Diskussion:Reguläre Matrix

Formel für 2x2 Matrizen

Bei der Invertierung scheint ein Fehler unterlaufen zu sein. Wieso ändern b und c die Vorzeichen und wieso werden a und d vertauscht. Eigentlich dürfte sich kein Vorzeichen ändern und nur b und c sollten vertauscht werden. Bitte prüfen. (nicht signierter Beitrag von 129.13.72.177 (Diskussion | Beiträge) 23:09, 24. Jul 2009 (CEST))

Du musst dich verrechnet haben. Ich habs schnell nachgerechnet, bei mir passts. --Latency 19:46, 3. Sep. 2009 (CEST)

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Aussehen

Haben reguläre Matrizen ein allgemeines Aussehen? z.B. das irgendeine Diagonale = 0 ist oder so? --Chrisqwq 12:04, 26. Sep 2006 (CEST)

Das ist relativ unübersichtlich. Man kann natürlich sagen: Die Jordan-Normalform hat keine Nullen auf der Diagonalen; oder: jede reelle reguläre Matrix hat die Form $NAK$ mit einer oberen Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonale (N), einer Diagonalmatrix ohne Nullen auf der Diagonalen (A) und einer orthogonalen Matrix (K). Aber am einfachsten ist wohl immer noch die Determinante.--Gunther 12:12, 26. Sep 2006 (CEST)

Hinweis: Die Verlinkung der Begriffe in meinem vorstehenden Beitrag stammt nicht von mir.--Gunther 13:19, 26. Sep 2006 (CEST)

• Ich hab mir nur die Links eingefügt, um die Artikel besser zu finden. Entschuldigung. Ich finde deinen Beitrag eine Bereicherung für den Artikel und würde ihn gerne einfügen, es sei denn du willst ihn selber noch verbessern. --Chrisqwq 13:18, 26. Sep 2006 (CEST)

Den Teil mit der Jordan-Normalform habe ich jetzt in der Form "0 ist kein Eigenwert" eingefügt, die Iwasawa/QR-Zerlegung erscheint mir doch eher entbehrlich. In dieser Form ist das hauptsächlich dann interessant, wenn man sich für die Menge aller regulären Matrizen interessiert, und dafür gibt es den eigenen Artikel allgemeine lineare Gruppe.--Gunther 13:54, 26. Sep 2006 (CEST)

• • Wie oft in mathematischen Artikeln denke ich fehlt es diesem Artikel, das eben erläutert wird, was die Formeln bedeuten, also was ich meinte: Wie das ganze aussieht. Außerdem fehlt wie so oft: Wofür man das ganze z.B. braucht. --Chrisqwq 14:00, 26. Sep 2006 (CEST)

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Inverse einer Diagonalmatrix

Ich denke, dass die Inverse einer Diagonalmatrix eine Matrix ist mit den Einträgen $a'_{ii}={{1} \over {a_{ii}}}$. Kann das jemand bestätigen? Schwammerl-Bob 02:55, 14. Jan. 2007 (CET)

Für solche Fragen gibt's Mathematik-Foren. Aber die Antwort ist richtig, wie du leicht durch Nachrechnen feststellen kannst ($DD^{-1}=E$). --Stefan Birkner 20:44, 15. Jan. 2007 (CET)

Hui das war ja super-billig .. hätte man drauf kommen können :D

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Inverse existiert genau dann

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, - wenn sie vollen Rang hat. - die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren linear unabhängig sind. - die Zeilenvektoren eine Basis des R^n bilden - (Das lineares Gleichungssystem mit dieser Koeffizientenmatrix besitzt dann eine eindeutige Lösung.)

Dies Äquivalenten Definitionen findet man in jedem anständigen Mathematikbuch. Es ist sicher zum Verständis hilfreich. --A+D=F+M 14:25, 04. Jul 2007 (CEST)

Weiter unten im Artikel stehen schon alle äquivalenten Bedingungen. Ich habe die Einleitung jetzt nochmals überarbeitet und die zwei am allgemeinzugänglichsten Eigenschaften in die Einleitung. Ein kleiner Hinweis: Die Einleitung mathematischer Artikel muss keine exakte Definition sein. Vielmehr soll sie (einigermaßen) allgemeinverständlich Auskunft über das Wichtigste zum Artikelgegenstand geben. --Stefan Birkner 14:52, 4. Jul. 2007 (CEST)

Mir fällt gerade auf, dass im Artikel steht eine qudratische Matrix A sei inverterbar, wenn gilt: "Es gibt eine inverse Matrix $A^{-1}$, d. h. $AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}$ mit der Einheitsmatrix $I_{n}$." Das klingt für mich ein wenig nach "Sie ist invertierbar wenn sie invertierbar ist". Darum würde ich vorschlagen das "invertierbar" zu entfernen und nur sagen eine Matrix sei invertierbar wenn eine zweite Matrix $A^{-1}$ existiert sodass $AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}$. --Latency 11:24, 2. Sep. 2009 (CEST)

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Fehler in Formel für 3x3-Matrizen?

Im OTRS haben wir folgende E-Mail (Ticket#: 2008011310006828) erhalten:

An:  <info-de@wikimedia.org>
Betreff: Fehler in Artikel "Inverse"
Erstellt: 13.01.2008 19:12:57

Hallo,

in dem Artikel "Inverse" unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Inverse
und dort unter "Berechnung der inversen Matrix" - "Formel für 3x3-Matrizen" ist
meiner Meinung nach ein Fehler:
Müsste es nicht heißen:

1/detA * [
1. Zeile: ei-fh  di-fg  dh-eg
2. Zeile: bi-ch  ai-cg  ah-bg
3. Zeile: bf-ce  af-cd  ae-bd ]

Mit freundlichen Grüßen 

Könnte sich das bitte ein Mathematiker anschauen? Danke. — Raymond ^{Disk. Bew.} 19:44, 14. Jan. 2008 (CET)

Hab die Formel im Computer checken lassen. Die Inversenformel aus dem Artikel ist richtig, die aus der E-Mail falsch.

Der E-Mail-Schreiber hat beim Anwenden der Cramer'schen Regel vergessen, dass die Matrix, von der die Adjunkten gebildet werden, zunächst transponiert werden muss. --Tolentino 08:08, 15. Jan. 2008 (CET)

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Ringe, Körper

Hm ... ich finde es etwas unschön, dass die Hälfte der Bedingungen da doppelt steht. Wäre es nicht schöner, es wie folgt zu machen:

Es sind für Matrizen über einem kommutativen Ring R äquivalent

• ...
• ...

Ist R sogar Körper, so sind zusätzlich äquivalent

• ...

AB, Martini. --91.64.148.137 19:12, 25. Feb. 2008 (CET)

Kehrmatrix

Der Begriff Kehrmatrix wird hin und wieder synonym zur Inversen verwendet. Vielleicht ist es Wert diesen Begriff in den Artikel einzubauen.--Mordwinzew 00:03, 2. Jun. 2008 (CEST)

Such erst einmal ein Fachbuch, in dem du den Begriff Kehrmatrix findest, sonst ist es TF. --Tolentino 08:37, 2. Jun. 2008 (CEST)

Auf meinem Tisch liegt eines. Diese unüberlegten Antworten solltest du dir sparen. Wenn du schon das Wort Suche ins Spiel bringst sollte man der Meinung sein du hättest nachgeforscht bevor du dein Kommentar abgegeben hast. Link1 Link2 Link3 Auf anhieb gefundene Bildungsanstalen die dieses Wort verwenden. --Mordwinzew 01:18, 15. Jun. 2008 (CEST)

Alle drei angegebenen Links sind defekt. Welches Buch meinst du denn? --Tolentino 08:48, 17. Jun. 2008 (CEST)

So, jetzt hast du die drei Links korrigiert. Der erste Link ist ein Übungsblatt von der Fakultät Forst-, Geo- und Hydrowissenschaften, der zweite Link ist ein Übungsblatt zur Vorlesung Signale und Systeme und der dritte Link stammt aus einer Klausur für Hüttenleute und Geologen.

Ist wenigstens dein von dir bisher nicht genanntes Fachbuch ein "echtes" Mathematik-Fachbuch oder stammt es wieder aus fakultätsfremder Feder? --Tolentino 11:08, 2. Jul. 2008 (CEST)

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Singulär vs Nichtsingulär

Gebe ich bei der Suche "Singuläre Matrix" ein, werde ich zu diesem Artikel weitergeleitet und da wird in der Einleitung von "Nichtsingulären" Matrizen gesprochen. Das ist verwirrlich. --Yamagata 15:38, 23. Jan. 2009 (CET)

Am Ende der Einleitung wird auch der Begriff singuläre Matix erklärt und ist fett hervorgehoben. -- Stefan Birkner 13:10, 24. Jan. 2009 (CET)

uuups, tut mir leid, habs übersehen. Nehme alles zurück. --Yamagata 16:43, 28. Jan. 2009 (CET)

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Fehler

die vorzeichen in der formel in "adjunkte - herleitung der formel" stimmen nicht, ausserdem gehören die j durch i ersetzt (erhaltung des index). ich hätte diese änderungen vorgenommen, aber irgendjemand hat sich leider bemüßigt gefühlt, das rückgängig zu machen... --131.130.26.227 12:02, 4. Mai 2009 (CEST)

Jein, das mit dem j -> i habe ich eingefügt. Allerdings habe ich die Vorzeichen revertiert, weil in der cramerschen Regel keine (-1)-Potenzen vorkommen. --Tolentino 13:07, 4. Mai 2009 (CEST)

In der Cramerschen regel selbst kommt allerdings kein vorzeichen vor, in der entwicklung einer determinate nach spalten, wie sie für die Cramer-regel gebraucht wird, allerdings schon. die ${\tilde {a}}_{ij}$ sind auch auf jeden fall mit vorzeichen behaftet (siehe artikel Adjunkte), woran man ebenfalls sieht, dass die formel, wie sie jetzt im artikel steht, auf keienn fall stimmen kann. und auch der vergleich mit dem formel für den einfachsten fall, der 2x2-matrix, zeigt, dass die vorzeichenfaktoren $(-1)^{i+j}$ notwendig sind --131.130.26.227 14:53, 4. Mai 2009 (CEST)

Betrachte ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\\end{pmatrix}}$.

Dann ist nach der cramerschen Regel

$x=\det({\begin{pmatrix}0&a_{12}\\1&a_{22}\\\end{pmatrix}})/\det(A)=-a_{12}/\det(A).$

Das stimmt auch mit dem oberen rechten Element der Inversen $A^{-1}$ überein. Ein zusätzlicher Faktor $(-1)^{1+2}$ würde die Inversenformel zerstören. --Tolentino 15:50, 4. Mai 2009 (CEST)

das minus, das du oben richtigerweise angibst, ist gerade das vorzeichen $(-1)^{i+j}$ aus dem Laplacescher Entwicklungssatz zur determinantenberechnung. laut dem ersten falschen teil aus der formel im artikel würde hier ein plus stehen. --131.130.26.227 16:00, 4. Mai 2009 (CEST)

Wo das Minus herkommt, ist mir egal. Die Rechnung, die ich oben angegeben habe, ist so richtig. Ein weiterer Faktor $(-1)^{1+2}$ würde das Vorzeichen in $+a_{12}/\det(A)$ kippen. Konsultiere bitte irgendein Standardwerk der Linearen Algebra deiner Wahl und lies dir mal cramersche Regel durch. --Tolentino 16:02, 4. Mai 2009 (CEST)

das minus entspricht genau dem faktor, den ich angegeben habe, in der von dir angegebenen falschen formel im artikel kommt es nicht vor. mir reicht diese müßige diskussion aber auch langsam. wie wär's, wenn du ein beliebiges lineare algebra buch zur hand nehmen würdest, um deinen fehler einzusehen? --131.130.26.227 16:11, 4. Mai 2009 (CEST)

Zweifelst du etwa an obiger Identität für $x$??? --Tolentino 16:22, 4. Mai 2009 (CEST)

Aufgrund der Diskussion auf Benutzer_Diskussion:Tolentino erweckt sich mir der Eindruck, dass du unter $A_{ki}$ etwas anderes verstehst, als in dem Artikel definiert ist. $A_{ki}$ entsteht laut Artikel aus $A$, indem man die $k$-te Spalte durch den $i$-ten Einheitsvektor ersetzt. --Tolentino 16:24, 4. Mai 2009 (CEST)

ach so. gut, wenn man die $A_{ki}$ so definiert, dann stimmt das so. was aber nichts daran ändert, dass das völlig verwirrend ist, denn üblicherweise versteht man unter den $A_{ki}$ die matrix, die durch streichen der k-ten zeile und i-ten spalte aus der matrix A entsteht. --131.130.26.227 16:28, 4. Mai 2009 (CEST)

Ich kenne beide Definitionen, sie sind beide geläufig. Da aber direkt im Artikel die Definition steht, besteht meines Erachtens keine Verwechslungsgefahr und kein Handlungsbedarf. --Tolentino 16:30, 4. Mai 2009 (CEST)

sorry wegen der ganzen verwirrung, ich hätte genauer lesen müssen. zu meiner verteidigung ist zu sagen, dass ich diese definition von $A_{ik}$ noch nirgends gesehen habe. sie ist damit wohl deutlich weniger verbreitet, es wäre also weniger verwirrend, das ganze mit minoren zu schreiben. -- 131.130.26.227 18:47, 4. Mai 2009 (CEST)

Das sollte man nicht machen, weil das nicht die cramersche Regel ist. Dass man den Ausdruck der cramerschen Regel anschließend weiter umformen kann, steht auf einem anderen Blatt, aber das wäre ein weiterer Schritt. Den ersten Schritt der cramerschen Regel wegzulassen, verkompliziert das Verständnis. Außerdem muss man den Satz schon bis zum Ende lesen, da steht nämlich, dass die Determinante sich als Cofaktor schreiben lässt. Man muss schon vom Leser erwarten können, dass er einen Satz bis zum Punkt liest, bevor er meckert. --Tolentino 08:41, 5. Mai 2009 (CEST)

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GRAVIERENDER FEHLER: Invertierbar genau dann wenn...

Mir ist gerade in dem Artikel aufgefallen, das es heißt: "Eine Matrix [über einen Körper] ist genau dann invertierbar wenn ... ür alle $b\in K^{n}$ existiert mindestens eine Lösung $x\in K^{n}$ des linearen Gleichungssystems $Ax=b$."

Diese Aussage ist meine Ansicht nach jedoch schlicht falsch, was man mit einem einfachen Beispiel belegen kann: Sei A die Matrix über $R^{2}$ mit dem dazughörigen LGS $x+y=0$ und $2x+2y=0$. Diese Matrix hat die Determinante $det(A)=0$, ist also nicht invertierbar. Das LGS hat jedoch mehr als eine Lösung (nähmlich genau $x=-y$ und wäre nach Aussage des Artikels also invertierbar.

Meine Meinung dazu ist, das die Aussagen "...es existiert mindestens eine Lösung..." und "...es existiert höchstens eine Lösung..." als Unterpunkte geführt werden müssen zu "...es existiert genau eine Lösung..." Analoges gilt für die Aussagen über Injektivität und Surjektivität bzgl. Bijektivität sowie der linearen Unabhängigkeit und der Erzeugung von $K^{n}$ bzgl. der Aussagen "die Zeilen/Spalten bilden eine Basis von $K^{n}$. Bitte prüfen ggf. ändern. --82.130.72.101 12:55, 11. Jul. 2011 (CEST)

Du versäumst es, einen Quantor ins Spiel zu bringen. Es soll für alle $b\in K^{n}$ mindestens eine Lösung $x\in K^{n}$ für das Gleichungssystem $Ax=b$ geben. So hat deine Beispielmatrix z.B. keine Lösung für $Ax=(5,6)$.

Übrigens ist diese Formulierung lediglich eine verklausulierte Surjektivitätsforderung and die durch A beschriebene Abbildung $K^{n}\to K^{n}$.

Beispielsweise über den Rangsatz kann man relativ leicht beweisen, dass für lineare Abbildungen $f\colon V\to V$ (Linearität und gleicher Zielraum ist hier entscheidend!) aus Surjektivität Injektivität folgt und umgekehrt.

Daraus folgt dann auch gleich die Äquivalenz von Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.

Gruß, --Daniel5Ko 19:35, 13. Jul. 2011 (CEST)

Ich verstehe deinen Punkt, jedoch ist es (meiner Ansicht nach) in diesem Zusammenhang verwirrend. --129.132.247.114 11:34, 14. Jul. 2011 (CEST)

Dass gewisse Fakten gewisse Leser verwirren, ist kein Grund, sie zu löschen - erst recht nicht, wenn sie leicht zu beweisen sind und wahrscheinlich in jedem Lehrbuch zur linearen Algebra stehen. --Daniel5Ko 12:53, 14. Jul. 2011 (CEST)

Ergänzung: Mir ist eben noch etwas eingefallen, was der Intuition vielleicht auf die Sprünge hilft, und die Verwirrung beseitigen hilft:

Für endliche Mengen $A,B$ gleicher Mächtigkeit und beliebige Funktionen (also nicht nur lineare) $f\colon A\to B$ sind Injektivität und Surjektivität ebenfalls äquivalent. Wenn man nun noch hinzunimmt, dass eine lineare Funktion durch die Bilder der Elemente einer beliebig gewählten Basis (im Fall eines endlichdimensionalen Vektorraums ist das 'ne endliche Menge) eindeutig festgelegt ist, wird vielleicht schon alles klarer. --Daniel5Ko 00:25, 15. Jul. 2011 (CEST)

Den letzten Punkt bitte ich darum genauer zu erläutern, denn wenn wir Beispielsweise mal das Intervall $A=B=[0,1]$ wählen, dann sind A und B gleichmächtige endliche Mengen und bilden einen $R$-Vektorraum. wenn wir nun noch $f\colon A\to B;\ x\to 4(x-0.5)^{2}$ wählen, so ist klar, das $f/colon$ nicht die Äquivalenz von Surjektivität und Injektivität erfüllt (die Funktion ist Subjektiv, jedoch nicht Injektiv).

Bei Linearen Funktionen ist die Sachlage natürlich anders, dort ist sofort klar, das die Injektivität und die Subjektivität äquivalent sind. Des weiteren habe ich auch keine Belege deiner Aussage gefunden, vielleicht magst du noch ein Buch/eine Quelle nennen, wo ich das vielleicht nachlesen kann. (Kleine Korrektur, es haben sich 2 Fehler eingeschlichen, die Funktion sollte lauten $x\to 4(x-0.5)^{2}$ und aus der Surjektivität habe ich unbeabsichtigt eine Subjektivität gemacht, ich bitte um Verzeihung)--JacobN 23:01, 22. Jul. 2011 (CEST)

A und B sind keine endlichen Mengen, sondern überabzählbar unendlich. Du verwechselst vermutlich "endlich" mit "beschränkt". Sie bilden auch keine $\mathbb {R}$-Vektorräume. Die Abbildung f bildet A nicht auf B ab (f(1) = 4 ist nicht in B), ist aber auf A = [0,1] injektiv (damit sie nicht injektiv wäre, müsste sie auf negativen und positiven Zahlen definiert sein). An deinem Gegenbeispiel ist also alles falsch. (Es heißt übrigens "surjektiv", nicht "subjektiv", von frz. "sur" = "auf".) -- Digamma 22:04, 22. Jul. 2011 (CEST)

Als Quelle für die Äquivalenzbehauptung von Injektivität und Surjektivität bei Funktionen zwischen endlichen Mengen gleicher Mächtigkeit sei z.B. Bodo Pareigis: "Lineare Algebra für Informatiker", Lemma 1.2.28 genannt. --Daniel5Ko 22:26, 22. Jul. 2011 (CEST)

@JacobN: Bitte ändere alte Beiträge nicht ab, sondern stelle Fehler in einem neuen Beitrag richtig. Zur Not kannst Du Passagen, die nicht mehr gelten sollen mit <s>...</s> durchstreiden. Die Diskussion wird sonst nicht mehr nachvollziehbar.

Mit der Korrektur ist dein Beispiel zwar tatsächlich eine surjektive aber nicht injektive Abbildung von A auf B, aber die Hauptkritik bleibt: A und B sind keine endlichen Mengen. (Und sie sind auch keine Vektorräume und f keine lineare Abbildung.) Die im Artikel und in Daniel5Ko's Beiträgen getätigte Aussage: Eine lineare Abbildung von einem Vektorraum endlicher Dimension in einen Vektorraum derselben Dimension ist genau dann surjektiv, wenn sie injektiv ist. -- Digamma 09:11, 23. Jul. 2011 (CEST)

Ich stimme dem ersten Beitrag zu. Die Formulierung hat mich beim ersten Lesen auch ins stutzen gebracht. Aus "Für alle $b\in R^{n}$ existiert mindestens eine Lösung $x\in R^{n}$ des linearen Gleichungssystems $Ax=b$." kann man nicht auf die Invertierbarkeit schließen, was durch den einleitenden Satz "Die Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:" suggeriert wird. Ein Gegenbeispiel wurde gebracht. Die Formulierung ist zumindest missverständlich, was gefährlich ist, weil sich so ein Artikel ja an jemanden richtet, der das Thema nicht so gut kennt wie der Autor. Ich würde den Unterpunkt rausnehmen oder anpassen, überlasse die Entscheidung aber lieber jemandem mit mehr Kompetenz. --134.130.59.80 18:02, 4. Feb. 2013 (CET)

Über die Missverständlichkeit der Aussage kann man diskutieren, falsch ist sie jedoch definitiv nicht. Wenn zu jedem $b\in \mathbb {R} ^{n}$ mindestens eine Lösung $x\in \mathbb {R} ^{n}$ des linearen Gleichungssystems $Ax=b$ existiert, dann ist die Matrix $A$ invertierbar.

In dem Beispiel existiert nicht zu jedem $b\in \mathbb {R} ^{2}$ eine Lösung, sondern nur für solche $b=(b_{1},b_{2})^{T}$ mit $b_{2}=2b_{1}$. Also ist in diesem angeblichen Gegenbeispiel die Voraussetzung der Aussage nicht erfüllt. Es ist kein Gegenbeispiel. --Digamma (Diskussion) 19:58, 4. Feb. 2013 (CET)

Für Vektorräume (also über einem Körper) würde ich das auch noch als "Grundwissen" einstufen, dass surjektiv und injektiv für einen Endomorphismus äquivalent sind. Aber für die Situation bei allgemeinen Ringen wäre vielleicht ein Einzelnachweis mMn gar nicht so unangebracht, das dürfte deutlich "tiefliegender" sein. Interessant ist da ja auch, dass offenbar nur eine Richtung gilt (aus surjektiv folgt bijektiv). Kennt für die andere Richtung vielleicht jemand ein einfaches Gegenbeispiel, also einen injektiven Endomorphismus, der nicht bijektiv ist? -- HilberTraum (Diskussion) 19:54, 5. Feb. 2013 (CET)

Einfaches Gegenbeispiel: Man nehme den $\mathbb {Z}$-Modul $\mathbb {Z}$, und als injektiven Endomorphismus $x\mapsto 2x$. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:01, 5. Feb. 2013 (CET)

Danke! Oh mann, so naheliegend, da hatte ich viel zu kompliziert gedacht mit Matrizen über Restklassenringen und so ... -- HilberTraum (Diskussion) 21:49, 5. Feb. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 19:07, 27. Mai 2014 (CEST)

invers vs rechtsinvers

In der Einleitung steht der Satz

"Eine quadratische Matrix A ist invertierbar, wenn eine weitere Matrix $A^{-1}$ existiert, sodass

$A\cdot A^{-1}=E$

gilt.".

Muss man nicht zusätzlich verlangen, dass die Matrix $A^{-1}$ linksinvers zu A ist, d.h.

$A^{-1}\cdot A=E$

?

Nein, das zweite folgt aus dem ersten. -- Digamma 21:42, 5. Sep. 2011 (CEST)

Das gilt für Matrizen über einem kommutativen Ring, im Allgemeinen aber nicht. Gegenbeispiel: Nach http://planetmath.org/encyclopedia/VonNeumannFinite.html gibt es einen Ring R und Elemente $a,b\in R$, so dass $\displaystyle ab=1$ aber $ba\neq 1$. Es folgt

${\begin{pmatrix}a&0&\dots &0\\0&1&&\\\vdots &&\ddots &\\0&&&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b&0&\dots &0\\0&1&&\\\vdots &&\ddots &\\0&&&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ab&0&\dots &0\\0&1&&\\\vdots &&\ddots &\\0&&&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&&\\\vdots &&\ddots &\\0&&&1\end{pmatrix}}=E$

aber

${\begin{pmatrix}b&0&\dots &0\\0&1&&\\\vdots &&\ddots &\\0&&&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0&\dots &0\\0&1&&\\\vdots &&\ddots &\\0&&&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ba&0&\dots &0\\0&1&&\\\vdots &&\ddots &\\0&&&1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&&\\\vdots &&\ddots &\\0&&&1\end{pmatrix}}=E.$ (nicht signierter Beitrag von 217.93.172.116 (Diskussion) 19:26, 10. Sep. 2011 (CEST))

Dann sollte man lieber dazu schreiben, dass man nur Matrizen über einem kommutativen Ring betrachtet. -- Digamma 20:46, 10. Sep. 2011 (CEST)

Ja, das sollte geaendert werden! (nicht signierter Beitrag von 2001:638:504:C00E:21E:4FFF:FE95:5E11 (Diskussion | Beiträge) 16:18, 10. Jun. 2014 (CEST))

Du hast Recht, der Erledigt-Baustein war zu voreilig. Ich habe jetzt in der Definition die Bedingung "kommutativ" an den Ring ergänzt. Damit ist das erstmal wirklich erledigt. Interessant wäre aber zu wissen, ob und wie der Begriff "reguläre Matrix" auch bei nicht-kommutativen Ringen definiert wird. --Digamma (Diskussion) 16:57, 10. Jun. 2014 (CEST)

Tut mir leid, vermutlich habe ich den Beitrag zu schnell überflogen. Aber ich würde gerne verstehen, was in dem Beispiel schief läuft, das heißt welches der Gruppenaxiome verletzt ist. Hiervon wären nämlich weitere Artikel betroffen, z.B. Inverse Matrix und Allgemeine lineare Gruppe. Die Einschränkung auf kommutative Ringe erscheint mir auch sehr stark, denn zumindest für Matrizen über einem Schiefkörper müsste die Äquivalenz von Rechts- und Linksinversen auch noch gelten. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:18, 10. Jun. 2014 (CEST)

Ok, selbst draufgekommen: Die zweite Matrix (die mit b) besitzt kein Rechtsinverses. Man muss fordern, dass in dem Ring jedes Element ein Rechtsinverses und damit auch ein Linksinverses besitzt. Damit ist man genau bei Schiefkörpern. Zusammengefasst: bei allgemeinen (unitären) Ringen braucht man beide Bedingungen, bei kommutativen Ringen und Schiefkörpern nur eine der beiden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:33, 10. Jun. 2014 (CEST)

Mir ist noch nicht klar, was das für ein Ring sein kann und was für Ringelemente $a$ und $b$ mit $ab=1$ aber $ba\neq 1$. --Digamma (Diskussion) 19:39, 10. Jun. 2014 (CEST)

Mir auch nicht, aber ich kann mir grundsätzlich schon vorstellen, dass das sein kann. Leider funktioniert der obige Link (und die Suche bei PlanetMath) nicht mehr. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:44, 10. Jun. 2014 (CEST)

Was mir einfällt: $a$ und $b$ als Linksshift und Rechtsshift im Endomorphismenring eines Folgenraums. -- HilberTraum (Diskussion) 20:12, 10. Jun. 2014 (CEST)

Genau. Das wollte ich auch grad schreiben, habe aber zur Sicherheit vorher noch ein paar Beweise gebastelt, und nun sehe ich betrübt deinen Beitrag :). Wie auch immer, die Lösung, einfach sowohl $A\cdot B=I$ als auch $B\cdot A=I$ zu fordern, wie Quartl das kürzlich getan hat, ist aus meiner Sicht genau richtig (u.a. wg: einfach ein Spezialfall der Definition von Isomorphismen in beliebigen Kategorien) und wird auch in der Literatur häufig so gemacht. Dass unter Umständen eins von beiden reicht, ist in den jeweiligen Fällen halt ein Satz. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:43, 10. Jun. 2014 (CEST)

Siehe Seite 4 in http://books.google.de/books?id=2T5DAAAAQBAJ&pg=PA4&lpg=PA4&dq=dedekind+finite+ring&source=bl&ots=PVpvavFDkN&sig=dwGK8oLJIpgBLe2htImHnOSBe3k&hl=de&sa=X&ei=8LiZU_i-I4e6ygPg-oD4AQ&ved=0CHMQ6AEwCTgK#v=onepage&q=dedekind%20finite%20ring&f=false (Beispiel für einen nicht Dedekind-endlichen Ring). (nicht signierter Beitrag von 2001:638:504:C00E:219:99FF:FEFB:D33A (Diskussion | Beiträge) 16:55, 12. Jun. 2014 (CEST))

Herzlichsten Dank. --Digamma (Diskussion) 21:01, 12. Jun. 2014 (CEST)

Parsefehler

Am Anfang des Artikels hats einiges zerschossen. Ich hab jetzt nicht den Fehler gefunden, und auf der Spielwiese wird der Absatz auch richtig angezeit. Villeicht kommt jemand drauf, was da los it... (nicht signierter Beitrag von 178.7.7.121 (Diskussion) 11:46, 8. Feb. 2014 (CET))

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 19:07, 27. Mai 2014 (CEST)

Artikel aufteilen

Ich spiele mit dem Gedanken, die Inhalte zur Inversen in einen eigenen Artikel Inverse Matrix auszulagern, denn bei invertierbaren und inversen Matrizen handelt sich um zwei verschiedene Dinge. Auf diese Weise könnten auch die internen Links besser auf den jeweils passenden Artikel gesetzt werden. Nicht zuletzt könnten so auch die beiden Themenbereiche noch etwas ausführlicher behandelt werden. Spricht hier etwas dagegen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:20, 19. Apr. 2014 (CEST)

Ich finde die Idee sehr gut. Ich habe mich schon oft geärgert, dass Inverse Matrix keinen eigenen Artikel hat, sondern auf diesen hier weiterleitet. --Digamma (Diskussion) 16:49, 19. Apr. 2014 (CEST)

Ich sehe gerade, dass die beiden Artikel früher bereits getrennt waren. Allerdings wurde die Zusammenführung hier nicht lizenzkonform vorgenommen. Damit ist eine korrekte Auslagerung mittels Importupload nicht mehr so einfach möglich und man muss stattdessen die Artikelhistorien nachträglich per Hand auseinanderklabüsern. Wahrscheinich ist es am besten, wenn ich den (die) Artikel von Grund auf neu schreibe. Mal schauen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:40, 19. Apr. 2014 (CEST)

Da spricht natürlich nichts dagegen. Andererseits könntest du auf der Version von "Inverse Matrix" von vor der Zusammenlegung aufbauen. --Digamma (Diskussion) 11:45, 20. Apr. 2014 (CEST)

Ich habe nun doch den Artikel inverse Matrix von Grund auf neu geschrieben und den gordischen Knoten zerschlagen. Allerdings ist dieser Artikel jetzt etwas armselig und allgemeine lineare Gruppe gibt es auch noch. Ich werde mal überlegen was sich machen lässt. Letztlich ist ja auch spannend warum die vielen Charakterisierungen alle äquivalent sind. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:27, 26. Mai 2014 (CEST)

Definition singulärer Matrix richtig?

Eine Matrix, die keine Inverse besitzt, wird hier singulär genannt. Allerdings werden hier Matrizen auch über Ringen betrachtet, woraus folgt, dass eine Matrix A aus natürlichen Zahlen mit det(A)=2 singulär ist. Das ist m. E. nicht der normale Sprachgebrauch.--Donesk (Diskussion) 02:52, 15. Jan. 2015 (CET)