Diskussion:Satz von Sard

• Ein Beispiel wären lokale Minima und Maxima einer reellen Funktion (aber zB auch 0 bei f(x) = x³).
• Wimre ist der Satz von Sard genau die Aussage, die da steht.
• Ohne Frage fehlt eine Erklärung, warum dieser Begriff wichtig ist. Aber was ist denn ansonsten nicht klar?

--Gunther 11:29, 3. Mär 2005 (CET)

Ich finde ihn auch recht unverstaendlich: einfach aus dem Grund, dass ich mich frage, wieso es den Begriff ueberhaupt gibt. Das wichtige Konzept sind doch die kritischen Punkte. Wieso braucht der kritische Wert ueberhaupt einen eigenen Artikel? Warum ist der Satz von Sard nicht trivial? Viele Gruesse --DaTroll 13:40, 3. Mär 2005 (CET)

Ehrlich gesagt finde ich die Aussage, dass für eine reelle differenzierbare Funktion f die Menge

$\{f(x)\mid f'(x)=0\}$

Maß 0 hat, ziemlich wenig trivial. Ist f beispielsweise auf einem Stück konstant, dann hat zwar der x-Bereich, auf dem f' verschwindet, nicht Maß 0, aber der Wertebereich schon. Ein Korollar ist auch, dass das Bild einer differenzierbaren Abbildung in eine Mannigfaltigkeit größerer Dimension immer Maß 0 hat, also z.B. der Graph einer differenzierbaren Funktion als Teilmenge von R².--Gunther 14:15, 3. Mär 2005 (CET)

Habe den Artikel angepaßt. Ist er jetzt verständlich?--Gunther 14:32, 3. Mär 2005 (CET)

Ja, nach nochmaligem Druebernachdenken ist der Satz wirklich nicht trivial :-) Die Beispiele sind gut. Ich entferne mal das Unverstaendlich-Tag. Viele Gryesse --DaTroll 15:40, 3. Mär 2005 (CET)

Nur leider gibt es Untermannigfaltigkeit noch nicht, habs aber schon in die Liste eingetragen.--Gunther 15:44, 3. Mär 2005 (CET)

• merci für die Mühe nach meinem bausteinsetzen--217 15:51, 3. Mär 2005 (CET)

Umbenennen auf Satz von Sard?

In der englischen Wikipedia gibt es en:Sard's lemma bzw. en:Sard's theorem. Sollten wir nicht umbennen? Außerdem ist der Link von Rayleigh-Zahl auf "Kritischer Wert" unpassend.

Umbenennen: ja, wieso nicht. Den letzten Punkt wirst Du wohl den Physikern sagen müssen, ich glaube nicht, dass die hier zuschauen :-)--Gunther 11:07, 4. Mär 2005 (CET)

Das mit Rayleigh-Zahl und kritischer Wert passt halt schon. Das ist bei diesen ganzen Kennzahlen in der Strömungsmechanik so, daß sich mathematische und physikalische Eigenschaften der Gleichungen/Strömungen ab bestimmten kritischen Werten drastisch ändern. Ist die Frage, ob "Kritischer Wert" in jenem Zusammenhang einen Artikel verdient. Ansonsten ist verschieben eine gute Idee, man sollte noch den ursprünglichen Artikelersteller fragen. Viele Gruesse --DaTroll 16:10, 4. Mär 2005 (CET)

Nein, "kritischer Wert" ist dort kein Terminus technicus, es könnte genausogut "kritische Schranke" heißen. Oder siehts Du dort eine Funktion, dessen Bild die Rayleigh-Zahl ist und deren Ableitung an der betreffenden Stelle Null ist? Ich habe jedenfalls vorbeugend den Link im Artikel Rayleigh-Zahl entfernt. --NeoUrfahraner 02:30, 5. Mär 2005 (CET)

Kleinschreibung

"thomsche Katastrophentheorie" ist nun wirklich eine Schreibweise, die ich noch nie nie nie gesehen habe. --Suhagja (Diskussion) 16:35, 29. Nov. 2012 (CET)

Lebesgue-Maß auf Mannigfaltigkeiten

Hallo! Könnte jemand eine Bemerkung einfügen, wie das Lebesgue-Maß auf Mannigfaltigkeiten definiert ist? Entweder hier oder im Artikel zum Lebesgue-Maß... Ich habe bei Bredon/Topology and Geometry nachgesehen, doch dort wird der Satz von Sard nur für R^n als Zielbereich formuliert und bewiesen. Und ich kenne auch die Antwort nicht, sonst würde ich das selber schreiben. --95.90.209.20 20:09, 7. Sep. 2015 (CEST)

In dem allgemeinen Kontext von Mannigfaltigkeiten ist „Lebesgue-Maß“ sicher nicht der korrekte Begriff. Für Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{N}$ wäre eine naheliegende Verallgemeinerung das Hausdorff-Maß. (Evtl. kann man das weiter verallgemeinern für Mannigfaltigkeiten mit einer geeigneten Metrik, z. B. Untermannigfaltigkeiten von Riemannschen Mannigfaltigkeiten? Oder vielleicht en:Minkowski content?). Auf Anhieb habe ich leider nur Formulierungen des Satzes von Sard gefunden, die sich auf differenzierbare Abbildungen zwischen offenen Mengen des $\mathbb {R} ^{N}$ bzw. $\mathbb {R} ^{M}$ beziehen (und in diesem speziellen Fall passt natürlich „Lebesgue-Maß“ bzw. „Borel-Lebesgue-Maß“). Der EoM-Artikel (M. I. Voitsekhovskii et al.: Sard theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). ) spricht zwar allgemein von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, drückt sich interessanterweise aber genau um die Frage, welches Maß bzw. was mit “set of measure zero” gemeint ist. Der Artikel en:Sard's theorem der englischen Wikipedia hört sich so an, als könne man unter geeigneten Bedingungen (en:Second-countable space) die Eigenschaft „hat Maß Null“ sinnvoll mit Hilfe von Karten und Atlanten auf Teilmengen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten übertragen, ohne ein konkretes Maß zu spezifizieren. Das klingt elegant. Kann jemand eine möglichst allgemeine und vor allem korrekte und belegbare Version dieses Satzes beisteuern? Angeblich soll ein recht allgemeiner Fall in Abraham, Robbin Transversal mappings and flows, Benjamin New York (1967) zu finden sein. --DufterKunde (Diskussion) 19:30, 17. Nov. 2015 (CET)

Ich habe nochmal recherchiert und den Artikel entsprechend angepasst. In dem Zug habe ich auch im Artikel Nullmenge den Unterabschnitt Differenzierbare Mannigfaltigkeiten angelegt (vgl. auch Diskussion:Nullmenge#Differenzierbare Mannigfaltigkeiten). Ich hoffe, das Rätsel ist damit gelöst. --DufterKunde (Diskussion) 16:06, 21. Nov. 2015 (CET)