Diskussion:Quantor

Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel „Quantor“ zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Thema gehören nicht hierher. Für allgemeine Wissensfragen gibt es die Auskunft.

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Ein Element aus der Mathematik

Die Formulierung "ein Element aus der Mathematik" impliziert meiner Meinung nach, dass die Logik ein Teil der Mathematik sei. Sie ist aber auch ein Teil der Philosophie, und es gibt Logiker, die die Mathematik für einen Teil der Logik halten und nicht umgekehrt... lange Rede, kurzer Sinn: Statt "Mathematik" sollte da "Logik" stehen. Kommentare? -- mawa 19:59, 28. Jan 2005 (CET)

und manche halten Mathematik für Philosophie ;)

Beispiele ausformulieren

können die Beispiele ausformuliert werden, und vielleicht auch Beispiele aus dem echten Leben gegeben werden? Danke, --Abdull 19:14, 2. Mai 2005 (CEST)

Einsquantor

Die letzte Änderung ist falsch. Man kann für den Einsquantor (bedeutet *nicht* genau eins) auch Existenzquantor sagen und umgedreht.

Einsquantor ist eigentlich die korrekte Bezeichnung, Existenzquantor ist üblicher. Zu behaupten ensquntor wäre die Bezeichnung für *genau* eins ist falsch. Ich werde die letzte Änderung also rückgängig machen und bitte um Diskussion, falls jemand nicht einverstanden ist. PaCo 23:00, 20. Nov 2005 (CET)

Ich bin nicht damit einverstanden. Ich kenne kein Logikbuch, wo Einsquantor für den Quantor mit der Bedeutung "für *mindestens* ein x" gebraucht wird. Alle Bücher, die ich kenne, gebrauchen "Einsquantor" für den Quantor mit der Bedeutung "für *genau* ein x" und "Existenzquantor" für den Quantor mit der Bedeutung "für *mindestens* ein x". Kannst Du irgendein Beispiel zitieren, wo das anders ist? Abgesehen davon, sagst du selbst, dass "Existenzquantor" üblicher ist. Warum soll man in einem Lexikonartikel nicht die üblichere Bezeichnung wählen?

--Hajo Keffer 15:38, 18. Feb 2006 (CET)

Hmmmmm. Da überlagern sich einige Themen. Konsens ist sicherlich folgendes: Es wird in der Logik und Mathematik ein Quantor benutzt mit der Bedeutung "für (mindestens) ein". Dieses mindestens wird von den Mathematikern meist weggelassen, deswegen habe ich es eingeklammert. Man nennt dies auch das große Oder. Dann gibt es einen Sonderfall, dass man sagen will, "für *genau* ein".

Soweit Konsens? Nun zu den Bezeichnungen. Dort scheint Dissens zwischen uns zu sein. Bitte zitiere mal die Stellen aus Deinen Logikbüchern der Verwendung des "Einsquantors" als "genau ein". Danach lasst uns mit mehreren Leuten gemeinsam überlegen, welche Bezeichnungen wir nehmen. Wenn es tatsächlich um die alternative korrekt/üblich geht, wäre das sehr schade. PaCo 19:16, 18. Feb 2006 (CET)

Ich muss zugeben, dass ich den Ausdruck "Einsquantor" zum ersten Mal in der Wikipedia gelesen habe und er mir sonst nie bewusst untergekommen ist. In der Literatur, die ich kenne (und in der ich auf die Schnelle nachschlagen konnte) werden unisono die Begriffe Existenzquantor, Existenzialquantifikator, Partikularisator und Seinsquant(ifikat)or verwendet und erwähnt. Ich erinnere mich allerdings auch nicht daran, dass mir für numerische Quantoren eigene Bezeichnungen untergekommen wären – allerdings kenne ich vor allem die englischsprachige Literatur.

Persönlich fände ich die Bezeichnung "Einsquantor" für den Existenzquantor eher kontraintuitiv bzw. sogar irreführend, weil es ja gerade nicht um eins geht, und finde ich die Bezeichnung "Existenzquantor" durchaus sprechend. Welche Autoren verwenden die Bezeichnung "Einsquantor" überhaupt? Viele Grüße, --GottschallCh 00:47, 19. Feb 2006 (CET)

Einsquantor (auch Manchquantor) wird von den "konstruktiven Logikern" (Christian Thiel, Paul Lorenzen, Harald Wohlrapp, Kuno Lorenz, Carl Friedrich Gethmann, Rüdiger Inhetveen, Jürgen Mittelstraß, Peter Janich, Oswald Schwemmer, Friedrich Kambartel usw.) verwendet. Dabei geht es darum, dass nicht der Fehler gemacht wird, von der Benennung des Quantors auf eine Existenzbehauptung durch den Quantor zu schließen. Deshalb auch der Gebrauch von "für (mindestens) ein x:" statt "es gibt ein x für das gilt:". - Diese Erlanger Richtung ist in der Mathematik eine verschwindende Minderheit. In der Logik und Philosophie sind sie aber eine ernstzunehmende von mehreren Richtungen. - Muss man also ausloten, wie sehr man sich nach denen richtet.

Wenn Hajo Keffer Recht hat, dann gibt es außerdem noch andere Logikbücher, die diese Quantorennamen so verwenden, wie er das beschrieben hat. Das war nun für mich überraschend und neu. --PaCo 01:14, 19. Feb 2006 (CET)

Also Sorry, erst mal, ich habe tatsächlich kein Logik-Buch gefunden, wo "Einsquantor" für den "genau-eins"-Quantor verwendet wird. Für mich hat der Begriff "Einsquantor" intuitiv sofort diese Assoziation geweckt und ich dachte, ich hätte das auch schon so gelesen, aber da habe ich mich wohl getäuscht. Ich habe das Glossar von ein paar Logik-Büchern (deutsch oder deutsche Übersetzung) durchgesehen und da hat sich folgendes ergeben:

• Quine "Grundzüge der Logik": Für "mindestens ein" verwendet er "Existenzquantor´", daneben verwendet er "numerisch definiter Quantor" für genau 1, genau 2 ...
• Oberschelp "Logik für Philosophen": Für "mindestens ein" "Existenzquantor" ansonsten die Begriffe "Es-gibt-genau-ein-Quantor" und "Anzahl-Quantor"
• Kutschera-Breitkopf "Einführung in die moderne Logik": "Existenzquantor" anscheinend kein spezieller Name für den anderen Quantor.
• Bucher "Einführung in die angewandte Logik": "Existenzquantor" anscheinend kein spezieller Name für den anderen Quantor.
• Essler-Brendel-Martinez: "Grundzüge der Logik": habe nur Bd. 2 zur Hand, darin gibt es den Begriff "Einzigkeitsoperator"
• Menne: "Einführung in die formale Logik": "Existenzquantor" und tatsächlich "Einsquantor" beides für den "mindestens eins"-Quantor, für den "genau-eins"-Quantor anscheinend keine spezielle Bezeichnung.

Was sagt uns das jetzt? Folgendes, denke ich: Die überwältigende Mehrheit der Logiker sagt zu dem "mindestens-eins"-Quantor "Existenzquantor", daneben gibt es hierfür auch die Bezeichnung "Einsquantor". Für den anderen Quantor gibt es anscheinend keine einheitliche eingebürgerte Bezeichnung.

Ich denke, dass der Text des Artikels, so wie er jetzt ist, in zweierlei Hinsicht irreführend ist. Zunächst ist "Einsquantor" fett und dahinter steht in Klammern "Existenzquantor", dadurch entsteht der Eindruck "Einsquantor" wäre der gebräuchliche und Existenzquantor der ungebräuchliche Begriff, während es genau umgekehrt ist. Mein Vorschlag hier: Existenzquantor fett, dahinter in Klammern Einsquantor und die anderen Begriffe, die GottschallCh genannt hat (Partikularquantor usw.).

Dieser Vorschlag ist sinnvoll! Lasst uns das mal so machen. --PaCo 12:20, 19. Feb 2006 (CET)

Später heißt es dann im Text

Manchmal wird zusätzlich ein Existenzquantor $\exists !x$ oder $\exists ^{=1}x$ verwendet

Hier entsteht der Eindruck, dass der "genau-ein"-Quantor "Existenzquantor" heißt, und das ist ja nun sicherlich falsch. Diesen Text sollte man ändern in "Manchmal wird zusätzlich ein Einzigkeitsquantor ...." oder evtl. auch einfach "Manchmal wird zusätzlich ein Quantor ..." (wobei man dann offenlässt, wie der genau heißt). Aber an dieser Stelle sollte auf keinen Fall vom "Existenzquantor" die Rede sein.

Stimmt, sollte nicht. --PaCo 12:20, 19. Feb 2006 (CET)

--Hajo Keffer 08:54, 19. Feb 2006 (CET)

Nur zur Ergänzung: Dieter Klaua "Mengenlehre" (de Gruyter Lehrbuch Berlin, New York, 1979, ISBN 3-11-007726-4, seite 19) verwendet $\exists !x$ für 'es gibt höchstens ein' (also gewissermaßen $\exists ^{\leq 1}x$), und $\exists !!x$ für 'es gibt genau ein' (also $\exists ^{=1}x$). $\exists ^{\leq 1}xB(x)$ ist übrigens äquivalent mit $\forall x\forall y((B(x)\wedge B(y))\rightarrow x=y)$, vgl Abschnitt komplexe Beispiele --Ernsts 00:11, 13. Jan. 2010 (CET)

Danke für den Hinweis. Ich bin auch gerade bei Dieter Klaua auf die Verwendung von $\exists !!x$ gestoßen und habe mich gefragt, was das bedeutet.

Sollte man das eventuell mit in den Artikel aufnehmen? --Kajdron (Diskussion) 14:52, 21. Apr. 2014 (CEST)

Quantorenlogische Folgerungen #3

Sollte bei der dritten Folgerung "Sind alle x F so gibt es ein x, das F ist." nicht stehen, dass die Grundmenge der x'e nicht leer ist, oder die Formulierung vielleicht in der Art "Gibt es ein x und sind alle x F so gibt es ein x, das F ist." geaendert werden?

Danke für den Hinweis. Die Folgerung ist so wie sie dasteht, in der normalerweise gebrauchten Prädikatenlogik gültig, da dort immer ein nicht-leerer Individuenbereich vorausgesetzt wird. Sie wäre aber nicht gültig in anderen, selterner gebrauchten Logiken (wie der "free logic"). Siehe auch den neuen Kommentar dazu im Text.

--Hajo Keffer 19:53, 22. Feb 2006 (CET)

Weitere Quantoren

$\exists !xB(x)$ = $\exists x\ (B(x)\land \forall y\ (B(y)\rightarrow x=y))$

Die Formel hinter dem Gleichheitszeichen besagt dabei: "es gibt ein x, so dass B(x) und alle y, für die B(y) gilt, sind mit x identisch".

da stimmt was nicht: im math steht „es gibt ein x, so dass B(x) gilt, sowie dass gilt, dass alle y, für die B(y) gilt, mit x identisch sind“ - oder, falls "B(x)" nicht mit dem Wort "gilt" gebildet wird: „es gibt ein x, für das B(x), und für alle y folgt aus B(y), dass y mit x identisch ist“. der deutsche satz könnte aber auch besagen, „dass sowohl B(x) mit x identisch ist als auch alle y, für die B(x) (gilt), mit x identisch sind“.

beim auflösen der logischen klammern muss ja wohl das verb in die einzelnen nebensätze verteilt werden, weil die sprachlichen und/oders eben keine klammern setzen. --W!B: 13:20, 3. Apr 2006 (CEST)

Stimmt, die Formulierung ist nicht eindeutig. Die beiden von Dir vorgeschlagenen sind es, soweit ich sehen kann. --Hajo Keffer 20:54, 4. Apr 2006 (CEST)

hoi, dank für's lob, bin auch eine zeitlang gesessen (hat schon jemand erwähnt, das die WP ein ausgezeichnetes mittel gegen denkfaulheit ist.. gruß --W!B: 16:20, 6. Apr 2006 (CEST)

Dann go ahead und ändere es! (Ich könnte es jetzt auch tun, aber wo Du's doch ursrünglich gesehen hast, solltest Du es auch ändern, denke ich.) --Hajo Keffer

die ehre gebührt Dir, ich versteh weder was von logik, noch bin ich in den artikel eingearbeitet (welche version ist zu wählen) - wenn ich wüsste, was genau gehört, hätt' ichs eh geändert, und nicht zur diskussion gestellt. gruß und ;-) --W!B: 22:00, 8. Apr 2006 (CEST)

Paul hat jetzt eine korrekte und eindeutige Version eingestellt. Wenn Du keine Ahnung von Logik hast, musst Du zumindest eine ziemlich gute Intuition haben (denn sonst wär Dir das nicht aufgefallen)! Gruß --Hajo Keffer 14:01, 9. Apr 2006 (CEST)

Syllogistik

Den Modus Barbari gibt es nicht. Gemeint ist hier der "Modus" Bamalip: Und die Konklusion müßte eigentlich lauten: Einige Bayern sind Schwabinger, denn Schwabinger ist Prädikat der Konklusion und Bayern ist Subjekt der Konklusion und die Reihenfolge der Prämissen müßte vertauscht sein. Der Modus Bamalip ist eigentlich ein zusamengesetzter Syllogismus aus Barbara und Darapti und so einer Art Identität oder Idempotenz: Alle a sind a. Daß er nicht unbedingt funktioniert wundert mich nicht, denn er muß die Voraussetzungen für zwei Syllogismen und eine Identität erfüllen.--Roomsixhu 23:20, 26. Jun 2006 (CEST)

1. Selbstverständlich gibt es den Modus Barbari. Dieser war im Artikel vollständig korrekt formuliert. (vgl. Otto Bird: Syllogistic and Its Extensions, Prentice-Hall 1964, z.B. Seite 22f.)
2. Die Aussage, dass der Modus Bamalip irgendetwas mit "Alle a sind a" zu tun habe, ist – mit Verlaub – völliger Unsinn.

--GottschallCh 09:44, 27. Jun 2006 (CEST)

NPOV und Theoriefindung! Zu Barbari wären dann aber Erläuterungen hilfreich. Wie kommt er denn vom a Urteil zu seinem i Urteil?

Du kennst ja meine Literatur: v. Freytag-L. Ich habe sie jedoch inzwischen ausgeweitet. Folgendes steht aber wohl fest:
1. Schon 1950, spätestens seit 1955 und seiner Logik I, gibt es für die partikulären Urteile die Vorraussetzung Schwabinger ist nicht inhaltsleer und nicht widersprüchlich: Schwabinger $\not =$ 0. Oder S(x) $\not =$ 0. Das läßt sich Quantorenlogisch nur so schreiben: Es existiert ein x, für das S(x) gilt. Man hat damit ein Indiviuum. vorausgesetzt. Aber auch ohne Engel ist folgender Schluß richtig:

Alle Engel haben Menschengestalt

Alle Engel haben Flügel

--------------------------------

Einige Wesen mit Menschengestalt haben Flügel

Nach darapti, also letztendlich nach darii.

2. Wie schließt barbari, da er ja schon zur 1. Figur gehört, und alle modi auf die erste Figur zurückgeführt werden? Nach meiner Literatur entstehen im Syllogismus aus a Urteilen i Urteile durch conversio per accidens, angezeigt durch ein p nach einem Vokal, und Vertauschung von Subjekt und Prädikat! Das ist hier nicht der Fall. Nun wird gerade dieses Prinzip kritisiert. Deshalb stelle ich jetzt mal skizzenhaft das polysyllogistische Konzept dar.

Alle Münchner sind Bayern

Alle Schwabinger sind Münchner

-------------------------------(nach barbara)

Alle Schwabinbger sind Bayern

Alle Schwabinger sind Bayern

Alle Schwabinger sind Schwabinger

---------------------------------(nach darapti)

Einige Schwabinger sind Bayern

Man beachte, daß hier Alle Schwabinger(S) sind Schwabinger(P) im i Ureil genaugenommen so dasteht: Einige Schwabinger(P) sind Schwabinger(S).

barbari stelle ich mir nun so vor, daß er nach bamalip schließt, also nach der vierten Figur, die erst im Mittelalter entstand. Oder ich in oberer Skizze noch datisi hinzunehme, um die richtige Figur zu erhalten. Aber das sind alles keine unmittelbaren Schlüße sondern zwei- und dreifache Polysyllogismen.

Soweit meine Literatur es hergibt (Aristotelesmonographie von Rowohlt) sind Aristoteles Beispiele nicht umgangssprachlich, sondern konstruiert. Er ist an den Beweisgängen, die funktionieren interessiert, nicht an einer Vollständigkeit der Figuren.

Deshalb habe ich mit barbari Schwierigkeiten, auch wenn er korrekt und existent ist.

Vielleicht sollte ich bei Syllogismus noch folgendes einarbeiten:

1. Die erste Prämisse liefert das Prädikat der Konklusion
2. Die zweite Prämisse liefert das Subjekt der Konklusion
3. Ein m nach einem Vokal bedeutet metathesis praemissarum, Vertauschung der Prämissen.
4. Die dudurch in der Konklusion erreichte Vertauschung von Subjekt und Prädikat wird dann eventuell durch conversio simplex wieder umgedreht, symbolisiert durch ein s nach einem Vokal. Auch bei Prämissen möglich.
5. Schließlich deutet ein c nach einem Vokal einen conversio syllogismi an. Der Beweis wird indirekt geführt. Man nimmt Ungültigkeit der Konklusion an. Das kontradiktorische Gegenteil seiner Konklusion müßte sich mit den beiden Prämissen vertragen. Diese Annahme wird dann zum Widerspruch geführt, also muß der Schluß gelten.
6. Die Modi der zweiten, dritten und vierten Figur werden auf einen Modus der ersten Figur zurückgeführt und zwar auf den mit demselben Anfangsbuchstaben. Daher kommen dann auch die Anfangsbuchstaben in allen modi
7. p nach einem Vokal bedeutet conversio per accidens und wird von Logikern im allgemeinen abgelehnt, und ist auch nicht erforderlich. a wird zu i und e zu o unter Vertauschung von Subjekt und Prädikat

Einschub zur Symmetrie:

• "Alle A sind nicht B" und "Einige C sind D" sind symmetrisch
• "Alle E sind F" und "Einige G sind nicht H" sind nicht symmetrisch.

Zur Ungenauigkeit der partikulären Urteile:
Einge S sind P heißt mit Quantoren: Einige S sind einige P. Das ist genauer. Aber ist das auch erwünscht? Die Ungenauigkeit läßt sich eingrenzen:

1. "Einige S sind alle P" ist möglich
2. "Einige S " können zugleich " Alle S" sein
3. Oder 1 + 2. zugleich und S ist gleich P.

V. Freytag-L fasste das bewußt mehrdeutig wie folgt zusammen und benutzt es anstatt des syllogistischen "p" im weiteren:
"Alle Etwas sind S" , "Alle Etwas sind P".

1. Etwas kann dann Art von S als auch P sein.
2. Etwas kann dann gleich P sein und P Art von S.
3. Umgekehrt kann Etwas dann gleich S sein und S Art von P.
4. Etwas kann sowohl gleich S als auch P sein . S=P=Etwas.

V. Freytag-L. schließt sich hier nicht mehr Aristoteles an, der zwischen "Sokrates" und "eingen griechischen Philosophen" einen Unterschied macht und ein Individuum Sokrates nur als Subjekt zuläßt, sondern läßt die Ersetzung durch "Einige griechische Philosophen" zu. Auch darüber gibt es Streit

Das kann das Etwas aber nur leisten, soweit es Beziehungen zu S und P unterhält, da das Teilidentitätsbeziehungen mit teilweiser Identität der Inhalte bedeutet, sollte Etwas nicht inhaltsleer sein. Nicht widersprüchlich sollte es nicht sein, weil der Widerspruch nur kontradiktorische Beziehungen und keine anderen kennt und eine Untersuchung von Beziehungen dann müßig ist, man hat nur die eine (Inhaltsfremdheit). So entsteht die Forderung S $\not =$ 0 , ohne ein Individuum zu fordern, denn das gehört zur angewandten Logik. V. Freytag-L . setzt individuenfrei an. Das Prinzip nennt er Vergeßbarkeitsprinzip. Es entsteht sozusagen wenn man von einem Begriff C den Namen vergißt und nur weiß , daß er nicht inhaltsleer und nicht widersprüchlich ist. Individualbegriffe werden später eingefügt. Fast ganz im Sinne der Mengenlehre.

Wenn man dann schließlich die syllogistischen Modi kombinatorisch alle austestet, sollte man auch zu einem Ergebnis kommen, welche schlüßig sind und ob sie nicht zusammengesetzt sind. v Freytag-L. spricht nun von 19 Modi, die wohl klassisch gelehrt werden. Wobei er nach seiner Methode nur 18 findet, bamalip fehlt, ist aber auch zusammengesetzt. s.o.

Die Modi mit p, also conversio per accidens findet er ohne dieses Prinzip, nämlich mit seinem Vergeßbarkeitsprinzip:

• darapti
• felapton
• fesapo

Diese braucht man auch zum Schließen. In den entsprechenden freytagschen "Begriffslagen" schließen nur sie.

Fortsetzung IMHO zur Motivation von Quantoren folgt (Siehe Gentzen UE und UB, EE und EB, Variablenbedingung, Definition von Supremum und Infimum (Mengenlehre)). :-( --Roomsixhu 17:31, 29. Jun 2006 (CEST)

Für mich ist leider nicht erkennbar, was du mit diesen vielen Worten sagen möchtest; sie scheinen mir keinesfalls in thematischem oder pragmatisch sinnvollem Zusammenhang mit der Diskussion zu stehen. --GottschallCh 23:38, 29. Jun 2006 (CEST)

1. Siehe bitte doch mal nach, ob Otto Bird nicht mit diesem Syllogismus "Extensions" meint. Ich glaube nicht, daß barbari sich bei Aristoteles oder auch später, außer modern, belegen läßt.
2. Er folgt begriffslogisch mit Allgemeinbegriffen nicht. Man kann dann weiteruntersuchen, erstmal subkonträre partikuläre Konklusionen herstellen. Als minimale Vorraussetzung müssen nicht Schwabinger existieren, sondern nur Schwabinger und Münchner, also weniger, und man kann dann auch noch universelle Konklusionen untersuchen, alles schön ins Urteilsquadrat richtig eingebettet. Kann man $\exists x(S\land M)(x)$ schreiben?
3. Das ist ein schönes Beispiel für Subalternation, die nicht funktioniert. Oben hast Du in der Abbildung leider hinreichend statt "klassisch" subaltern geschrieben. Hat das einen Grund?
4. Warum gibt es so viel mehr Syllogismen, als die klassischen 19? Sind alle Figuren, die Quantoren herstellen, auch Syllogismen? Wie gesagt Freytag reduziert sie auf 18. Er berichtet auch von einer Philosophin, die alle vier mit p, also conversio per accidens ablehnt, somit 15 hat. Das scheint aber zu wenig zu sein.
5. Die einzig wahre Aussage die ich da herauslesen kann, sozusagen das echte Urteil, ist, daß Schwabinger und Bayern distributiv sind. Daß das eine wahre Aussage ist liegt eben daran, daß Bayern existieren. Wenigstens einer.
   

$\exists x(S(x)\land B(x))\lor (\neg S(x)\land B(x))$

--Roomsixhu 01:33, 4. Jul 2006 (CEST)

Die Formeln, die du schreibst, sind sinnlos (ungrammatisch). Die Aussagen, so weit für mich lesbar, zerfallen in schlichtweg falsche (z.B. die, dass es Barbari nicht gebe; oder die Behauptung, dass dein Argument mit den Engeln auch dann gültig sei, wenn es keine Engel gebe) und in solche, die zumindest pragmatisch vollkommen sinnlos sind: Du streust Bemerkungen über Aristoteles(!), über Distributivität(!), über "nicht funktionierende" Subalternation(!) und über vieles andere ein, das überhaupt nichts mit dem Artikel "Quantor" zu tun hat. Du erwähnst sogar irgendwelche Abbildungen, obwohl in dem Artikel keine einzige vorkommt. Für mich ist das eine völlig sinnlose Diskussion, sowohl inhaltlich (Leerformeln ohne Bedeutung) als auch pragmatisch (kein Ziel erkennbar). --GottschallCh 08:23, 4. Jul 2006 (CEST)

"Nach moderner Auffassung wären die Prämissen beide wahr, wenn es überhaupt keine Schwabinger und Münchner gebe. (gäbe!) Dann wäre aber die Konklusion falsch (da es keine Schwabinger gäbe, könnten dann auch keine Schwabinger Münchner sein). Die Prämissen könnten also wahr sein und die Konklusion dennoch falsch, d.h. es handelt sich nicht um einen gültigen Schluss. (Aristoteles hat wohl bei einer Aussage "Alle A sind B" immer die Existenz von As vorausgesetzt.)"

Dort steht: Barbari "erschließt" eine Konlusion" einige S sind B, aber es gibt keine Schwabinger also "erschließt" (man aus) barbari einige $\neg$ S sind B.
Somit kann man (mit barbari) aus S $\land \neg$ S die B "erschließen". Also wenn es Bayern gibt, sollen Schwabinger keine Schwabinger sein. Ich halte es für gewagt, so einen Fehler Aristoteles anzulasten. Die laxe Erklärung in Prosa ist ein immer falscher Ausdruck, eine Antilogie, also natürlich eine nicht-Tautologie, also etwas, was aussagenlogisch hoffentlich nie folgt.

Ich meinte Dein Urteilsquadrat in Syllogistik.

Ansonsten ist es schon gut. Leitet mal fleißig weiter ab. Das sind dann lustige "Beweise".--Roomsixhu 21:27, 4. Jul 2006 (CEST)

Deine Worte zum Zitat aus dem Artikel ergeben keinen erkennbaren Sinn. Da ich nicht annehme, dass du einfache Texte missverstehst und/oder dass du dich einfach nicht ausdrücken kannst, und da ich nicht davon ausgehe, dass du einfach nur provozieren möchtest oder dich an sinnlosen Wortwechseln ergötzt, bleibe ich weiterhin völlig ratlos, was das Ganze soll. --GottschallCh 22:11, 4. Jul 2006 (CEST)

1. Gilt s $\land$ m $\to$ b ?
2. Wurde die Prämisse s $\to$ m vergessen?
3. Wurde die Prämisse m $\to$ b vergessen?
4. Muß man sich die bestimmten Annahmen, die man für einen Schluß macht, nicht für die Anwendung des modus ponens merken, wenn man den Schluß aus barbari abtrennen will?
5. Gilt m $\to$ s aus 1.?
   
6. Kann man den Widerspruch erklären?
   --Roomsixhu 13:49, 5. Jul 2006 (CEST)

Mehr Fragen:

• Gilt m $\to$ (s $\to$ b)?
• Gilt s $\to$ (m $\to$ b)?
• s $\land$ b gilt für die Prämisse s.
• s $\land$ b gilt für die Prämisse m und s existieren nicht.
  • Heißt m und s existieren nicht: $\neg$ (m $\land$s)?
  • Heißt m und s existieren nicht:($\neg$ m $\land$ $\neg$ s)?
• Wenn ich mit den Prämissen s , m und s existieren nicht nach modus tollens die Konklusion aus barbari abtrenne habe ich immer einen Term s $\lor$$\neg$s.
• Für ersteres: (s $\lor \neg$s)$\land$($\neg$ s $\lor$ m)
• Für zweiteres (;-)): (s $\lor \neg$s)$\lor$ m
• Was bedeutet das?
• Kann ich für $\neg$(s$\land$ b) nach modus tollens s abtrennen?
• Kann ich für $\neg$(s$\land$b) nach modus tollens $\neg$s abtrennen?
• Gibt es irgendwo eine Aussage in dem ganzen, die über s mehr aussagt als (s $\lor \neg$s)?

Heißt s $\lor \neg$s: s, $\neg$ s, aber beides ist gleich 0?

--Roomsixhu 02:17, 6. Jul 2006 (CEST)

In laxer Prosa fasst man nun zusammen und hat einen Wikipedia-Artikel: Die Münchener teilen auf eine "interessante" Weise das Schicksal der Schwabinger. Nur damit barbari gilt. Eigentlich möchte ich auf die erste Variante der Abtrennung nicht eingehen, weil sie widersprüchliche Schwabinger voraussetzt. Ich tue es trotzdem:

• Aus den Voraussetzungen Schwabinger gilt, Nicht-Schwabinger gilt, Nicht-Münchner gilt leitet man einen Widerspruch zur ersten Prämisse Alle Münchner sind Bayern her. Andererseits kann man nicht entscheiden ob die zweite Prämisse gilt oder nicht gilt. Sind alle Schwabinger Münchner oder sind alle nicht-Schwabinger Münchner? Das kann barbari nicht bewahrheiten. Man weiß nicht genau, hat man einen oder zwei Widersprüche.
• Die zweite Variante liest sich dann so: Die Münchener teilen auf eine "interessante" Weise das Schicksal der Schwabinger (siehe oben). Eine eventuelle Widersprüchlichkeit der Schwabinger wird von den Münchnern geteilt. Man setzt voraus Schwabinger gilt, und Schwabinger und Münchner gelten nicht zusammen. So liest man ab: Wenn es Schwabinger gibt sind Münchner und Schwabinger gleich. Wenn es Schwabinger nicht gibt, gibt es nur Münchner. Münchner sind dann sozusagen alles. Wir hatten am Anfang aber mal gesagt, alle Schwabinger seien Münchner: Damit wir das aufrechterhalten können, müssen wir den Münchnern ein Ultimatum stellen: Liebe Münchner, entweder Ihr seid den Schwabingern gleich oder es gibt Euch überhaupt gar nicht.
  Das heißt insbesondere Ihr müßt Selbstmord begehen, wenn die Schwabinger Selbstmord begehen, wenn sie aus allen Schwabingern keine Schwabinger machen.

Historisches: Ein ähnliches Ultimatum hat Napoleon den Bayern gestellt: Liebe Bayern, entweder Ihr seid den Franzosen gleich oder es gibt Euch überhaupt gar nicht. Die Bayern sind seitdem den Franzosen gleich, man kann sogar sagen, sie seien besser. Die Bayern haben den französichen "Selbstmord" nicht gemacht. Barbari stammt somit von Napoleon.

Ein subkonträres Verhätnis zum o Urteil scheint gewahrt. Das kontradiktorische Verhältnis zum e Urteil dürfte dann wieder auf ein Ultimatum herauslaufen. Das e Urteil entsteht, wenn man statt Bayern nicht-Preußen einsetzt (formalisiert). Interessante Varianten ergeben sich, wenn man das Problem mit Künstlern (Schwabinger (ja), Münchner (nein)) oder eine fränkische Machtübernahme über Bayern bis in die südlichen Bezirke eines umgangenen Münchens, auf jeden Fall nicht nördlicher als die Ludwigstraße oder das Siegestor, annimmt. Man kann mit Sicherheit annehmen, daß hinter diesem Putschversuch ein Wiener steckt.

--Roomsixhu 21:43, 6. Jul 2006 (CEST)

Ich glaube, daß es der Aussagenlogik gut ansteht, keine genaue Aussage über diese "Schwabinger" machen zu können. Erstens müßte man von ihnen annehmen daß sie Schwabinger sind und doch auch nicht sind. Zweitens bewiese ihre Existenz doch nur, daß man alles annehmen müsse. Logisches und Unlogisches.
Ich glaube, daß es Aristoteles gut ansteht, daß er diesen Modus nicht in seine erste Figur aufnahm. Er hat die Modi aufgestellt, für die er Beweise hatte. Er hatte es wohl auf eine vollständige Anzahl von Beweisen eher abgesehen, als auf eibe vollständige Anzahl der Figuren. Eine formal korrekte Ableitung, die ihn nicht weiterbringt, hat bei ihm keinen Modus gerechtfertigt.--Roomsixhu 21:43, 6. Jul 2006 (CEST)

Letzte quantorenlogische Folgerung

"Sprechweise: Gibt es ein x, so dass alle y zu ihm in der Beziehung R stehen, dann gibt es für alle x ein y, das zu ihm in R steht."

Ist doch falsch: Hieße es nicht richtig:

Sprechweise: Gibt es ein x, so dass alle y zu ihm in der Beziehung R stehen, dann gibt es für alle y ein x, das zu ihnen in R steht.

--Roomsixhu 14:26, 17. Okt. 2006 (CEST)

Ja, aber man muss konsequenterweise den ersten Teil auch umformulieren (siehe Text) --Hajo Keffer 20:34, 17. Okt. 2006 (CEST)

Beispiele für Existenz- und Allquantor

Hallo, im Moment steht da der folgende Text:

• Aus $\exists x\forall yR(x,y)$ folgt $\forall y\exists xR(x,y)$ (Das Umgekehrte gilt nicht.)

Sprechweise: Gibt es ein x, das zu allen y in der Beziehung R steht, dann gibt es für alle y ein x, das zu ihnen in Beziehung R steht.

Beispiel: Wenn es jemanden gibt (z. B. die Gottheit), der oder die alle liebt, dann gibt es für jede Person mindestens eine/n (eben die Gottheit), die oder der diese Person liebt. Umgekehrt folgt aber aus der Tatsache, dass jeder Mensch geliebt wird, nicht, dass jeder Mensch von derselben Person geliebt wird.

• Aus $\exists x\forall yR(y,x)$ folgt $\forall x\exists yR(x,y)$ (Das Umgekehrte gilt nicht.)

Sprechweise: Gibt es ein x, zu dem alle Individuen y in Relation R stehen, dann gibt es für alle Individuen x mindestens ein y, sodas x zu y in Relation R steht.

Beispiel: Wenn es eine bestimmte Frau gibt, die jeder Mann liebt, dann gibt es für jeden Mann (mindestens) eine Frau, die er liebt. Hat aber jeder Mann eine Frau, die er liebt, so folgt daraus nicht, dass dies jedesmal dieselbe Frau ist, dass es also eine Frau gibt, die alle lieben.

Obwohl das richtig ist, ist es doch extrem verwirrend, dass im Nachsatz des 2. Beispiels gegenüber dem Vordersatz x und y vertauscht sind (im Gggs. zum 1. Beispiel). Es würde sich daher anbieten, das 2. Beispiel wie folgt umzuformulieren:

• Aus $\exists x\forall yR(y,x)$ folgt $\forall y\exists xR(y,x)$ (Das Umgekehrte gilt nicht.)

Sprechweise: Gibt es ein x, zu dem alle Individuen y in Relation R stehen, dann gibt es für alle Individuen y mindestens ein x, so dass y zu x in Relation R steht.

Beispiel: Wenn es eine bestimmte Frau gibt, die jeder Mann liebt, dann gibt es für jeden Mann (mindestens) eine Frau, die er liebt. Hat aber jeder Mann eine Frau, die er liebt, so folgt daraus nicht, dass dies jedesmal dieselbe Frau ist, dass es also eine Frau gibt, die alle lieben.

Aus meiner Sicht fügt aber das 2. Beispiel dem 1. keinen wirklich interessanten Aspekt hinzu (es besagt nur, dass dasselbe logische Gesetz immer noch gültig ist, wenn x und y ihre Plätze tauschen), so dass es m.E. besser wäre, das 2. Beispiel ersatzlos zu streichen (da sich der Lesern andernfalls womöglich fragt, worin die Pointe dieses Beispiels liegt).

Hallo!

Der Vordersatz der ersten der beiden Formeln sagt aus, dass es ein Individuum (z.B. Gott) gibt, das alle liebt. Der Vordersatz der zweiten Formel sagt, dass es ein Individuum gibt, das von allen geliebt wird. Inhaltlich ist das an sich schon ein wichtiger Unterschied.

Der Nachsatz der ersten Formel sagt aus, dass jede/r (von irgendwem) geliebt wird. Dagegen sagt der Nachsatz der zweiten Formel aus, dass jede/r ein/e Liebende/r ist. Im ersten Fall muss nun nicht jeder selber lieben, und im zweiten Fall muss nicht jeder widergeliebt werden. Auch das ist inhaltlich ein wesentlicher Unterschied.

Eingefügt habe ich die zweite dieser beiden Folgerungen zunächst nur deshalb, weil im Artikel die erste Folgerung stand, das Beispiel ("Jeder Mann liebt ein und dieselbe Frau") aber keine richtige Übersetzung dieser Folgerung, sondern eine Übersetzung der zweiten Folgerung war.

Der Sache nach halte ich es an sich schon für sinnvoll, beide Beispiele zu nennen, weil sie demonstrieren, was für einen großen Bedeutungsunterschied der scheinbar kleine Unterschied (im einen Fall bindet der erste Quantor x und der zweite y, im zweiten Fall umgekehrt) macht.

Aus didaktischer Sicht kann man natürlich nicht hoffen (bzw. ist auch gar nicht das Ziel eines Lexikonartikels), Prädikatenlogik zu lehren, aber vielleicht können wir mit den Beispielen ein Gefühl dafür (oder Staunen darüber) vermitteln, dass kleine Unterschiede in Formeln große Bedeutungsunterschiede hervorrufen können und dass man beim Interpretieren einer Formel sehr vorsichtig sein muss und sich leicht in die Irre führen lassen kann. In diesem Sinn wäre ich geneigt, zu den beiden Beispielen noch einen Kommentar dazu zu schreiben, der das ausdrücklich thematisiert.

Viele Grüße, --GottschallCh 11:45, 18. Okt. 2006 (CEST)

Sorry, auf den zweiten Punkt bin ich nicht eingegangen: In der zweiten Formel x und y durchgehend zu vertauschen, wäre natürlich okay. Mir persönlich gefällt gefühlsmäßig die vorliegende Fassung eine Spur besser, weil sie (auch wieder für mein Gefühl) den Fokus stärker auf die Aussage über die Quantoren macht (stärker den Fokus darauf legt), so in dem Sinn: "Bei Quantoren ist nicht nur die Reihenfolge wesentlich, sondern auch die Frage, welcher von mehreren Quantoren welche Variable bindet." Würde man die Variablen durchgängig austauschen, dann wäre das Quantoren-Präfix beider Formeln dasselbe, womit (noch einmal für mein Gefühl) der Fokus auf die innere Struktur der Aussage gerichtet würde. Viele Grüße, --GottschallCh 12:13, 18. Okt. 2006 (CEST)

Es ist tatsächlich, wie Du sagst, ein inhaltlicher Unterschied, ich halte ihn daher für nicht so relevant (oder interessant), weil er nicht die logische Form betrifft. Aber wenn Du das wichtig findest, kann es von mir aus so stehen bleiben. Immer noch unglücklich bin ich aber teilweise mit Deiner Erklärung:

ZITAT Der Unterschied zwischen den Voraussetzungen beider Folgerungen ist der, dass im ersten Fall jede/r von ein und demselben Individuum geliebt wird; im zweiten Fall wird jede/r von irgendeinem beliebigen Individuum geliebt, d. h. unterschiedliche Personen können von unterschiedlichen Individuen geliebt werden. Ebenso groß ist der Unterschied in der Folgerung: Aus der ersten Voraussetzung folgt, dass jede/r geliebt wird (ohne dabei aber selber lieben zu müssen.) Aus der zweiten Voraussetzung hingegen folgt, dass jede/r selber ein/e Liebende/r ist (ohne dabei aber selber geliebt werden zu müssen.)

Der von mir fett formatierte Teil ist unrichtig, er entspricht der Formel $\forall y\exists xR(x,y)$, also dem Nachsatz der ersten Formel, nicht dem Vordersatz der zweiten. Richtig erklärt hast Du es hier auf der Diskussionsseite:

ZITAT Der Vordersatz der zweiten Formel sagt, dass es ein Individuum gibt, das von allen geliebt wird.

Ich würde daher den fett formatierten Teil folgendermaßen umformulieren:

im zweiten Fall liebt jeder ein und dasselbe Individuum.

Was den zweiten Punkt, also das Quantorpräfix angeht: Müsste man dann nicht konsequenterweise auch schon bei der ersten Folgerung schreiben

• Aus $\exists x\forall yR(x,y)$ folgt $\forall x\exists yR(y,x)$ (Das Umgekehrte gilt nicht.)

Welchen Grund gibt es dafür, die Umbenennung der Variablen im zweiten Fall vorzunehmen, im ersten jedoch nicht?

--Hajo Keffer 20:21, 18. Okt. 2006 (CEST)

Hallo!

Zum Fehler: Stimmt, das war zu schnell (in der Mittagspause) geschrieben. Das ist nun ausgebessert (und hoffentlich langsamer getippt).

Dass der Unterschied zwischen den beiden Sätzen kein Unterschied der Form ist, verstehe ich - glaube ich - nicht ganz. Die beiden Sätze haben doch gerade unterschiedliche Gestalt (x und y sind vertauscht)? Die Gegenüberstellung der beiden Sätze zeigt aus meiner Sicht besonders dramatisch, dass ein kleiner Unterschied der Form einen sehr großen Bedeutungsunterschied haben kann, und illustriert so recht wirksam, dass man Formeln hinsichtlich der Verwendung von Quantoren (was die Information zum Artikel "Quantor" passen lässt) sehr sorgfältig ansehen muss (und dass man sich beim raschen Lesen leicht vertun kann).

Bezüglich der Frage, ob man in einem Artikel über Quantoren beide Beispiele (oder überhaupt komplizierte Beispiele) bringen muss, habe ich keine ausgeprägte Meinung: Vorteilhaft finde ich an der Gegenüberstellung - wie gesagt -, dass sie die großen Auswirkungen kleiner formaler Unterschiede illustriert, und tatsächlich gefiele es mir grundsätzlich auch, alle interessanten Permutationen (d.h. $\exists x\forall yRxy$, $\exists x\forall yRyx$, $\forall x\exists yRxy$ und $\forall x\exists yRyx$) samt Übersetzung und Erklärung gegenüberzustellen; das muss aber aus meiner Sicht keineswegs im Artikel "Quantor" bzw. überhaupt in einem Lexikonartikel geschehen.

Wie gesagt: Aufgenommen habe ich die zweite der beiden Folgerungen nur, weil in dem Artikel zwar die erste Folgerung stand, die angegebene Übersetzung aber falsch war, weil eben nicht zur ersten, sondern zur zweiten Folgerung passend. Nun wollte ich weder dem ursprünglichen Autor seine Formel noch seine Übersetzung aus dem Artikel rauben und wollte ich statt dessen beide zu richtigen Beispielen ergänzen.

Zum Präfix in der ersten Folgerung: Ja, konsequenter wäre es wohl schon, und ich sähe auch nichts, was dagegen spricht, die Variablen zu tauschen. Ehrlich gesagt verkehren sich beim zweiten und dritten Ansehen der Formel die Argumente für oder gegen eine bestimmte Konvention fast ins Gegenteil: Lesende neigen nach meiner Erfahrung dazu, hinter jedem erkennbaren Muster eine sachliche Notwendigkeit zu vermuten und verwirrt zu sein. Von daher wäre es auch nichts schaden, völlig unterschiedliche Variablen zu verwenden. Langer Rede kurzer Sinn, Einwände habe ich gegen keinerlei Anordnung und Verwendung von Variablen.

Viele Grüße, --GottschallCh 21:57, 18. Okt. 2006 (CEST)

Mit logischer Form meine ich diejenigen Eigenschaften einer Formel, die für das Schlussfolgern relevant sind, auf die also in einem Kalkül eingegangen werden müsste. Der Kalkül würde mir beispielsweise sagen, dass ich bei $\forall y\exists xR(x,y)$ den Allquantor weglassen kann und alle verbleibenden Vorkommnisse von y durch einen Individuenparameter ersetzen kann. Die Reihenfolge von x und y spielt dabei keine Rolle, die Regel ist genau die gleiche, ob ich nun genannte Formel oder stattdessen die Formel $\forall y\exists xR(y,x)$ habe. Der Unterschied zwischen den beiden Formeln kommt erst ins Spiel, wenn ich eine Übersetzung in die natürliche Sprache vornehme und dabei eine bestimmte, feste Übersetzung des nicht-logischen Ausdrucks R im Sinn habe. (In unseren Beispielen haben wir beidesmal die Übersetzung "liebt" für R verwendet - das ist ja kein Muss.) Auf der anderen Seite gebe ich Dir recht, dass dies vom Standpunkt der praktischen Anwendung her schon ein wichtiger Punkt ist. Insofern bin ich jetzt auch ganz zufrieden damit, wenn wir's so stehen lassen. Nur das mit den Variablen werde ich noch vereinheitlichen.

--Hajo Keffer 09:35, 19. Okt. 2006 (CEST)

Zum Quantorpräfix: Da Du sagst, dass Du keine echte Präferenz für eine der Varianten hast, habe ich es jetzt einmal entsprechend meines ursprünglichen Vorschlags geändert. Ich denke, dass so zumindest die, die in die Materie eingearbeitet sind, es besser lesen können. Vermutlich auch die anderen, denn die jetzige Schreibweise hat den Vorteil, dass das x durchgängig für die Frau steht und das y für den Mann, während bei der anderen Repräsentation das x im Vordersatz für die Frau stand und im Nachsatz für den Mann (entsprechnd für y). --Hajo Keffer 09:48, 19. Okt. 2006 (CEST)

Ja, die Herleitungen beider Folgerungen sind tatsächlich sehr ähnlich. Insofern neige ich auch zunehmend dazu, nur eine der beiden zu erwähnen und das Kapitel "Einige quantorenlogische Folgerungen" so zu entlasten. Mich hat die Wichtigkeit der Bedeutungsunterschiede (und der Eifer beim Emendieren des falschen Beispiels zu zwei richtigen) ein bisschen vergessen lassen, dass wir uns in einem Kapitel befinden, das Beispiele für Folgerungen liefern soll.

Die Bedeutungsunterschiede der vier Permutationen $\exists x\forall yRxy$, $\exists x\forall yRyx$, $\forall x\exists yRxy$ und $\forall x\exists yRyx$ zu erwähnen hielte ich grundsätzlich für sinnvoll, weil erfahrungsgemäß Sätze mit nur einem Quantor rasch verstanden werden, Sätze mit mehreren Quantoren aber schwerer fallen – das passt aber natürlich keinesfalls ins Folgerungskapitel. Ich habe seinerzeit in Prädikatenlogik#Quantoren eine solche Gegenüberstellung geschrieben und heute auch dort um unsere Folgerungszusammenhänge ergänzt. Sollen wir so etwas in irgendeiner Form auch in den Artikel "Quantor" aufnehmen, im einfachsten Fall als Beispielkapitel?

Viele Grüße, --GottschallCh 13:42, 19. Okt. 2006 (CEST)

Exakt, ich bin froh, dass Du es jetzt auch so siehst: Nicht die beiden Folgerungen sind eigentlich verschieden, sondern die Übersetzungen. Insofern würde es eigentlich, wie Du ganz richtig sagst, in ein anderes Kapitel gehören. Wir haben ja schon das Kapitel "Formalisieren", wobei "Formalisieren" ja eigentlich den Weg von der natürlichen Sprache in die künstliche beschreibt und "Übersetzen" den umgekehrten, von der künstlichen in die natürliche. Wir haben das Problem bis jetzt immer als eines der Übersetzung betrachtet, insofern müsste man also ein neues Kapitel "Übersetzen" eröffnen. Ich weiß nicht, ob man das Problem so umformulieren kann, dass es ins Kapitel "Formalisieren" passen würde. Was meinst Du mit "im einfachsten Fall als Beispielkapitel"? --Hajo Keffer 19:40, 19. Okt. 2006 (CEST)

Sorry für die Verzögerung, ich habe deine Antwort gestern übersehen. Die Folgerungen finde ich schon unterschiedlich, sowohl wenn man mit "Folgerung" die Konklusion meint, als auch wenn man damit das Argument als ganzes meint. Worauf ich hinaus wollte ist, dass die tatsächlichen Herleitungen beider Argumente ähnlich genug sind, dass es unter diesem Gesichtspunkt sich nicht lohnt, beide Beispiele im Folgerungskapitel zu nennen.

Ich würde den Themenkomplex weniger als Übersetzungsthematik, sondern als Bedeutungsthematik bezeichnen: Die Sätze bedeuten ja etwas ganz unterschiedliches, auch wenn man sie nicht übersetzt (und dass man sie unterschiedlich übersetzen muss, liegt ja daran, dass sie unterschiedliches bedeuten). Damit passt die ausführliche Behandlung des Bedeutungsunterschieds aber wirklich nicht gut ins Folgerungskapitel. Für ein Kapitel, das solche Fragen behandelt, gefiele mir als Überschrift etwas wie "Bedeutung" oder "Interpretation" besser als "Übersetzung", das ist aber keine starke Meinung.

Mit "Beispielkapitel" meine ich, dass wir ein Kapitel "Beispiele für Formeln mit Quantoren" einführen könnten, das ein paar instruktive Beispielformeln samt deren Bedeutung/Übersetzung nennt. Dort würden dann auch, wenn sich nichts anderes findet, die vier oben genannten Permutationen samt ausführlichem Kommentar passen. Vielleicht wäre ein Beispielkapitel sogar die bessere Variante, weil man ja auch dann, wenn das Kapitel "Bedeutung" oder "Übersetzung" heißt, nur Beispiele angeben kann.

Viele Grüße, --GottschallCh 00:30, 22. Okt. 2006 (CEST)

Die Begriffe Bedeutung und Interpretation sind beide nach meinem Verständnis nicht ganz glücklich, weil es Begriffe aus der formalen Modelltheorie sind. Hier geht es aber um das informelle Übertragen in natürliche und von natürlicher Sprache. Dies konnte bisher nicht und kann vielleicht überhaupt nicht mit mathematischer Präzision definiert werden, so wie in der Modelltheorie der Begriff der Interpretation mit mengentheoretischen Mitteln definiert werden kann. Was fehlt, ist ein guter Gegenbegriff zu "Formalisieren", da "Übersetzen" ja symmetrisch ist und sowohl für die eine als auch für die andere Richtung verwendet werden könnte, man kann dem Begriff seine Richtung also sozusagen nicht ansehen. Mir ist aber kein anderer Begriff bekannt. Eindeutschen? Wie auch immer, ein Beispielkapitel in Deinem Sinne würde ich begrüßen. --Hajo Keffer

Ich hätte in diesem Zusammenhang mit "Bedeutung" den alltagssprachlichen Begriff und nicht den der Modelltheorie gemeint, zumal es für die (natürliche) Zielsprache unserer Übersetzungen ja gar keine unstrittige formale Semantik gibt; bleiben wir aber am besten bei der Idee eines Beispielkapitels. Ich muss die nächsten drei ein Seminar halten und habe eventuell nicht genug Zeit, kümmere mich aber gerne danach darum, wenn du es nicht lieber vorher selbst machst. Viele Grüße, --GottschallCh 00:38, 23. Okt. 2006 (CEST)

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"Existenzquantor (auch „Existenzialquantifikator“, „Partikularisator“, „Einsquantor“ oder „Manchquantor“)." Es steht doch schon hier in der Einleitung!

Existenzialquantifikator (an erster Stelle): Entspricht einem Individualurteil. So wird ein x für Prädikate "_ ist irgendwas" eingeführt.
Partikularisator, Manchquantor (an zweiter Stelle): Entspricht einem partikulärem Urteil

Das Indivdualurteil steht meines Erachtens in der Nähe zum Existentialurteil und dem singulärem Urteil (wenn ich genau wüßte, was das ist). Z.B. in Sokrates ist ein Mensch fallen partikuläres und universelles Urteil zusammen. Und Individuen wie Sokrates haben überhaupt keine Quantität.

Als bekannter diletierender Begriffslogiker merke ich an: Beziehungen (Subsumtion) zwischen Begriffen sind primär "universelle". Erst nach Einführung einer Negation der Beziehungen steht einem eine partikuläre Beziehung zur Verfügung. Individuen braucht es in einer Begriffslogik überhaupt nicht zu geben. Also auch keine "Individualbeziehungen". Individuen sind besondere Begriffe. Deswegen folgt dort z.B. die Subalternation, wenn überhaupt, dann nur unter zusätzlichen Annahmen. (Hier die dritte "Folgerung")

Negiert man ein Urteil "vernichtet" man es, jedoch die negierte Aussage wird falsch.

Also kurz: Aus einem Individualurteil folgt ein partikuläres, aber nicht umgekehrt.

$\exists$ ist somit mehrdeutig.--Roomsixhu 21:22, 22. Okt. 2006 (CEST)

Abschnitt zu Quantifikation in natürlicher Sprache

Vielleicht kann jemand mal einen Abschnitt zu Quantifikation in natürlicher Sprache schreiben, das fehlt nämlich noch...

--Herr-Schlauschlau 16:29, 28. Sep. 2007 (CEST)

Fragen mit Quantoren?

Wie soll man Fragen mit Quantoren korrekt schreiben/stellen? Also folgendes Beispiel:

Variante 1:

Gibt es ein x, so dass für alle y R(x,y) gilt? $\exists x:\forall y:R(x,y)\,?$

Variante 2:

Gibt es ein x, so dass R(x,y) für alle y gilt? $\exists x:R(x,y)\forall y\,?$ (nicht signierter Beitrag von 129.13.186.1 (Diskussion) 5:54, 17. Apr 2008)

wenn aus dem kontext klar ist, was gemeint ist, und keine lokale konvention dagegen spricht, ist imho beides richtig. allerdings ist afaik die erste variante die traditionellere und ueblichere. -- seth 13:07, 25. Mai 2008 (CEST)ich hatte die frage missverstanden. -- seth 15:44, 12. Jul. 2008 (CEST)

ein quantor ist immer teil einer aussage und eine frage kann nie eine aussage sein (definition aussagenlogik). will man den wahrheitswert einer aussage mit quantor hinterfragen könnte man z.b. sagen: ist $\exists x:\forall y:R(x,y)$ wahr oder nicht? die notation $\exists x:\forall y:R(x,y)\,?$ kann, meines wissesns nach, nur umgangssprachlich sein, ist aber semantisch nicht korrekt! (nicht signierter Beitrag von Fredfeuerstein (Diskussion | Beiträge) 15:16, 12. Jul 2008 (CEST))

stimmt, ich hatte oben die frage falsch verstanden. -- seth 15:44, 12. Jul. 2008 (CEST)

Allquantor versus Alloperator

Bei Kutschera/Breitkopf, Einführung in die moderne Logik, 8. Aufl. (2007), ISBN 978-3-495-482711, S. 87 wird zwischen dem Operator "Alloperator" $\forall$ und einem "Allquantor" = $\forall y$x, $\forall y$y ... unterschieden. Hier wohl nicht. Vielleicht auch nicht so wichtig, mich würde es nur interessieren, ob diese Terminologie allgemein üblich ist. --Hans-Jürgen Streicher 10:11, 25. Mai 2008 (CEST) Analoges gilt für Existenzoperator und Existenzquantor. --Hans-Jürgen Streicher 10:23, 25. Mai 2008 (CEST)

wie genau wird denn dort unterschieden? -- seth 13:03, 25. Mai 2008 (CEST)

Negation

es wäre nicht schlecht eine definition der negation eines quantors unter entsprechender überschrift zu haben. jemand, der wissen will wie das funktioniert, freut sich dann, es so einfach finden zu können ;)

also halt: nicht(E[x(y)]) <=> A(nicht[x(y)]) (nicht signierter Beitrag von Fredfeuerstein (Diskussion | Beiträge) 15:00, 12. Jul 2008 (CEST))

Grundsätzliche Anmerkung zum Inhalt des Artikels

Quantoren werden nicht nur in der Prädikatenlogik verwendet sondern stellen ein viel allgemeiners sprachliches bzw. mathematisches Konzept dar, nämlich die Einführung von gebundenen Variablen. Ein Quantor ist ein Sprachkonstrukt, das eine Variable bindet. Das wird im Artikel zwar kurz erwähnt, geht aber völlig unter. All-Quantor und Existenz-Quantor sind nur 'Beispiele' dafür. Mindestens ebenso bekannt und wichtig ist zB der Summenquantor (Summe aller x von a bis b: expr(x)). Für den Leser ist es nicht einfach, herauszufinden, dass das Summenzeichen (großes Sigma) ein Quantor ist. JT, -- 88.116.78.22 16:16, 27. Mai 2009 (CEST)

Verwechselst du da nicht etwas? Das Summenzeichen ist kein Quantor, sondern ein (einstelliger) Operator, dessen Argument eine (mathematische) Familie ist. Ein Quantor dagegen ist formal auch ein (einstelliger) Operator, dessen Argument aber eine logische Variable ist. Ein Summenoperator operiert also nicht mit einer logischen Variable, sondern mit einem mathematischen Objekt.

Logische Variablen, die in der Mathematik vorkommen, bezeichnen zwar in der Regel mathematische Objekte (d.h. im Endeffekt Mengen, da sich die Mathematik rein mengentheoretisch formulieren lässt), logische Variablen können aber auch nichtmathematische Objekte bezeichnen, da Logik nicht unbedingt auf die Mathematik beschränkt ist und auch in anderen Gebieten angewendet werden kann. --RPI 11:59, 29. Mai 2009 (CEST)

Laut Lehrbuch von Buchberger/Lichtenberger (Mathematik für Informatiker I) ist ein Quantor ein Sprachmittel, das eine oder mehrere Variablen benennt, die im Wirkungsbereich des Quantors gebunden (=quantifiziert) sind und dementsprechend nach aussen nicht mehr 'frei' sind. Die übrigen Variablen bleiben frei. Quantoren machen (1) aus Aussagen neue Aussagen, (2) aus Aussagen neue Terme, und (3) aus Termen neue Terme (!).

Summe, Min, Max etc sind demnach genauso Quantoren wie die Quantoren der Prädikatenlogik. Diese Beispiele werden im Buch an anderer Stelle auch genannt. Ich sollte hinzufügen, dass Buchberger viele Jahre lang das Journal of Symbolic Computation herausgegeben hat, also schon einen gewissen Überblick über die mathematischen Begriffe und ein gewisses Gewicht in der mathematischen Community haben dürfte. Auf welchen Quellen beruht die Behauptung, dass Quantoren NUR in der Prädikatenlogik vorkommen? JT, -- 88.116.78.22 07:24, 12. Jun. 2009 (CEST)

Es gibt da wohl verschiedene Sichtweisen. Letztendlich wird alles mit Sprache mündlich, schriftlich oder mit Gestik und Mimik dargestellt. Das gilt deshalb auch für Logik, die formalisiert sich als mathematisches Kalkül darstellen lässt.

Quantifizieren tun aber nur Quantoren als logische Operatoren, denn sie werden auf logische Variablen angewendet, "binden" diese. Logische Variablen stehen für Aussagen und logische Operatoren weisen diesen einem Wahrheitswert zu. Eine Summe z.B. ist dagegen ein mathematischer Operator der auf mathematische Objekte wirkt, die man auch durch entsprechende Objektvariablen darstellen kann. Ein Summenoperator quantifiziert nicht (von lat. "quantum" = "das Wieviel"), sondern er summiert (von lat. "summa" = "das Höchste"), bildet eine Menge von mathematischen Objekten auf ein anderes, gleichartiges mathematisches Objekt ab.

Aussagen kann man digital codieren, also in Zahlen und damit in mathematische Objekte umwandeln und Quantoren dann als mathematische Operatoren interpretieren, die auf diese mathematischen Objekte wirken und "Summen" nennen. Umgekehrt lassen sich mathematische Aussagen logisch untersuchen und u.U. quantifizieren. In wie weit aber z.B. die Summe $\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$ mit $\sum _{k=1}^{n}$ als logischer Quantor interpretierbar sein soll, ist nicht ersichtlich.

Ob ein Operator Quantor, Summe oder noch anders heißt, ist vom Kontext abhängig und hat die entsprechende Bedeutung. Den Begriff Quantor verwendet man üblicherweise bei quantifizierenden logischen Operatoren, also Operatoren die logische Variablen binden und in Bezug auf die Existenz einer bestimmten Anzahl (Quantum) von Objekten, für die die Variablen stehen, einem Wahrheitswert zuweisen. --RPI 14:43, 17. Jun. 2009 (CEST)

Buchberger ist wohl kein Unbekannter auf dem Gebiet der Computer-Mathematik. Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass im Lehrbuch von Buchberger/Lichtenberger drinsteht, dass Summe, Min, Max usw. Quantoren seien. Das sind nämlich – wie schon gesagt – keine Operatoren der Prädikatenlogik. Ausserdem ist ein Quantor ein bestimmtes Sprachkonstrukt, nämlich ein logisches und nicht ein allgemeines. --RPI 17:31, 17. Jun. 2009 (CEST)

Das Summenzeichen ist laut dem Lehrbuch von Buchberger ein Quantor. In meiner zugegebenermassen recht alten Ausgabe von 1980 auf Seite 58 oben: Zitat: "Beispiele für Quantoren, die nur zum Sprechen über bestimmte Gegenstandsbereiche dienen, sind: das Summenzeichen, das Produktzeichen, das Maximalzeichen, das Minimalzeichen." Natürlich werden auch die Quantoren der Prädikatenlogik an anderer Stelle gebührend erwähnt, aber eben nur als Beispiele für Quantoren, nicht als Definition. Auch E.W.Dijkstra, ein bekannter Informatiker, verwendet den Begriff des Quantors in diesem Sinn. JT, -- 88.116.78.22 19:05, 14. Jul. 2009 (CEST)

Einleitung ist unverständlich

Hallo.
Die Einleitung dieses Artikels ist leider sehr unverständlich.^[1] Ist es vielleicht möglich, diese hier auch mit deutschen Worten zu schreiben? (Siehe dazu auch unter Hilfe:Einleitung)
--Konrad – 12:52, 19. Jan. 2010 (CET)

"Anzahlquantoren"

Die Behauptung

Weitere Quantoren, wie z. B. „die meisten x“ werden in der Logik nur selten behandelt.

ist in einem sehr langen Abschnitt über Anzahlquantoren ziemlich falsch: der einzige gebräuchliche Quantor in diesem Abschnitt ist $\exists !$, und da ist ja jedem klar, dass das eine reine Abkürzung ist. Dahingegen wird "fast überall" sowohl in der Maßtheorie (Ausnahmemenge messbar und Maß 0) als auch in der Logik oder etwa der Zahlentheorie (endlich viele Ausnahmen bzw. Dichte = 0) sehr gerne wie ein Quantor verwendet. (Natürlich lassen sich die Beispiele ineinander überführen, den Ultrafiltern sei Dank).

Und "$\exists ^{=0}$" halte ich einfach mal für undefiniert, bis jemand erklärt, was diese höchst seltsame Schreibweise ausdrücken soll (mir würde spontan ja einfallen, dass $\exists x.\varphi (x)$ und $\mu (\left\{x\in X:\varphi (x)\right\})=0$ gleichzeitig gelten könnten, also sowohl die Existenz einer Ausnahme als auch die Beschränkung auf eine Nullmenge in ein Symbol gepackt werden sollen - insbesondere bei nichtpositiven Maßen mag das interessant sein) - aber aus dem Symbol ergibt sich das nicht: was über oder unter dem Symbol notiert wird, verändert die Bedeutung, schränkt sie ein oder erweitert sie, aber die glatte Umkehrung wird doch besser durch Durchstreichen oder ¬ ausgedrückt.

Auch ist hier Verwechslungsgefahr mit unglücklichen Konstruktionen wie "$\exists _{n=0}^{100}\varphi (n)$ gegeben, was durchaus ja mal passieren kann, wenn man Wahrheitswerte als summierbar betrachtet (dann ist $\sum _{n=0}^{100}\varphi (n)\neq 0\iff \exists n\in \left\{0,\ldots ,100\right\}.\varphi (n)$ (nicht signierter Beitrag von 46.115.217.173 (Diskussion) 15:04, 28. Okt. 2010 (CEST))

keine A?

gudn tach!
diesen revert verstehe ich nicht. erklaer bitte mal. -- seth 21:02, 1. Nov. 2010 (CET)

"Alle Menschen lachen" ist schon dann wahr, wenn es keine Menschen gibt.

"Für alle x, wenn x Mensch ist, lacht x" ist schon dann wahr, wenn es keine Menschen gibt.

"Für alle x, wenn A(x) dann B(x)" ist schon dann wahr, wenn es keine A gibt.

Was soll das heißen, wenn es keine x gibt? Wenn es gar nichts gibt? Das ist aber hier nicht gemeint. Hier ist gemeint, was die obigen Beispiele verdeutlichen sollen, nämlich, dass es nichts gibt, das das Antezedenz der Allaussage erfüllt. Hoffe, ich konnte es klarer machen. --Hajo Keffer 07:29, 2. Nov. 2010 (CET)

gudn tach!

sollte es aber dann nicht eher heissen: "[...] bereits wahr ist, wenn x kein existiert, sodass A(x)" oder "wenn A fuer kein x erfuellt ist" oder schlicht "wenn A(x) stets falsch ist"?

A ist nach meinem empfinden eine aussage ueber ein argument x. "A existiert nicht" ist imho ungenau und unguenstig formuliert.

wir koennen btw. diese diskussion gerne auf die talk page des artikels verschieben. -- seth 22:34, 2. Nov. 2010 (CET), nachtraeglich korrigiert. -- seth 21:19, 3. Nov. 2010 (CET)

Es heißt ja nicht "wenn A nicht existiert", sondern "wenn es keine A gibt". Letzteres analog zu "wenn es keine Menschen gibt". "wenn A nicht existiert" wäre analog zu "wenn Mensch nicht existiert" und das wäre total verkehrt und unsinnig, da gebe ich dir recht. Die 3 von Dir genannten Formulierungen sind alle brauchbar (allerdings: "[...] bereits wahr ist, wenn kein x existiert, so dass A(x)" - x vergessen). Wenn Dir die besser gefallen, setze eine von denen ein. --Hajo Keffer 08:34, 3. Nov. 2010 (CET)

oops, ja, sorry fuer die schlampigkeit in der meiner ersten - mittlerweile korrigierten - formulierung.

"wenn es keine A gibt" ist eine fuer mich (als mathematiker) sehr ungewohnte formulierung, an der ich mir zunaechst mal stosse, da "A(x)" ja als aussage ueber x, naemlich "x ist Mensch" interpretiert wird, "A" jedoch anscheinend als bestandteil der aussage (hier: eine menge, z.b. "menschen") interpretiert wird. aber ich habe mich mittlerweile noch mal zurueckerinnert an ein paar logik-vorlesungen bei den philosophen, wo mir das "alle S sind P" schon mal begegnet ist, was ich bloss wieder vergessen hatte.

iow: sorry fuers zeitrauben. die formulierung ist offenbar nur mir wenig gelaeufig. insofern kann ich eigentlich nichts weiter dagegen sagen. -- seth 21:19, 3. Nov. 2010 (CET)

bzw.

gudn tach!
zu [2]:

be|zie|hungs|wei|se ‹Konj.›:1. oder; oder vielmehr, genauer gesagt (Abk.: bzw.): ich war mit ihm bekannt b. befreundet. 2. und im anderen Fall (Abk.: bzw.): ihre Tochter und ihr Sohn sind sechs b. acht Jahre alt. (duden - duw)

oben wird ein beispiel mit einer konjunktion und ein beispiel mit einer disjunktion gegeben. weiter unten nimmt man darauf ... *trommelwirbel* bezug, und zwar auf beide. das woertchen wird hier also etwa fuer "und im anderen fall" verwendet. -- seth 21:44, 4. Nov. 2010 (CET)

Abstand zwischen Quantor und Aussage

Soweit ich weiß, ist es üblich, zwischen einem Quantor und der folgenden Aussage zusätzlichen Leerraum einzufügen, afaik mit \,

Was ich meine, sieht so aus: $\exists x\,A(x)$ (im Artikel: $\exists xA(x)$)

Dies wurde hier nicht gemacht und dementsprechend sieht manches etwas "aneinandergeklatscht" aus. Liegt das an irgendwelchen Leitlinien auf wikipedia (bin ziemlich neu hier) oder sollte man das verbessern?

--178.6.241.230 07:02, 16. Jul. 2013 (CEST)

Nein, darüber gibt es keine Leitlinien und wenn Dir das besser gefällt, kannst Du das machen. --Hajo Keffer (Diskussion) 18:29, 21. Jul. 2013 (CEST)

Mathematik und ihre Ketzerei an der Theologie.

In der formalen Begrifflichkeit der Mathematik hat der Allquantor eine geradezu obszöne philosophische Bedeutung.

Ist ein Objekt, wie ein Gott in der Theologie, alles, so kann dieses Objekt auch jedes Verbrechen begehen, oder vertuschen, wie es ihm gefällt.

Erst durch eine Definition eines Gültigkeitsbereiches, kann ein Allquantor Gültigkeit erlangen.

Alle Männer sind Schweine <|> Um ein Mann zu sein, muss ein Objekt ein Schwein sein.

Um alles zu sein, muss man durch und durch Böse sein.

Das Böse, des Böse, das Komplement eines Komplementes ist gerade der Ursprung.

Das Gute ist aber kein Komplementum, daher kann nichts Gutes durch Gut sein, Böse werden, das Gute ist damit der Feind des Besseren(Definierens).

Keine Definition ist umfassend, sie fusst auf schwammigem Apriorismus, erst durch Hineindefinieren und Komplementieren in den Apriorii-Sumpf, wie die Begrifflichkeit fassbarer.

Gehört Null zu den natürlichen Zahlen. durch N+X=N ist die Forderung dazu gegeben. aber natürlich gehört sie nicht dazu, denn N*X=X.

Gott, so er existiert, muss vernichtet werden, damit das Viel an Gedanken zu leben vermag.

Gott ist eine Null. (nicht signierter Beitrag von 2003:E1:E72D:E081:DF31:481F:3947:AC53 (Diskussion) 22:47, 30. Jun. 2021 (CEST))

Amen!

Wenn überhaupt, dann gehört dieser Diskussionsbeitrag zu Diskussion:Philosophische Logik.

"Floss your teeth, pay your tax and take your medicine." (Filmzitat, Richard Gere in Mr. Jones (1993)) --178.142.39.210 13:12, 21. Nov. 2021 (CET)

Abschnitt: Einfach quantifizierte Satzformen

Dritte Aussage:

$\exists x(S(x)\wedge R(x))$

Es gibt (mindestens) ein Ding x, für das gilt: das Prädikat S trifft auf x zu und das Prädikat R trifft auf x zu. Oder: Einige S sind R.

Einige S sind R. Ich störe mich an "einige", denn das sind umgangssprachlich mindestens 2. Es sollte heißen "Mindestens ein S ist R".

Das gilt auch für die vierte Aussage. --178.142.39.210 13:06, 21. Nov. 2021 (CET)