Diskussion:Totales Differential

Hallo, Menschen vom anderen Stern;) Es wäre toll, wenn das Thema anschaulich erklärt würde, dann die Bildung erläutert (evt mit einfachem Beispiel) und dann das ausführliche für Mathematiker folgt. Ich wollte mich nur noch mal schnell belesen, wie es gebildet wird und wozu es gut ist und sehe kaum durch. Hatte zwar Mathe LK, wir haben aber wenig mit Fachbegriffen wie Mannigfaltigkeit ect gearbeitet und ich will für das Verständnis der Seite nicht erst nochmal 3 Bücher lesen müssen. Das wäre toll, wenn ihr das anschaulich und in mehreren Worten(!) ohne zuviele Fachbegriffe (es geht, man schaue sich englische Fachliteratur an;) erklären könntet. Cheers,

Cassandra

Einleitung

Am Ende der Einleitung zu diesem Artikel ist wohl etwas durcheinander geraten. Zitat: "Mit dieser Bedeutung wird das (totale) Differential auch totale Ableitung genannt. Mit dieser Bedeutung lässt sich der Begriff auch auf Abbildungen mit Werten im \R^n, in einem andern Vektorraum oder in einer Mannigfaltigkeit verallgemeinern." Das ist Sprachlich nicht gerade schön (Wiederholung von `Mit dieser Bedeutung'). Grammatikalisch mag es vielleicht noch richtig sein, aber semantisch ist es einfach nur Quark. Den zweiten Satz könnte man vielleicht durch `Durch die Auffassung von \dx als 1-Form lässt sich dieser Begriff auf natürliche Weise auf beliebige Vektorräume verallgemeinern. (nicht signierter Beitrag von 178.8.168.96 (Diskussion) 16:21, 30. Okt. 2013 (CET))

Ja, sprachlich ist das schlecht. Aber es ist ja schon so, dass der Begriff auf allgemeinere Abbildungen (zwischen Vektorräumen) verallgemeinert wird, und nicht "auf beliebige Vektorräume". -- HilberTraum (Diskussion) 20:27, 31. Okt. 2013 (CET)

Hier muss ich doch etwas schmunzeln, wenn ich "am Ende" lese.

Ich dachte hier wird etwas definiert und präzisiert!

Der Anfänger liest: "Das totale Differential (auch vollständiges Differential) ist ein Begriff aus der Differentialrechnung und bezeichnet das Differential einer Funktion, insbesondere bei Funktionen mehrerer Variablen. Zu einer gegebenen total differenzierbaren Funktion f\colon M\to \mathbb R bezeichnet man mit {\rm d}f das totale Differential, zum Beispiel:"

und geht wieder nach hause. Dieser Satz ist leer! Inhaltslos! Merkt ihr noch etwas? Guter Spruch meines Hablitationsvaters: "Wo haben Sie Mathematik gehört? ... Dann haben Sie keine Mathematik gehört!"

Was ist also ein totales Differential? Präzise Definition bitte! und nicht nur Zeichen, also Buchstaben auf weißem Grund. (nicht signierter Beitrag von 77.8.255.147 (Diskussion) 17:18, 2. Jun. 2015 (CEST))

Der Satz lässt sich sicher verbessern. Es ist aber nicht die Aufgabe der Einleitung (erst Recht nicht des ersten Satzes), eine präzise Definition zu liefern, sondern einen Überblick zu geben. Eine präzise Definition folgt in dem entsprechenden Abschnitt. --Digamma (Diskussion) 18:17, 2. Jun. 2015 (CEST)

Unterschied zur partiellen differation

Könntet ihr den unterschied zur partiellen differentation, bzw zur Richtungsableitung angeben? weniger in der Definition, sondern bezogen auf die Anwendung?

Es wäre auch interessant zu erfahren, was der Nutzen des Totalen Differentials ist :-) Das kommt bisher noch nicht vor! --83.135.194.57 21:57, 20. Jul 2006 (CEST)

Hallo Cassandra,

das Totale Differential beschreibt nun mal die lokale Linearisierung einer Funktion, die auf einem mehrdimensionalen Raum definiert ist. Daher ist das einfachste Beispiel der $\mathbb {R} ^{n}$. Falls Du an einer einfachen, anschaulichen Einführung interessiert bist, solltest Du Dir den Artikel zum Gradienten oder zur Jacobi-Matrix ansehen. Dort wird auch anhand vieler Worte alles detailiert beschrieben, was in diesem Artikel noch einmal kurz und prägnant zusammengefasst wurde. Der "Nutzen" des Totalen Differentials ist nun mal sehr theoretischer Natur und wird z.B. im Zusammenhang mit Differentialformen betrachtet oder zur Definition des Kotangentialbündels auf Mannigfaltigkeiten benutzt.

--V4len 14:28, 23. Nov. 2006 (CET)

Ich kenne auf jeden Fall eine ganz konkrete Anwendung in der Fluidmechanik. Vielleicht komme ich in der nächsten Zeit mal dazu darüber was zu schreiben. --Flindner 19:04, 23. Apr. 2008 (CEST)

Ok, ich habe mal einen ersten Entwurf zur Anwendung geschrieben und stelle ihn zur Dikussion:

Anwendung findet das totale Differential z.B. in der Fluidmechanik. Sei $T(t,{\vec {x}})$ eine Temperatur zum Zeitpunkt $t$ am Ort ${\vec {x}}$. Interessiert nun die Änderung der Temperatur eines Teilchens zum Zeitpunkt $t$ am Ort ${\vec {x}}$ so genügt nicht die Ableitung der Temperatur ${\frac {\partial T}{\partial t}}$ zu betrachten, da das Teilchen nicht nur eine Temperaturänderung sondern auch eine Änderung des Ortes, die sog. konvektive Änderung erfährt. Die Änderung der Temperatur des Teilchen lässt sich nun durch das totale Differential darstellen:

${\rm {d}}T={\frac {\partial T}{\partial t}}\,{d}t+{\frac {\partial T}{\partial x_{1}}}\,{d}x_{1}+{\frac {\partial T}{\partial x_{2}}}\,{d}x_{2}+{\frac {\partial T}{\partial x_{3}}}\,{d}x_{3}$

--Flindner 20:22, 4. Jul. 2008 (CEST)

Da kein Einwand kam habe ich es mal in den Artikel reingestellt. --Flindner 19:44, 22. Jul. 2008 (CEST)

Ich fand das so noch nicht verständlich. Es fehlt wie man konkret damit arbeitet. Ich habe es durch ein ähnliches Beispiel aus der Mechanik ersetzt. -- Digamma 22:59, 1. Jun. 2010 (CEST)

Hallo Leute,

am besten ist es eigentlich, wenn man das totale Differential geometrisch deutet. Hier ist mal die totale Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit dargestellt. Da sieht man warum partielle und totale Ableitung nciht übereinstimmen. Ich hoffe ihr könnt es in den Beitrag integrieren oder ein analoges Bild für den "einfachen Fall" f(x,y) erstellen, da ich dieses mit Paint gemacht habe.

http://www.abload.de/img/totalesdifferential7gys.png

Mit der Ableitung der Geschwindigkeit ist das totale Differential am verständlichsten.

Gruß Mo (nicht signierter Beitrag von 79.219.249.224 (Diskussion) 13:28, 9. Aug. 2010 (CEST))

Ehrlich gesagt verstehe ich das Bild nicht. Um welche Funktion geht es denn? Von welchen Variablen hängt sie ab? Die Geschwindigkeit ist doch normalerweise nur eine Funktion von der Zeit. Oder betrachtest Du ein Geschwindigkeitsfeld bei einer Strömung? -- Digamma 21:41, 9. Aug. 2010 (CEST)

Ich hab das Bild mal verbessert ( http://www.abload.de/img/totalesdifferentiald8nm.png ). Es ist ein infinitesimales Element der Funktion v(t,s), wir können auch f(x,y) nehmen. Die Dreiecke sind Steigungsdreiecke. Ich habe die totale Ableitung dv/dt eingezeichnet. dv/dt ist die Addition von dv/dt und dv/ds*ds/dt.

Das blaue Dreieck ist die totale Ableitung.

Das rote und gelbe sind Steigungen in ds und dt Richtung (partielle Ableitungen). Man sieht, dass dv die Addition der partiellen Ableitungen multipliziert mit der infinitesimalen Bewegung in dt und ds ist. Im zweidimensionalen würde man dazu einfach: dy=m*dx sagen, wobei in unserem Fall m die partielle Ableitung ist.

Ich kann es nicht so schön erklären. Aber wenn man es einmal nachvollzogen hat, wird man sehen, dass sich die totale Ableitung geometrisch interpretieren lässt. -- Mo (nicht signierter Beitrag von 79.219.243.26 (Diskussion) 04:46, 10. Aug. 2010 (CEST))

Hier auch nochmal, zum Verständnis: http://www.abload.de/img/totalesdiffverstmsl9.png . Ich wette, ihr bekommt ein besseres Bild auf die Reihe. Ich hoffe wir sehen paar Bilder in diesem Artikel, da dieser doch sehr trocken ist. Für viele Anwender ist nämlich nur das 3-dim totale Differential notwendig und ein Bild sollte helfen, es zu verstehen. -- Mo (nicht signierter Beitrag von 79.219.243.26 (Diskussion) 06:50, 10. Aug. 2010 (CEST))

Natürlich könnte ein Bild helfen. Nur verstehe ich nicht, was eine Funktion v(s,t) sein soll. Wenn es um die Geschwindigkeit geht: Die hängt als Ableitung des Orts in der Regel nur von einer Variablen ab, der Zeit.

Eine Bitte: Bitte unterschreibe Deine Beiträge mit -- ~~~~ . Danke -- Digamma 10:31, 10. Aug. 2010 (CEST)

Eine Funktion v(s,t) könnte alles mögliche sein. Du hattest vorhin was von Strömungen erwähnt: Bsp. ein Rohr: An der Stelle s0 hat man zum Zeitpunkt t0 ein bestimmtest v. An einer anderen Stelle s1 hat man zum gleichen Zeitpunkt eine andere Geschwindigkeit. So sieht man, dass v abhängig vom Ort und von der Zeit ist. Mir wäre es aber lieber, dass man das Bild allgemein macht mit f(x,y) und die totale Ableitung df/dx darstellt. (Erst jetzt sehe ich die Richtlinien, danke für den Hinweis.) -- Mo (nicht signierter Beitrag von 79.219.243.26 (Diskussion) 13:27, 10. Aug. 2010 (CEST))

Ich habe den Eindruck, dass Du zwei verschiedene Versionen des totalen Differentials durcheinanderbringst:

1. f hängt von zwei unabhängigen Variablen x und y ab. (z.B. die Temperaturverteilung in einer Ebene). Für das Differential von f erhält man

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy$

Das ist deine letzte Version.

Manchmal hängen x und y dabei von der Zeit t ab: x = x(t), y = y(t). In diesem Fall erhält man für das totale Differential

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}dt+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}dt$

2. f hängt zunächst von x und t ab, aber x hängt wieder von t ab. Das ist Deine erste Version (mit s statt x). In diesem Fall erhält man für das totale Differential:

$df={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}dt$

Zu den Bildern: Google mal nach Bildern zum totalen Differential. Es gibt da schon einiges im Netz, was man aus Urhebergründen nicht übernehmen kann, wovon man sich aber inspirieren lassen kann. Ich denke z.B. an http://www.download.tu-darmstadt.de/wi/vwl7/lehre/grundstudium/Skript/22%20-%20AnhangA.pdf die Bilder auf der zweiten und dritten Seite (S. 105/106).

Wichtig wäre mir, dass nicht nur die lineare Approximation zu sehen ist, wie in Deinen Bildern, sondern auch der Funktionsgraph der ursprünglichen Funktion.

(Zum Unterschreiben: Bitte unterschreibe mit 4 Tilden, dann setzt der Server automatisch Deine IP-Adresse und Datum und Uhrzeit ein.) -- Digamma 16:08, 10. Aug. 2010 (CEST)

Ich hatte oben die "totale Ableitung" nach der Zeit dargestellt: ${\frac {dv}{dt}}=\left({\frac {\partial v}{\partial t}}\right)_{s}+\left({\frac {\partial v}{\partial s}}\right)_{t}\cdot {\frac {ds}{dt}}$. Du hast glaub ich das $dt$ übersehen. Da ich nun die Latex-Funktion gefunden habe, kann ich nun vernünftig darstellen, was ich meine. :) Natürlich reicht es auch, wenn wir nur das "totale Differential" darstellen. Allerdings sieht man dabei nicht den Unterschied zwischen totaler und partieller Ableitung. Das würde dann ungefähr so aussehen. ( http://www.abload.de/img/totalesdifferentialmit84hg.png ). Das Bild aus dem TU-Darmstadt-Skript ist leider nicht übersichtlich genug. Ich finde auch in vielen Lehrbüchern nichts vernünftiges. (Bearbeite das erste mal einen Beitrag im Wiki, daher bin ich nicht vertraut mit den Funktionen.) -- Mo 79.219.243.26 00:02, 11. Aug. 2010 (CEST)

Ich habe jetzt den Bogen in Paint heraus :) Und stelle nun ein verbessertes Bild der letzten Version zur Verfügung: http://www.abload.de/img/totalesdifferentialver3p8w.png

Habe eben das Bild eingebaut. -- Mo aka MuhammetC 00:27, 12. Aug. 2010 (CEST)

Integrabilitätsbedingung

ich wollte lediglich die bedingung für die existenz eines totalen differenzials hinzufügen... wobei ich nun nach mehrmaligem herumgehampel und gelösche von dir dieses aufgeben werde siehe : nolting -->grundkurs theoretische physik band 4 : relativitätstheorie & thermodynamik seite 145 mitte bitte evtl um rückmeldung (nicht signierter Beitrag von 128.176.76.104 (Diskussion) 19:15, 8. Mai 2006)

Gegenbeispiel: ${\frac {x\,\mathrm {d} y-y\,\mathrm {d} x}{x^{2}+y^{2}}}$--Gunther 19:14, 8. Mai 2006 (CEST)

wieso gibst du mir da ein gegenbeispiel an ??? SINN ??????? ich verweise auf ein LEHRBUCH FÜR PHYSIKER und du gibst mir da ein gegenbeispiel an ?? ich habe es nur nicht mehr geschafft, die formel richtig aufzuschreiben da ich tatsächlich nicht ganz mit diesem formelgehampel klarkomme ... wäre aber gut wenn du es dort noch hinzufügen könntest.. ich frage mich echt ob du dich damit auskennst ?? da du anscheinend zu komplett jedem thema hintergrundwissen hast. (nicht signierter Beitrag von 128.176.76.104 (Diskussion) )

Keine Ahnung, ob das in dem Buch falsch steht, oder ob Du das nur unvollständig und damit falsch abgeschrieben hast. Im Prinzip ist Deine Formel ja auch richtig, lokal genügt die Integrabilitätsbedingung $\mathrm {d} \omega =0$ (oder $\partial _{i}a_{j}=\partial _{j}a_{i}$ für $\omega =\sum a_{i}\,\mathrm {d} x_{i}$). Es kann aber globale Hindernisse geben ($H^{1}$, de-Rham-Kohomologie), und das äußert sich in dem obigen Beispiel. (Dass die obige Differentialform keine "Stammfunktion" besitzt, folgt beispielsweise daraus, dass ihr Integral über den Einheitskreis nicht verschwindet.)--Gunther 23:05, 8. Mai 2006 (CEST)

Trotzdem sollte man auf den Zusammenhang hinweisen, dass $dA=0$, falls $A=df$ ist. Die Äquivalenz gilt natürlich nur für Räume mit trivialer Kohomologie $H^{1}$, z.B. einfach zusammenhängender Räume. Übrigens, kennt jemand einen einfachen Raum $X$mit nicht-trivialer Fundamentalgruppe $\pi _{1}(X)$ aber trivialer Homologie $H_{1}(X)$? --V4len 07:13, 21. Jun 2006 (CEST)

Generell gilt $H^{1}(X,\mathbb {R} )=\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {R} )$, also verschwindet die Kohomologie z.B. für endliche Fundamentalgruppen wie bei $\mathbb {R} P^{n}$ für $n\geq 2$ oder $\mathrm {S} O(n)$ für $n\geq 3$. Für die Homologie $H_{1}(X,\mathbb {Z} )=\pi _{1}(X)^{\mathrm {ab} }$ wird es schwieriger, da fällt mir spontan nur die Möglichkeit ein, zu einer Gruppe $G$ mit trivialer Abelisierung (z.B. einer einfachen Gruppe) den klassifizierenden Raum $BG$ zu nehmen, aber ein wirklich einfaches Beispiel ist das natürlich nicht.--Gunther 09:20, 21. Jun 2006 (CEST)

Hatte vergessen, dass wir ja "nur" die de-Rham-Kohomologie betrachten. In diesem Fall gilt also $dA=0\Leftrightarrow A=df$ genau dann, wenn der Raum $X$, auf dem die Formen definiert sind, zusammenhängend und einfach zusammenhängend ist. Ich werde diesen Zusammenhang demnächst in den Artikel integrieren. --V4len 10:23, 21. Jun 2006 (CEST)

Woraus liest Du das? Ich kenne mich mit den genauen Voraussetzungen für de Rham nicht so aus, aber im Fall von 1-Formen ist Geschlossenheit doch lokale Wegunabhängigkeit für Integrale, also definiert die Integration einer Form einen Homomorphismus $\pi _{1}(X)\to \mathbb {R}$. Wenn er trivial ist, ist das Integral global wegunabhängig und definiert eine Stammfunktion. Oder nicht?--Gunther 11:17, 21. Jun 2006 (CEST)

Die Kohomologiegruppe ist doch gerade $H^{k}={\frac {\operatorname {Kern} (d_{k})}{\operatorname {Bild} (d_{k-1})}}$, wobei $d_{k}:\Lambda ^{k}(X)\to \Lambda ^{k+1}(X)$ der Differentialoperator auf dem Raum der $k$-Formen ist. Da die Kohomologiegruppe bzgl. eines Körpers -- nämlich $\mathbb {R}$ -- betrachtet wird, ist $H^{k}\approx \operatorname {Hom} (H_{k}(X),\mathbb {R} )$. Wir erhalten also folgende Zusammenhänge

$H_{k}(X)=0\Leftrightarrow 0=\operatorname {Hom} (H_{k}(X))\approx H^{k}\Leftrightarrow \operatorname {Bild} (d_{k-1})=\operatorname {Kern} (d_{k})$

Somit ergibt sich für $k=1$ die Äquivalenz $dA=0\Leftrightarrow A=df$ genau dann, wenn $0=H_{1}(X,\mathbb {R} )=H_{1}(X,\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {R} =\left(\pi _{1}(X)^{\operatorname {ab} }\right)\otimes \mathbb {R}$. Insbesondere gilt das für einfach zusammenhängende Räume $X$. --V4len 15:16, 21. Jun 2006 (CEST)

Du schriebst: "[…] genau dann, wenn der Raum […] einfach zusammenhängend ist."--Gunther 15:29, 21. Jun 2006 (CEST)

Das hatte ich falsch formuliert. Die Äquivalenz $dA=0\Leftrightarrow A=df$ gilt, falls $X$ zusammenhängend und einfach zusammenhängend ist. --V4len 21:35, 21. Jun 2006 (CEST)

Das schon, kein Einwand.--Gunther 12:06, 22. Jun 2006 (CEST)

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Mein Gott, da hättet ihr aber auch mal ein Beispiel integrieren können.. 85.180.131.182 13:45, 23. Jul 2006 (CEST)

"Integrabitlitätsbedingung"

Der Begriff wird völlig unklar gebraucht. Handelt es sich um eine Bedingung an die Definitionsmenge (z.B. einfach zusammenhängend genügt) oder um eine Bedingung an die Differentialform A? --Digamma 19:56, 25. Feb. 2007 (CET)

Ich gebe zu, dass der Zusammenhang nicht ganz einfach ist. Die Integrabilitäsbedingung bezieht sich auf die Differentialform. Diese Bedingung gilt aber nur, falls die Definitionsmenge eine bestimmte Eigenschaft hat. Sei also $\omega$ definiert durch

$\omega :={\frac {x\operatorname {dy} -y\operatorname {dx} }{x^{2}+y^{2}}}$

Dann ist $d\omega =0$. Allerdings gibt es keine Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R}$ mit $df=\omega$. Das liegt daran, dass $H^{1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}=\mathbb {R} \neq 0$.

Ich hoffe, dass ich Dir damit helfen konnte.--V4len 01:45, 26. Feb. 2007 (CET)

Nicht wirklich. Denn mein Anliegen ist nicht, dass ich das nicht verstehen würde - ich kenne mich da ganz gut aus -, sondern dass die Formulierung unklar ist.

Deine ursprüngliche Formulierung war übrigens klarer. --Digamma 18:34, 26. Feb. 2007 (CET)

Das ist natürlich praktisch, dass Du Dich darin gut auskennst. Vielleicht kannst dann direkt eine einfachere Formulierung vorschlagen. --V4len 19:43, 27. Feb. 2007 (CET)

Ich habe das mal korrigiert. Die "Integrabilitätsbedingung" ist nämlich eine Bedingung an die Differenzialform (nämlich dass dA = 0, anders ausgedrückt durch die Bedingung an die partiellen Ableitungen). Das ist die rechte Seite der Äquivalenz A = df gdw. dA = 0. Sie ist keine Bedingung an die Mannigfaltigkeit (was nicht heißt, dass man für die Existenz von f keine Bedingung an die Mannigfaltigkeit stellen muss, aber diese heißt eben nicht "Integrabilitätsbedingung").

Das soll nicht heißen, dass ich mit meiner Formulierung zufrieden wäre. Vielleicht überarbeite ich das später noch. Aber zumindest ist es jetzt richtiger und ein bisschen klarer. --Digamma 21:02, 1. Mär. 2007 (CET)

implizit/explizit

die einleitung ist noch nicht so prickelnd. ausser dem fehlen der praktischen anwendung (s.o.) finde ich die unterscheidung in der darstellung von skalar und vektor als unabh. variablen nicht gelungen (wie waere es mit etwas deutlicheren hinweisen wie dem pfeil ueber dem vektor, oder der fettschreibung?). zuguterletzt ist zumindest einem mathematisch halbgebildeten wir mir nicht klar, worauf die explizite und die implizite abhaengigkeit anspielen. implizite Funktion? -- kakau 08:56, 13. Jun. 2008 (CEST)

Zusammenhang mit dem Satz über implizite Funktionen?

Hi,

Physiker benutzen die Differentialschreibweise ja ständig (vor allem in der Thermodynamik), um irgendwelche Relationen zwischen Variablen zu zeigen. Dort ist die Schreibweise für eine Funktion $f(x,y)$ dann $\mathrm {d} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y}\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}\mathrm {d} y$, wobei das Subskript immer kennzeichnet, welche Größe konstant gehalten wird. Ich mach mal kurz ein Beispiel, damit klar wird, was ich meine. Um die Relation $\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)_{f}=-{\frac {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y}}{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}}}$ zu zeigen, wird in obiger Gleichung $\mathrm {d} f=0$ gesetzt und anschließend nach ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ aufgelöst, wobei sich die totale Ableitung $\mathrm {d}$ sich in eine partielle Ableitung transformiert, da man ja $\mathrm {d} f=0$ gesetzt hat. Dies wird dann noch mit einem entsprechenden Subskript gekennzeichnet.

Soweit ich das verstehe, ist der tiefere mathematische Hintergrund ja der Satz über implizite Funktionen. Wegen $f=f(x,y)\Leftrightarrow f-f(x,y)=0$, definiert man die Funktion $F(x,y,f)=f(x,y)-f$. Unter der Voraussetzung stetiger Differenzierbarkeit von $F$ und ${\frac {\partial F}{\partial y}}={\frac {\partial f}{\partial y}}\neq 0$ liefert der Satz ja dann mit ${\vec {x}}=(x,f)^{T}$ die lokale Auflösbarkeit nach $y({\vec {x}})$ mit $(Dy)({\vec {x}})=-\left[(D_{y}F)({\vec {x}},y({\vec {x}}))\right]^{-1}\left[(D_{x}F)({\vec {x}},y({\vec {x}})\right]$, was für die Ableitung ${\frac {\partial y}{\partial x}}$ genau das obige Ergebnis liefert.

Mir ist bisher kein Fall aufgefallen, wo die "naive" Rechnung wie oben schiefgeht. Weiß jemand was genaueres dazu, warum diese Rechenregel im Umgang mit Differentialen zum richtigen Ergebnis führt? Auch allgemein fände ich glaube ich einen Hinweis zum tieferen mathematischen Zusammenhang ganz gut.

--Jaschau 14:59, 29. Apr. 2009 (CEST)

Versuch einer Antwort:

df, dx und dy sind Vektoren im Vektorraum der Differentiale.

$\mathrm {d} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y}\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}\mathrm {d} y$

besagt, dass df eine Linearkombination von dx und dy ist, die partiellen Ableitungen sind die Koeffizienten. Was Du suchst, ist eine Darstellung von dy als Linearkombination von dx und df:

$\mathrm {d} y=\left({\frac {\partial y}{\partial f}}\right)_{x}\mathrm {d} f+\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)_{f}\mathrm {d} x$.

Dazu löst Du die Ausgangsleichung einfach nach dy auf und vergleichst die Koeffizienten:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}\mathrm {d} y&=\mathrm {d} f-\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y&={\frac {1}{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}}}\mathrm {d} f-{\frac {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y}}{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}}}\mathrm {d} x\end{aligned}}$

Koeffizientenvergleich liefert die Lösung. Für das Verständnis ist hier wichtig, dass nicht nur f, sondern auch x und y als Funktionen aufgefasst werden, als Funktionen, die einem "Zustand" die x- bzw. die y-Koordinate zuordnen. Auch f ist eine Funktion, die auf der Menge der "Zustände" gegeben ist. Die Schreibweise "f=f(x,y)" drückt dann nur aus, dass die Werte von f eindeutig durch die Werte von x und y bestimmt sind. (Das schließt nicht aus, dass in einem mathematischen Modell die Zustände mit den Paaren (x,y) identifiziert werden.)

Mit dem Satz über implizite Funktionen:

Hier sind x und y tatsächlich im üblichen mathematischen Sinn Variablen, f ist eine Funktion, die von x und y abhängt. Damit man dann so etwas wie $\left({\tfrac {\partial y}{\partial x}}\right)_{f}$ überhaupt einen Sinn bekommt, braucht man eine Funktion g, die y in Abhängigkeit von x darstellt. Diese Funktion liefert der Satz über implizite Funktionen:

Du setzt f(x,y) = 0. Der Satz über implizite Funktionen sichert, dass man lokal y als Funktion von x schreiben lässt (y = g(x)), falls ${\tfrac {\partial f}{\partial y}}\neq 0$, also $f(x,g(x))=0$. Du suchst die Ableitung $g'(x)=\left({\tfrac {\partial y}{\partial x}}\right)_{f}$ von g. Ableiten der Gleichung f(x,g(x)) = 0 liefert

${\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}g'(x)=0$.

Auflösen nach g'(x) liefert die Behauptung. --Digamma 13:49, 26. Mai 2010 (CEST)

Unklar welche Arten von Abbildungen total differenzierbar sind.

In diesem Artikel wird in der Einleitung nur gesagt, dass die Funktion eine Abbildung von der Menge M in die Menge der reellen Zahlen (eindimensional!) ist. In der Vorlesung wurde das bei uns aber folgendermaßen definiert: Sei U ⊆ R^n ("R hoch n") und offen (was deinem M entspricht) und f:U → R^m, a ∈ U, dann ist f in a differenzierbar (auch total diffb., Frechet-diffb.), genau dann wenn eine Abbildung A existiert, die linear ist und wenn es eine Abbildung Phi:U → R^m mit lim Phi(x)=0 für (x gegen a) gibt, so dass f(x)=f(a)+A(x-a)+|x-a|Phi(x) für alle x Element U ist. f(a)+A(x-a) ist affin lineare Approx. zu f in a. A heißt Ableitung von f in a. In diesem Artikel kommt also der Eindruck auf, als wenn es nur um Funktionen geht, die vom mehrdimensionalem ins eindimensionale abbilden.Wenn dieser Eindruck nicht aufkommt, so, denke ich, fragt man sich zumindest, ob es auch für andere Abbildungen gilt, was dort zu tun ist oder anderes. Das die Definition für das totale Differential für Abbildungen von einem endlich dimensionalen Raum (Dimension: n ≥ 1) in einen endlich dimensionalen Raum (Dimension: m ≥ 1) gilt, dafür siehe auch: "Königsberger, Analysis 2", ISBN 3-540-62871-1, Seite 89-90 ff. (nicht signierter Beitrag von 80.121.79.217 (Diskussion | Beiträge) 13:01, 1. Jun. 2009 (CEST))

88.74.55.87 16:12, 26. Sep. 2009 (CEST)192.168.2.9, 12:28 (CEST), 26.09.2009

Zwei Bedeutungen von "Totales Differential"

Der Artikel leidet darunter, dass der Begriff "Totales Differential" zwei Bedeutungen hat, die allerdings miteinander zusammenhängen.

Die erste wird in der Einleitung angesprochen und war in folgender, inzwischen entfernten Passage enthalten:

== Unterscheidung zwischen totaler und partieller Ableitung==

In konkreten Fällen - z. B. in der Mechanik bei der Unterscheidung zwischen impliziter und expliziter Zeitabhängigkeit - ist es wichtig

zwischen totaler und partieller Ableitung zu unterscheiden, z. B. gilt:

${\frac {{\rm {d}}f(x,t)}{{\rm {d}}t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {{d}x}{{d}t}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\;.$

Diese Aussage ergibt sich zwar im Grunde aus dem vorher Gesagten, muss aber trotzdem hervorgehoben werden, weil auf diese Weise häufige Fehler vermieden werden.

Hier ist die Unterscheidung: Partielle Ableitung nach t (nur die exlizite Abhängigkeit) vs. totale Ableitung nach t (exlizite und implizite Abhängigkeit)

Die zweite ist die im Rest des Artikels abgehandelte: Einzelne partielle Ableitungen vs. Totale Ableitung als Differentialform, lineare Abbildung bzw. Matrix. --Digamma 14:47, 26. Mai 2010 (CEST)

Bezeichnung von Vektoren und Punkten

Ich habe den ursprünglichen Zustand von V4len wiederhergestellt: Punkte heißen p, Vektoren v, ohne Pfeil. Begründung:

1. Im $\mathbb {R} ^{n}$ sind Punkte wie Vektoren $n$-Tupel. Es macht aber keinen Sinn, Punkte mit einem Vektorpfeil zu versehen. Deshalb ist der Vektorpfeil in der Analysis nicht allgemein üblich. Vektorpfeile über n-Tupeln, die Punkte bezeichnen, finde ich persönlich verwirrend. Als Differentialgeometer bin ich es gewohnt, zwischen Punkten und Vektoren zu unterscheiden. Auf Mannigfaltigkeiten ist der Unterschied essentiell.
2. Es spricht nichts dagegen, einen festen Punkt als p zu bezeichnen. Bei Mannigfaltigkeiten ist das üblich. Im $\mathbb {R} ^{n}$ ist es nützlich, wenn man die Ableitung an einem festen Punkt betrachtet. Die Koordinaten im Raum heißen allgemein $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$, ein fester Punkt aber p. Auf Mannigfaltigkeiten ist es nützlich, zwischen einem Punkt und seine Koordinaten zu unterscheiden. (Das sollte auch für die Physik gelten.)

Ich bitte die Änderung zu respektieren und keinen Edit-War zu entfachen. -- Digamma 23:14, 1. Jun. 2010 (CEST)

Zusammenhang "kleine Differenz" und Einsform bzw. Pfaffsche Form

Hallo, könnte jemand, der sich damit auskennt, den Zusammenhang zwischen der in den Naturwissenschaften verbreiteten Interpretation von z.B. dx als kleine Differenz $x-x_{0}$ und einer Pfaffschen-Form (Einsform) darstellen? -- Tuwan 00:14, 21. Jun. 2010 (CEST)

Müsste das nicht eher in Differential? -- Digamma 21:56, 20. Jun. 2010 (CEST)

Hier würde es auch gut passen, da für z.B. f(a,b,c,d...) df die kleine Änderung im physikalischen Sinnde angibt. Die Frage ist nur wie man eine Verbindung zwischen "kleinen Differenzen" und Formen herstellen soll. Man könnte es natürlich auch in 1-Form reinschreiben. -- Tuwan 00:13, 21. Jun. 2010 (CEST)

Ich denke, hier passt es eher als bei 1-Form. Ich weiß nur nicht, wie man das formulieren könnte. -- Digamma 07:22, 21. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe mal einen Versuch gewagt mit einem neuen Abschnitt "Differential und lineare Approximation". Passt das zu dem, was Du Dir vorstellst? -- Digamma 11:26, 8. Jan. 2011 (CET)

Verständlichkeit mathematischer Artikel

Das höchste Gut der Wikipedia, leicht verständliche Texte für jedermann, geht mitlerweile verloren. Wikipedia strebt nach einer Perfektion, die zwar für eine möglichst genaue Darstellung der Thematik toll ist, jedoch automatisch in einen Artikel voller Fachbegriffe mündet. Insbesondere in der Mathematik ist mittlerweile kaum ein Artikel zu lesen, ohne das man mindestens 5 verschieden Links zu mathematischen Fachbegriffen folgen muss, nur um dann erneut auf unbekannte Begriffe zu stoßen. Da kann ich auch jedes Mathebuch nehmen und verstehe genau so wenig. Ich verstehe ja, das die Mathematik ihre eigene Sprache besitzt und hier Wert auf fehlerfreie Darstellung gelegt wird aber eben genau daran scheitern doch viele Schüler und Studenten. Eine Unterteilung/Einleitung für mathematischer Artikel in eine etwas amateurhafte Sprache für Leihen wäre wünschenswert. Wäre das nicht vielleicht eine generelle Idee?! Danach kann ja gerne, das Fachlich präzise mit entsprechdem Fachvokabular kommen. Nur so kann wikipedia sich den Status als Enzyklopädie für jedermann erhalten. Insofern muss ich Cassandra voll und ganz zustimmen.

Beste Grüße und vielen Dank an alle fleißigen Autoren, Jan -- 178.202.226.52 20:26, 12. Jul. 2011 (CEST)

Dem kann ich nur zustimmen. Anschaulichkeit -, Abstraktheit und Allgemeinheit +. Alles wird auf Mengen und Abbildungen zurückgeführt. Diese Formalität liegt nicht jedem. Ich als Ing. stelle mir Sachen gerne als Funktion oder Graph vor. --Moritzgedig (Diskussion) 22:06, 7. Aug. 2012 (CEST)

@Moritzgedig Ich kann mir nicht recht vorstellen, wie du dir das vorstellst. Zunächst einmal: Funktion und Abbildung sind Synonyme, was meinst du also? Und dann: Es sollte klar sein, dass man sich nicht alles als Graph vorstellen kann, ein totales Differential ist jedenfalls kein Graph. Der Artikel hier geht davon aus, dass man mit dem Begriff der Ableitung nach einer Variable vertraut ist – was würdest du dir wünschen? Wenn du dich auf andere Artikel beziehst, wäre ich für konkretes Beispiel+Kritik/Wunsch auch sehr dankbar. --Chricho ¹ ² ³ 02:11, 8. Aug. 2012 (CEST)

@Chricho: Mit 'Funktion' meinte ich an der Stelle eine bildliche Darstellung einer Abbildung. Im Artikel befindet sich eine bildliche Darstellung. Ich habe nicht geschrieben, dass ein totales Differential ein Graph ist. Der Artikel nennt deutlich mehr als den Begriff der Ableitung nach einer Variable. Das Grundlegende kommt schon rüber. Schwer wird es, wenn man Links folgt: Kotangentialraum, Mannigfaltigkeit, 1-Form. Wichtig ist, dass das Grundlegende am Anfang des Artikels dargestellt wird bevor zu viele neue und tiefer (theoretisch, allgemein) gehende Begriffe auftauchen. Im ersten Satz (Definition) sollte man es jedoch ruhig etwas formaler und korrekter angehen, dass muss bei aller Lesbarkeit sein. --Moritzgedig (Diskussion) 22:26, 12. Aug. 2012 (CEST)

Änderung h?

Im Absatz

Differential und lineare Approximation steht:

Änderungen h? "In der traditionellen, in vielen Naturwissenschaften verbreiteten Sichtweise stehen die Differentiale \mathrm dx_i für die kleinen Änderungen h_i selbst."

Das ist doch Blödsinn. h und dx sind doch fest, wie gerade einen Satz vorher für h hingeschrieben wird h = {h1, ...hn}. Dass x oder h veränderlich sind drückt sich woanders aus, in Differenzen eben. -- Room 608 (Diskussion) 16:59, 30. Nov. 2013 (CET)

Ich habe nicht behauptet, dass h sich ändern würde. Gemeint ist, dass h in in der Regel eine Änderung der unabhängen Variablen angibt. Man vergleicht die Funktionswerte an zwei Stellen x und x + h. Dabei kann man x + h als Änderung von x um den Wert h auffassen. --Digamma (Diskussion) 22:38, 30. Nov. 2013 (CET)

Dann hast Du aber eine neue Veränderliche eingeführt, die sich von der alten wenigstens um ein c (für const.) unterscheidet. Wenn wir jetzt schreiben "für die kleinen Änderungen durch h_i selbst", fragt sich ja auch jeder, warum sich auf einmal nicht mehr x ändert. -- Room 608 (Diskussion) 01:01, 1. Dez. 2013 (CET)

Es ist das x, das sich ändert, von x zu x + h. Diese Schreibweise ist in der Mathematik völlig üblich, schon in der Schule. Man muss sich aber Ableitungen nicht dynamisch vorstellen. Man interessiert sich für das Verhalten der Funktion f in der Nähe einer Stelle x. Die Stellen in der Nähe drückt man aus in der Form x + h. In Anwendungen handelt es sich aber oft um Änderungen. Zu einem Zeitpunkt befindet sich das System im Zustand x, zu einem etwas späteren im Zustand x + h. --Digamma (Diskussion) 10:46, 1. Dez. 2013 (CET)

Und genau deshalb steht in den besseren Büchern: x festgehalten! -- Room 608 (Diskussion) 16:48, 1. Dez. 2013 (CET)

So genau interessiert mich der Zustand diese Artikels nicht. Ich wollte wissen, ob man ihn vorbhaltlos zur Begründung des Differentials heranziehen kann. Man kann es nicht. Ich frage mich, ob es universitäre Faulheit oder Arroganz ist, die zum Verständnis wichtige Feststellungen unterschlägt. Irgendwer wird es in dieser Form fressen müssen. -- Room 608 (Diskussion) 16:54, 3. Dez. 2013 (CET)

Ich habe noch nicht verstanden, welche zum Verständnis wichtige Feststellung im Artikel fehlt. Du hast auch bisher nicht geschrieben, dass etwas fehle, sondern dass der Satz Blödsinn sei. Und persönliche Anschuldigungen helfen sicher nicht, den Artikel zu verbessern. Ich weiß, dass Mathematiker und Anwender oft nicht dieselbe Sprache sprechen. Offenbar ist es mir nicht gelungen, dein Anliegen zu verstehen. --Digamma (Diskussion) 17:40, 3. Dez. 2013 (CET)

Wenn Du mit h argumentierst, ist x fest. Das gehört rein. -- Room 608 (Diskussion) 19:28, 4. Dez. 2013 (CET)

Danke. Kannst du mal einen Textvorschlag machen? Für mich war klar, dass wenn da steht, dass h die Änderung beschreibt, sich implizit ergibt, dass x fest ist. x ist einfach der Punkt, an dem die Funktion linearisiert wird. --Digamma (Diskussion) 19:50, 4. Dez. 2013 (CET)

Ich hätte den Text des Abschnitts nochmal genauer lesen sollen. Der Punkt, der festgehalten wird, und in dessen Umgebung die Funktion linearisisert wird, heißt da gar nicht x, sondern p. Genau deshalb, um deutlich zu machen, dass es sich um einen festen Punkt handelt und nicht um einen variablen. Wenn man die variable Größe (also das Argument der Funktion) x nennt, dann ist das h aus dem Text einfach x - p, also x = p + h. Mathematiker geben dieser Differenz gerne einen eigenen Namen. Die Bezeichnung h dafür ist schon in der Schule üblich, wo der Differenzenquotient einer reellen Funktion sowohl in der Schreibweise

${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

als auch in der Schreibweise

${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

vorkommt. Die Bezeichung p habe ich wahrscheinlich aus der Differentialgeometrie übernommen. --Digamma (Diskussion) 19:59, 4. Dez. 2013 (CET)

Das ist doch schon alles viel klarer. Hat P nicht die Koordinaten x₀ und y₀? Dann hast Du schon die x-x₀ Darstellung, wenn es mit h verständlicher ist, sollte man h einführen. Ein kleines p würde ich nicht nehmen, das scheint mir nicht üblich.

Für die identische Funktion f: x → x gilt insbesondere d f(x(h))=dx(h)=h. -- Room 608 (Diskussion) 17:41, 7. Dez. 2013 (CET)

Oder anders hab ich s gelesen: Gleiche h für verschiedene x, also für x₀, x₁, x₂ etc. Die h_i stehen ja wohl für verschiedene Dimensionen, oder? -- Room 608 (Diskussion) 03:13, 10. Dez. 2013 (CET)

Abschnitt 2.1

Geschrieben steht dx^i: IR^n -> IR ist die Linearform, die einem Vektor seine i-te Komponente zuordnet. Tatsächlich ist es aber das Differential dieser Funktion. Es gilt also nur dx^i(p): IR^n -> IR, v|->v_i für alle p aus IR^n, aber dx^i: R^n -> Hom(IR^n, IR) oder irre ich mich ? (nicht signierter Beitrag von 193.175.2.17 (Diskussion) 17:40, 21. Nov. 2017 (CET))

"Tatsächlich ist es aber das Differential dieser Funktion." Was meinst du mit "es" und was mit "dieser Funktion"? $dx^{i}(p)$ ist konstant in $p$, also kann man das $p$ auch weglassen und $dx^{i}$ direkt als Element von $\mathrm {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R}$) auffassen. Das ist damit gemeint. Die Koordinatenfunktion $x^{i}$ würde ich nicht mit den Worten "die Linearform, die einem Vektor seine i-te Komponente zuordnet" beschreiben, sondern mit den Worten "die Funktion, die jedem Punkt seine i-te Koordinate zuordnet". Gruß, --Digamma (Diskussion) 19:09, 21. Nov. 2017 (CET)

Abweichender Gebrauch der Begriffe partielle und totale Ableitung in der Physik

Mir wird nicht klar, was da von was abweicht. Bitte doch einfach den in der Mathematik üblichen Gebrauch neben den in der Physik stellen, beispielsweise

Gegrauch in der Mathematik:	$\mathrm {d} f(t,x,y)=\dots$
Gegrauch in der Physik:	$\mathrm {d} f(t,x,y)=\dots$

Da können gerne die Unterschiede blau hervor gehoben werden. Wenn noch eine Begründung dazu käme, warum das in der Mathematik anders definiert ist, wäre es für mich perfekt! Danke!

So wie ich

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f({\color {Blue}t},g(t),h(t))={\color {Blue}{\frac {\partial f}{\partial t}}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,{\dot {x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,{\dot {y}}$

(Terme aus der expliziten Zeitabhängigkeit, die gegenüber dem allgemeinen Gebrauch der totalen Zeitableitung hinzugekommen sind, wurden hier blau markiert) verstehe, heißt das, dass die Mathematik eine explizite Abhängigkeit von der unabhängigen Variable nicht berücksichtigt/erlaubt. Ist das so? Man kann doch an erster Stelle einfach $k(t):=t$ und $f(t,x(t),y(t))=f(k(t),x(t),y(t))$ setzen und sehen, dass das Nichterlauben von $k(t)=t$ eigentlich keinen Sinn macht, oder? --Alva2004 (Diskussion) 08:00, 5. Sep. 2023 (CEST)