Diskussion:Relation (Mathematik)

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Inverse Relation

Wüsste gerne mehr darüber.

die relation im allgemeinen ist ja wohl eine n-stellige, d.h. das kartesische produkt von n mengen, mh? n kann dabei auch gleich 1 werden. siehe die englische seite. hier werden bisher nur die binaeren rel. behandelt. ausserdem erscheint mir der schriftzug A=B etwas freizuegig herumkopiert worden zu sein kakau 20:57, 5. Mär 2003 (CET)

Die einstelligen Relarionen sind die Teilmengen von $A^{1}=A$, die Beschränkungen ideser sind die Schnittmengen mit anderen Teilmengen von $A$. Da ist nichts weiter. Die nullselligen Relationen sind die Teilmengen von $A^{0}=\{\emptyset \}$, also $\emptyset$ und $\{\emptyset \}$ (A° muss genau ein Element enthalten wegen x°=1. Informell: Da A° für alle A gleich sein muss, kommt als Element nur die Leermenge infrage, die gibt es auch in ZF ohne Urelemente, und nur die ist 'basal' genug). Die höherstelligen Relationen sind schon erwähnt, einen Hinweis auf die Permutationen (insbes. Spiegelung) der Koordinaten der Relations-n-Tupel (Verallgemeinerung der Konversion = Umkehrung), habe ich angefügt. Anwendung siehe Mathematische Struktur, hier: relationale (statt algebraische). --Ernsts (Diskussion) 18:04, 27. Jan. 2018 (CET)

eigener Artikel "binäre Relation"

Die englische Wikipedia hat eine Seite über Relationen im Allgemeinen (k-stellige) und eine spezielle Seite für binäre Relationen, da diese in Mathematik und vielen angewandten Wissenschaften aufgrund der dort möglichen Operatoren besonders bedeutend sind. Ich halte diese Trennung für sinnvoll, da man meistens in Anwendungen eher den allgemeinen Fall oder speziell den binären Fall betrachtet. Das meiste, was in diesem Artikel gesagt wurde, vor allem die Eigenschaften, beziehen sich ohnehin auf zweistellige Eigenschaften.

Außerdem vermisse ich leider die Erwähnung von Operatoren wie Komposition, Konverser Relation: R^{-1} oder R^\smile =\{(x,y)| (y,x) \in R\}, join,... Für die meisten Operatoren genügt eine kurze Erwähnung und ein Link auf die entsprechende Seite, z. B. relationale Algebra, die dann auch auf der Seite "binäre Relationen" Eingang finden sollten.(Alex, emailalex@web.de, 21.1.06)

Inzwischen ist ja einge Zeit vergangen, und was Deine Feststellung

"Außerdem vermisse ich leider die Erwähnung von Operatoren wie Komposition, Konverser Relation: $R^{-1}$ oder :$R^{\smile }=\{(x,y)|(y,x)\in R\}$, join,... "

betrifft, hat sich einiges getan (das mit den Fasern in Analogie zu den Funktionen fehlt noch, suche noch nach Literatur, siehe auch die "difunctional (or regular) relation" und "joint kernel" aus en:Binary relation). Um so mehr (Umfang!) ist Dein Vorschlag, Teile auszugliedern, berechtigt. Nur fragt es sich, sollte man besser :

• die binären Relationen (homogen oder nicht) oder:
• die homogenen Relationen (binär oder nicht) oder
• nur die binären homogenen Relationen

ausgliedern. Wenn ich mir die englische WP ansehe, muss ich leider feststellen, dass die n-stelligen homogenen Relationen völlig unter den Tisch gefallen sind. Bitte um Vorschläge zu den genannten Optionen oder auch andere Ideen :-) --Ernsts (Diskussion) 17:25, 4. Feb. 2018 (CET); Update Ernsts (Diskussion) 20:32, 4. Feb. 2018 (CET)

Schreibweise "a R b" vs. "(a,b) in R"

Ich bin mit der Änderung von 80.133.125.117 nicht einverstanden.

Zwar wird eine Relation in diesem Artikel als Menge von Tupeln definiert, so dass formal die Schreibung "(a,b) in R" zu verwenden ist, üblicherweise werden Relationen jedoch mit Relationszeichen statt Buchstaben bezeichnet, und in Infix-Notation benutzt: Man schreibt meist "a < b" und nicht "(a,b) in <" für eine Ordnung, und "a ~ b" statt "(a,b) in ~" für Äquivalenzrelationen.

Wenn ich also eine Relation ausnahmsweise R nenne, dann schreibe ich trotzdem "a R b" statt "(a,b) in R", um auszudrücken: "a steht in Relation R zu b".

Welche Meinungen habt ihr dazu? --SirJective 18:16, 3. Jul 2004 (CEST)

korrekt ist beides, lesbarer ist a R b. -- Weialawaga 19:36, 3. Jul 2004 (CEST)

Ich bin neulich über diese Notation gestolpert (aRb) und sie scheint die gebräuchliche in der Literatur zu sein (als Beispiel der Bronstein). Trotz allem ist sie nichts anders als fürchterlich: R ist ja zunächst eine Menge. aRb dann als Relation zu definieren ist völlig unintuitiv. Viel besser wäre: $a~_{R}b$. Allerdings sind wir nicht hier, um neue Notationen zu kreieren, insofern... --DaTroll 00:04, 5. Jul 2004 (CEST)

Mir sind alle drei Schreibweisen geläufig: a R b und (a,b) \in R und R(a,b), und zwar oft je nachdem, of man mehr an eine bestimmte Art von Relation denkt a R b wird vor allem für transitive Relationen verwendet und für solche, die miteinander assoziativ komponiert werden sollen. (a,b) \in R wird verwendet, wenn der Mengencharakter wichtig ist, und R(a,b) wenn der funktionale Charakter verwendet werden soll, oder in der math. Logik. In meinem Arbeitsgebiet ist die Notation a R b am gebräuchlichsten, da R meist für Verallgemeinerungen von < und = steht. Vielleicht könnte man auf diese Unterschiede hinweisen. (Alex, emailalex@web.de, 21.1.06)

Verallgemeinerungen von < und <= schreibt man einfach < und <= und erwähnt irgendwo, daß man nicht unbedingt die übliche Kleiner-Relation meint.--131.159.0.47 16:12, 2. Jun. 2014 (CEST)

Persönlich würde ich für die Verallgemeinerungen $\prec$ und $\preceq$ gegenüber $<$ und $\leq$ bevorzugen, ebenso wie $\sqcap$ und $\sqcup$ gegenüber $\land /\cap$ und $\lor /\cup$ bei der Booleschen Algebra - weil man diese (fast überall) gleich verwenden kann. Was $aRb$ und $(a,b)\in R$ so ist mir das egal ('Haarspalterei'), solange man genau, und zwar ganz genau weiß, was gemeint ist. Und das ist hier der Fall, selbst so Serifen wie $a\equiv b\operatorname {mod} c$ kann ich noch 'automatisch' als $(a,b)\in \operatorname {mod} _{c}$ lesen. ${\mathcal {R}}(a,b)$ verstehe ich dagegen eher als zweistelliges Prädikat, d. h. als Erweiterung des einstelligen $M=\{a\mid {\mathcal {E}}(a)\}$ zu eiem $R=\{(a,b)\mid {\mathcal {R}}(a,b)\}$, natürlich ist mit einer Wahrheitsfunktion $\mathbf {R} (a,b)\in \{true,false\}$ die logische Äquivalenz $\mathbf {R} (a,b)\Leftrightarrow {\mathcal {R}}(a,b)$ verbunden, aber die Prädikate werden imho als Abkürzungen für Ausdrücke, die a bzw. a und b enthalten verstanden, die Wahrheitsfuntion ist aber eine Abbildung A×B -> {true,false}. --Ernsts (Diskussion) 19:49, 4. Feb. 2018 (CET)

Das ist die Frage, ob R zunächst eine Menge ist. R ist zunächst eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Objekten. Die Menge ist der Graph der Relation, der dann häufig mit der Relation identifiziert wird.--Sigma^2 (Diskussion) 15:52, 27. Nov. 2023 (CET)

Rechts-/Linkstotal

sind eigentlich keine Eigenschaften von Relationen selbst, sondern von Relationen zusammen mit Mengen A und B. Die Relation selbst weiss ja nichts von A und B. (Vgl. aktuelle Änderungen an Funktion (Mathematik).--Gunther 23:21, 13. Mär 2005 (CET)

Das ist richtig, trifft aber auf jede "Relationseigenschaft" zu, welche die Mengen A und B benutzt (also jede der beschriebenen Eigenschaften). Präziser müssten die Eigenschaften wie folgt beschrieben werden: "Eine Relation R heißt ... auf A x B gdw. ...". Meist ist aus dem Kontext aber klar, welche Mengen A und B gemeint sind, so daß die vorgenommene Abkürzung sehr verbreitet, und meiner Meinung nach auch zulässig, ist. --Sledge 01:29, 14. Mär 2005 (CET)

Allerdings gibt es von dieser Sorte Eigenschaften außer den Totalitäten im Artikel nur noch die Eigenschaft "alternativ", von der ich noch nie etwas gehört habe. Auch "trichotomisch" finde ich ein wenig ausgefallen.--Gunther 01:46, 14. Mär 2005 (CET)

Mir ist noch die Benutzung von "serial" im Englischen für linkstotal untergekommen. Kennt jemand anders diese Bezeichungsweise? Ansonsten kenne ich Andererseits: "Whitehcid and Russell apply the term serial relation to relations which are transitive, irreflexive, and connected (and, in consequence, also asymmetric). However, the use of serial relations in this sense, instead ordering relations as just defined, is awkward in connection with the notion of order for unit classes." (http://www.ditext.com/runes/o.html, siehe "order") (Alex, emailalex@web.de, 21.1.06)

Was ist der Verbesserungsvorschlag für den Artikel?--Sigma^2 (Diskussion) 15:55, 27. Nov. 2023 (CET)

Surjektiv und Injektiv

In der jetzigen Version wird der Begriff "surjektiv" mit "rechtstotal" in Verbindung gebracht (Siehe Tabelle unter 4. "Eigenschaften"). Täusche ich mich, oder gehört das "surjektiv" nicht eher zum "rechtseindeutig"?

"surjektiv" und "injektiv" sind Definitionen für "Abbildungen" / "Funktionen" und sollten im Allgemeinen nicht mit "rechtstotal" und "linkseindeutig" gleichgesetzt werden. Beispiel: Eine surjektive Abbildung ist eine rechtstotale Relation, ABER eine rechtstotale Relation ist noch keine surjektive Abbildung, DENN dazu müsste die Relation auch linkstotal und rechtseindeutig sein.

Die Begriffe "Injektiv" und "surjektiv" sind auf einfachen Relationen nicht definiert. Es gibt keine Relation die "surjektiv" ist, lediglich eine Relation, welche rechtstotal ist. Ist sie darüber hinaus eine Abbildung, dann ist diese Abbildung surjektiv... (nicht signierter Beitrag von 188.104.150.85 (Diskussion) 15:12, 14. Nov. 2014 (CET))

Antitransitivität

Da a,b,c allquantifiziert sind und somit die gleichen Werte annehmen dürfen, impliziert die Antitransitivität (wie sie momentan angegeben ist) die Irreflexivität. (auch schon, wenn nur 2 Variabeln den selben Wert annehmen dürfen und die Relation nicht nur Elemente der Form (a,a) enthält) Ist das so korrekt? Wenn ich jetzt an die Graphentheorie denke, ist ein gerichteter Graph antitransitiv, wenn er keine transitiven Kanten enthält, reflexive Kanten zählen dort nicht. Dort muss die Bedingung "nur" für alle a,b,c gelten, die paarweise verschieden sind. Ich habe auch schon gesucht, meine Algebra Unterlagen befassen sich allerdings nicht mit solch grundlegenden Dingen. --Reziprok 21:05, 15. Okt. 2006 (CEST)

Eine andere Sache bezüglich Antitransitivität: Ich würde von der Graphentheorie ausgehend erwarten, dass eine Relation auch nur dann antitransitiv ist, wenn es für $(a,b)\in R$ keinen Pfad einer Länge 2 oder größer gibt (was dann auch Irreflexivität und Zyklenfreiheit einschließt). D.h. Wenn es einen Pfad einer Länge größer als 1 gibt, gibt es keinen Pfad der Länge 1. Gibt es einen derartigen Begriff? -- 78.50.208.192 22:10, 18. Jun. 2011 (CEST)

Eine Relation ist (tautologische Definition im Eingangssatz)

Eine Relation ist allgemein eine Beziehung. Ja, aber was ist eine Beziehung. Eine Relation?

In der Tat ist die Eingangsdefinition tautologisch. Vielleicht kann man die Begriffsdiskussion auch auslagern, da sie in gleicher Weise für die Logik und letztlich auch für die Philosophie allgemein relevant ist.

Wenn ich es richtig verstehe ist eine "Relation" schlicht ein mehrstelliger Begriff bzw. ein mehrstelliges Prädikat/mehrstelliger Prädikator, wobei man in der Regel mit Relation ein zweistelliges Prädikat meint. Daneben wird die Relation auch als Extension eines zweistelligen Prädikats definiert (z.B. von Menne, Logik, 6. Aufl. (2001), S.110).

Oder - vielleicht mehr für den Geschmack für Mathematiker wie folgt:

„Die Extension eines 2-stelligen Prädikats F(x,y) im Gegenstandsbereich U ist die Menge aller geordneten Paare (x,y) aus U, die das Prädikat F(x,y) erfüllen: R (F,U) = {(x,y)/F(x,y); x,y &epsilon U} Eine solche Menge wird als eine „2-stellige Relation in U“ bezeichnet. Es handelt sich dabei um eine Teilmenge der kartesischen Produktmenge U x U.“ Czayka, Logik (1991), S. 38 --Hans-Jürgen Streicher 20:41, 22. Aug. 2008 (CEST)

Eine Relation von A und B ist eine Teilmenge der Produktmenge. Das ist nicht tautologisch, und als Mathematiker verstehe ich das auch ;-) --131.159.0.47 16:15, 19. Mai 2014 (CEST)

Relationspotenz und Relationsprodukt

Dto. finde ich bei den Relationsverkettungen nicht ausdrücklich. --Hans-Jürgen Streicher 20:41, 22. Aug. 2008 (CEST)

Attribute für homogene Relationen

Laut Artikel sollen „total“, „linear“ und „konnex“ das Gleiche sein, so weit ich weiß, ist das aber nicht so: Eine totale Ordnung $\leq$ ist linear, während eine strenge totale Ordnung $<$ konnex ist. Die Linearität einer Relation $R$ schließt immer für alle Elemente $a$

$(a,a)\in R$

mit ein (Reflexivität), die Konnexität dagegen schließt das für alle $a$ aus (Irreflexivität):

$(a,a)\notin R$.

Definition:

$R$ ist total $\iff \forall {a,b}\in A\colon \,(a\neq b\implies (a,b)\in R\,\lor \,(b,a)\in R)$.

Weiter definiert man:

$R$ ist linear $\iff R$ ist total und reflexiv;

$R$ ist konnex $\iff R$ ist total und irreflexiv.

Dann gilt:

$R$ ist linear $\iff \forall {a,b}\in A\colon \;(a,b)\in R\,\lor \,(b,a)\in R$.

--RPI 20:00, 25. Mär. 2009 (CET)

Eine andere Variante wäre (ich bin mir im Moment nicht sicher und muss noch prüfen, was richtig ist):

Definition:

$R$ ist konnex $\iff \forall {a,b}\in A\colon \,(a\neq b\implies (a,b)\in R\,\lor \,(b,a)\in R)$;

$R$ ist linear bzw. total $\iff R$ ist konnex und reflexiv.

--RPI 20:32, 25. Mär. 2009 (CET)

Konnex ist im Artikel und in dieser Diskussion nicht belegt. Die Anmerkung „Nicht selten wird konnex auch wie total definiert.“ ist nicht belegt.--Sigma^2 (Diskussion) 11:43, 23. Nov. 2023 (CET)

Wann ist eine Relation eine Funktion ?

Nach dem Artikel: Eine Relation R heißt Funktion, wenn sie linkstotal und rechtseindeutig ist.

Ich hab mal gelernt :Eine Relation R heißt Funktion, wenn sie rechtseindeutig ist. Wenn eine Funktion linkstotal ist heißt sie "totale Funktion" !

--Hdisk 14:33, 21. Mai 2009 (CEST)

Das kann man auch so sehen, wie du das gelernt hast, das ist aber eher unüblich.

Eine rechtseindeutige Relation ist – wie hier im Artikel auch beschrieben – eine partielle Funktion. Weil durch eine partielle Funktion, schränkt man sie auf ihren Definitionsbereich ein, auch immer ein Funktion gegeben ist und umgekehrt eine (totale) Funktion als eine spezielle partielle Funktion aufgefasst werden kann, ist es eher eine Geschmacksfrage, welche Bezeichnungsweise man wählt. Es wird wohl auch nicht immer so sauber zwischen Funktion und partieller Funktion unterschieden. Es sollte jedoch immer klar sein, was jeweils gemeint ist, weil es sonst zu Missverständnissen und Fehlinterpretationen mit entsprechenden Folgen kommen kann.

Es ist deshalb immer ratsam, sich die Definitionen und Bezeichnungeweisen genau anzusehen, um nicht böse Überraschungen erleben zu müssen (etwa dass man ein Theorem zum Beweis einer Aussage benutzt, das gar nicht die erforderlichen Voraussetzungen erfüllt).

Ein ähnliches Problem ist z.B., dass die Menge der natürlichen Zahlen unterschiedlich definiert wird: bei den einen Autoren ist 0 eine natürliche Zahl und beim anderen nicht. Meistens spielt das keine Rolle, aber wenn doch, dann ist es oft ziemlich aufwändig, herauszufinden, welche Definition der jeweilige Autor verwendet und welche Definition andere Autoren, die von diesem Autor zitiert werden, benutzt haben, weil die Menge der natürlichen Zahlen oft nicht explizit definiert wird. Im schlimmsten Fall kann der Beweis eines ganzen Theorems daran scheitern, dass eine dafür benötigte Aussage für 0 nicht bewiesen ist.

Es gibt noch einige andere Beispiele für Bezeichnungen, die unterschiedlich verwendet werden: Ringe etwa können per Definition immer eine Eins haben oder auch nicht, eine Ordungsrelation kann per Definition immer total sein oder auch nicht usw.. Die meisten Leute haben in der Regel nur eine Variante gelernt und meinen dann, dass diese dann die einzig richtige ist und merken gar nicht, dass das Ergebnis eines anderen Autors auf einer anderen Definition beruht und es deshalb möglicher Weise für ihre eigenen Zwecke nicht verwendet werden kann. --RPI 18:33, 22. Mai 2009 (CEST)

Aus sinnvollen Gründen und gemäß dauernder Übung in der Standardmathematik sind Funktionen überall definiert. - Es kommt schon vor, daß dort, wo von Nullmengen die Rede ist, man mal erwähnt, daß die Funktionen bloß "bis auf eine Nullmenge definiert" sind und sich auf einer Nullmenge auch unterscheiden können, das sind dann strenggenommen Äquivalenzklassen von Funktionen, was man in der Regel der formalen Richtigkeit wegen erwähnt und dann unproblematisch nicht mehr beachten braucht. ("verhält sich wie eine Funktion" usw.) Man kann das natürlich auch in Begriffe wie "partielle Funktion" bringen.--131.159.0.47 16:20, 19. Mai 2014 (CEST)

Es gibt den Artikel partielle Funktion.--Sigma^2 (Diskussion) 11:08, 23. Nov. 2023 (CET)

Relationen auf echten Klassen

Ich bin vor Kurzem über die Frage gestolpert, ob die Isomorphie von Gruppen eine Äquivalenzrelation ist. Natürlich sind die drei Eigenschaften erfüllt, allerdings handelt es sich doch bei der "Menge aller Gruppen" nicht um eine Menge im formalen Sinne, oder? Eine Relation ist in diesem Artikel nur auf Mengen definiert, wie also löst man dieses Problem formal? Ist Isomorphie von Gruppen keine Äquivalenzrelation? --Leifa (Diskussion) 16:47, 5. Dez. 2012 (CET)

So weit ich das sehe, wird das nicht eindeutig gehandhabt bei Begriffen wie Abbildung, Relation oder Äquivalenzrelation. Man schränkt sich bei der Definition aus verschiedenen Gründen oft auf Mengen ein:

• Die Zielgruppe hat (leider) keine Vorstellung von Mengenlehre.
• Der Begriff wird für echte Klassen im jeweiligen Werk nicht benötigt.
• Bzgl. einer Äquivalenzrelation, die eine echte Klasse ist, lässt sich nicht ohne weiteres eine Quotientenstruktur (Faktorraum, oder wie man es nennen mag) definieren, dafür braucht man das Auswahlaxiom für Klassen, wie es etwa in der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre vorhanden ist, mit einem metasprachlich auf ZFC aufgesetzten Klassenbegriff, wie das oft üblich ist, kommt man da nicht weit.
• Will man etwa die Klasse oder Kategorie aller Relationen definieren, geht das nicht, wenn man Relationen auf Klassen zulässt.

Wenn man an bestimmte Punkte kommt, ist es dann aber doch wiederum sinnvoll, Relationen auf echten Klassen zu betrachten, indem man es einfach völlig analog definiert. Dann muss man aber eben mit obigen Punkten aufpassen. (Wie man bei deinem Beispiel mit der Isomorphie von Gruppen dann einen Quotienten konstruiert, siehe Skelett; ansonsten hat man es auch gut, wenn man eine Äquivalenzrelation hat, deren Äquivalenzklassen alle Mengen sind, dies tritt etwa bei der Bildung einer Quotientenkategorie einer lokal kleinen Kategorie auf, prominentestes Beispiel vllt. Toph – die Klasse aller stetigen Abbildungen „modulo“ Homotopie. Wenn man es bequem haben möchte, kann man auf die Verwendung echter Klassen auch (fast) ganz verzichten, und dafür Grothendieck-Universen benutzen, dann würde man nicht alle Gruppen betrachten, sondern nur alle Gruppen, die in einem bestimmten Universum liegen, und dann wäre die Äquivalenzrelation „Isomorphie“ auch tatsächlich auf einer Menge aller kleinen Gruppen definiert und damit auch selbst eine Menge. --Chricho ¹ ² ³ 17:12, 5. Dez. 2012 (CET)

Stimmt. Schon die Kategorie alle strukturlosen Klassen (strukturlos = ohne bekannte struktur) geht nicht, nur die der Mengen (=Klasse aller Mengen). Wir müssen also gar nicht erst zu Relationen gehen. Gleiche Problematik. --Ernsts (Diskussion) 19:54, 4. Feb. 2018 (CET)

Die Gleichung $R=(G_{R},A,B)$

Die (Definitions)Gleichung $R=(G_{R},A,B)$ besagt nichts anderes als $R=(G_{(G_{(G_{(G_{\text{ usw.}},A,B)},A,B)},A,B)},A,B)$ --Lothario Hederich (Diskussion) 16:51, 26. Feb. 2013 (CET)

Die Notation $G_{R}$ soll nur bedeuten, dass $G$ von $R$ abhängt. Den Index kann man auch problemlos weglassen. Deine Definition $R=(g,A,B)$ mit $g=G_{R}$ hat das gleiche formale Problem. Da du zudem wichtige Informationen gelöscht hast und der folgene Abschnitt dadurch in der Luft hängt, habe ich deine Änderung wieder rückgängig gemacht. Grüße, --Quartl (Diskussion) 05:52, 28. Feb. 2013 (CET)

Ich habe nicht “$R=(g,A,B)$ mit $g=G_{R}$” geschrieben, sondern “Die erste Komponente einer Relation $R$ zwischen Mengen heißt Graph der Relation und wird mit $\operatorname {G} _{R}$ bezeichne”. Mit meiner Änderung wollte ich lediglich darauf aufmerksam machen, dass zwischen dem Begriff Relation und Relation zwischen Mengen zu unterscheiden ist. Im Artikel sind n-stellige Relationen einerseits Mengen von n-Tupel, andererseits nur ein Tupel. Auf dieses Widersprüchliche habe ich hingewiesen und angezeigt, wie es nicht nur für binäre Relationen, sondern allgemein für n-stellige Relationen mathematisch sauber zu lösen ist. Mit Gruß, --Lothario Hederich (Diskussion) 21:25, 28. Feb. 2013 (CET)

Eigentlich stand ja alles schon da, ich habe aber jetzt den binären und mehrstelligen Fall aufgetrennt und insbesondere die ausführlichere Definition des mehrstelligen Falls explizit ergänzt. Besser so? Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:47, 1. Mär. 2013 (CET)

Du fragst: Besser so?, ich sage: ja. Allerdings hätte ich etwas anders formuliert, um nicht mit dem Prädikatenkalkül in Konflikt zu kommen, etwa so:

Eine binäre Relation ist dann definiert als ein Tripel R=(g,A,B), wobei g $\subseteq$ AxB. g nennt man Graph von R und bezeichnet diesen mit G_R oder mit Graph(R).

entsprechend für n-stellige Relationen. Mit Grüßen, --Lothario Hederich (Diskussion) 19:48, 1. Mär. 2013 (CET)

Ich habe nun einfach den Index gelöscht, Groß- und Kleinschreibung würde zu sehr verwirren. Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:53, 2. Mär. 2013 (CET)

Ist OK. Es dürfte nun auch kein strenges Mathematikerauge mehr stören. Mit Grüßen, --Lothario Hederich (Diskussion) 08:47, 2. Mär. 2013 (CET)

Die Gleichung $R=(G_{R},A,B)$ steht mit der Prädikatenlogik nicht im Konflikt (wird auch problemlos im Artikel benutzt). --Chricho ¹ ² ³ 18:39, 14. Aug. 2013 (CEST)

Richtig, das ist ok. $x=\{x,y\}$ oder $x=(x,y)$ ist da etwas anderes! Auch wenn es ein bisschen nach 'GNU = GNU not Unix' aussieht. Als Definition mit 'R := ...' ginge es aber nicht durch, weil implizit. Ist also eher informell zu verstehen, eine sauber(er)e und einfache Notation fällt mir auch nicht ein...--Ernsts (Diskussion) 15:29, 27. Jan. 2018 (CET)

Begriffe Vorbereich, Quelle und Nachbereich sind veraltet.

"Die Menge A wird als Vorbereich oder Quelle der Relation R bezeichnet; die Menge B als Nachbereich, Ziel oder Zielmenge."

Hier ist einiges falsch bzw. veraltet (Das als Quelle angegebene Buch ist von 1979!)

Die Namen "Vorbereich" und "Quelle" für die Menge A habe ich bisher noch nie gelesen/gehört, sondern ich finde in der aktuellen Literatur nur die Namen "Definitionsbereich" oder "Definitionsmenge".

Bei der Bezeichnung der Menge B wird es etwas komplizierter, aber "Nachbereich" habe ich noch nie gelesen/gehört. Komplizierter wird es deshalb, weil heutzutage zwischen "Wertebereich" und "Zielbereich" hin und her definiert wird. Manchmal bezeichnet man so die Menge B, manchmal aber auch nur den (bei einer Funktion) wirklich getroffenen Bildbereich der Menge B mit diesem Namen.

Mal schauen, was die Diskussion ergibt :-) grüße S.G.

--178.2.51.94 11:56, 1. Aug. 2013 (CEST)

Hallo! Erst mal zur Menge A: Kannst du bitte mal eine der Literaturstellen angeben, die "Definitionsbereich" oder "Definitionsmenge" dafür verwendet? Ich kenne das eher so wie z. B. hier, dass damit die Menge aller a in A bezeichnet wird, für die es ein b in B gibt, dass mit a in Relation steht. -- HilberTraum (Diskussion) 12:17, 1. Aug. 2013 (CEST)

Das verlinkte Buch von Deiser liegt hier vor mir, dort steht "Definitionsbereich", ich glaube diese Bezeichnung ist unstrittig und die korrekte Bezeichnung für die Menge A. Ich habe gerade durch ca. 10 andere Bücher die hier bei mir liegen durchgeschaut, "Definitionsbereich" ist der aktuell richtige Begriff, alles andere ist veraltet und uneinheitlich. (Bei Bronstein findet man zwar (bei der Funktion) den Begriff "Originalbereich", aber das kann man wohl als Kuriosität abhaken...).

Bei B wird's echt kompliziert und uneinheitlich, da weist z.B. Schichl in Einführung in das mathematische Arbeiten darauf hin, das Wertebereich und Zielbereich oft uneinheitlich verwendet werden, mal für die gesamte Menge B und mal für die Teilmenge von B, also das was wir üblicherweise als wirklich getroffenes Bild bezeichnen.

Noch verwirrender wird es, wenn Deiser in Grundbegriffe der wissenschaftlichen Mathematik schreibt, das die Menge B als "Wertevorrat" bezeichnet wird und die (meist echte) Teilmenge von B, also die wirklich getroffenen, als "Wertebereich".

Falls du genaue Quellenangaben für etwas bestimmtes brauchst, such ich dir gerne raus, Bücher liegen ja hier bei mir rum. gruß S.G.

Zusatz: M.E. ist Deiser der einzige der A und B bei Relationen einen eigenen Namen gibt. Alle anderen die ich bisher angeschaut habe machen das nur für Funktionen, und vergeben dort eigene Namen für A und B. Eine Extra-Namensvergabe bei Relationen scheint also eher unüblich zu sein.

--178.2.51.94 12:43, 1. Aug. 2013 (CEST)

Jetzt schau dir doch nochmal den verlinkten Deiser genau an: Dort wird nicht A als Definitionsbereich bezeichnet, sondern dom(R), das wird zwei Zeilen darüber definiert und ist nicht A. Und Literaturstellen, bei denen über Funktionen geschrieben wird, sind völlig ungeeignet, das zu entscheiden, weil ja bei Funktionen dom(R) und A per Definition gleich sind. Also nenne mir mal zwei oder drei von deinen 10 Büchern (Autor, Titel, Seitenzahl) und dann schauen wir mal weiter. -- HilberTraum (Diskussion) 14:04, 1. Aug. 2013 (CEST)

Stimmt du hast recht. Aber der Wiki-Artikel fasst A und B zu einem Feld zusammen. In Oliver Deiser - Grundbegriffe der wissenschaftlichen Mathematik, Seite 55 und 56, fasst Deiser dom(R) und rng(R) zu einem Feld zusammen. Das beißt sich dann ja, weil Wiki sich auf A und B bezieht und Deiser sich auf dom(R) und rng(R).

Er schreibt: "Die Menge field(R) = dom(R) U rng(R) heißt das Feld von R."

Und noch eine Frage: Wo, abgesehen von dem Buch von 1979, haben A und B (bei Relationen) einen Eigennamen bekommen? Konnte da nichts finden...(galt ja alles nur für Funktionen).

--178.2.61.188 14:29, 1. Aug. 2013 (CEST)

Ja, das Feld im Artikel ist seltsam, habe ich noch nie gehört. Das Feld bei Deiser macht wohl nur Sinn, weil dort A = B gilt. Ich sehe das auch so, dass es eher unüblich ist, dass A und B Namen bekommen. Es gibt ja auch z.B. dreistellige Relationen, wie sollte man da A,B,C nennen? Hmm, was bedeutet das jetzt für den Artikel? -- HilberTraum (Diskussion) 15:09, 1. Aug. 2013 (CEST)

Na, zweistellige Relationen bilden schon einen wichtigen Spezialfall. Das macht schon Sinn, den Bereichen Namen zu geben, schließlich kann man zweistellige Relationen verketten. --Chricho ¹ ² ³ 15:24, 1. Aug. 2013 (CEST)

Das stimmt, aber ich finde tatsächlich nicht viele Literaturstellen, in denen Namen dafür vergeben werden, da hat der IP-Benutzer schon recht. Hast du ein bekanntes neueres Buch dazu? Vielleicht wird ja man eher im Informatik-Bereich fündig. -- HilberTraum (Diskussion) 15:48, 1. Aug. 2013 (CEST)

Habe das Feld mal rausgeworfen. Alternativ könnte man dom, rng und field definieren, ich befürchte aber, dass das an dieser Stelle zu weit führt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:50, 1. Aug. 2013 (CEST)

Hatte die Kommentar hier noch nicht gelesen (zugegeben) und diese Begriffe (wider) eingeführt, jetzt aber mit Referenzen (möglichst auf Standardwerke). Das Problem ist, dass die Begriffe oft unterschiedlich gebraucht werden, die en WP etwa definiert domain und range über den Graphen (also minimal), aber codomain synonym zu 'set of destination', nicht zu range, kann ich nicht nachvollziehen! Scheint aber Autoren zu geben, die es so machen. 'Best Practice' Vorschlag: WP sollte Begriffe klar und deutlich herausarbeiten; anderen Gebrauch in der Literatur am Rande aber erwähnen, insbesondere wenn dieser zu Missverständnissen führen könnte (siehe Formale Grammatik mit dem Sigma und dem V). Hier z. B. brauchen wir wg. der 'ausführlichen' Relationsdefinition als Tupel (nicht einfach als Graph) eine Unterscheidung: Vor- und Nachbereich als Übersetzung von 'set of departure' und 'set of destination' scheinen mir in diesem Sinne gut geeignet. Diese Begriffe sind nicht veraltet, sondern etwas anderes als die über den Graphen definierten Definition- und Wertebereiche. Deutlich wird das bei der Äquivalenzrelation 'im Wesentlichen gleich' (zur ausführlichen Definition), mit (G_R,Db(R),Wb(R)) als kanonischen (= natürlichen, einfachsten, minimalen) Repräsentanten der Äquivalenzklassen.

Warum brauchen wir die ausführliche Definition überhaupt? Betrachten wir Funktionen als Spezialfall von Relationen. In der Kategorientheorie wir für verkettbare Morphismen verlangt, dass D_g = B_g, was im konkreten Fall für algebraische Strukturen bedeutet, dass bei der Verkettung von Homomorphismen (den strukturtreuen Funktionen) Vorbereich von g und Nachbereich von f übereinstimmen müssen. Im Allgemeinen reicht es aber aus, dass der Definitionsbereich von g eine Obermenge vom Wertebereich von f ist, damit Homomorphismen verkettbar sind. Wir müssen also Homomorphismen als Funktionen nach der ausführlichen Definition verstehen, damit wir die Klassen algebraischer Strukturen als Kategorien identifizieren können. Oder wir müssten den Kategoriebegriff erweitern um eine Art 'Entahltenseinsrelation' für die Objekte (im konkreten Fall: Mengen). Das wäre wesentlich komplizierter als der ausführliche Relations- oder Funktionsbegriff, derim Übrigen gut zu den Tupel-Definitionen für mathematische Strukturen aller Art passt.--Ernsts (Diskussion) 20:24, 4. Feb. 2018 (CET)

Klassendiagramm Relation

Klassendiagramm Relation

Definitionen

Die Definitionen sind unzureichend, denn es fehlen

• einstellige Relationen (Teilmengen einer Menge $A$),
• nullstellige Relationen (Teilmengen von $A^{0}=\{\emptyset \}$),
• beliebigstellige Relationen (Teilmengen von $A^{I},$ wobei $I$ auch unendlich sein kann).

Außerdem sollte man konsequnter Weise in der Unterüberschrift und in der Definition „binär“ durch „zweistellig“ austauschen. --RPI (Diskussion) 18:03, 16. Aug. 2013 (CEST)

Einstellige Relationen sehe ich ja noch ein, aber welcher Autor definiert denn nullstellige Relationen oder unendlichstellige Relationen (und, vor allem, wozu)? An sich handelt der ganze Artikel momentan nur von binären Relationen, insofern sind allgemeinere Definitionen (inklusive der mehrstelligen) am Anfang etwas fehl am Platz. Entweder man führt die allgemeineren Definitionen am Ende des Artikels unter "Verallgemeinerungen" oder man verschiebt den Artikel auf binäre Relation (oder zweistellige Relation), dann könnte man unter Relation (Mathematik) alle in der mathematischen Praxis verwendeten Varianten auflisten. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:55, 16. Aug. 2013‎ (CEST)

Nullstellige Relationen: Siehe Struktur (erste Stufe),

Unendlichstellige Relationen: Jede Funktion ist auch eine Relation, und unendlichstellige Funktionen gibt's u.a. in der Funktionalanalysis.

Verallgemeinerungen: Mir sagt die zweite Möglichkeit mehr zu, weil die zweistelligen Relationen den Artikel zu sehr dominieren und wegen ihrer Wichtigkeit auch einen eigenen Artikel verdienen. Im Artikel „Relation (Mathematik)“, in dem dann Relationen allgemein erklärt werden sollen, muss man aber mit Bedacht vorgehen: Zunächst ist nämlich eine allgemeine Definition gar nicht möglich, weil eine Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts von Mengen ist. Aber das kann man allgemein erst dann definieren, wenn man Familien bzw. Abbildungen definiert hat, also erst, nachdem zweistellige Relationen definiert sind. D.h. man muss erst zweistellige Relationen definieren oder auf deren Definition im Artikel „zweistellige Relation“ verweisen und dann nach einem Verweis auf Abbildungen (als spezielle zweistellige Relationen) und das allgemeine kartesische Produkt die allgemeine Definition bringen. Die null- und einstelligen Relationen kann man dann zum Schluss neben anderen Beispielen noch kurz erläutern, weil sicherlich nicht jedem Leser geläufig sein wird, was ein kartesisches Produkt von einer oder gar von null Mengen ist. Viele Grüße --RPI (Diskussion) 21:52, 16. Aug. 2013 (CEST)

Mir geht es mehr darum, dass die Begriffe "nullstellige Relation" oder "unendlichstellige Relation" in der Praxis so gut wie nicht gebraucht werden (Wikipedia-Artikel sind hier keine gute Quelle). Eine Google-Books-Suche [1] [2] liefert praktisch keine Treffer und auch "mehrstellige Relation" bezieht sich immer auf ein endliches kartesisches Produkt [3]. Meine Einschätzung wird auch durch die Aussage in [4] gedeckt: Hinzugefügt werden muss noch, dass geordnete Nulltupel und nullstellige Relationen weitgehend ungebräuchlich sind (anders als nullstellige Funktionen). Auch wenn man in der Funktionalanalysis unendlichstellige Funktionen betrachtet, der Begriff unendlichstellige Relation ist mir noch nicht untergekommen. Die Behandlung solcher Funktionen als Relationen würde auch gar keine neuen Erkenntnisse bringen. Hast du da einschlägige Quellen?

Ansonsten hätte ich nichts gegen zwei separate Artikel. Würde man in dem neuen Artikel auf den unendlichstelligen Fall verzichten, und nur den ein-, zwei- und mehrstelligen Fall aufführen (evtl. auch den nullstelligen), dann hätte man auch keine Definitionsprobleme. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 02:45, 17. Aug. 2013 (CEST)

Entschuldige bitte, dass ich dir hier erst jetzt antworte, aber ich dachte, ich hätte das schon getan und hatte auch an anderer Stelle zu tun, sodass ich das hier etwas aus den Augen verloren hatte.

Ich werde in absehbarer Zeit leider keine Gelegenheit haben, hinsichtlich „unendlichstelligen Relationen“ eine gründlichere Literaturrecherche durchzuführen, aber wahrscheinlich hast du da recht und diese werden in der Literatur gar nicht erst betrachtet. Ich vergesse manchmal, dass auch in der Mathematik die Begriffe historisch gewachsen sind und nicht immer dem entsprechen, was der Name suggeriert und was vielleicht wünschenswert wäre. Ich glaube, gesehen habe ich in der Literatur „unendlichstellige Relationen“ als solche auch noch nicht, wie gesagt indirekt nur als unendlichstellige Funktionen. Das gilt wohl auch für „nullstellige Relationen“, zudem wären diese auch nicht wirklich sinnvoll, denn $1=\{0\}=\{\emptyset \}$ wäre dann sowohl eine null- $(1\subseteq \{\emptyset \}=\mathbb {N} _{0}^{\;0})$ als auch eine einstellige Relation $(1=\{0\}\subseteq \mathbb {N} _{0}).$ Dass dies auch für $0=\emptyset$ gilt, ist dabei nebensächlich, da $\emptyset$ auch sonst ein Sonderfall ist. Viele Grüße, --RPI (Diskussion) 14:12, 25. Sep. 2013 (CEST)

Ok. Wie gesagt, gegen eine Auslagerung von binäre Relation hätte ich nichts. Bei der Gelegenheit könnte man da auch gleich einen vernünftigen Artikel draus machen und die vielen Tabellen in Text umwandeln. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:29, 25. Sep. 2013 (CEST)

Klassen von Relationen

Aus dem Quelltext des Artikels hierher verschoben:

„Achtung: eine lineare Striktordnung ist nicht linear, eine strenge Totalordnung nicht total! .... Was ist damit gemeint?“

An Stelle von „lineare Striktordnung“ gehört ja auch „konnexe Striktordnung“ und durch „streng“ ergibt sich aus einer reflexiven Ordnungsrelation ihre irreflexive Entsprechung, d.h. eine strenge Totalordnung ist nicht total, da total u.a. auch reflexiv bedeutet, was eine strenge Ordnungsrelation nicht ist. --RPI (Diskussion) 12:19, 1. Nov. 2013 (CET)

Zumindest stimmt das, wenn „linear“ genau so definiert wird wie „total“. Das geht aber auch anders, denn die Bezeichnung „linear“ ist eigentlich nur für Ordnungsrelationen sinnvoll (nämlich, wenn Punkte zu einer Linie angeordnet sind). Daher ist folgende Definition, die auch in der Literatur zu finden ist, besser:

Eine (Halb-)Ordnung heißt linear, falls sie total ist, dagegen heißt eine Striktordnung linear, wenn sie konnex ist.

Für allgemeine Relationen ist darf dann „linear“ nicht definiert sein (muss es auch nicht, weil es ja „total“ und „konnex“ gibt), aber wenigstens ist damit jede lineare Striktordnung auch linear. --RPI (Diskussion) 19:06, 2. Nov. 2013 (CET)

Definition von bijektiv

Im Abschnitt "Eigenschaften zweistelliger Relationen" ist meiner Meinung nach der Begriff binjektiv falsch definiert. Damit eine Relation bijektiv ist muss sie zusätzlich noch funktional sein. Die Bedingung "Jedes Element aus B hat genau einen Partner in A." reicht nicht aus. Ein einfaches Gegenbeispiel findet man wenn beide Mengen nicht die gleiche Anzahl an Elementen haben. (nicht signierter Beitrag von Danvildanvil (Diskussion | Beiträge) 02:06, 7. Jan. 2014 (CET))

Das sehe ich genauso. Die einfachste Definition für bijektiv ist schlichtweg injektiv + surjektiv. Damit macht auch der Name Sinn. Die hier beschriebene Eigenschaft von Bijektivität ist nicht hinreichend. (nicht signierter Beitrag von 46.231.88.218 (Diskussion) 10:59, 17. Jan. 2014 (CET))

Na, ach – ebenso: (injektiv und surjektiv) wird doch im Artikel die Bijektivität allgemein definiert für zweistellige Relationen:

• linkseindeutig bzw. injektiv : „Jedes Element aus B hat höchstens einen Partner in A.“
• rechtstotal bzw. surjektiv : „Jedes Element aus B hat mindestens einen Partner in A.“
• bijektiv : „Jedes Element aus B hat genau einen Partner in A.“

und gilt so auch für bijektive partielle Funktionen (nicht linkstotal; bei denen doch nicht jedes Element aus A in der Relation stehen muss (jedoch jedes aus B)).

Offensichtlich werden davon und darüber hinaus bijektive totale Funktionen unterschieden (linkstotal; bei denen dann jedes Element aus A in der Relation stehen muss und jedes aus B) und als "Bijektion" bezeichnet:

• Bijektion : „Jedes Element aus A hat genau einen Partner in B und umgekehrt.“

Erst diese (totale) bijektive Funktion ist also sowohl links- und rechtstotal als auch links- und rechtseindeutig – wie Danvildanvil sie dann will.

Ich finde diese Unterscheidung nicht unsinnig und sehe auch keine fehlerhafte Definition. --nanu _*diskuss 12:13, 17. Jan. 2014 (CET)

Mit der kleinen Anmerkung, dass der undefinierte Begriff Partner verwendnet wird.--Sigma^2 (Diskussion) 12:13, 23. Nov. 2023 (CET)

Intransitiv vs. nicht-transitiv

Im Text wird gesagt, dass eine Relation R intransitiv ist, wenn gilt: wenn a in R zu b, und b in R zu c steht, so steht a *nicht* in R zu c. Entsprechend wird gesagt, dass Intransitivität und Nichttransitivität zu unterscheiden sind. Das finde ich alles gut. Allerdings verlinkt der Ausdruck "Nichttransitivität" dann auf den Eintrag "Intransitive Relation", wo "intransitiv" konsequent im Sinne von "nicht-transitiv" verwendet wird. IMHO sollte der Eintrag "Intransitive Relation" geändert und in "Nicht-transitive Relation" umbenannt werden (oder es sollte irgendeine andere Angleichung stattfinden) -- aber ich bin kein Wikipediamensch. Vielleicht machts jemand anderes? (nicht signierter Beitrag von 78.50.49.5 (Diskussion) 06:34, 4. Nov. 2014 (CET))

Eigenschaften der komplementären Relation

Es sollte erwogen werden, dass im Artikel Erwähnung findet:

• R ist symmetrisch <=> \R ist symmetrisch

• R ist reflexiv <=> \R ist irreflexiv
• R ist irreflexiv <=> \R ist reflexiv

• R ist antisymmetrisch <=> \R ist konnex
• R ist konnex <=> \R ist antisymmetrisch

• R ist total <=> \R ist asymmetrisch
• R ist asymmetrisch <=> \R ist total

Es fragt sich nur, ob man Literatur findet, die das auflistet. Anderenfalls sollte es vielleicht in den jeweiligen weiterführenden Artikeln bewiesen werden. Und freilich sollte ebenfalls erwogen werden, die jeweilige Eigenschaft der komplementären Relation im jeweiligen weiterführenden Artikel zu erwähnen: im Artikel "Antisymmetrie" ein Hinweis auf Konnexität der komplementären Relation, im Artikel "Konnexität" ein Hinweis auf Antisymmetrie der komplementären Relation, ...

--Griff 77.58.97.112 22:53, 8. Mär. 2015 (CET)

Danke für den Hinweis. Habe leider auch keine Online-Referenz gefunden. Denke aber, die Zusammenhänge sind anhand der angegebenen Tabellen und einfacher (prädikaten-)logischer Regeln abzuleiten,dass es nicht unbedingt nötig ist. Habe den Abschnitt über komplemntäre Relation erweitert und das auch aufgenommen. Scheue mich allerdings, diese Zus'hänge - solange noch ohne Referenzen - auch in die weiterführenden Artikel aufzunehmen. --Ernsts (Diskussion) 15:08, 27. Jan. 2018 (CET)

Mehrdeutiger Begriff "Funktion"

Im Abschnit Allgemeine Relationen steht:

"Allgemeine Relationen

Die folgenden Relationen sind für Funktionen (dargestellt als spezielle Relationen) wichtig."

Dann werden 8 Begriffe in zwei Tabellen aufgelistet, aber nur der letzte davon heißt tatsächlich "Funktion". Da ist der Begriff "für Funktionen" aus der Einleitung aber doch falsch, denn 7 der Relationen sind ja offenbar gerade keine Funktionen? Das würde ich umformulieren. Und wieso eigentlich zwei Tabellen? Das passt doch auch in eine oder was sind die jeweiligen Oberbegriffe der Tabellen, an dem sie sich von einander unterscheiden?--AchimP (Diskussion) 17:29, 23. Apr. 2015 (CEST)

Wichtig für Funktionen bedeutet nicht, dass es sich selbst um Funktionen handelt. Aber: Eine surjektive Relation, die eine Funktion ist, ist eine surjektive Funktione (linkseindeutig und links- wie rechtstotal), analoge Kombinationen: injektive Funktion, bijektive Funktion. Außerdem gibt es die in den anderen Abschnitten verwendeten Bezeichnungen Multifunktion (nur linkstotal) und partielle Funktion (nur rechtseindeutig), bei denen es sich im eigentlichen/strengen Sinn nicht um Funktionen (ohne Zusatz - linkstotal+rechtseindeutig) handelt. Habe diese Begriffe in Klammern in die Tabelle aufgenommen. --Ernsts (Diskussion) 01:26, 27. Jan. 2018 (CET)

Atome/Singletons

In der englischsprachigen Literatur gibt es den Begriff 'singleton relation'. Eine Relation ist 'atomar' oder eine 'singleton relation', g. d., w. es keine echten Teilrelationen gibt. Sie besteht dann aus nur einem einzigen Paar bzw. n-Tupel. Einelementige Menge, ProofWWiki, Relations §Atoms and isolation - deutschsprachige Quellen? --Ernsts (Diskussion) 17:38, 1. Feb. 2018 (CET)

Relationszeichen

Im Abschnitt heißt es "während „<“ keine Ordnungsrelation im Sinne der mathematischen Definition ist.". Es ist unklar, was gemeint ist, die Minimalanforderung an eine Ordnungsrelation ist die Transitivität und die ist ja für "<" wohl erfüllt. --Sigma^2 (Diskussion) 23:19, 23. Aug. 2022 (CEST)

Minimalanforderung reicht natürlich nicht. Wie mir vorkommt, ist es schwieriger, eine strenge schwache Ordnung (Striktordnung) „<“ zu definieren. Aber es geht. Am kürzesten scheint mir allerdings die Definition $a<b:\Longleftrightarrow a\leq b\;\land \lnot (b\leq a)$, was ein Rückgriff auf ≤ wäre, den man ja eigentlich nicht machen möchte.

Also probier's! --Nomen4Omen (Diskussion) 10:10, 24. Aug. 2022 (CEST)

Unübersichtliche Diskussion

Die Diskussion ist sehr unübersichtlich geworden. Daher habe ich ein Archiv eingerichtet. Bitte erledigte Punkte als erledigt markieren, damit sie archiviert werden. Dann wird langsamer klarer, welche Überarbeitungen noch ausstehen.--Sigma^2 (Diskussion) 18:31, 18. Nov. 2023 (CET)

Die Tripel

@Eulenspiegel1: 1) Der erste Satz meiner Änderung ergibt sehr wohl Sinn. (Man denke etwa an die Kategorie Rel, die man mit einer Morphismenklasse (statt mit einer Familie von Morphismenmengen) definiert.) Und er gibt eine vernünftige Motivation für die Tripel, anstatt über "nicht präzise genug" zu fabulieren. 2) Der Satz zum Zusammenhang mit Funktionsgraphen ist unsinnig. Wir kennen Quell- und Zielmenge einer Relation immer. --Daniel5Ko (Diskussion) 18:20, 18. Nov. 2023 (CET)

Wenn ich R nur als Menge von $m$-Tupeln definiere – wie es falsch in der Einleitung steht – dann wäre z. B. die Menge $R=\{(1,1),(1,2)\}$ eine Relation, ohne das bekannt ist, als Teilmenge welches kartesischen Produktes $A\times B$. Damit fehlt eine wesentliche Information. Wenn $R=\{(1,1),(1,2)\}$ z. B. eine Relation in $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ ist, bedeutet dies, dass z. B. nicht $10\operatorname {R} 10$ bzw.$(10,10)\notin R$ gilt. Die Angabe von $R$ ist nur zusammen mit der Angabe von $A\times B$ sinnvoll, da sie auch die Information beinhaltet, dass Paare in $A\times B\setminus R$ nicht in der Relation $R$ stehen.

Eine Relation $R$ ist eigentlich definiert durch das Paar $(\mathrm {Graph} (R),A\times B)$ oder – alternativ – durch das Tripel $(\mathrm {Graph} (R),A,B)$, wobei in beiden Fällen

$\mathrm {Graph} (R)\subseteq A\times B$

und

$aRb\iff (a,b)\in \mathrm {Graph} (R)$

gilt.

In neueren Darstellung wird die Relation $R$, die zwischen zwei Elementen $a\in A$ und $b\in B$ besteht (oder nicht besteht), mit $\mathrm {Graph} (R)$ identifiziert, es wird also $R=\mathrm {Graph} (R)$ gesetzt und das Symbol $R$ in doppelter Funktion verwendet : $aRb\iff (a,b)\in R$. Diese Gleichsetzung verleitet dazu, eine binäre Relation einfach nur als eine Menge von Paaren ohne Angabe von $A\times B$ zu sehen.--Sigma^2 (Diskussion) 19:33, 18. Nov. 2023 (CET)

Man muss zwei verschiedene Begriffe unterscheiden: "Relation von A nach B" und "Relation [die ein A und B selber mitbringt]". In beiden Fällen hat man aber die beiden Mengen. Ohne die Angabe der Mengen ist alles sinnlos. Diese Angabe kann aber auf verschiedene Weisen erfolgen (eben indem man konsequent nur von "Relationen von A nach B" spricht, oder mit dem Tupel-Bla). Ich lese unsere anfängliche Definition (also in "1.1 Zweistellige Relationen"; was in der Einleitung steht, ist tatsächlich Mist) als ersteres, und sie ist völlig richtig und brauchbar und mit voller Präzision. Die verschieden Weisen spiegeln sich auch in den zwei hauptsächlich verwendeten Stilen wider, Kategorien zu definieren:

1) eine Kategorie hat:

• eine Klasse Obj von "Objekten",
• für alle $x,y\in \mathrm {Obj}$ eine Klasse (oder Menge) $\mathrm {Hom} (x,y)$ von "Morphismen von $x$ nach $y$,
• für alle $x\in \mathrm {Obj}$ ein aus gezeichnetes Element $\mathrm {id} _{x}\in \mathrm {Hom} (x,x)$,
• für alle $x,y,z\in \mathrm {Obj}$ eine Abbildung $\mathrm {Hom} (y,z)\times \mathrm {Hom} (x,y)\to \mathrm {Hom} (x,z)$,

die einen Haufen Axiome erfüllen.

2) eine Kategorie hat:

• eine Klasse Obj von "Objekten",
• eine Klasse Hom von "Morphismen",
• Abbildungen $\mathrm {dom,cod} \colon \mathrm {Hom} \to \mathrm {Obj}$,
• für alle $x\in \mathrm {Obj}$ ein ausgezeichnetes Element $\mathrm {id} _{x}\in \mathrm {Hom}$, mit $\mathrm {dom} (\mathrm {id} _{x})=\mathrm {cod} (\mathrm {id} _{x})=x$,
• für alle $f,g\in \mathrm {Hom}$ mit $\mathrm {cod} (g)=\mathrm {dom} (f)$ ein ausgezeichnetes Element $f\circ g\in \mathrm {Hom}$ mit $\mathrm {dom} (f\circ g)=\mathrm {dom} (g),\mathrm {cod} (f\circ g)=\mathrm {cod} (f)$,

die einen Haufen Axiome erfüllen.

Bei der Konvertierung zwischen diesen beiden Darstellungen kommt die Tripelbildung vor. Hier mal eine Formalisierung der wesentlichen Teile in Lean4:

import Lib.Bijections
structure Cat where
  Ob : Type u
  Hom : Ob → Ob → Type v
  id(x : Ob) : Hom x x
  comp{x y z : Ob} : Hom y z → Hom x y → Hom x z
  -- and some axioms

structure Fat where
  Ob : Type u
  Hom : Type v
  dom : Hom → Ob
  cod : Hom → Ob
  id : Ob → Hom
  comp(f g : Hom): cod g = dom f → Hom
  dom_id{x : Ob}: dom (id x) = x
  cod_id{x : Ob}: cod (id x) = x
  dom_comp{f g : Hom}(e : cod g = dom f): dom (comp f g e) = dom g
  cod_comp{f g : Hom}(e : cod g = dom f): cod (comp f g e) = cod f
  -- and some more axioms

def Fat_to_Cat: Fat → Cat := λ fat => {
  Ob := fat.Ob
  Hom := λ x y => {f : fat.Hom // fat.dom f = x ∧ fat.cod f = y}
  id := λ x => ⟨fat.id x, fat.dom_id, fat.cod_id⟩
  comp := λ ⟨f,df,cf⟩ ⟨g,dg,cg⟩ => ⟨fat.comp f g (by rw [cg,df]), by rw [fat.dom_comp,dg], by rw [fat.cod_comp,cf]⟩
}

def Cat_to_Fat: Cat → Fat := λ cat => {
  Ob := cat.Ob
  Hom := Σ x y : cat.Ob, cat.Hom x y
  dom := λ ⟨x,_,_⟩ => x
  cod := λ ⟨_,y,_⟩ => y
  id := λ x => ⟨x,x,cat.id x⟩
  comp := λ ⟨df,cf,f⟩ ⟨dg,cg,g⟩ e => ⟨dg,cf, by cases e; exact cat.comp f g⟩
  dom_id := rfl
  cod_id := rfl
  dom_comp := @λ ⟨df,cf,f⟩ ⟨dg,cg,g⟩ e => by cases e; rfl
  cod_comp := @λ ⟨df,cf,f⟩ ⟨dg,cg,g⟩ e => by cases e; rfl
}

def T1(C : Cat)(x y : C.Ob): C.Hom x y ≅ (Fat_to_Cat (Cat_to_Fat C)).Hom x y := {
  forth := λ f => ⟨⟨x,y,f⟩,rfl,rfl⟩
  back := λ ⟨⟨x,y,f⟩,h,i⟩ => by cases h; cases i; exact f
  back_forth := @λ f => rfl
  forth_back := @λ ⟨⟨x,y,f⟩,h,i⟩ => by cases h; cases i; rfl
}

def T2(C : Fat): C.Hom ≅ (Cat_to_Fat (Fat_to_Cat C)).Hom := {
  forth := λ f => ⟨C.dom f, C.cod f, ⟨f, rfl, rfl⟩⟩,
  back := λ ⟨d,c,⟨f,h,i⟩⟩ => by cases h; cases i; exact f,
  back_forth := @λ f => rfl,
  forth_back := @λ ⟨d,c,⟨f,h,i⟩⟩ => by cases h; cases i; rfl
}

def RelCat : Cat := {
  Ob := Type
  Hom := λ x y => x → y → Prop
  id := λ _ a b => a = b
  comp := λ R S a c => ∃ b, S a b ∧ R b c
}

def RelFat : Fat := Cat_to_Fat RelCat

theorem T3 : RelFat.Hom = Σ x y : Type, x → y → Prop := rfl

Man sieht u.a. (etwa an den trivialen Bijektionen T1 und T2), dass die Konvertierung verlustlos ist. Es kann also nichts "präziser" werden, wenn man von der einen Art, die Information über die Quell- und Zielbereiche zur Verfügung zu stellen bzw. weiterzureichen, zu der anderen übergeht. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:59, 19. Nov. 2023 (CET)

Wenn ich die Relation $\{(x,1/x)|x\in \mathbb {R} \backslash \{0\}\}$ betrachte, dann kann diese Relation auf $\mathbb {R} \backslash \{0\}\times \mathbb {R} \backslash \{0\}$ definiert sein und damit eine bijektive Funktion sein. Oder sie kann auf $\mathbb {R} \backslash \{0\}\times \mathbb {R}$ definiert sein und somit zumindest eine injektive Funktion. Oder sie kann auch auf $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ definiert sein und somit überhaupt keine Funktion, aber trotzdem eine gültige zweistellige Relation.

Es ist immer die gleiche Relation. Aber erst durch die Zusatzinformation erfährt man, ob es sich um eine Funktion handelt und wenn ja, welche Eigenschaften die Funktion hat. Nach Definition 1.2 sind das drei verschiedene Relationen. Aber häufig kann es auch sinnvoll sein zu sagen, dass es dreimal die gleiche Relation ist. Dann verwendet man Definition 1.1. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 08:25, 19. Nov. 2023 (CET)

Wie gesagt, die Information darüber, zwischen welchen beiden Mengen eine binäre Relation sein soll, ist immer vorhanden. Andernfalls kann man nicht sinnvoll von einer Relation sprechen. Es ist nicht die Tripel-Bastelung, die das bewirkt; und diese beseitigt auch keinen Mangel, der in angeblich vorhandener ungenügender Präzision besteht. Sie ist, wie auch schon gesagt, höchstens dafür gut (oder für ähnliches), alle Relationen in eine große Klasse zu packen, weil man etwa die Kategorie Rel auf die zweite Art definieren will. RelCat in obigem Code definiert explizit, dass eine Relation zwischen x und y einfach eine Teilmenge von $x\times y$ ist, ohne weiteres Gestrüpp. RelFat hingegen ist die aus RelCat allgemein übersetzte Version, deren Hom-Klasse aus Tripeln besteht. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:11, 20. Nov. 2023 (CET)

Hast du dir mein Beispiel durchgelesen? Bei $R=\{(x,1/x)|x\in \mathbb {R} \backslash \{0\}\}$ ist nicht klar, ob das eine Relation zwischen $\mathbb {R}$ und $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {R} \backslash \{0\}$ und $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {R} \backslash \{0\}$ und $\mathbb {R} \backslash \{0\}$ sein soll.

Ich habe auch nicht von "ungenügender" Präzision gesprochen, sondern von "geringerer" Präzision. Manchmal ist die geringere Präzision erwünscht. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 00:31, 20. Nov. 2023 (CET)

Der Artikel spricht von ungenügender Präzision.

Zum Beispiel: Du darfst einfach nicht von (binären) "Relationen" sprechen, ohne auf irgend eine Art Quell- und Zielbereich anzugeben, weil das keinen Sinn ergibt. Die Angabe erfordert aber nicht, Tripel zu basteln. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:49, 20. Nov. 2023 (CET)

Der Artikel sagt, dass die Definition manchmal nicht präzise genug ist. Es kommt eben auf den Anwendungsbereich an. Manchmal ist die unpräzise Definition 1.1 sinnvoller. Dann ist 1.2 zu präzise. Manchmal will man die präzisere Definition 1.2. Dann ist 1.1 nicht präzise genug.

Wieso ergibt die Angabe von Relationen ohne Quell- und Zielbereich generell keinen Sinn? Für die Anwendungsbereiche, wo das keinen Sinn macht, verwendet man Definition 1.2. Aber für die Anwendungsbereiche, wo es Sinn macht, verwendet man Definition 1.1. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 02:01, 20. Nov. 2023 (CET)

Die Definition ist nicht "manchmal nicht präzise genug". Sie passt wie Faust aufs Auge. Je nach Anwendung will man aber vll. etwas anderes tun (wie schon ein paar mal gesagt: Siehe Rel-Kategorie).

Der Anfang der Definition in 1.1 ist der allgemeine Fall, wenn man sie richtig liest: Es wird Quell- und Zielmenge in der Definition angegeben (wenn auch parametrisch). --Daniel5Ko (Diskussion) 02:22, 20. Nov. 2023 (CET)

Die Definition passt manchmal wie die Faust aufs Auge. Manchmal will man aber etwas anderes. Dann passt die Definition nicht mehr wie die Faust aufs Auge und man verwendet die andere Definition.

In der Definition wird keine konkrete Relation definiert. Es wird definiert, was eine Relation ist. Es macht ja auch einen Unterschied, ob ich eine Funktion definiere, oder ob ich definiere, was eine Funktion ist. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 03:40, 20. Nov. 2023 (CET)

Es wird definiert, was eine Relation zwischen A und B ist, parametrisch in A und B. Das reicht 100%ig und ist nie "nicht präzise genug". Es ist wirklich das alle-Relationen-in-einen-großen-Topf-Werfen-Wollen, das bewirkt, dass Tripel-Bildung oder ähnliches erforderlich wird. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:58, 20. Nov. 2023 (CET)

Sei $A\times B\subset X\times Y$. Wenn R nach Definition 1.1 eine Relation zwischen A und B ist, dann ist R auch automatisch eine Relation zwischen X und Y. Anders sieht es bei Funktionen aus: Wenn R eine Funktion von A nach B ist, dann ist R zwar auch automatisch eine Funktion von A nach Y, aber nicht notwendigerweise eine Funktion von X nach Y.

Bei deinem letzten Satz ist das genaue Gegenteil der Fall: Die Ablehnung von in-einen-großen-Topf-werfen macht die Tripel-Definition erforderlich. Diejenigen, die in-einen-großen-Topf-werfen befürworten, kommen wunderbar mit der Definition 1.1 aus. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 20:44, 20. Nov. 2023 (CET)

Warum sollte denn der Fall sein, dass, wenn R eine Funktion von A nach B ist, R auch eine Funktion von X nach Y ist? Wer will das? Was soll das? Mystische Schlussfolgerungen!

Zum Zusammenwerfen: Lies die Definitionen von Cat,Fat und Cat_to_Fat oben. Cat trennt strikt von vorn herein (Hom : Ob → Ob → Type v), Fat wirft alles zusammen (Hom : Type v), die Konvertierung Cat_to_Fat von Cat nach Fat bastelt Tripel (damit man eben, nachdem man alles in einen Topf geworfen hat, die Dinge trotzdem noch auseinanderhalten kann, die vorher eh separat angesprochen wurden). --Daniel5Ko (Diskussion) 02:51, 21. Nov. 2023 (CET)

Ich sagte ja gerade, dass das in der Regel nicht der Fall ist! Genaugenommen ist das nur für den Spezialfall "A=X" der Fall. Wünschenswert ist der umgekehrte Fall: Ich habe eine Relation R zwischen X und Y. Finde ich eine Teilmenge A, so dass R eine Funktion von A nach Y ist? Das ist durchaus gewollt. Bei injektiven Funktionen ist es auch häufig gewünscht, den Wertebereich so einzuschränken, dass man eine bijektive Funktion erhält.

Zu Ihrer Programmierung. Ja, dass man mittels Algorithmen Tripel basteln kann oder Tripel auflösen kann, hätte ich dir auch so geglaubt. Aber darum geht es doch nicht. Ich habe das Gefühl, du gehst zu Informatik-lastig an ein Mathematik-Problem. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 03:05, 21. Nov. 2023 (CET)

Die unterschiedlichen Auffassungen sind hinreichend klar. Es geht jetzt nur weiter, wenn diese durch reputable Quellen belegt werden. Wenn dies möglich ist, müssen beide Positionen im Artikel verdeutlicht werden.

• Die erste Extremposition besteht darin, eine binäre Relation einfach nur als eine Menge von Paaren aufzufassen. Für diese Position gibt es bisher keinen Beleg. Sie steht aber so in der Einleitung.
• Die zweite Extremposition ist die, von einer Relation $\operatorname {R}$ nur dann zu sprechen, wenn gleichzeitig zwei Mengen $A$ und $B$ angegeben sind, so dass für alle $(a,b)\in A\times B$ entweder $a\operatorname {R} b$ oder $\neg (a\operatorname {R} b)$ gilt ($\neg$ = Negation). Auch diese Position scheint mir bisher nicht ausreichend belegt. --Sigma^2 (Diskussion) 09:17, 21. Nov. 2023 (CET)

Hier einige Bücher:

• V A. Zorich & J. Schüle: Analysis 1. Springer-Verlag, 2006, ISBN 978-3-540-33278-7, S. 21 (Google Books). : „Definition 1. Eine Relation R ist jede Menge geordneter Paare (x,y).“
• Dieter Klaua: Mengenlehre. De Gruyter, 2016, ISBN 978-3-11-084381-1, S. 68 (Google Books). : „Definition 10. Eine Relation (oder eine Beziehung) ist eine Menge geordneter Paare.“
• Jaroslav Nešetril: Diskrete Mathematik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-06756-7, S. 36 (Google Books). : „1.5.1 Definition. Eine Relation ist eine Menge geordneter Paare. Sind X und Y Mengen, so nennt man jede Teilmenge des kartesischen Produkts $X\times Y$ eine Relation zwischen X und Y. [...]“
• Keith Devlin: Infos und Infone: Die mathematische Struktur der Information. Birkhäuser Verlag, 2013, ISBN 978-3-0348-6239-4, S. 60 (Google Books). : „In mathematischen Texten findet man oft Definitionen von der Art: "Eine Relation ist eine Menge geordneter Paare" oder "eine Funktion ist eine Menge geordneter Paare, bei der jedes erste Element mit genau einem zweiten Element gepaart ist."“

--Eulenspiegel1 (Diskussion) 22:34, 21. Nov. 2023 (CET)

Eigentlich ist es ja viel komplexer (@angeblich zwei Positionen von Sigma^2).

Die "Definitionen" von mathematischen Objekten als irgendwelche Mengen sind sehr häufig als *Kodierungen* gemeint (auch dann, wenn der jeweilige Autor das vielleicht nicht weiß; aber so ist ein Teil der Problematik sehr gut zu verstehen). Die *Dekodierung* ist selbstverständlich kontextabhängig: Welche Art von Objekt will ich denn eigentlich heraushaben? Der Mengen-Code (vielleicht per Kuratowski und von-Neumann) für das Paar natürlicher Zahlen (2,3) kann zu einem Paar natürlicher Zahlen dekodiert werden, und da sollte natürlich (2,3) herauskommen. Er kann aber vielleicht auch zu einem topologischen Raum dekodiert werden. Dabei kommt z.B. der Sierpinski-Raum heraus, wenn man von-Neumann benutzt, und einen topologischen Raum als ein Paar von Mengen definiert, das ein paar Eigenschaften erfüllt. (Und falls jemand fragt: Nein, das Paar natürlicher Zahlen (2,3) ist definitiv nicht in Wahrheit der Sierpinski-Raum. Solche Behauptungen sind auch als "junk theorems" bekannt.) Eine Dekodierung des Codes für (2,3) zu einer natürlichen Zahl ist hingegen nicht möglich, wenn man Kuratowski und von-Neuman zugrundelegt. ∅ kann nach der anfänglichen Definition hier im Artikel zu einer zweistelligen Relation zwischen beliebigen Mengen dekodiert werden, natürlich mit der Bedeutung, dass keine Elemente in Relation stehen. Das bedeutet aber nicht, dass die leeren Relationen zwischen verschiedenen Mengenpaaren alle miteinander identifiziert werden. Und auch nicht, dass die leere Relation zwischen irgendwelchen zwei Mengen dasselbe sei wie die natürliche Zahl 0. --Daniel5Ko (Diskussion) 03:25, 23. Nov. 2023 (CET)

Ein wenig verwandt ist übrigens die Frage nach der Disjunktheit von Hom-Sets in Kategorien. Sehr gute Erklärungen sind etwa https://mathoverflow.net/a/297693 und https://math.stackexchange.com/a/4237698 . --Daniel5Ko (Diskussion) 03:33, 24. Nov. 2023 (CET)

Teilweise gebe ich dir Recht.

1. Ja, Definitionen von Objekten in der modernen Mathematik sind oft Kodierungen. Einfach, weil in der modernen Mathematik, die auf ZFC aufbaut, alles aus Mengen besteht. Wenn man über mathematische Objekte spricht, dann muss man also über Mengen sprechen.

2. Ja, die leere Menge als Relation hat eine andere Bedeutung als die leere Menge als 0. Hier lässt sich die leere Menge also auf zwei verschiedene Arten dekodieren.

Teilweise gebe ich dir aber Unrecht:

3. Wenn man die leere Menge als Relation auffasst, dann ist es egal, ob ich AxB oder XxY betrachte. Es gibt eine leere Relation. Und diese unterscheidet sich nach Definition 1.1 nicht zwischen den Räumen. Ich kann Aussagen über die leere Relation R treffen. Und da ist es egal, ob ich die leere Definition im Raum $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ oder im Raum $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ oder in einem ganz anderen Raum betrachte. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 22:08, 24. Nov. 2023 (CET)

Nö, 3. ist eben falsch. Es macht einen Unterschied, ob ich den Code $\emptyset$ als Relation zwischen $\emptyset$ und $\emptyset$ interpretiere, oder als Relation zwischen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {N}$. Definition 1.1 spricht von "Relationen zwischen A und B" mit gegebenen A und B. --Daniel5Ko (Diskussion) 03:26, 26. Nov. 2023 (CET)

Nein, $R:=\emptyset$ ist in allen Räumen eine Relation.

Betrachte dagegen $R:=\{(x,x^{2})|x\in \mathbb {N} \}$. Dann ist R eine Relation in $\mathbb {N}$ und R ist ebenfalls eine Relation in $\mathbb {R}$. Aber R ist keine Relation auf dem Körper der 3x3 Matrizen. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 21:41, 26. Nov. 2023 (CET)

Wie bereits gesagt, man muss Codes von den Objekten unterscheiden. Nicht sinnvoll vergleichbare Objekte können buchstäblich denselben Code haben.

Die "richtige" Sichtweise ist ungefähr so:

• Für jedes Paar (A,B) von Mengen haben wir die Menge der Relationen zwischen A und B, $\mathrm {Rel} (A,B):={\mathcal {P}}(A\times B)$ und
• wir haben zu jedem Paar (A,B) dazugehörige Begriffe wie Linkstotalität, Funktion-Sein, und überhaupt alles, was man über Relationen zwischen A und B sagen kann.

By default handeln wir so, als hätten Elemente von Rel(A,B) und Rel(C,D) nichts miteinander zu tun, wenn (A,B)≠(C,D).

Hat man R als Relation zwischen A und B deklariert, wird natürlich, wenn nichts anderes gesagt wird, das Paar (A,B) für die Begriffe herangezogen, wenn man etwas "über R als Relation zwischen A und B" aussagen will.

(Denn genau so, wie nicht interessiert, dass das Paar natürlicher Zahlen (2,3) als topologischer Raum uminterpretiert nicht diskret ist und lauter komische andere Eigenschaften aufweist, die man von einem Paar natürlicher Zahlen nicht erwarten würde, interessiert auch nicht, dass die linkstotale Relation R zwischen ∅ und ℕ, uminterpretiert als Relation zwischen ℕ und ℕ, vielleicht nicht linkstotal ist.) --Daniel5Ko (Diskussion) 02:43, 28. Nov. 2023 (CET)

Sei $A\times B\subseteq C\times D$, dann ist es durchaus möglich, dass für Sie Rel(A,B) und Rel(C,D) nichts miteinander zu tun haben. Aber es gibt auch viele Bereiche, in denen dann gilt:$\mathrm {Rel} (A,B)\subseteq \mathrm {Rel} (C,D)$.

Deswegen unterscheidet man bei Relationen auch zwischen der Relation inhärenten Eigenschaften wie z.B. Injektivität oder Rechtseindeutigkeit.

Und Beziehungen zwischen der Relation und den dazugehörigen Räumen.

So heißt es z.B. "Die Relation R ist rechtseindeutig." aber "Die Relation R ist linkstotal in A."

Bei rechtseindeutig fehlt dieses "in A", weil wenn R in einem Raum rechtseindeutig ist, dann ist R in jedem Raum rechtseindeutig.

Es gibt dann auch so Sätze wie: "Für jede injektive, rechtseindeutige Relation R existieren A und B, so dass R eine Bijektion zwischen A und B ist."

Zum Beispiel (2, 3). Hier hatte ich weiter oben ja bereits teilweise zugestimmt. Natürlich macht es einen Unterschied, ob man "3" als Zahl oder als eine Topologie interpretiert. Aber sobald man sich entscheidet, 3 nicht als Topologie, sondern als Zahl zu interpretieren, gilt $3\in \mathbb {N}$ und $3\in \mathbb {R}$. Man unterscheidet hier nicht zwischen den beiden Interpretationen "3 als natürliche Zahl" oder "3 als reelle Zahl". Sondern "3" (interpretiert als Zahl) ist beides! --Eulenspiegel1 (Diskussion) 19:13, 28. Nov. 2023 (CET)

Ich weiß nicht, was daran so schwer zu verstehen ist. Die Definition am Anfang von 2.1 definiert, was "eine Relation zwischen A und B", mit gegebenen A,B "ist". A priori hat das nichts mit Relationen zwischen C und D zu tun. Und daran schließen sich, richtig verstanden, Eigenschaften wie Linkstotalität bezüglich A und B an.

Ganz genau betrachtet, definiert sie eigentlich nur, wie die Relationen zwischen A und B dargestellt/kodiert werden. Was aber ok ist, wenn man Junk-Theoreme nicht ernstnimmt. Wir nehmen als Code einfach die minimale Information, die noch nötig ist, wenn wir wissen, um welchen Ziel- und Quellbereich es geht. "$\mathrm {Rel} (A,B):=\{A\}\times \{B\}\times {\mathcal {P}}(A\times B)$" ist dann offensichtlich ziemlich sinnlos, da $\{A\}\times \{B\}\times {\mathcal {P}}(A\times B)\cong {\mathcal {P}}(A\times B)$.

Wer Tripel wünscht, oder aus anderem Grund zusammenlegen will oder muss, bilde die disjunkte Vereinigung $\bigsqcup _{A}\bigsqcup _{B}\mathrm {Rel} (A,B)$. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:28, 30. Nov. 2023 (CET)

Es geht nicht um $\bigsqcup _{A}\bigsqcup _{B}\mathrm {Rel} (A,B)$, sondern um $\mathrm {Rel} (A,B)\subseteq \mathrm {Rel} (C,D)$, wenn $A\times B\subseteq C\times D$.

Hier nochmal ganz konkret:

Verzichten wir mal auf die abstrakten Mengen A und B und nehmen stattdessen die konkreten Mengen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {R}$.

Auf diesen beiden Mengen kann man Relationen bilden. Dann haben wir einerseits $\mathrm {Rel} (\mathbb {N} ,\mathbb {N} )$ und andererseits $\mathrm {Rel} (\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$.

• Nach Definition 1.1 ist $\mathrm {Rel} (\mathbb {N} ,\mathbb {N} )$ eine Teilmenge von $\mathrm {Rel} (\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$.
• Nach Definition 1.2 sind $\mathrm {Rel} (\mathbb {N} ,\mathbb {N} )$ und $\mathrm {Rel} (\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ zwei disjunkte Mengen.

Nach Definition 1.1 gäbe es z.B. die Relation $\{(x,x^{2})|x\in \mathbb {N} \}$, die sowohl Relation in $\mathbb {N}$ als auch Relation in $\mathbb {R}$ ist.

Nach Definition 1.2 gäbe es dagegen zwei unterschiedliche Relationen: $(\{(x,x^{2})|x\in \mathbb {N} \},\mathbb {N} ,\mathbb {N} )$ und $(\{(x,x^{2})|x\in \mathbb {N} \},\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$. Diese beiden Relationen sind nicht identisch. Die erste Relation ist eine Relation in $\mathbb {N}$, aber nicht in $\mathbb {R}$. Die zweite Relation ist eine Relation in $\mathbb {R}$, aber nicht in $\mathbb {N}$. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 23:17, 2. Dez. 2023 (CET)

Nochmal: Richtig verstanden, ist "$\mathrm {Rel} (A,B)\subseteq \mathrm {Rel} (C,D)$ wenn $A\times B\subseteq C\times D$" ein "Junk-Theorem". Die verschiedenen $\mathrm {Rel} (A,B)$ haben à priori sowas von nichts miteinander zu tun, dass es nicht einmal Sinn ergibt, überhaupt nach der Disjunktheit oder nach dem Vorliegen einer Teilmengenbeziehung zu fragen. Als bloße Menge gesehen, ist ein Element von $\mathrm {Rel} (A,B)$ lediglich ein Code für den Informationsgehalt der eigentlichen Relation zwischen A und B. Und Relationen aus verschiedenen $\mathrm {Rel} (A,B)$ können freilich identische Codes haben, ohne dass wir schließen, dass die damit kodierten Relationen identisch sind. Siehe (2,3) und Sierpinski-Raum.

Die Aussage "$(A,B,R)\in \bigsqcup _{A}\bigsqcup _{B}{\mathcal {P}}(A\times B)$" kann nach den zwei Definitionen folgendermaßen dekodiert werden.

1. $R$ ist eine "Relation von zwischen $A$ und $B$".
2. $(A,B,R)$ ist eine "Relation" (mit A als Quell- und B als Zielbereich), und ihr 'Graph' ist $R$.

Daran sieht man, dass die zwei Definitionen eigentlich ohnehin von verschiedenen Begriffen sprechen. Die eine hängt von 2 Parametern ab (oder auch: definiert eine ganze Familie von Begriffen), die andere von 0 Parametern.

Als Übungsaufgabe kannst du ja mal folgendes beweisen: Der Funktor $U\colon \mathrm {Set} \to \mathrm {Rel}$, der auf Objekten wie die Identität wirkt, und für Mengen $A,B\in \mathrm {Set}$ jede Funktion $f\colon A\to B$ auf ihren Graphen abbildet (also die Relation $R$ von $A$ nach $B$ mit $(x,y)\in R\iff y=f(x)$ für alle $x\in A$ und $y\in B$) hat einen rechtsadjungierten $Q\colon \mathrm {Rel} \to \mathrm {Set}$, der Objekte (also Mengen) $A\in \mathrm {Rel}$ auf ${\mathcal {P}}(A)\in \mathrm {Set}$ abbildet. Du wirst sehen, dass du nirgends die Morphismen fragen musst, welche Domäne oder Kodomäne sie haben. Das ist immer von außen vorgegeben, die konkreten Kodierungen irrelevant. So eine Strukturalität hat man in moderner Mathematik so gut wie immer.

(Nebenbei erhält man $\mathrm {Set} (A,{\mathcal {P}}(B))\cong \mathrm {Rel} (A,B)$ für alle Mengen $A,B$.)

--Daniel5Ko (Diskussion) 00:12, 4. Dez. 2023 (CET)

Nein, das ist kein Junk-Theorem. Natürlich haben die unterschiedlichen Rel(A,B) miteinander zu tun. Genau so, wie die verschiedenen A auch miteinander zu tun haben. Wenn du dich nicht für die Beziehungen von Räumen untereinander interessierst, ist es deine Sache. Aber bitte nicht von sich auf andere schließen. Du magst dich nicht dafür interessieren. In anderen Bereichen ist das aber durchaus von Interesse.

Nochmal: Injektivität oder Rechtseindeutigkeit ist unabhängig von dem zugrundeliegenden Raum: Wenn die Relation R zwischen A und B injektiv und rechtseindeutig ist, dann ist die gleiche Relation auch in zwischen C und D injektiv und rechtseindeutig.

Ebenfalls nochmal: Wenn R eine Relation zwischen A und B ist, dann ist R auch eine Relation zwischen C und D. (Falls $A\times B\subseteq C\times D$.) Aber R ist nicht notwendigerweise eine Relation zwischen E und F.

Ja, die Domäne ist immer vorgegeben. Aber im Gegensatz zu Funktionen müssen Relationen nicht linkstotal sein. Wenn man sich den Raum der linkstotalen Relationen anschaut, dann hätte insofern recht, dass die Information über A in R enthalten ist. Die meisten Relationen sind aber nicht linkstotal. Das heißt, aus der Kenntnis der Domäne habe ich keine Kenntnis über A.

Als Übungsaufgabe kannst du ja mal folgendes beweisen: „Für jede injektive, rechtseindeutige Relation R existieren A und B, so dass R eine Bijektion zwischen A und B ist.“

Du wirst sehen, dass Relationen auch inhärente Eigenschaften haben, die nicht vom Raum abhängig sind. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 23:49, 4. Dez. 2023 (CET)

Wo wird jemals der letztgenannte Satz benötigt? Davon ab:

Links-Totalität ist abhängig davon, über welches Mengenpaar man spricht. Deshalb darf eine Relation zwischen $A$ und $B$ eben nicht automatisch als Relation zwischen $C$ und $D$ aufgefasst werden, auch dann nicht, wenn $A\times B\subseteq C\times D$. Dass entsprechende Relationen denselben Code haben, als Teilmengen eines jeweiligen kartesischen Produkts, spielt keine Rolle. Man kann die Relationen zwischen $A$ und $B$ ja auch anders als als Elemente von ${\mathcal {P}}(A\times B)$ kodieren. Z.B. als Funktionen $A\times B\to \Omega$ oder als Funktionen $A\to {\mathcal {P}}B$, Funktionen $A\to \Omega ^{B}$ oder halt (recht sinnloserweise) als Elemente von $\{A\}\times \{B\}\times {\mathcal {P}}(A\times B)$. Bei keiner der alternativen Kodierungen gilt das Junk-Theorem. Genau deshalb ist es ein Junk-Theorem, wenn man abstrakt von Relationen spricht. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:50, 10. Dez. 2023 (CET)

Richtig, linkstotal ist keine inhärente Eigenschaft, sondern eine Beziehung zwischen Relation und Raum. Dass es sowohl inhärente Eigenschaften gibt als auch Beziehungen zwischen Relation und Raum, hatte ich bereits weiter oben gesagt. Du hast richtig erkannt, dass "linkstotal" zu zweiterem gehört – und ignorierst weiterhin Eigenschaften, die zu ersterem gehören.

Was ist $R:=\{(x,x^{2})|x\in \mathbb {N} \}$? Ist das eine Relation in $\mathbb {N}$ oder ist das eine Relation in $\mathbb {R}$?

Antwort: Es ist beides! Es ist eine Relation in $\mathbb {N}$ und es ist eine Relation in $\mathbb {R}$. Außerdem ist die Relation R linkstotal in $\mathbb {N}$, aber nicht linkstotal in $\mathbb {R}$.

Falls du das anders siehst, sag mir bitte, was R ist.

Wenn man Relationen als Funktion $A\to {\mathcal {P}}(B)$ definiert, dann kann man jede Funktion $f:A\to {\mathcal {P}}(B)$ auch mit einer Funktion $g:C\to {\mathcal {P}}(D)$ identifizieren:

g(x):=f(x), wenn $x\in A$ und $g(x):=\emptyset$ sonst. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 14:08, 10. Dez. 2023 (CET)

Die Menge $R:=\{(x,x^{2})|x\in \mathbb {N} \}$ ist sowohl ein Code für eine Relation $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ als auch für eine Relation $\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ (und diverse weitere). Relationen $\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ sind deshalb aber natürlich nicht dasselbe wie Relationen $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$.

Kodiert man Relationen $X\to Y$ als Funktionen $X\to {\mathcal {P}}(Y)$, hat man den angeblichen Automatismus bzgl. Teilmengen, der sich ergibt, wenn man Relationen als Teilmengen definiert, nicht.

Aber lass' uns mal zum Ursprung der Diskussion zurückkommen.

Ich habe offensichtlich unsinnige Behauptungen aus dem Artikel entfernt (angeblich sei das mit den Tripeln "genauer"; später strenggenommen unverständliches Geschwurbel über Zusammenhänge mit Funktionsgraphen).

Du hast die wieder eingefügt (und in diesem Diskussionsfaden hier manchmal eher gerade dagegen argumentiert, was ich nicht verstehe.) Butter bei die Fische! Was ist was? --Daniel5Ko (Diskussion) 02:56, 24. Mär. 2024 (CET)

1. Die Menge der Relationen $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist natürlich nicht das gleiche wie die Menge der Relationen $\mathbb {N} \to \mathbb {N}$. Nach der einen Definition sind das zwei disjunkte Mengen. Nach der anderen Definition gilt: Die Menge der Relationen $\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ist eine Teilmenge der Menge der Relationen $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$.

2. Es gibt zwei unterschiedliche Definitionen von Relationen: Zum einen kann man die Relation R definieren als Teilmenge eines kartesischen Produktes. Zum anderen kann man eine Relation als Tripel definieren. Beide Definitionen haben unterschiedliche Eigenschaften. Bei der Definition über das kartesische Produkt ist keine Information darüber enthalten, wie die Quell- und Zielmenge aussieht. Aber je nach Anwendung ist die Quell- und Zielmenge auch vollkommen egal. Manchmal will man sogar gemeinsame Eigenschaften bei unterschiedlichen Quellmengen untersuchen. Oder die Zielmenge ist a priori noch gar nicht bekannt. Bei der Definition mit dem Tripel ist die Information über Quell- und Zielmenge in der Definition enthalten. Das ist wichtig, wenn Quell- und Zielmenge relevant sind. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 00:32, 31. Mär. 2024 (CET)

@2 Das sage ich ja (u.a.) die ganze Zeit. Und ich hatte mit meinem Edit eine sinnvolle Motivation dafür angegeben, die Tripel zu verwenden (gerade eben nicht: "so ist's präziser", sondern: ergibt sich halt einfach, wenn man informationsverlustfrei alles vereinigen möchte.) Den in deinem Edit-Kommentar angegebenen Grund, dass Zusammenhänge zu Funktionsgraphen verloren gingen, kann ich kann ich nach wie vor nicht nachvollziehen. Wirklich sinnvolles stand da nicht. --Daniel5Ko (Diskussion) 03:28, 31. Mär. 2024 (CEST)

Du hattest etwas davon geschrieben, dass man die Tripel-Schreibweise benutzt, wenn man mehrere Relationen in einer Klasse zusammenfasse möchte.

Das alleine wäre jedoch kein Grund. Insbesondere, wenn man die Klassen vergleichen will, kann es sich anbieten, auf die Tripel-Schreibweise zu verzichten.

Möchte ich z.B. die Menge aller Relationen in $\mathbb {N}$ mit der Menge aller Relationen in $\mathbb {R}$ vergleichen, bietet sich folgendes an:

$A:=\{R|R\subseteq \mathbb {N} \times \mathbb {N} \}$ und $B:=\{R|R\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} \}$.

Der Vergleich ergibt dann $A\subset B$.

Bei der Tripeldefinition hätten wir:

$A:=\{(R,\mathbb {N} ,\mathbb {N} )|R\subseteq \mathbb {N} \times \mathbb {N} \}$ und $B:=\{(R,\mathbb {R} ,\mathbb {R} )|R\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} \}$.

Der Vergleich ergibt dann $A\cap B=\emptyset$.

Da ist dann die Frage: Möchte man lieber A (alle Relationen in $\mathbb {N}$) als Teilmenge von B (alle Relationen in $\mathbb {R}$) verstehen? Dann benutze die Definition mit dem kartesischen Produkt.

Möchte man jedoch lieber A und B als disjunkte Mengen verstehen? Dann benutze die Tripel-Definition. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 09:51, 31. Mär. 2024 (CEST)

Hmm, es ergibt aus moderner Sicht wenig Sinn, Objekte unterschiedlicher Typen miteinander vergleichen zu wollen. Eine Relation zwischen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {N}$ ist etwas völlig anderes als eine Relation zwischen $\mathbb {R}$ und $\mathbb {R}$. Die Frage, ob $\mathrm {Rel} (\mathbb {N} ,\mathbb {N} )\subseteq \mathrm {Rel} (\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ist daher gar nicht vernünftig stellbar; sie ist schon ein Typfehler. Auch dann, wenn wenn man Elemente von $\mathrm {Rel} (A,B)$ als Elemente von ${\mathcal {P}}(A\times B)$ kodiert. Man darf eine mögliche Kodierung und alle Konsequenzen dieser nicht 100%ig für bare Münze nehmen. $\mathrm {Rel} (\mathbb {N} ,\mathbb {N} )\subseteq \mathrm {Rel} (\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ stimmt z.B. nicht, wenn man die gleichermaßen legitime und vielfach verwendete Kodierung $\mathrm {Rel} (A,B):=({\mathcal {P}}B)^{A}$ benutzt.

Eine Relation kann nicht gleichzeitig linkstotal und nicht linkstotal sein. Schon allein deshalb sind die Kodierungen von den "damit gemeinten" Relationen zu unterscheiden. "Gerechnet" wird am Ende natürlich trotzdem mit den Codes.

Die Tripel ergeben sich einfach, wenn man die disjunkte Vereinigung $\bigsqcup _{A}\bigsqcup _{B}\mathrm {Rel} (A,B)$ bildet, völlig unabhängig davon, wie man $\mathrm {Rel} (A,B)$ definiert (und wenn $\mathrm {Rel} (A,B)=\{A\}\times \{B\}\times {\mathcal {P}}(A,B)$, erhält man eben recht redundante Quintupel) . --Daniel5Ko (Diskussion) 02:39, 1. Apr. 2024 (CEST)

Nein, eine Relation in $\mathbb {N}$ ist nicht etwas vollständig anderes als eine Relation in $\mathbb {R}$. Wenn es für dich von Vorteil ist, dass das beides disjunkte Mengen sind, dann ist das schön. Aber bitte akzeptiere, dass es auch andere Aufgabengebiete gibt, in denen es andere Aufgabenstellungen gibt. Dort kann es sinnvoll sein, das eine als Teilmenge vom anderen zu sehen.

Wieso ist das ein Typfehler?

Erst sagst du, dass man die Konsequenzen aus einer Kodierung nicht 100%ig für bare Münze nehmen sollte. Und anschließend argumentierst du dann selber mit einer Kodierung. Du widersprichst dir hier selber. Du solltest die Kodierung Rel(A,B)=(P B)^A nicht 100%ig für bare Münze nehmen. Es gibt einen Grund, dass man diese Kodierung nicht als offizielle Definition verwendet.

Linkstotal ist eine Eigenschaft zwischen Relation und Raum, keine inhärente Eigenschaft der Relation.

Ein und die gleiche Menge kann auch offen oder nicht-offen sein, je nachdem, welchen Raum ich betrachte. (Die Menge {1} ist in den natürlichen Zahlen offen, aber in den reellen Zahlen nicht offen.)

Zu deinem letzten Satz:

Wenn man die Definition nimmt, in der die beiden Relationen disjunkt sind, braucht man nicht extra eine disjunkte Vereinigung. Dann reicht eine normale Vereinigung aus.

Wenn man jedoch die Definition nimmt, in der die beiden Relationen nicht disjunkt sind, dann wäre die disjunkte Vereinigung kontraproduktiv. Man will ja gerade nichts Disjunktes, sondern, dass das eine Teilmenge des anderen ist! --Eulenspiegel1 (Diskussion) 04:39, 1. Apr. 2024 (CEST)

Formalisiert man Relationen auf naheliegende Weise in einer strukturellen Mengenlehre oder in einer Typtheorie, ist gewöhnlich allein schon die Frage gar nicht stellbar, ob $\mathrm {Rel} (A,B)$ und $\mathrm {Rel} (C,D)$ disjunkt sind. Beachte auch: In der Definition angereicherter Kategorien wird nichts gefordert, was analog der Disjunktheit der Hom-Mengen wäre.

Zu einer (zweistelligen) Relation muss man stets wissen, was Quell- und Zielmenge sein soll. Dies bedeutet jedoch nicht, dass man die Objekte, mit denen man rechnet, vertripeln muss. Die Assoziation findet gewöhnlich auf einer sprachlichen Ebene statt.

Ich nehme $({\mathcal {P}}B)^{A}$ genau so wenig für bare Münze wie ${\mathcal {P}}(A\times B)$. Mit spezifischen Kodierungen kann man i.d.R mehr (und unerwünschtes; und je nach Kodierung verschiedenes) beweisen, als man abstrakt haben will. Das liegt in der Natur der Sache. Fragt man Mathematiker, ob die Klasse aller topologischen Räume gemeinsame Elemente mit $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ hat, werden die meisten sie wohl als sinnlos abtun oder mit "nein" beantworten. Andere sagen vielleicht schmunzelnd "kommt drauf an" oder "klar". Es dürfte aber große Einigkeit darüber herrschen, dass die Frage nicht sehr nützlich ist. Nach meiner Einschätzung meinen die allermeisten Autoren, die schreiben, eine Relation von $A$ nach $B$ sei eine Teilmenge von $A\times B$, gerade eben nicht, dass diverse Junk-Theoreme gelten. Und ganz sicher glaubt keiner von denen, dass es keine linkstotalen Relationen gebe. ("Seien $A,B$ Mengen und $R\subseteq A\times B$ eine Relation von $A$ nach $B$. Dann ist $R$ eine Relation von $A\cup \{A\}$ nach $B$. Da $A\notin A$, gibt es kein $b\in B$ mit $(A,b)\in R$. Also: $R$ nicht linkstotal.")

Aber natürlich kann man auch die Konsequenzen beleuchten, die sich ergeben, wenn man die Kodierung als solche mit allen Konsequenzen ernstnimmt. Nur spricht man dann eben nicht über Relationen im abstrakten Sinn, sondern über die spezifische Kodierung.

--Daniel5Ko (Diskussion) 10:57, 2. Apr. 2024 (CEST)

Dass es Junk-Theoreme gibt, weiß ich. Mir geht es aber nicht um die Kodierung. Lassen wir die ganzen Kodierungen mal weg und nehmen ein praktisches Beispiel komplett ohne Kodierung:

Eine Person hat in seiner Heimatstadt die Stadtarchive, Geburtenregister etc. durchforstet und will feststellen, welche zwei Leute aus seiner Stadt miteinander verwandt sind. Die Relation besagt: Zwei Leute sind genau dann in Relation, wenn sie miteinander verwandt sind.

Eine andere Person erstellt eine Relation in seinem Dorf. Auch hier wieder: Zwei Leute aus seinem Dorf sind genau dann in Relation, wenn sie verwandt sind.

Erstmal sieht das wie zwei vollkommen disjunkte Relationen aus. Das eine ist eine Verwandtschaftsrelation auf dem Raum "Stadt" und das andere eine Verwandtschaftsrelation auf dem Raum "Dorf".

Jetzt stellen die beiden aber fest, dass eine Familie aus der Stadt aufs Dorf gezogen ist. Plötzlich sind diese beiden Relationen nicht mehr disjunkt, sondern haben eine gemeinsame Schnittmenge.

Zur Linkstotalität etwas ähnliches: Ich will in meinem Heimatort feststellen, wo wer wohnt. Dafür erstelle ich die Relation aRb mit "a wohnt in b". Wenn ich als Quellmenge alle Leute nehme, die in meinem Heimatort ihren Wohnsitz angemeldet haben, ist die Relation linktstotal. Wenn ich jedoch die Obdachlosen dazu nehme, ist die Relation nicht mehr linkstotal. Es ist in beiden Fällen exakt die gleiche Relation. Nur einmal linkstotal (alle Leute mit Wohnsitz in meinem Heimatort) und einmal nicht linkstotal (alle Leute mit Wohnsitz + Obdachlose).

Das ganze jetzt ohne irgendeine Kodierung. Wie man das vernünftig kodiert, kann man sich im Anschluss überlegen. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 22:14, 2. Apr. 2024 (CEST)

Erneut: Eine Relation kann nicht gleichzeitig linkstotal und nicht linkstotal sein. Die Menge der Paare ist also eben nicht die Relation, sondern nur ein Code für eine Relation. Erst wenn man weiß, von welcher Quell- und Zielmenge die Rede ist, hat man eine richtige Relation, die man etwa auf Linkstotalität untersuchen kann. Das Interpretieren der Paarmenge in einem solchen Kontext aus Quell- und Zielmenge kann man als "Dekodieren" verstehen. Und es ist auch ein verbreitetes und ganz gewöhnliches Phänomen, dass ein und dieselben Codes, zu unterschiedlichen Typen dekodiert, verschiedene Objekte ergeben. Man denke etwa an Berechenbarkeitstheorie: da werden routinemäßig natürliche Zahlen zu berechenbaren Funktionen $\mathbb {N} ^{k}\to \mathbb {N}$ (bzw. Programmen, die solche realisieren) für alle möglichen $k$ dekodiert. 42 zu einer Funktion $\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N}$ dekodiert ist dann vielleicht surjektiv, und zu einer Funktion $\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ dekodiert nicht. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:53, 2. Apr. 2024 (CEST)

Erneut: Wir haben die Relation "a wohnt in b": Ist diese Relation linkstotal oder nicht?

Ob eine Relation linkstotal ist, hängt nicht nur von der Relation, sondern auch von der Quellmenge an. Es ist keine inhärente Eigenschaft!

Wasser kann schließlich auch flüssig oder fest sein, je nachdem, welche Temperatur es hat. (Das ist kein Junk-Theorem!) Der Aggregatzustand ist keine inhärente Eigenschaft von Stoffen. Erst aus dem Zusammenspiel von Stoff, Temperatur und Druck ergibt sich der Aggregatzustand.

Analog zum Aggregatzustand ist Linkstotalität keine inhärente Eigenschaft von Relationen. Erst aus dem Zusammenspiel von Relation und Quellmenge ergibt sich die Linkstotalität.

Schön, dass du festlegst, was eine "richtige" Relation ist. Lass mich raten: Diejenigen, die deine Definition von Relation benutzen, verwenden die "richtige" Relation. Und diejenigen, die die andere Definition benutzen, verwenden eine "falsche" Relation. Ich würde dich bitten zu akzeptieren, dass eine Sache nicht unbedingt falsch ist, nur weil sie jemand anders verwendet!

Zum Schluss fängst du wieder mit Kodierungen an! Du hattest zu Beginn richtigerweise erwähnt, dass Kodierungen zu Junk-Theoremen führen können. Deswegen hatte ich extra Beispiele ohne Kodierungen verwendet! Was bringt es die Diskussion also voran, wenn du andauernd Beispiele dafür bringst, dass Kodierungen zu Junk-Theoremen führen? --Eulenspiegel1 (Diskussion) 00:49, 3. Apr. 2024 (CEST)

Basteln wir einfach mal ein Wörterbuch:

${\begin{array}{l|l}{\text{Daniel5Ko}}&{\text{Eulenspiegel1}}\\\hline {\text{Code einer Relation}}&{\text{Relation}}\\\hline {\text{Relation}}&{\text{Relation zusammen mit Quell- und Zielmenge}}\\\hline {\text{Code einer Relation zusammen mit Quell- und Zielmenge}}&{\text{Relation zusammen mit Quell- und Zielmenge}}\end{array}}$

Meine Spalte halte ich deshalb für sinnvoll, weil man eben über eine "Relation" aussagen können muss, ob sie (beispielsweise) linkstotal ist. Ich denke, die meisten Autoren sehen das auch so, wenn sie ein wenig darüber nachdenken, auch wenn sie selten von der Vokabel "Code" explizit gebrauch machen. Vor allem die, die "Relationen von A nach B" als "Teilmengen von $A\times B$" definieren. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:51, 4. Apr. 2024 (CEST)

Nein, das Wörterbuch sieht wie folgt aus:

Eulenspiegel1	Daniel5Ko
Code einer Relation	Code einer Relation
Relation	Code einer Relation
Relation zusammen mit Quell- und Zielmenge	Relation

Du bist hier derjenige, der andauernd über Codes spricht. Nochmal die Frage an dich: ist "a wohnt in b" nun linkstotal oder nicht?

Wenn ich sage "Ich betrachte die Relation R", dann ist das die Relation. Wenn ich sage "Ich betrachte die Relation R zwischen A und B", dann ist das die Relation zusammen mit Quell- und Zielmenge. Ebenfalls könnte ich sagen "Ich betrachte die Relation R zwischen C und D". Dann ist das die gleiche Relation zusammen mit anderer Quell- und Zielmenge. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 01:52, 4. Apr. 2024 (CEST)

@Tabelle: über die wesentlichsten zwei Zeilen sind wir ja dann einig.

Der Rest ist mir zu wirr. --Daniel5Ko (Diskussion) 03:39, 4. Apr. 2024 (CEST)

Eigenschaften zweistelliger Relationen

In diesem Abschnitt wird der undefinierte Begriff Partner verwendet.--Sigma^2 (Diskussion) 11:06, 23. Nov. 2023 (CET)