Diskussion:Viereck

Charakterisieung von Vierecken

Vierecke sind charakterisiert durch:

• die Winkel an den Ecken
• die Seitenlängen
• den Umfang
• die Fläche
• den Schwerpunkt
• die Diagonalen

stimmt das? Oder lässt sich das nicht auch für beliebige Vielecke sagen, so dass es sich für V.e erübrigte? --Wst

Was heißt hier: charakterisiert?? erst Kombinationen dieser Größen legen ein Viereck eindeutig fest! -- Peter S 15:13, 29. Nov 2004 (CET)

Beachte, das das Viereck im Gegensatz zum Dreieck bereits konvex sein kann, d.h. ein Innenwinkel wird > 180° und eine Diagonale liegt dann außerhalb der Fläche. Das gibt so eine Pfeilspitze. Beim Viereck und anscheinend nur beim Viereck bleiben die 360° Summe Innenwinkel erhalten --Mikl

Jedes Dreieck ist konvex :-) -- Peter S 15:13, 29. Nov 2004 (CET)

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ich hab beim Trapez aus "mind. 2 Parallelen" "genau 2 Parallelen" gemacht, da ja sonst andere Sonderformen (Rechteck, Parallelogramm) entstehen. --Martin

ich hab diese Änderung wieder rückgängig gemacht, da das eine unzulässige Einschränkung ist. Der Bronstein definiert ein Trapez als ein Viereck mit zwei gegenüber liegenden Seiten. Damit sind Rechteck, Parallelogramm, Quadrat etc. Sonderformen des Trapez. Und in mathematischen Fragen halte ich mehr vom Bronstein, als von Brockhaus, Encarta und sonstigen anderen Lexika.

Genau dieses Missverständnis zwischen "genau / mindestens" bei quantitativen Aussagen bzgl. der parallelen Seiten im Trapez hat bei "Wer wird Millionär" dazu geführt, dass eine Kandidation noch mal antreten durfte. Flups 10:43, 10. Feb 2003 (CET)

Danke, ich möchte jetzt hinweisen, daß wenn ich Wilfried Haag ("Wege zu geometrischen Sätzen", S. 95) glauben darf, dieser Blödsinn schon bei Euklid anfing: (Zitat Haag, Hervorhebung dg) Es ist interessant, wie Euklid die "vierseitigen Figuren" einteilt: Er nennt zuerst das Quadrat, dann die Rechtecke, welche keine Quadrate sind, dann die Rauten und die Parallelogramme, stets unter Ausschluss der vorgenannten Sorten. Was jetzt noch übrig ist, nennt Euklid Trapez. Der Begriff Trapez hat heute eine andere Bedeutung, aber der Ausschluss des Parallelogramms ist ein didaktischer Nonsens, der sich anscheinend die ganze Zeit lang erhalten hat. -- dg, 4. März 2004, 19:50

Das ist ja wirklich interessant! In einem Forum diskutiere ich gerade über "die" Definition des Trapezes. Es haben sich zwei ergeben, die beide verteidigt werden: "Mindestens zwei parallele Seiten" und "Genau zwei parallele Seiten". --SirJective 11:59, 5. Mär 2004 (CET)

Ja, ich wollte eben die "Mindestens"-Definition verteidigen, weil eine Definition von "Trapez", die Parallelogramme ausschließt, mathematisch unnatürlich ist. Jede Gleichheitsaussage, die für ein beliebiges Trapez gilt, gilt auch für ein Parallelogramm, es sei denn, es gibt eine "Entartung", was aber auch in anderen Fällen vorkommen kann. Wenn man von einem "Dreieck" spricht, schließt man ja nicht das gleichseitige Dreieck aus. -- dg, 6. März 2004, 16:44

Definitionen sind weder richtig noch falsch, sondern nur üblich oder unüblich. In der Mathematik schließt man den Spezialfall vom allgemeineren Fall nicht aus (z.B. das Quadrat ist ein Rechteck, ein Trapez, ein Rhombus, ein Parallelogramm, ein Drachenviereck, etc.), da dies (fast) immer praktischer ist. In der Alltagssprache sind die Gewohnheiten wohl zum Teil anders (aber nicht einheitlich): die meisten werden wohl ein Quadrat zu den Rechtecken zählen, aber beim Quadrat kaum an ein Trapez oder ein Deltoid denken ... -- Peter S 15:13, 29. Nov 2004 (CET)

Hierarchie der Vierecke

Die Existenz konvexer Vierecke sollte noch erwähnt werden, am besten auch ein Bild dazu. Und ein Beispiel eines überschlagenen Vierecks - es sei denn, es widerspricht unserer Definition eines Polygons. Falls ja, warum sind Polygone nicht überschlagen? --SirJective 22:33, 18. Dez 2003 (CET)

Jetzt habe ich eine grafische Hierarchie der Vierecke hinzugefügt. Ist die okay so? Evtl. sollte die noch eingepasst werden od. mit der anderen Grafik "vereinigt" werden... --RokerHRO 17:34, 1. Mär 2004 (CET)

Finde ich gut, besonders, dass nun auch endlich die konkaven Vierecke Eingang gefunden haben. Die alte Abb. braucht wohl niemand mehr, allenfalls Dein Parallelogramm könnte etwas weniger nach Raute aussehen (und wo ich schon mal dabei bin, der Zusammenhang zwischen beiden könnte erwähnt werden und der Raute (bzw. dem Rhombus, der nicht im Test steht) noch etwas Platz nach unten spendiert werden). Grüße, moino 23:12, 1. Mär 2004 (CET)

die grafische hierarchie ist falsch. jedes paralellogram ist ein gleichschenkliges trapez. somit muss gleichschenkliges trapez zwischen trapez und parallelogram stehen (jeweils echte teilmenge). das diagramm verschweigt somit dass jeder rhombus ein gleichschenkliges trapez ist. 91.15.167.155 19:21, 18. Okt. 2010 (CEST)

die Bezeichnung "konkaves Viereck" ist möglicherweise verbreitet, aber nicht korrekt: ein solches Viereck hat eine konkave Ecke und ist nicht-konvex. -- Peter S 15:13, 29. Nov 2004 (CET)

Achja, schön wäre auch noch eine Aufzählung der möglichen eindeutigen Beschreibungen. </wishlist> moino

das heißt? --RokerHRO 07:49, 2. Mär 2004 (CET)

Eine Erwähnung des Tangentenvierecks wäre m. E. auch gut. -- dg, 4. März 2004, 19:50

Ich kann mich moino nur anschließen: Gutes Bild, RokerHRO! Bitte zeichne noch ein, dass jede Raute ein Parallelogramm ist.

Okay, ist soeben geschehen, danke. Hatte ich übersehen, irgendwie. :-) --RokerHRO 20:09, 3. Mär 2004 (CET)

Warum hast du eigentlich das konkave Drachenviereck gestrichelt umrandet? Weil es nicht konvex ist? Das führt vllt. wieder zur Frage, was ein Drachenviereck ist - siehe die dortige Diskussion. Nebenbei ist natürlich ein konkaves Drachenviereck auch ein Drachenviereck. Hebe die Quellen des Bildes, denn es kommt bestimmt noch der eine oder andere Veränderungsvorschlag :-) --SirJective 21:07, 3. Mär 2004 (CET)

Weil es Ansichtssache ist, ob man mit "Drachenviereck" nur die konvexe Form meint (die "klassische" Ansicht) oder auch so genannte "Pfeilvierecke" mit einschließt. Da ich bei Drachenviereck irgendwie nur an die "typische Drachenform" denke, habe ich das "konkave Drachenviereck" gesondert dargestellt. Wenn ich sämtliche "Verwandschaftsbeziehungen" innerhalb der Vierecke in die eine Grafik pressen wollen würde, käme sicher etwas ziemlich unübersichtliches dabei heraus, oder? So richtig zufrieden bin ich mit der Grafik (was ihre Eindeutigkeit und Korrektheit angeht) auch noch nicht. Verbesserungsvorschläge sind aber willkommen. :-) --RokerHRO 08:54, 4. Mär 2004 (CET)

Die drohende Unübersichtlichkeit ist ein Argument gegen eine Überladung des Bildes, das stimmt. Was sagen denn die Schulbücher zur Definition des Drachenvierecks? Oder sind da alle Vierecke automatisch konvex? Die Korrektheit des Bildes kann leider erst gesichert werden, wenn die Definitionen geklärt sind. Ist also in Ordnung, wenn du die Pfeilvierecke erstmal so lässt. --SirJective 19:32, 4. Mär 2004 (CET)

Zeitgleich mache ich auf ein Problem in Diskussion:Drachenviereck aufmerksam, das bitte dort gelöst werden soll. Das Ergebnis kann sich auch auf diesen Artikel auswirken. --SirJective 20:44, 2. Mär 2004 (CET)

Konkave und überschlagene Vierecke

(vorher unter Hierarchie der Vierecke diskutiert)

Konkave Vierecke gesondert zu betrachten ist zumindest von mathematischer Seite her kontraproduktiv. Die Kompatibilität zu Schulbüchern ist eine andere Frage. Übrigens können auch Trapeze konkav sein. -- dg, 4. März 2004, 19:50

Die meisten benannten Viereckformen können nicht konkav sein (eine Ausnahme ist da eben das Drachenviereck), deshalb halte ich es schon für einigermaßen sinnvoll, die abzutrennen. Von mathematischer Seite gibts da aber wenig Unterschiede. Soweit ich das sehe, sind Trapeze stets konvex; kannst du ein konkaves angeben? --SirJective 11:59, 5. Mär 2004 (CET)

Nun ja, nehmen Sie ein konvexes Trapez ABCD mit AB || CD; das Viereck ABDC ist dann ein konkaves Trapez. BTW: Die Strecke, die die Mittelpunkte der Schenkel (BD und AC) eines solchen konkaven Trapezes verbindet, ist nach wie vor parallel zu den Grundseiten, die Länge ist aber gleich der halben Differenz der Grundseitenlängen. Dies alles kann sehr gut vereinheitlicht werden, indem man orientierte Strecken einführt. -- dg, 5. März 2004, 16:44

Ein solches Viereck ist überschlagen. Da stellt sich also zum einen die Frage: Darf ein Trapez überschlagen sein? Dieser Fall ist meist unerwünscht, aber nicht explizit ausgeschlossen. Er wird z.B. bei der Trapezregel der Integralrechnung eingeschlossen. Dort sind die Seiten orientiert, so dass die Berechnung der (vorzeichenbehafteten) Fläche keine Probleme bereitet. Eine andere Frage ist, ob ein überschlagenes Viereck konkav ist. Dazu müsste man klären, was das Innere eines solchen ist. Von meiner Anschauung sollte für das Innere genau genau die beiden Dreiecke rauskommen, so dass diese Figur tatsächlich konkav ist. Faszinierend... --SirJective 13:00, 6. Mär 2004 (CET)

Leider steht bei Trapezregel nichts über überschlagene Trapeze. Könnte das jemand klären und ggf. dort ergänzen?--Vanda1 08:20, 12. Mär. 2008 (CET)

Stimmt, ich war voreilig mit dem "konkav". Aber es ist auch sinnvoll, überschlagene Trapeze miteinzubeziehen. Danke. Probleme mit dem Flächeninhalt bekommt man dadurch weg, daß man die Flächen orientiert; dann ist z. B. die Fläche eines jeden Vierecks ABCD gleich der Fläche des Dreiecks PDA minus der Fläche des Dreiecks PCB, wobei P der Schnittpunkt der Geraden AB und CD ist. Wenn wir nun ein überschlagenes Viereck ABCD haben, wo sich die Seiten AB und CD in ihrem Inneren schneiden, dann ist die Fläche somit gleich der Differenz der Flächen der zwei Dreiecke. Das Blöde ist dann natürlich, daß man auf die Reihenfolge der Ecken beim Flächeninhalt aufpassen muß, und daß der Begriff der orientierten Fläche der Anschauung sehr fremd ist; aber aus mathematischer Sicht ist es beinahe der einzig gescheite Flächenbegriff :-) -- dg, 10. März 2004, 16:18

Wie weiter oben schon richtig erwähnt, gibt es keine richtige oder falsche Definitionen, bestenfalls übliche und unübliche. Das ein Trapez in der Schulgeometrie anders definiert wird als in der Integralrechnung ist normal und sowas gibt es in der Mathematik häufig. -- Schnitte 05:42, 29. Apr 2005 (CEST)

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Das Detail mit dem überschlagenen Trapez hat mich gerade auf eine andere Stelle aufmerksam gemacht: Wenn wir überschlagene Vierecke als "Vielecke" auffassen, widersprechen wir der Definition von Polygon: Die Kanten schneiden (berühren) sich nur in den Eckpunkten. Was machen wir nun? --SirJective 20:43, 7. Mär 2004 (CET)

Ich habe die Definition von Polygon korrekterweise geändert, so dass nun auch überschlagene Polygone erlaubt sind. Auch Computergrafiker müssen sich mit überschlagenen Polygonen "herumärgern", aber letzten Endes ist es einfacher, sie gleich mitzubehandeln (z.B. bei Füll-Algorithmen) als jedes Mal vorher zu prüfen, ob sie nicht-überschlagen sind. --RokerHRO 12:06, 8. Mär 2004 (CET)

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Im Artikel wurde nun zwischen normalen oder "echten" Vierecken (konvex oder nicht-konvex) und überschlagenen Vierecken unterschieden (dritte, disjunkte Kategorie: entartete Vierecke). Das ist sehr gut. Somit gibt es keine nicht-konvexen Trapeze!

Unter Trapez habe ich ein Kapitel über verschränkte Trapeze ergänzt, so wie sie in der Geodäsie verwendet werden(mit Bild, also ein weiter oben gefordertes Beispiel). Ich habe in diesem Artikel über Vierecke darauf verwiesen. Mir scheint es aber, dass das verschränkte Trapez der Geodäsie ein spezielles überschlagenes Trapez ist, nämlich eines, bei dem eine Seite senkrecht auf den beiden parallelen Seiten steht. Kann/sollte man das nochmal unterscheiden? Da das meines Erachtens nur für Trapeze sinnvoll wäre, könnte man das ja unter Trapez machen.--Vanda1 08:20, 12. Mär. 2008 (CET)

Neue Grafik

@RokerHRO: Was hältst du davon, noch das Sehnenviereck (mit Umkreis) und das gleichschenklige Trapez ins Bild aufzunehmen? Dann kann nämlich endlich das andere Bild raus. --SirJective 14:43, 11. Mär 2004 (CET)

Wäre nachbar, aber darunter würde die Übersichtlichkeit arg leiden. Ich denke, wenn man es in die Formelle Beschreibung aufnimmt reicht das. Und die Übersichts-Hierarchie bleibt weiterhin nur eine Übersicht. --RokerHRO 14:36, 18. Mär 2004 (CET)

Nachtrag: Ich habe unter http://139.30.7.87/wikipedia/ mal meine Source-Dateien veröffentlicht. (im XFig-Format) Kannst dich ja gerne mal daranmachen und editieren. Vielleicht kriegst du es ja so hin, dass es übersichtlich bleibt. --RokerHRO 14:45, 18. Mär 2004 (CET)

Hab die von mir gewünschten Formen mit aufgenommen, und auch die neue Quelldatei hochgeladen. --SirJective 17:46, 20. Apr 2004 (CEST)

Sieht gut aus. Fast so gut, als wenn ich das gemalt hätte. ;-) Nee, war Spaß! Find ich gut, wenn jemand sich meiner Arbeit annimmt und sie verbessert. (Das ist eben ein Vorteil von OpenSource. ;-) --RokerHRO 11:31, 21. Apr 2004 (CEST)

Vorschläge zur Graphik:

• Deltoid (mathematischer Fachbegriff) statt Drachenviereck
• Inkreis bei Quadrat, Rhombus und Deltoid hinzufügen
• Umkreis bei Quadrat und Rechteck hinzufügen

-- Peter S 15:13, 29. Nov 2004 (CET)

Es fehlt der Schiefdrache. Mit ihm wäre die ganze Graphik viel symetrischer. Das Parallelogramm ist Schiefdrache und Trapez zugleich. --Schnitte 05:32, 29. Apr 2005 (CEST)

Es wäre cool den Schiefdrache noch hinzu zu fügen. Weiters finde ich in der Graphik nicht abgedeckt den regulären Drache, der ein Sehnenkreis besitzt. Wie würde dieser abgebildet? -- Visionimperator 22:26, 26. Dez. 2022 (ohne (gültigen) Zeitstempel signierter Beitrag von Visionimperator (Diskussion | Beiträge) 22:26, 26. Dez. 2022 (CET))

Winkelsumme

(1) Die Innenwinkelsumme beträgt *immer* 360°, das gilt für überschlagene Vierecke ebenso wie für konvexe oder konkave Vierecke. Der Denkfehler liegt daran, dass ein überschlagenes Vierecke statt 4 eben 6 Innenwinkel besitzt. Dass man hier mit allen 6 Winkeln rechnen muss, lässt sich auch leicht beweisen.

(2) Die Behauptung bei überschlagenen Vierecken "gibt es kein außen oder innen" und die Folgerung daraus sind falsch (und wohl auch blödsinnig).

Was ist A?

Was könnte denn unter Formeln bitte A sein? Der Winkel Alpha? --Philipendula 13:12, 15. Mär 2006 (CET)

Die Fläche --Schnitte 20:37, 23. Mai 2006 (CEST)

Steht im Übrigen auch davor: „Die Vierecksfläche A lässt sich ermitteln aus [...]“ --RokerHRO 07:47, 24. Mai 2006 (CEST)

Winkel $\theta$

Hat sich erledigt :) Hatte mich leider vertan, ist schon alles okay so, wie es war. Folgendes hatte ich vergessen: $\sin({\theta })=\sin({180-\theta })\,$

Antiparallelogramm

Wie gehört das hier rein?--Jkü 19:18, 14. Aug 2006 (CEST)

Orthogonales Viereck und Schiefer Drachen

Die beiden sollten hier eigentlich noch als spezielle Viereck aufgenommen werden.
Orthogonales Viereck = Viereck mit orthogonalen Diagonalen. (Abgrenzung zum Deltoid: keine Diagonale wird halbiert.)
Schiefer Drache = Viereck, bei dem eine Diagonale die andere halbiert (Abgrenzung zum Deltoid: Die Diagonalen stehen nicht senkrecht.)
Cyberolm 01:12, 26. Nov. 2008 (CET)

Man kann beliebig viele weitere Kategorien einführen. Sie sollten schon eine gewisse Relevanz haben (z.B. durch eigene Namen für diese Vierecke). Kannst du irgendwelche Literatur oder andere Quellen angeben, die die von dir genannten Vierecktypen beschreiben usw.? --RokerHRO 14:59, 26. Nov. 2008 (CET)

Musterkachel

(jedes Viereck) ist Musterkachel für eine periodische Parkettierung der (euklidischen) Ebene. Wie ist das gemeint? --NeoUrfahraner 08:56, 12. Mai 2010 (CEST)

Ich habe es vorerst gelöscht bis es jemand genauer erklären kann. --NeoUrfahraner 20:45, 30. Mai 2010 (CEST)

Schwerpunkt?

Steht nichts zu im Artikel. Würde mich interessieren, wo der in einem beliebigen Viereck liegt. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden wie im Dreieck kanns ja nicht sein, weil die sich nicht in einem Punkt treffen müssen. Ist es einfach der Schnittpunkt der Diagonalen aus den Ecken? --Mir 19:20, 5. Jan. 2011 (CET)

Nein, bei einem Trapez liegt der Diagonalen-Schnittpunkt zum Beispiel näher bei der kürzeren Seite, er muss aber näher bei der längeren liegen.

Die Konstruktion geht wie folgt: Man zerlegt das Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke und bestimmt jeweils deren Schwerpunkt. Diese beiden Punkte verbindet man durch eine Strecke. Dasselbe wiederholt man, indem man das Viereck durch die andere Diagonale teilt. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungsstrecken ist der Schwerpunkt des Vierecks. -- Digamma 19:37, 5. Jan. 2011 (CET)

Supi! Ab da mit in den Artikel, am besten noch mit einer Grafik. :-) --RokerHRO 20:19, 5. Jan. 2011 (CET)

Bei http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html steht aber, dass der Schwerpunkt eines Vierecks anders bestimmt werden muss, übrigens genauso, wie der mittlerweile verstorbene Uni-Professor Ch. Reichel in http://www.oebv.at/sixcms/media.php/493/328325/NH_MATHE.PDF (Nachhaltiger Mathematikunterricht) schreibt. Der Schwerpunkt eines Vierecks ist somit viel leichter zu bestimmen, nämlich als Schnittpunkt der Geraden, welche durch die gegenüberliegenden Seitenmittelpunkte gehen. Wie man leicht sieht, stimmt dies nicht mit der Argumentation über die Schwerpunkte der Teildreiecke überein. Welcher stimmt nun? Lustigerweise beide: Im folgenden Dokument werden verschiedene Typen von Schwerpunkten unterschieden (Eckenschwerpunkte, Kanterschwerpunkte, Flächenschwerpunkte, ...), siehe http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/veranst/elemgeom/schwerpunkte/schwerpunkte.html#1.4 . Der Eckenschwerpunkt ist jener, der in der Schul-Mathematik üblicherweise verwendet wird. Der Flächenschwerpunkt hingegen ist jener, der physikalisch interessanter ist, da in der Realität die Masse selten in den Ecken hockt. -- lekrul 18:07, 13. Feb. 2011 (CET) (ohne Benutzername signierter Beitrag von Bennilekrul (Diskussion | Beiträge) )

Dazu möchte ich bemerken:

1. Bei Dreiecken stimmen Flächen- und Eckenschwerpunkt überein
2. In der Schulmathematik werden hier oft physikalische Überlegungen angestellt, die sich auf eine gleichmäßige Verteildung der Masse über die ganze Fläche bezieht
3. Der von mir im Artikel beschriebene Vierecksschwerpunkt ist der Flächenschwerpunkt, siehe http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/veranst/elemgeom/schwerpunkte/schwerpunkte.html#1.4 (Danke für die Quelle. Meine Quelle für den Flächenschwerpunkt war übrigens ein Schulbuch.), der im mathworld-Artikel http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html beschriebene der Eckenschwerpunkt.

-- Digamma 20:03, 13. Feb. 2011 (CET)

Formeln für die Flächenberechnung

Den folgenden Kommentar hat eine IP auf die Artikel-Seite geschrieben. Ich habe ihn hierher verschoben:

( ... die Formel über diesem Text mit 2 Diagonalen bitte überarbeiten, man benötigt nur 5 Werte, d.h. 4 Seiten und eine Diagonale sind für die Flächenberechnung eines Viereckes ausreichend - siehe 2 Dreiecke nach Heron ... )

Gemeint ist die Formel

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)^{2}}}$

-- Digamma 20:29, 5. Mär. 2011 (CET)

Antwort: Das kann gut sein. Das spricht aber nicht gegen diese Formel. Eine Formel, die 4 Seiten und nur eine Diagonale benutzt, ist vermutlich komplizierter. Wenn Du eine kennst, kannst Du sie gerne ergänzen. -- Digamma 20:29, 5. Mär. 2011 (CET)

Jüngste Änderungen

Hallo MovGP0,

hast du irgendwelche Quellen für deine Änderungen?

Sie kommen mir nämlich sehr seltsam vor. Man sollte auf jeden Fall zunächst den Fall von Vierecken in der euklidischen oder affinen Ebene behandeln, bevor man zu Vierecken in allgemeineren Räumen übergeht.

Der Fettdruck für Punkte ist völlig unüblich. Für Vektoren haben wir uns hier für den Bereich der Geometrie darauf geeinigt, sie durch übergesetzte Pfeile statt durch Fettdruck zu kennzeichnen. Du vermischst außerdem Vektoren und Strecken.

Die von dir angegeben Definition hat jedenfalls nichts mit Topologie zu tun, denn in der Topologie gibt es zwar Punkte aber keine Vektoren. Ortsvektoren gibt es nur in der analytischen Geometrie. "Aufspannen" können Punkte (nicht Vektoren!) ein Viereck nur dann, wenn es zwischen zwei Punkten eine eindeutige Verbindungsstrecke gibt. Auch das ist kein topologisches, sondern ein geometrisches Konzept. Auch dann können sie nur die Strecken aufspannen aber keine Fläche. Eine solche Fläche ist z.B. für vier beliebige (nicht komplanare) Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum überhaupt nicht wohldefiniert. Die von dir angegebenen Integrale sind völlig unverständlich. Und was sollen Geraden in einem gekrümmten Raum sein?

Die Vierecke bilden keine Gruppe im Sinne der Gruppentheorie, sonst müsste man sie ja verknüpfen können.

Der Innenwinkelsatz gilt nur für Vierecke in der euklidischen Ebene. Außenwinkel sind auch nur für Vierecke in der Ebene definiert.

Kurzum: Meiner Meinung nach steht da viel Unsinn, deshalb revertiere ich deine Änderungen erst einmal. --Digamma (Diskussion) 18:09, 11. Feb. 2013 (CET)

Alles der Reihe nach:

1. zunächst den Fall von Vierecken in der euklidischen oder affinen Ebene behandeln

   Ich wollte zuerst den allgemeinen Fall behandeln und möglichst alle Längen definieren, bevor ich Längen verwende die nicht definiert sind. Ich denke das ist eine Frage der Philosophie. Von der pädagogischen Seite hast du sicher recht.

2. Der Fettdruck für Punkte ist völlig unüblich.

   Nach DIN 1303 ist beides zulässig und gleichwertig.

3. Für Vektoren haben wir uns hier für den Bereich der Geometrie darauf geeinigt, sie durch übergesetzte Pfeile statt durch Fettdruck zu kennzeichnen.

   Ok. Ich werde es zu berücksichtigen.

4. Du vermischst außerdem Vektoren und Strecken.

   Danke für den Hinweis, ich sollte das wohl lieber nochmal Korrektur lesen...

5. in der Topologie gibt es zwar Punkte aber keine Vektoren. Ortsvektoren gibt es nur in der analytischen Geometrie.

   Da es für jede Topologie auch (mindestens) eine Geometrie gibt, lässt sich ein Punkt als (Orts)Vektor eines bestimmten Koordinatensystems einer bestimmten Geometrie ausdrücken. Wie du schon angedeutet hast, habe ich Punkte und Vektoren wohl leider etwas durcheinander gebracht. Das kann ich gerne korrigieren.

6. "Aufspannen" können Punkte (nicht Vektoren!) ein Viereck nur dann, wenn es zwischen zwei Punkten eine eindeutige Verbindungsstrecke gibt.

   Nicht ganz. Diese Eindeutigkeit muss nur für die Punkte des Viereck bestehen, nicht jedoch für den Rest des Raumes. Eine entsprechende Anmerkung hat dem Artikel tatsächlich gefehlt und kann einfach hinzugefügt werden. Übrigens gilt für den Riemanschen Raum afaik, dass $+\infty =-\infty$, weshalb es für jede Verbindung zwischen zwei Punkten immer mindestens zwei Verbindungen gibt. Eine weitere Einschränkung was innen und was außen ist, ist daher nötig. Das habe ich mit den Mengenbegrenzungen bei den "unverständlichen" Integralen gemacht. Siehe dazu unten.

7. Eine solche Fläche ist z.B. für vier beliebige (nicht komplanare) Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum überhaupt nicht wohldefiniert

   Eine Fläche ist nichts anderes als ein zweidimensionales Volumen und dieses lässt sich sehr wohl messen. Um ein anschauliches Beispiel zu nennen: Das Volumen der Erde ist - zu jedem bestimmten Zeitpunkt - definiert, obwohl sich die Erde in der vierdimensionalen (und nicht-euklidschen) Raumzeit bewegt. Wenn sich das zu vermessende Objekt in einer Dimension verändern sollte, so erhält man eben eine (genau definierte) Funktion (bzw. eine Menge von Volumen/Flächen) und nicht einen skalaren Wert; für letzteren muss man halt einen Schnitt machen um das Ergebnis um (eine) weitere Dimension(en) zu reduzieren.

8. Und was sollen Geraden in einem gekrümmten Raum sein?

   Eine Gerade ist eine Menge aus Punkten. Sie ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten, sowie deren Verlängerung.

   Für den gekrümmten Raum kann man sich anschaulich ein gespanntes Gummiband vorstellen, das an zwei Punkten befestigt ist und sich zusammenzieht. Das was übrig bleibt, wenn sich das Gummiband nicht mehr weiter zusammenziehen kann, ist eine Gerade.

   Auf einer Kugel sind das die Geodäten. Auf der Kugel gibt es für das Gummiband genau zwei Geodäten auf denen es sich nicht zusammeziehen kann: Die kürzeste Verbindung zwischen den Punkten und eine zweite Geodäte die die Kugel genau umrundet und sich deshalb nicht zusammenzieht, weil sie genau gleich weit nach oben und unten hat. Diese zwei Geodäten zusammen genommen ist der Großkreis. Die Großkreise erfüllen dabei zwar nicht das Parallelenaxiom, es handelt sich aber dennoch um Geraden.

   Ein anderes Beispiel für eine Gerade im gekrümmten Raum ist die Bewegung der Erde um die Sonne. Die Erde bewegt sich dabei entlang einer Geraden - alles andere würde gegen den Impulserhaltungssatz verstoßen. Da jedoch der Raum durch die Masse der Sonne gekrümmt ist, ist diese Gerade (aus einem anderen Bezugssystem heraus) ebenfalls kreisförmig (bzw. elliptsich). Das funktioniert etwa wie bei der Corioliskraft, bei der sich ein Ball auf einer rotierenden Scheibe ebenfalls gerade (dh. entlang einer Geraden) bewegt, während ein externer Beobachter (der ein anderes Bezugssystem hat) diese Bewegung als Kreisbewegung misst.

   Mathematisch kann man die Geraden durch die Integration aller möglichen Verbindungen zwischen zwei Punkten berechnen. Das macht man in der Quantenphysik (und Hochenergiephysik) recht oft. Es ist nicht selten, dass dabei Mehrdeutigkeiten entstehen was genau die kürzeste Strecke und damit die Gerade ist. Das führt dazu, dass ein Teilchen einfach alle kürzesten Stecken gleichzeitig nimmt. (siehe Doppelspaltexperiment)

9. Die von dir angegebenen Integrale sind völlig unverständlich.

   Dafür ist ja auch die obenstehende Definition für Geraden nötig. Die Integrale sind deshalb nötig, weil ich bei einem gekrümmten Raum nicht einfach zwei Vektoren (die auf die Punkte zeigen) nicht einfach voneinander subtrahieren kann, denn der Betrag des resultierenden Vektors wäre kleiner als die tatsächliche Länge der Strecke.

   Beispielsweise ist die kürzeste Verbindung zwischen New York City (USA) und Canberra (Australien) nicht die Stecke mitten durch die Erde, denn da gibt es (noch) keinen Tunnel. Vielmehr ist die kürzeste Strecke die kürzere der beiden Geodäten. Die Länge derselben lässt sich durch Integration der Punkte (im Beispiel sind diese Punkte jeweils eine Planck-Länge voneinander entfernt; in der Mathematik können sie unendlich dicht beieinander sein) entlang dieser Geodäte ermitteln.

— MovGP0 18:31, 14. Feb. 2013 (CET)

Vierseit

Vierseit bezeichnet auch Vierecke, einerseits da "Viereck" bei pendantischer Betrachtung ein falsches Wort sei (in einer Ecke treffen sich drei Geraden, also ist ein "Viereck" ohne Ecken) und andererseits nach lateinisch quadrilaterum (engl. quadrilateral, franz. quadrilatère, ital. quadrilatero und fremdwörtlich nach diesem Eintrag auch Quadrilateral).
Als Belege dafür, daß Viereck und Vierseit zumindest manchmal gleichbedeutend sind, können z.B. diese Quellen dienen:

• http://zeno.org/Brockhaus-1911/A/Vierseit (das wurde beim Kopieren in der Versionsgeschichte gekürzt..)
• http://books.google.de/books?id=A1oVAAAAYAAJ&pg=PA398 : "Quadrangle, s. (a figure consisting of four sides and four angles) (Geom.) * Die vierseitige Figur, das Vierseit, Viereck * Quadrilatère, m."
• http://books.google.de/books?id=HFs7AQAAIAAJ&pg=PA145 : "ein Vierseit (Viereck)"

Zuweilen mag Vierseit auch etwas anderes bedeuten, aber das könnte man ggf. auch deutlicher erwähnen.
Zum englischen quadrilateral (siehe Satz von Gauß über das vollständige Vierseit): Das bedeutet Viereck, so auch bei de.pons.com/%C3%BCbersetzung?q=quadrilateral&l=deen&in=&lf= . Warum sollte das bei dem Satz von Gauß unpassend sein? Selbst wenn da Vierseit in einem anderen Sinne als Viereck benutzt wird, könnte man die wörtliche Bedeutung des englischen Wortes erwähnen. Falls nötig könnte man auch erwähnen, daß es nur eine wörtliche Übersetzung ist.
-84.161.48.62 06:56, 14. Dez. 2015 (CET)

Das Problem mit den obigen Quellen ist, dass sie höchstens belegen, dass vor oder 150 Jahren einige Leute Viereck und Vierseit synonym verwendet haben mögen. Die Übersetzung englischer/franz./lateinische Begriffe wiederum ist eine separate Frage und primär nur für die Wahl der der Interwikis von Bedeutung. Je nach Kontext kann es durchaus sein, dass sie unterschiedlich zu übersetzen sind.

Für den (deutschen) WP-Artikel sollte man sich aber an der modernen Terminologie im deutschen Sprachraum orientieren, da ist mir Vierseit nur als nur als ein Begriff für Geradenkonfigurationen und aus der projektiven Geometrie geläufig, die eben etwas anderes sind, das in diesem Artikel behandelte Viereck. Natürlich sind die Begriffe letztlich alle etymologisch und mathematisch miteinander verwandt bzw. besitzen gemeinsame Wurzeln, aber das umso mehr ein Grund sie im Zweifelsfall anhand der modernen Terminologie sauber zu trennen, um keine unnötige Verwirrung zu stiften. Wenn man veraltete oder früher Bezeichnungen unbedingt erwähnen will, dann kann man das in einen separaten etymologischen Abschnitt tun, aber man sollte nich den Eindruck erwecken, das alte Bezeichnungen heute als Synonyme verwendet werden können bzw. die gleiche Bedeutung haben.--Kmhkmh (Diskussion) 09:08, 14. Dez. 2015 (CET)

• "einige Leute" -- ja, deshalb war es auch mit "teilweise", denn zumindest teilweise waren die Begriffe synonym (ggf. vom Autor oder dem Fachgebiet abhängig).
• "modernen Terminologie" -- ja, aber es ist nicht unbedingt verkeht, wenn auch ältere Begriffe erwähnt werden. Veraltete Begriffe könnte man als veraltet kennzeichnen und durch das Erwähnen älterer Begriffe ist WP informativer (z.B. tauchen in älteren Werken ältere Begriffe auf und so finden sich ältere Begriffe zuweilen auch hier in Werktiteln und in Zitaten).
• "projektiven Geometrie" -- Auch früher könnte Vierseit zuweilen etwas anderes als Viereck gewesen sein. Nach www.zeno.org/Meyers-1905/A/Viereck waren die Begriffe in der projektiven Geometrie unterschiedlich. Das könnte bedeuten, daß die Begriffe in der affinen und in der projektiven Geometrie unterschiedlich waren: beim ersten Synonyme, beim zweiten irgendwas anderes. Wenn die unterschiedliche Verwendung durch die unterschiedlichen Geometrien bedingt ist, könnte man etwas schreiben wie "und in der affinen (jedoch nicht in der projektiven) Geometrie auch ...").
• fremdsprachige Begriffe -- Übersetzungen sind auch hier zuweilen in Artikeln relevant (siehe auch WP:Allgemeinverständlichkeit). Bei "Galois field" beispielsweise könnte man erwähnen, daß "field" zwar wörtlich "Feld" bedeutet, hier aber "Körper" ist, sodaß es nicht "Galois-Feld", sondern "Galois-Körper" heißt. (In Endlicher Körper wird zwar "Galois field" erwähnt, aber nicht weiter erläutert. Einerseits ist das in diesem Fall wohl auch nicht nötig, aber andererseits wäre es vielleicht leserfreundlicher, wenn man den englischen Begriff auch wörtlich übersetzt.)

-84.161.52.206 17:15, 14. Dez. 2015 (CET)

Einzelnachweis, provisorisch zwei Links reaktiviert

Die zwei provisorisch reaktivierten Links auf die Website der Universität Flensburg (Stand 28.01.2001) sind leider ohne Bilder (Figuren). Es sollten bessere Einzelnachweise (mit direktem Zugriff auf Bilder) als Ersatz eingefügt werden um den Abschnitt „Schwerpunkt“ nachvollziehen zu können. Leider habe ich diesbezüglich keine gefunden ...--Petrus3743 (Diskussion) 10:34, 27. Sep. 2017 (CEST)

Einzelnachweise dienen ja zunächst nur dazu, die Richtigkeit der Aussagen zu belegen und nicht unbedingt als Empfehlung zum Weiterlesen. --Digamma (Diskussion) 20:39, 27. Sep. 2017 (CEST)

Danke für den Hinweis, m. E. ist es jetzt mit dem Link zu Hans Walser eine akzeptable Kombination.--Petrus3743 (Diskussion) 08:23, 28. Sep. 2017 (CEST)

Tangentenkreis, Sehnenkreis

Servus @Visionimperator: Was ist ein Tangentenkreis bzw. ein Sehnenkreis? Sind damit Inkreis bzw. Umkreis gemeint?--Petrus3743 (Diskussion) 00:51, 27. Dez. 2022 (CET)erledigtErledigt--Petrus3743 (Diskussion) 16:01, 27. Dez. 2022 (CET)

Ja, genau. Danke für die Frage und die Ergänzung --Visionimperator (Diskussion) 10:02, 8. Jan. 2023 (CET)