Diskussion:Torus/Archiv/1

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[[Diskussion:Torus/Archiv/1#Thema 1]]

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Diskussion bis 21.3.2005

Ich denke die Rechtecks-Fläche muss auf einer Seite sinusförmig eingeschnitten sein, damit man einen Torus ohne Überlappung bilden kann. 193.171.121.30 21:14, 10. Jun 2004 (CEST)

Ich verstehe nicht ganz, was du damit meinst: "Torus ohne Überlappung". Das Rechteck wird beim Umformen zum Torus verzerrt, dabei überlappt nichts. Man kann aber nicht aus einem Papier-Rechteck einen Papier-Torus rollen. Das geht auch dann nicht, wenn man statt eines Rechtecks eine etwas anders geformte Figur wählt, bei der z.B. eine Seite anders geschnitten ist. --SirJective 15:32, 12. Jun 2004 (CEST)

Ok, mit entsprechender Verzerrung kann man aber auch ein Rechteck in eine Kugel überführen. Wenn das Rechteck hingegen entsprechend eingeschnitten ist und nichts überlappt, muss nichts verzerrt werden, d. h. die Längen bleiben erhalten (man könnte das mit einer Folie ohne Biegesteifigkeit machen). 193.171.121.30 15:50, 12. Jun 2004 (CEST)

Besser ausgedrückt: Mit dem zugeschnittenen Rechteck ist eine längen-, flächen- und winkeltreue Abbildung möglich, und das ist bei einer Kugel nicht möglich. 193.171.121.30 16:03, 12. Jun 2004 (CEST)

Das kann gut sein. Welche Methode der Darstellung man wählt, hängt vom Verwendungszweck ab: Die Abwicklung in eine geeignet geformte ebenene Figur wäre als Karte für manche Anwendungen sicher besser geeignet als eine rein rechteckige Darstellung. Dafür ist letztere als Koordinatensystem leichter zu benutzen. Wenn du die genaue Form dieses zugeschnittenen Rechtecks noch angeben kannst, kannst du sie in den Artikel schreiben. --SirJective 18:16, 12. Jun 2004 (CEST)

Das mit längen-, flächen- und winkeltreu stimmt doch nicht, die Abbildung wäre glaub ich nur längentreu entlang der Koordinatenlinien. Die Rechtecksabbildung der Koordinanten ist denk ich winkeltreu. So viel ich gehört habe, ist die innere Geometrie eines Torus euklidisch - muss es dann eine längen-, flächen- und winkeltreue Abbildung geben?

Das Missverständnis kommt daher, weil der Torus zwar eine (flache) Euklidische Metrik trägt, diese aber nicht mit der Metrik des „Schwimmrings“ übereinstimmt. Die Euklidische Metrik auf dem Torus erhält man, wenn man ihn sich wie beschrieben aus einem Blatt Papier durch Seitenverklebung konstruiert, allerdings ohne das Papier zu verbiegen! Das geht natürlich nicht im 3-dimensionalen Raum, aber vorstellen kann man sich die Verklebung (eben wie bei einem Computerspiel: wenn man rechts/unten rausläuft, kommt man links/oben wieder rein). Diese Metrik ist natürlich (quasi per Definition) längen-, flächen- und winkeltreu.

Stellt man sich dagegen die Metrik auf dem Torus vor, die er von der Einbettung als Schwimmring im R^3 besitzt, so gibt es keine Abbildung auf die Ebene, die auch nur eine der gewünschten Eigenschaften besitzt. Diese Metrik ist an manchen Stellen positiv gekrümmt (z.B. ganz außen), an anderen flach (oben und unten) und wieder woander negativ gekrümmt (auf der Innenseite). Jedenfalls eine komplizierte Metrik, die (außer eben zur Einbettung in $R^{3}$) zu nichts zu gebrauchen ist. Dies ist ein gutes Beispiel dafür, dass man sich Geometrie intrinsisch und nicht von außen vorstellen sollte. --Yonatan 22:38, 21. Mär 2005 (CET)

Hallo an alle,
in den Bild-Beschreibungen der beiden Bilder wird genau erklärt, was sie bedeuten.
Mit freundlichen Grüssen, Karl Bednarik 15:14, 27. Jun 2004 (CEST)

Flach Schlauch Flach Zylinder Erklärung

Torus Länge X konstant Y variabel

Ich würde mal tippen, dass das obere Bild „Flach Schlauch Flach Zylinder“ veranschaulichen soll, wie man doch einen Euklidischen (flachen) Torus aus einem Blatt Papier ohne Verbiegen herstellen kann: Das Blatt in jeder Richtung einmal knicken, dann lassen sich die Kanten wie vorgeschrieben verkleben. Allerdings ist dieser Torus (bzw. seine Einbettung nach $R^{3}$) eigentlich entartet, weil mehrere Seitenflächen (theoretisch) an der gleichen Stelle liegen müssten (statt ganz dicht aufeinander). --Yonatan 22:38, 21. Mär 2005 (CET)

Differenzierung

Dieser Artikel sollte zwischen den folgenden Begriffen differenzieren:

• Torus als $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ o.ä. (flach)
• Rotationstorus (gekrümmt)
• Volltorus $D^{2}\times S^{1}$
• braucht jemand Rotationsvolltori?
• (Algebraischer Torus)

--Gunther 01:55, 24. Mär 2005 (CET)

Habe gerade erst den zweiten Satz gelesen.--Gunther 11:30, 24. Mär 2005 (CET)

Quadrat verkleben

Ehrlicherweise sollte man erwähnen, dass man ein anderes Objekt im dreidimensionalen Raum erhält, wenn man zuerst die senkrechten und dann die waagerechten Kanten verklebt. (Um diesen Punkt habe ich mich in der Vergangenheit auch schon gedrückt, ich geb's ja zu...)--Gunther 11:30, 24. Mär 2005 (CET)

Begriffsklärung

Irgendwie gehen doch noch einige Dinge durcheinander: die Überschriften "Torustopologie" und "Toruskoordinaten" sprechen von verschiedenen Tori, die Volumenformeln unten passen nicht zu $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$. Ich schlage vor, zumindest den Teil Volltorus abzuspalten, evtl. noch zwischen Rotationstorus und Flacher Torus unterscheiden. Gibt es Einspruch?-- Gunther 11:14, 15. Apr 2005 (CEST)

Bilder

Die Bilder Bild:FLSCFLZ3_Flach_Schlauch_Flach_Zylinder.jpg und Bild:FLSCFLZF_X_konstant_Y_variabel.jpg sollten im Artikel erklärt werden, bzw. es gehört eine Passage in den Artikel, die durch diese Bilder illustriert wird, ansonsten bin ich dafür, sie rauszunehmen. Ein Hinweis auf die Diskussionsseite oder auf die Bildbeschreibungsseite genügt nicht nur nicht, sondern ist im Artikel sicher fehl am Platze. --Sebastian Koppehel 20:08, 9. Jun 2005 (CEST)

Toruskoordinaten - Rücktransformation?

Ich weiß, dass die Umwandlung von kartesische in Toruskoordinaten nicht eindeutig ist, aber gibt es trotzdem eine Formel, die die Menge der Toruskoordinaten für einen in kartesischen Koordinaten gegebenen Punkt liefert? --RokerHRO 07:52, 11 November 2005 (CET)

Diskussion aus dem Review (Januar 2006)

Ein Torus (Plural: Tori) ist ein Körper, der die Form eines Schwimmreifens besitzt... ein liebevoll gestalteter Artikel. --217﹒125﹒121﹒169 00:25, 21. Jan 2006 (CET)

• Bitte, bitte erst ins Review. Es gibt da noch genug zu tun.--Gunther 00:31, 21. Jan 2006 (CET)
•  Neutral Als fachfernen Leser verwirren mich schonmal die willkürlich angeordneten Bilder ohne Erläuterungen im Eingangsbereich. Die Richtigkeit der Formeln kann ich eh nicht beurteilen, aber allein schon die optische Anmutung des Artikels lädt mich nicht besonders zum Lesen ein. Daher nur neutral.

• Wow, soviele tolle bunte Bilder, die außerdem nichts mit dem Thema zu tun haben. Fettes  Kontra --Koethnig 03:15, 21. Jan 2006 (CET)
•  Kontra 1. Auch mich irritiren zunächst mal die ganzen, unbeschriftetetn Bilder, das einzig beschriftete Bild ist nicht in den Text eingebunden. 2. Links gehen teilweise auf Redirects und Begriffsklärungsseiten. 3. Einleitung hier mal wieder etwas arg kurz. -- Dr. Shaggeman ^{Der beißt nicht!!!} 12:33, 21. Jan 2006 (CET)

(Aus der Lesenswert-Diskussion hierher verschoben. Es gibt bekannte Kritikpunkte, vgl. Diskussion.--Gunther 12:37, 21. Jan 2006 (CET))

Den Kritikpunkten mit den Bildern schließe ich mich an – da fehlen Beschriftungen und Erklärungen. Ansonsten fehlt mir im Artikel vor allem ein Hinweis, was an Tori spannend ist und warum sie von (inner- oder außermathematischer) Bedeutung sind. Kann man sie zur Modellierung von irgendetwas verwenden? Lassen sich irgendwelche Rechnungen oder Beweise durch Transformation auf Toruskoordinaten vereinfachen? Wenn ja, in welchen mathematischen Bereichen oder lebenspraktischen Anwendungen? Wenn nein, welche Motivation gibt es sonst, sich damit zu beschäftigen (abgesehen von ästhetischen Gründen und der Freude an neuen mathematischen Erkenntnissen)? -- Sdo 19:44, 21. Jan 2006 (CET)

Bis auf die Beschriftungen der liebevoll angefertigten Bilder ist der Arktikel m.E. sehr gut und beschreibt das Lemma erschöpfend. Lesenswert können auch Artikel werden, die nichts Neues oder außermathematisches bieten und auch solche, die vor allem von Fachleuten gelesen werden. Andernfalls könnten Artikel über kleine Themen niemals lesenswert oder exzellent werden. Hintergrund ist, daß das Universum eventuell eine Torus-Form haben könnte, wie sie dort beschrieben ist. Auch drehende schwarze Löcher haben, manchen Theorien zu folge, eine solche Form. --217﹒125﹒121﹒169

Wie schon auf der Diskussionsseite erklärt, behandelt der Artikel das Thema eben nicht im entferntesten erschöpfend und vermischt verschiedene Aspekte in unzulässiger Weise.--Gunther 23:49, 21. Jan 2006 (CET)

Volltorus und Toroid

Ich bin kein Deutsch, deshalb weiss ich nicht ob der Volltorus und Toroid ist eine Dinge. Es ist ein Toroid artikel, aber es ist kein link zu dort. -- Harp 15:45, 18. Apr 2006 (CEST)

Illustration

Torus 3D

Salutes, ich bin gerade dabei, für die Lemmata, die geometrische Körper behandeln, eine Serie größerer und etwas repräsentativerer Illustrationen zu rendern. Aus den Erfahrungen mit der vergleichsweise simpleren Kugel heraus möchte ich Euch allerdings, bevor ich die neue Illu einsetze, fragen, ob sie in dieser Form ok (Beschriftung?) und klar genug verständlich ist - ich bin nämlich kein Mathematiker. Sagt 'mal was dazu, bitte. --DemonDeLuxe :O) 23:28, 17. Jul 2006 (CEST)

y und z sind vertauscht. Den gefärbten Bereich für t würde ich kleiner machen, das muss ja nur den Winkel symbolisieren und nicht zum Torus passen (nein, ich bin nicht konsequent ;-). Und noch zwei Punkte, die nichts mit diesem konkreten Bild zu tun haben: Kannst Du eigentlich auch SVG statt PNG erzeugen? Und würde es Dir etwas ausmachen, die Bilder auf Wikimedia Commons statt hier hochzuladen? (Das macht für die Verwendung hier überhaupt keinen Unterschied, aber die anderen Wikipedias können die Bilder direkt mitbenutzen.)--Gunther 23:53, 17. Jul 2006 (CEST)

Hey, danke für das fixe Feedback! Bei den Koordinatensystemen scheinen verschiedene Varianten Usus zu sein, aber ich gehe 'mal davon aus, dass Du das "mathematischere" meinst als ich. Den Bereich von t würde ich allerdings lieber so lassen wie derzeit: Er entspricht dem Innenradius des Torus, dadurch gibt's eine verwirrende Linie weniger.

Bzgl. SVG hatte ich auch bereits überlegt; nativ kann Max das nicht, mal sehen, ob ich einen Filter auftreiben kann. Und das mit Commons kann ich natürlich gerne machen. --DemonDeLuxe :O) 01:03, 18. Jul 2006 (CEST)

Ist soweit alles fertig, auch auf die Commons hochgeladen. Jetzt noch meine Bitte um eine schonungslose Beurteilung: Ist das Bild als Illustration tatsächlich besser geeignet als das (noch) derzeitige? Meine eigene Meinung ist klar, aber als Grafiker habe ich natürlich andere Schwerpunkte. Insofern: Lohnt sich das? Soll ich's austauschen? Bzw. mich weiter durch die Geometrie durchwühlen? :O) --DemonDeLuxe :O) 04:40, 18. Jul 2006 (CEST)

Ja, es ist besser geeignet, danke. Ich habe es zu den Koordinaten verschoben, kannst Du vielleicht für den Einleitungsabschnitt noch ein ganz simples, unaufgeschnittenes machen, ohne Bezeichnungen und Achsen, einfach nur einen Ring?--Gunther 14:02, 30. Jul 2006 (CEST)

Mach' ich, ok. --DemonDeLuxe :O) 19:49, 30. Jul 2006 (CEST)

Perfekt, danke.--Gunther 23:23, 30. Jul 2006 (CEST)

Verwaistes Bild

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Bei den verwaisten Bildern gefunden, falls noch benötigt. --Gruß Crux 00:43, 21. Sep 2006 (CEST)

Danke nein.--Gunther 00:53, 26. Sep 2006 (CEST)

Das Bild sollte vielleicht im Artikel Koordinatensystem eingebaut werden, falls dort auch Zylinder- und Kugelkoordinatensysteme behandelt werden, ansonsten gehört das Torus-Koordinatensystem hier in diesen Artikel. Oder nicht? --RokerHRO 10:57, 30. Sep 2006 (CEST)

Hypertorus?

In Form und Volumen des Universum wird hier her verwiesen, jedoch wird hier der/die/das Hypertorus nicht erklärt. -- SchORscH --> ΩΔ 19:55, 10. Nov. 2006 (CET)

Die ernste Erklärung ist bereits im Artikel vorhanden:

Beim 4-dimensionalen Torus oder 4-Torus handelt es sich um einen Tesserakt, dessen 8 gegenüber liegende Würfel paarweise miteinander verheftet sind.

Die heitere Erklärung ist hier:

Nun wollen wir uns noch rasch ein vier-dimensionales Torus-Universum basteln. Zuerst nehmen wir einen vier-dimensionalen Würfel, hier sind null- bis fünf-dimensionale Würfel-Analoga :

http://members.chello.at/karl.bednarik/WUERFEL5.jpg

Falls keiner vorhanden ist, dann falten wir den vier-dimensionalen Würfel eben aus seinen acht Begrenzungs-Würfeln :

http://members.chello.at/karl.bednarik/WUERFEL7.jpg

Man hält den gelben Würfel in der Raumzeit fest, und faltet alle sieben anderen Würfel in die Zukunft. Danach faltet man den blauen Würfel, der nun zu weit in die Zukunft ragt, zu einem späteren Zeitpunkt in den Raum zurück, und schon ist der vier-dimensionale Würfel fertig.

http://members.chello.at/karl.bednarik/WUERFEL6.jpg

Nun brauchen wir nur noch die jeweils gegenüber liegenden Begrenzungs-Würfel paarweise miteinander zu verkleben, und unser vier-dimensionaler Torus ist fertig. ( Am besten trägt man den Quantenkleber an den gelb gekennzeichneten Stellen auf. ) Für diese Arbeit benötigt man noch einen fünf- dimensionalen Raum, aber nach getaner Arbeit läßt man einfach die dunkle Energie entweichen, und drückt ihn wieder flach.

Falls wir ein pulsierendes vier-dimensionales Torus-Universum haben wollen, dann müssen wir die drei räumlichen Ausdehnungen variieren :

http://members.chello.at/karl.bednarik/ZYKUNI.jpg

Zurück bleibende Raumzeit-Schnipsel bitte immer ordentlich entsorgen, damit keine niedrigen Lebensformen hineinfallen können.

Karl Bednarik 04:36, 11. Nov. 2006 (CET).

Der Vorteil einer toroidalen Geometrie des Universums liegt darin, dass man bei einer lokal euklidischen Geometrie des Raumes dennoch keinen unendlich grossen Raum des Universums annehmen muss, der dann endlos, aber nicht unendlich gross sein könnte.

Karl Bednarik 05:31, 11. Nov. 2006 (CET).

Aha, vielen Dank für die umfangreiche Antwort. -- SchORscH --> ΩΔ 11:15, 11. Nov. 2006 (CET)

Hallo SchORscH,

mir ist noch ein kleiner Nachtrag eingefallen, zu dem Thema, wie das alles eigentlich von innen aussieht:

Hyperbolische Universen und euklidische Universen wirken auf den Betrachter in ihrem Inneren vermutlich vorwiegend schwarz, weil sie unendlich gross sind (unter Vernachlässigung des Olbersschen Paradoxons).

Bei den endlosen, aber nicht unendlich grossen Universen könnte man sich selbst um den Raum herum sehen, falls der Raum nicht zu gross ist, der Raum nicht expandiert, und die Lichtgeschwindigkeit nicht zu klein ist.

Bei einem Universum in Form der dreidimensionalen Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel, das nicht zu gross ist, und das nicht expandiert, und das eine selbst leuchtende Erde als einziges Objekt enthält (weil keine Sonne), würde man den Eindruck haben, im inneren eines Leuchtglobus zu leben, denn über jedem Punkt der Erdoberfläche wäre das Abbild ihres Antipoden sichtbar.

Bei einem Universum in Form der dreidimensionalen Oberfläche eines vierdimensionalen Toroids, das nicht zu gross ist, und das nicht expandiert, und das eine selbst leuchtende Erde als einziges Objekt enthält, würde man den Eindruck haben, dass ein dreidimensionales Raumgitter mit regelmässigen Abständen aus unendlich vielen Erden mit der gleichen räumlichen Ausrichtung vorhanden ist.

Der Anblick würde an das Innere eines Spiegelwürfels erinnern, nur dass im Inneren eines Spiegelwürfels viele Abbilder der Erde seitenverkehrt oder auf dem Kopf stehend zu sehen wären.

Leider können wir alle diese Weltmodelle nicht von einander unterscheiden, weil das Universum zu gross ist, die Lichtgeschwindigkeit zu langsam ist, und das Universum nicht alt genug ist.

Für einen endlosen, aber nicht unendlichen 3-dimensionalen Raum mit lokaler euklidischer Geometrie genügt der 3-Torus der aus einem gewöhnlichen Würfel nach der Verheftung seiner gegenüber liegenden Flächen entsteht (sehr gut für Computerspiele geeignet).

Den 4-Torus habe ich nur verwendet, um das Ende der Zeit (big crunch) mit dem Anfang der Zeit (big bang) zu verbinden, was aber nur in pulsierenden Universen einen Sinn macht.

Etwas humorvoller erzählt: http://members.chello.at/karl.bednarik/FEYNMANR.html

Mit freundlichen Grüssen,
Karl Bednarik 11:52, 11. Nov. 2006 (CET),
(Einstein-Universum, Sol-III, Wien, Liesing)

M. C. Escher, Depth, 1955,
ein einzelner Fisch in einem 3-Torus:
http://www.mcescher.com/Gallery/recogn-bmp/LW403.jpg
http://escher.ru/images/pics/depth.jpg

M. C. Escher, Cubic Space Division, 1952,
http://www.herakleidon-art.gr/assets/cubic%20space.jpg

In einem dreidimensionalen Raumgitter mit regelmässigen Abständen aus unendlich vielen Erden mit der gleichen räumlichen Ausrichtung sieht man in jeder beliebigen Richtung eine Erdoberfläche, wobei über jedem Punkt der Erdoberfläche das Bild seines Antipoden sichtbar ist, aber im Gegensatz zum sphärischen Raum unterschiedlich stark verkleinert.
Karl Bednarik 08:00, 13. Nov. 2006 (CET).

Definition

Die Definition: "Ein Torus (Plural: Tori) ist ein geometrisches Gebilde, das die Form eines Schwimmreifens oder Schmalzkringels besitzt." ist einfach lächerlich. Du Umkehrung ließe ich ja noch durchgehen: "Schwimmreifen oder Schmalzkringel sind Gebilde, die die (geometrische) Form eines Torus besitzt." Aber ich laß es mal stehen. Es ist einfach zu lustig. rofl --84.172.152.58 00:44, 10. Mai 2007 (CEST)

Ja, klar dass ihr im Reich das unterhaltsam findet. Hierzulande (im SAUBEREN Österreich) fühlt man sich durch solche linguistische Ergüsse mehr als vor den Kopf gestossen.

Ein paar Tori dazu! Reifen (Spielzeug): Hula-Hoop u.s.w. --Die Barkarole 14:27, 23. Mai 2007 (CEST)

Torusschnitte

• Haben die Kurven, die entstehen, wenn man einen Torus schneidet, bestimmte Namen? Es sind Kurven 4. Ordnung, aber kann man sie sonst näher klassifizieren?
• Bereichert es den Artikel, wenn man ihn mit Bildern von Torusschnitten versieht, was denkt ihr? --RokerHRO 21:27, 29. Sep. 2007 (CEST)

Bildbeschreibung fehlt bei [[Bild:WUERFEL6 Verheftungen des Tesseraktes zum 4-Torus.png]]

Der Artikel enthält ein Bild, dem eine Bildbeschreibung fehlt, überprüfe bitte, ob es sinnvoll ist, diese zu ergänzen. Gerade für blinde Benutzer ist diese Information sehr wichtig. Wenn du dich auskennst, dann statte bitte das Bild mit einer aussagekräftigen Bildbeschreibung aus. Suche dazu nach der Textstelle [[Bild:WUERFEL6 Verheftungen des Tesseraktes zum 4-Torus.png]] und ergänze sie.

Wenn du eine fehlende Bildbeschreibung ergänzen willst, kannst du im Zuge der Bearbeitung folgende Punkte prüfen:

• Namensraum Datei: Bilder sollte im Namensraum Datei liegen. Bitte ändere die alten Bezeichnungen Bild: und Image: in Datei:.
• Skalierung: Außerhalb von Infoboxen sollten keine festen Bildbreiten (zum Beispiel 100px) verwendet werden. Für den Fließtext im Artikelnamensraum gibt es Thumbnails in Verbindung mit der automatischen Skalierung. Um ein Bild/eine Grafik in besonderen Fällen dennoch größer oder kleiner darzustellen, kann der „upright“-Parameter verwendet werden. Damit erfolgt eine prozentuale Skalierung, die sich an den Benutzereinstellungen orientiert. --SpBot 10:38, 2. Mär. 2009 (CET)

Bessere Bilder für die 3 Torustypen

Ich würde Datei:Les trois types de tores.PNG gerne ersetzen und habe mal ein paar Tori gerendert, siehe [1]. Das Bild ist erstmal nur als Diskussionsgrundlage gedacht. Welche der Torii könnten den Artikel illustrieren? --RokerHRO 12:32, 19. Nov. 2009 (CET)

Eckiger Torus

Wenn man ein Rechteck nimmt, statt eines Kreises und dieses rotieren lässt, heißt die Figur dann auch Torus, oder hat sie einen anderen Namen/ gib es überhaupt einen Namen dafür? Ich hoffe man versteh was ich meine^^--91.65.198.91 18:22, 6. Jul. 2010 (CEST)

Hohlzylinder, wenn das Rechteck achparallel ist. :-) --RokerHRO 23:14, 6. Jul. 2010 (CEST)

... und die Rotationsachse durch das Rechteck durchgeht. Ich vermute aber, der Frager meinte den Fall, dass die Achse außerhalb des Rechtecks liegt. Heißt es dann Torus?--UvM 22:31, 2. Aug. 2010 (CEST)

Kipfloid oder Croissantoid

Wie nennt man einen Torus mit variablen Ringdurchmesser:

http://members.chello.at/karl.bednarik/ZYKUNI.jpg

Oder den Ouroboroid:

http://members.chello.at/karl.bednarik/TORUSA.jpg

Nachtrag:

Kipferl

Croissant

Ouroboros

Karl Bednarik 01:28, 10. Jul. 2010 (CEST).

Hab das mal gerendert und sieht dann so aus. --RokerHRO 13:51, 5. Sep. 2010 (CEST)

Ouroboros

Kipferl 1

Kipferl 2

Danke RokerHRO, das sieht sehr schön aus. Mein Ouroboros wurde noch mit GWBASIC aus dem Jahre 1983 gezeichnet. -- Karl Bednarik 06:51, 6. Sep. 2010 (CEST).

Nur zum Spass, hier ist das Programm:

http://members.chello.at/karl.bednarik/TORUSA.txt

Hier ist das GWBASIC, es läuft auch unter Windows XP:

http://members.chello.at/karl.bednarik/GWBASIC.EXE

In Microsoft Paint wurden dann die Farben umgekehrt, und das Bild in x und y auf 50 % verkleinert. -- Karl Bednarik 07:30, 6. Sep. 2010 (CEST).

Eingebettet (erledigt)

Liebe Mathematiker, ich bin nur ein dummer promovierter Physiker und habe Schwierigkeiten mit der Definition des Eingebetteten Torus. Was heißt "entspricht" der Oberfläche...? Ist der eingebette Torus die Oberfläche eines entsprechenden Volltorus, oder was Anderes? --UvM 22:41, 2. Aug. 2010 (CEST)

Beziehung zur Sphäre

Ist der Volltorus $T^{3}:\{x,y,z\}\to {\begin{pmatrix}((R+r)\cdot cos(p))cos(t)\\(R+r)\cdot cos(p))sin(t)\\r\cdot sin(p)\end{pmatrix}}$ als 3- Mannigfaltigkeit diffeomorph zur 3- Sphäre mit Radius r? Ich glaube, dass die Abbildung $A:$$S^{3}$$\to$$T^{3}$ (wobei ich den Volltorus einmal als $T^{3}$ bezeichne) mit

$A={\begin{pmatrix}{\frac {r\cdot sin(p)}{R+r\cdot cos(p)}}&0&0\\0&{\frac {r\cdot sin(p)}{R+r\cdot cos(p)}}&0\\0&0&{\frac {cos(p)}{sin(p)}}\end{pmatrix}}$

das Gewünschte erfüllt. Man sieht leicht ein, dass die Matrix differenzierbar ist und wir können $A$ auch invertieren; dann erhalten wir

$A^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {(R+r\cdot cos(p))csc(p)}{r}}&0&0\\0&{\frac {(R+r\cdot cos(p))csc(p)}{r}}&0\\0&0&tan(p)\end{pmatrix}}$

Mit ${\frac {dcsc(x)}{dx}}=-cot(x)\cdot csc(x)$ und ${\frac {dtan(x)}{dx}}=sec(x)^{2}$ sind sowohl die Abbildung als auch die Umkehrung differenzierbar, dh. die Abbildung $A$ ist tatsächlich ein Diffeomorphismus. --86.32.120.8 23:19, 30. Sep. 2010 (CEST)

Der Volltorus, der übrigens in der Regel nicht mit $T^{3}$ bezeichnet wird (dies meint den 3-Torus $S^{1}\times S^{1}\times S^{1}$), ist nicht homotopieäquivalent (also auch nicht homöomorph oder diffeomorph) zur 3-Sphäre. Der Volltorus ist homotopieäquivalent zur 1-Sphäre, hat also eine nichttriviale Fundamentalgruppe, während die Fundamentalgruppe der 3-Sphäre trivial ist. Ich vermute aber, dass du nicht die 3-Sphäre meinst, sondern den 3-Ball. Auch wenn dieser nicht homotopieäquivalent zur 3-Sphäre ist, so hat er auch eine triviale Fundamentalgruppe und ist damit nicht homotopieäquivalent zum Volltorus. Man kann aber eine 3-Sphäre erhalten, indem man zwei Volltori geeignet entlang ihres Randes verklebt.91.22.26.85 03:44, 24. Okt. 2011 (CEST)

Dorntorus

Dorntorus = Horntorus ? (nicht signierter Beitrag von 91.57.231.218 (Diskussion) 04:11, 12. Jan. 2012 (CET))

Software um Torus zu zeichen ?

Eine Torus Software Liste wär als Ergänzung gut. (nicht signierter Beitrag von 91.57.231.218 (Diskussion) 04:11, 12. Jan. 2012 (CET))

Hier ist das Grundgerüst des Torus als

Windows 32 Anwendung in Microsoft Visual C++ 6.0

http://members.chello.at/karl.bednarik/TORUS001.txt

-- Karl Bednarik 13:44, 12. Jan. 2012 (CET).

Hier ist ein undurchsichtiger Torus als

Windows 32 Anwendung in Microsoft Visual C++ 6.0

http://members.chello.at/karl.bednarik/TORUS003.txt

-- Karl Bednarik 17:43, 14. Jan. 2012 (CET).

Widerspruch eingebetteter Torus?

"Ein eingebetteter Torus kann als Menge der Punkte beschrieben werden, die von einer Kreislinie mit Radius R den Abstand r<R haben." Steht das nicht im Widerspruch zu der Beschreibung, dass der eingebettete Torus die Oberfläche des Körpers ist? Die im Zitat beschriebene Punktmenge scheint mir der Volltorus (allerdings ohne Oberfläche) zu sein. - hat sich erledigt, Denkfehler - (nicht signierter Beitrag von 145.253.119.250 (Diskussion) 14:45, 27. Jun. 2012 (CEST))

Löschung der Torus Volumenformel im Fall r<R

Die angegebene Formel ist zwar <<etwas>> komplizierter, als die <<normale>> (r>R) Torus Volumen Formel, dafür gilt sie aber im Fall -r<R<r. Wie gross ist denn z.B. das Volumen des Horntorus (0<R<r) ? Oder das Volumen, im Fall, dass der Torus in die Kugel übergeht (R=0) ? Gruss --78.49.12.160 13:53, 25. Mai 2013 (CEST)

Ich werde demnächst die Löschung des Unterabschnitts wieder rückgängig machen. Die neue Volumenformel gilt im Bereich -r<R<r, wo die übliche Torusformel nicht gültig ist. Sie setzt nämlich voraus, dass der rotierende Kreis die Rotationsachse nicht schneidet. Es gibt aber auch Tori, wo die Achse geschnitten wird (Horntorus). Für diese Fälle gilt die neue Formel, die leicht durch Berechnen des genannten Integrals zu verifizieren ist. Am Übergang der Gültigkeitsbereiche (R=r) stimmen die mit beiden Volumenformeln berechneten Volumina überein. Gruss --131.220.161.244 12:06, 28. Mai 2013 (CEST)

Ich habe keine Lust, hier eine lange Diskussion zu führen. (Nebenebei bemerkt gilt immer R>r, sonst hat man keinen eingebetteten Torus), deshalb die Bitte, Lehrbücher anzugeben, in denen diese Formel (nicht nur am Rande oder als Übungsaufgabe) besprochen wird. Einfach als Beleg für die Relevanz und Rezeption dieser Formel. --Suhagja (Diskussion) 16:06, 30. Mai 2013 (CEST)

Es gibt durchaus Tori mit R<r, z.B. Spindeltorus, um dessen Aussenvolumen es hier geht. Ich präzisiere das noch etwas im Artikel. Die Relevanz ist einfach dadurch gegeben, dass die Variation von R irgendwann (nämlich bei -r<R<r) den Spindeltorus ergibt, dessen Aussenvolumen man vielleicht auch mal wissen möchte...Referenzen konnte ich keine finden, aber das Ergebnis kann jeder leicht verifizieren: Einsetzen der Kreisgleichung ins das Volumenintegral des Rotationskörpers und ausrechnen (Gradsteyn/Ryzhik 2.262.2). Ich glaube nicht, dass man wirklich für ein einfaches Integral eine Referenz benötigt. Es kann auch leicht numerisch verifiziert werden. Gruss --78.49.193.93 12:29, 2. Jun. 2013 (CEST)

n-Torus mit n-1-Begrenzung?

Wenn man einen dreidimensionalen Torus durch Verkleben der gegenüberliegenden Seiten eines Quadrats erhält (wobei das Quadrat die Begrenzung des Torus ist), müsste man dann nicht einen vierdimensionalen Torus durch Verkleben der Gegenüberliegenden Quadrate eines Würfels oder Parallelepipeds erhalten (wobei der Würfel die Begrenzung des Torus ist)? --Œ̷͠²ð·¨´´̢́̕͘³͏¯̞̗ (Diskussion) 13:13, 18. Apr. 2015 (CEST)

Ja, hier steht es: Torus#Konstruktion_h.C3.B6herdimensionaler_Tori_aus_einem_W.C3.BCrfel_oder_Parallelepiped. -- Karl Bednarik (Diskussion) 04:04, 19. Apr. 2015 (CEST). Korrektur: -- Karl Bednarik (Diskussion) 04:06, 19. Apr. 2015 (CEST).

Einleitung

Im ersten Abschnitt der Einleitung steht geschrieben, dass ein Torus eine „wulstartig“ geformte Fläche mit einem „Loch“ sei. Mir scheint die Definition unpräzise und von mangelnder artikulatorischer Qualität zu sein. Der linke Körper (eine Kugel, welche auf der Z-Achse hinunter skaliert ward und von welcher in einer Bool-Lean Operation eines Zylinders Volumen abgezogen ward) ist genauso eine Wulst mit einem Loch wie der Rechte, bei welchem es sich faktisch um einen Torus handelt. Ich habe bereits eine neue Definition vorgeschlagen (https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Torus&oldid=154438809), welche allerdings mit der Begründung, dass es sich nicht um die in der Fachliteratur bzw. anderen Enzyklopädien übliche Definition handle (https://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer_Diskussion:Wolfgang_Gelbricht#Torus), zurückgewiesen ward. Da immer noch der Auffassung bin, dass sich die Einleitung verbessern liesse, jedoch keine Änderung durch einen Editing-War in den Artikel bringen möchte, möchte ich auf dieser Diskussion-Seite in Kooperation mit anderen Nutzern (im besten Falle auch mit Sichtern) eine neue Definition ausarbeiten, welche von mehreren Nutzern getragen wird. Ich habe in dritten Quellen präzisere Definitionen als diese in der Einleitung der Wikipedia gefunden.

http://www.duden.de/rechtschreibung/Torus:

"Ringfläche, die durch Drehung eines Kreises um eine in der Kreisebene liegende, den Kreis aber nicht treffende Gerade entsteht" (nicht signierter Beitrag von Wolfgang Gelbricht (Diskussion | Beiträge) 21:01, 19. Mai 2016 (CEST))

Das steht doch aber bereits im zweiten Absatz, sinngemäß.--Pugo (Diskussion) 21:47, 19. Mai 2016 (CEST)

Dies trifft sicherlich zu. Meine Kritik bezog sich allerdings auf den ersten Abschnitt, welcher vom Nutzer in aller Regel zuerst gelesen wird und welcher in Nutzern der mobilen Wikipedia in der Vorschau angezeigt wird. Ich halte diesen für unaufschlussreich und bin der Auffassung, dass ein Einleitungssatz in einem enzyklopädischen Werk, der zwei Worte, welche aufgrund ihrer formlosen Art zwischen Anführungszeichen gesetzt warden, noch nicht auf dem Stand ist, auf welchem Inhalte enzyklopädischer sein sollten. Eine Lösung könnte es sein, dass man seine Beschreibung aus dem ersten Absatz entfernt und seine Form nur anhand der genannten Beispiele erklärt. Da sich die mathematische Definition im zweiten Abschnitt bereits auf hohem Niveau befindet, könnte auch diese als Beschreibung fungieren. --Wolfgang Gelbricht (Diskussion) 22:45, 21. Mai 2016 (CEST)

Die Beschreibung als "Wulst" klingt zugegebenermaßen für uns heute eigenartig, sie kommt aber in verschiedenen gedruckten Enzyklopädien so vor, weshalb wir sie wohl übernehmen sollten. Es kommt ja dann noch die Beschreibung als Rettungsring, Reifen oder Donut, und mit dieser Beschreibung wird auch der Laie schneller etwas anfangen können als mit der geometrisch orientierten und sich eher an Mathematikinteressierte richtenden (und auch weniger allgemeinen) Beschreibung im zweiten Absatz.--Pugo (Diskussion) 01:22, 23. Mai 2016 (CEST)

Allein die Verwendung der Begrifflichkeit Wulst halte ich noch nicht für problematisch, bin jedoch der Auffassung, dass aus dem ersten Abschnitt klar hervorgehen sollte, dass es sich bei einem Torus um das topologische Produkt zweier Kreise handelt (was später auch referenziert wird, allerdings an prominenterer Stelle referenziert werden sollte, da es ein wichtiger Teil der Definition ist). Dies liesse sich folgendermassen umsetzen:

Ein Torus (Plural Tori; von lateinisch torus „Wulst“) rFußnote: Esgibt noch eine Reihe weiterer heute nicht mehr gebräuchlicher historischer Verwendungen des Begriffs Torus: Herder 1854 Pierer 1857 Meyers 1905 Brockhaus 1911 Britannica 1911. ist ein mathematisches Objekt aus der Topologie. Allgemein wird er als topologisches Produkt zweier Kreise definiert. Die zweidimensionale Fläche ist eine Wulst, in welcher sich ein Loch befindet. Sie hat die Gestalt eines Rettungsrings, Reifens oder Donuts. Fußnote:Torus - Math Images. In: mathforum.org. Abgerufen am 23. Mai 2016. 

Allgemeiner betrachtet man in der Mathematik auch den n-Torus, eine den zweidimensionalen Torus verallgemeinernde n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Davon abweichend finden sich in der deutschsprachigen Literatur gelegentlich auch die Bezeichnungen Doppeltorus, Tripeltorus etc. für Flächen mit zwei, drei und mehr Löchern.

Spezielle Beispiele für im dreidimensionalen Raum eingebettete Tori sind die Rotationstori, die Beispiele für Rotationsflächen sind. Man erhält sie, indem man einen Kreis um eine Achse rotieren lässt, die außerhalb des Kreises gelegen ist und nicht senkrecht zur Kreisfläche steht. Es handelt sich also um die Menge der Punkte, die von einer Kreislinie mit Radius $R$ den festen Abstand $r$ mit $r<R$ haben. Falls man nicht nur die Kreislinie, sondern die gesamte Kreisfläche rotieren lässt, erhält man einen Volltorus.

Ein Torus kann auch durch Identifizieren der Seiten eines Rechtecks konstruiert werden. Dabei wird die rechte Kante des Rechtecks mit seiner linken Kante und die obere mit der unteren Kante verheftet. Diese Topologie benutzen auch viele Computerspiele: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

Rotationstori liefern eine konkrete (rotationssymmetrische) Realisierung dieser Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum. Für viele Anwendungen in Theoretischer Mathematik und Physik bedeutend ist eine andere Einbettung als flacher Torus in den vierdimensionalen Raum. Diese hat die Krümmung null und die maximal mögliche Symmetrie. --Wolfgang Gelbricht (Diskussion) 18:44, 23. Mai 2016 (CEST)

Siehe die Diskussion im Abschnitt druber, wo im Prinzip der entgegengesetzte Wunsch geäußert wird.--Pugo (Diskussion) 08:59, 26. Mai 2016 (CEST)

Definition

Benutzer:Megatherium hat die Definition des Rotationstorus im Abschnitt "Definition" eingefügt. Meines Erachtens gehört das aber in den Abschnitt "Eingebettete Tori", wo es ja auch schon steht, denn es handelt sich nicht um die Definition, sondern um eine Klasse von Beispielen. Gegenmeinungen?--Kamsa Hapnida (Diskussion) 04:11, 5. Apr. 2015 (CEST)

Auch wenn das bei der gegenwärtigen Aufteilung der Artikel natürlich richtig ist, aber wegen Benutzer Diskussion:Megatherium#Torus: Also soo eindeutig war die Diskussion damals nicht und ging, bevor sie eingeschlafen ist, meiner Meinung nach eher in die andere Richtung, was die Literaturbelege angeht. -- HilberTraum (d, m) 18:42, 5. Apr. 2015 (CEST)

Da einmal wieder über die Defintion diskutiert wird, möchte ich einmal wieder bemerken: Auf fast allen anderssprachigen WIKI-Seiten ist ein Torus zuerst ein geometrisches Objekt (Fläche) und dann ein topologisches. Hier wird das geometrische Objekt etwas verschämt auf die Seite Rotationstorus abgeschoben. Liebe Topologen, was würdet Ihr denn machen, ohne den reichgedeckten Tisch der Geometrie ? Hat irgendjemand von Euch wirklich den Torus zuerst als topologisches Objekt kennen gelernt ?--Ag2gaeh (Diskussion) 19:02, 5. Apr. 2015 (CEST)

Mein Punkt war nun eigentlich gerade, dass anders als Kugel, Sphäre, Zylinder, Kreis, Kegel etc.pp. der Torus eben tatsächlich ein Objekt ist, dass man unter diesem Namen erst in der Topologie kennenlernt. Es ist nicht üblich, in der Natur vorkommende Tori (Schläuche, Reifen, Donuts) als Tori zu bezeichnen. Außerhalb der Mathematik kommt der Begriff nur in Zusammenhängen wie "Torus Games" vor und da ist dann das topologische Objekt (das durch Identifizieren gegenüberliegender Seiten eines Quadrats entsteht) gemeint und nicht der Rotationstorus.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 02:33, 6. Apr. 2015 (CEST) Außerdem wird bereits am Beginn der Einleitung über den Rotationstorus gesprochen und mit dieser verbalen Beschreibung wird ein Nichtmathematiker ohnehin mehr anfangen können als mit den Formeln in Polarkoordinaten. Die von Megatherium eingefügten Formeln sind ja auch nicht aus dem Artikel verschwunden, sie stehen (wie schon vorher) weiterhin unter "Beispiele", nur eben nicht unter "Definition".--Kamsa Hapnida (Diskussion) 09:22, 6. Apr. 2015 (CEST)

Ich widerspreche mal deutlich. Der Begriff Torus ist in den Natur- und Ingenieurwissenschaften absolut geläufig, und ich habe als Schüler das Objekt auch zuerst unter diesem Namen kennengelernt und erst später als topologische Konstruktion, die --- seien wir mal bitte ehrlich --- historisch deutlich jünger ist als das Backrezept für Bagels, Es ist befremdlich, dass man eigens unter Rotationstorus nachschauen muss, um sich über die üblicherweise gesuchten geometrischen Eigenschaften von Reifen und Donuts mit kreisförmigem Querschnitt kundig zu machen. Der gegenwärtige Artikel ist ein typisches Beispiel dafür, wie Mathematiker in der deutschen Wikipedia den lexikalischen Alltag und jegliche Historizität vergessen. --Stefan Neumeier (Diskussion) 06:32, 29. Apr. 2016 (CEST)

Und was schlägst Du konkret vor, um die Situation rund um den Torus zu verbessern?--Christian1985 (Disk) 15:50, 29. Apr. 2016 (CEST)

Siehe meine Bemerkung oben.--Ag2gaeh (Diskussion) 18:12, 29. Apr. 2016 (CEST)

@Kamsa Hapnida: Es ist nicht üblich, in der Natur vorkommende Tori (Schläuche, Reifen, Donuts) als Tori zu bezeichnen. Außerhalb der Mathematik kommt der Begriff nur in Zusammenhängen wie "Torus Games" vor... ?? Nein. Er kommt z. B. sehr prominent in der Fusionstechnologie vor. Da muss man dann verstehen, was mit toroidaler und poloidaler Richtung gemeint ist, schlägt also diesen Artikel hier nach und läuft in die hochabstrakte Mathematikerdarstellung, die in der deutschsprachigen WP leider üblich ist. Als ob es die Empfehlung WP:OMA nicht gäbe.. --UvM (Diskussion) 18:25, 29. Apr. 2016 (CEST)

+1: Ich sehe das immer noch (vgl. z. B. diese Diskussion) ebenso. Ein Vorschlag wäre, Rotationstorus auf Torus zu verschieben und Torus auf Torus (Topologie), ähnlich wie bei Kegel (Geometrie) und Kegel (Topologie). Das Computerspielargument halte ich für an den Haaren herbeigezogen: Da gibt es einmal das Entwicklerstudio en:Torus Games, bei dem es sich einfach nur um einen Firmennamen handelt und dessen Spiele weder mit geometrischen noch mit topologischen Tori zu tun haben, und dann die völlig irrelevante Handyspielsammlung [2], bei denen das Spielfeld zwar ein topologischer Torus ist, bei denen „Torus Games“ aber auch nur ein Produktname ist. -- HilberTraum (d, m) 21:30, 29. Apr. 2016 (CEST)

Ich finde es schon bemerkenswert, wie im nächsten Abschnitt (Einleitung) die Diskussionsbeiträge in diesem Abschnitt (Definition) ignoriert werden.--Ag2gaeh (Diskussion) 17:09, 24. Mai 2016 (CEST)

Man sollte zunächst den Vorschlag von HilberTraum aufgreifen und eine Verschiebung der Artikel (s.o.) vornehmen, bevor man weitere Feinarbeit durchführt. Da ich im Verschieben ungeübt bin, wäre es gut, wenn die Verschiebungen von einem Könner durchgeführt würden, vorausgesetzt es besteht darüber Konsens.--Ag2gaeh (Diskussion) 09:10, 25. Mai 2016 (CEST)

Also dann bitte mal Butter bei die Fische: wo kommt die Definition des Torus als Rotationstorus in Schulbüchern vor? Wo wird er in der ingenieurwissenschaftlichen Literatur prominent verwendet? (Mit Google finde ich einzelne Lehrbücher, wo er mal als Übungsaufgabe vorkommt.) Es ist sicher kein Zufall, dass der Artikel Rotationstorus bisher völlig ohne Literatur oder Belege dasteht. Und auch der englische Artikel en:Torus, der ja eigentlich mit dem Rotationstorus beginnt, verlinkt (soweit ich das jetzt schnell durchgeklickt habe) in seinen Literaturverweisen dann die allgemeinen Definitionen, Wenn im Ingenieurwesen tatsächlich Tori (als Rotationstori) eine wichtige Rolle spielen, dann wäre das natürlich schon ein Grund, die Organisation der Artikel neu zu überdenken. Aber bisher ist das hier noch nicht mit relevanter Literatur belegt worden.--Pugo (Diskussion) 09:38, 25. Mai 2016 (CEST)

Hier Butter aus meinem Regal: 1)Bronstein & Smendjaew (Formelsammlung), 2) Kleine Enzyklopädie Mathematik, 3) Meyberg & Vachenauer: Höhere Mathematik Teil 1, 4)Finckenstein &Lehn &Schellhaas& Wegman: Mathematik f. Ingenieure 1 , 5) Bartsch: Mathematische Formeln ... Unter "Torus" ist dort immer das geometrische Objekt Rotationstorus zu finden. --Ag2gaeh (Diskussion) 12:56, 25. Mai 2016 (CEST)

Ich habe eine Literaturliste in Rotationstorus eingefügt. Sie verweisen alle mit "Torus" auf das, was hier Rotationstorus genannt wird. --Ag2gaeh (Diskussion) 21:33, 25. Mai 2016 (CEST)

Ich habe jetzt noch vor der allgemeinen Definition einen Abschnitt mit Gleichungen und verschiedenen Koordinaten für den Rotationstorus eingefügt. Das ist jedenfalls mehr als in den meisten angegebenen Quellen steht ... --Pugo (Diskussion) 05:24, 26. Mai 2016 (CEST)

Ich bin immer noch der Meinung, dass der Anfang des Artikels Torus, so wie er ist, zu Topologie lastig ist und einen Ingenieur eher abschreckt. Der Torus ist für einen Ingenieur kein Objekt der Topologie, sondern eine Fläche. Frage zur Definition: Was meint Man erhält sie, indem man einen Kreis um eine Achse rotieren lässt, die außerhalb des Kreises gelegen ist und nicht senkrecht zur Kreisfläche steht. Heißt das, Tori können auch elliptischen Querschnitt haben ? was der Beschreibung unten widerspricht. Im englischen Artikel ist ein Torus zuerst ein geometrisches Objekt und dann erst ein topologisches. Wenn die Topologen hier sich damit nicht anfreunden können, sollte man, wie HilberTraum vorgeschlagen hat, Artikel Torus(Geometrie) und Torus(Topologie) erstellen. Einem reinen Mathematiker sollte es weniger Probleme bereiten, zuest mit dem geometischen Objekt konfrontiert zu werden als einem Nichtmathematiker die topologische Definition. Übrigens: in den Definitionen, die ich kenne, ist die Fläche Torus immer eine Rotationsfläche. Was soll also Rotationstorus ? Ein weißer Schimmel ?--Ag2gaeh (Diskussion) 07:23, 26. Mai 2016 (CEST)

Mit Geometrie vs. Topologie hat die Unterscheidung nichts zu tun, in Geometrie-Lehrbüchern steht die "topologische" Definition. Allenfalls könnte man zwischen Torus(Mathematik) und Torus(Ingenieurwesen) unterscheiden. Im übrigen beginnt der Artikel ja jetzt mit einer ausführlichen Darstellung des Rotationstorus (ausführlich als in den angegeben Quellen) und die topologische Definition kommt erst danach.--Pugo (Diskussion) 08:54, 26. Mai 2016 (CEST)

Dann ist also für dich Courant kein Mathematiker ? Und der Torus als Fläche gehört nicht zur Geometrie ? Ich werde mich an dieser Diskussion nicht mehr beteiligen. --Ag2gaeh (Diskussion) 09:14, 26. Mai 2016 (CEST)

In Bär, Elementare Differentialgeometrie wird der Torus als Rotationstorus definiert. Genauso bei do Carmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, hier und hier.

Wer macht sich die Mühe und zählt mal durch? https://www.google.com/search?tbm=bks&q=torus+geometrie#q=torus+geometrie&tbm=bks&start=50 --Pugo (Diskussion) 10:05, 26. Mai 2016 (CEST)

Ich bin auch der Meinung, dass ein Torus zunächst ein Rotationstorus ist, und alles andere eine Verallgemeinerung davon. --Digamma (Diskussion) 09:53, 26. Mai 2016 (CEST)

So ist es doch inzwischen im Artikel auch umgesetzt. Sowohl in der Einleitung als auch im Artikeltext kommt zuerst der Rotationstorus. (Und die Beschreibung dort ist ausführlicher als in den meisten Quellen.)--Pugo (Diskussion) 10:05, 26. Mai 2016 (CEST)

Der Topologe Elmar Vogt gibt eine Definition die – in Verbindung mit dem bereits vorhanden Bild – als WP:OMA-tauglich gelten muss: „Ein Torus ist die Oberfläche eines Schlauches.“ S. 345 in Elmar Vogt: Die Mathematik der Knoten. In: Martin Aigner, Ehrhard Behrends (Hrsg.): Alles Mathematik. Von Pythagoras zu Big Data. 4., erweiterte Auflage. Springer Spektrum, ISBN 978-3-658-09989-3, S. 327–351, doi:10.1007/978-3-658-09990-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche – – die verlinkte Version ist die 2. Auflage).  --GroupCohomologist (Diskussion) 13:04, 26. Mai 2016 (CEST)

Ag2gaeh erwähnte Courant. Dieser führt den Torus als Oberfläche eines aufgepumpten Fahrradschlauchs ein. Allerdings: Er verwendet „Torus“, wo ich „Volltorus“ sagen würde. Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik? S. 189 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche – Originaltitel: What is Mathematics? 1941. Übersetzt von Iris Runge).  --GroupCohomologist (Diskussion) 13:27, 26. Mai 2016 (CEST)

Ich bezog mich auf Courant's klassisches Lehrbuch über DI-Rechnung (s. Literatur in Rotationstorus).

Hier ein allerletztes Wort zu meiner Kritik an den beiden Artikeln Torus und Rotationstorus: In der klassischen Geometrie ist ein Torus (auch Ringfläche) eine Rotationsfläche. In der nicht so klassischen Topologie ist ein Torus ein allgemeineres Objekt und der klassische Torus nur ein Beispiel. Da die Topologen den Begriff "Torus" schon vergeben hatten, hat man den Begriff "Rotationstorus" für die Rotationsfläche (klassischer Torus) eingeführt. Diese zwei verschiedenen Definitionen sollten, wie im englischen Artikel, klar getrennt und behandelt werden. Dies kann man in einem Artikel tun oder eben in zwei (Torus (Geometrie), Torus(Topologie)). Den Begriff "Rotationstorus" braucht man in der klassischen Geometrie nicht, denn Torus beschreibt ja schon die gemeinte Rotationsfläche. In dem jetzigen Artikel wird so getan als gäbe es nur die topolosche Definition von Torus.

Übrigens: die im Artikel Torus gegebene erste Definition der Ringfläche ( Man erhält sie, indem man einen Kreis um eine Achse rotieren lässt, die außerhalb des Kreises gelegen ist und nicht senkrecht zur Kreisfläche steht.) ist ganz einfach falsch oder mindestens missverständlich. (s.o.).--Ag2gaeh (Diskussion) 14:55, 26. Mai 2016 (CEST)

Das Lexikon der Mathematik hat einen Artikel zum Torus, in dem zu Beginn der dreidimensionale Torus als Rotationskörper eingeführt wird. Dann wird noch gesagt, dass dieser auch in der Topologie von Interesse ist und es werden noch andere Verallgemeinerungen genannt und auf einen weiteren Artikel n-dimensionaler Torus verwiesen. Diese Aufteilung finde ich nicht verkehrt! --Christian1985 (Disk) 20:48, 26. Mai 2016 (CEST)

Was nun ? Bevor diese Diskussion fruchtlos im Archiv verschwindet, sollte man Nägel mit Köpfen machen. Es gibt meiner Meinung nach 3 Optionen:

(1) Die beiden Artikel umbenennen in Torus(Geometrie) und Torus(Topologie) oder

(2) den Artikel Rotationstorus wieder in Torus nach englischem Vorbild integrieren oder

(3) alles so lassen wie es ist (im Widerspruch zur vorherrschenden Literatur).

Ich bitte um Meinungen !--Ag2gaeh (Diskussion) 08:51, 29. Mai 2016 (CEST)

Ich sehe in der gegenwärtigen Form des Artikels keinen großen Handlungsbedarf mehr. Der Artikel beschreibt nicht nur das topologische Konzept des Torus, sonder fängt mit dem Rotationstorus an und verallgemeinert diesen Schritt für Schritt. Schon im zweiten Abstz der Einleitung wird beim Stichwort "Rotationstorus" (und später nochmal im Abschnitt "Rotationstorus") auf den Hauptartiekl Rotationstorus verwiesen. Dort werden die speziellen geometrischen Eigenschaften des Rotationstorus behandelt.

Wer auf diesen Artikel kommt, aber sich eigentlich nur für den Rotationstorus interessiert, wird also frühzeitig daraufhingewiesen, dass er besser im andern Artikel nachschaut. Gleichzeitig aber erfährt er auch, dass das Konzept des Torus allgemeiner ist. --Digamma (Diskussion) 09:24, 29. Mai 2016 (CEST)

Na prima ! Dann heißen Ringtorus, Spindeltorus und Horntorus nach Eurem Bezeichnungskonzept Ringrotationstorus, Spindelrotationstorus und Hornrotationstorus oder vielleicht Rotationsringtorus, ...? --Ag2gaeh (Diskussion) 09:30, 8. Jun. 2016 (CEST)

Der Spindeltorus und der Horntorus sind weder ein Torus noch ein Rotationstorus im Sinne der Definitionen. Sie benötigen eigenständige Artikel.--Pugo (Diskussion) 11:07, 8. Jun. 2016 (CEST)

Dann solltest Du den Text korrigieren und die Abhandlungen über den Spindeltorus im Artikel Rotationstorus in einen separaten Artikel verschieben. Übrigens im Artikel Rotationstorus fehlt immer noch eine Literaturliste über den ROTATIONStorus. Wenn der Begriff so etabliert ist, wie Du behauptest, sollte dies leicht möglich sein. In dem neuen Artikel über Villarceau-Kreise habe ich den in der Literaur üblichen Begriff Torus verwendet. Ich bin gespannt, ob Du dort Torus in Rotationstorus abänderst. Auch hier gäbe es einiges für Dich zum Ändern.--Ag2gaeh (Diskussion) 13:00, 8. Jun. 2016 (CEST)

Es kommt halt ganz auf die verwendete Definition an, also ob man wie im Artikel die Zusatzbedingung, dass die Rotationsachse den Kreis nicht schneidet, mit hinzunimmt oder nicht. Da müsste man mal genauer in der Literatur schauen, wie es üblicher ist. Ich hab jetzt mal nur in zwei Bücher geschaut. In Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik wird die Bedingung weggelassen und Horn- und Spindeltorus explizit als spezielle Tori erwähnt. Im Bronstein ist es aber so wie im Artikel: Die Rotationsachse liegt außerhalb des Kreises. Das zeigt zumindest mal, dass beide Definitionen vorkommen. -- HilberTraum (d, m) 14:35, 8. Jun. 2016 (CEST)

Literaturrecherche

Versuch einer Versachlichung der Diskussion: als Maßstab sollte wohl die Verwendung eines Begriffs in der Literatur dienen und wenn es wie oben dargestellt unterschiedliche Verwendungen selbst in der Lehrbuchliteratur gibt hilft nur noch Zählen und ggf. Gewichten nach der Verbreitung von Lehrbüchern. Die verbreitetste Lehrbuchreihe zur Mathematik sind sicherlich die "Graduate Texts in Mathematics", die dort erscheinenden Lehrbücher gelten als Klassiker und stehen in allen Uni-Bibliotheken. Ich habe mir jetzt mal die Mühe gemacht, zu den in meiner Bibliothek stehenden Büchern der Graduate Texts in Mathematics-Reihe nachzuschauen, welche Definition von Torus sie verwenden. (Ich habe alle angeschaut, bei denen man aufgrund des Themas annehmen könnte, dass der Torus im Literaturverzeichnis vorkommt. Es ist natürlich möglich und vielleicht sogar wahrscheinlich, dass ich dabei etwas übersehen habe. Das Ergebnis ist aber so eindeutig, dass es darauf vielleicht nicht mehr ankommt.) Mir ist natürlich auch klar, dass es durchaus Bücher zur elementaren Differentialgeometrie von Kurven und Flächen gibt, wo der Torus als Rotationstorus definiert wird, und dass das auch in Ingenieurwissenschaften so gehandhabt wird. (Wobei, was ich jetzt auf die Schnelle gegoogelt habe, der Torus dort in der Lehrbuchliteratur eher mal als Ubungsaufgabe denn als Teil des Lehrbuchtextes vorkommt.) Jedenfalls in den "Graduate Texts of Mathematics" sieht das Ergebnis so aus:

Lehrbücher, in denen die allgemeine Definition des Torus oder eine Variante davon vorkommt:

Grafakos: Classical Fourier Analysis

Bremaud: Fourier Analysis and stochastic processes

Broecker-tom Dieck: Representations of compact Lie groups

Varadarajan: Lie groups, Lie algebras and their representations

Sepanski: Compact Lie groups

Duistermaat-Kolk: Lie groups

Bump: Lie groups

Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups

Olver: Applications of Lie groups to differential equations

Arnold: Mathematical methods of classical mechanics

Farkas-Kra: Riemann surfaces

Forster: Lectures on Riemann surfaces

Berenstein-Gay: Complex variables

Fritzsche-Grauert: From holomorphic functions to complex variables

Borel: Linear algebraic groups

Koblitz: Introduction to elliptic curves and modular forms

Silverman: Arithmetic of elliptic curves

Fulton: Algebraic topology

Rotman: An introduction to algebraic topology

Massey: A basic course in algebraic topology

Vick: Homology theory

Bott-Tu: Differential forms in algebraic topology

Bredon: Topology and geometry

Stillwell: Classical topology and combinatorial group theory

Lee: Introduction to smooth manifolds

Gruenbaum: Convex polytopes

Matousek: Lectures on discrete geometry

Dubrovin-Novikov-Fomenko: Modern geometry

Petersen: Riemannian geometry

Berger-Gostiaux: Differential geometry: manifolds, curves and surfaces

Lehrbücher, in denen der Torus nur als Rotationstorus definiert wird:

keines

--Pugo (Diskussion) 20:58, 8. Jun. 2016 (CEST)

Wieso schreibst du dann „keines“? Sind Lehrbücher zur elementaren Differentialgeometrie oder Ingenieurwissenschaften denn keine Lehrbücher? Das verstehe ich nicht. In der obigen Diskussion inklusive Verlinkungen sind doch schon zahlreiche Definitionen genannt. Hast du diese Beiträge denn gar nicht gelesen? Zum Beispiel im Beitrag von Ag2gaeh, 12:56, 25. Mai 2016 oder heute(!) von mir das Lehrbuch von Georg Glaeser. Außerdem sind deine Beispiele alle englischsprachig, es geht aber doch hier um die übliche Verwendung der Bezeichnung „Torus“ im deutschen Sprachgebrauch. Verwirrte Grüße -- HilberTraum (d, m) 21:41, 8. Jun. 2016 (CEST)

Wie gesagt, ich habe nur die Lehrbücher aus der "Graduate Texts in Mathematics"-Reihe durchgeschaut. Natürlich gibt es noch andere Lehrbuchreihen, das hatte ich doch aber vorab auch gesagt. Ich wollte halt einen vollständigen Überblick über eine einzelne Lehrbuchreihe, damit man einenVergleich hat und nicht einfach nur willkürlich ausgewählte Einzelbeispiele als Argument ins Feld geführt werden. Es gibt natürlich noch andere Lehrbuchreihen, z.B. "universitext" oder auch deutsche Lehrbücher und vielleicht wird das Ergebnis dort nicht ganz so extrem ausfallen. Aber jedenfalls belegt die obige Liste doch, dass die im Artikel verwendete allgemeine Torus-Definition nicht auf ein einzelnes Gebiet der Mathematik beschränkt ist, sondern sich in Lehrbüchern aus allen Gebieten findet, auch in eher anwendungs-orientierten.--Pugo (Diskussion) 21:59, 8. Jun. 2016 (CEST)

Es dreht sich doch nicht um die Verbreitung der Definition im geometrischen/topologischen Sinn, sondern die Benennung im Fall der Fläche. Entsprechend müsste man hier deutschsprachige Lehrbücher der (elementaren) Geometrie/Differentialgeometrie durchgehen um einen Vergleich zu haben. Im älteren, aber klassischen Lehrbuch von Coxeter (Unvergängliche Geometrie) heisst es nur Torus (gemeint ist da meist der Rotationstorus). Im neueren Buch von Agricola, Friedrich, Elementargeometrie ist explizit von Rotationstorus die Rede, ebenso im englischen Audin Geometry, 2002, (Torus of revolution), genauso häufig findet man aber auch neuere Bücher, in denen einfach Torus geschrieben wird (für die Fläche), zum Beispiel Bär, Elementare Differentialgeometrie, De Gruyter 2010, S. 185. Wie sieht es denn mit Schulbüchern aus ? --Claude J (Diskussion) 07:47, 9. Jun. 2016 (CEST)

Ich bezweifle, dass der Torus in Schulbüchern vorkommt, lasse mich aber natürlich gerne eines besseren belehren.

Die oben aufgeführten Uni-Lehrbücher sind jedenfalls nicht nur aus Geometrie und Topologie, sondern auch aus Gebieten wie Fourier-Analysis, Differentialgleichungen, Funktionentheorie und Elliptische Kurven.

Und, wie schon mehrfach gesagt, wir (ich) haben den Artikel ja inzwischen so umgeschrieben, dass die rotationssymmetrische Variante im Artikeltext und auch in der Einleitung am Anfang steht, und dort auch die für Ingenieure relevanten Koordinaten vorkommen. Die speziellen Formeln zum Außenvolumen eines Spindeltorus, Tragheitsmoment eines Volltorus etc. sind aber mMn im Spezialartikel Rotationstorus besser aufgehoben (bzw. sollten in weitere Spezialartikel wie Spindeltorus ausgelagert werden) und müssen nicht im Artikel Torus, der ja eher ein Uberblicksartikel zu verschiedenen Arten von Tori ist, erscheinen.--Pugo (Diskussion) 08:10, 9. Jun. 2016 (CEST)

Beispiele von deutscher Literatur über den TORUS als Fläche:

• Bronstein & Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch Verlag (1983), ISBN 3871444928, S. 253.
• R. Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 2, Springer-Verlag, 1963, S. 145, 244.
• A. Hoffmann & B. Marx & W. Vogt: Mathematik für Ingenieure 2, Pearson Studium (2006), ISBN 978-3-8273-7114-0, S. 83.
• K. Meyberg & P. Vachenauer: Höhere Mathematik 1, Springer Lehrbuch (1995), ISBN 3-540-59188-5, S. 205, 471.
• Kleine Enzyklopädie Mathematik, Verlag Harri Deutsch (1977), ISBN 3871443239, S. 218.
• Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S.202,209.
• C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S.123,129.
• Georg Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, Springer-Verlag,(2014),ISBN 9783642418525, S. 216.
  

--Ag2gaeh (Diskussion) 10:34, 9. Jun. 2016 (CEST)

Wie gesagt, ich hatte einen vollständigen Überblick über eine einzelne Lehrbuchreihe versucht, damit man einen Vergleich hat und nicht einfach nur willkürlich ausgewählte Einzelbeispiele als Argument ins Feld geführt werden. Das von mir gewählte Beispiel "Graduate Texts of Mathematics" mag insofern untypisch sein, dass die Reihe sich explizit an "graduate students" ausschließlich in Mathematik richtet. Die Bezeichnung des Rotationstorus als Torus kommt in der Lehrbuchliteratur zweifellos vor, aber sie ist jedenfalls nicht die überwiegende oder gar ausschließliche Verwendung des Wortes "Torus".--Pugo (Diskussion) 15:50, 9. Jun. 2016 (CEST)

Ag2gaeh: Als Ergänzung zu meinem letzten Beitrag auf Portal Diskussion:Mathematik: Ich habe gerade das Buch Marcel Berger, Geometry I (Universitext), Springer Verlag vorliegen. Die Bezeichnung "Torus" kommt dort an verschiedenen Stellen vor, u.a.:

• Abschnitt 1.7.7.4 (S. 22, es geht um "Tilings and crystallographic groups"): "... which has as quotient the two-torus $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ ..."
• 10.12.1: "Let T be a torus, that is, the surface of revolution created when a circle rotates around al line disjoint from and coplanar with it."

Die benutzte Definition hängt also sehr stark vom Kontext ab. Im Buch "Geometry Revealed: A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry" kommt laut Google-Vorschau an 10 Stellen die Bezeichnung "torus of revolution" vor. --Digamma (Diskussion) 16:36, 9. Jun. 2016 (CEST)