Diskussion:Topologischer Raum

Verständlichkeit

Wer kann im Artikel anhand von ein paar lebenspraktischen Beispielen erklären, worum es hier geht? Danke, --Markus 09:58, 22. Mär. 2010 (CET)

Als Nicht-Mathematiker verstehe ich die Einleitung nicht. Auch die Beispiele sind für mich unverständlich. Hilfreich wären Alltagsbeispiele - also Beispiele, in denen anhand von Situationen aus dem Alltag beschrieben ist, was man unter Topologie und Topologischem Raum verteht und wie diese funktionieren, also wo und wie Topologie im realen Leben Relevanz hat. Bitte... --Markus (Diskussion) 05:59, 12. Jan. 2015 (CET)

Hallo Markus, ich befürchte, dieser Artikel ist für einen Einstieg in die Topologie zu speziell. Ein topologischer Raum ist eine abstrakte mathematische Struktur, deren Sinn sich erst erschließt, wenn man sich eingehender mit der Thematik beschäftigt hat. Für einen etwas allgemeinverständlicheren Einstieg bietet sich der Artikel Topologie (Mathematik) an. Dort finden sich auch konkrete Beispiele. Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:16, 12. Jan. 2015 (CET)

Alltagsbeispiel: Grundmenge G:= Freundeskreis: {Anna, Ben, Charly}. Eine Topologie T auf G:= {niemand, alle, {Anna}, {Ben, Charly}}. Angenommen, dass T nicht rein willkürlich gewählt wurde, sagt sie uns etwas über die Beziehungen (Umgebungen) der Personen innerhalb des Freundeskreises. (G, T) sind ein topologischer Raum, welcher beschreibt:

1. Wer alles in diesem Freundeskreis ist (die Elemente von G);

2. wie "nahe" die Freunde zueinander sind (relativ zueinander);

und dabei außer Acht lässt,

3. was Nähe/Entfernung genau bedeuten (das muss beim Entwurf der Topologie festgelegt werden);

4. wie nah/fern die Freunde untereinander sich jeweils genau sind (dafür brauchen wir dann eine Metrik).

Was ist mit X gleich leere Menge?

Es fällt mir allgemein auf (z.B. auch im metrischen Raum und in der Literatur), dass nicht explizit gefordert wird, $X\neq \emptyset$. Selbstverständlich bleibt die Definition für die leere Menge sinnvoll, dennoch ist mir persönlich nicht bekannt, dass $X=\emptyset$ irgendwo gebraucht wird. Vielmehr - und darin ist die Literaur oft auch unpräzise - müsste man dann sehr oft "Sei $X\neq \emptyset$ ein topologischer Raum" schreiben oder den Fall $X=\emptyset$ separat behandeln. Deswegen würde ich in der Definition fordern, dass X nicht leer sein soll. Was meint ihr? --89.51.110.116 12:33, 29. Dez. 2007 (CET) (Filip Bár)

Ich habe noch einmal darüber nachgedacht: es macht doch Sinn die leere Menge zuzulassen. In der Kategorie der topologischen Räume müsste man sonst auf ein Anfangsobjekt verzichten. --195.158.179.237 20:44, 23. Jan. 2008 (CET) (Filip Bár)

Wenn eine Topologie auf einer Menge minimal die Leere Menge und die Grundmenge enthält, bleibt für eine Topologie über einer Leeren Menge nur Leere Menge selbst übrig. Was zu Problemen der Sorte "1 ist prim!" führen kann (konkret: Artikel-Text schweigt sich über die minimale Mächtigkeit einer Topologie aus -- die Menge der Teiler einer Primzahl hat Mächtigkeit 2). Als (ggf. nötiges) Anfangsobjekt der Topologie eignet sich die Potenzmenge der Leeren Menge. (nicht signierter Beitrag von 2003:D2:AF04:3800:7C56:E980:58DA:DDE0 (Diskussion) 19:31, 2. Jun. 2021 (CEST))

Abschnitt „Definition“

Im Moment steht im ersten Satz der Definition

… bestehend aus Teilmengen („offene Mengen“ genannt) und einer Grundmenge X …

Wäre es nicht genauer, das „und“ aus dem Satz zu entfernen?

… bestehend aus Teilmengen („offene Mengen“ genannt) einer Grundmenge X …

--Stefan Birkner 14:32, 6. Jan. 2008 (CET)

Alternative Definition

Es gibt noch eine andere, alternative Definition des topologischen Raums welche auf Umgebungsfiltern basiert und in manchen Gebieten der Mathematik einen einfacheren Zugang ermöglicht. Wäre nett, wenn das mal jemand (inkl. Beschreibung, worin genau die Äquivalenz besteht) ausführlich diesem Artikel hinzufügen könnte. -- Cinquero 08:33, 30. Jun. 2004 (CEST)

Ich find die Formulierung "beliebig vieler offener Mengen" bei der Definition ein wenig ungenau. Sind das jetzt abzählbar oder wirklich über-abzählbar viele? -- 1of3 12:52, 29. Okt 2005 (CEST)

Es ist so wie es steht: beliebig viele. Ob man endlich viele, abzählbare viele oder überabzählbar viele offene Mengen, die Vereinigung ist wieder offen. --UrsZH 19:30, 30. Okt 2005 (CET)

Aussage richtig gelesen?

Eine Teilmenge U eines topologischen Raumes $(X,{\mathfrak {T}})$ heißt Umgebung des Punktes x aus X, falls eine offene Menge $O$ mit $x\in O\subset U$ existiert.

Wenn x Element von O ist, und O eine Teilmenge von U, dann gehört x zu U. U ist wiederum die Umgebung von x. Das heißt dann, x ist Bestandteil seiner eigenen Umgebung? --Abdull 18:42, 8. Jun 2006 (CEST)

Ja. Typisches Beispiel sind $\epsilon$-Umgebungen in metrischen Räumen für eine "kleine" positive Zahl $\epsilon$: Zu ihnen gehören alle Punkte, deren Abstand von $x$ kleiner ist als $\epsilon$, und dazu gehört immer auch $x$.--Gunther 18:47, 8. Jun 2006 (CEST)

Für diesen Sachverhalt gibt es auch punktierte Umgebungen, das sind solche, in denen x selbst nicht dazu gehört. (nicht signierter Beitrag von 212.201.134.173 (Diskussion) 10:50, 11. Apr. 2015 (CEST))

sichtbarkeit von formatierungen

hallo, es gibt wohl ein problem mit der darstellung dieser seite:

(1) was ich sehe ist: "Eine Topologie ist feiner als eine Topologie, wenn jede offene Menge von auch offen in ist. heißt dann gröber als. das lässte einen stutzen.

(2) was ich finde, da ich diesen abschnitt aus dem text hier her in den diskussions-editor kopiere ist: "Eine Topologie \mathfrak{T}_1 ist feiner als eine Topologie \mathfrak{T}_2, wenn jede offene Menge von \mathfrak{T}_2auch offen in \mathfrak{T}_1 ist. \mathfrak{T}_2 heißt dann gröber als \mathfrak{T}_1." das macht sinn.

prima wäre ein hinweis darauf, mit welchen sonderzeichen/ formatierungssettings diese seite korrekt angezeigt wird.

grüsse - von hartmut ayrle

Du musst Dir Bilder anzeigen lassen oder Dich anmelden und dann unter "Einstellungen" → "TeX" eine andere Möglichkeit auswählen.--Gunther 14:51, 1. Jul 2006 (CEST)

Nicht Formatierung, aber Formulierung

Ich sehe zwar den oben genannte Satz

Eine Topologie T1 ist feiner als eine Topologie T2, wenn jede offene Menge von T2 auch offen in T1 ist.

ganz wunderbar (mit den geschwungenen großen T's) - aber ich finde doch die Formulierung etwas seltsam: 'jede offene Menge von T2' lässt womöglich den arglosen Laien auf die Idee kommen, es gäbe auch 'nichtoffene Mengen von T2'. Aber T2 ist eine Topologie, mithin ein 'Haufen' von offenen Mengen. Richtig (und meiner Meinung nach weniger missverständlich) wäre:

Eine Topologie T1 ist feiner als eine Topologie T2, wenn jede Menge in T2 auch in T1 enthalten ist.

oder auch:

Eine Topologie T1 ist feiner als eine Topologie T2, wenn jedes Element von T2 auch in T1 enthalten ist.

Weiter: im Abschnitt 'Erzeugung topologischer Räume' steht der Satz:

Bei endlichen Produkten werden die offenen Mengen durch die Produkte der offenen Mengen gebildet.

Jetzt betrachten wir den Produktraum $\mathbb {R}$ x $\mathbb {R}$ = $\mathbb {R} ^{2}$ und darin den offenen Einheitskreis. Das ist eine offene Menge, die aber nicht das Produkt offener Mengen in $\mathbb {R}$ ist... Eventuell müsste man das Wort gebildet durch erzeugt ersetzen - aber dann wäre es auch schick, das Erzeugen einer Topologie zu definieren (kann auch sein, dass ich mich da täusche - mein Studium ist schon einige Wochenenden her)

Ich bin noch ganz neu 'im Inneren von Wikipedia' (angestachelt durch einen Zeit-Artikel) und trau' mich noch nicht - sonst hätte ich das schon geändert...

-- Bernd.drahota 13:30, 25. Sep. 2006 (CEST)

1.) Das ist eine Frage der Sichtweise. Es erscheint mir sinnvoller, die Topologie als eine Struktur zu sehen, die auf einer Grundmenge die Begriffe "offene Menge", "Umgebung" usw. zur Verfügung stellt, deren mengentheoretische Realisierung aber relativ unerheblich ist. Man könnte statt Mengen offener Teilmengen genausogut mit Umgebungsfiltern oder dem Abschlussoperator oder was auch immer arbeiten, dennoch wäre die Charakterisierung im Artikel sinnvoll und richtig.

2.) Ja. Siehe dazu Wikipedia:Sei mutig.--Gunther 15:13, 28. Sep 2006 (CEST)

Ich hoffe, die Beschreibungen von gröber und feiner sind jetzt (irgendwann war auch mal ein Fehler reingeraten) für beide Auffassungen akzeptabel (Topologie als abstrakte Struktur <-Umgebungsfilter versus Topologien als Teilmengen der Potenzmenge <- Teilmengenordnung). Macht diesen Abschnitt mathematisch etwas umfangreicher als logisch nötig ist, aber Rückfragen und Fehler, die sich da einschleichen, zeigen, dass etwas Redundanz nicht schadet. Ich kann mir unter dem deutschen Wort „feiner“ eigentlich nur im Zusammenhang mit Filtern was Griffiges vorstellen.--KleinKlio 12:08, 21. Okt. 2006 (CEST)

Gliederung

Ich steige hier neu als Mitautor ein und habe (frecherweise) gleich ein paar Sachen an der Gliederung geändert.

Weiterer Vorschlag: Zusätzlicher Abschnitt /*Topologische Räume mit stärkeren Eigenschaften */ Arbeitstitel Hier würde ich gerne die stärkeren Axiome versammeln, jeweils mit einem Halbsatz zur Charakterisierung.

--KleinKlio 05:13, 2. Okt 2006 (CEST)

Erstes Axiom der Definition

Das erste Axiom sagt: "Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen." Als ich dieses Axiom der Definition gelesen habe, hab ich mich gefragt, was denn eine offene Menge in diesem Zusammenhang sei, da ja keine Norm oder Metrik definiert ist. Daraufhin bin ich auf die Seite dazu in Wikipedia gegangen (http://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge). Hier wird ebenfalls Topologie definiert. Allerdings ist das erste Axiom anders: "Die leere Menge und die Grundmenge X sind Elemente von T". Und die Elemente einer bestimmten Topologie heißen dann "offene Mengen". D.h. hier wird der Begriff "offene Menge" erst mithilfe des Begriffes "Topologie" eingeführt. Außerdem macht diese Definition für mich intuitiv Sinn. Folglich vermute ich, dass diese Definition einer Topologie korrekt ist und diejenige, die zur Zeit im Artikel zu "Topologischer Raum" steht, nicht zutrifft. Ich bin aber kein Mathematiker. Vielleicht kann jemand meine Verwirrung auflösen? Danke! (nicht signierter Beitrag von 95.91.214.75 (Diskussion) 16:30, 28. Jun. 2014 (CEST))

Für offene Mengen ist nicht notwendigerweise eine Metrik notwendig. Die Topologie $T$ ist die Menge der offenen Mengen. Daher sehe ich keinen Unterschied zwischen "$\emptyset$ und X sind offene Mengen" und "$\emptyset ,X\in T$". Vielleicht verstehe ich aber die Frage nicht richtig. --V4len (Diskussion) 10:03, 30. Jun. 2014 (CEST)

Frage zu Beispielen und Gegenbeispielen

Zu den Beispielen und Gegenbeispielen oben heißt es in der Unterschrift "wobei die ersten vier Mengen topologische Räume und die beiden letzten Mengen keine topologischen Räume sind". Muss es nicht stattdessen "Topologien" heißen?--Slow Phil (Diskussion) 08:28, 26. Aug. 2015 (CEST)

Die 'Frage' ist eigentlich rhetorisch und mit einem klaren Ja zu beantworten. In der englischsprachigen Wikipedia, die auch hier - wie so oft in Fragen von Mathematik und Naturwissenschaften - ausführlicher ist, steht das auch so. Mehr noch: Dort steht auch, warum die untersten Teilmengensysteme Gegenbeispiele sind. Werde das auch hier entsprechend überarbeiten.--Slow Phil (Diskussion) 19:21, 26. Aug. 2015 (CEST)

Verständlichkeit der Definition zu offenen Mengen verbessern

Wenn man sich noch nie mit topologischen Räumen beschäftigt hat und von metrischen Räumen her kommt (also das, was man in der Schule halt so macht), dann ist der Begriff "offene Menge" schon erheblich vorbelastet. Diesen dann konsequent in den Axiomen zu verwenden, obwohl die begriffliche Neudefinition nur in einem eingeklammerten und auch noch missverständlichen Nebensatz steht (nämlich dass "offene Menge" in den Axiomen hier jetzt gleichbedeutend verwendet wird mit "Element des betrachteten topologischen Mengensystems $T$"), halte ich didaktisch für eine Katastrophe. Ich schlage vor die axiomatische Definition aus Offene_Menge#Topologischer_Raum zu übernehmen und würde, falls in nächster Zeit keine Gegenrede hier kommt, dies auch umsetzen, oder falls ich es vergesse, jemand Anderen bitten dies zu tun. --ThiloSchulz (Diskussion) 18:03, 16. Sep. 2017 (CEST)