte beschrieben, entsprechend finden sich dort auch praktisch keinerlei Aussagen der Modell- und Beiweistheorie. Um ein Lehrbuch der mathematischen Logik handelt es sich also nicht, es zielt nur auf die Grundlagen ab (und verliert sich gegen Ende noch ein wenig ins „Philosophieren“ über Strukturen). Was allerdings zweimal eingeführt wird, und wo man auch das von mir angesprochene Konzept sieht, sind die natürlichen Zahlen: Einmal informell, zur Behandlung der Symbolfolgen (wer Symbolfolgen aufzählen kann, verfügt damit schon in rudimentärer Weise über natürliche Zahlen), und einmal formal, im Rahmen der Mengenlehre, als Elemente der Menge aller natürlichen Zahlen, die auf gewisse Weise definiert wird.

Worauf du mit den Unvollständigkeitssätzen anspielst, habe ich nicht verstanden, was drückt sich darin aus? --Chricho ¹ ² ³ 19:54, 6. Mär. 2013 (CET)

Peano-Arithmetik vs ZF ?

Im Abschnitt "1. Stufe" wird gesagt: 'L_I^S sieht nicht vor, über alle Teilmengen einer Menge oder über alle Funktionen zu quantifizieren. So lassen sich die üblichen Peano-Axiome nicht in L_I^S ausdrücken, da das Induktionsaxiom eine Aussage über alle Teilmengen der natürlichen Zahlen macht. Das kann als Schwäche dieser Sprache angesehen werden, allerdings sind die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sämtlich in der ersten Stufe mit dem einzigen Symbol \in formulierbar, so dass die erste Stufe prinzipiell für die Mathematik ausreicht.'

Dies liest sich so, als ob die Peano-Axiome eben nicht als Prädikatenlogik erster Stufe realisierbar sind, die ZF-Mengenlehre aber schon. Das finde ich irreführend. Denn: Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre lässt sich nur als Prädikatenlogik erster Stufe schreiben, wenn man nicht nur endlich viele Axiome zulässt, sondern auch erlaubt, dass man Axiomenschemata verwendet. Wenn man das aber zulässt, ist es auch kein Problem, die Peano-Arithmetrik als Logik erster Stufe zu schreiben: Das Induktionsaxiom wird dann halt auch ein Axiomenschema mit einem Axiom pro Formel, die man per Induktion beweisen will.

Kurz gesagt: Sowohl die Mengenlehre, als auch die Peano-Axiome haben das gleiche Problem: Mit endlich vielen Axiomen ist es nicht zu machen, aber mit Axiomenschemata ist es kein Problem. Vielleicht kann man eine andere Formulierung finden. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 16:21, 28. Aug. 2013 (CEST)

Peano-Axiome ≠ Peano-Arithmetik. Die Peano-Axiome im üblichen Sinne sind ein Axiomensystem in Prädikatenlogik zweiter Stufe. Die Peano-Arithmetik dagegen ist eine schwächere, erststufige Theorie. Das „so dass die erste Stufe prinzipiell für die Mathematik ausreicht“ halte ich aber für eine seltsame Formulierung. --Chricho ¹ ² ³ 17:27, 28. Aug. 2013 (CEST)

Diese als seltsam empfundene Formulierung findet sich sehr ähnlich in "H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, VII, Seite 107 unten". Ich habe einen entsprechenden Beleg angefügt.--FerdiBf (Diskussion) 22:45, 28. Aug. 2013 (CEST)

Der Grund dafür, dass sie mir seltsam erscheint, ist der, dass die Eignung der Prädikatenlogik zweiter Stufe für die Grundlagen der Mathematik fraglich ist. Von dieser Sichtweise ausgehend ist es „seltsam“ zu sagen, die Mathematik sei so einfach, dass die Prädikatenlogik erster Stufe ausreicht, wenn es eben gar nicht klar ist, was auf Prädikatenlogik zweiter Stufe basierende Grundlagen sein sollen. In dem Abschnitt bei Ebbinghaus-Flum-Thomas findet soweit ich das sehe im Gegensatz zu hier keine Gegenüberstellung mit Prädikatenlogik zweiter Stufe statt. Dass sich Mathematik alles in allem in ZF(+C+AU) betreiben lässt, möchte ich ja nicht in Abrede stellen (auch wenn ja einige Typentheorie oder Klassenlogik propagieren). --Chricho ¹ ² ³ 00:26, 29. Aug. 2013 (CEST)

Oops, das mit der Peano-Arithmetik und den Peano-Axiomen hatte ich mir irgendwie anders gemerkt. Vielen Dank für die Aufklärung! Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 14:58, 29. Aug. 2013 (CEST)

Die Abschnitte "Isomorphien und Löwenheim-Skolem"

sind falsch, da weder die Mächtigkeit der Sprache noch endliche Strukturen beachtet werden, die sehr wohl bis auf Iso charakterisiert werden können.89.0.182.130 00:18, 15. Sep. 2013 (CEST)

Das war tatsächlich ungenau formuliert. Ich habe das präzisiert und ich hoffe, dass es jetzt passt. Vielen Dank für Deine Kritik!--FerdiBf (Diskussion) 11:23, 15. Sep. 2013 (CEST)

Danke auch, wäre mir eine gute Verbesserung eingefallen, hätte ich es selber gemacht.--89.0.181.184 23:17, 15. Sep. 2013 (CEST)

Kompaktheitssatz

Hab den link von Kompaktheit (Logik) auf Kompaktheitssatz geändert. Wegen der Doppeltverlinkung bin ich nicht wirklich glücklich. Aber der ursprünlich verlinkte Artikel ist eher über syntaktische Ableitung als über semantische. Hier wird es für die Semantik gebraucht. Gerade die Ebenen Syntaktik und Semantik auseinander zu halten ist mE nach für Anfänger sehr schwierig, daher die Ändererung.--Frogfol (Diskussion) 22:54, 21. Sep. 2013 (CEST)

Stufe oder Ordnung?

Heißt es "Prädikatenlogik erster Stufe" oder "Prädikatenlogik erster Ordnung"? - im Artikel kommt beides vor. Oder besteht gar ein Unterschied zwischen beiden Begriffen? --Heinrich Puschmann (Diskussion) 18:32, 17. Jan. 2014 (CET)

„Stufe“ ist im deutschen üblicher. „Ordnung“ ist exotisch, vmtl. ans Englische angelehnt, meint aber dasselbe. --Chricho ¹ ² ³ 20:54, 17. Jan. 2014 (CET)

Ich habe die Vorkommen von Ordnung durch Stufe ersetzt. Chricho hat völlig recht, im Englischen spricht man von first order logic. --FerdiBf (Diskussion) 09:18, 18. Jan. 2014 (CET)

Redundanz zu https://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik bereinigen!

Schon rein syntaktisch erwarte ich, daß die enzyklopaedische Beschreibung eines Begriffs, der mit "Praedikatenlogik erster Stufe" bezeichnet wird, mit der Phrase 'Eine Praedikatenlogik erster Stufe, ist eine <a href="...">Praedikatenlogik</a>, deren Stufigkeit eins betraegt.' anfaengt -- ok, die letzten vier Worte sind nicht ganz woertlich zu lesen, aber ich denke, Ihr ahnt, was ich erwarte.

Tatsaechlich ueberlappen sich die beiden de.wikipedia.org-Artikel zu Praedikatenlogik und Praedikatenlogik erster Stufe. Dem Leser ist mit dieser Doppelgleisigkeit wenig gedient.

Ich erwarte als Ueberarbeitungs-Strategie, im hiesigen Artikel alle Bestandteile nach "Praedikatenlogik" zu transfieren, die auf alle Praedikaten-Logiken zutreffen und nur die Bestandteile hier zu lassen, die gegenueber einer allgemeinen Praedikatenlogik die Eigenschaften der ersten Stufe spezialisieren. --- 2016-05-10, Markus

So einfach ist die Sache nicht gelagert. Üblicherweise führt man zuerst die Prädikatenlogik erster Stufe ein. Zu einem späteren Zeitpunkt erläutert man, wie man durch zusätzliche Quantifizierungen zu Prädikatenlogiken höherer Stufe kommt und wie sich dadurch die Theorie von der Prädikatenlogik erster Stufe unterscheidet. Die Prädikatenlogik erster Stufe ist aus diesem und anderen Gründen fundamental, ein wichtiger weiterer Grund besteht darin, dass man, wie in der Einleitung erwähnt, ZFC in der Prädikatenlogik erster Stufe beschreiben kann und daher Eigenschaften der Prädikatenlogik erster Stufe grundlegend für die gesamte Mathematik sind. Der vorliegende Artikel soll eine in sich geschlossene Einführung in das Themengebiet "Prädikatenlogik erster Stufe" leisten, er ist verständlich, ohne andere Prädikatenlogiken kennen zu müssen.

Deine Erwartung kann daher nicht erfüllt werden. Ein enzyklopädischer Artikel muss nicht immer vom Allgemeinen zum Speziellen gehen, insbesondere dann nicht, wenn das Allgemeinere schwerer verständlich ist. Das trifft man häufig an: Man kann über ganze Zahlen sprechen, ohne zu wissen was ein Ganzheitsring oder eine freie abelsche Gruppe ist, man kann über die newtonsche Mechanik sprechen, ohne sie als Grenzfall der Relativitätstheorie für kleine Geschwindigkeiten zu beschreiben, man kann über Säuren und Basen reden, ohne den Begriff der Lewissäure zu kennen, man kann Grammatiken gewisser Sprachen erläutern, ohne abstrakte grammatische Kategorien zu kennen. Für die meisten Menschen sieht ihre (Schul)bildung genau so aus, und den allermeisten Menschen ist bei einer Begriffsklärung mit einer Definition als Spezialisierung eines abstrakteren (und sehr wahrscheinlich noch weniger bekannten) Begriffs nicht geholfen.--FerdiBf (Diskussion) 22:15, 17. Jul. 2016 (CEST)

Zugrunde liegende Mengenlehre

Es fehlt ein Hinweis darauf, welche Mengenlehre den im Artikel verwendeten Begriffen "Menge", "Funktion", "Relation" zugrunde liegt. ZFC kann es nicht sein, denn diese hat die Prädikatenlogik erster Stufe als Grundlage. Folgt man dem Link im ZFC-Artikel hierher, kann der Eindruck eines Zirkelschlusses entstehen.--2003:6:5356:7E29:552E:20B1:58E2:231E 13:35, 22. Okt. 2020 (CEST)

Antezedenzregel ist falsch

Ist:

Antezedensregel: Falls man $\Phi \,\varphi$ bereits hat, so kann man zu $\Phi '\,\varphi$ übergehen, falls $\Phi \subset \Phi '$. Wenn man nämlich von $\Phi$ auf $\varphi$ schließen kann, so kann man das erst recht unter noch stärkeren Voraussetzungen tun.Antezedensregel

Soll:

Antezedensregel: Falls man $\Phi \,\varphi$ bereits hat, so kann man zu $\Phi '\,\varphi$ übergehen, falls $\Phi '\subset \Phi$. Wenn man nämlich von $\Phi$ auf $\varphi$ schließen kann, so kann man das erst recht unter der stärkeren Voraussetzungen $\Phi '$ tun.Antezedensregel

Ist meine Korrektur richtig? --RalfPoe (Diskussion) 17:44, 23. Aug. 2024 (CEST)

$\Phi \,\varphi$ soll bedeuten, dass $\varphi$ aus $\Phi$ folgt. Hat man eine Herleitung für $\Phi \,\varphi$, so kann man im Falle von $\Phi \subset \Phi '$ (das bedeutet, jeder Ausdruck in $\Phi$ kommt auch in $\Phi '$ vor, das habe ich im Artikel präzisiert), diese auch als Herleitung für $\Phi '\,\varphi$ ansehen, indem man die zusätzlichen Voraussetzungen aus $\Phi '$, die in $\Phi$ nicht vorkommen, ignoriert. Das ist die Ist-Variante, die auch im Artikel steht. Bei deiner Soll-Variante könnte man im Extremfall für $\Phi '$ die leere Folge nehmen, das heißt $\varphi$ ganz ohne Voraussetzungen herleiten. Beantwortet das die Frage? --FerdiBf (Diskussion) 12:00, 25. Aug. 2024 (CEST)

Ja, Deine Antwort, zeigt, dass meine Variante falsch ist und beantwortet meine Frage.

Zu Verständnis der Antezedensregel würde ich aber nicht von "stärkeren" sondern von "umfangreicheren Vorraussetzungen" bzw. von "umfangreicheren und somit stärkeren Vorraussetzungen" reden. --2001:9E8:6C29:7A00:83EF:563B:7241:B6B6 14:33, 25. Aug. 2024 (CEST)

Ja, das ist ein guter Formulierungsvorschlag. Ich habe im Artikel stärker durch umfangreicher ersetzt. --FerdiBf (Diskussion) 14:43, 25. Aug. 2024 (CEST)

Danke --2001:9E8:6C29:7A00:ECE8:1F75:2F9B:9705 17:57, 25. Aug. 2024 (CEST)