Diskussion:Stetigkeit/Archiv

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Epsilon-Delta/Lipschitz

Ich bitte darum, nicht gleich einen eigenen Artikel zum "Epsilon-Delta-Kriterium" zu schreiben, sondern es in diesem Artikel zu erklären - immerhin ist es die üblichste Definition der Stetigkeit, die man auch in der Schule lernt usw.

Etwas kurzes zur Lipschitz-Stetigkeit wäre natürlich auch toll ;-)

--zeno 15:03, 2. Mai 2003 (CEST)

Lipschitz-Stetigkeit: erledigt… MikeTheGuru 18:50, 24. Mai 2004 (CEST)

Inzwischen unter Lipschitz-Stetigkeit. --Martin Thoma 11:02, 24. Sep. 2012 (CEST)

Naive Definition

Gegenbeispiel

Ich habe das Gegenbeispiel (1/x) gegen die naive Definition entfernt, da es ihr nicht wiedersprach. Man muss zwar den Stift absetzten aber nicht innerhalb des Definitionsbereiches. Kennt jemand ein wirkliches Gegenbeispiel? Ich vermute nämlich das es keins gibt. Stefanwege 15:19, 18. Jun 2004 (CEST)

Ein Gegenbeispiel wäre $f(x)=x\sin({\frac {1}{x}})$ da kann man um den Punkt 0 überhaupt nichts mehr zeichnen, da die Amplitude der Schwingung zwar immer kleiner, aber die Frequenz immer größer wird. Trotzdem ist f(x) auch im Punkt 0 stetig. Ganz im Gegensatz übrigens zu der Funktion $\sin({\frac {1}{x}})$ die sich im Punkt 0 nicht stetig fortsetzen läßt, da es zu jeder Zahl aus [-1,1] eine Nullfolge $a_{n}$ gibt, bei der $\sin({\frac {1}{a_{n}}})$ gegen diese Zahl konvergiert. --Schnitte 11:15, 24. Okt 2004 (CEST)

bei der "naiven definition" ist der definitionsbereich ein intervall, also zusammenhaengend. stetige funktionen duerfen aber auch zerstueckelte definitionsbereiche besitzen, z.b.

$f:(0,1)\cup (2,3)\rightarrow \mathbb {R} ,~x\mapsto x$ ist stetig, man kann aber nicht den graphen zeichnen, ohne den stift abzusetzen. --seth 21:54, 12. Aug 2004 (CEST)

Irgendwie überzeugt mich das Gegenbeispiel nicht - du kannst doch das intervall [1 2] mit Klebeband abpicken :-). Ich bin übrigens gar nicht der Meinung, dass die naive Definition so schlecht wegkommen soll. Versuch mal der Oma von nebenan die epsilon-delta stetikeit zu erklären. Unyxos 01:06, 13. Aug 2004 (CEST)

angenommen, die oma von nebenan hat keine ahnung von mathe. soll dann wirklich, bloss weil sie das nicht versteht, die mathematik ueber den haufen geschmissen werden? imho nein.

die "naive" def. trifft nun mal nur zu, wenn der definitionsbereich ein intervall (bzw. allgemein: zusammenhaengend) ist. und die funktionen, die nicht-zusammenhaengende definitionsbereiche besitzen, sind viel mehr ;-)

nichtsdestotrotz wird ja im artikel die "naive" def. als erste gegeben. und der zusatz, dass sie nicht exakt ist, darf nicht geloescht werden. so wie es ist find ich es ok. --seth 10:08, 13. Aug 2004 (CEST)

Naive Definition: Abschnitt ersetzen

Ich schlage vor, diesen Abschnitt zu ersetzen durch:

Anschaulich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn der Graph der Funktion auf ihrem Definitionsbereich ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann, also keine Sprünge in den Funktionswerten auftreten. Die mathematische Präzisierung dieser "Definition" ist jedoch bestenfalls tautologisch (eine Funktion auf einem Intervall ist genau dann stetig, wenn ihr Graph wegzusammenhängend ist).

Oder kann mir jemand erklären, was das mit Lipschitzstetigkeit zu tun hat?--Gunther 19:41, 12. Jun 2005 (CEST)

Ich finde, dass in dem Abschnitt auf jeden Fall darauf hingewiesen werden sollte, dass die naive Definition zwar anschaulich ist aber nicht als Merksatz hinhalten sollte, weil es bei dem Begriff der Stetigkeit nicht wirklich um den Graphen geht. (nicht signierter Beitrag von Haize (Diskussion | Beiträge) 20:13, 12. Jun. 2005 (CEST))

Das verstehe ich nicht. Was meinst Du damit?--Gunther 20:23, 12. Jun 2005 (CEST)

Dass diese "Definition" nicht gleichbedeutend mit dem Begriff der Stetigkeit ist. Schließlich ist n->n^2 (n aus den natürlichen Zahlen) auch stetig und bei der Funktion kann man keine zwei Punkte verbinden. Und jemand, der wissen will was Stetigkeit bedeutet (z.B. im Mathestudium), könnte so etwas durcheinander geraten... Haize 23:09, 12. Jun 2005 (CEST)

Ok, ersetze "Funktion" durch "reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall".--Gunther 23:24, 12. Jun 2005 (CEST)

Hi, der Zusatz kam, weil diese naive Definition allenfalls eine naive Definition für lokal Lipschitz-stetig ist. Man versuche, den unendlich werdenden Anstieg der Quadratwurzelfunktion mit Papier und Bleistift so zu skizzieren, dass das gezeichnete im weitesten Sinne noch eine Funktion ist, d.h. mit etwas gutem Willen Eineindeutigkeit auszumachen ist. Und dieses ist nur ein Beispiel für Hölder-Stetigkeit mit Index 0.5 in einem Punkt. Nun versuche man, eine Funktion, die auf einen globalen Hölder-Index 0.1 aufweist, mit welchen Mitteln auch immer, einigermaßen treu und wegzusammenhängend zu skizzieren.--LutzL 09:06, 13. Jun 2005 (CEST)

Hm, also mit dicken Stiften würde ich nicht zeichnen. Mit meinem unendlich dünnen Stift kann ich alles zeichnen, das ein Weg ist :-) --Gunther 09:13, 13. Jun 2005 (CEST)

Dann solltest Du aber auch unendlich viel Tinte/Mine haben und eine unendlich große Zeichengeschwindigkeit, derart fraktale Kurven pflegen keine endliche Weglänge zu haben.;-)LutzL 13:23, 13. Jun 2005 (CEST)

Naja, ich weiß nicht, ob man es unbedingt so genau nehmen muss... Letztendlich gehts ja nur um die Frage, ob der aus der Hand gezeichnete Graph einer Funktion halt _ungefähr_ der Realität entspricht und diese somit (meistens) stetig ist. Ich erinnere auch an die Fkt. f(x)=sin(1/x),D(f)=R\{0}... --Haize 15:00, 15. Jun 2005 (CEST)

Ich habe den entsprechenden Absatz aus dem Artikel genommen, das ist doch eher eine Spielerei.--Gunther 00:48, 21. Jun 2005 (CEST)

Ich bin nun auch einmal über die naive Definition darübergegangen und habe manches verändert:

• Die Definition habe ich von vornherein auf Funktionen mit dem Definitionsbereich eines reellen Intervalls eingeschränkt. Es erschien mir etwas umständlich, zuerst nicht über den Definitionsbereich zu sprechen und dann die nicht-zusammenhängenden wieder auszunehmen.
• Den Nachsatz also keine Sprünge in den Funktionswerten auftreten habe ich weggenommen, da es streng genommen nicht genau das selbe ist wie ohne Absetzen in einem Zug zeichnen. Ein mögliches Gegenbeispiel steht schon weiter oben auf dieser Diskussionsseite, es ist die Funktion f(x)=1/x*sin(1/x) auf IR\{0} und f(0)=0, welche im Nullpunkt zwar stetig ist und dort auch keine Sprünge in den Funktionswerten hat, die aber im Nullpunkt nicht gezeichnet werden kann, und damit insbesondere auch nicht in nur einem Zug. Weitere Gegenbeispiele liefern überall stetige, aber nirgends differenzierbare Funktionen.

Ich hoffe die Änderung passt.--MKI 03:34, 12:03, 21. Jun 2005 (CEST)

Ich habe die Sprungstellen wieder rein, da diese Erklärung im Mathematikunterricht (zumindest bei mir und einigen meiner Bekannten) zur Erklärung verwendet wurde. Sprachlich wurde der Satz von mir dahingehend verfeinert, dass die Sprungstelle keine notwendige Bedingung ist. (nicht signierter Beitrag von Squizzz (Diskussion | Beiträge) 08:00, 21. Jun. 2005 (CEST))

Ich habe den zweiten Absatz wieder zurückgesetzt, weil Funktionen mit unzusammenhängendem Definitionsbereich häufig vorkommen (1/x) und die Definition für Funktionen auf Intervallen präzise ist, wenn man die "richtige" Präzisierung verwendet, siehe oben. Genau die Fragen, ob ein Stift nun nur rektifizierbare Kurven zeichnen kann usw., würde ich aber nicht berühren wollen.--Gunther 08:17, 21. Jun 2005 (CEST)

Ich erinnere mich auch daran, dass ich die Sache mit den Sprungstellen in der Schule gehört habe. So wie es jetzt drin steht passt es, es wird nicht mehr der Eindruck vermittelt, dass die Eigenschaft äquivalent zum Zeichnen in einem Zug wäre.

Nach euerer teilweisen Rückänderung ist nun die Sache mit dem Definitionsbereich unklar: Es steht noch meine auf ein Intervall eingeschränkte Definition da (der Definitionsbereich ist damit zusammenhängend), und weiter unten wird über nicht-zusammenhängende Definitionsbereiche gesprochen, was in der aktuellen Version ja gar nicht betrachtet wird.

In jedem Fall bin ich der Meinung, dass ein nicht-zusammenhängender Definitionsbereich nicht für eine Kritik an der naiven Definition verwendet werden sollte. Abgesehen von der Formulierung (was heißt "mit dem Stift zeichnen" überhaupt) liegt das eigentliche Problem dieser Definition meiner Meinung nach darin, dass sich manche Funktionen einfach nicht überall zeichnen lassen. Und, ja, es gibt auch Funktionen endlicher Bogenlänge, die sich nicht zeichnen lassen. Man muss es nur hinbekommen, dass in jedem noch so kleinen Intervall unendlich viele Stellen drin sind, wo die Funktion nicht differenzierbar ist. So etwas lässt sich - ähnlich der Koch-Kurve - durch den Grenzwert einer rekursiv definierten Funktionenfolge leicht konstruieren.

Für die Definition sehe ich damit 2 sinnvolle Varianten:

• Nur auf zusammenhängendem Definitionsbereich definieren
• Auf beliebigen Definitionsbereichen in IR defininieren (stetig, wenn über allen Zusammenhangskomponenten des Definitionsbereichs in einem Zug zu zeichnen)--MKI 12:03, 21. Jun 2005 (CEST)

• Eine Funktion, die auf jeder Zusammenhangskomponente stetig ist, ist noch lange nicht selbst stetig (z.B. Funktionen auf $\mathbb {Q}$).
• Du denkst offenbar an eine konkrete Präzisierung von "mit dem Stift zeichnen", die Du aber nicht verrätst. Meine Definition ist: Graph ist wegzusammenhängend; mit dieser Definition ist eine Funktion auf einem Intervall genau dann stetig, wenn man den Graphen zeichnen kann. Ich finde diese Definition natürlich und naheliegend, der Artikel sollte also nicht implizit eine andere voraussetzen, so natürlich sie Dir auch erscheinen mag. (Genausowenig sollte er meine voraussetzen, das ist klar.)

Ich sehe die derzeitige Fassung folgendermaßen: Für Intervalle wird eine schwammige Definition gegeben, und es wird darauf hingewiesen, dass sich diese Definition nicht auf allgemeinere Definitionsbereiche verallgemeinern lässt. Dieser Aufbau erscheint mir nicht unsinnig.--Gunther 12:31, 21. Jun 2005 (CEST)

Nein, eine mathematische Präzisierung von "mit dem Stift zeichnen" habe ich nicht parat. Es ist lediglich meine Intuition, die mir für etliche (höchstwahrscheinlich nicht alle) Fälle sagt, was mit dem Stift zeichenbar ist und was nicht. Meine Intuition sagt mir, dass aus "in einem Zug mit dem Stift zu zeichnen" Wegzusammenhang folgt, die Umkehrung gilt im Allgemeinen aber nicht. Außerdem denke ich, dass die stetige Fortsetzung von f(x) = x*sin(1/x) in x=0 nicht gezeichnet werden kann, genausowenig wie die im letzten Beitrag angedeutete Funktion endlicher Bogenlänge. Siehst du das auch so?

Momentan klingt es danach, dass die Definition deshalb nicht präzise ist, weil sie für Funktionen mit nicht-zusammenhängendem Definitionsbereich versagt. Das geht aber am Kern vorbei. Ich versuche das mal klarer zu machen.--MKI 14:11, 21. Jun 2005 (CEST)

Nein, das sehe ich nicht so. Natürlich kann ein realer Stift keinen Funktionsgraphen zeichnen, schon weil es nur endlich viele Atome gibt und sie eine endliche Ausdehnung haben. Deshalb ist eine gewisse Idealisierung nötig, und ich halte Wegzusammenhang für eine naheliegende und vertretbare Idealisierung. (Z.B. wird niemand leugnen wollen, dass man die Zahlengerade mit einem Stift nachzeichnen kann, auch wenn man dafür einen unendlich großen Stift braucht usw.)

Die Erwähnung von Zusammenhangskomponenten im Artikel scheint mir übertrieben. Man muss nicht alles erwähnen, das nicht funktioniert ;-) --Gunther 14:30, 21. Jun 2005 (CEST)

Trotzdem fühle ich einen fundamentalen Unterschied darin, die Funktion x^2 und die Funktion x*sin(1/x) auf dem Intervall [-1,1] zu zeichnen. Das eine geht (auch wenn mein Bleistiftstrich eine Breite hat und nicht immer ganz exakt den Funktionsverlauf verfolgt), das andere geht nicht. Ich kann mir nicht recht vorstellen, dass du die Möglichkeit des Zeichnens der beiden Funktionsgraphen als prinzipiell gleich empfindest.

Ich war mir nicht sicher, ob ich den Wegzusammenhang in dem Artikel erwähnen soll. Da aber -- ließe man den Satz weg -- etlichen Lesern die Definitionskorrektur auf allen Zusammenhangskomponenten jeweils in einem Zug zu zeichnen zumindest dem Inhalt nach auf der Zunge liegen dürfte, hab ich mich entschieden, das doch mit reinzunehmen. Nicht zuletzt bin ich vorher selbst darauf reingefallen.--MKI 14:41, 21. Jun 2005 (CEST)

Natürlich ist der Graph von $x^{2}$ "schöner", aber ich denke, dass ich selbst mit einem Bleistift den Graph von $x\sin(1/x)$ so genau zeichnen könnte, dass die wesentlichen Aspekte zu erkennen sind. Weitere Ansprüche habe ich an Bilder nicht.

Ich würde den Wegzusammenhang definitiv nicht erwähnen, denn mehr als eine Tautologie ist da nicht zu holen. Das mit den Zusammenhangskomponenten ist natürlich richtig, sobald der Definitionsbereich offen ist (und das kann man bestimmt auch noch irgendwie abschwächen).--Gunther 15:01, 21. Jun 2005 (CEST)

Ich habe jetzt das meiste rausgeschmissen. Anscheinend ist man vom Ziel abgekommen. Die Aussage mit dem Stift und den Sprungstellen kommt wie ich oben schon erwähnt habe vor und ist dienlich um einen schnellen Einstieg zu haben. Da ich jetzt noch darstelle, dass dies jedoch kein Kriterium ist, sondern nur eine Skizze, sollte nun alles dazu gesagt sein. Es geht ja nicht darum einen neue Definition von Stetigkeit basierend auf der Stift-Idee zu geben. --Squizzz 15:08, 21. Jun 2005 (CEST)

So wies jetzt ist find ichs auch gut... --Haize 15:14, 21. Jun 2005 (CEST)

Dem kann ich nur zustimmen. Die Bezugnahme auf den Einleitungssatz habe ich noch herausgenommen: Die Präzisierung dieser "Definition" folgt ja unmittelbar.--Gunther 15:17, 21. Jun 2005 (CEST)

ich finde auch, dass ihr das toll gemacht habt! --seth 19:57, 21. Jun 2005 (CEST)

Mir gefällt es jetzt auch ganz gut, der Spruch weniger ist mehr hat sich wieder einmal bewahrheitet. Den Absatz über nicht-zusammenhängende Definitionsbereiche nochmals komplett rauszuwerfen hatte ich mich nicht getraut, da Gunther ihn nach meiner ersten Änderung wieder hineingenommen hatte, mit dem Kommentar dass diese Situation erwähnt werden solle weil sie häufig auftritt.

Die wohl aussichtslose Diskussion darüber, was gezeichnet werden kann und was nicht, hat sich nun auch erübrigt.--MKI 20:19, 21. Jun 2005 (CEST)

:-) Ich hatte den Teil nur wieder reingenommen, weil er für mein Empfinden vom sinngemäßen "Kommt in der Praxis nie vor" nicht abgedeckt war.--Gunther 20:41, 21. Jun 2005 (CEST)

ok, alles klar. Das "kommt in der Praxis nicht vor" bezog ich auf diese pathologischen Beispiele wie x*sin(1/x)--MKI 20:57, 21. Jun 2005 (CEST)

Peano Satz

Die Existenzsätze für Anfangswertprobleme verwenden als wichtigsten Bestandteil die gleichgradige Stetigkeit und nicht die gleichmäige, deshalb hab ich das eingefügt. Kompaktheit ist hier das wichtig. Oder? Unyxos 18:05, 1. Sep 2004 (CEST)

sehr salopp gesprochen: der existenzsatz von peano benoetigt (auch in der lok. version) nur stetigkeit. (siehe z.b. google)

der eindeutigkeitssatz von picard-lindeloef benoetigt stetigkeit der funktion, und lipschitz-stetigkeit bzgl. der letzten variablen.--seth 22:40, 1. Sep 2004 (CEST)

Zu den Voraussetzungen o.k., der Beweis jedoch benutzt den Satz von Arzela-Ascoli (Grenzwert in einer Familei von Polygonzügen), so dass die gleichgradige Stetigkeit schon in diesem Zusammenhang auftaucht.--LutzL 10:58, 22. Aug 2005 (CEST)

Das ist doch wohl besser im Artikel Satz von Peano oder Satz von Picard-Lindelöf aufgehoben, oder?

Unter Stetigkeit#Andere_Stetigkeitsbegriffe werden sie inzwischen erwähnt. Ist das damit erledigt? --Martin Thoma 11:17, 24. Sep. 2012 (CEST)

"Spezialfälle" der Stetigkeit

Ich finde das Wort "Spezialfall" ungünstig gewählt, ich stelle mir darunter Beispiele vor, wie der Stetigkeitsbegriff in speziellen Fällen aussieht, nicht einen stärkeren Begriff. Wie wäre es mit "Andere Stetigkeitsbegriffe"?--Gunther 10:51, 2. Mär 2005 (CET)

Verschärfung des Stetigkeitsbegriffes, oder einfach nur ein Verweis zur gleichmäßigen-, Lipschitz-,und alpha-Hölderstetigkeit. (nicht signierter Beitrag von 82.83.244.105 (Diskussion | Beiträge) 18:52, 3. Jan. 2006 (CET))

und ich schlage noch sonderfaelle oder sonderfaelle der stetigkeit vor, wobei dagegen wohl immer noch Gunthers einwand spricht, oder? --seth 23:03, 3. Jan 2006 (CET)

Definition

Es mag ja sein, dass die vandalierte Definition korrekt ist, aber verständlich ist sie nicht. Zumindest die Quantoren sollte man ausschreiben.--Gunther 22:40, 14. Mai 2005 (CEST)

Hast recht, - bin aber dafür, dass die Definition an sich erhalten bleibt und ein (d.h. eine Funktion ist stetig...) bekommt. Tom1200 23:22, 14. Mai 2005 (CEST)

Ich glaube mit den zusätzlichen Punkten kann man es nun so stehen lassen. Die erste Definition ist recht elegant wenn man verstanden hat wie der Limes von Funktionen definiert ist; leider habe ich aber in der Wikipedia keine saubere Definition gefunden (nur über Folgen). Tom1200 16:54, 15. Mai 2005 (CEST)

Zitat:"Es sagt in Worten etwa: Die Funktion f ist in einem Punkt p stetig, wenn es zu jeder Umgebung V seines Bildpunktes f(p) eine Umgebung U von p gibt, die durch f ganz in die Umgebung V abgebildet wird."

Ist hier nicht die Stelle p gemeint? Falls nicht, wie habe ich mir die Umgebeung eines Punktes vorzustellen? Ein Kreis?--Yoshee 02:58, 15. Sep. 2008 (CEST)

Im einfachsten Fall reeller Funktionen ($f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$) ist "Umgebung" ein "Intervall". z.B. $y=f(x)=2x$, $p=1$, $f(p)=2$. Eine Umgebung V von 2 ist z.B. das (offene) Intervall (1,8; 2,2). Nun sucht man eine Umgebung U von 1, dessen Bild ganz in V hineinpasst, also etwa das Intervall (0,95; 1.05). Gilt $0,95\leq x\leq 1,05$, so gilt $1,9\leq 2x\leq 2,1$, das Bild (1,9; 2,1) liegt also ganz innerhalb von V=(1,8; 2,2). Alles klar? --NeoUrfahraner 09:33, 15. Sep. 2008 (CEST)

globale stetigkeit

bei den aenderungen von Tom1200 (die ich im grossen und ganzen gut finde), bin ich auf ein paar ungereimtheiten gestossen. eine davon ist die lokale/globale stetigkeit. auf seite 6 des scriptums http://www.ruhr-uni-bochum.de/ffm/Lehrstuehle/Lehrstuhl-VII/daten/ana12002/skript/ana10602.pdf kann man recht schoen nachlesen, was lokal bedeutet. ich habe deswegen die /\blokal(e[rns]?)?/ wieder geloescht.
die definition der globalen stetigkeit von Tom1200:
"Ist die Funktion $f:D\to \mathbb {R}$ an jeder Stelle $x$ im Intervall $\rbrack a;b\lbrack \in D$ stetig, so heißt die Funktion $f$ in diesem (offenen) Intervall global stetig."
habe ich vorerst mal auskommentiert, da sie imho naeherer erlaeuterung bedarf. (ausserdem soll es wohl $(a,b)\subseteq D$ heissen und nicht "\in").--seth 14:07, 16. Mai 2005 (CEST)

Zustimmung: Man sollte von "stetig in einem Punkt" und "stetig" sprechen. Lokal/global ist hier nicht sinnvoll.--Gunther 14:20, 16. Mai 2005 (CEST)

Auch hier Zustimmung, - anscheinend zwei Quellen etwas durcheinandergebracht. Nur eine Frage - ist es bei der Intervallschreibweise nicht besser die ]a,b[ anstatt die englische mit () zu verwenden - ich glaube Schüler tun sich mit der ersteren leichter. Tom1200 15:01, 16. Mai 2005 (CEST)

Edit: Nein, doch nicht geirrt, seht sinngemäß in der Quelle mit offenen Intervall, da die "Endpunkte" jeweils nicht differenzierbar sind. Andere Frage: Ist bei Bijektivität 'streng monoton' nötig? (nicht signierter Beitrag von Tom1200 (Diskussion | Beiträge) 15:16, 16. Mai 2005 (CEST))

zur intervall-schreibweise: beide schreibweisen werden sowohl in schulen als auch an den unis und in der fachliteratur benutzt. imho ist egal, was man davon verwendet. ich persoenlich finde die ()-variante huebscher.

den ersten satz des edits habe ich nicht verstanden. zur frage: ja. die umkehrfunktion einer reellen funktion ist anschaulich nur eine spiegelung an der hauptdiagonalen (f(x)=x). beim spiegeln des grafen einer monotonen, aber nicht streng monotonen funktion wuerde man nicht den grafen einer funktion erhalten. (verstoss gegen rechtseindeutigkeit)--seth 15:39, 16. Mai 2005 (CEST)

Z.B. ist $f(x)=1$ monoton, aber nicht streng monoton.--Gunther 15:44, 16. Mai 2005 (CEST)

Danke, das ist jetzt absolut klar. Nochmal zu meinen, - das Bild einer Funktion im Intervall [a,b] ist nicht zu verwechseln mit dem vom Zwischenwertsatz gelieferten Intervall [f(a),f(b)] (ich weiß ich habe es schlechter formuliert). Aber wenn es stimmt, dass das die Bildmenge nicht mit der Intervallmenge überein stimmen muss und das wollte ich klar machen. Zum Edit: es bezieht sich auf "das sollte noch in einer diskussion erlaetern werden:...".

Nochmal zur Intervall Schreibweise mit den runden Klammern. Auf Unis ist das schon klar, aber in der Schule ist sicher nicht üblich. Habe jetzt ein paar Leute gefragt und die kennen diese Schreibweise nicht. Und ich bin ehrlich gesagt auch nicht sonderlich glücklich darüber, da man es schnell verwechseln kann (nicht signierter Beitrag von Tom1200 (Diskussion | Beiträge) 17:40, 16. Mai 2005 (CEST))

• [verwechslung von def.- und wertebereich]

imho muss das im artikel nicht noch naeher ausgefuehrt werden. es steht ja schon jetzt zwei mal das gleiche da. aber ich moechte mich auch nicht kategorisch gegen einen gut formulierten zusatz stellen.

• [globale stetigkeit]

sorry, ich hab's immer noch nicht verstanden.

• [intervall-schreibweise]

"ein paar leute" gefragt. nun ja, vielleicht zu wenig. ;-) wir hatten in der schule beide schreibweisen kennengelernt, da wir lehrer hatten, welche die ()-variante, aber auch welche, die die ][-variante bevorzugten. beide varianten haben ihre vor- und nachteile (runde klammern sind ueberladen z.b. mit vektoren- und skalarproduktschreibweise; die ][-variante dagegen kann ein fliessendes lesen stoeren, da wir es gewohnt sind, klammern syntaktisch anders(herum) im kopf zu verarbeiten). ich finde, dass man es einem mathematik-interessierten schueler, der eine der beiden schreibweise noch nie gesehen hat, zumuten kann, dass er sich z.b. via google oder Intervall_(Mathematik) ueber deren bedeutung informiert; das wort "intervall" steht ja sogar fast immer dabei.--seth 10:49, 17. Mai 2005 (CEST)

Bild einer unstetigen Funktion

Das Bild in seiner gegenwärtigen Form ist missverständlich. Wenn der Funktionswert an der "Sprungstelle" nicht definiert ist (was nicht eindeutig zu erkennen ist), dann ist sie an dort weder stetig noch unstetig. Damit wäre die Funktion in ihrem ganzen Definitionsbereich stetig (!).

Sinnvoller wäre es daher, durch Zeichnen eines dicken Punkts einen Funktionswert für die "Sprungstelle" darzustellen. 80.81.1.219 18:24, 17. Mai 2005 (CEST)

oh, oh! ein dicker ausgefuellter kreis auf der einen seite und ein (unausgefuellter) kreisring oder eine pfeilspitze auf der anderen? oder lieber die intervallklammern )[ bzw. ]( oder doch besser [[ bzw. ]]? scnr!

aber spass beiseite. ich gebe dir recht, jemand der sich grundsaetzlich ueber stetigkeit informieren will, wird durch die momentane grafik nicht auf die abhaengigkeit des definitionsbereichs aufmerksam gemacht. aendere das ruhig.--seth 17:50, 18. Mai 2005 (CEST)

Wir hatten wimre in der Schule Quadrate und Kreuze.--Gunther 18:18, 18. Mai 2005 (CEST)

Ja lässt du mir wohl meine Intervallklammern [ und ] in Frieden, seth , da hört sich ja alles auf ;) lol . Tom1200 19:11, 22. Mai 2005 (CEST)

Beispiele

Mir fehlen trennende Bespiele (eine Gegenüberstellung) für:

• nicht-reelle stetige Funktion
• nicht-reelle unstetige Funktion
• reelle stetige Funktion
• reelle unstetige Funktion

und sehe mich außer Stande. Gruß --Chrisqwq 18:10, 12. Jun 2006 (CEST)

Mir ist nicht klar, was Du willst. Meinst Du mit "nicht-reelle Funktion" einfach irgendetwas, das halt nicht $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist? Meinetwegen kannst Du das Signum auf $\mathbb {Q}$ einschränken, genügt das schon? Oder soll es eine "sinnvolle" Funktion sein?--Gunther 18:13, 12. Jun 2006 (CEST)

achja, war das so: Alle stetigen Funktionen sind reell! ? Dann suche ich also nur beipsiele für die rellen unstetigen Fuktionen. Die fehlen im Artikel --Chrisqwq 18:31, 12. Jun 2006 (CEST)

Die Signumfunktion ist drin. Eine Funktion, die überall unstetig ist, ist irgendwie nicht besonders spannend. --P. Birken 18:53, 12. Jun 2006 (CEST)

@Chris: das klingt nach einem Missverständnis. Nein, nicht jede stetige Funktion ist reell (und auch keine andere der Implikationen wäre richtig). Mir leuchtet nur die Unterteilung in reelle und "nicht-reelle" Funktionen nicht ein.--Gunther 10:54, 13. Jun 2006 (CEST)

Richtig, ich dachte vieleicht noch an ein Beispiel aus der Schulmathematik, y=1/x ? --Chrisqwq 19:01, 12. Jun 2006 (CEST)

Die ist doch als Beispiel angegeben? --P. Birken 19:42, 12. Jun 2006 (CEST)

Wir sollten uns auf reelle Funktionen beschränken. Ansonsten wäre die Funktion von {a,b,c} auf {x,y,z} versehen jeweils mit der diskreten Topologie, egal wie sie aussieht stetig, weil jede Funktion zweier diskreten Topologien stetig ist. Es reicht sogar, dass die Urbildmenge mit der diskreten Topologie versehen ist. Aber das ist wohl nicht das was wir wollen. Ansonsten habe ich weiter oben schon einige interessante Beispiele angegeben:

• $1_{\mathbb {Q} }(x):={\begin{cases}1&falls\;x\in \mathbb {Q} \\0&sonst\end{cases}}$ Ist an keiner Stelle stetig
• $f(x):={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&falls\;x={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} \setminus \{0\},\operatorname {ggT} (p,q)=1\\0&sonst\end{cases}}$ Ist an allen rationalen Stellen außer 0, unstetig, sonst überall stetig
• $g(x):={\begin{cases}x\sin({\frac {1}{x}})&falls\;x\neq 0\\0&sonst\end{cases}}$ ist überall stetig, auch in der 0, läßt sich aber in der Umgebung der 0 nicht mehr zeichnen, da es undendlich viele "Schwankungen" gibt
• $h(x):={\begin{cases}\sin({\frac {1}{x}})&falls\;x\neq 0\\C&sonst\end{cases}}$ ist stetig, bis auf die 0. Egal, wie C gesetzt wird, die Stelle ist nicht stetig zu machen.

@P.Birken: Richtig, die beiden oberen Funktionen sind für nichts nütze und weiter nicht zu gebrauchen. Aber sie zeigen auf, dass es auch Funktionen gibt, die nirgends stetig sind. Weiter oben haben ich dargelegt, dass sogar die meisten Funktionen so sind und dass sie überhaupt nicht definierbar sind. Als Beispiele taugen sie durchaus, wenn sie auch nicht so Omatauglich sind wie die Signumfunktion. Aber die will ja auch niemand aus den Beispielen streichen. @Gunther: Stimmt, das Verhalten der Funktion h(x) in der Umgebung der 0, kann man nicht als springen bezeichnen. Es gibt halt Funktionen, die man nicht mit einem Bleistift zeichnen kann, und deshalb, und nur deshalb, stimmt die naive Definiton nicht. --Schnitte 11:56, 22. Aug 2006 (CEST)

Also ich fände es gut, wenn die vier Beispiele in den Hauptartikel übernommen würden.--Vanda1 14:47, 11. Feb. 2008 (CET)

Stetig vs. diskret?

In der Statistik wird zwischen stetig (continuous) und diskret (discrete) unterschieden. Ist denn dann das Gegenteil von stetig (im Sinne von "ein Intervall enthält alle rationalen Zahlen") nicht auch diskret (im Sinne von "ein Intervall enthält nur ganzzählige Schritte. Ich meine mich dunkel zu erinnern an Dinge wie e = [0,1] heißt "e kann alles zwischen 0 und 1 sein" und e = {0,1} heißt "e ist entweder 0 oder 1". Oder so. (Aber ich bin kein Mathematiker, deswegen bin ich mit den Definitionen nicht so ganz vertraut.) Jedenfalls fehlt mir als VWLer und Ökonmetrieanfänger da noch irgendwie eine Abgrenzung Stetigkeit (Kontinuität) vs. Diskretheit an übersichtlicher Stelle. Oder verwechsel ich da jetzt was? --Grünes Fiet 13:07, 1. Aug. 2007 (CEST)

In der Maßtheorie und Statistik wird stetig im Sinne von absolut stetig verwendet; aus absolut stetig folgt stetig, aber es gibt Funktionen, die zwar stetig, aber nicht absolut stetig sind (stetige Funktionen eines beschränkten Intervalls, deren Graph unendliche Kurvenlänge hat). Nach dem Zerlegungssatz von Lebesgue (en:Lebesgue's decomposition theorem) kann man jedes Wahrscheinlichkeitsmaß bezüglich des Lebesguemaßes in ein absolut stetiges und ein singuläres (typischerweise diskretes) Maß zerlegen. In diesem Sinn unterscheidet man in der Statistik zwischen stetigen und diskreten Verteilungen, wobei es auch gemischte Verteilungen gibt, die aber in der Praxis weniger interessant sind. Ach ja, dann gibt es auch noch singuläre, aber nicht-diskrete Verteilungen. z. B. en:Cantor distribution --NeoUrfahraner 13:24, 1. Aug. 2007 (CEST)

PS: brauche wir eine Begriffsklärung?

Vielleicht lässt sich aber Deine Frage einfacher beantworten und Du suchst nur die Erklärung, die bereits in Diskretheit und diskrete Mathematik steht. --NeoUrfahraner 14:10, 1. Aug. 2007 (CEST)

In Signaltheorie und evtl. Statistik ist mit dem Gegensatz von continuous und discrete der zwischen zusammenhängenden Mengen und Mengen isolierter Punkte gemeint. Genauer ist die reelle Achse "continuous" und die ganzen Zahlen oder irgendeine arithmetische Folge in den reellen Zahlen ist "discrete". Für ein Signal ist das der Unterschied, ob es als reelle Funktion oder als (beidseitig) unendliche Zahlenfolge dargestellt werden kann. --LutzL 14:34, 1. Aug. 2007 (CEST)

Beweis "Äquivalenz der Stetigkeitsbegriffe"

ich finde die Äquivalenz der Stetigkeitsbegriffe würde hier noch schön dazu passen. Oder ist das zu offensichtlich? Wenn jemand mag kann er's ja schreiben :-) (nicht signierter Beitrag von 88.66.54.163 (Diskussion | Beiträge) 22:03, 3. Okt. 2007 (CEST))

1/x

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Stetigkeit&diff=40901157&oldid=39321531 Die Behauptung in Schul-Formelsammlungen, die reelle Kehrwert-Funktion $f:x\mapsto 1/x$ sei im Punkt $x=0$ unstetig, ist falsch, da sie bei $x=0$ gar nicht definiert ist. Welche Schul-Formelsammlung behauptet das? --NeoUrfahraner 10:32, 8. Jan. 2008 (CET)

Und noch was: Das gilt ebenso für die stetige Funktion $f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x\mapsto 1/x^{2}$; nicht einmal durch $f(0):=\infty$ könnte diese so auf ganz $\mathbb {R}$ ausgeweitet werden, dass sie noch stetig, d.h. auch im Punkt $x=0$ des erweiterten Definitionsbereichs $\mathbb {R}$ stetig ist.. Also wenn man die erweiterten reellen Zahlen ${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ als Bildmenge betrachtet, dann muss man wohl auf den topologischen Stetigkeitsbegriff übergehen, und im Sinne der üblichen Topologie der erweiterten reellen Zahlen ist dieses Beispiel sehr wohl stetig. --NeoUrfahraner 11:00, 8. Jan. 2008 (CET)

Ich hab's jetzt auf den unstrittigen Teil gekürzt. --NeoUrfahraner 14:45, 8. Jan. 2008 (CET)

In 1.1.4 ("Stetige Ergänzbarkeit") steht noch immer, dass f(x)=1/x an der Stelle x=0 "unstetig" sei ... --178.192.210.22 14:11, 9. Apr. 2013 (CEST)

Hi, dies ist Wikipedia. Solche wohlbegründbaren Probleme darf man auch selbst sofort beheben. Sollte jetzt besser aussehen.--LutzL (Diskussion) 17:12, 9. Apr. 2013 (CEST)

Fehler in der Folgendefinition

Bei der Definition der Stetigkeit mit Folgen ist ein grober Fehler. Es fehlt der Zusatz, dass 2) für alle Folgen x_n auf D gelten muss. Sonst kann man z.B. mit dieser Definition ganz Leicht die Stetigkeit der Heavyside Fkt zeigen.. (nicht signierter Beitrag von 89.48.233.38 (Diskussion | Beiträge) 08:44, 19. Mai 2008 (CEST))

Danke für den Hinweis, ich habs korrigiert. --P. Birken 09:15, 19. Mai 2008 (CEST)

Hm, das gefällt mir so nicht. Es war vorher richtig. Es geht um den Grenzwert: $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$. Bei dieser Notation muss man nicht explizit betonnen, dass alle Folgen konvergieren müssen. Wenn man in der Folgenterminologie bleiben möchte, dann wäre die Notation für alle $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }:\ x_{n}\rightarrow x_{0}$ angebracht. Welche Variante gefällt euch besser? --Alexandar.R. 09:42, 19. Mai 2008 (CEST)

Man sollte vielleicht die Erläuterung noch ausführlicher machen, als sie jetzt nach meiner Änderung ist.--LutzL 10:00, 19. Mai 2008 (CEST)

Ist nicht sogar $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ eine allgemeine symbolische Notation für "Stetigkeit im Punkt $x_{0}$", die dann mittels eps-delta oder Folgen erklärt wird?--LutzL 10:08, 19. Mai 2008 (CEST)

Ja. Grenzwert (Funktion) und Stetigkeit sind eng miteinander verwandt. Ich habe es nochmals umformuliert, vielleicht wird's jetzt klarer. --NeoUrfahraner 21:50, 19. Mai 2008 (CEST)

Ohne Absetzen

"Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: Eine reellwertige Funktion f: I\to\mathbb{R} auf einem reellen Intervall I\subseteq\mathbb{R} ist stetig, wenn der Graph der Funktion f ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann."

Definitiv unwahr! Es gibt natürlich Funktionen, die ich mit Absetzen des Stiftes zeichnen kann (sogar muss), die aber trotzdem stetig sind. Sowas können sich nur Mathe-Lehrer ausgedacht haben ;-) Bitte streichen! 1.12.2008 by anonymous (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 217.190.244.226 (Diskussion • Beiträge) 20:16, 1. Dez. 2008)

Der Fall, "wenn mit Absetzen gezeichnet werden kann" wird ja gar nicht behandelt. --NeoUrfahraner 21:46, 1. Dez. 2008 (CET)

Tangens beispielsweise? Nulli 23:29, 2. Jan. 2010 (CET)

Ja, Tangens beispielsweise. Aber über diese Funktionen wird ja, wie schon vom NeoUrfahraner angemerkt, überhaupt nichts ausgesagt.--Grip99 01:12, 3. Jan. 2010 (CET)

Das wurde oben doch ellenlang diskutiert. Das sollte man lesen bevor man das hier zum 20.mal ankreidet. Es ist eine naive Einführung für Nicht-Mathematiker die für "fast alle" Fälle korrekt ist. (nicht signierter Beitrag von 82.83.79.127 (Diskussion | Beiträge) 19:48, 5. Apr. 2010 (CEST))

Beispiel aus dem Alltag

Abb. 1: Brutto- und Nettoinlandsprodukt in der Bundesrepublik Deutschland von 1970 bis 2007 (bis 1991 nur Westdeutschland, Angaben in Milliarden Euro)

Könnte man folgendes Bild als Beispiel aus dem Alltag anführen?
Ich finde, so wäre es für komplette Laien noch anschaulicher, weil klar ist, warum der Sprung drin ist.
-- Dominick Funk 12:12, 24. Mär. 2009 (CET)

Ich halte das Beispiel für etwas problematisch, weil der Plot vermutlich falsch ist:

1. Woher stammen die Daten? (Ja, Statistisches Bundesamt, aber woher genau? Das kann jeder behaupten und ist so unnötig schwer zu überprüfen)

2. (und wichtiger) Das BIP wird doch nur jährlich gemessen, oder? Dann dürfen da gar keine durchgezogenen Linien sein.

Grüße, --Martin Thoma 11:22, 24. Sep. 2012 (CEST)

(-2)^z

Dass (-2)^z stetig sein soll, leuchtet mir nicht ein. z.B. (-2)^(1/4) ist komplex, dagegen (-2)^(1/5) reell, allgemeiner, wenn (-2)^(n/m) reell ist, dann ist (-2)^(n/(m+1)) komplex (wenn n ungerade), d.h. man sollte doch zu jedem reellen Wert einen komplexen finden können, für den das Argument beliebig nah dran liegt oder habe ich da was falsch verstanden? Bitte um Aufklärung! Nulli 19:03, 4. Jan. 2010 (CET)

Liegt es vielleicht daran, dass ich 1/4 auch als 2/8 schreiben kann und dann wäre das Ergebnis reell? Nulli 19:21, 4. Jan. 2010 (CET)

Es ist ja kein Widerspruch zur Stetigkeit, wenn es zu jedem Argument mit reellem Funktionswert eine dagegen konvergente Folge von Argumenten mit nichtreellem Funktionswert gibt. Man kann zu jeder reellen Zahl b eine gegen sie konvergente nichtreelle Folge finden, z.B. b+i/n.

Dein Verständnisproblem geht allerdings m.E. noch weiter. Die Exponentialfunktion im Komplexen ist nicht eindeutig definiert, so dass man nicht im üblichen Sinn von Stetigkeit reden kann. Man definiert dort nämlich a^z=e^{z log(a)}. Der Logarithmus ist aber nur bis auf Vielfache von 2 pi i eindeutig, so dass die Exponentialfunktion nur für ganze z stets eindeutig definiert ist. Wenn man den Logarithmus doch eindeutig machen will, nimmt man den Hauptwert Log(a), d.h. denjenigen Wert, dessen Argument einen Imaginärteil in [0,2pi) hat (also Log(-2)=ln(2)+i pi). Dann ist (-2)^z=e^{z(ln(2)+i pi)} stetig als Komposition stetiger Funktionen.--Grip99 07:58, 5. Jan. 2010 (CET)

C(D)

1. der Abschnitt ist eher passend in einem Artikel 'differenzierbarkeit'
2. der Raum der stetigen Funktionen ist C^0(D) [1] -- dschreiber 00:21, 14. Jan. 2010 (CET)

C(D) bedeutet dasselbe wie $C^{0}(D)$, oft wird die 0 weggelassen. --Tolentino 07:44, 14. Jan. 2010 (CET)

Bei 1. würde ich dschreiber allerdings zustimmen.--Grip99 16:22, 14. Jan. 2010 (CET)

Zumindest wäre so ein Abschnitt zu "Räumen differenzierbarer Funktionen" in Differentialrechnung gut aufgehoben. Weglassen würde ich die Definition von C(D) und C^1(D) hier aber nicht. Bei C^\infty kann man sich dann streiten. --P. Birken 17:07, 16. Jan. 2010 (CET)

"Die Stetigkeit ist ein Konzept der Mathematik" - Wie bitte?????

Die Stetigkeit ist ein Konzept der Mathematik? Wer hat denn diesen Unfug hier verfasst???

Es ist nicht zu fassen, auf welchem bodenlosen Wissenniveau dieser "Artikel" steht. Dieser Artikel ist nicht nur falsch, er lässt auch mindestens die Hälfte weg. Unglaublich! --79.212.188.157 03:13, 8. Jul. 2010 (CEST)

Konzept ist evtl. aus dem Englischen herübergerutscht und sollte besser Begriff heißen. Konzept wird im Deutschen eher im Sinne von Entwurf benutzt. Bitte lösche den Rest Deines Diskussionsbeitrages oder unterfüttere Deine Beleidigungen mit konkreten Fehlern bzw. Auslassungen des Artikels.--LutzL 11:53, 8. Jul. 2010 (CEST)

Falls der Autor des Diskussionsbeitrags darauf hinweisen will, dass "Stetigkeit" auch Außerhalb der Mathematik verwendet wird: Ich habe mal einen BKH mit einem Verweis auf Kontinuität angebracht. -- Digamma 13:23, 8. Jul. 2010 (CEST)

Kardinalität

Es gilt ja $|\{f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} |f{\text{ stetig}}\}|=|\mathbb {R} |$ (jedenfalls wenn man CH für wahr hält), was ein wenig überraschend sein kann. (Ich persönlich hab' das erst vor ein paar Monaten mal bewusst wahrgenommen.) Sollte das vielleicht an prominenter Stelle erwähnt werden? Oder steht etwas in der Richtung schon irgendwo? Oder ist das langweilig?

(Interessant find' ich das auch deshalb, weil $|\{f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} |f{\text{ berechenbar}}\}|=|\mathbb {N} |$ und Scott-Topologie etwas mit Berechenbarkeit zu tun hat (wie genau, und selbst ob der Name Scott-Topologie überhaupt gerechtfertigt ist, habe ich noch nicht verstanden; müsste echt mal ein entspr. Buch im Detail durcharbeiten). Ob es da sinnvolle, also nicht nur formal-oberflächliche, Zusammenhänge gibt, würde mich interessieren. Dies gehört allerdings natürlich nicht in diesen Artikel. Meine Hauptfragen stehen vor dieser Klammer.) --Daniel5Ko 23:18, 19. Mai 2011 (CEST)

"Stetige Ergänzung"

Ich kenne den Sachverhalt nur unter der Bezeichnungen "stetige Fortsetzung". So steht es z.B. bei Querenburg und bei Barner; Flohr Analysis I. --Digamma (Diskussion) 15:58, 15. Apr. 2012 (CEST)

Mir kommt "stetige Fortsetzbarkeit" auch gebräuchlicher vor. Das mit dem roten Buchstaben halte ich für gut gemeint, aber ungewöhnlich. Natürlich identifiziert man gelegentlich verschiedene Funktionen, z.B. wenn sie sich nur auf einer Menge vom Maß 0 unterscheiden. Aber im Zusammenhang mit der Definition der Fortsetzbarkeit schreibt man es normalerweise schon sauber auf (so z.B. auch die englischsprachigen Kollegen). Den Satz mit der Regel von de L'Hôpital würde ich rausnehmen, der ist m.E. POV. --Grip99 00:31, 16. Apr. 2012 (CEST)

Sprünge in stetigen Funktionen

Gleich zu Beginn des Artikels wird darauf aufmerksam gemacht, dass Stetigkeit "insbesondere heißt, dass in den Funktionswerten keine Sprünge auftreten". Es gibt aber stetige Funktionen, die Sprünge aufweisen.
Beispiel:
f: Q -> R, f(x) = 1 (falls x > wurzel von 2), f(x) = 0 (sonst)
Dann kann man sich jeder reellen Zahl von beiden Seiten so nah nähern, dass die Näherung den selben Funktionswert hat. Nach Definition der Stetigkeit ist die Funktion dann stetig
lim x -> x0 f(x) = f(x0)
Diese Funktion hatte in der Mathevorlesung eine Diskussion ausgelöst. Die Lösung stammt mündlich von Prof. Dr. Rudolph (nicht signierter Beitrag von Ede1992 (Diskussion | Beiträge) 15:36, 2. Aug. 2012 (CEST))

Hi, diese Funktion ist eine oft gebrauchte Übungsaufgabe. Die Sprungstelle gehört gar nicht zum Definitionsbereich, genausogut könnte man die Signumfunktion auf IR/{0} betrachten, diese ist auch auf ihrem Definitionsbereich stetig. In der Einleitung/Motivation wird aber von Funktionen ausgegangen, die auf ganz IR oder einem Intervall darin definiert sind.--LutzL (Diskussion) 15:48, 2. Aug. 2012 (CEST) == PS: erstens wird auf genau diese Problematik im ersten Abschnitt direkt nach der Einleitung eingegangen, und zweitens kann man das "weist in den Funktionswerten keine Sprünge auf" auf die "hinreichend kleine Umgebung" im vorherigen Satz beziehen, damit wird dann diese kondensierte Version auch mathematisch ausreichend korrekt.--LutzL (Diskussion) 15:53, 2. Aug. 2012 (CEST)

Bilder

Hallo zusammen,

ich habe gerade mal wieder ein Bild mit LaTeX erstellt, das in diesen Artikel passen könnte:

Ich weiß gerade nicht, wo das im Artikel gut passen würde. Falls ihr Verbesserungsvorschläge habt, sind diese wie immer willkommen.

Ach ja: Ihr könnt mir übrigens auch Bildwünsche schreiben: Benutzer:MartinThoma/Visualisierungen Vielleicht sollte ich das im Portal:Mathematik nochmals bekanntgeben.

Grüße, --Martin Thoma 10:19, 24. Sep. 2012 (CEST)

Das Bild gefällt mir. Leider finde ich im Artikel keinen Abschnitt, wo es passen könnte.

--Digamma (Diskussion) 16:50, 24. Sep. 2012 (CEST)

Komponentenweise Stetigkeit

Unter "Wichtige Sätze über stetige Funktionen" wäre interessant, wann/ wie von komponentenweiser Stetigkeit auf Stetigkeit geschlossen werden kann. --Van Tuile (Diskussion) 11:35, 7. Jan. 2013 (CET)

Stift-Beispiel

Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: ... wenn der Graph der Funktion f ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Also ich habe dieses Beispiel noch nie gehört und streng genommen ist es zudem auch einfach irreführend. Als einfaches Beispiel f(x)=1/x, diese ist in 0 nicht unstetig, sondern nicht definiert, was im weiteren Text des Artikels ja auch erläutert wird. Die alltägliche Vorstellung von Stetigkeit stimmt mit der mathematischen halt nicht überein, das Stift-Beispiel sorgt meiner Meinung nach nur für mehr Verwirrung. Oder nicht? --91.7.207.44 23:33, 9. Nov. 2013 (CET)

Siehe oben, Diskussionen von April 2010 und Juni 2005. Das mit dem Stift funktioniert nur, genaugenommen, für Lipschitz-stetige Funktionen über einem Intervall. Es ist halt die einfachste, naive Anschauung, die auch eine intuitive Rechtfertigung des Zwischenwertsatzes liefert. Technische Spitzfindigkeiten gehören zur exakten, formalen Definition.--LutzL (Diskussion) 11:01, 10. Nov. 2013 (CET)

Und nach Kontrolle im Artikel steht und stand auch genau das da: Eine Funktion über einem Intervall, was Definitionslücken in diesem Intervall ausschließt.--LutzL (Diskussion) 11:04, 10. Nov. 2013 (CET)

Umgebungskriterium für Stetigkeit in metrischen/topologischen Räumen

$(X,T_{X})\,$ und $(Y,T_{Y})\,$ seien jeweils topologische Räume mit den zugehörigen Topologien, $f\colon D\rightarrow Y\,$ eine Funktion mit Definitionsbereich $D\subseteq X$. Nun wird im Artikel das Umgebungskriterium genannt und behauptet:

Umgebungskriterium

$f$ ist genau dann stetig in $x_{0}$, wenn es zu jeder Umgebung $V$ von $f(x_{0})$ eine Umgebung $U$ von $x_{0}$ gibt, deren Bild in $V$ enthalten ist, also $f(x)\in V$ für alle $x\in U$.

Was aber, wenn der Definitionsbereich $D\subset X$ eine echte Teilmenge des Raumes $X$ darstellt und insbesondere gar keine Umgebungen $U$ von $x_{0}$ enthält? Dann ist die angegebene Charakterisierung/Definition der Stetigkeit genau genommen nicht ganz korrekt. Als Beispiel möge die Funktion $f\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R}$ mit $f(x)=x$ dienen, also die Identität auf dem topologischen Raum $\mathbb {R}$ (ausgestattet mit der Standardtopologie), allerdings eingeschränkt auf die nichtnegativen reellen Zahlen. Diese Funktion wäre nach der angegebenen Definition im Punkt $x_{0}=0$ nicht stetig, da die Funktion auf keiner Umgebung dieses Punktes definiert ist. Dennoch gilt diese Funktion gemeinhin als stetig, und das ist sie auch gemäß den anderen Kriterien (für metrische Räume).

Seht ihr das auch so? Dieses Kriterium könnte wohl ein wenig mehr Präzisierung vertragen, allerdings fällt mir nichts Gutes ein, ohne dass die Lesbarkeit leidet. Man könnte fordern, dass der Definitionsbereich eine offene Menge (oder gar der gesamte Raum $X$) ist oder dass die Funktion auf einer Umgebung von $x_{0}$ definiert sein muss, aber das würde die Anwendbarkeit des Konzeptes einschränken. Irgendwelche Ideen? --Gzim75 (Diskussion) 17:49, 18. Aug. 2016 (CEST)

Persönlich würde ich auf den Definitionsbereich in der Definition verzichten (oder im Zweifel zur Spurtopologie übergehen) und die Filterkonvergenz klar ausschreiben und nicht wie hier verstecken. LG --NikelsenH (Diskussion) 18:05, 18. Aug. 2016 (CEST)

Es genügt, ganz am Ende der Bedingung "für alle $x\in U\cap D$" statt "für alle $x\in U$" zu schreiben. Topologisch gesprochen: Statt dem topologischen Raum $(X,T_{X})\,$ betrachtet man den Raum $D$ mit der induzierten Topologie (Spurtopologie). Eine Umgebung von $x_{0}$ in der induzierten Topologie hat gerade die Form $U\cap D$, wobei $U$ eine Umgebung von $x_{0}$ in $X$ ist.--Digamma (Diskussion) 21:33, 18. Aug. 2016 (CEST)

Das gefällt mir. Ich hätte jetzt noch eine etwas kürzere, äquivalente Formulierung mit Urbildern anzubieten:

Die Funktion $f$ ist genau dann stetig in $x_{0}$, wenn es zu jeder Umgebung $V$ von $f(x_{0})$ eine Umgebung $U$ von $x_{0}$ gibt mit $f^{-1}(V)=U\cap D$.

Eventuell wäre das eine Präzisierung für den Abschnitt Stetigkeit reeller Funktionen weiter oben, wo der Begriff Urbild bereits verwendet wird. LG --Gzim75 (Diskussion) 11:06, 19. Aug. 2016 (CEST)

Einschränkung von Epsilon in Epsilon-Delta-Kriterium

Ich weiß nicht, ob das Epsilon-Delta-Kriterium die optimale Wahl für die Stetigkeitsbestimmung ist, jedoch ist es mir ein Dorn im Auge, dass man dieses für alle Epsilon beweisen muss, und nicht nur für alle α ≥ ε > 0 bzw. α > ε > 0 (wobei α>0 frei wählbar ist)

Aus mathematischer Sicht wäre das derart abgeschwächte Epsilon-Delta ja immer noch äquivalent zum normalen Epsilon-Delta. (nicht signierter Beitrag von 132.187.253.33 (Diskussion) 00:42, 26. Okt. 2016 (CEST))

Nun ja, da die beiden Versionen äquivalent sind, reicht es natürlich die anscheinend schwächere Version zu beweisen. Was gegen die "abgeschwächte" Version spricht, ist, dass ihre Formulierung komplizierter ist. --Digamma (Diskussion) 15:51, 26. Okt. 2016 (CEST)

Vorschlag zu grundlegender Überarbeitung

In der Diskussion zum Lemma "Stetigkeit (Topologie)" habe ich die Meinung geäußert, dass jenes Lemma mit diesem Lemma verschmolzen werden sollte. Außerdem regte ich an, die Darstellung in diesem Lemma neu aufzubereiten. Ich wurde dazu ermutigt, dies nach dem Wikipedia-Prinzip zu tun. Ich habe jetzt einen neu gestalteten Artikel geschrieben. Bin aber Wikipedia-Neuling. Soll ich den hier einfach als neue Version einstellen oder gibt es für grundlegende Umarbeitungen einen anderen Review-Prozess? MfG Stephan2802

Hallo Stephan, das hängt ein bisschen davon ab, wie mutig du bist, und davon, ob dein neuer Artikel tatsächlich eine Verbesserung des bisherigen Artikels ist. Wenn jemand denkt, dass deine Version keine Verbesserung ist, dann wird das rückgängig gemacht werden. Also ist es als Wikipedia-Neuling vielleicht besser, wenn du deinen Artikel erst mal in deinen Benutzernamensraum (z. B. hier Benutzer:Stephan2802/Stetigkeit) einstellst und hier auf der Diskussionsseite darauf aufmerksam machst. Grüße -- HilberTraum (d, m) 20:39, 13. Apr. 2017 (CEST)

Vielen Dank. Ich habe meinen Vorschlag an der von dir vorgeschlagenen Stelle hinterlegt. Für Feedback bin ich dankbar. Grüße Stephan

Ich hab den Artikel noch nicht richtig gelesen (ist ja ein Riesending geworden), aber vom Drüberschauen sieht das schon mal ziemlich gut aus. Zur formalen Gestaltung: Eine solche „exzessive“ Nummerierung von Aussagen, wie im vorderen Teil, ist hier eigentlich nicht üblich, wenn du dir mal andere, vergleichbare Artikel anschaust. Daran könnte sich vielleicht der eine oder andere stören. Vielleicht könnte man das besser anders gestalten. -- HilberTraum (d, m) 16:17, 17. Apr. 2017 (CEST)

Die Nummerierung habe ich eingeführt, weil auf alle diese Punkte im Laufe des Artikels wieder verwiesen wird. Insbesondere wird für alle diese Punkte, die zunächst für den reellen Fall formuliert werden, später beschrieben, was sie im allgemeinen Fall topologischer Räume bedeuten.

Ich hoffte dadurch zu verdeutlichen, dass der allgemeine Fall tatsächlich eine natürliche Verallgemeinerung des aus der Schule bekannten reellen Falls ist. Ich bin aber natürlich offen für Vorschläge, wie man das anders (Wkipedia-konformer) darstellen kann. -- Stephan2802

Nachtrag: Sehe gerade, dass obiges für (18) und (19) nicht gilt. Die könnte man also wohl ohne weiteres durch einfache Bulletpoints ersetzen. -- Stephan2802

Ich habe jetzt den Vorschlag nochmal leicht überarbeitet. Wenn es keine weiteren Kommentare gibt, werde ich ihn in den nächsten Tagen hier als Änderung des Artikels einstellen. Stephan2802

Ich habe deine neue Version gesichtet (sorry für die Verspätung), allerdings ohne sie weiter anzuschauen. Die Sichtung besagt also nicht, dass die neue Version gut ist oder besser als die alte, sondern nur, dass es keinen Grund gibt, sie von Vornherein abzulehnen. Gruß, --Digamma (Diskussion) 10:31, 16. Mai 2017 (CEST)

Darstellung im Abschnitt 'Verallgemeinerung auf metrische Räume'

Der Benutzer Jakob Stegemann hat diesen Abschnitt am 28.1.2018 überarbeitet und zwei separate Symbole für die Metriken auf den beiden Räumen eingeführt.
Das ist zwar inhaltlich korrekt und exakter als die vorherige (von mir geschriebene) Darstellung, entspricht aber meiner Meinung nach nicht der mathematischen Praxis.
In der mathematischen Literatur werden in den meisten Fällen Metriken unterschiedslos mit $d$ und Normen unterschiedslos mit $\|\cdot \|$ bezeichnet, auch wenn mehrere metrische oder normierte Räume betrachtet werden. Es wird einfach davon ausgegangen, dass der Leser aus dem Zusammenhang erkennt, welche Metrik bzw. welche Norm gerade gemeint ist.

Durch die Änderung wird der Artikel in meinen Augen inkonsistent, denn bereits im nächsten Kapitel wird ja wieder lax von topologischen Räumen $X$ und $Y$ gesprochen und die eigentlich notwendige Topologie unterschlagen.

Tatsächlich enthält der Artikel bereits einen Abschnitt, der auf diese Laxheit hinweist (Anmerkung zur Darstellung in diesem Kapitel). Wenn es gewünscht ist, kann dort gerne eine Bemerkung aufgenommen werden, dass diese Bemerkung sinngemäß auch für die Darstellung bei metrischen Räumen gilt.

Ich spreche mich dafür aus, dass die ursprüngliche Darstellung wieder hergestellt wird.
Streng genommen nimmt der in der ursprünglichen Version vorhandene Hinweis auf die beiden verschiedenen Metriken bereits die Überlegungen aus dem Kapitel 'Anmerkung zur Darstellung in diesem Kapitel' vorweg und ist daher dort fehl am Platz.
Ich empfinde diesen Hinweis als vernünftigen Kompromiss zwischen einer Darstellung, die der in mathematischen Lehrbüchern üblichen entspricht, und der unmittelbaren Beantwortung einer Frage, die sich dem mit dieser Praxis nicht so vertrauten Leser an diesem Punkt stellen mag.
Daher würde ich den Hinweis drin lassen. Wenn das aber als zu inkonsistent empfunden wird, wäre es für mich auch ok, den Hinweis in das Kapitel unten zu verschieben.

Gruß Stephan2802, 31.01.2018, 00:37 Uhr (nicht signierter Beitrag von Stephan2802 (Diskussion | Beiträge) 00:40, 31. Jan. 2018 (CET))

Hallo, Stephan2802,

ich habe die Änderung von Benutzer:Jacob Stegemann zwar gesichtet, habe aber gegen einen Revert auch nichts einzuwenden. Herzliche Grüße, --Digamma (Diskussion) 20:38, 31. Jan. 2018 (CET)

PS: Bitte Diskussionsbeiträge immer mit --~~~~ (bzw. dem Stift-Symobl in der Symbolleiste über dem Bearbeitungsfenster) signieren. Dann wird auch automatisch Datum und Uhrzeit und ein Link zu deiner Benutzerseite eingefügt. --Digamma (Diskussion) 20:38, 31. Jan. 2018 (CET)

Ich denke, man sollte hier in der Literatur zwischen Stellen unterscheiden, in denen die Stetigkeit definiert wird, und Stellen, in denen die Definition verwendet wird. Ich habe jetzt nur mal in die Analysis-Lehrbücher von Königsberger und von Deiser geschaut: Beide verwenden bei der Definition unterschiedliche Bezeichnungen für die beiden Metriken. Ich fände das eigentlich auch besser. Beide Metriken einfach nur $d$ zu nennen, finde ich in der Definition etwas verwirrend. -- HilberTraum (d, m) 20:57, 31. Jan. 2018 (CET)

Wenn zwei Analysis-Lehrbücher es so darstellen, dann spricht das natürlich dafür, es so zu belassen. Ich muss auch gestehen mehr aus der Erinnerung zitiert zu haben. Meine aktive mathematische Zeit liegt schon etwas zurück. Ich finde die Darstellung aus dem genannten Grund aber weiter inkonsistent.

Bei der Definition einer linearen Abbildung wird auch als Formel $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ angegeben, obwohl man streng genommen zwei verschiedene Additionsverknüpfungen auf zwei unterschiedlichen Mengen betrachtet.--Stephan2802 (Diskussion) 20:22, 1. Feb. 2018 (CET)

Andererseits werden bei der Definition eines Vektorraums in der Regel die Vektorraumverknüpfungen anders dargestellt als die des Körpers. Und im Artikel Lipschitz-Stetigkeit werden im Teil über metrische Räume die beiden Metriken durchgängig unterschieden. --Digamma (Diskussion) 21:04, 1. Feb. 2018 (CET)

In der Tat, wobei der Artikel zur Lipschitz-Stetigkeit auch in sich inkonsistent ist. Mal wird die Notation $f\colon X\rightarrow Y$, mal die Notation $f\colon (X,d_{X})\rightarrow (Y,d_{Y})$ benutzt.

Vermutlich ist es bei einem Projekt wie der Wikipedia auch illusorisch eine durchgängige Konsistenz zu erwarten.

Ich finde die alte Darstellung weiterhin besser, weil die jetzige letztlich auch nicht exakt ist. Wie im letzten Abschnitt erklärt, ist es eigentlich falsch, davon zu sprechen, eine Funktion sei stetig. Richtigerweise kann man nur formulieren, sie sei stetig bezüglich eines vorgegebenen Paares von Metriken. Das lässt man aber im Allgemeinen weg, weil man annimmt, dass aus dem Kontext immer klar ist, welche Metriken zu verwenden sind. Unter der Annahme halte ich es aber auch für gerechtfertigt, für die Metriken auf Definitionsbereich und Zielmenge immer das selbe Symbol zu nehmen.

Ist aber letztlich Geschmackssache. Wer entscheidet in solchen Fällen darüber, welche Darstellung verwendet werden soll? --Stephan2802 (Diskussion) 23:33, 4. Feb. 2018 (CET)

Inzwischen hat es noch eine andere Änderung gegeben, die ich hinterfragen möchte: Bei den Permanenzeigenschaften wurde für die Stetigkeit der Funktion ${\tfrac {f}{g}}$ die Bedingung, dass $g$ keine Nullstellen haben darf, abgeschwächt dazu, dass sie keine in $\xi$ haben darf.
Besitzt $g$ irgendwo auf seinem Definitionsbereich eine Nullstelle, so ist die Funktion ${\tfrac {f}{g}}$ nicht auf ganz $X$ definiert. Die Änderung macht also nur Sinn, wenn man festlegt, dass die Funktion ${\tfrac {f}{g}}$ als Definitionsbereich die Nichtnullstellenmenge von $g$ erhält.
In dieser Form folgt die Aussage aber auch leicht aus der vorherigen Version, wenn man (8) berücksichtigt.
Da die oben genannte Festlegung meines Wissens nicht Allgemeingut ist, finde ich die ursprüngliche Version besser. Alternativ sollte man einen Hinweis auf diese implizite Festlegung aufnehmen. --Stephan2802 (Diskussion) 23:33, 4. Feb. 2018 (CET)

Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Im Unterkapitel 'Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit' wurden kürzlich am Ende die folgenden Sätze aufgenommen:

Ein weiterer Grenzfall ist der Raum der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen (glatte Funktionen) auf einem reellen Intervall $X$. Dieser wird auch mit $C^{\infty }(X)$ bezeichnet. In der Theorie der verallgemeinerten Funktionen (Distributionentheorie) sind alle gewöhnlichen Funktionen (auch nicht stetige) sowie auch alle verallgemeinerten Funktionen einschließlich der Diracschen Deltadistribution in einem verallgemeinerten Sinn beliebig oft differenzierbar.

In meinen Augen steht der letzte dieser Sätze in keinem logischen Zusammenhang zum vorherigen Inhalt des Absatzes. Wenn überhaupt, dann müsste dieser letzte Satz also in einen eigenen Absatz. Allerdings stellt sich die Frage, was dieser Satz überhaupt in einem Lemma zum Thema 'Stetigkeit' zu suchen hat. Der Zusammenhang zur Stetigkeit ergibt sich ja nur dadurch, dass die vorher festgestellte Folgerung 'differenzierbar->steig' für einen bestimmten verallgemeinerten Differenzierbarkeitsbegriff nicht gilt. Diese Feststellung gehört aber in meinen Augen eher in den Artikel über Differenzierbarkeit als in den über Stetigkeit. Tatsächlich werden im Artikel über Differenzierbarkeit ja diverse Verallgemeinerungen des Differenzierbarkeitsbegriffs erörtert. Distributionen tauchen aber selbst da nur als Link im letzten Abschnitt auf. Ich halte es daher für verfehlt, in diesem Artikel mit mehr Information darauf einzugehen als im Artikel zu Differenzierbarkeit. Aus diesem Grund lösche ich den Satz. --Stephan2802 (Diskussion) 16:21, 2. Nov. 2018 (CET)

Einleitung

Bitte, kann jemand die Einleitung, die schließlich zum Thema hinführen soll, in allgemein verständliches Deutsch umschreiben und die mathematische Exaktheit an eine Stelle im Hauptteil überführen, die dann auch Insider zufrieden stellen kann?

Wer hier schon im ersten Absatz durch „topologische Strukturen“ und diverse weitere Fachbegriffe verschreckt wird, kommt doch gar nicht so weit, dass es weiter hinten immerhin eine „Anschauliche Herleitung“ gibt. Ich erinnere mich an meinen sehr geschätzten Mathe-Prof., der den Begriff Stetigkeit so erklären konnte, dass ihn auch angehende Ingenieure und Physiker verstanden haben und zwar ohne den ganzen fachsprachlichen Formalismus, mit dem dieser Artikel überfrachtet ist; ich weiß also, dass es geht.

Oder könnte man einen Basis-Artikel »Stetige Funktion« schaffen, der sich auf die Bedürfnisse derjenigen beschränkt, die Funktionen in Technik und Naturwissenschaften verwenden? --der Saure 14:24, 13. Jan. 2019 (CET)

Eigentlich sind die Abschnitte 1-3 bereits so formuliert, dass sie weitgehend vom interessierten Laien verstanden werden können. Ich habe jetzt noch eine Änderung an der Einleitung vorgenommen, die diese für den Laien verständlich machen sollte.

Dass in der Einleitung weiterhin auf die Bedeutung der Stetigkeit in der höheren Mathematik verwiesen wird, halte ich für gerechtfertigt, ja sogar, angesichts der Bedeutung den der Begriff dort hat, für notwendig.

Ein fachfremder Laie kann ja nicht ernsthaft erwarten, dass ein mathematischer Fachbegriff keine über seinen Wissenshorizont hinausgehenden Aspekte beinhaltet. --Stephan2802 (Diskussion) 15:51, 3. Mär. 2019 (CET)

Du hast leider nicht richtig gelesen. Ich hatte ausdrücklich zur Einleitung gebeten, die schließlich zum Thema hinführen soll, dass sie in allgemein verständliches Deutsch umgeschrieben werden möge. Darauf gehst du mit keinem Wort ein. --der Saure 17:32, 4. Mär. 2019 (CET)

Was denn genau ist nicht allgemeinverständlich? --Digamma (Diskussion) 18:38, 4. Mär. 2019 (CET)

Danke für die Nachfrage. Wie ich heute gesehen habe, ist die Einleitung inzwischen mehrfach überarbeitet und aufgebläht worden. Die Formulierung von einer „Eigenschaft, die bestimmten Funktionen zwischen zwei topologischen Räumen zuerkannt wird“, ist inzwischen verschwunden, aber „eine Verbindung zwischen den topologischen Strukturen …“ ist auch nicht besser. Was eine „$\varepsilon$-$\delta$-Definition der Stetigkeit“ ist, weiß ich nur, weil ich mich damit gerade intensiv beschäftigt habe. Dass sich „für stetige Funktionen eine Reihe interessanter Ergebnisse“ beweisen lassen, – „exemplarisch seien der Zwischenwertsatz, der Satz vom Minimum und Maximum und der Fundamentalsatz der Analysis genannt“, – trifft das die Interessenlage eines ans Thema Heranzuleitenden? Dass „man sowohl im Definitionsbereich als auch in der Zielmenge einen Abstand zwischen den Elementen bestimmen kann“ lässt bei mir die Frage offen, von welchem Abstand hier die Rede sein mag. „Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ oder $\mathbb {C} ^{n}$“, „Funktionen zwischen topologischen Räumen“, „Funktionen zwischen metrischen Räumen“ und die Aussage, dass „stetige Funktionen also in Topologie und Analysis eine ähnliche Rolle wie Homomorphismen in der Algebra spielen“, soll das alles als allgemeinverständlich angesehen werden? Für mich kann ich nur sagen, dass ich mich nach einer solchen Einleitung mit Grausen von dem Artikel abwende. Mit einem nochmal ausdrücklichen Dank an Digamma grüßt der Saure 16:34, 5. Mär. 2019 (CET)

Wie ich auf der QS schon geschrieben habe: Evtl. könnte man die sogenannte Einleitung anpassen, um eine für alle Zielgruppen geeignete informale Erklärung zu erreichen. Ein Bild anschauliches Bild einer einfachen Stetigen Funktion im Verglieich zu einer Unstetigen fehlt.

In der reellen Analysis ist der Begriff der stetigen Funktion die formale Beschreibung der Tatsache, dass eine Funktion (bzw. ihr Graph) keine Sprünge macht.

Besser:

In der reellen Analysis ist eine stetigen Funktion formal definiert und korrespondiert mit der naiven Beschreibung, dass der Graph der Funktion sich ohne abzusetzen zeichnen lässt und keine Sprünge macht.

Denn:

1. Eine naive Beschreibung ist keine "Tatsache", wie es derzeit heißt
2. Eine naive Beschreibung kann man auf verschiedenen Wegen formalisieren, also nicht "die formale Beschreibung", sondern eher "eine formale Beschreibung"
3. "ohne abzusetzen zeichnen" wird in Lehrbüchern oft erwähnt und ist allgemeinverständlich

Die restlichen Sätze der Einleitung sollten ebenso gründlich überarbeitet oder gelöscht werden, vieles halte ich hier für zu ausführlich und überflüssig. Ich werde mich hier allerdings nicht weiter einmischen, ich habe neben Wikipedia besseres zu tun.

Vielen Dank --Bejahend (Diskussion) 18:44, 8. Mär. 2019 (CET)

Neufassung

Hier der Entwurf für eine Neufassung des Artikels, die insbesondere die 2017 entfernten Teile zu stetigen reellen Funktionen wieder einbaut. Wenn es keinen Widerspruch gibt, werde ich das in einigen Tagen unter „Stetige Funktion“ einstellen und „Stetigkeit“ in eine Weiterleitung umwandeln.—Godung Gwahag (Diskussion) 09:04, 12. Mär. 2019 (CET)

Da auch die topologische Betrachtungsweise eine Rolle spielen soll, sollte man als Lemma vielleicht besser „Stetige Abbildung“ wählen.--Schojoha (Diskussion) 20:58, 12. Mär. 2019 (CET)

Ja, das stimmt wohl.—Godung Gwahag (Diskussion) 08:44, 13. Mär. 2019 (CET)

Wenn das im Wesentlichen eine Wiederherstellung einer alten Version von Stetigkeit ist, dann solltest du den Text von Stetigkeit durch den neuen Text ersetzen und den Artikel danach verschieben. Auf diese Art bleibt die Versionsgeschichte erhalten. --Digamma (Diskussion) 20:22, 13. Mär. 2019 (CET)

@Godung Gwahag:Ich habe im Vorschlag einen ersten Kommentar hinterlassen und hierfür die Kommentarfunktion genutzt. Anscheinend sieht man diesen Kommentar aber nur im Bearbeitungsmodus.

Daher meine Frage, ob dies der richtige Weg ist, dir Feedback zu geben, oder ob dies auf anderem Weg geschehen soll.

Es sollte auf jeden Fall irgendeine Möglichkeit geben, die Kommentare direkt in den Vorschlag hinein zu schreiben. Die Kommentare alle auf einer Diskussionsseite zu sammeln ist viel zu mühselig und unübersichtlich. --Stephan2802 (Diskussion) 19:28, 14. Mär. 2019 (CET)

Ich verstehe nicht das Problem. Natürlich kann man Korrekturen direkt im Entwurf vornehmen, aber Kommentare sollte man wie sonst auch immer auf der Diskussionsseite hinterlassen. Es ist wahrscheinlich nicht so gut, Diskussionen zum Artikel auf vielen verschiedenen Stellen zu sammeln. Sobald der Import durch ist (der die Versionsgeschichten vereinen soll, damit die Urheber erkennbar bleiben) werde ich den Artikel erstmal so unter „Stetige Abbildung“ einstellen und dann können alle weiteren Änderungen und/oder Diskussionen dort stattfinden.—Godung Gwahag (Diskussion) 21:12, 14. Mär. 2019 (CET)

Ich habe deinen Vorschlag ja an anderer Stelle als mögliche Diskussionsgrundlage bezeichnet. Aber in der jetzigen Form würde ich ihn noch als massive Verschlechterung gegenüber dem aktuellen Lemma ansehen. Bitte so nicht einstellen. --Stephan2802 (Diskussion) 21:44, 14. Mär. 2019 (CET)

Diese Meinung kannst Du natürlich auf dem Mathe-Portal zur Diskussion stellen. Meine Änderungen stellen aber zum großen Teil nur Abschnitte wieder ein, die viele Jahre im Artikel standen und deren Notwendigkeit auf der Diskussionsseite eigentlich auch nie bestritten wurbe—Godung Gwahag (Diskussion) 22:24, 14. Mär. 2019 (CET)

Meinst du wirklich, dass man einen sinnvollen Artikel dadurch erstellen kann, dass man einfach irgendwelche Teile, die zu irgendeiner Zeit mal im Artikel gestanden haben, ungeordnet hinein wirft?

Der Artikel hatte bis zu seiner grundlegenden Überarbeitung durch mich vor zwei Jahren keinen roten Faden und sprang wirr zwischen Dingen, die offenbar bewusst vereinfacht für Laien geschrieben waren, und abgehobenen Dingen wie Non-Standard-Analysis hin und her.

Ich habe meine Überarbeitung damals hier zur Diskussion gestellt und keiner hat sich beschwert. Und zwei Jahre ist der Artikel bis auf den Rundumschlag eines einzelnen Benutzers auch akzeptiert worden. Mit gleicher Berechtigung könnte ich also sofort nach deiner Änderung den vorherigen Zustand wiederherstellen. Das kann doch nicht der Sinn der Sache sein.

Ich habe jetzt mal Anmerkungen zu den ersten Abschnitten auf deine Diskussionsseite gestellt. Das gibt vielleicht einen Eindruck davon, wieso ich den jetzigen Zustand deines Vorschlags für ungeeignet halte und warum ich es vorziehen würde, eine Kommentierung im Text vorzunehmen. --Stephan2802 (Diskussion) 22:51, 14. Mär. 2019 (CET)

Es wäre wohl tatsächlich besser gewesen, die Änderungen damals erst auf dem Mathe-Portal zur Diskussion zu stellen, insbesondere die Löschungen der für die Schulmathematik relevanten Teile. Abgesehen davon stehen die von Dir geschriebenen Teile ja (fast) alle noch in der neuen Fassung (obwohl sie komplett unbelegt sind und teils subjektive Einschätzungen enthalten). Es geht im Wesentlichen darum, den Teil über reelle Funktionen so zu schreiben, dass er sich an Schüler oder bspw. Ingenieurstudenten richtet und nicht an den Mathematiker, der ja wohl kaum „Stetigkeit“ in der Wikipedia nachschlagen wird. (Jedenfalls nicht die für reelle Funktionen.) Das dabei manches noch verbessert werden kann, ist klar. Die Nichstandardanalysis hatte ich aus der früheren Version übernommen, sie kann meinethalben aber gerne raus, wenn es dafür Konsens gibt.—Godung Gwahag (Diskussion) 00:08, 15. Mär. 2019 (CET)

Die Geschichte meiner Mitarbeit am Thema "Stetigkeit" begann am 27. März 2017 als (noch anonymer) Kommentar zum Artikel "Stetigkeit (Topologie)" (siehe Kapitel "Ausbaufähig"). Sie setzte sich dann unter der Überschrift "Vorschlag zu grundlegender Überarbeitung" auf dieser Diskussionsseite fort. Ich bin dabei dem Weg gefolgt, den der anscheinend erfahrene Benutzer @HilberTraum:, den ich hiermit einlade, sich an der Diskussion zu beteiligen, vorgeschlagen hat. Jetzt nach 2 Jahren festzustellen, dass alles doch ganz anders hätte ablaufen sollen, halte ich nicht für angebracht.

Der Artikel "Stetigkeit" hat in seiner jetzigen Form eine klare Struktur, einen roten Faden und stellt sinnvoll Zusammenhänge her. Natürlich kann man immer was verbessern. Entsprechende Vorschläge sind gerne gesehen. Eine grundlegende Kritik an der Struktur kam bisher nur von dir. Auf Nachfrage, was dir an der Struktur nicht passt, hast du nicht geantwortet.

Ich sehe zur Zeit nur einen Grund, die Struktur des Artikels zu ändern: Die jetzige Version beginnt (im mathematischen Teil) von der ersten Zeile an mit einer für Mathematiker üblichen Sprache. Die mag den Einstieg für mathematische Laien erschweren. Man kann also unter Abschwächung der Anforderung an mathematische Genauigkeit die ersten Teile etwas "laienfreundlicher" formulieren.

Exemplarisch sieht man das an dem Satz "Sei $f$ eine Funktion, die jeder Zahl $x$ aus dem Definitionsbereich $D_{f}$ eindeutig eine Zahl $y$ zuordnet.". Die mathematisch genaue Formulierung hierfür lautet: "Sei $f\colon X\to \mathbb {R}$ mit $X\subseteq \mathbb {R}$ eine reelle Funktion." (oder ähnlich).

Die mathematisch exakte Formulierung mag für den mathematischen Laien etwas schwer verdaulich sein. Daher finde ich es ok, wenn man (nach noch leichter Umformulierung, siehe Diskussion) die ungenaue Formulierung benutzt.

Wenn man diesen Weg gehen will, dann macht es auch Sinn, die Teile des Artikels nach vorne zu holen, die man "leicht verdaulich" hinkriegt und andere entsprechend nach hinten zu schieben. Dazu reicht es nicht, einfach irgendwelche Bausteine, die sich schon mal im Artikel befunden haben, wieder einzufügen. Man muss vielmehr den ganzen Artikel sorgfältig durcharbeiten.

Zum konkret angesprochenen Fall kann man sich auch noch mal den Artikel Differenzierbarkeit anschauen, der vor dem gleich Problem steht und das besser hingekriegt hat.

Meine auf der Diskussionsseite hinterlegten Punkte sind ja nur die, die sich nach Überprüfung der ersten vier Abschnitte ergeben haben. Dass meine Kritik dann aufhört, liegt nicht daran, dass es danach besser wird. Es liegt vielmehr daran, dass auch ich nicht unbegrenzt Zeit in dieses Projekt stecken möchte.

Hinzu kommt, dass bei der Vorgehensweise einfach irgendwelche Fragmente vergangener Versionen oder anderer Artikel zu integrieren ja mindestens eine Überarbeitung erfolgen müsste bezüglich konsistenter Nomenklatur (siehe $x_{0}$ versus $\xi$) und korrekter Verlinkung (immer das erste Auftreten eines Fachbegriffs müsste verlinkt werden, siehe "Umgebung"). Auch das ist bisher offenbar nicht erfolgt.

Bezüglich der Frage, ob Stetigkeit über Epsilon-Delta, Funktionslimites oder Folgen definiert werden soll, haben wir bisher zwei Stimmen, die sich widersprechen. Hier ohne weitere Abstimmung Fakten zu schaffen, halte ich auch für unangebracht. Ich habe meine Argumente auf der Diskussionsseite zu deinem Vorschlag hinterlegt. --Stephan2802 (Diskussion) 13:09, 15. Mär. 2019 (CET)

Wegen des Pings: Hui, langer Artikel mit verschiedenen Versionen und lange Diskussionen dazu. Ich schau aber mal am Wochenende, ob ich dazu komme, mir das anzuschauen. Grüße -- HilberTraum (d, m) 19:54, 15. Mär. 2019 (CET)

Ich würde mich freuen, wenn du dich an der Diskussion, die im Augenblick im Wesentlichen ein Zwiegespräch ist, beteiligen würdest. Mein Ping erfolgte allerdings in erster Linie, weil du mir ja damals den Weg gewiesen hast, wie ich meine Verbesserungsvorschläge einbringen soll, und genau dieser Weg jetzt kritisiert wurde. --Stephan2802 (Diskussion) 02:23, 16. Mär. 2019 (CET)

Ich denke eigentlich schon, dass auch bei völligen Neufassungen eines Artikels eine Vorankündigung auf der Artikeldiskussion ausreicht. Leute, denen der Artikel „am Herzen liegt“, haben ihn ja normalerweise auf der Beobachtungsliste und sollten das mitbekommen. Einen Hinweis im Portal kann man schon machen, aber ich persönlich halte das für etwas übertrieben. -- HilberTraum (d, m) 19:50, 16. Mär. 2019 (CET)

Ganz allgemein gesprochen: das ist hier ein Enzyklopädieartikel, der die existierende Literatur wiedergeben und zusammenfassen sollte. Einigen müssen wir uns darüber, welche Literatur wir auswählen. Meiner Meinung nach sollten wir für den Teil über reelle Funktionen Schulbücher als Quellen wählen. (Das ist natürlich Ansichtssache und falls es da keinen Konsens gibt, müßten wir im Portal darüber abstimmen. Meine Begründung dafür ist einfach, dass ohnehin nur Schüler diesen Teil des Artikels anschauen werden. Kein Mathematiker wird die Stetigkeit reeller Funktionen in der Wikipedia nachschlagen. Deshalb macht es meiner Meinung nach keinen Sinn, diesen Artikelteil in der im Mathematikstudium verwendeten Sprache zu schreiben.) Wenn wir uns darauf einigen können, dann ist es - ob uns das gefällt oder nicht - so, dass in heutigen Schulbüchern keine formal-mathematischen Definitionen (wie die oben von dir formulierte) gegeben werden. Die "Definition", die ich jetzt in den Artikel geschrieben habe, und auch die Formulierung in der Einleitung, habe ich aus einem aktuellen Schulbuch abgeschrieben. Die Sprache der Mengenlehre "Sei $f\colon X\to \mathbb {R}$ mit $X\subseteq \mathbb {R}$ eine Funktion" wird dort nicht verwendet.

Ansonsten bestehe ich wie gesagt bei den Definitionen nicht auf meiner Version. Über die Reihenfolge wird man sich einigen können und die Nichtstandardanalysis (die ich aus der früheren Version übernommen hatte) würde ich auch wieder herauswerfen.

Was die Struktur des Artikels angeht, so habe ich ja an der zweiten Hälfte des Artikels so gut wie nichts geändert bis auf den Geschichtsteil. Auf einer grundsätzlichen Ebene könnte man da schon monieren, dass es sich um einen von Dir geschriebenen (und komplett belegfreien) Essay mit Deinen Bewertungen und von Dir hergestellten Zusammenhängen handelt, also anscheinend nicht um die Wiedergabe der existierenden Literatur. Aber solange sich da niemand beschwert, mag das ja so bleiben.--Godung Gwahag (Diskussion) 00:08, 16. Mär. 2019 (CET)

Ich habe bereits zugestimmt, dass der erste Teil möglichst "laienkompatibel" geschrieben werden soll. Allerdings halte ich die Fixierung auf den Schüler hier für falsch. Stetigkeit scheint in der Schule heutzutage bestenfalls beiläufig erwähnt zu werden (mag auch vom Bundesland abhängen). Mindestens genauso wichtig wie die Schüler sind daher für mich Studenten (oder auch Wissenschaftler) anderer Wissenschaften, die die Mathematik als Hilfswissenschaft benutzen. Vielen von denen dürfte das Prinzip der komplexen Zahl bekannt sein. Daher ist es bereits für dieses Zielpublikum ungenau "Zahl" zu schreiben, wenn man "reelle Zahl" meint.

Ich verweise übrigens noch einmal darauf, dass man sich hier am Artikel "Differenzierbarkeit" orientieren könnte. Das macht schon aus Gründen der Konsistenz Sinn. Das Zielpublikum dürfte ja ähnlich sein.

Wenn man diesen Weg der Laienkompatibilität geht, dann sollte man es aber konsequent machen. Und das ist eben im jetzigen Vorschlag nicht der Fall. Oszillation und Nicht-Standard-Analysis sind hier nur die ersten Beispiele, wo dieser Ansatz verletzt wurde. Wenn ich den Artikel weiter durchgehe, dann gebe ich auch noch weitere an.

Übrigens bin ich nicht der Meinung, dass diese Teile deshalb aus dem Artikel verschwinden müssen. Sie müssen nur verschoben werden. Ich fand es als Mathematiker, der sich bisher nicht mit Nichtstandard-Analysis beschäftigt hat, jedenfalls interessant, zu lesen, wie man Stetigkeit in dieser Sprache beschreibt.

Neben den Fällen, bei denen der Artikel das selbstgesteckte Ziel der Laienkompatibilität im ersten Teil verletzt, gibt es noch diverse weitere Diskussionspunkte (wie auch bei den schon vier Abschnitten, zu denen ich mich schon geäußert habe), die ich demnächst auf der Diskussionsseite zum Vorschlag hinterlegen möchte. --Stephan2802 (Diskussion) 02:12, 16. Mär. 2019 (CET)

@Godung Gwahag: Der Artikel sollte sich nicht nur an Schüler wenden. Hast du die Praktiker, die Ingenieure und Naturwissenschaftler vergessen, „die die Mathematik als Hilfswissenschaft benutzen“? Mir sind während meines (erfolgreich abgeschlossenen Universitäts-) Studiums Formalismen wie $f\colon [0,\infty [\to [0,\infty [$ nicht begegnet. Offenbar hat uns unser Mathe-Prof. andere Aspekte der Mathematik gelehrt, die für uns wichtiger waren.

Zu den Quellen: Im Artikel Stetige Funktion habe ich eine Reihe von Mathematik-Büchern herangezogen, die nicht den Status von Schulbüchern haben und dennoch "laienkompatibel" geschrieben sind. --der Saure 14:43, 16. Mär. 2019 (CET)

Ich dachte eigentlich, dass ich den Abschnitt Stetigkeit reeller Funktionen jetzt so geschrieben hätte, dass genau solche Formalismen vermieden werden. Was konkret möchtest Du denn anders haben?—Godung Gwahag (Diskussion) 15:07, 16. Mär. 2019 (CET)

Kurz zur weiteren Vorgehensweise: Ich warte jetzt zunächst auf den Versionsimport, durch den die alten Versionsgeschichten auf diesen Artikel übertragen werden. Danach kann man dann Änderungen direkt in diesem Entwurf vornehmen, nach Verschiebung des Artikels werden diese dann jeweils noch dem Urheber in der Versionsgeschichte zugeordnet. Ich werde dann Diskussionsabschnitte zu den einzelnen Abschnitten des Artikels auf der Diskussionsseite aufmachen, so dass man zielgerichtet über die Ausgestaltung der einzelnen Abschnitte reden kann.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:29, 16. Mär. 2019 (CET)

Ich verstehe das jetzt so, dass im Augenblick kein Feedback zum aktuellen Entwurf eingebracht werden soll. Du meldest dich an dieser Stelle, wenn die vorbereitenden Aktionen abgeschlossen sind.

Danach beginnt dann auf der Diskussionsseite zum Entwurf die weitere Diskussion. Ist das so korrekt? --Stephan2802 (Diskussion) 16:18, 16. Mär. 2019 (CET)

Das ist mein Vorschlag, ja.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:48, 16. Mär. 2019 (CET)

Alles klar --Stephan2802 (Diskussion) 17:00, 16. Mär. 2019 (CET)

@Godung Gwahag: Ich hatte eine Bemerkung zu deinem Diskussionsbeitrag abgegeben, nicht zu deinem Artikelentwurf, der mir nicht bekannt war. --der Saure 19:47, 16. Mär. 2019 (CET)

Ich habe den Import auf https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Importw%C3%BCnsche/Importupload#Import_von_de%3AStetigkeit_%3B_Stetigkeit_%28Topologie%29_%3B_Stetige_Funktion_nach_Benutzer%3AGodung_Gwahag%2FStetige_Funktion beantragt. Wie ich es verstehe, will man dort wohl lieber direkt in den ANR importieren. Das sollte aber kein so schlimmes Problem sein, da wir gewünschte Änderungen dann ja zeitnah dort diskutieren und umsetzen (und den Artikel Stetigkeit bis dahin noch stehenlassen) können.--Godung Gwahag (Diskussion) 19:56, 29. Mär. 2019 (CET)