Diskussion:Willmore-Energie

Sphäre

Um welche nicht-runden Sphären geht es denn hier? Aus Sphäre (Mathematik) wird mir das nicht so ganz klar. -- HilberTraum (Diskussion) 16:59, 24. Sep. 2012 (CEST)

Allgemein geht es hier ja um Einbettungen (oder allgemeiner Immersionen) von Flächen in den euklidischen $R^{3}$, formal also um bestimmte differenzierbare Abbildungen $f:\Sigma \rightarrow R^{3}$. Mit Sphären sind also differenzierbare Abbildungen $f:S^{2}\rightarrow R^{3}$ gemeint, wobei $S^{2}$ "die" Sphäre ist (die Einheitssphäre im euklidischen Raum). Selbst wenn f eine Einbettung ist, kann das Bild der Abbildung f natürlich eine irgendwie verkrumpelte Sphäre sein (das passende Stichwort im verlinkten Artikel ist "topologische Sphäre"), von einer runden Sphäre spricht man wenn das Bild die Sphäre vom Radius r und f die Multiplikation mit r (evtl. noch verknüpft mit einer Drehung, Spiegelung und/oder Verschiebung) ist. --Suhagja (Diskussion) 17:51, 24. Sep. 2012 (CEST)

Danke erstmal, also anschaulich habe ich's jetzt glaub' ich verstanden, aber mathematisch noch nicht ganz, was aber wohl an meinen nicht ausreichenden Differentialgeometriekenntnissen liegen mag. Wie geht denn die Wahl der Einbettung (rund oder verkrumpelt) genau in die Berechnung von W ein, wenn immer nur über $\Sigma$ integriert wird? -- HilberTraum (Diskussion) 18:27, 24. Sep. 2012 (CEST)

Die mittlere Krümmung H hängt von der Einbettung ab. --Suhagja (Diskussion) 04:09, 25. Sep. 2012 (CEST)

Ok, aber kann man das Integral dann wirklich als $\int _{\Sigma }H^{2}dA$ schreiben? Hier ist doch dA das Flächenelement auf $\Sigma$. Eigentlich soll doch die mittlere Krümmung auf der Fläche $u(\Sigma )$ mit u zurückgeholt und integriert werden. -- HilberTraum (Diskussion) 08:19, 25. Sep. 2012 (CEST)

H ist schon eine Funktion auf der Fläche $\Sigma$, auch wenn der Wert von H in einem Punkt natürlich wesentlich von der Abbildung u abhängt. Zum Beispiel kann man die Krümmung auch für Immersionen mit Selbstschnitten definieren und da kann dann in zwei Punkten a,b mit u(a)=u(b) die Krümmung durchaus unterschiedlich sein. (Soll heißen, die Krümmung ist in diesem Fall nur auf $\Sigma$ und nicht auf $u(\Sigma )$ wohldefiniert.) Wenn man Koordinaten x,y auf Teilstücken von $\Sigma$ einführt, kann man auch explizite Formeln für H(x,y) angeben, natürlich in Abhängigkeit von der Abbildung u und ihren partiellen Ableitungen (die Formel findet man im doCarmo oder ähnlichen Büchern) und kann diese Funktion bzw. ihr Quadrat dann auf den Teilstücken integrieren. --Suhagja (Diskussion) 10:00, 25. Sep. 2012 (CEST)

Aber was ist dann $dA$ beim Integrieren? Von der Notation doch das Flächenelement auf $\Sigma$, also in deinem Beispiel, wo $\Sigma$ eine offene Teilmenge von $\mathbb {R} ^{2}$ ist, wäre es einfach $dx\,dy$. Aber das stimmt dann doch nicht, oder? Das muss doch zum Flächenelement auf $u(\Sigma )$ passen. -- HilberTraum (Diskussion) 14:18, 25. Sep. 2012 (CEST)

dA ist das Flächenelement auf </Sigma>. Man integriert auf <math.>/Sigma</math>, nicht auf der Bildfläche.--Suhagja (Diskussion) 14:58, 25. Sep. 2012 (CEST)

Wenn dA das Flächenelement auf $\Sigma$ ist, dann stimmt aber etwas nicht (oder ich habe ein ganz blöden Denkfehler, dann möchte ich mich schon mal im Voraus für den Stress entschuldigen ;) Konkretes Beispiel: Die Einheitssphäre in Kugelkoordinaten sollte laut Artikel $W=4\pi$ ergeben, was sicher stimmt. Und jetzt gerechnet: Ich nehme als Einbettung $u:\Sigma \to \mathbb {R} ^{3}$, $u(x,y)=(\sin x\cos y,\sin x\sin y,\cos y)$ mit $\Sigma =(0,\pi )\times (0,2\pi )\subset \mathbb {R} ^{2}$, also normale Kugelkoordinaten. Laut Artikel mittlere Krümmung ist $H$ konstant ${\frac {1}{r}}$, also hier $H(x,y)=1$, $(x,y)\in \Sigma$. Wenn $dA$ wirklich das Flächenelement auf $\Sigma$ ist, dann ist $dA=dx\,dy$, also $W=\int _{\Sigma }1^{2}dx\,dy=2\pi ^{2}$, also falsch. In Wirklichkeit müsste hier über das Flächenelement $\sin x\,dx\,dy$ integriert werden. -- HilberTraum (Diskussion) 16:27, 25. Sep. 2012 (CEST)

Der Punkt ist, daß Dein $\Sigma$ keine Sphäre ist. Natürlich kannst Du $(0,\pi )\times (0,2\pi )\subset \mathbb {R} ^{2}$ benutzen, um auf der Einheitssphäre lokale Koordinaten zu definieren mittels der von Dir angegebenen Abbildung. Aber das Flächenelemnt auf der Sphäre bzgl. dieser Koordinaten ist dann nicht dxdy, sondern eben dA=sin y dxdy und bzgl. dieses Flächenelements muss man die Funktion $H^{2}$ integrieren.

(Nebenbei bemerkt spielt es eigentlich keine Rolle, ob man für $\Sigma$ die Einheitssphäre oder irgendeine andere Sphäre wählt, statt einer Abbildung u(x,y,z) auf der Einheitssphäre könnte man zum Beispiel auch die Abbildung u(x/r,y/r,z/r) auf der Sphäre vom Radius r nehmen, bekäme damit dasselbe Bild und, wie man nachrechnen kann, auch dieselbe Willmore-Energie.) -Suhagja (Diskussion) 18:13, 25. Sep. 2012 (CEST)

Wieso muss denn $\Sigma$ eine Sphäre sein? Das sollte doch so auch gehen und dem "richtigen" dA geht's ja. Mir geht es, wie gesagt, nur um die korrekte Notation und Bezeichnung, wie ich W ausrechnen müsste weiß ich glaub ich. Jetzt sagt du selbst dA = sin y dx dy ist das Flächenelement auf der Sphäre also auf $u(\Sigma )$, nur eben ausgedrückt in Koordinaten x,y aus $\Sigma$. Dann kann man aber doch nicht $\int _{\Sigma }H^{2}dA$ schreiben, weil dann dA das Flächenelement auf $\Sigma$ wäre. -- HilberTraum (Diskussion) 19:53, 25. Sep. 2012 (CEST)

dA=sin y dxdy ist das Flächenelement auf $\Sigma$, nicht auf $u(\Sigma )$. Wir gehen von einer fixierten Sphäre $\Sigma$ aus, meinetwegen der Einheitssphäre, und betrachten dann alle Abbildungen u von dieser auf im $R^{3}$ liegende Sphären. Integriert wird aber immer über die ursprüngliche Sphäre und ihr Flächenelement. --Suhagja (Diskussion) 02:46, 26. Sep. 2012 (CEST)

Ok, du bist hartnäckig, aber ich auch :-) Gut, dann ist jetzt $\Sigma$ die Einheitssphäre in $\mathbb {R} ^{3}$ mit der Gleichung $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Neues Rechenbeispiel: Die Einbettung "bläst" die Kugel auf den doppelten Radius auf, also $u:\Sigma \to \mathbb {R} ^{3}$, $u(x,y,z)=(2x,2y,2z)$. Die eingebettete Kugel mit Radius 2 hat überall die mittlere Krümmung ${\tfrac {1}{2}}$, das ergibt $W=\int _{\Sigma }{\tfrac {1}{4}}dA={\tfrac {1}{4}}\int _{\Sigma }dA={\tfrac {1}{4}}4\pi =\pi <4\pi$, wenn dA das Flächenelement auf $\Sigma$ wäre. -- HilberTraum (Diskussion) 08:35, 26. Sep. 2012 (CEST)

Sorry, hier,lag ich tatsächlich falsch, man integriert tatsächlich über das Bild u(Sigma). Ich formulier das gleich um. --Suhagja (Diskussion) 09:56, 26. Sep. 2012 (CEST)

Kein Problem, ich hab selbst auch noch viel dabei gelernt. Nun müsste aber noch mehr im Artikel daran angepasst werden, weil jetzt H und K auf $u(\Sigma )$ definiert sein müssten. Ich fänd's ja besser, wenn man sich erstmal nur wie im englischen Artikel en:Willmore energy auf den Fall einer Fläche S im $\mathbb {R} ^{3}$ beschränken würde, und die ganzen differentialgeometrischen Verallgemeinerungen und Feinheiten mit Immersionen, Einbettungen und Flächen mit Selbstschnitten dann in einem eigenen Abschnitt ansprechen würde. -- HilberTraum (Diskussion) 15:17, 26. Sep. 2012 (CEST)

Stimmt schon, es ist wohl besser, zuerst mal nur Einbettungen zu diskutieren. --Suhagja (Diskussion) 16:35, 26. Sep. 2012 (CEST)

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Willmore Flächen

Willmore Flächen (minimieren Willmore Energie) sollten vielleicht noch erwähnt werden und Anwendungen (Zellmembran, laut engl. wiki).--Claude J (Diskussion) 22:26, 24. Sep. 2012 (CEST)